（基础数学专业论文）开根号的riemann边值问题及其逆问题和一类微分积分方程组的研究.pdf

宁夏大学硕士学位论文中文摘要 摘要 解析函数边值问题是复变函数论中极为重要的分支之一，它不仅有理论意义，而且在力学、 物理学、工程技术中又有广泛的应用解析函数边值逆问题及双解析函数的理论研究也是人们一 直关注的课题本人在已有研究工作的基础上，进一步讨论了开根号的边值问题及其逆问题和一 类微分积分方程组这些研究是现有的边值问题和逆问题理论的进一步推广 首先，论文讨论了开根号的非正则型r i e m a n n 边值问题通过对未知函数的结构分析，把该 问题转化为已有的非正则型r i e m a n n 边值问题，利用已知的结论，给出了该问题的解和可解性条 件 其次，研究了开根号的r i e m a n n 边值逆问题和开根号的h i l b e r t j 左值逆问题通过对未知函数 的结构分析，再消去参变未知函数，把问题分别转化为典型的r i e m a n n 边值问题和h i l b e r t 边值问 题，利用已知的结论，给出了问题的解和可解性条件 最后，讨论了一类微分积分方程组的解通过消去参变未知函数，把问题转化为双解析函数 的r i e m a n n 边值问题，从而给出了该问题的解和可解性条件 关键词：r i e m a n 励值问题，h i l b e r t 边值问题，逆问题，典则函数，双解析函数 一i 一 宁夏大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra n a l y t i cf u n c t i o n si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e si nt h et h e o r y o fc o m p l e xf u n c t i o n 1 h e ya l en o to n l yi m p o r t a n ti nt h e o r yb u ta l s oe x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni nm e c h a n - i c s 、p h y s i c sa n dt h ee n g i n e e r i n gt e c h n o l g y t h er e s e a r c h o fi n v e r s eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fa n a l y t i c f u n c t i o n sa n dt h er e s e a r c ho fb i a n a l y t i cf u n c t i o n sa r ei m p r o t a n tq u e s t i o n si nr e c e n t l yy e a r s b a s e do n t h ef o r m e rr e s e a r c h ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hr a d i c a l sa n dt h e i ri n v e r s eb o u n d a r ya n dac l a s so f d i f f e r e n t i o - i n t e g r a le q u a t i o n sa r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r f i r s t l y , t h es o l u t i o n o f a k i n d o f n o n - n o r m a l r i e m a n n b o u n d a r yv a l u e p r o b l e m w i t h r a d i c a l s i s c o n s i d - e r e d b ya n a l y z i n gt h es l r u c t u r e o ft h eu n k n o w nf u n c t i o n s ，t h ep r o b l e mi st r a n s f o r m e di n t oan o n - n o r m a l r i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，a n di t ss o l u t i o na n dt h ec o n d i t i o n s o fi t ss o l v a b i l i t ya r eg i v e na c c o r d i n g t ot h ek n o w nt h e o r y s e c o n d l y , t h es o l u t i o no fak i n do fm v e r s er i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hr a d i c a l sa n dt h e i n v e r s eh i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hr a d i c a l sa r ec o n s i d e r e d b ya n a l y z i n gt h es t r u c t u r eo ft h e u n k n o w nf u n c t i o n sa n de l i m i n a t i n gp a r a m e t i cu n k n o w nf u n c t i o n s ，t h ep r o b l e ma r et r a n s f o r m e di n t oa t y p i c a lr i e m a n nb o u n d a r yv a m ep r o b l e ma n dh i l b e r tb o u n d a r y , a n di t ss o l u t i o n sa n d t h ec o n d i t i o n so fi t s s o l v a b i l i t ya 托g i v e na c c o r d i n gt ot h ek n o w nt h e o r y f i n a l l y , ac l a s so fd i f f e r e n t i o i n t e g r a le q u a t i o n si sd i s c u s s e d b ye f i m i n a t i n gp a r a m e t i cu n k n o w n f u n c t i o n s ，t h ep r o b l e mi st r a n s f o r m e di n t oat y p i c a lr i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rb i a n a l y t i cf u n c l i o n s a n di t ss o l u t i o n sa n dt h ec o n d i t i o n so fi t ss o l v a b i l i t ya r eg i v e n k e yw o r d s ：r i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , i n v e r s ep r o b l e m , c a n o n i c a lf u n c t i o n , b i a n a l y t i cf u n c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： j 时阃：沁秀年6 只f i e i 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时 间：历。穆年钼日 时 间：砂孑年石月日 一盈 易盈盘 ，l 1，了绁肆 宁夏大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 文献综述 第一章前言 解析函数边值问题是复变函数论中极为重要的分支之一，国外以n s m u s k h e l i s h v i l i 为首 的前苏联学派在解析函数边值问题这一领域作出了大量杰出的工作，并以其专著闻名于世i l 】1 i n v e k u a 把解析函数边值问题的研究向前推进一步，他研究了广义解析函数的边值问题和复偏 微分方程的边值问题【2 】在国内，路见可教授在解析函数边值问题方面【3 5 】，闻国椿教授在复偏 微分方程边值问题方面【6 _ 7 】也做了大量卓有成效的工作另外，杜金元教授、钟寿国教授等在这 一领域也做出了许多有影响的工作i 卜9 1 国内外学者在研究边值理论的同时，也非常重视把理论运用到实际问题的解决中如路见可 教授把平面弹性问题归结为解析函数边值问题【1 1 】，杜金元教授则在奇异积分方程数值解法方面 做了大量的工作【1 2 - - 16 近年来由于解析函数在机械和数学物理方面有着广泛的应用，有关双解 析函数、多解析函数以及一些边值逆问题的理论研究也是人们关注的课题 在我国，北师大赵桢教授给出了双解析函数的概念，阐明了双解析函数的力学背景，并给出 了双解析函数的第一表达式以及第二表达式1 1 7 - - 2 1 j ，杨硕讨论了双解析函数的一些性质及其边 值问题 2 2 2 3 ，王明华进一步研究了双解析函数的一些性质，并讨论了h i l b e r t 边值问题f 2 4 - 2 5 】随 者研究的深入，汪玉峰、杨丕文、郑神州等又对多解析函数及其相应的边值问题进行研究【2 6 _ 2 9 】 解析函数边值逆问题在工程中有广泛的应用，但其研究也只有十多年的历史1 9 9 6 年，李星 教授提出了一类边值逆问题f 3 l 】，并借助于经典的r i e m a n n 边值问题的解法，分别讨论了该问题的 正则型和非正则型情况的解该逆问题是：求一对函数( 咖( z ) ，妒( t ) ) ，其中西( z ) 是以一条光滑封 闭曲线为跳跃曲线的分区全纯函数，妒( t ) 是属于日( l ) 的函数，满足下列边值条件 i + ( t ) = g l ( t ) 自b 一( t ) - 4 - 9 1 ( t ) 妒( t ) ，t l ， 【咖+ ) = g 2 ( t ) 咖一0 ) + 夕2 ( t ) 妒( ) ，t l ， ( 1 1 ) 其中已知函数g ，( t ) ，g j ( t ) 日( 工) d = 1 ，2 ) 基于对文献【3 1 】的推广，李星教授又提出了一类周 期r i e m a n n 边值逆问题f 3 2 l ，杨晓春教授提出了一类正则型函数组r i e m a n n 边值逆问题【3 引王明 华、姚益民、靳高峰等进一步研究 r i e m a n n j g 值逆问题 3 4 - 3 6 2 0 0 6 年，王明华首次提出了一类r h 边值逆问题【3 7 1 ，该逆问题是：设l 为复平面中一条封闭 光滑曲线，反时针为其正向，所围的有乔单连通区域记为s + 求一对函数( 咖+ ( z ) ，妒( ) ) ，其中 妒+ ( o ) 为s + 内全纯函数，且连续到s + + l 上满足下列边值条件 jr e a l ( t ) o + ( t ) 】：r l ( t ) 妒( t ) + c l ( t ) ，t l ， 【r e a 2 ( t ) 咖+ ( ) 1 = r 2 ( t ) t p ( t ) + c 2 ( t ) ，t l ， ( 1 2 ) 其中( ) = ( t ) + t 幻( t ) ，a a t ) ，b j ( t ) ，勺( t ) 为满足日( l ) u = 1 ，2 ) 的实函数而后一些学者又作 了双解析函数及多解析函数逆问题的研究，如王明华、杨柳等f 3 8 4 0 1 作为解析函数边值问题的推广，路见可教授、刘华又提出了一类带平方根的边值问 一1 一 宁夏大学硕士学位论文第一章前言 题f 4 1 4 5 1 带平方根的r i e m a n n 边值问题是求一分区全纯函数妒( z ) ，以复平面一封闭光滑曲线己为跳跃 曲线，满足边值条件 ( 1 3 ) 其中l 的内部和外部区域分别为s + 和s 一已知函数g ( t ) ，g ( t ) 日( l ) ，妒( z ) 在z = o 。处有有限 阶， 丽 丽在上连续和单值该问题的求解是通过对未知函数妒( 名) 的结构分析，把该 问题化为已知的r i e m a n n 边值问题，给出该问题的解 带平方根h i l b e r t 的边值问题是求在s + 内的全纯函数妒( z ) ，且连续到| s + + l 上，满足边值条 件 r e 队( t ) 万( t ) 】：c ( ) ，t l ，( 1 4 ) 其中l 同( 1 3 ) ，a ( t ) o 与c ( t ) 均日( l ) 问题的求解同样是通过分析未知函数妒( z ) 的结构，把问 题化为f 4 】中的情况求解 1 2 本文的主要工作 为了，丰富解析函数边值问题理论，在本篇论文里主要做r 以下四方面的工作 ( 1 ) 考虑了非正则型开根号的r i e m a n n 边值问题的解，即求分区全纯函数妒( z ) ，满足边值条件 咖丽= 器g 忻+ 9 ( t ) t el ， ( 1 5 ) 其中g ( t ) ，g ( t ) 日( ) ，且g ( ) 0 ，妒( z ) 在z = 。o 处有有限阶，要求影而和丽在 l 上连续，单值 ( 2 ) 求解一类开根号的r i e m a n n 边值逆问题，即求一对函数( 妒( 2 ) ，伽( t ) ) ，满足下列边值条件 jg l l ( t ) v 妒+ ( t ) = g 1 2 ( t ) 影妒一 ) + 夕1 0 ) 叫 ) + h l ( t ) ，t 三，出 【g 2 1 ( t ) 影妒+ ( ) = g 2 2 ( t ) 影妒一 ) + 夕2 0 ) t t j o ) + h 2 ( t ) ，t 工， 、 一一 1 1 oj 其中砂( z ) 是以l 为跳跃曲线的分区全纯函数，w ( t ) 日( ) ，g j ，( ) ，缈( t ) ，h ( l ) u = 1 ，2 ，r = l ，2 ) ，妒( z ) 在z = 处有有限阶，要求影丽和丽在上连续，单值 ( 3 ) 求解一类开根号的h i l 蚴值逆问题，即求一对函数似+ ( 2 ) ，伽( t ) ) ，其中矽( z ) 是s + 内的 全纯函数，叫( t ) 日( l ) ，满足下列边值条件 j 眦t ) 眨塑】= r l ( 。) 伽( t ) + c l ( t ) ，t l ，( 1 7 ) 【r e a 2 ( t ) 妒+ ( t ) 】= r 2 ( t ) 叫( t ) + c 2 ( t ) ，t l ， 、 其中( t ) = ( t ) + i b m ( t ) ，吩( t ) ，如( t ) ，勺( t ) h ( l ) o = 1 ，2 ) 为实函数 一2 一 宁夏大学硕士学位论文 第一章前言 滢篡竺篙撵劣粪二薹誊黧置8 ，l 吻+ 0 2 z 洲+ 警力磐一篙掣训圳味， 其中( 吼吩t ( 咖乃( ) 日犯) o = 1 ，2 ，七= 1 ，2 ) 是已知函数，n ( t ) ，鱼磊堕日( l ) u = 1 ，2 ) 是未知函数 一3 一 宁夏大学硕士学位论文第二章非正则型开根号的r i e m a n n 边值问题 第二章非正则型开根号f l 勺r i e m a n n 边值问题 关于非正则型r i e m a n n 边值问题，国内学者已作了大量的研究，在文献【4 】中，路见可教授给 出了解的详细介绍，林玉波研究了带间断系数非正则型r i e m a n n 边值问题【4 8 l ，姚益民研究了共 轭解析函数的非正则型r i e m a n n 边值问题【49 l ，王明华解决了双解析函数非正则型r i e m a n n 边值问 题【2 5 ，曾伟讨论了七正则函数的非正则型r i e m a n n 边值问题1 5 0 】路见可在文献【4 3 】中讨论了非齐 次开根号的r i e m a n n 边值问题，通过分析未知函数的结构，把问题转化为文献【4 1 中的情况求解， 给出了可解性定理和可解性条件本章则讨论了一类非正则型开根号的r i e m a n n 边值问题，给出 了可解性定理和可解性条件 2 1 问题的提出 设是复平面中一封闭光滑曲线，以反时针为正向，其内部和外部区域分别记为s + 和s 一， 求以l 为跳跃曲线的分区全纯函数妒( z ) ，满足边值条件 怕丽= 丽r h ( 0 刚痧丽+ m t 工，( 2 1 ) 其中g ( t ) ，9 ( 0 日( l ) ，且g ( t ) 0 ，妒( z ) 在z = o o 处有有限阶，要求影矿丽和矿丽在 工上连续，单值 这里吩，阮都在l 上，阮，i z h 都是正整数，记 2 2 问题的转换 a ：fa f ， z j o j = l p = 脚 k 1 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 2 2 1 对妒+ ( z ) 的分析 设妒+ ( z ) 在矿内有m 个零点n l ，a 2 ，a m ( m 1 ) ，且零点c l i 的阶数m t 满足兰 m d m o dm ) ( i = 1 ，m ) 设三一p ( m o dm ) ，即+ p = l m i = l= l ( 1 ) 当p = o 时，有等式 其中 妒+ ( z ) = i i 。( z ) 妒寺( 。) m ， 2 s + ， ( 2 4 ) 。( z ) = ( z a 1 ) t ( z q 2 ) ( z o m ) 七 f ( 2 5 ) 若妒+ ( z ) 在s + 中没有零点，即m = 0 ，则令。( z ) = 1 在s + 内作连接a l ，n 2 ，a m 的适当 一4 一 h 广风 一 叮胁 = 2 p q 一 p m = 宁夏大学硕士学位论文第二章非正则型开根号的r i e m a n n 边值问题 剖线，使v 丽：了万为其一确定分支，则有 ( 2 6 ) 其中吉( z ) 在s + 内全纯，且连续到l _ k ( 2 ) 当p o 时，在厶上任取尬个点，设为n m + 1 ，a m + 2 ，a m + m l ，其中点a m + l 的阶数 为m f + l ( o m m “ m ) i t ：l ，2 ，m 1 ) ，满足m l m m + l ：弘用( 2 7 ) 代替( 2 5 ) ，也有 1 = i ( 2 4 ) ，( 2 6 ) 成立令 i i 口( z ) = ( z a 1 ) 七1 一a 2 ) b ( z a m ) k m ( z a m + 1 ) ” f + l ( z o m + m ) ” f + m l ，( 2 7 ) 吉( z ) 在s + 内全纯，且连续到l 上，庐古( ) 在a m + l 可能有奇异性，但阶数不超过竺! 坐( z ： 1 ，2 ，m ) 2 2 2 对妒一( z ) 的分析 设妒一z ) 在s 一内有个零点b l ，b 2 ，6 ，在z = 处有k 阶，其中零点的阶数为n j 满足h j 三n j ( m o d n ) ，o = 1 ，) 设口三( k 一h j ) ( m o 觑) ，即( k 一b ) 一q = t n j = xj = z ( 1 ) 当窖= o 时，有等式 其中 妒一z ) = n 6 ( z ) i ( z ) “，z s 一， 1 1 6 0 ) = ( 2 一b 1 ) - ( z 一6 2 ) b ( z b u ) 一， ( 2 8 ) ( 2 9 ) 若妒- ( z ) 在s 一中没有零点，即n = 0 ，则令n 。( 2 ) = 1 在s 一内作连接6 1 6 2 ，b n ，o o 的适 当剖线，使影丽为其一确定分支，则有 ( 2 1 0 ) 其中妒i 0 ) 在s 一内全纯，且连续到工上且町( z ) 在。= o o 处为t 阶 ( 2 ) 当q o 时，在l 上任取1 个点设为b n + 1 ，b n + 2 ，b n + n t ，其中点b n + ，的阶数 为n + r ( o 礼+ r 仇) ( r ：l ，2 ，1 ) ，满足釜n + r ：q 用( 2 1 1 ) 代替( 2 9 ) ，也有 l r = - l ( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 成立令 h b ( z ) = z 一6 1 ) 知1 ( z 一6 2 ) h ( z 一6 j v ) m ( z b n + 1 ) “+ l ( z b n + 1 ) “+ - ， ( 2 1 1 ) 西i ( z ) 在s 一内全纯，且连续到l 上酊( t ) 在6 + r 可能有奇异性，但阶数不超过业p ： 1 ，2 ，1 ) ，且妒i ( z ) 在2 = 处为t 阶 2 2 3 问题的转换 根据以上对妒( 2 ) 结构的分析，问题( 2 1 ) 可以转化为 = 器刚1 ) + 器， ( 2 1 2 ) 宁夏大学硕士学位论文第二章非正则型开根号的r i e m a n n 边值问题 这样就有 北，= 慝 2 s + ( 2 1 3 ) z s 一 其中咖( z ) 是关于l 的分区全纯函数，在。m + l 可能有不到竺笋( f = 1 ，2 ，m - ) 阶的奇异性， 在6 + r 处可能有不到! # 阶的奇异性( r = 1 ，2 ，1 ) ，假定在l 上。m “，6 + r ，风相 互不等 显然( z ) 在z = o 。处仍有t f 阶，这是非正则型的冗t f 问题 2 3 问题的求解 ( 2 1 4 ) 定义指标为 尤：1 a r g g ( t ) 1 一1 5 ) ) i l ( 2 1 5 尤。 因为g ( t ) o 在l 上，且连续，任取z o s + ，定义 m ) = 去上巡掣班，她 x c z ，= 芝：二。，一。e r 。：， 2 z e s s 一+ ，, 则有 g = 鞘 我们分两种情形来求解问题( 2 1 2 ) 2 3 1 齐次问题，即a ( t ) n ( t ) = 0 ( 2 1 2 ) 式可改写为 n 2 ( ) 矿( t ) 一= x + ( t ) 记 1 ( t ) ( t ) 咖一( t ) x 一( ) 毗，- 攀： 一6 一 z s + z s 一。 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 宁夏大学硕士学位论文第二章非正则型开根号的r i e m a n n 边值问题 则 q + ( ) = q 一( t ) 因此n ( z ) 在全平面全纯又x ( z ) 在之= o o 处有一k 阶，故q ( z ) 在z = o 。处阶数不超过 a + 尤+ t f = c ，由推广的l i o u v i l e 定理知q ( z ) 为c 次多项式只( z ) ( 当c 0 时，只( z ) 三o ) 因 此( 2 1 2 的) 齐次问题如果在冗t z 中有解，则解必有下面形式 f 百x o ) p c ( z ) ，z 矿， 北卜 辫：三： 江 li i l ( z ) “。 p c ( z ) = i 1 ( z ) 1 1 2 ( z ) p c a 一肛z ) ， 这里尸c 一 一p ( z ) 为c a p 次任意多项式( c a p o 时， 的一般为 绯，= 黛慧： 因j l t ( 2 1 ) 齐次问题的解为 北，= 裟测竺：紧 p c 一 一p ( z ) 三o ) 贝0 ( 2 1 6 ) 藿er t l 中 名s + ， ( 2 1 9 ) 2 s 一 、7 z | s + z s 一 ( 2 2 0 ) 于是我1 门有 定理2 1 齐次问题( 2 1 2 ) 在风一f 中求解时，若c a + 卢，则其一般解为( 2 1 9 ) ，即( 2 1 ) 的解 为( 2 2 0 ) ，其中p c 一 一p ( z ) 为c a p 次任意多项式：若c a + p 时，则( 2 1 ) 只有零解 2 3 2 非齐次问题，i l l l a ( t ) n ( t ) 0 根据上段做法，( 2 1 2 ) 可化y , j 笔铲= 可n d t ) 咖矿- ( t ) + 鬈x 踹t ( 2 2 1 ) j 【+ ( t )x 一( t ) 。 + ( t ) n ( ) 、一7 令 ( z ) = 互1f lh 2 ( r ) 9 ( r ) 习d r ，z 乱， ( 2 2 2 ) 则 叫旷州归蒜器， 一7 一 宁夏大学硕士学位论文第二章非正则型开根号的r i e m a r m 边值问题 旦辫一+ ) = 望型x 幽- ( t ) 一一 ) ，t 己， 北，_ 攀：则z e s + 一, p 。( 阮) + w + ( 5 ( 胁) = 0 ，s = 0 ，1 ，胁一1 ，h = 1 ，2 ，g ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 卜投( q j ) = 一警) ，r = o ，1 o j l ，j = l ，2 ，m( 2 2 5 ) lq ( 风) = + ( 。) ( 风) ，s = 0 ，1 ，脚一1 ，h = 1 ，2 ，口， 、7 f 壁娑婴掣，z 矿， 纵扣恒逍鎏趔： 三： 江2 6 ， i1 1 1 ( z ) 北，= 辩芸豢黧篡二竺l 则z 6 s + 一, 仁2 7 ， 北，懈：瘸黑二舞二篡茹墨0 8 ， 一8 一 宁夏大学硕士学位论文第二章非正则型开根号的r i e m a n n 边值问题 分地加在q p ( z ) 上，间接地也是加在9 ( t ) 上) 如果记 q p ( z ) = a o z p + a 1 z a 一1 + + a p ，( p = a + p 一1 ) ， 则当a + 代一l 时，上述约束条件应为 a o = a 1 = = a | 一k 一2 = 0 即q p ( z ) 只能是p 一一尤一2 ) 一1 = a + 尤次多项式( a + k = 一1 恒为零) 当a + k - i 时，除要 求q p ( z ) 三。外，还应要求咖。( z ) 在z = o o 处有一( a + k ) 阶零点，亦即要求 上里辫= 。，z ，= ，2 ，一a k 一， ( 2 七9 ) 上述条件满足时，咖。( z ) 显然确实是解 于是我们有 定理2 2 非齐次问题( 2 1 ) 在h 一中求解时，( i ) 若尤p 一1 ，其一般解为( 2 2 8 ) ( i i ) 若尤 t 一1 ，应要求夕( t ) 满足约束条件，有唯一解；当a + 尤一1 时，此即要求条件( 2 2 5 ) 所作的插 值多项式q p ( z ) 只能是a + 尤次多项式q + k = 一l n 寸，要求q p ( z ) 兰0 ) ，而当a + k 一1 时，除 要求q p ( z ) 三0 外，还要求满足条件( 2 2 9 ) ，这时唯一解以( 2 2 8 ) 给出，其中r 一 一p ( z ) = 0 一9 一 宁夏大学硕士学位论文 第三章开根号的r i e m a n n 边值逆问题 第三章开根号f l , 勺r i e m a n n 边值逆问题 由于r i e m a n n 边值逆问题在接触力学，断裂力学及平面弹性等问题中均有应用，逆问题也成 了人们研究的重要课题自1 9 9 6 年李星教授提出了一类r i e m a n n 边值逆问题 a l l ，广大学者研究 了一系列的边值逆问题f 3 2 3 6 j 在此基础上，本章把开根号的边值问题与边值逆问题结合起来， 讨论了开根号的r i e m a n n 边值逆问题，并给出它的解和可解性条件 3 1 问题的提出 设工是复平面中一封闭光滑曲线，以反时针为正向，其内部和外部区域分别记为s + 和 s 一，求一对函数似( z ) ，伽( t ) ) ，满足下列边值条件 g n ( ) 唑塑。g 1 2 ( 。) 哩型+ 夕1 ( 。) 训( 2 ) + h 1 ( 2 ) ，。l ，( 3 1 ) ig 2 1 ( t ) 影妒+ 0 ) = g 2 2 0 ) 秒妒一o ) + 9 2 ( ) 伽o ) + h 2 ( t ) ，t l ， 、 其中妒( z ) 是以l 为跳跃曲线的分区全纯函数，凹( ) 日( l ) ，岛，( t ) ，g j ( t ) ，h j h ( l ) 0 = 1 ，2 ，r = l ，2 ) ，妒( z ) 在z = o o 处有有限阶，要求影而和矿丽在l 上连续，单值 3 2 问题的转换 3 2 1 分析妒( z ) 的结构 如同上一章的讨论一样，用同样的记号，我们可以得到 妒+ ( 2 ) = i i 。( z ) 对( z ) ”，z s + ， 妒一( z ) = 6 ( z ) 庐i ( z ) “， z s 一， 3 2 2 闩题的转换 根据以上对妒( 2 ) 结构的分析，问题( 3 1 ) 可以变为 这里有 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) g i l ) 庐+ ) = g 1 2 0 ) 一( t ) + g d t ) w ( t ) i i ( 。) + h i ( t ) ( 。) ，。l ，( 3 6 ) 【v 2 1 ( t ) 咖+ ( t ) = g 2 2 ( t ) 一( t ) + 9 2 ( t ) w ( t ) n ( t ) + h 2 ( t ) i i ( t ) ，t l ， 、。 一l o 宁夏大学硕士学位论文 第三章开根号的r i e m a n n 边值逆问题 咖( z ) = 蛎( z ) 厕 z j s + z s 一 ( 3 7 ) 其中咖( z ) 是分区全纯，妒吉( z ) 在n m + 。处可能有不超过竺筹竺( s = 1 ，2 ，m ) 阶的奇异性， e f t ( t ) 在6 + ，可能有不超过兰# p = 1 ，2 ，n 1 ) 阶的奇异性，i e i 咖_ ( z ) 在z = o o 处为t f 阶其中 3 3 问题的求解 由( 3 6 ) 式的第一式两端乘以9 2 ( t ) 与( 3 6 ) 式的第二式两端乘以g l ( t ) ，相减得 ( 3 8 ) g l0 ) 咖+ ) = g 2 ( t ) 西一( t ) + 。 ) ，t l ，( 3 9 ) 其中 g m ，= 旧g n ( t 。”z = g g ：1 ：2 。( 。t = 丽1 旧h l ( t 兰甜， ( 3 1 0 ) ( 3 9 ) n - - - i 改写为 妒+ ( t ) = g o ) 妒一o ) + h ( t ) ，t l ， 其中g ( t ) = g 2 ( t ) g 1 ( t ) ，h ( t ) = 。( t ) g l ( t ) 显然g ( t ) ，h ( t ) h ( l ) 3 3 1 正则型问题，即a ( t ) 0 ( 1 ) 齐次问题，即h ( t ) = 0 庐+ ( t ) = g ( t ) 庐一 ) ，t l ， 定义指标为 k = l a r g g ( t ) 】厶 记c = ( k + t ) 一z 则可得 ( n ) 若c 0 ，即，c + t 1 则问题( 3 1 3 ) 一般解为 妒( 名) = 尸c ( z ) x ( z ) ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 器 宁夏大学硕士学位论文 第三章开根号的r i e m a n n 边值逆问题 其中p c ( z ) 是c 次任意多项式，z o s + ，且 蒜澎咿，z 乏0 ， 慨埘 毗) = 刍上业掣班，凰， 又由( 3 2 ) ，3 4 ) ，( 3 7 ) 得 北，= 经富篇烈瓣：矧z e s 一+ ，, 从而得 、 w ( t ) = ( t ) p c ( t ) x 弋t ) d l ( t ) ， 其中 础，= 丽1 lg g 2 n m ( t ；g g 2 x 2 2 。( 。t ；, t 6l ( 弓1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 s ) 荆= x ( 2 ) 眩1f lh ( t ) d t 习+ r ( z ) 】，2 毛l ， ( 3 1 9 ) f l h ( t ) t h d t = 。， = 。，1 ，, - - c - - 2 ( 3 2 。) 北，懈黧麓乏薰二篡：兰慨刎 一1 2 一 宁夏大学硕士学位论文 第三章开根号的r i e m a n n 边值逆问题 从而 ( 3 2 2 ) 其中d l ( t ) 如上 蜊= 赤旧篡t ) | , t el 若c 一1 ，问题满足可解性条件( 3 2 0 ) 有解如( 3 2 1 ) ，此时只( z ) = 0 叫( ) 如( 3 2 2 ) 式 定理3 2 正则型情况下的问题( 3 1 ) ，当c 一1 时，有一般解 ( z ) ，如( t ) ) ，妒( z ) ，加( t ) 分别 m ( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 给出，而当c - - 1 时，则原问题只有平凡解 3 3 2 非正则型问题，i 习i g ( t ) 有零点 ( 3 1 1 ) 改写为 九归器g 以) 州酢) ，t l ， ( 3 2 3 ) 其中g o ( t ) 日，且0 ，而 ( 3 2 4 ) 这里o d ，阮都在l 上，知，蜥都是正整数，不妨设在l 上伽，f l h ，a m + ，b n + ，相互不等记 = 器g 以矿，t 吐 这正是【4 】中讨论过的非正则型齐次边值问题由【4 】得( 3 2 6 ) 毛e 亿一l 中的解 北，= 黛掣 剌z e s 一+ ，, 从而可得 北，= 谧葛慧蹴高艺留蕊：则z 6 s 一+ ，, w ( t ) = d l ( t ) i i ( t ) 1 1 2 ( t ) x 一( t ) r 一弘( t ) ， ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 其中圪，cx ( 2 ) 同( 3 3 1 ) ，但g ( t ) 改换为g o ( t ) ，p c 一_ i i ( z ) 关于z 的c p 次多项式，当c p 时 只一p ( z ) 兰0 一1 3 一 hp 风 一 p 。脚 = 2 k d q 一 p 扭 = hp 。汹 = pd 入 p 扭 | j a 宁夏大学硕士学位论文 第三章开根号的r i e m a n n 边值逆问题 定理3 3 非正则型情况的问题( 3 1 ) ，当c ，上时，其一般解为似( z ) ，叫( t ) ) ，其 中妒( z ) ，w ( 0 如( 3 2 8 ) ，( 3 2 9 ) 式当c p 时，原问题只有平凡解 ( 2 ) t l e 齐次问题，即 ( t ) 0 ( 3 2 3 ) 可化为 雩铲=可iil(t)咖矿-(t)。可112(t)h(t)-i- ( 3 3 。) 一= 一一 1 d j i ，j x + ( t )x 一( t )x 十( ) 。 、。 令 晔，= 熹上糕，魁， 慨3 ， 则 w + ( t ) 一w 一( t ) =x + ( ) 川丽 t 工 从而( 3 3 0 ) 简化为 可1 1 2 ( 0 妒+ ( 0 一+ ( t ) = 可1 1 1 ( 0 妒- ( 0 一一( 舭l ， ( 3 3 2 ) r w ( e 0 1 = 0 - - i 知如果( 3 3 0 ) 有解，故必有 f 认力。t x ( z ) 【( z ) + p c + ( z ) 1 x ( z ) 咿尚p c + 删 x ( z ) 【w ( z ) + ( z ) 1 但由于咖+ ( t ) ，一( t ) 应在l 上有界，故必须 z s + ( 3 3 3 ) z s 一 只皱( q d ) + 一( r ( q d ) = 0 ，r = 0 ，1 ，a d 一1 ，d = l ，2 ，p 幺( 胁) + w + ( s ( 觑) = 0 ，8 = 0 ，1 ，p 一1 ，h = l ，2 ，q q ；= ：( q d ) = 彬一一( q d ) ，= o ，1 ，知一1 ，d = 1 ，2 ，p ，( 3 3 4 ) 【q 扩( 阮) = w + ( 5 ) ( 阮) ，s = 0 ，1 ，z h 一1 ，h = 1 ，2 ，q ， 、 7 f 墅业望掣，z s + ， 州2 伍趟挚型：三： 慨3 5 ， l i i l ( z ) 。 一1 4 一 北，= 辩竺豢黧麓二2 则z 6 sr，+ 陋3 6 ， 北，忙冀霸黑二篙二篡嚣苍：( 3 3 7 ， ( 3 3 8 ) 设k p 一1 要驴，( z ) 是( 3 6 ) 的解，还必须满足下列条件，这些是忍( t ) 所应受的约束条件( 部分地 加在q p ( z ) 上，间接地也是加在9 ( t ) 上) 如果记 q p ( z ) = a o z p + a , z p 一1 + + a p ，( p = a + p 一1 ) ， 则当a + ，c 一l 时，上述约束条件应为 a o = a 1 = = a p - - k - - 220 即砩偿) 只能是p 一( 肛一尤一2 ) 一1 = a + k 次多项式( a + k = 一1 恒为零) 当a + k 一l 时，除要 求q p ( z ) 兰0 外，还应要求妒。( z ) 在z = 处有一( a + 尤) 阶零点，亦即要求 上里紫= 。，p = - ，2 ，一a k 一， ( 3 3 9 ) 上述条件满足时，机( 2 ) 显然确实是解 于是我们有 定理3 4 非正则型非齐次问题( 3 1 ) ，( i ) 若k p 一1 ，其一般解为似( z ) ，伽( t ) ) ，妒( 2 ) ，叫( t ) 分 别如( 3 3 7 ) ，( 3 3 8 ) ( i i ) 若k p 一1 ，还应要求九( t ) 满足约束件时才可解，且解唯一； 当a + k - - 1 时，此即所作的插值多项式q p ( z ) 只能是a + k 次多项式( a + k = 1 时，要 求q p ( z ) 兰0 ) ，而当a + k - 1 时，除要求q p ( z ) 兰0 外，还要求( 3 3 9 ) 满足；这时唯一解 以( 3 3 7 ) ，( 3 3 8 ) 给出，但此时p c 一口( z ) = 0 一1 5 宁夏大学硕士学位论文第四章开根号的h i l l ) e r t 边值逆问题 第四章开根号b 勺h i l b e r t 边值逆问题 2 0 0 6 年王明华首次提出了一类r h 边值逆问题f 3 7 l ，本章则继续讨论了一类开根号的h i l b e r t 边 值逆问题 4 1 问题的提出 设三是复平面中一封闭光滑曲线，以反时针为正向，三所围的内部为s 十，求一对函数 ( 而，t 工，( t ) ) ，满足边值条件 艮眦哩型2 删加( 。) + c l ( 。) ，。l ，( 4 1 ) 【r e a 2 ( t ) 砂+ ( t ) 1 = r 2 ( t ) 加( t ) + c 2 ( t ) ，t l ， 、 其中妒( z ) 是s + 内的全纯函数，叫( t ) 日( l ) 类的系数函数，( t ) = a j ( t ) + i b j ( t ) ，町( t ) ，b a t ) ，勺(