（基础数学专业论文）套子代数上几类线性映射的研究.pdf

套子代数上几类线性映射的研究 潘芳芳 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，由于它在数学和其它学科中 的广泛应用，从而得到了很大的发展非自伴算子代数与其它数学分支有着各种 紧密的联系，因此很快成为算予代数的一个重要分支其中套代数是一类最重要 的非自伴非半素的算子代数，它的有限维模型是上三角块矩阵代数，而无限维情 形则要复杂得多对于套代数上一些线性映射的研究，已有许多一系列深刻漂亮 的结果本文首先在b r e a r 和s e m r l 等结论的基础上进一步在v o nn e u m a n n 代 数中的任意套对应的套子代数上研究了作用在幂等元上分别是j o r d a n 导子和广 义j o r d a n 导子的一类线性映射，同时研究了因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数 及任意套代数上的一些线性映射针对套子代数上已有的一些线往映射的研究， 在本文最后我们对一类特殊的矩阵代数上的局部线性映射进行了刻画本文共分 为四章 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义及其一些已知的结论等 我们首先介绍了一些符号表示的意义，以及导子，广义导子，局部导子，局部广 义导子，双局部导子，保核值映射，套及套代数等概念最后给出一些已有的分 另4 与j o r d a n 导子和广义j o r d a n 导子相互等价的引理及有关v o nn e u m a n n 代数 中的一些熟知的定理 第二章我们对v o nn e u m a n n n 代数m 中的任意套卢对应的套子代数a l g m f l 到m 上的弱连续的线性映射日进行了研究分别得出对任意幂等元e a l g m 卢， 若0 ( e ) = o ( e ) e + e o ( e ) ，则0 是a l g m f l 上的一个j o r d a n 导子；若0 ( e ) = 口( 昱) e + e 0 ( e ) 一e o ( i ) e ，则护是a l g m f l 上的一个广义j o r d a n 导子进而对任意 有限套卢对应的套代数a l g 3 到b ( h ) 的范数连续的线性映射0 有同样的结果成 立这推广了b r e a r 和s e m r l 的结论 第三章分别对因子v o nn e u m a n n 代数中的套子代数和任意套子代数上的半 局部线性广义导子和线性保核值映射进行了研究同时还在因子v o nn e u m a n n 代 数m 中的套子代数a l g m 3 上证明了如果妒：a l g m f l 寸m 是一个线性映射，且对 任意a a l g m 3 有妒( a ) = x a 其中x ，y m 那么妒是一个广义内导子当且 仅当存在投影p 卢使得x = a p + x p 上，y = 弘p 上+ py 其中a ，p c 第四章我们对矩阵代数m 3 ( c ) 中的子代数c i + s p a n e 1 2 ，e 1 3 ，易3 上的局 部线性映射进行了刻画，其中( 日， ( i = 1 ，2 ；j = 2 ，3 ) 表示m 3 ( c ) 中的一簇矩 阵单位，并给出此代数上的几种线性映射成立的等价条件。 关键词；套；套代数；导子；广义导子；局部导子；半局部导子；半局部广 义导子；双局部导子；保核值映射 i i r e s e a r c h e so ns o m ec e r t a i nl i n e a rm a p p i n g so n n e s ts u b a l g e b r a s p a nf a n g - f a n g a b s t r a c tt h e s t u d y o f o p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g i n i n2 0 t h c e n t u r y s i n c e i t i su s e dw i d e l yi nm a t h e m a t i c sa n do t h e rs c i e n t i f i cb r a n c h e s ，i tg o tg r e a td e v e l o p m e n t a tt h eb e g i n n i n go ft h e2 0 t hc e n t u r y n o n s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r ai sc l o s e l yr e l a t e dt oo t h e rm a t h e m a t i c sb r a n c h e s s oi tq u i c k l yb e c o m e sa ni m p o r t a n tb r a n c h e o fo p e r a t o ra l g e b r a s n e s ta l g e b r ai sac l a s so fm o s ti m p o r t a n tn o n s e m i s i m p l ea n d n o n - s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a i t sf i n i t ed i m e n s i o n a lm o d e li su p p e rt r i a n g u l a r m a t r i xa l g e b r a ，b u tt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o d e li sm o r ec o m p l e x i nt h i sp a - p e r ，b a s e do nt h ec o n c l u s i o n so fb r e a ra n ds e m r l ，w ed i s c u s st h el i n e a rm a p p i n g s t h a ta r er e s p e c t i v e l yj o r d a nd e r i v a t i o na n dg e n e r a l i z e dj o r d a nd e r i v a t i o na c t t i n go n i d e m p o t e n t so f n e s ta l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt o a r b i t r a r yn e s t s a tt h es a m e t i m e w e d i s c u s ss e m i - l o c a ll i n e a rg e n e r a l i z e dd e r i v a t i o n sa n dl i n e a rk e r n e l - r a n g ep r e s e r v i n g m a p p i n g s o i ln e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o rv o nn e u m a n n a l g e b r a sa n dn e s ta l g e b r a s ， a n dw ec h a r a c t e rg e n e r a l i z e di n n e rd e r i v a t i o n so ff a c t o ry o nn e u m a n n a l g e b r a f i n a l l y , w e c h a r a c t e rt h el i n e a rl o c a lm a p p i n g so na s p e c i a lm a t r i xa l g e b r a t h i sp a p e r c o n t a i n sf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w em a i n l yi n t r o d u c es o m en o t a i n sa n ds o m ew e l l - k n o w nr e s u l t s 。 f i r s t l y , w eg i v es o m et e c h n o l o g i e sa n dn o t a t i o n s ，a n di n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so f d e r i v a t i o n ，g e n e r a l i z e dd e r i v a t i o n ，l o c a ld e r i v a t i o n ，l o c a lg e n e r a l i z e dd e r i v a t i o n ，b i l o c a ld e r i v a t i o n 7k e r n e l r a n g ep r e s e r v i n gm a p p i n g ，n e s ta n dn e s ta l g e b r ae t c s u b s e q u e n t l y ，w eg i v es o m e w e l l - k n o w nr e s u l t st h a ta r en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o fj o r d a nd e r i v a t i o na n dg e n e r a l i z e dj o r d a n d e r i v a t i o n ，r e s p e c t i v e l y , a n di n t r o d u c e s o m et h e o r e m so ny o nn e u m a n na l g e b r a i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s sw e a k l yc o n t i n u o u sl i n e a rm a p p i n g sf r o mn e s ts u b a l - g e b r aa l g m 卢c o r r e s p o n d i n g t oa r b i t r a r yn e s t 口o fy o nn e u m a n n a l g e b r am i n t om a n dp r o v et h a ti fo ( e ) = o ( e ) e + e o ( e ) f o ra l li d e m p o t e n te a l g m f l ，t h e n0 i saj o r d a nd e r i v a t i o n ；a n dt h a ti f0 ( e ) = o ( e ) e + e o ( e ) 一e o ( i ) e ，t h e n0i sa g e n e r a l i z e dj o r d a nd e r i v a t i o n ，w eg e tt h a tt h es a m ec o n c l u s i o nh o l d sf o rm o r m c o n t i n u o u sl i n e a rm a p p i n g sf r o mn e s ta l g e b r aa l 匿8c o r r e s p o n d i n gt of i n i t en e s t8 i n t o8 ( 日) ，t h i sg e n e r a l i z e st h ec o n c l u s i o n so fb r e a ra n ds e m r l i nc h a p t e r3 ，w ea n a l y s i st h el i n e a rs e m i l o c a lg e n e r a l i z e dd e r i v a t i o n sa n dl i n e a r i i i k e r n e l - r a n g ep r e s e r v i n gm a p p i n g s o nn e s ts u b a l g e b r ao ff a c t o rv o nn e u m a n na l g e b r a a n da r b i t r a r yn e s ta l g e b r a w ep r o v et h a ti f ：a l g u 芦_ mi sal i n e a rm a p p i n g a n d 妒( a ) = x a y f o ra l la a l g m f l ，w h e r ex ，y m ，t h e n 妒i sag e n e r a l i z e d i n n e rd e r i v a t i o ni fa n do n l yi ft h e r ee x i s t sap r o j e c t i o n | p 口s u c ht h a tx = a p + x 尸上，y = 弘p 上+ p kw h e r ea ，p c i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e ra n ds t u d yt h el o c a ll i n e a rm a p p i n g s o nt h es u b a l g e b r ac i + s p a n e 1 2 ，及3 ，易3 ) o fm a t r i xa l g e b r am 3 ( c ) ，w h e r e 墨f 搀= 1 ，2 ；j = 2 ，3 ) d e n o t em a t r i xu n i t so f1 3 ( c ) w eo b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a ts e r v e ll i n e a rm a p p i n g sa r et r u eo nt h i sa l g e b r a k e y w o r d s ：n e s t ；n e s ta l g e b r a ；d e r i v a t i o n ；g e n e r a l i z e dd e r i v a t i o n ；l o c a l d e r i v a t i o n ；s e m i l o c a ld e r i v a t i o n ；s e m i l o c a lg e n e r a l i z e dd e r i v a t i o n ；b i l o c a ld e r i v a t i o n ；k e r n e l - r a n g ep r e s e r v i n gm a p p i n g 学位论文独创性声明 ? 苌7 2 8 8 1 6 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确说明并表示谢意。 作者签名；沿娉蔫 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：滏莹苤日期： 知矿( 中 前言 算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，现在这一理论已成为现代数学中一 个起领头作用的热门分支它与量子力学，非交换几何，线性系统和控制理论等 其它学科都有着出入意料的联系和相互渗透r v k a d i s o n 和i m s i n g e r 于 1 9 6 0 年发表的“2 m a n g u l a ro p e r a t o ra l g e b r a s ”和j r r i n g r o s e 于1 9 6 5 ，1 9 6 6 年 发表的“o ns o m ea l g e b r a so f o p e r a t o r si ，i i “，开创了非自伴算子代数的研究相 对于自伴算子代数，非自伴算子代数更年轻，数学现象更丰富，方法也更多样， 并且与其他数学分支也有各种紧密的联系，因此很快成为算子代数的一个重要分 支，吸引了一大批数学家投身其中，k a d i s o n ，s i n g e r ，r i n g r o s e 等人对此做出了巨 大贡献k r k a d i s o n 【1 9 的专著。n e s ta l g e b r a s ”提出许多新的问题，极大 推动了套代数，进而也推动了非自伴算子代数的研究套代数作为一类最重要的 非自伴算子代数，它的有限维模型是上三角块矩阵代数，而无限维情形则要复杂 得多 近十几年来，一大批学者如b r e a r 【1 1 ，叠e m r l 【1 1 1 ，c h r i s t e n s e n 【2 2 ，s a k a i 【2 3 1 ，j i n c h u a nh o u 3 0 1 ，j i a n h u az h a n g 【2 0 ，2 9 ，g u o - x i n gj i 【2 0 等先后对套 代数上的导子，j o r d a n 导子，局部导子等几类线性映射的问题进行了深入的研 究，并不断提出新的思路并且这些线性映射已成为研究套代数不可缺的重要工 具在【1 1 ，1 2 】中，b r e a r 和s e m r l 研究了标准算子代数和作用在可交换环上 的矩阵代数上的所有幂等元e a 满足0 ( e ) = o ( e ) e4 - e o ( e ) 的线性映射 他们证明了如果a ：m 。( r ) ，r 是一个可交换的单位环且1 2 r ，则每个对任 意幂等元e a 满足o ( e ) = o ( e ) e + e o ( e ) 的线性映射口是一个导子；且证 明了每个对任意幂等元e a 满足o ( e ) = o ( e ) e4 - e o ( e ) 的标准算子代数上 的弱连续线性映射8 是一个导子 1 9 8 2 年，f g i l f e a t h e r 和d r ，l a r s o n 2 7 引入并研究了一类比套代数更一般的非自伴算子代数一y o nn e u m a n n 代数中的 套子代数进而，我们对y o nn e u m a n n 代数中的任意套对应的套子代数a l g m f l 到m 的弱连续的线性映射口进行了研究证明了若对任意幂等元e a l g a 3 有 o ( e ) = p ( e ) e4 - e o ( e ) ，则日是一个j o r d a n 导子；若对任意幂等元e a l g m p 有 o ( e ) = o ( e ) e + e o ( e ) 一e o ( i ) e ，则0 是一个广义j o r d a n 导子 局部导子的概念是由k a d i s o n 5 】，l a r s o n 和s o u r o u r 7 】引入的，并且k a d i s o i l 【5 ，t h e o r e ma 1 证明了从v o nn e u m a n n 代数m 到其双模上的范数连续线性 局部导子是一个导子l a r s o n 和s o u r o u r 【7 ，t h e o r e m2 1 在b ( x ) 上证明了同 样的结果也成立，其中b ( x ) 表示b a n a c h 空间z 上的所有有界线性算子组成 的代数b r e a r 6 】6 证明了k a d i s o n 的定理能够被退化成从* c o i ln e u m a n n 代数 到其范数双模的一个局部导子b r e g a r 和s e m r l 1 1 ，1 2 还在b ( h ) 及标准算子 代数上对局部导予做了进一步的研究由局部导子的定义可知z 如果0 是从4 到上的局部导子。且a ，b ，口a 使得a b = b c = 0 ，那么a o ( b ) c = 0 受此启发本文第三章首先引入了半局部广义导子的概念，并在此基础上对y o n n e u m a n n 代数的套子代数上的线性半局部广义导子进行了研究更确切地，证 明了因子v o nn e u m a n n 代数的套子代数上的每个范数连续的线性半局部广义导 子是一个广义导子特别地，任意套代数的每个范数连续的线性半局部广义导子 是一个广义内导子并证明了因子v o dn e u m a n n 代数的套子代数上的每个范数 连续的线性保核值映射是一个广义导子；由此得到任意套代数的每个范数连续 的线性保核值映射是一个广义内导子张建华教授曾对v o nn e u m a n n 代数中的 套予代数这类非自伴算子代数上的导子进行了讨论。并得到一系列深刻的结果 在本章则对因子v o bn e u m a n n 代数m 中套子代数a l g m f l 上的广义内导予进行 了刻画，证明了如果妒：a l g m f l m 是一个线性映射，且对任意a a l g m 卢有 妒( a ) = x a r 其中x ，y m 那么妒是一个广义内导子当且仅当存在投影p 卢 使得x = a p + x p l ，y = 卢p j 。+ py 其中a ，c 局部线性映射是算子理论和算子代数中十分活跃的研究领域之一在过去的 十几年里，类似的问题已得到一系列的关注【1 ，7 ，1 0 ，1 1 在 1 7 】中，c r i s t 又研 究了有限维c s l 代数上的局部导子本文第四章我们研究了矩阵代数 如( c ) 中 的子代数上的一些局部线性映射对m 3 ( c ) 的子代数4 上的一些局部线性映射 进行了刻画，得出这些线性映射成立的等价条件有关v o nn e u m a n n 代数的理论 请参阅 9 ，1 8 ， 2 第一章预备知识 1 1 基本概念 设日为复可分h i l b e r t 空间，召( 日) 表示h i l b e r t 空间日上的全体有界线性 算子m b ( h ) 为y o nn e u m a n n 代数p 表示m 上的套，a l g a 4 3 表示m 中 相对于套卢的套子代数c 表示复数域，表示日上的单位算子设a m ， r ( a ) 和n ( a ) 分别表示算子a 的值域和零空间，表示a 一双模 定义1 1 1 【1 设4 是一个代数，是4 的双模，d 是从到的线性映 射 ( 1 ) 若对任意a ，b a 有5 ( a b ) = 5 ( a ) b + a 6 ( b ) ，则称6 是上的一个 导子； ( 2 ) 若存在t 使得对任意a a 有6 ( a ) = a t t a ，则称6 是上的 一个内导子； ( 3 ) 若对任意a a 存在一个导子n ( 依赖于a ) 使得6 ( a ) = 如( a ) ，则称6 是4 上的一个局部导子 定义1 1 2 【3 】设一4 是一个代数，是4 的双模，6 是从4 到的线性映 射若对任意a ，b a 有6 ( a b ) = 5 ( a ) b + a t f ( b ) 一a 6 ( i ) b ，则称j 是一4 上的 一个广义导子 定义1 1 3 n 设以是一个代数，是一4 的双模，6 是从一4 到的线性映 射 ( 1 ) 若6 是一个广义导子，且存在t ，s 使得对任意a a 有6 ( a ) = a t + s a ，则称6 是4 上的广义内导子 ( 2 ) 若对任意a a 有5 ( a ) n ( a ) r ( a ) ，则称6 是4 上的个保核值映 射 定义1 1 4 n 设一4 是一个代数，是a 的双模，6 是从4 到的线性映 射若对任意a a 存在一个广义导子以( 依赖于a ) 使得6 ( a ) = 5 a ( a ) ，则称6 是4 上的局部广义导子 定义1 1 ，5 1 3 设一4 是一个代数，cb ( h ) 是一4 的双模，6 是从4 到 的线性映射如果对任意a a 和岔h 存在一个导子d a ，。( 依赖于a ，z ) 使得 6 ( a ) x = 5 a ，。( a ) z ，则称6 是4 上的一个双局部导子 定义1 1 6 【1 5 12 1 】( 1 ) v o l ln e u m a n n 代数m 中的套卢是指m 中的一个全序 3 投影簇，它包含0 和，且在强算子拓扑下是闭的 ( 2 ) m 中关于套p 的套子代数记作a l g m 卢，并定义为 a l g m 卢= 丁m ：p t p = tp p 卢) 当m = b ( n ) 时，t “i g m f l 称为套代数，并记为a l g f l ， 定义1 1 ，7 【1 5 】设芦是m 中的一个套p 口，记 p + = i n f q 卢：q p ) ，只= s u p q 卢：q q 情形的证明类似于p q 情形的证明，所 以我们假定尸sq 引理2 2 7 设p q 卢，且a ，b m 则 8 ( a ) o ( a p b q ) = o ( p q ) a p b q + o ( a p b q ) p q + p q o ( a p b q ) + a p b q o ( p q ) ； ( b ) o ( a p b q ) a p b q + a p b q o ( a p b q ) = o ； ( c ) o ( a p q ) a p b q + a p q o ( a e b q ) + o ( a p b q ) a p q + a p b q o ( a p q ) = o ； ( d ) o ( a p q ) p b q + a p q o ( p b q ) + o ( p b q ) a p q + p b q o ( a p q ) = o ； ( e ) o ( a p q 上) p 上占b + a p q l o ( p 上五 口) + o ( p 1 b q ) a p q 上+ p 上b q o ( a p q 上) = o ； f ) o ( a p q 上) p b q + a p q 上o ( p b q ) + o ( p b q ) a p q 上+ p b q o ( a p q 上) = 0 ， 证明由p q + a p b q ，p q a p b q 是幂等元，直接可证( a ) 和( b ) 成立同 理再由p q + a p q + a p b q ，p q + a p q 是幂等元及( b ) ，可知( c ) 成立 易证p q + p b q + a p q ，p q + p b q 和p q + a p q 是幂等元，于是同上可知 ( d ) 成立又p 上0 上+ a p q 上+ 尸上，p 上q 上+ p 上b q ，j p l q 上+ a p q 上是幂等元 和p 1 q j 。+ a p q 上+ p b q ，p 1 q 1 + a p q 上，p 上q 上+ p b q 是幂等元，这可说明( e ) ， ( f ) 分别成立 引理2 , 2 8 设p q 卢，且a ，b m 则 o ( a e b q ) = o ( a p q ) p 上b q + a p q o ( p 上b q ) + o ( p 1 b q ) a p q + p 1 b q o ( a p q ) 证明由推论2 2 5 有 o ( p q ) p 1 b 口+ p q o ( p 上日o ) + o ( p 上b q ) p q + p 上b q o ( p q ) = p q o ( p q ) p 上b q + p q 毋f p 上q ) p 上b q + p q o ( p 上b q ) p 1 q + p 上q o ( p 上) p q + p 上b q o ( p 上q ) p q + p 上b q o ( p q ) = p q o ( q ) p 上b q + p q o ( p 上b q ) p 1 q = 0 ， 显然p q + p 上q + p 上b q + a p b q 是幂等元，因此 o ( a p b q 】= o ( p q ) p 1 b q + o ( p q ) a p b q + o ( p 上q ) a p b q + 口( p 上b q ) p q + o ( p 上b q ) a p b q + o ( a p b q ) p 上q + o ( a p b q ) p q 十o ( a p b q ) p 上b 口+ o ( a p b q ) a p b q + p q o ( p 上b q ) + p 上q o ( a p b q ) + p q o ( a p b q ) + a p b q o ( a p b q ) + p 上b q o ( p q ) + p 上b q o ( a p b q ) t a p b e ，o ( p 1 q ) + a p b q o ( p 1 b o ) + a p b q o ( p q ) 再由引理2 2 7 ( a ) ，( b ) 和( 5 ) ，( 6 ) 式有 o ( p 1 q ) a p b q + o ( p 上b q ) a p b q + o ( a p b q ) p 1 q + o ( a p b c t ) p 上z 强+ p 上q 日( a p b 日) + a p b q o ( p 上q ) + p 上b q o ( a p b q ) + a p b q o ( p 上b q ) = 0 9 ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 有 另一方面，因为p 上q + p 1 b 口+ a p q + a v b 口是幂等元，所以 o ( a p b q ) = o ( e 上b q ) a p b q + p 上q o ( a p b q ) + 8 ( p 上q ) a p b q + o ( a p q ) a p b q + a p b q o ( p 1 q ) + a p q o ( a v b q ) + o ( a v b q ) a p q + o ( a p b q ) p 上q + p 1 b q o ( a p b q ) ，则 + p 上b q o ( a p q ) + o ( a p b q ) p 上2 韬+ o ( p 上b q ) a p q 、叫 + a p b q o ( a p q ) + o ( a p q ) p 上b q + a p b q o ( p 上b q ) + a p q o ( p j b o ) + a p b q o ( a p b q ) + o ( a p b q ) a p b q 这样，引理2 2 7 ( b ) ，( c ) 和式子( 7 ) 及( 8 ) 说明对任意p ，q 卢，a ，b m o ( a p b q ) = o ( a p q ) p 上b q + a p q o ( p 上b q ) + o ( p 上b o ) a p q + p 上b 。o ( a p q ) 引理2 2 90 是冗吖( 卢) 上的一个j o r d a n 导子 证明设p iq 卢，则对任意兄1 ，r 2 冗m ( 卢) ，存在a ，b m 使得 r 1 = a p ，r 2 = b q 由引理2 2 6 ( d ) ，( e ) ，( f ) 有 o ( a p q ) p b q + a p q o ( p b q ) + o ( p b q ) a p q + p b q o ( a p q ) + o ( a v q 上) p 上b q + a p q 上o ( p 上b o ) + o ( p 上b q ) a p q 上+ p 1 j 珀o ( a p q 上) + o ( a e q 上) p b q + a p q 上o ( p b q ) + o ( p b q ) a p q 上+ p b q o ( a 尸q 上) = 0 这与引理2 2 8 证明了 o ( a p b q + b q a p ) = o ( a p ) b q + a e o ( b q ) + o ( b e ) a p + b q o ( a p ) 由于线性空间 a p ：p 卢，a m ) 在冗m ( 卢) 中是弱稠的，从而对任意 r l ，r 2 冗m ( 卢) 有 o ( r 1 r 2 + r 2 r i ) = o ( r 1 ) r 2 + n a o ( r 2 ) + 口( r 2 ) r 1 + r 2 0 ( r 1 ) 因此，0 是冗m ( 卢) 上的一个j o r d a n 导子 定理2 2 1 0 设p 是v o nn e u m a n n 代数m 中的任意一个套且a g m p 是相 应的套子代数，0 ：a l g m f l 斗m 是一个弱连续的线性映射如果对任意幂等元 e a l g m f l 有o ( e ) = o ( e ) e + e o ( e ) ，则0 是a l g m 卢上的一个j o r d a n 导子 证明如果卢是一个平凡套，则a l g m 卢是一个y o nn e u m a n n 代数。因此由 引理2 2 2 ，可知0 是一个j o r d a n 导子现我们假设卢是一个非平凡套 由引理2 2 2 ，引理2 2 6 和引理2 2 9 可得：对任意a ，b ，d 口m ( 卢) ，及 兄，r l ，r 2 冗m ( p ) 有下列( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 分别成立 1 0 ( 1 ) 8 ( a b + b a ) = 8 ( a ) b + a s ( b ) + o ( b ) a + 四日( a ) ； ( 2 ) o ( d r + r d ) = o ( d ) r + d e ( r ) + o ( r ) d + r 口( d ) ； ( 3 ) 0 ( r 1 r 2 + 见r 1 ) = o ( r 1 ) r 2 + r t o ( r 2 ) + 8 ( 兄2 ) r l + r 2 0 ( r 1 ) 这说明p 在9 u ( 3 ) + r i m ( 3 ) 上是一个j o r d a n 导子又因为d m ( ) + 冗m ( 卢) 在a l g m f l 中是弱稠的，因此p 在a l g m 3 上也是一个j o r d a n 导子 所以对任意st a l g m f l 有 e ( s t + t s ) = o ( s ) t + s e ( t ) + o ( t ) s + t e ( s ) 证毕 由定理2 2 1 0 ，可得推论 推论2 2 1 1 设卢是b ( n ) 中的一个有限套且a j 9 3 是相应的套代数，目： a l g f l - - - 4m 是一个范数连续的线性映射如果对任意幂等元e a 1 9 3 有0 ( e ) = 0 ( e ) e + s 0 ( e ) ，则8 是a l 驴上的一个3 0 r d a n 导子 证明当口是b ( h ) 中的一个有限套时，a 1 9 3 = z ) ( 3 ) 4 - 冗) 由定理2 2 1 0 可知口是a 1 驴上的一个j o r d a n 导子 2 3 套子代数上的广义j o r d a n 导子 定义2 3 1 设“是一个代数，是的双模，j 是从“到f 的线性映 射如果对任意a a 有d ( a 2 ) = 6 ( a ) a + a 6 ) 一a 6 ( ，) a ，则称6 是一4 上的一 个广义j o r d a n 导子 在下列前几个引理中我们假设一是从v o nn e u m a n n 代数m 到8 ( h ) 上的弱 连续的线性映射，且对任意暴等元e m 有o ( e ) = 0 ( e ) e + e o ( e ) 一e e ( i ) e 成立 引理2 , 3 ，2 设e ，f 是m 中的投影，且e f = f e ，则 o ( e f4 - f e ) = e ( e ) f + e e ( f ) 一e o ( i ) f4 - 0 ( f ) e4 - f e ( e ) 一f p ( ) e 证明由于e e f 是一个幂等元，所以目( e ) 一o ( e f ) = o ( e z f ) ( e e f ) + ( e e f ) o ( e e f ) 一( e e f ) 口( j - ) ( e e f ) ，故 2 0 ( e f ) = o ( e ) e f4 - e o ( e f ) 一e o ( z ) e f4 - o ( e f ) e + e f o ( e ) 一e f o ( z ) e ( 9 ) 1 1 另一方面，由e + e 上f 是幂等元，我们有o ( e + e 上f ) = o ( e + e 1 f ) ( e + e j f ) + ( e + e 上f ) o ( e + e 上f ) 一( e + e j f ) 口( d ( e + e 上f ) ，于是 鬻爱n + e f ) e9 e 哆f 埽o ( e 筏e g f 徊o 抽( i ) e ：0 ( 1 0 ) + 扫f e 上+ 上 1 一 上 = 、1 ”7 由( 9 ) 和( x 0 ) ，可得到 o ( e f + f e ) = o ( e ) f + e o ( f ) 一e o ( i ) f + o ( f ) e + f o ( e ) 一f o ( i ) e 证毕， 引理2 3 3p 是v o b n e u m a n n 代数m 上的广义j o r d a n 导子 证明由引理2 3 2 ，对任意投影e ，f m 有o ( e f + f e ) = o ( e ) f + e o ( f ) 一e o ( i ) f + o ( f ) e + f o ( e ) 一f o ( i ) e 从而对任意x e ) nm 有 o ( e x + x e ) = o ( e ) x + e o ( x ) 一6 0 ( i ) x + o ( x ) e + x o ( e ) 一x o ( i ) e 特别地，我们有 o ( 6 e a e + e a e e ) = o ( e ) e a e + e o ( 6 a 6 ) 一6 0 ( i ) 6 a 6、 + o ( 6 a e ) 6 + e a e o ( e 1 一e a e o ( i ) 6 、1 1 和 o ( e e 上a e 上+ e 上a 曰上e 1 = o ( 6 ) e 1 a e l + e o ( e 上a e l ) 一e e ( i ) e 1 a e 上( 1 2 ) + 口( e j a 6 上) e + e 上a e 上o ( e ) 一e 1 a e 上o ( i ) e 另一方面，由于e + e a e 上和e 一6 a e 上是幂等元，所以e ( e a 6 上) 6 a 6 。l + e a e 上o ( e a 6 上) = 0 且 o ( e e a e 上+ e a e 上e ) = o ( e ) e a 6 上+ e o ( 6 a e 上) 一6 0 ( z ) e a e 上，。 + o ( 6 a e 上) e + e a e 上o ( e ) 一e a e 上o ( i ) e l 1 0 7 类似地，由e + e 上a e 和e e 上a e 是幂等元有( o ( e 上a e ) e 1 a e + e 上a e o ( e 上a e ) = 0 和 o ( e e 上a e + e 1 a e e ) = o ( 6 ) 6 上a e + e o ( e 1 a e ) 一e o ( i ) e 上a e ， + 日( e 1 a e ) e + e j 。a e o ( 6 ) 一6 上a e o ( i ) e l 1 7 由( 1 1 ) 一( a 4 ) 式，对任意投影e m ，任意a m 有 o ( e a + a e ) = o ( 6 ) a + e o ( a ) 一e o ( i ) a + o ( a ) e + a o ( e ) 一a o ( s ) e 1 2 又因为p 是弱连续的，且m 中投影的有限线性组合在m 中是弱稠的，所 以对任意a ，b m 有 o ( a b + b a ) = o ( a ) b + a o ( b ) 一a o ( i ) b + 8 ( b ) a 4 - b o ( a ) 一b o ( i ) a 因此目是y o nn e u m a n n 代数m 上的广义j o r d a n 导子证毕 由引理2 3 3 ，可得如下引理 引理2 3 4 每个口m ) 到m 上的满足( 2 ) 的弱连续