（基础数学专业论文）基于多项式实根分离算法的三角化方法及其应用.pdf

基于多项式实根分离算法的三角化 方法及其在微分方程中的应用 基础数学 研究生林素青指导教师陆征一( 教授) 论文摘要：多项式系统的三角化方法在多项式方程组求解和平面多项式系统小扰动 极限环的构造方面发挥着重要作用吴方法是重要的三角化方法之一，即不断施行 伪除将多项式系统化成三角形式本文通过适当修改吴方法，提出带分式的三角化 方法，即对多项式系统不断施行除法，允许商式和余式为分式，余式的分子作为后续 多项式除法的除式或被除式，这在一定程度上限制了去分母可能引起的多项式膨胀 现象，从而有效地减少了计算量 多项式实根分离算法是多项式方程组的求解方法之一该算法根据根绝对值的 上、下界估计，利用r o l e 定理，s t u r m 序列和符号判别法则，以一系列区间形式给山 实解，每一个以有理数为端点的区间正好包含一个实根本文将在第一章引言部分 对多元多项式的实根分离算法作简要介绍 本文第二章给出带分式的三角化方法及其过程和算法，并分别应用吴方法和带 分式的三角化方法对一个简单的例子施行三角化借助多项式实根分离算法：我们 得出，若寻求一个满足初式非零的实根，带分式的三角化方法的效率可能较高 与吴方法不同，带分式的三角化方法产生的初式相对较复杂而多项式实根分 离算法给出区间形式的解，为解决由此产生的复杂初式的非零判定提供了契机本 文第三章和第四章针对带分式的三角化过程中可能产生的一类复杂初式，引入实数 区问运算多项式区间运算，有理函数区间运算以及区间端点的大分数( 即分子，分母 均为大整数) 处理在多项式实根分离算法的基础上，提出一种判定此类初式非零的 算法此算法的核心在于通过简化区间端点的表示，扩大中间变量所在闭区间，使 求解初式所在区问的运算刮行从而判定其是否落入保号区问 关于平面多项式系统小扰动极限环的构造，需要根据不同焦点量的结构利用 焦点量三角化之后解出主变元来实现不能解出主变元时，由焦点量构成的多项 第i 页共4 7 页 中文摘要 式组进行顺序三角化之后，利用多元多项式的实根分离算法得到实根分离区间，可 用于构造小扰动极限环 本文第五章分别给出次数为( 6 ，6 ) 和( 8 ，5 ) 的多项式l i 6 n a r d 系统小扰动极限环的 构造过程通过比较，次数为( 8 ，5 ) 的情况相对困难很多运用同样的三角化方法，后 者的计算过程会因多项式迅速膨胀以致超出计算机的承受范围而中断我们将带分 式的三角化方法及初式判定算法应用于次数为( 8 ，5 ) 的多项式l i 6 n a r d 系统小扰动极 限环的构造，得到小扰动极限环的最大个数为1 0 关键词：三角化实根分离算法区间运算极限环焦点量 第i i 页共4 7 页毕业论文 t i mt r i a n g u l a r i z a t i o nf o rp o l y n o m i a l s y s t e m sw i t ha p p l i c a t i o n si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b a s e do i la na l g o r i t h mo fr e a lr o o ti s o l a t i o n m a t h e m a t l c s w r i t e r ：l b , s u q i n gs u p e r v i s o r ：l uz h e n g y a b s t r a c t ：t r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n sf o rp o l y n o m i a ls y s t e m sp l a yak e yr o l e i ns o l v i n gs y s t e m no fp o l y n o m i e le q u a t i o n sa n di nc o n s t r u c t i n gs m a l la m p l i t u d e l i m i tc y c l e s w u sm e t h o d ，o n eo ft h ei m p o r t a n tm e t h o d so f 打i 姐g u l a r i 血gp o l y - n o m i e ls y s t e m s t e l l su st h a tt h et r i a n g u l a r i z a t i o nf o rp o l y n o m i a ls y s t e m n sc a l l b ea c c o m p l i s h e d1 ) yt h es u c c e s s i v ep s c u d od i v i s i o no fp o l y n o m i a k s b yr a o d i 廿 i n g ，u sm e t h o d 、b e wt e c h n i q u eo ft r i a a g u h t r i z a t l o nf o rp o l y n o m i a ls y s t e m si s d e v e l o p e d w h i c hi sa b l et oa v o i dt h ep o s s i b l ee x p l o s i o ao fp d y t t o m i a l s 如s o m e c t e n tb ) d e c r e a s i n gt h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y , a na l g o r i t h mo fr e a lr o o i s o l a t i o nf o rp o l y n o m i a ls y s t e m si s0 1 2 eo ft h e m e t h o d st os d v es y s t e m so fp o l y n o m i a lc l u a t i o n sb a s e do t h ee s t i m a t e so f a b s o l u t ev m l l e 吕o ft h er o o t s ，r o l et h e o r e m ，s t u r ms e q h e n e e ，a n dd e s c a r t e s r u l e o fs i g n li n t e r v a l sc o n t a i n i n gar e a lr o o te f t i lb eo b t a i n e db yt h em g o r i t h m a b r i e fi n t r o d u c t i o no ft h ea l g o r i t h mf o ri s o l a t i n gr e e l r o o t so fm u l t i v a r i a t ei n t e g r a l p o l y n o m i a ls y s t e m si sp r o v i d e di nc h a p t e ro r n c h a p t c rt w op r e s e n t st h ep r o c e s sa n dt h ea l g o r i t h mo ft h em o d i f i e dm e t h o d o fb i a n g u l a x i z a t i o nf o rp o l y n o m i a ls y s t e m s b ye m p l o y i n gw 1 】8m e t h o da n dt h e m o d i f i e dt e c h n i q u e 目a m p l ei sp r o v i d e d 协s h o wt h a tt h el a t c w rm e t h n ds e e n r ob em o r ee f f i c i e n tf o rs e e k i n go r er e q u i r e ds o u t i o nw h i c he t l s a r e si n i t i a l st ob e n o n 2 e g o b ya p p l y i n gt h em o d i f i e dt e c h n i q u e ，ak i n d0 fl a r g ei n i ；i a l sw h i c hi sh a g d y t ob ee x p v x m e d t h er a t i o n 止i u n e t i o n so ft h ev a r i a b l e s 】sl i k d yl db ep r o d u c e d 第j i i 页共4 7 页 b a s e do nt h ea l g o r i t h mo fr e a lr o o ti s o l a t i o na n db yi n t r o d u c i n gt h ei n t e r v a la r i t h m e t i c so fr e a ln u m b e r s ，p o l y n o m i a l sa n dr a t i o n a lf u n c t i o n sw i t ht h eo p e r a t i o n f o r l a r g er a t i o n a ln u m b e r so fi n t e r v a le n d p o i n t s ，a na l g o r i t h m f o rm a n i p u l a t i n gl a r g e i n i t i a l si sp r o p o s e di nc h a p t e rf o u r t h ek e yt ot h ea l g o r i t h mi s t os i m p l i f y t h er e p r e s e n t a t i o n so fi n t e r v a le n d p o i n t sa n de n l a r g et h ei n t e r v a l so fi n t e r m e d i a t ev a r i a b l e si no r d e rt om a k et h ec o m p u t a t i o nf o ri n t e r v a lv a l u e so ft h ei n i t i a l s f e a s i b l e a n dt h e nt h en o n z e r oo ft h ei n i t i a l sc a nb ed e c i d e d t oc o n s t r u c ts m a l la m p l i t u d el i m i tc y c l e sf o rp l a n a rp o l y n o m i a ls y s t e m s ，w e n e e dt og e tt h er e d u c t i o no ff o c a lv a l u e so rl i a p u n o vc o n s t a n t sw h i c hs h a l lb eo f t r i a n g u l a rf o r mi nu n k n o w n s ( t h ec o e f f i c i e n t so fp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s ) ， a n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r i n c i p a lu n k n o w ni ne a c hp o l y n o m i mi se x p r e s s e de x - p l i c i t l yb yo t h e ru n k n o w n s w h e n ac e r t a i np r i n c i p a lu n k n o w ni nap o l y n o m i a l c a nn o tb es o l v e de x p l i c i t l y , t h ea l g o r i t h mo fr e a lr o o ti s o l a t i o nf o rp o l y n o m i a l s v s t e m sc a nb ea p p l i e df o rt h ec o n s t r u c t i o no fs m a l la m p l i t u d el i m i tc y c l e s i nc h a p t e rf i v e ，w ed e s c r i b et h ep r o c e s s e so fc o n s t r u c t i n gs m a l la m p l i t u d e l i m i tc y c l e sf o rp o l y n o m i a ll i 6 n a r ds y s t e m sw i t hd e g r e e s ( 6 ，6 ) a n d ( 8 ，5 ) r e s p e c - t i v e l y c o m p a r e dw i t ht h ec a s eo fd e g r e e s ( 6 ，6 ) ，t h es i t u a t i o nf o rd e g r e e s ( 8 ， 5 ) i sf a rm o r ed i f f i c u l t w i t ht h es a m et r i a n g u l a r i z i n gm e t h o d ，t h ec o m p u t a t i o n f o rt h el a t t e rc a s ei sp r o b a b l yt ob es t o p p e df o rt h ee x p l o s i o no ft h ep o l y n o m i a l s w ei n t e n dt oe x p l o r et h eb i f u r c a t i o no fs m a l la m p l i t u d el i m i tc y c l e sf o rt h e p o l y n o m i a ll i 6 n a r ds y s t e mw i t hd e g r e e s ( 8 ，5 ) b ye m p l o y i n gt h en e w t e c h n i q u e o ft r i a n g u l a r i z a t i o na n dt h ea l g o r i t h mf o rm a n i p u l a t i n gl a r g ei n i t i a l sa n d10l i m i t c y c l e sa r ec o n s t r u c t e d k e yw o r d s ：t r i a n g u l a r i z a t i o n ，r e a lr o o ti s o l a t i o n ，i n t e r v a la r i t h m e t i c s ， l i m i tc y c l e s ，f o c a lv a l u e s 第一章引言 本章将对多元有理系数多项式系统的实根分离算法作简要介绍，全部内容 引自 1 8 】 1 1 多元多项式的实根分离算法 考察多项式系统( 变元数与多项式个数相同) ( z 1 ，x 2 ，z 。) ， ( x l ，x 2 ，z 。) ) ， 首先对它进行三角化( 参看1 1 8 ，2 3 ) ，得到如下的三角化多项式 g l ( u 1 ) ，9 2 ( u l ，让2 ) ，g 。( u l ，u 2 ，札。) ) 和初式 1 1 ( u 1 ，u 。) ，i s ( u l ，u 。) ) ， 其中让1 ，u 。是z 。，z 。的一个排y u ；利用一元多项式的实根分离算法求 c b g ( u 。) 关于u 1 的实根分离区间；再根据极大极小多项式估计( 即将介绍) 依次求 出鲰( “1 ，乱七) ，k = 2 ，n 关于乱七的实根分离区间；最后，再次根据极大极小 多项式估计结论，判定初式_ ( u - ，一，u 。) ，i s ( u l ，：钆。) ) 在每组根下是否 不为零使得初式不为零的根区间即为所求 对于给定的多项式，( z ，x z ，z 。) ，我们分别用，+ ( x l ，x 2 ，z 。) 和，- ( z ， z 2 ，x 。) 表示厂中正项与负项之和，则有厂= i + + 厂 定理1 1对变元x t ( 1 i n ) ，以及给定的0 a b ，当既【a ，6 】时，恒有 ，+ ( z 1 ，x i 一1 ，a ，x i + 1 ，z n ) + i 一( z 1 ，z 一1 ，b ，x i + l ，x n ) f l ( x l ，x i 一1 ，玩，x i + l ，x n ) i + ( z 1 ，z i 一1 ，b ，z i + 1 ，z n ) + ，一( z 1 ，z t 一1 ，a ，x i + l ，x n ) 利用厂+ ，一在霹上的单调性不难证明该定理显然，把它推广到多个变元也 成立，即 定理1 2 对变元兢。，x i 。：，x i 。，及给定的0 o ； i i ) 若，+ ( b l ，b 2 ，b 。) + f a l ，a 2 ，a 。) 0 ，贝u 当x i 【a i ，b i 】( i = 1 ，n ) 时，f ( x i ，x 2 ，z t l ) 0 为了便于叙述，我们设( p ) 是三元多项式组 ( z ，y ，z ) ，厶( z ，y ，z ) ，3 ( z ，y ， z ) ) ，并已得到三角多项式组( c ) ： 9 1 ( z ) ，9 2 ( x ，y ) ，9 3 ( x ，y ，z ) ) 和初式i ( x ，y ，z ) = n 五( z ，y ，z ) 我们的基本假设是： i ) 三角多项式组( c ) 的实根使得初式i ( x ，y ，z ) 不为零，这可由多项式组的不 可约分解算法判定或利用本文的极大极小多项式判定； i i ) 三角多项式组( c ) 无重根，这可由【1 8 】，3 3 中的多项式组的不可约分解算 法解决 对算法中用到的概念和定理，我们说明如下 数学软件m a p l e 中的算法r e a l r o o t 以指定的精度c 为最大区间长度，以区间的 形式给出一个单变元多项式的实根即，调用命令r e a l r o o t ( g l ( z ) ，c ) ，可以得到包 含9 1 ( z ) 的所有实根的分离区间集【n ，6 l 】，【a n ，b n 】，其中，任一区间中有且仅有 一个实根，任意两个区间不相交，且a i ，b i 同号 定义1 4 玩( 可) 和岛( 可) 分别由下式给出： - 9 2 ( 可) = 对( h i ，y ) + 9 2 ( a l ，y ) ， 望2 ( 可) = 夕e l ，y ) + g f ( b l ：y ) 显然，若虿【n 1 ，6 1 】为9 1 ( z ) 的实根，则必有旦2 ( 可) 9 2 ( x ，可) 虿2 ( 可) 定理1 5 对于上述的歹2 ( 可) 和旦2 ( 可) ，存在常数c 1 ：当6 1 一n 1 c 1 时， s u q i n g l i n 0 5 1 6 3 c o m 第2 页，共4 7 页毕业论文 第一章引言 i ) 玩( 可) ，9 2 ( 可) 的首项系数同号； i i ) 虿2 ( 可) ，旦2 白) 的实根个数相同 定理1 6 对于没有公共根的虿2 ( 可) ，9 2 ( 可) ，存在常数c 2 ，以c 2 为精度， 由r e a l r o o t 得到的可2 ( 可) ，9 2 ( 可) 的实根分离区间序列 满足： c l i ，d l i 】n 【c 2 j ，呦】= 仍( i ，j = 1 ，咒) 即，可以将l i s t l ，l i s t 2 的所有的 实根分离区间排序 注：当虿2 ( y ) $ i l g 。( 可) 有公根时，可先求其最大公因子，再分离实根 定义1 7 y 2 ( y ) ，吼( 夕) 称为关于精度c 实根区间可匹配，如果存在c 使得 i ) 实根分离区间序歹, j l i s t l ，l i s t 2 中的区间排序属于下列序之一： a ) 1 ，2 ，2 ，1 ，1 ，2 ，2 ，1 ，1 ，2 ，2 ，1 ； b ) 1 ，2 ，2 ，l ，l ，2 ，2 ，1 ，l ，2 ，2 ，1 ，1 ，2 ； c ) 2 ，1 ，l ，2 ，2 ，1 ，l ，2 ，2 ，1 ，1 ，2 ； d ) 2 ，l ，1 ，2 ，2 ，1 ，l ，2 ，2 ，1 ，l ，2 ，2 ，1 其中，1 代表实根区间属于l i s t l ，2 代表实根区间属于l i s t 2 相应的，a ) ，c ) 是 出现偶数个实根时的情形；6 ) ，d ) 是出现奇数个实根时的情形特别的，当只有一 个实根时，6 ) 为1 ，2 ；d ) 为2 ，1 i i ) 在每一个所求得的实根分离区间，夕2 ( 牙，可) 单调 由多项式对其变元的连续性，我们有如下的 定理1 8 考虑三角组 夕1 ( z ) ，9 2 ( x ，可) ) ，当g l ( x ) 在a l 6 1 】上的实根牙使 得， ) 0 ，j 1 9 2 ( x ，可) 无重根时，存在常数c ，使得玩( 可) 和玑( 可) 关于精度c 实根 区间可匹配 具体的算法如下： 算法1 9 第一步，利用r e a l r o o t 算法求出夕1 ( z ) 的实根分离区间( 如前面所述：我们只考 虑正区间) ，其中：精度c 1 由多项式实根最小距离给出为叙述方便，任取实根分 离区间中一个，记为 0 1 ：b l 】 s u q i n g l i n 0 5 1 6 3 c o l i l第3 页，共4 7 页 毕业论文 1，j 1 j 一一 也如 n n q q r，【r_【，u，西如 1 1 l q 饧 = l i l 2 对 或z 己 l 第一章引言 第二步，得到卯( z ，可) 只有变元y 的极大极小多项式 _ 2 ( 箩) ，9 2 ( y ) ) ， 利用r e a l r o o t 算法分别求出虿2 ( 可) ，9 2 ( 可) 的实根分离区i 司l i s t l ，l i s t 2 ( 精 度c 2 i h 9 2 ( y ) g 。( 可) 的实根之间最小距离给出) 第三步，将l i s t l ，l i s t 2 排序，判断虿2 ( 可) ：9 2 ( 可) 是否关于c = r a i n c 1 ，c 2 ) 有定 义1 7 中的a ) ，b ) ，c ) ，d ) 之一序，如果是，进入第四步；否则，以c ，1 0 为精度，返回 第一步由定理1 8 ，有限步内必出现a ) ，b ) ，c ) ，d ) 之一序 第四步，根据定理1 3 ，验证所求实根区间的多项式的导式在所求得的区间上 的正负性如果恒正或恒负，则原多项式在该区间内单调，所以实根唯一；否则 提高精度，返回第一步 第五步，_ 2 ( 剪) 和夕。( 可) 是关于精度c 实根区间可匹配的，按如下规则进行匹配： a 2 i ：= m i n c l i ，c 2 i ) ，b 2 i ：= m a x d i ，d 2 ) ( i = 1 ，n ) ，显然，在每个l a x ，b l 】x a 2 ，b 2 i 】中，存在 9 1 ) ，9 2 ( x ，可) ) 的唯一实根 即，在这些区间外多项式组没有实根 第六步，假定g = a 1 ，b 1 】x 【a 2 ，b 2 】已经是 9 - ) ，9 2 ( x ，y ) ) 的实根分离区 间用相似于第二步的处理方式，得到夕3 ( z ，y ，名) 只有变元z 的极大极小多项 式 玩( z ) ，夕，( z ) ) ： 玩z ) = 对( b l ，b 2 ，z ) + 鳕( 口1 ，a 2 ，z ) ， 夕，( z ) = 夕手a i ，a 2 ，z ) + 夕i ( h i ，b 2 ，z ) 第七步，再按照第三，四，五，六步的方法，得至l j g l ( x ) ，9 2 ( x ，可) ，9 3 ( x ，y ，z ) ) 的 实根分离区间g = a l ，b l 】【a 2 ，b 2 】【a 3 ，b 3 第八步，根据定理1 3 ，判定z ( z ，y ，z ) ( 实际上，任何不含有其它未知 元的多项式均可以) 在g 下的正负若属于定理1 3 的i ) 或i i ) ，则g 也就 是 ( z ，y ，z ) ：a ( x ，y ，z ) ，厶( z ：y ：z ) ) 的实根分离区间 在上面的步骤中，只要依次考虑由一，五，七步得出的所有区间，即可得到所 需的实根分离区间组 由以上结论可以看出，对于无重根的三角化多项式组，可以利用极大极小多 项式将其实根区间分离这样，可以保证每个区间内有且仅有一个实根( 精度c 充 分小) 此时，实根分离算法的意义是：分离区间之外必无实根，而区间内有且仅 有一个实根 s u q i n g l i n 0 5 1 6 3 c o l l l 第4 页共4 7 页毕业论文 第一章引言 由于多项式组的三角化过程相对独立，而且已有了通用的算法( 如吴方法) ， 因此我们在求多项式组的实根分离区间时，可以先进行三角化处理，再接着进行 下面的操作 从第一到第七步具体的算法如下： i n p u t g l ( x 1 ) ，9 2 ( x l ，x 2 ) ，g n ( x l ，x 2 ，z 。) ) ； i ( x l ，z n ) o u t p u t g l ( x 1 ) ，9 2 ( x l ，x 2 ) ，g n ( x l ，x 2 ，z 。) ) 的实根分离区间； i ( x 1 ，) 在每组实根分离区间下的符号 b e g i n l a b e l g i ：= r e a l r o o t ( g l ( x 1 ) ，精度) 中表示正根的区间) i fg 1 = ot h e nr e t u r n 仍e n di f k ：= 2 卓注1 1 0 w h i l e 七nd o g 七= d g k ( x l ，x k ) = 鳝x i ，x k ) + 簖x i ，x k )木注1 1 1 f o re a c hpi ng 七一1d o 乳( ) ，- g k ( x k ) 木注1 1 2 g = r e a l r o o t ( _ g 七( 瓢) ，精度) 中左区间为正的区间) g 七= r e a l r o o t ( 歹( 瓢) ，精度) 中左区间为正的区间) 仉( g ，g 七)木注1 1 3 i fg k 在q 詹( 旦，硬) 的某一区间中关于钆不单调 t h e ng o t 0l a b e l e n di f g k = g 七u n i o nq k ( g 凫，g k ) e n df o r k ：= 尼+ 1 e n dw h i l e 木注1 1 4 掌下面判断，在每组根区间下的符号 g = 仍 木注1 1 5 s l l q i n g l i n 0 5 1 6 3 c o r n第5 页，共4 7 页 毕业论文 第一章引言 f o rpi ng 。d o h = 仍 日= hu n i o ns i g n ( i ( x l ，z 。) i p 木注1 1 6 g = g u n i o n _ pu n i o nh ) e n df o r r e t u r ng 木此即为最终结果 e n d 注1 1 0 后记录求第k 个多项式g k 的第k 个未知变元z 七 注1 1 1 酣，万的定义方式同定理1 1 注1 1 2 按照【1 8 】中的定理3 1 7 ，在p 的限定下，夕。( z 七) 为g k ( z l ，z 七) 的下 界多项式，矾( z 七) 为g k ( x l ，z 七) 的上界多项式 注1 1 3 判断玑( z 七) 和9 。( z 南) 是否关于c 实根区间可匹配如果可以匹配，按 前述规则进行匹配；否则，以c 1 i 0 为精度，返回b e g i n 重新计算 注1 1 4 最后得到的g 。即为 夕1 ( z 1 ) ，9 2x l ，x 2 ) ，g n ( x l ，z 2 ，z 。) ) 的实 根分离区间集合 注1 1 5g 保存最终结果，即所有的实根分离区间和在相应分离区间限制 下，需要判断符号的多项式的符号 注1 1 6 根据定理1 8 ，i ( x 1 ，x n ) 在p 下，满足i ) ，贝l j s i g n ( i ) = + 7 ，满足i i ) ， 口 1 s i g n ( i ) = 7 一，均不满足，贝1 s i g n ( i ) = w 0 ( 表示，可能等于零) 1 2 实根分离算法应用于小扰动极限环的构造 考虑如下中心焦点型的n ( 佗) 次多项式微分系统 圣= y + p ( x ，可) ， ，1 、 雪= 一z + q ( x ，y ) 、7 其中p ( z ，可) 和q ( z ，可) 均为次数不超过咒的多项式，多项式系统( 1 1 ) 的极限环个 数及位置的确定问题是h i l b e r t 第十六问题中的微分方程部分即使在n = 2 ，即 二次多项式情形：仍未解决而与此相关的中心焦点判定问题：特别是利用焦点 量( 或l i a p u n o v 常数) 构造小扰动极限环又是目前国际上所关注的问题 s u q i n g l i n 0 5 1 6 3 c o l l l 第6 页共4 7 页毕业论文 第一章引言 如果记n 次系统的小扰动极限环的最大个数为心( 几) ，现己知n a ( 2 ) = 3 ，即 对于二次系统来说，毗( 2 ) 的问题已经解决近十年来围绕m ( 3 ) ，有相当多的工 作，虽离完全解决还有相当的距离，但对于几类特殊的三次系统，已有较完整的 工作查阅这方面的进展我们发现，关于小扰动极限环的构造，需要根据不同焦 点量的结构，利用不同技巧寻求解答一般来说，总是利用焦点量三角化之后解 出主变元来达到目的 下面我们将介绍：由焦点量构成的多项式组进行顺序三角化之后，利用 m r e a l r o o t 算法得到的实根分离区间，正好可以用来构造小扰动极限环 我们知道，通过焦点量构造小扰动极限环总是在焦点量所对应的某一组实 根的邻域中完成的而每一焦点量在此实根的任一邻域中还必须变号例如，已 经求出如下的焦点量 l ( 1 ) ( a l ，a 2 ，o 。) ， l ( 2 ) ( a l ，a 2 ，o 。) ， l ( n ) ( a l ，a 2 ，o 。) ， l ( n + 1 ) ( o l ，a 2 ，o 。) 要证明它们在原点附近可以扰出n + 1 个小扰动极限环，通常的做法是根据 前礼个焦点量 l ( 1 ) ，l ( 佗) ) 解主变元实施三角化，得到三角化序列 l ( 1 ) ( u a ，u 2 ，：u 。) ， l ( 2 ) ( u 2 ，? - 1 3 ，让。) ， ；( 1 2 ) l ( n 一1 ) ( u 礼一1 ：u 。) ， l ( n ) ( u n ) 和主变元序n u l ，u 。是a 1 ，o 。的某一排列，： 第7 页，共4 7 页毕业论文 第一章引言 7 2 1 = q 1 ( u 2 ，? 2 3 ，u n ) ， u 2 = q 2 ( 乱3 ，乱。) ， j( 1 3 ) 钍。一1 = q 。l l ( u 。) ， u 。= q 。一常数 ( 很多时候，只能知道这个常数的存在性，并不能得到它的具体值) 首先证明( 1 3 ) 使得l ( n + 1 ) 0 ，然后依次变动u 。，u n - - 1 ，? 2 1 要构造出 第k ( k = 1 ，礼) 个小扰动极限环，只需 l ( n + 2 一k ) l ( n + 1 一k ) 0 ，l ( i ) = o ( i 0 的 解( 因为此时第n + 1 个极限环不能通过变号扰出，而系统只能扰出几个极限环) 在m r e a l r o o t 算法中这也是非常容易实现的，判断l ( 佗) ( u ) l ( 佗+ 1 ) ( u ) 在实根区间 端点( 对于有理实解需要对解做一个小扰动) 的符号，保留满足一号的解即可 我们知道，通过焦点量构造小扰动极限环总是在焦点量所对应的某一组实 零点的邻域中完成的而每一焦点量在此实零点的任一邻域中还必须变号 定义1 1 7 设p s = 五( z 1 ：，z 。) 忙= 1 ，f ) 是一多项式组，f k p l ，z 。】，称p s 在点矿z e r o ( p s ) 关于，是独立的，如果下述条件成立 i ) z + 在留中的每个开邻域包含一点z ，使得f l ( x ) f ( x ) 0 i i ) z e r o ( f i ，i a ( 2 j 2 一1 ) 满足：如果z z e r o ( f 1 ，乃) 且 办+ ，( z ) 0 ，则任意x 的邻域w 中存在点盯z e r o ( f 1 ，办一1 ) ，使得 f j ( o ) f j + l ( c r ) 0 i i i )如果z z e r o ( ) 且止( z ) 0 ，则z 的任意开邻域中存在点0 - ，使 得 ( 盯) 五( 盯) 0 定理1 1 8 考虑具有初式为j = n 仁81 五的焦点量多项式组 ( l s ) = l ( 1 ) ( z t ，z 。) ，l ( 几) ( z ，) ) ， ( 已三角化) ，设z + = ( x + 1 ，z ：) 是m r e a l r o o t 算法求出的( l s ) 的零点，且满足 第n + 1 个焦点量l ( n + 1 ) ( z + ) o $ a 初式i ( x + ) 0 ，则焦点量组( 三s ) 在矿处关 于- l ( n + 1 1 独立 定理1 1 9 如果对于某组z + = ( x 1 1 ，x 2 ，z 二) ，前n 个焦点量多项式 组( l s ) = l ( 1 ) ( z 1 ，z 。) ，三( n ) ( z 1 ) - 关于第礼+ 1 个焦点量l ( n + 1 ) 独立， 则对应的多项式微分系统在原点附近有n + 1 个小扰动极限环 由上述两个定理，我们有如下结论： 定理1 2 0 如果利用m r e a l r o o t 算法求出的前礼焦点量三角化后多项式组的 一个解为z + = ( x + 1 ，x 2 + ，z ：) ，且使得所有初式和第n + 1 个焦点量不为o ，则对 应的多项式微分系统在原点附近有礼+ 1 个小扰动极限环 s u q i n 9 1 i n 0 5 1 6 3 c o r n 第9 页，共4 7 页 毕业论文 第一章引言 1 3 多项式l i 6 n a r d 系统小扰动极限环的构造 1 9 2 2 年，v a nd e rp 0 1 1 2 5 1 在研究真空管的振荡特性时，考虑下列形态的系统 圣= y f ( z ) ，雪= 一z( 1 4 ) 此e 1 l i 6 n a r d 系统的发端1 9 8 2 年，l i 6 n a r d 1 4 i l t 明了当f ( z ) 是连续函数时， ( 1 4 ) 可以有唯一极限环1 9 7 7 年，a l i n ，w d em e l o v c c p u g h 【1 5 】证明了 当f ( z ) 是三次多项式时，系统( 1 4 ) 也有唯一极限环：并提出如下猜想： 如果f ( z ) 是2 n + l p 或2 n + 2 次多项式，则系统( 1 4 ) m 多有礼个极限环 随后，l i 6 n a r d 系统的极限环个数问题一直备受关注，新结果不断出现 l i 6 n a r d 系统的标准形式如下 岔+ ，( z ) 圣+ g ( x ) = 0 ， 其中，厂( z ) ，g ( x ) 均为多项式若记f 7 ( z ) = ，( z ) ，雪= 一夕( z ) ，则可将上式等价地 记为 = y f ( z ) ，雪= 一g ( z ) ( 1 5 ) 我们用h ( i ，j ) 表示系统( 1 5 ) 的极限环的最大个数，i ，j 分别是，( z ) ，夕( z ) 的次 数a l i n s 等人得到h ( 2 ，1 ) = 1 之后，c o p p e l 6 于1 9 8 8 年证得h ( 1 ，2 ) = 1 1 9 9 6 年 和1 9 9 7 年，d u m o r t i e r 和l i 合作证明t h ( 1 ，3 ) = 1 1 7 幂0 h ( 2 ，2 ) = 1 1 8 之后，有关系统( 1 5 ) 的极限环的最大个数的研究一直进展缓慢在考 虑l i 6 n a r d 系统极限环问题的同时，很多学者考虑其中的小扰动极限环的问题，并 已取得相当的进展 2 - 5 ，1 7 ，2 1 - 2 3 记h ( i ，歹) 为系统( 1 5 ) 的小扰动极限环的最大 个数1 9 7 7 年，a l i n s 1 5 】等人证得h ( i ，1 ) = - 2 j ，其中j 表示下取整1 9 8 8 年， l l o y d 和l y n c h 1 7 】证明t h ( 1 ，j ) = b 2 j 近年来，c h r i s t o p h e r 矛1 l y n c h 3 ，4 ，2 2 ，2 3 】提出一种确定焦点量的代数方法， 并证明了 眠2 ) ：觚忌) ：i 掣l ，( v 七) 岫( 3 垆2 l 掣i ( 1 k 1 ， 有 rl j ( i + 2 ) ( j + 1 ) j + j 一3 ，j d e g ( a ，k s )( d e g ( f , k s ) ，d e g ( g ，k s ) 分别表示f g 关 于如的次数) 将f 和g 关于作多项式除法，我们有 f ( k l ，克2 ) = g ( k l ，k 2 ) q l ( k l ，k s ) + r l ( k l ，k 2 ) ， 其中，口1 r 均可能是以关于尼1 的多项式为分母的分式不妨设7 = 掣， 再关于k s ，p a r l l ( k l ，k s ) 除g ( 后l ，k s ) ，得到 g ( k l ，k 2 ) = r n ( k l ，k 2 ) q 2 ( k l ，k 2 ) + r 2 ( k l ，如) ， 其中，q 2 ，1 2 均可能是以关于k 1 的多项式为分母的分式同样，不妨设r 2 = 二号! ；若云专堕，以r z ( 后，后。) 除r ，( 七，七z ) ，得至u r 1 1 ( k l ，k s ) = r 2 1 ( k 1 ，k 2 ) q 3 ( k 1 ，k 2 ) + r 3 ( k l ，k 2 ) ， 以此类推，直至余式的分子是只关于k 1 的多项式我们记最终的等式为： r n 一1 ，1 ( 七1 ，七2 ) = r 。l ( k l ，k 2 ) q 。+ 1 ( 七1 ，k 2 ) + r n + 1 ( 七1 ) ， 其中r n + ，( 后，) = i r n = + l 夏, l ( 可k 1 ) 联立上述等式，不难