（基础数学专业论文）自守l函数的一些解析结果.pdf

硝， o 1i1i 9 ， ，11：1l】、】r 0ii j 删 y 1 7 9 4 3 甘j c j i 。 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日期：互旦垫蚴 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和 汇编本学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 础：冶号翩巍：峰瑶期逊慨7 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t e n g l i s ha b s t r a c t n o t a t i o n s 1i n t r o d u c t i o na n ds t a t e m e n to fr e s u l t s i v i i x i i 1 2l o w e rb o u n d sf o rm o m e n t so fa u t o m o r p h i cl f u n c t i o n so v e rs h o r t i n t e r v a l s7 2 1i n t r o d u c t i o n 7 2 2 a u t o m o r p h i cl f u n c t i o n sa n ds o m el e m m a s 9 2 3 p r o o fo ft h e o r e m2 1 1 1 3m o m e n t so fl - f u n c t i o n sa t t a c h e dt ot h et w i s to fm o d u l a rf o r mb y d i r i c h l e tc h a r a c t e r s1 4 3 1i n t r o d u c t i o na n dr e s u l t s 1 4 3 2t h en e c e s s a r yl e m m a s 1 6 3 3p r o o fo ft h et h e o r e m3 1 2 8 4p r i m en u m b e rt h e o r e m sf o rr a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n so v e rh u m - b e rf i e l d s3 0 4 1i n t r o d u c t i o n 3 0 4 2 r a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n s 3 4 4 3p r o o fo ft h e o r e m4 13 7 4 4p r o o fo ft h e o r e m4 2 ：4 3 b i b l i o g r a p h y a c k n o w l e d g e m e n t s p u b l i c a t i o n s 4 7 l 5 1 5 2 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 自守己一函数的一些解析结果 纪广华 ( 山东大学数学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 定义 郇) ：主警 为一般的l 一函数，其中s = 仃+ i t 是一复变量在解析数论中，一个重要的问题是 估计积分和式 厶( 盯，丁) = l lp + i ) i 驰d t( o 1 ) 其中盯 ，k 是任一固定正实数对于一般的高阶的l 一函数，在中心线盯= ；上 或附近得到一个渐进估计是非常难的特别地，关于黎曼z e t a - 函数( ( s ) 的积分和 式( o 1 ) 的研究有一个很长的历史，详见i v i c 【1 1 和t i t c h m a r s h 【4 1 令7 r 为一定义在g l m ( a q ) 上具有单中心特征的不可约尖自守酉表示定义关 于7 r 的标准自守l 函数为 l ( 叩) ：妻型n s ，口 1 详见g o d e m e n t 和j a c q u e t 【7 】 关于标准自守l 函数，我们证明了其积分中值在小区间上的一个下界估计我 们主要定理之一如下所述 定理2 1 令丌为一定义在g l m ( a q ) 上具有单中心特征的不可约尖自守酉表示k 为任一固定正实数则对仃一致地有 i lp + i t , 7 r ) i 知d t h 其中丁2t o ，t o 充分大，盯21 2 ，t h l 0 9 1 机t ，以及任意小e 0 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 注记：对于黎曼z e t a - 嗽( s ) 的l i n d e l o f 猜想， ( ( 扣) ( 1 堋i ， 其等价于，对任意的正整数k ，任意的盯 1 2 ，当tj o 。时有 t 州驯2 一睡辔卜 该等价关系能够一般地推广到自守l 一函数l ( s ，7 r ) 上因此，当盯 1 2 时，在定 理2 1 中我们得到了最好的可能的下界估计 令，( z ) 为定义在全模群s l 2 ( z ) 上的一权为k 全纯的尖形式令l ( s ，f ) 为关 于，( z ) 的自守l 函数和x 为一模为gi 拘d i r i c h l e t 特征当盯 1 时，自守l 一函 数l ( s ，fox ) 定义为 ，。，、 1 时，我们有 g ( s ) ：= 一罢l 。g l ( s ，7 r b c 亓) ：手坐堕曼垒量：哆 一t , 5 n = 1 其中 对于和式 咖( n ) 2 0 i 1 - 1o口们小)瓦南萌q(礼)_j_q-i 一一 v 。，v a ( n ) a , x x b c m r t n x( 妒n x0 i 1 - 1 。量1 帅螂甜咖蕊畸( 扎) ( 0 5 )0 0 r e m a r k s ：f o rl i n d e l o fh y p o t h e s i so fr i e m a n nz e t a - f u n c t i o n ( ( s ) ， ( ( 扣) c 1 圳 i se q u i v a l e n tt o ，f o ra n yi n t e g e r 尼a n da n y 口 1 2 ti ( a + i t 汗一睡辔) t a st o 。i tc a l lb eg e n e r a l i z e dt oa u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n sl ( s ，7 r ) t h e r e f o r e ， w eg e tt h eb e s tp o s s i b l el o w e rb o u n df o r 盯 1 2i nt h e o r e m2 1 l e t ( z ) b eah o l o m o r p h i cc u s pf o r mo fw e i g h tkw i t hr e s p e c tt ot h ef u l l m o d u l a rg r o u ps l 2 ( z ) l e tl ( s ，) b et h ea u t o m o r p h i cl f u n c t i o na s s o c i a t e d w i t h ( z ) a n dl e txb ead i r i c h l e tc h a r a c t e rm o d u l oq f o r 盯 1 t h ea u t o m o r p h i c l f u n c t i o n sl ( s ，ox ) a r ed e f i n e db y l ( s ，ox ) = n = 1 f o ra n yp o s i t i v er e a ln u m b e rk ，w ed e f i n e a ，( 咒) x ( 扎) 一 u s 岫= 舯x ) j x ( m o d q ) 、， f o rt h ec a s eo fd i r i c h l e tl - f u n c t i o n sl ( s ，x ) ，h e a t h - b r o w n 【1 0 】c o n s i d e r e dt h e u p p e rb o u n do f 。 眦，- - e 陷x ) r x (m o d q ) 、7。 i i - s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n m o t i v a t e db yh e a t h - b r o w n sw o r k 9 1 ，w h i c hi sb a s e do nac o n v e x i t yt h e o r e mf o r m e a n - v a l u ei n t e g r a l s f o ro u rc a s e ，w ef o l l o wt h ea r g u m e n to f 【1 0 】a n dg e tt h e f o l l o w i n gt h er e s u l t s t h e o r e m3 1 f o r0 1 w eh a v e ( 1 一半) 争一卜薹 a ( n ) a 。膏，( n ) n s s e e 4 2 ，f o rt h ed e t a i l e dd e f i n i t i o no fo 霄膏，m ) b yt h ep r i m en u m b e rt h e o r e mf o r r a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n sl ( s ，7 r 亓7 ) ，w em e a nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h e s u m a ( 扎) n 椭( 佗) n z t h ep r i m en u m b e rt h e o r e mf o rr a n k i n s e l b e r gl f u n c t i o n sw i t h7 ra n d 7 r 7b e i n g c l a s s i c a lh o l o m o r p h i cc u s pf o r m sh a sb e e ns t u d i e db ys e v e r a la u t h o r s r e c e n t l y , l i ua n dy ef 2 4 1c o m p u t e dar e v i s e dv e r s i o no fp e r r o n sf o r m u l a u s i n gt h en e w p e r r o n sf o r m u l a ，t h ea u t h o r sp r o v e du n c o n d i t i o n a l l yt h ep r i m en u m b e rt h e o r e mf o r r a n k i n - s e l b e r gl f u n c t i o n so v e rq ，w i t h o u ta s s u m i n gt h eg e n e r a l i z e dr a m a n u j a n c o n j e c t u r e f o l l o w i n gt h em e t h o di n 【2 4 ，w eo b t a i nt h ep r i m en u m b e rt h e o r e m f o rt h er a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n sd e f i n e do v e ran u m b e rf i e l de i x 、s 汹 m 同 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t h e o r e m4 1 l e teb eg a l o 拈e x t e n s i o no fq o fd e g r e e 粤l e t 丌a n d 丌76 ei 仃e d u c i b l eu n i t a r yc u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n so fg l m ( a e ) a n dg l m ，( a e ) ，r e s p e c t i v e l y a s s u m et h a ta tl e a s to n eo f7 ra n d7 r 7i ss e l f - c o n t r a g r e d i e n t t h e n a ( n ) 亓和) n z f 蔫+ e x p ( 一c 瓜) ) ：j 矿7 r 7 鲁7 r id e tf 打。f o r8 0 m e7 - o r ； io = e x p ( - co 川- 画) i 矿7 r 笋7 r jd e tj n 如ra n yt r l e teb eac y c l i cg a l o i se x t e n s i o no fqo fd e g r e e l e t7 rb ea l li r r e d u c i b l e c u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o no fg l m ( a e ) w i t ht h eu n i t a r yc e n t r a lc h a r a c t e r s u p p o s e t h a t7 ri ss t a b l eu n d e rt h ea c t i o no fg a l ( e q ) t h a n k st oa r t h u ra n d c l o z e l 【1 】，丌 i st h eb a s ec h a n g el i f to fe x a c t l y n o n e q u i v a l e n tc u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n s 丌q ，丌q 圆t e q ，丌qo 喝b o fc l , , , ( a q ) ，w h e r et e qi st h en o n t r i v i a lc h a r a c t e ro f k q a t t a c h e dt ot h ef i e l d e x t e n s i o nea c c o r d i n gt oc l a s sf i e l dt h e o r y b yl a n g l a n d s 【1 9 ，w eg e t7 ri sa n i s o b a r i cs u mo f7 r q ，丌q 圆轮q ，丌qo 枥b ，w h i c hm e a n st h a t ， 7 r 。丌q 田( 丌qo r l e o ) 田田( o t - q 1 ) ( 0 2 ) s i m i l a r l y , l e tf b eac y c l i cg a l o i se x t e n s i o no fq o fd e g r e eq l e t7 r b ea n i r r e d u c i b l ec u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o no fg l m ，( a f ) w i t ht h eu m t a r yc e n t r a lc h a r a c t e r a n ds u p p o s et h a t7 r 7i ss t a b l eu n d e rt h ea c t i o no fg a l ( f q ) w ea l s oh a v ea n i s o b a r i cs u m 7 r = 7 选田( 7 逸 妒州q ) 田田( 而圆妒f q - q 1 ) ， ( 0 3 ) w h e r e 喃i sa ni r r e d u c i b l ec u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o no fg l m ，( a 电) a n d 妒f qi st h e n o n t r i v i a lc h a r a c t e ro f k q a t t a c h e dt ot h e f i e l df t h e nw ed e f i n et h er a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o no v e rt h ed i f f e r e n tn u m b e rf i e l d sea n dfb y l ( s ，丌x b c ) = i il ( s ，丌q 。叩刍q 响。屿q ) ，( o 4 ) 0 t 一1 o 1 ， w eh a v e w h e r e j ( s ) ：= 一五dl 。g l ( 8 ，f fx b c 并) n 霄b c 并，( n ) = o i t - io j q - 1。蛔“n ) 丽，q ( 佗) b yap r i m en u m b e rt h e o r e mf o rr a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n sl ( s ，7 rxb c7 r ) o v e r n u m b e rf i e l d sea n df ，w em e a nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es u m a ( n ) 。哟c 。如) = n s z n xo i t - - 10 0 s u c ht h a ti ，( z ) l c g ( x ) f o ra l l z z o ao r0 ao r i n d i c a t e st h a tt h ei m p l i e dc o n s t a n tcd e p e n d so na ；i f t h e r ei sn oi n d i c a t i o n ，i tm e a n st h a tt h ei m p l i e dc o n s t a n tci sa b s o l u t e w es a yf ( x ) g ( x ) w h e nb o t hf ( x ) g ( x ) a n dg ( x ) f ( x ) h o l d ，f ( x ) 一 g ( x ) w h e nl i m ，( z ) 9 ( z ) = 1 ，a n df ( x ) = o ( 9 ( z ) ) w h e nl i mf ( x ) g ( x ) = 0 x i i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n x i v c h a p t e r1 i n t r od u c ti o na n ds ta te m e n to f r e s u l t s l e t 邵，= 霎警 b ea g e n e r a l i z e dl - f u n c t i o nw h e r es = 盯+ i ti sac o m p l e xv a r i a b l e a ni m p o r t a n t p r o b l e mi na n a l y t i cn u m b e rt h e o r yi st oe s t i m a t et h em o m e n t s 厶( 盯，丁) = r i l ( 盯+ i ) 1 2 七d ( 1 1 ) f o r 盯 a n daf i x e dp o s i t i v er e a lk o na n dn e a rt h ec r i t i c a ll i n e 仃= 荟1 ，i ti s s o m e t i m e sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i na na s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h eg e n e r a l i z e dl f u n c t i o n sw i t hh i g hm o m e n t s i np a r t i c u l a r ，i ti sal o n gh i s t o r yf o re s t i m a t i n gt h e i n t e g r a lm o m e n t s ( 1 1 ) f o rr i e m a n nz e t a - f u n c t i o n ( ( s ) ；s e e 1 1 】，【4 1 】f o rd e t a i l e d l e t 丌b ea ni r r e d u c i b l eu n i t a r yc u s p i d a la u t o m o r p h i cr e p r e s e n t a t i o no fg l m ( a q ) a n ds = 盯+ i t c t h e nt h es t a n d a r da u t o m o r p h i cl f u n c t i o n 【7 】a t t a c h e dt o7 r i sg i v e nb ye u l e rp r o d u c t so fl o c a lf a c t o r sf o r 口 1 ， 地丌) = l ( s ，) p 0 r e m a r k s ：f o rl i n d e l o fh y p o t h e s i so fr i e m a n nz e t a - f u n c t i o n ( ( s ) ， e ( 三+ 0 c 1 圳 i se q u i v a l e n tt o ，f o ra n yi n t e g e rka n da n y 盯 1 2 f t i ( ( 仃+ 删2 七出一 ( n ) 、个 i i 1 1 a st _ o o i tc a nb eg e n e r a l i z e dt oa u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n sl ( s ，7 r ) t h e r e f o r e ， w eg e tt h eb e s tp o s s i b l el o w e rb o u n d f o r 盯 1 2i nt h e o r e m2 1 2 _ 学 | l = t l s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n l e t ，( z ) b eah o l o m o r p h i cc u s pf o r mo fw e i g h t ，cw i t hr e s p e c tt ot h ef u l l m o d u l a rg r o u ps l 2 ( z ) l e tl ( s ，f ) b et h e a u t o m o r p h i cl - f u n c t i o na s 8 0 c i a t e dw i t h ，( z ) a n dl e txb ead i r i c h l e tc h a r a c t e rm o d u l oq f o rr e s 1 ，t h ea u t o m o r p h i c l f u n c t i o n sl ( s ，fo x ) a r ed e f i n e db y 。 邵舳肛壹娑攀 n = l 。 f o ra n yp o s i t i v er e a ln u m b e rk ，w ed e f i n e ( 扣卅 ( 1 2 ) f o rt h ec a s eo fd i r i c h l e tl - f u n c t i o n sl ( s ，x ) ，h e a t h b r o w n 【1 0 】c o n s i d e r e dt h e u p p e rb o u n do f = 怆x ) 1 2 岛x ( m o d q ) 、 ，i m o t i v a t e db yh e a t h - b r o w n sw o r k 【9 j ，w h i c hi sb a s e do na c o n v e x i t yt h e o r e mf o r m e a n - v a l u ei n t e g r a l s f o ro u rc a s e ，w ef o l l o wt h ea r g u m e n to f 1 0 】a n dg e tt h e f o l l o w i n gt h er e s u l t s t h e o r e m3 1 f o r0 1 ，s e e 【7 】 l ( s 丌) = l ( s ，) ， w h e r e 己( s ，) = m j = l( 1 一半) ， 3 ( 1 3 ) 端 i i ，g s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n a n dq 霄( ，歹) ，1 j ma r ec o m p l e xn u m b e r sg i v e nb yt h el a n g l a n d sc o i t e - s p o n d e n c e f o rt w oi r r e d u c i b l ea u t o m o r p h i cc u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n s7 ra n d o f g l m ( a e ) a n dg l m ，( a e ) ，r e s p e c t i v e l y , d e n o t et h eu s u a lr a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n b y l ( s ，7 r 亓7 ) = l 。8 ， x 叫7 r v ) u 吲= 里m 婴m t ( 1 一半 f o r 盯 1 w eh a v e 铷仃 ，) = 一 0 0 n = l a ( n ) a 。x 膏，( n ) n 8 ) 一 ( 1 4 ) s e e 4 2 ，f o rt h ed e t a i l e dd e f i n i t i o no f 媚( 礼) b yt h ep r i m en u m b e rt h e o r e mf o r r a n k i n - s e l b e r gl f u n c t i o n sl ( s ，7 rx 并，) w em e a nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h e s u m a ( n ) a 霄x 铲( 佗) n s z ( 1 5 ) t h ep r i m en u m b e rt h e o r e mf o rr a n k i n s e l b e r gl - f u n c t i o n sw i t h 丌a n d7 r 7b e i n g c l a s s i c a lh o l o m o r p h i cc u s pf o r m sh a sb e e ns t u d i e db ys e v e r a la u t h o r s r e c e n t l y , l i ua n dy e 【2 4 】c o m p u t e dar e v i s e dv e r s i o no fp e r r o n sf o r m u l a u s i n gt h en e w p e r r o n sf o r m u l a ，t h ea u t h o r sp r o v e du n c o n d i t i o n a l l yt h ep r i m en u m b e rt h e o r e mf o r r a n k i n s e l b e r gl - f u n c t i o n so v e rq ，w i t h o u ta s s u m i n gt h eg e n e r a l i z e dr a m a n u j a n c o n j e c t u r e f o l l o w i n gt h em e t h o di n 【2 4 ，w eo b t a i nt h ep r i m en u m b e rt h e o r e mo f t h er a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n sd e f i n e do v e ran u m b e rf i e l de t h e o r e m4 1 l e teb eg a l o i se x t e n s i o no qo d e g r e ez l e t7 ra n d7 r 76 ei r r e d u c i b l eu n i t a r yc u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n so fg l m ( a e ) a n d g l m ，( a e ) ，化5 _ p e c i u e 匆 a s s u m et h a ta tl e a s t - o n eo 仉a n d 衣i ss e l f - c o n t r a g r e d i e n t t h e n a ( n ) 并和) t t 1 ， w eh a v e j ( s ) ：= 一忑dl 。g l ( 8 ，7 rx b c 并7 ) o 。 n = l a ( n ) a 。b c 寄，( 几) 矿 w h e r e 耐如) 2 o i t - 1 。量1 口们跏已丽，q ( 吐0 ， 口一 v，v b yap r i m en u m b e rt h e o r e mf o rr a n k i n s e l b e r gl f u n c t i o n sl ( s ，7 rxb c7 r ) o v e r n u m b e rf i e l d sea n df ，w em e a l t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es u m n xm k 慨“垆n x0 i 1 - - 1 。j h 8 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 扣，口f ft t of