（基础数学专业论文）环上的hensel赋值和半序.pdf

环上的h e n s e l 赋值和半序 内容摘要 本文的目的是研究交换环上的 ，e n s e l 赋值，从而将域上h 伽“赋值的一些 相关结果推广到交换环上，由此得到类似实域理论中的些基本结论。作为一个 重要结果，我们得到了环上胁n s e f 赋值与它的每个半序相容的一些充分必要条 件( 见定理3 1 ) 。另外，通过一个反例来说明，环上每个序未必与该环上的胁m 5 e f 赋值相容。 关键词： 紧整扩张；全整闭环；全整闭包：胁邶。z 赋值 h e n s e l l l a nv a l u a t i o n sa n ds e m i o r d e r i n g so n c o m m u l a t i v er l n g s a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t eh e n s e l i a nv a l u a t i o n so m c o m m u t a t i v e r i n g s s o m er e l e v a n tr e s u l t so i lh e n s e l i a nv a l u a t i o n so ff i e l d sa r cg e n e r a l i z e dt ot h e c a t e g o r yo fc o m m u t a t i v er i n g s w i t ht h ea i do ft h et h e o r yo fr e a lf i e l d s ，s o m eb a s i c r e s u l t sa r ee s t a b l i s h e d a sa l li m p o r t a n tr e s u l t ，w ee s t a b l i s hs e v e r a ls u f f i e i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rah e n s e l i a nv a l u a t i o no nar i n gt ob ec o m p a t i b l ew i t he v e r y s e m i o r d e r i n g ( s e et h e o r e m3 1 ) b e s i d e s ，ac o u n t e r - e x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h a t a no r d e r i n gn e e dn o tb ec o m p a t i b l ew i t hah e n s e l i a nv a l u a t i o no i la r i n g w u l i n ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rz e n gg u a n g x i n g k e yw o r d s ：t i g h ti n t e g r a le x t e n s i o n ：t o t a li n t e g r a l l yc l o s e dr i n g t o t a li n t e g r a lc l o s u r e ：h e n s e l i a nv a l u a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人程导师指导下进行的研究王作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表戏撰写过的研究成果，也不包含为获得南昌大学或其他教育机 构的学位或证书面使用过的秘莘萼。与我涮工作的同志对本研究所傲豹任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名虽撩 签字日期：2 0 0 6 年4 月3 目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采甩影印、缩印或扫描等笈制手段傈存、沤编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位做作者签名参多瓣 签字日期：2 0 0 6 年4 月3 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址：南鼹大学数学系 导筛签名：嚆础 签字网期：2 0 0 6 年4 月3 日 电话： 邮编： 一引言 实域理论中的序、实位、实赋倩和h e n s e l 赋值是彼此之间有着密切关系的几个甚为重 要的概念，与这些概念有关的结果是实域理论的一个重要组成部分。1 9 8 7 年，戴执中在文 献 1 中借助环上位和味值的概念，成功地在环上建立了实位与实赋值，从而在环上得到了 与实域理论全然类似的有关结果。在实域论中，我们有如下重要结论：若v 是域f 的一个 h e n s e l 赋值，则f 的每个半序都与v 柏容。对比域与交换环的性质，自然会思考这样一个 问题：能否将该结论成不变地推广到交换环上? 对此，本文通过一个反例作出了否定的回 答。同时，本文把域上h e n s e l 赋值的一些相关理论推广到环上，从而得到一些类似的结果。 本文所谓的环，均指带有乘法单位元的交换环，其子环与所在环具有同一乘法单位元 二环问的同态映射使乘法单位元互相对应。环上的赋值v ：r f 。端m a n i s 赋值，其中 r 。= r u m ) 。对于环r 的一个赋值v ，令 a ：= x e r l v ( x ) o ) ，m 。：= x e r i v ( x ) o ，c 。：一 x e r lv ( x ) = 。 此时，称a 为v 的斌值环，m 。为v 的赋值理想，( a 。，m 。) 为v 的赋值对，c 。n 赋f f i v 的 核，且记r + ；r c 。交换环上的h e n s e l 赋值是一类重要的m 口n 括赋值。它是由戴执中 先生在文【2j 中首先引进的( 见下文中定义31 ) 。此外，环上h e n s e l 赋值在半实n g , 与高层 实闭环的刻划中起着重要的作用，有关结果可参见文 3 和文 4 。 定义1 1 设环r 在于环k 上是整的n 若对于尺的每个非零理想，总有，n k ( 0 ) ， 则称月为的紧整扩张。 定义12 设r 是k 的一个环扩张，v 和分别为月和k 的赋值。如果v k = v o ，那么 p 称怍在r 上的一个拓展。 定理1 1 设环r 是环k 的任意整扩张，是k 的一个赋值则在r 上有拓展。 证明 令p = 啄( 。) ，则p 为k 的一个紊理想。由于r 在k 上摧，则存在r 的素理 想q ，使得q f k = p 。由文献 5 中命题31 6 知p ”= p ，这里p 。表示p 在r 中的扩理想 而p “= p 。o k 。再根据文献 6 的命题7 可知，v o 在r 上有拓展。 定义1 3 设v 和v 都是环尺的赋值且它们的值群为r 和r 。若存在一个序群同构 妒：f r ，使得v = 妒v ，则称v 和v 是等价的，且记作v v 。 事实 设v 是环r 的一个非浅显赋值，( b ，m ) 为与v 相对应的赋值对t 则v 一”m 其中口川为由赋值对，m ) 所定的赋值。 e l g l 设r 是v 的值群，为v 的核a 由文 7 中附录b 的定理1 知，u 口，) 的值群为 r ) = “叫l x r ， 。作f ( 口， ，) 到r 的如下映射妒： 【x 】一v ) ， r ，。若 一 = k 】，由于，x 2 月，从而有) 1 ，_ y 2 r ，使得_ ) ，1 ，y 2 b m 。此时有 v ( _ ) = 一v ( y 1 ) ，v ( t ) = 一v ( y 2 ) 。根据f f 口川中序关系的规定有y ：口m ，即v ( ) = v ( y 2 ) ，从而有v ( ) = v ( x z ) 。因此映射妒的规定是合理的。任取h 】t x 2 1 1 。) ，若 妒( 【z 。】) = 妒( 【工：】) ，则v ( ) = v ( x 2 ) ，此时有v ( ) = 一v ( y 2 ) ，即v ( x 。y 2 ) = 0 t 因此y 2 b 吖。根据f m ) 中序关系的规定有 = 【工2 。所以妒是单射。n - 证r p 是满射。任取 叩r ，则有x 尺，使得v ) = 叩。从而妒( z 】) = v ( x ) = 叩。若 x ，】 工： ，由f ( 。中 序关系的规定，当且仅当y ：r m ，后者又等同于v “，) sv ：) 。即妒是保序的。 妒( z + y ) ；妒( 叫 ) = v ( x y ) = v ( x ) + v ( y ) = 妒( xj ) + 妒( _ ) ，】) 。从而妒是保序同构映射。 不然验证此时有v = 妒”( 8 ，) ，即v ”( 口，m ) 。 引理1 1 没v 。和”2 为环r 的赋值，且它们的核分别为，和，2 。若h v 2 ，则，1 = ，2 。 证明+ r v l v 2 ，由定义知有序群同构妒：f l f 2 ，使得v 2 。妒p 1 ，其中r l 和r 2 分别为v l 和v ! 的值群n 若x 隹，1 ，则u ( x ) 。，从而u ( x ) r 1 i 。于是v 2 ( j ) = q 4 v i ( x ) ) f = n 放v 2 ( x ) * 。，即x 隹，2 。从而，! ，1 a 另一方面t 若z 譬，2 ，则匕( 工) ，从而1 2 2 ( x ) r 2 。于是v ( x ) = 舻。1 ( v 2 ( 工) ) r 故v ( x ) * ，即x 圣，l 。从而，l ，2 。 因此，l = ，2 。至此t 引理证毕a 定理1 2 环r 的两个赋值等价当且仅当它们的赋值对相等。 证明设v 和v ：为环r 的赋值，且它们的赋值对，值群和核分别为( b 。，j v ) ，f 。，。和 ( b 2 ，n 2 ) ，f 2 ，2 。 ”号”设v 。心，由定义知有序群同构妒：r 。呻f 2 t 使得v ：= 妒u 。若x ，。，由弓 理11 知z b 2 。因此不妨设工日，。，则0 s u ( 上) # ，由甲的保序性知，妒( h ( x ) ) q 4 0 ) = o ，即v ：( x ) oa 这表明x b ：。从而q b 2 。由对称性知b 2 b i 。因此b 。= b 2 。 最x 睡。，则v l ( 戈) s o 。从而也( x ) = 中( v 。( 工) ) 5 0 ，即工隹| v 2 。因此n 2 n l 。 由对称性知n 。：。因此n 。= n ：。从而( b ，n ) = ( b = ，n ! ) 。 ”# ”若b i = b 2 = r ，n l = n 2 ，显然有u v 2 。 若q = 芝r ，且( e ，n ，) = ( b ：，n 2 ) 。由上面事实知，u _ 置lj ，v 2 k 也，札) 。 由于k 日i ) = _ 岛：1 ，从而v i v 2 。 二 半序和赋值的整扩张 按照文献1 7 l ，环尺的一个赋值v 称作实赋值，若a m 是一个实环t 这里( a ，m ) 足v 的 赋值对。环r 的一个赋值对( ，4 ，m ) 称作史的，若( a ，m ) 所对应的赋值是实的即a m 是 一个实环。 定义21若环尺的子集p 满足如下条件 ( 1 ) p + 尸p ； f 2 ) r2 p cp ，且1 只 r 3 ) p u p = 尺： f 4 ) p n p 是月的一个素理想 则称p 是r 一个! b 锥。此时，称p n p d p 的支集且记作： s u p p ( p ) 。 定义2 2 环r 上一个二元关系s 称作半序若下而集合 只：= 扣月1 0 s 口) 是尺的一个半锥。 由于半序和半锥之间是相互诱导的，从而下文将半锥也称作半序。 注环月上一个二元关系s 是一个半序，则如下条件成立 ( 1 ) o 6 。 4 证明取c r + ，使得g = v ( c ) 。由v 和) s2 9sv ( b ) ，有v ( a ) v f c 2 ) v ( b ) 即 v ( 盘) 一v ( c 2 ) 0sv ( b ) 一v ( c ! ) 。由于v ( c ) 0 0 ，从而有d 月，使得v ( d ) = 一v ( c ) 。故 v ( d 2 ) = 一v ( c 2 ) 。于是上式又可表为v ( a d2 ) s0 v ( b d2 ) 。由于v ( ) ；v ( 厶) ，上面等号不 能同时成立。 考察如下情形： 。 o ) v ( a d2 ) ( 0 sv ( b d2 ) 。此时6 d2 e a 。假若sb ，则有o s a d 2 s b d2 a 。由 于a 关于s 避凸的，从而a d 2 a 。即v ( a d2 ) 0 。矛盾! 因此n b 。 ( 2 ) v ( d ! ) s 0 0 。矛盾j 因此口 b 。证毕。 推论2 1 殴v ：r ，【1 。是环r 的一个非浅显赋值，s 是环r 的一个半序，使得a 关 于量是凸的。若对于任意g t g ：r 。，其中g l 9 2 ，总有g r ，使得g 蔓2 9 蔓9 2 t 则v 与s 相容。特别地，当1 1 是2 一可除群或fsz 时，v 与s 相容。 证明反证，假若v 与s 不相容，n - f f n ，6 尺，使得o 日s b ，但v ( n ) b ，矛盾! 囚此v 与s 相容。 当f 是2 - 可除群，对于任意g l ，9 2 f 。，其中g 。 9 2 ，则有9 1 r ，从而有g f 使得2 9 = g ，。此时有g 2 9sg ! t 从而v 与s 相容a 设r 兰z ，对于任意g 。9 2 c f 。，其中g l m i n p ( ) 1 1 i ”) ，其中吼r i ；l i = 1 ，“，则存在t ， 1 ，l ，其中k f t 使得v ( a ) = v ( j ) ，v ( a ) 。，且 v ( a ，) 。 证明类似于域情况。 定理22 设凡为k 的整扩张v 是k 的赋值t 和都是存尺上的拓展，且 6 ( e ，) 和( 哎，n ：) 分别为够和奶的赋值对u 若q j v ，致n 二r 则( e ，n ，) = ( b 二，n ! ) 。 证明记c ，和c ! 分别为赋值和的核。此时，我们有以下断言：c = c ! 。 事实上，对于任意x 鹾c 。，竹( 上) 。n 从而有y e rt 使得( _ ) ，) = 一吼( x ) ，于是 锻( 删) = 0 ，即x y e b n i 。由于b 。1 b 2 n 2 ，进而有x y b 2 n 2 ，从而( 叫) = 0 a 这表明，x 硭c ：。由此有c ：c 。由于r 在k 上整且c 和c ：都是r 的索理想，使得 c 。n k = c 2 n k = c ，从而根据文【5j 中系理5 , 9 可得，c l = c 2 。至此，该断言获证。 下证日b ：。 设o b 。若a c i ，则由以上断言知a b 2 。因此不妨设o 且c 1 。 由于r 在k 上整，从而有关系式 a o a ”十n l o “1 + - + 。= 0 其中口o ，“1 ) - 一，n 。k 且n o = 1 。 此时显然有，m i n 够( 口r 。”1 ) j o s i 量n ) s9 4 ( a o a ) o o2 幌( 荟n ，a ”一) 。sg l a 2 l 知，存在七，f 0 ，1 ，n ，使得k l ，竹( 口。a ”“) = 识( n 。乜一) ，竹( 以。“”“) 0 0 ，且 ( j a ”。) 。显然v ( a k ) 。且v ( a ，) o 。从而存在6 k ，使得，( 6 ) = v ( a 女) 一v ( a ，) 。 于是有识p “) = 0 。这表明，b a 。置 。由于e 、。b ：2 ，因而蛔“ b ：，r p ( d “。4 ) = 0 。由于一v ( b ) c p x ( b )( a 卜“) 兰0 ，从而吼卜) 一妒：( 扫) 一- v ( b ) 0 ，即a b 2 。从而b l b ! 。 再证b ：目。 设a b 2u 若o e c ! t 则有a c l b l 。下| 殳碑b ! c ! 。由于r 存k 上整从而 有如下关系式 7 ( 0 ( 2 ”+ n l a 俨十- + a ，= 0 其中a o ，。ae k 且a o = 1 同样可知，存在k ，t e o ，1 ，h ) 蚍及6 k ，使得kcf ，且竹( b a “) ；0 。这表明 b a 。一b l l 。由于b l 。b 2 ，因而厶。“e b 2 2 ，即( 6 a “) = 0 。此时 - v ( b ) = 一( 6 ) = ( a l ) 0 。从而够( a 卜) = 一弼( 6 ) = 一v ( 扫) o ，即a 抗。从而 b 2 b l 。因此b l = b 2 。 同理可证n 。= 2 。从而( q ，n 。) = ( b ：，n ：) 。证毕。 当月和为域时，定理2 2 即为文 1 0 h t 的命题7 1 9 。 定理2 3 设环r 为环k 的任意整扩张，v 为k 的赋值，舻为v 在只上的一个拓展。若 以r ，a 分别表示v 和妒的值群，则商群a f 中的每个元素的阶是有限的。 证明只需证明，对3 = z e a ，总有自然数，使得月 r 。取口e r + ，使得伊( 口) = a 。 由于r 在k 上整，从而有关系式 o a ”+ n 【a 肛1 + 十a 。= 0 其中，口l i 一，埠。k 且= 1 。 此时显然有m j n 妒( q 口卜7 ) f o s i s 盯 妒( 盯o c g ”) o o 妒( 口。n ”。) 。由引理2 l 知，存在七， 0 ，1 ，” ，其叫ik 是 的一个直接扩张。 发v ：r r 。是环的一个赋值，c 。是v 的棱。令 x ”( 凡) = p x ( r ) iv 与p 相容 ，y ”( r ) = p e y ( r ) lv 与p 相容) x ；( 凡) = p e x ”( r ) is u p p ( p ) = c 。 ，巧( 尺) = p e y ( r ) is u p p ( p ) = c 。 。 其r i ，y ( r ) 和x ( r ) 分别表示环r 的半序和序的全体。 推论3 1 设( ，m ) 是环r 的h e n s e l 赋值对，v 是由( a ，m ) 确定的赋值，且r 的每 个实素理想都包含在核c 。之中。则只是半实环当且仅当t 是实域，其中只为a m 的分 式域。 证明”一”设只是半实环，n x ( r ) o 。由定理3 1 知，x ( r ) 一j ”( 月) n 从而 x ”( r ) ；o 。因此x ( f ) ；a ，即e 是实域。 ”一”设e 是实域，则x ( e ) ；o 。从而x ”) o ，即x ( r ) a 。因此r 是 半实环。 命题3 1设p 是尺的个半序，则r 的全体关于p 凸的赋值环对于集台的包含关系 组成一条链。 证明设a 和a 是环r 的任意两个关于p 凸的赋值环，且a 旺a ，则有4 a ，使 得口隹a z 。设扫是如中任意元素，则有0 ，i b e ，1 6 k a ，或者o - - 是 的一个奁接扩张，因此 m 。= a m ，且a m 为实环，从而a 1 m ，也是实环， 即u 是环月。的一个实赋值。 设v7 是v 在r 上所拓展的任意实赋值，则”( r ) o 。任取p z ”( 凡，) ，则p j ( 量) 。由定理3 1 知，p e x ( r ) = j ( 量) 一 i l t ( a7 ，m ) 为v7 的赋值对。由命题3 2 知，a a 或a 4 l 。不妨没a a 由文【7 】 中第9 节的定理2 的推论知，m 7 m 。从而 m i a m 。根据定理2 2 知，( ，m 。) = ( a ，m ) 。再由定理1 2 知，v 。与v 等价。因此，v l 是v 在r 。上所拓展的唯一实赋值。 定理3 2 设 p lj 2 k 。因 此r 在s 上关于序尸是非阿基米德的。 定义4 、4 一个半实环k 称作半实闭环如果k 没有真的半实紧整扩张。 定义4 、5 一个环r 称作环k 的半实闭包，如果r 是k 的一个紧箍扩张。并且r 是半 实闭环。 按照文献 3 ，每一个半实环都有半实闭包，且半实闭包的序是唯一的。 命题4 4 设v 为环k 的一个赋值，p 为k 的一个序。若v 与p 相容，则v 可唯一地 拓展为( k ，p ) 的半实闭包的一个实赋值。 证明令r 为( k ，即的半实闭包，n r 在k 上整，且p = r 2 n k 。已知v 与p 相容 由定理4 2 知，v 在r 上有唯一的与序尺2 相容的实拓展。由于只2 是r 的唯一序，从而该 命题成立。 五致谢 在论文完成之际，首先衷心感谢导师曾广兴教授。在本文的写作过程中，曾老 师给予作者以悉心指导、耐心教诲，多次在作者遇到困难时，不辞辛苦、指点迷 沣。三年来，导师严谨创新的教学科研风格，严密活跃的逻辑思维方式使作者受 益匪浅，让我懂得了治学必须严谨、做人必须诚实，并将永远是作者学习的榜样! 同时，也感谢漆芝南教授、刘理蔚教授、王仲才教授和欧阳崇珍教授七年米 对作者辛勤的教晦以及学业上的指导和帮助! 还要感谢那些七年来给予作者鼓励和帮助的其他老师与同学! 六参考文献 【l 】d a iz h i z h o n g ，r e a lp l a c e sa n dr e a lv a l u a t i o n so nac o m m u t a t i v er i n g j ，a c t a m a t hs i n i c a , s p e c i a li s s u e ，1 9 9 4 ，1 0 ：2 4 2 9 【2 】 戴执中实环上的h e n s e l 位 j 抚州师专学报，1 9