（基础数学专业论文）曲线的活动标架与达布向量.pdf

r l r 籼 at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s m o v i n g f r a m e sa n dd a r b o u xv e c t o r so f c u r v e b yy a n gc h u n h u i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 9 02 4m 6mm坩i7， iii帅y ，“， r j t ， 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：辛萌烨 日期：埘石弓口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年一年口一年半口两年口 学位论文作者签名： 签字日期： 协净 ”弓。 导师签名： 签字日期： 住一 叫。f 少弋。 ， r 讧 东北大学硕士学位论文摘要 曲线的活动标架与达布向量 摘要 令，：ije 3 是e 3 中的空间曲线。扛，7 表示曲线，的活动标架。当一点在 给定曲线上移动时，曲线在该点的标架的刚体运动有两个因素，一个是标架的顶 点沿曲线的移动，另一个是标架绕点的转动。我们称这个转动的即时转速矢为达 布向量。 本文主要由以下两部分构成： 1 首先考虑任一单位球面曲线，给出它的f r e n e t 标架场和球面标架场的关系 式。然后，分别研究以f r e n e t 标架场和球面标架场所对应的达布向量为位置向量 的曲线的性质。 2 考虑更一般的情况，给出由三维欧氏空间中任一空间曲线的第一族标架场 所对应的达布向量生成的曲面的性质。我们得到此曲面是直纹面，并给出了它的 g a u s s 曲率以及平均曲率的表达式。最后，我们给出当原曲线是特殊曲线时所对应 的曲面的特殊性。 关键词：活动标架；达布向量；f r e n e t 公式；直纹面 一i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t m o v i n g f r a m e sa n dd ff a r b o u xve c t o r so t c u r v e a bs t r a c t l e t r ：，一e 3 b eas p a c ec u r v ei n e 3 缸，y d e n o t e st h em o v i n gf r a m eo f ， a sam o v i n gp o i n tt r a v e r s e st h eg i v e nc u r v e ，t h em o t i o n o ft h em o v i n gf r a m e 缸，y c o n t a i n s ，a p a r tf r o ma ni n s t a n t a n e o u st r a n s l a t i o n ，a ni n s t a n t a n e o u sr o t a t i o n w e c a l lt h ea n g u l a rv e l o c i t yv e c t o ro ft h ei n s t a n t a n e o u sr o t a t i o nt h ed a r b o u xv e c t o r i nt h i sp a p e r ，a tf i r s t ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ef r e n e tf l a m ef i e l da n d t h es p h e r i c a lf r a m ef i e l do fac u r v eo ns 2a n do b t a i ns o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e c u r v e sw h o s ep o s i t i o nv e c t o r sa r et h ec o r r e s p o n d i n gd a r b o u xv e c t o r so ft h em o v i n g f r e n e tf r a m eo rt h em o v i n gs p h e r i c a lf r a m e t h e nw es h o ws o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so f t h es u r f a c ew h i c hi sc o n s t r u c t e db yt h ed a r b o u xv e c t o r so ft h ef i r s tf a m i l yo ft h e m o v i n gf r a m e so fas p a c ec u r v e i ne 3 w es h o wt h eg a u s sc u r v a t u r eka n dt h em e a n c u r v a t u r eho ft h es u r f a c ew h i c hi sar u l e ds u r f a c e f i n a l l yw eo b t a i ns o m ec o n c l u s i o n s w h e nt h eg i v e nc u r v ei sas p e c i a lc u r v e k e yw o r d s ：m o v i n gf r a m e ；d a r b o u xv e c t o r ；f r e n e tf o r m u l a ；r u l e ds u r f a c e i i i 东北大学硕士学位论文目录 目录 独创性声明i 摘要i i a b s t r a c t ii i 第1 章绪论1 1 1 活动标架法的发展1 1 2 本文的主要内容、研究目的和意义2 第2 章预备知识5 2 1e 3 中曲线的基本概念5 2 2 基本公式在运动学里的意义7 2 3e 3 中曲面的基本概念8 第3 章单位球面曲线的达布向量1 5 3 1 单位球面曲线的f r e n e t 标架场和球面标架场的关系式1 5 3 2 单位球面曲线的f r e n e t 标架场和球面标架场各自所对应的达布向量1 9 第4 章任一空间曲线的达布向量2 5 4 1 任一空间曲线的达布向量2 5 第5 章总结。3 3 参考文献3 7 致谢3 9 - i v - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 伴随着微积分在数学各个分支中的应用以及解析几何的确立，微分几何在1 8 世纪中期得到了广泛的发展。1 9 世纪，它已经成为数学的个非常重要的分支。 进入2 0 世纪，由于黎曼几何成为爱因斯坦广义相对论的数学基础，于是引起了微 分几何研究的热潮。综观微分几何的发展，它不仅深刻地影响了2 0 世纪数学的发 展，而且深刻地影响了2 0 世纪物理学的发展，成为2 0 世纪数学研究的一个主流方 向。 微分几何在它的第一阶段，研究范围主要局限于三维的局部微分几何，主要 研究曲面的外在性质；建立曲线、曲面的曲率等一些最基本的微分几何概念；确 立曲线、曲面方程的表示方法；在研究方法上，引入了研究几何工作的分析方法 和微分方程方法，并取得初步成果。 在微分几何发展的第二阶段，研究范围虽然还是局部微分几何，但内容却转 入了曲面的内蕴微分几何的研究，而且维数由二、三维推广到任意咒维；研究方法 上引入了曲线曲面的参数表达方法、弧长元素、高斯曲率( 总曲率) 和张量演算等基 本度量关系，开始研究几何的不变性质和不变量，发展了一般研究，不再局限于 对一些具体的曲线、曲面的研究。 在微分几何发展的第三阶段，研究范围已逐步扩大到整体微分几何并进一步 影响到整体几何学，包括拓扑学在内，研究内容为整体与局部、局部与局部以及 整体之问的关系；在方法上，创造了一系列新的方法。李群、非线性偏微分方程、 纤维丛和示性类概念的引入、活动标架法的使用等，极大地促进了微分几何的发 展。 研究黎曼几何的三种表示方法分别是不变形式法、活动标架法和自然标架法。 其中，活动标架法与外微分结合，成为了研究微分几何学的有力工具。 1 1 活动标架法的发展 活动标架法的先驱当数j 达布( d a r b o u x ) ，里博库尔( r i b a u c o u r ) 矛i e 切萨罗( c e s a r o ) 。 达布，j g ( d a r b o u x ，j e a ng a s t o n ) 是法国著名的数学家。他的主要成就，是对 曲线和曲面理论的研究。正如其他几何学家一样，他也完全使用了解析式，尤其 1 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 使用坐标系统解析法。他将多年数学讲义的精髓汇成两本专著曲面通论教程 和正交系与曲线坐标。曲面通论教程突出的特点，是运用了移动三维坐标， 即活动标架。在达布首创的活动坐标系中，有一种称为达布标架【1 1 ，用此标架可以 展开有趣的曲面论探讨，而不需要简化到正规标架，他把单参数标架族的概念推 广到依赖多个参数的情况，从而使活动标架法与外微分结合，成为研究微分几何 学的有力工具。 嘉当，e ( c a r t a n ，e l i e ) 也是法国著名的数学家。他是活动标架法的集大成者， 虽然这个方法至今也还未探索清楚。研究一个物体运动时曾经采用随着物体一起 变动的标架来处理问题，这样的标架自然地成为活动标架。在研究空间性质时， 类似的标架也就成为活动标架了，不过此时的标架不是随着时间而变，而是随着 点而变化的，让我们用一个简单的例子来描绘原始的活动标架法。当人们研究欧 氏空间中的一条曲线时，按照笛卡儿坐标方法，首先在欧氏空间中取一个固定的 标架，从而将曲线用数量关系表出，接着再用分析与代数手段研究这个代表曲线 的数量关系。这个方法固然可行，但是在复杂一些的情况下，人们常常会迷路， 不易从上述数量关系找到几何不变量。假若处理上述问题时不采用固定的标架， 而选取一种所谓的j 弗雷6 1 ( f r e n e t ) 标架，于是就有了“规则的算法，很容易 得到曲率、挠率这样的几何不变量。这里的弗雷内标架就是活动标架。嘉当将此 经典的方法做了极大的推广，处理下面这样一个经典的问题。设e 是一个刀维流形， 其上有一个李群g 作用，对于e 的一个子流形m ，试找出m 在g 作用下的微分不 变量，并考虑在找到多少个如此的不变量之后，我们能判断两个已知子流形彼此 间是否只差一个g 中的变换。对上述这样的问题，嘉当首先阐明m 上的活动标架 就是e 中子流形m 的密切元素，而后根据这样的标架集合给出推广的规则算法。 这就是嘉当的活动标架法。当然这个方法可以自然延伸到别的场合，例如摆脱e 的 流形m 之情形。活动标架法中有强烈的李群背景，这表现在活动标架集合上有李 群作用，并且这个李群在“规则算法”中起着主导的作用。正因为有李群的干预， 活动标架法处理几何问题时显得异常简捷，自然，并且把f 克莱茵( k l e i n ) 的埃朗 根纲领( e r l a n g e np r o g r a m ) 或多或少地贯彻到微分几何中来。 1 2 本文的主要内容、研究目的和意义 评价数学在当代的作用的最好方法是与它以前的发展阶段作比较。只不过在 一2 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 近三个世纪前，数学思想的主要结构是由几何学提供的，几何学则是继承自古人， 直到2 0 世纪中期，也只不过稍有补充。然后，数学有了根本的迅速的变化。大约 在1 3 5 0 年，法国主教n i c o l eo r e s m e 提出直线的曲率为零，半径为，的圆的曲率为 形追寻j k e p l e r , r d e s c a r t e s 和l c h u y g e n s 的早期工作，在1 6 7 1 年i n e w t o n 幂l j m 圆的切线和其邻域内与其正交的法线，成功的定义和计算了平面曲线每一点上的 曲率筮在这一课题上第一个主要贡献者当数l e u l e r 1 7 3 6 年e u l e r 弓l 进了弧长和 曲率半径，开始了微分几何子流形内蕴量的研究。关于空间曲线，gm o n g e 在1 7 7 0 年得到了空间曲线曲率的表达式。而挠率的表达式最先由m a l a n c r e t 在1 8 0 6 年得 到。a l c a u c h y , f f r e n e t 和j a s e r r e t 的工作导致了著名的f r e n e t s e n e t 标架，由 此给出了曲线连续的导数。曲线连续性的基本理论由l s va o u s t 于1 8 7 6 年证吲2 ， 引。c f g a u s s 弓l 进曲面几何概念建立了曲面理论。从这时开始，几何在数学中占 据了坚实的地位。 在研究曲线论时，通常要借助活动标架。通过适当的选取活动标架，可以获 得曲线的重要性质4 5 1 。f r e n e t 标架场缸，y 就是其中最常用的一个，通过对其关 于曲线的弧长参数求导，我们得到了著名的f r e n e t s e r r e t 公式 f 譬。 舻， = 一煅+ 可， i 夕= 一垆 其中的r 和f 即为曲线的曲率和挠率【6 】。 考虑单位球面曲线，由于其位置向量是单位向量，所以可以在其位置向量的 基础上构造球面标架场访，万，歹 那么，对于单位球面曲线而言，可以讨论两类特 殊的标架场，它们分别是f r e n e t 标架场和球面标架场【7 ，8 1 。 另一方面，任一刚体运动对应个即时转速矢【9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 1 。因此，对于单位球面 曲线，其f r e n e t 标架场和球面标架场分别对应一个达布向量。除了讨论两类特殊 标架场之间的关系外，我们还关心这两个达布向量是否存在某种特殊的关系。进 一步地，讨论任一空问曲线各类标架场所对应的达布向量。 通过计算，我们首先得到了任一单位球面曲线的f r e n e t 标架场和球面标架场 的关系式以及分别以f r e n e t 标架场和球面标架场所对应的达布向量为位置向量的 曲线的性质。然后，我们考虑三维欧氏空间中的任一空间曲线，研究了以其单位 - 3 - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 切向量场为口所构造的一族标架场扛，厂 所对应的达布向量生成的曲面孬( s ，t ) 的性质。通过计算，得到此曲面是直纹面，并给出了它的g a u s s 曲率以及平均曲 率的表达式。最后，我们研究了当原曲线，是特殊曲线时，曲面西( j ，t ) 的性质如何， 以及当生成曲面壶( s ，t ) 是特殊曲面时，所对应的原曲线，具有什么特殊性质。 一4 一 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1 e 3 中曲线的基本概念 面。任取口，e 3 ，设口= k ，x 2 ，x 3 ) ，= 。，y 2 ，y 3 ) ，其中x i , 乃r ，i = 1 ，2 ，3 州= i x 2 圳芰挑珊 注意任取厂= z 。，z ：，z ，) ，则e 3 中的混合积定义如下 b ，7 ，= 苣蒌萎1 想。混合积口y 表示了定向为p ，7 ) 的平行六面体的定向体积。 考虑一个单位速度曲线，：，一e 3 ，5 是其弧长参数s j ，其中，= g ，6 ) 是一 单位切向量场。对于某些s 有可能存在压g ) = 0 ，但是，我们对此种情况不予研究。 然后，我们引入唯的单位向量场和函数茁，其中誓 0 ，使得西= 矽我们称盘 一5 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 是曲率向量场，是主法向量场，茁是，的曲率。由于口是单位向量场，所以垂 直于口副法向量场由公式7 = t 2 定义。r 是垂 r g a 和的单位向量场。挠率 f 由等式户= 一够定义。在e 3 中，我们称挠率不恒为零的曲线为挠曲线。两两正交 的单位向量场口，厂称为曲线r 的弗雷内( f 商e t ) 标架场，著名的f r e n e t - s e r r e t 公 睁 亿， 空间曲线，- 在一点的密切圆( 曲率圆) 是 过曲线，上一点p ( s ) 的主法线的正侧取线段 11 p c ，使p c 的长为二以c 为圆心，以二为 ck 半径在密切平面上确定一个圆。这个圆称为 曲线r 在p ( j ) 点的密切圆( 曲率圆) ，曲率圆 的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲 率半径。如图2 1 所示。 图2 1 f i g 2 1 定理2 1 1 ( 空间曲线基本定理)给出闭区间- 。，j 。】上的两个连续函数 g ) o ，甲g ) ，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，使得参数j 是 曲线的自然参数，并且g 舯甲g ) 分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程 为r = g ) ，f = 甲g ) 定义2 1 3 如果两条空间曲线的点之间建立这样的一一对应关系，使得在对 应点的主法线相互重合，则这两条曲线都称为b e r t r a n d 曲线，而每一条都称为另一 条的侣线。 定理2 1 2 一条空间曲线是b e r t r a n d i 拄i 线的充要条件是它的曲率与挠率满足 名r + , u r = l ，其中允，为常数，且五0 ( 2 2 ) 定义2 1 4 如果两条空间曲线，和f 的点之间建立这样的一一对应关系，使得 在对应点上，的主法线与尹的副法线重合，则称厂为m a n n h e i m 曲线，尹为r 的 6 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 m a n n l a e i m 侣线。 定理2 1 3 t 1 3 】条空间曲线是m a 衄h e i m 曲线的充要条件是其曲率和挠率满 足 r = 彳k 2 + r 2 l 其中五0 ( 2 3 ) 对于曲线厂上的每一点，由缸， 矗，7 和护，y ) 张成的平面分别称为密切平 面，从切平面和法平面。在e 3 中，若曲线的位置向量总位于其密切平面上，则曲 线为平面曲线；若曲线的位置向量总位于其法平面上，则曲线为球面曲线。若曲 线的位置向量总位于其从切平面上，则曲线为从切曲纠14 1 。 2 。2 基本公式在运动学里的意义 定义2 2 1设一个刚体绕口轴转动，其角速度为缈则转速矢q 是口轴上的 一个向量，其长等于缈其正向则是这样：当我们沿着与q 相反的方向看时，刚体 里不在口轴上的点都沿着逆时针的方向转动。 引理2 2 1 设一个刚体绕一轴转动，其转速矢为q 若p 为从轴上一定点4 到 刚体上任意一点q 的向量，则q 点的速度矢 害：qm ( 2 4 ) d t 一 、 。 其中f 表示时间。 证明 设d 为由q 点到转动轴的距离，0 为p 与q 的夹角，则q 点在圆周上的 速度 阱c a d 制舾吲q 叫 ( 2 5 ) 从我们对于q 的正向的规定，可见华和q p 的正向也相同。 口 口f 引理2 2 2 e 1 5 1 设一个刚体里有一点彳固定，则在刚体运动时，每个时刻都有 一条即时转动轴以及一个即时转速矢q 若e i o ) ( f = l ，2 ，3 ) 为以彳为始点的三个彼 此垂直的单位向量，它们依着于刚体而运动，并且 i d e i = 参引，2 ，3 ) ， ( 2 6 ) 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 口口+ 口= o ， 现在，我们考察，当一点p 在曲线上移动时，曲线在p 点的标架 p ；口，厂) 的 查：1 = 一= 口 d td s 所确定。至于标架 尸；口，y 绕p 点转动的规律，则和具有固定顶点a 的标架 臼；q ，p ：，p ，) 相同。我们称曲线标架场的即时转速矢为达布( d a r b o u x ，1 8 8 7 ) 向量。 引用引理2 2 2 的结果，把关系式( 2 6 ) 和公式( 2 1 ) 比较，即得口2 3 = f ，口3 。= o ，q 2 = k ， 于是曲线f r e i l e t 标架场扛，y ) 的达布向量 废耋菇 亿8 ， 【户= q 。7 ， 其中q 。就是曲线f r e i l e t 标架场扛，y ) 的达布向量。 2 3e 3 中曲面的基本概念 给出曲面s ，= ，0 ，y ) 10 ，v ) eg ( 2 9 ) 其中g 是平面上一初等区域。这里我们要求，至少具有四阶的连续偏导数。本文考 虑曲面的正常点，即0 一8 一 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 给出曲面s 上曲线， ，；，l 似比) 】 对于曲线力芎 d rd ud v 瓦5 吒瓦+ 面 若以j 表示曲面上曲线的弧长，则 d s 2 = d r 2 = ( r 。d u + 咖) 2 = r2 d u 2 + 2 气如咖+ 0 2 d v 2 ( 2 1 0 ) 令 e = 乞吒，f = 乞，g = 0 ， ( 2 1 1 ) 则有 d s 2 = e d u 2 + 2 凡玩咖+ g d v 2 ( 2 1 2 ) 这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长。设曲线，上两点a ( t 。) ，b o 。l 则弧 长为 s ：f f l 尘折：f f i j f od ti t 。 ( 2 1 3 ) 定义2 3 1曲面s 的第一基本形式，用i 表示 i = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ，( 2 1 4 ) 它的系数 e = 屹，f = 吒0 ， g = 称为曲面s 的第一类基本量。 曲面s 上一个区域d 的面积 仃的面积= m e g - f 2 d u d v ( 2 1 5 ) m 这里的区域m 是曲面域d 相对应的0 ，y ) 平面上的区域。 仅由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性 质。以上定义的曲面上曲线的弧长，曲面域的面积都是曲面的内蕴量【1 6 ，1 7 1 。 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 设n 为曲面s 的单位法向量场，则 肛1 筠 ( 2 1 6 ) 定义2 3 2 曲面s 的第二基本形式，用i i 表示 i i = n d 2 ，= l d u 2 + 2 m d u d v + 舭2 ，( 2 1 7 ) 它的系数 l = 甩，f = ，l ，g = 拧 称为曲面s 的第二类基本量。 曲面的第二基本形式刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空 间中的弯曲性。 给出曲面s 上一点p 和p 点处一方向p ) = d u ：d v ，于是0 ) 和曲面的单位法向 量”所确定的平面称为曲面在p 点的沿方向p ) 的法截面，这法截面和曲面s 的交 线称为曲面在尸点的沿方向( d ) 的法截线。设方向p ) = d u ：d v 所确定的法截线在p 点的曲率为 定义2 3 3曲面在给定点沿一方向的法曲率k 为 f + ，法截线向，l 的正侧弯曲， b 2 1 一，法截线向以的反侧弯曲 则 i i幽2 + 2 m d u d v + n d v 2 ( 2 1 8 ) 曲面上一点尸的两个方向，如果它们既正交又共轭，则称为曲面在p 点的主 方向。 定理2 3 1 ( r o d r i g u e s 定理) 如果方向p ) = d u ：d v 是主方向，则 d n = 2 d r ，( 2 1 9 ) 其中兄= 一k ，k n 是曲面沿方向p ) 的法曲率。 一l o 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 反之，如果对于方向0 ) 有 d n = 2 d r ， 则p ) 是主方向，且旯= - - c 。，b 是曲面沿方向p ) 的法曲率。 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率。 设k 1 、岛为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积k i k ：称为曲面在这一点 的g u a s s 曲率，通常以k 表示。它们的平均数妻( 髟。+ ) 称为曲面在这一点的平均 曲率，通常以h 表示。则 胙骗= 苗等， ( 2 2 。， 日= 吉。t + k z ) = 兰拼 ( 2 2 ) 定义2 3 4曲线厂在p 点的曲率向量，= 舻在占= 捍口上的投影( 也就是在曲 面s 上尸点的切平面上的投影) k = ，。占= 矽。g ， ( 2 2 2 ) 称为曲线，在p 点的测地曲率。 命题2 3 1 r 2 = r ；+ ( 2 2 3 ) 给出测地曲率的几何意义。 命题2 3 2 曲面s 上的曲线 它在p 点的测地曲率的绝对值等于，在p 点的 切平面上的正投影曲线，的曲率。 k g = k k ，p ，由 = u 1 ； a 引u ( a 矿2 u 2 + 否巧警警 - - d u 2 ( d 矿2 u 1 + i , jn 型d s 丝d $ ) ， 其中s 是曲线，的弧长参数。以上是测地曲率的一般计算公式。 定义2 3 5曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称为 测地线。 定义2 3 6 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直纹面的直 母线。 东北大学硕士学位论文 笫2 章预备知识 直纹面上取一条曲线( c ) ，它的参数表示是 a = 口0 ) 曲线( c ) 和所有直母线相交，即过曲线( c ) 的每一点“= “。，有一直母线，曲线( c ) 称 为直纹面的导线。 设6 0 ) 是过导线p ) 上口0 ) 点的直母线上的单位向量。导线( c ) 上口0 ) 点到直母线 上任一点p ( u ，v ) 的距离为1 ，则直纹面的位置向量可以表示成 ，= 口0 ) + v 6 0 ) ， 这就是直纹面的参数表示。 直纹面r = 口0 ) + 仿g ) 上腰曲线的位置向量表达式为 ( 2 2 4 ) ”帮荆 ( 2 2 5 ) 腰曲线的几何意义是它沿直纹面的狭窄部位“围绕着”这直纹面。 可展曲面是直纹面的一种重要类型，沿着它的每一条直母线只有一个切平面。 定理2 3 2 直纹面，= 4 0 + v 6 0 ) 为可展曲面的充分必要条件是 ( 口，b ，6 ) = 0 ( 2 2 6 ) 定理2 3 3 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的g a u s s 曲率恒等于零。 命题2 3 3 每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。 定理2 3 4 ( 曲面论的基本定理) 设 2 i = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 = g d u d u ， f ，= l 2 i i ：三幽2 + 2 m d u d v + n d r 2 = y l 。d u d u j - 一v i , j = l 是给定的两个二次形式，其中i 是正定的。若i 和i i 的系数g 驴和l f 对称且满足 1 0g a u s s 公式 r 。独= l o l 所 + 三玻三耐， 一1 2 一 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 2 0 科达齐一迈因纳尔迪公式 熹亟= i o u ji ( r 袅岛一1 1 胁 锄 厶腩。口f ， 则除了空间中的位置差别外，唯一地存在个曲面，以i 和1 1 分别为此曲面的第一 和第二基本形式。 1 3 东北大学硕士学位论文第3 章单位球面曲线的达布向量 第3 章单位球面曲线的达布向量 3 1 单位球面曲线的f r e n e t 标架场和球面标架场的关系式 考虑曲线厂：，一e 3 为单位球面曲线，即 ( v ) = 1 令歹= ，厉= 户，定义单位主法向量场歹= 歹万我们把两两正交的单位向量场 万，万，尹称为曲线，的球面标架场。根据定义，有 覆p = k g ， 其中k 表示曲线，的测地曲率。 再由 亩证j l 忑d ( i = o ， 以及 得 进一步地，由定义可知 疠歹：i 铲( 1 7 1 2 1 一历i i 2 ：o l 口72 互。 广口2 o 一1 = 一1 ， 覆= ，c g p 一予 方= i d 杪万) = 声万+ 夕a = 万万+ 歹k 万一罗) = k 尹万 劣 。 一 = k g 口 综上所述，我们得到球面f r e n e t 公式 万= r g 一歹， = 一r g 万， y = 口 ( 3 1 ) 令曲线，的球面标架场每，万，歹) 的达布向量为壳，根据引理2 2 2 及相关定义， 1 5 一 东北大学硕士学位论文第3 章单位球面曲线的达布向量 则 上述公式其实就是 q = p + k g 予， 考虑曲线r 的f r e n c t 标架场 口，) ，则有 睁 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 令曲线，的f r e n e t 标架场k ，y ) 的达布向量为q 。，根据引理2 2 2 及相关定 义，则 上述公式其实就是 q o = z t ：z + r t , 注意 由以上的定义可知，两个标架场每，歹，歹 与缸，y ) 中口= 厉 ( 3 4 ) 定理3 1 1令曲线，：，一e 3 为单位球面曲线。用缸，7 和每，万，尹 分别表 示曲线，的f r e n e t 标架场和球面标架场，则 阡 lo o 生 r 0 k 广g f ( 3 f o 1 r k g i ( g r 3 - 其中c , f 和k 分别表示曲线，的曲率，挠率和测地曲率。 ( 3 5 ) i g q l 令曲线厂：j 专e 3 为单位球面曲线。由曲线，的f r e n e t 标架场k ，厂 与 球面标架场扛，万，歹 定义，则 口= 口 一1 6 一 ( 3 6 ) 万一一 一c = 一c = 一c = = = = i口1二y 厉 o o o c = c ：c = = = = 口y 、，kr一、 万一一y 、b00000凡厂 t 东北大学硕士学位论文 第3 章单位球面曲线的达布向量 对( 3 6 ) 式关于弧长参数s 求导并应用f r e n e t s e 玎e t 公式( 3 3 ) 和球面f r e n e t 公式( 3 1 ) ， 得 整理得， 再由夕= 一煅+ 可，得 k p = c g p 一予 8 ：蔓零一矿 kk y ：! o c + 参 = 车a s 隆专 ， = 一口+ 一一i2 一一，i ff r r 由于曲线，是单位球面曲线，所以其法曲率 由于k 2 = k 2 + b 2 ，所以 经计算可得 所以 罢睁一井竽 i r n = 一1 k2 歹+ 鲁h 万) 毒歹一去万 一k g x g ks 唯2 + 1 k 2 + l 万+ 兰g k 2 + 声 ：一话夏+ i c 弋gp 七n g i k - g ? _ ? 。 ，( 。x 万一生历+ b 一- 一五 r 西七蕊kgkgkg 予 b 弋。 2 + l f y = * 腼专万一等引 y = 一口+ 一i 船口+ 一三了已l t f k j k ) ：_ k g + k r g g 尹 k 。k t 1 7 一 x g k g k 9 2 + 1 一 l y 一一q 茁 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 东北大学硕士学位论文第3 章单位球面曲线的达布向量 设臼是从到万的有向角，如图3 1 所示。罗 瑟0 黛 ， 所以，有 一k g ：华：c o s 0 ， 一= 一= kk 。t ! ：辜：s i n 0 s 1 n - 一= 一= kk t 根据垒= c o s 秒，可知 r 再由k r g ：s i n 0 ，得 誓。f r = c s c 秒 口( 四) k g = r c o s o = c s c o c o s o = c o t 口 r ：毒l ：二娶旦：一矽 s i n 0c s c 0 s i n 0 图3 1 f i g 3 1 推论3 1 1 令曲线，：j 专e 3 为单位球面曲线。用p ，7 ) 和每，万，歹 分别表 示曲线r 的f r e n e t 标架场和球面标架场，则曲线厂的曲率茁，挠率f 和测地曲率唯 满足 其中汐为当逆着口的正向看时，从到万的有向角。 一1 8 一 ( 3 1 0 ) 秒以， t 、，6 澉 叫茹川 k r f ，、l 东北大学硕士学位论文笫3 章单位球面曲线的达布向量 3 2 单位球面曲线的f r e n e t 标架场和球面标架场各自所对应 的达布向量 以下我们考虑曲线，的f r e n e t 标架场和球面标架场各自所对应的达布向量q 。 和西 首先，我们计算分别以q 。和i i i 为位置向量的曲线的性质。令两个达布向量 孬= 歹+ 歹和q o = 缎+ 缈的弧长参数分别为j l 和s 2 对西关于弧长参数j 。求导，得 痖匝凼 口= = 一一 1 凼l西出i = h 万+ t 歹+ 万) 嘉 2 k 厂石 由于 吲蚓= k 斟 可得 出1 石d s 2 冈 。k i 。 此时，我们取量是s 的单增函数。 所以 口。= s g l l ( t ) 万 ( 3 1 1 ) 赢用公式 得 届= 斟d s l 1 9 东北大学硕士学位论文 第3 章单位球面曲线的达布向量 届= s 印( 砖) 历， ( 3 1 2 ) k = 雠d s , i 冈1 ( 3 ) 由乃= 口l 届，以及公式( 3 1 1 ) 和公式( 3 1 2 ) ，口- i # t 厂l = 歹万= ( 3 1 4 ) 对上式关于弧长参数j 。求导，得 1 届一k 嗜， ( 3 1 5 ) 把公式( 3 1 2 ) 代入公式( 3 1 5 ) ，得 铲9 1 1 ( 吱) 峰南 n 峋 ：垒 文g 定理3 2 1 令曲线r ：，专e 3 为单位球面曲线。用扛，万，歹) 表示曲线，的球面 标架场。用孬表示曲线，的球面标架场的达布向量，则曲线孬：，一e 3 的曲率一和 挠率f ，满足 k ： ，铲拿， ( 3 1 7 ) 铲冈一2 莓 p j 其中唯表示瞌线，的测地曲率。 利用曲线西：，专e 3 曲率一，挠率f l 的公式( 3 1 7 ) ，进一步考虑，当曲线 孬：i 专e 3 为特殊曲线时，所对应的原曲线厂：i 斗e 3 应满足什么性质。具体结论 如下： 定理3 2 2 令曲线，：i e 3 为单位球面曲线。用豆表示曲线，的球面标架场 的达布向量，则曲线孬：i - - ) e 3 是b e r t r a n d 曲线的充要条件是曲线，的测地曲率 k g ) 为下列两种形式之一： ( 1 ) 关于曲线厂的弧长参数s 的线性函数； 东北大学硕士学位论文第3 章单位球面曲线的达布向量 ( 2 ) 函数e 甜- b ，其中a 和b 均为常数，j | a b 0 证明必要性。 设孬：，一e 3 是b e r t r a n d 曲线。则曲线五：j 专e 3 的曲率确和挠率_ r l 满足 名一+ r 1 = 1 ， ( 3 1 8 ) 其中五和为常数，且五0 ( 1 ) 当z = 0 时，得 k l 2 c o n s t a n t 0 利用公式( 3 1 7 ) ，可知曲线，的测地曲率唯g ) 是线性函数。 ( 2 ) 当0 时，根据公式( 3 1 7 ) 和公式( 3 18 ) ，得 力褂盼 解上式得 t o g = e ， + c - 筹， b 聊 n 中e = s g n ( e , ) nc 是常数。通过适当的参数变换，曲线，的测地曲率唯g ) 由( 2 ) 给定。 充分性。 设，：，e 3 是空间曲线，且它测地曲率r g g ) 是关于曲线弧长参数s 的线性函 数。根据公式( 3 1 7 ) ，可知曲线孬：，一e 3 的曲率一= c o n s t a n t 0 所以曲线孬是 b e r t r a n d 曲线。 然后，我们考虑空间曲线，：，专e 3 ，它的测地曲率k g g ) = p 船- b ，其中以和6 均为常数，上t a b 0 根据公式( 3 1 7 ) n - j 知，存在常数名= e a b ( 其中占= s g n ( e , ) ) ， = a ，使得曲线孬：，一e 3 的曲率一和挠率f 。满足 力r i + = 1 ( 3 2 0 ) 一2 1 东北大学硕士学位论文 第3 章单位球面曲线的达布向量 因此，曲线五是b e r t r a n d 曲线。证毕。 类似地，我们可得如下的结论： 定理3 2 3 令曲线，：i 专e 3 为单位球面曲线。用孬表示曲线，的球面标架场 的达布向量，则曲线孬：i _ e 3 是m a n n h e i m 曲线的充要条件是曲线厂的测地曲率 k g ) 可表示为 唯2t a n a s ， 其中a 是一个非零常数。 对q 。= 缎+ 影关于弧长参数j 2 求导，得 由于 可得 ，抛。饱。凼 口，= _ 二= _ 二 l d s ，d sd s 、 = g 研+ 盯锣+ 匆一k 妒) j 冬 c l s ， = 陋+ 彬瓦d s a s ， 1 1 _ l 叫( 缸刊刊， 此时，我们取j ：是s 的单增函数。 所以 对口：关于弧长参数j ：求导，得 其中 d sl 一= ；= = = = = = = = d s 20 t 2 + 亡2 f 口+ k y 2 蔗t 2 + 文z 等= k 老) 2 + f 筹卜c 衙+ 打任卜+ 去) 2 + 玺卜 2 2 - ( 3 2 1 ) 东北大学硕士学位论文第3 章单位球面曲线的达布向量 心2 筹=鱼ds2dsd s 丢 一= = 一l l 2 2幽l 、凼2j 它话+ f 营 = ： - 2 + 矿2 _ ) 2 = f ( 麦) 2 + f 象 2 + c 灯打户( 妄) 4 + 兹( 去) 2 + 圣! & 堕2 2 j 2 j ：j ! 竺二堂2 ! ! 二竺! ：( ! ：! ：! i 2 2 1 下习广 对口：关于弧长参数j ：求二阶导，得 利用公式 以及 象= k 去) 3 _ r 一打) ( 妄) 3 + 3 f 妄筹+ 毒 口 + 卜鼢渤嘶一打) a sd 2 s + f 一打) ( 妄) 3 + f ( 去) 3 + 3 七妄筹+ 膏剖厂 经计算和整理，可得 f 2 卜刳2 = 2 ， 吃= 坚迎篙蒜篙甓产 2 ( 衙衙) 2 + ( 灯一衙) 2 ( 十于2 ) 定理3 2 4 令曲线，：，哼e 3 为单位球面曲线。用缸，y 表示曲线，的f r e n e t - 2 3 - 堕笙玎篓噜 东北大学硕士学位论文 第3 章单位球面曲线的达布向量 标架场。用q 。表示曲线，的球面标架场的达布向量，则曲线q 。：，专e 3 的曲率屹和 挠率f ：满足 砭= 堂一 b 2 2 ， 铲广下丽卜一， p 2 劭 乞= 坚坐喾篇篙器产， 2 ( 时一衙) 2 + ( 衙一打) 2 ( + 于2 ) 。 、 。 其中r ，f 和唯分别表示曲线厂的曲率，挠率和测地曲率。 考虑两个达布向量磊= 万+ k 歹和q 。= 倒+ 缈的关系。由于 所以 再由公式( 3 1 2 ) ，可得 y ，c g = 2 百一p 茁。f = 去 七。一 = q ， k f + 竺歹 k 3 f + 七9 7 ) q 。= 厩+ 誓再k g s z ：。k g 孬- 4 i - 面 = 一1 2 订z k 2 f 。 q 。= 去磊+ s 印( 砖) 孵 定理3 2 5 令曲线，：，一e 3 为单位球面曲线。用缸，y ) 和扛，歹，歹) 分别表 示曲线，的f r e n e t 标架场和球面标架场。用q 。和五分别表示曲线，一的f r e n e t 标架 场和球面标架场各自所对应的达布向量，则 q 。= 西+