（基础数学专业论文）extended+fisherkolmogorov方程解的存在性正则性及渐近性.pdf

摘要 本文应用算子半群理论：讨论了e ) 【t e n d e d 胁h e r - k o l n l o 霉叫0 v 方程初边值问题： 解的存在性，唯一性，芷则性与渐近性质主要结果如下 一，证明e f k 方程对应的线性算子的解析性质 二、利用不动点定理，讨论了e f k 方程饱和m i l d 解的存在性唯一性以及古典解的存 在唯一性 三、利用解析半群的性质，获得e f k 方程解的正则性，其解关于时间和空间变量都是 任意次可微的 四、获得e f k 方程整体解的存在性，并讨论了解的渐近性 关键词：b a n a c h 空闻；e f k 方程；半线性发展方程；解析半群；m i l d 解；古典解；整体 解；正则性；渐近性；不动点定理 中图分类号：0 1 7 5 1 5 b 以 仉o = 黯 | | 磊一 a b s t r a c t b a s e d o nt h es e m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r st h e o r y , t h ep a p e rs t u d i e s t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，r e g u l a r i t ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s t ot h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o re x t e n d e df i s h e r - k o l m o g o r o v e q u a t i o n s ： l 饥+ 7 u 。一秕。+ ， ) = 0 ，z 【0 ，1 1 ，t 0 u ( 0 ，t ) = u ( 1 ，) = 0 ，t ( o ，t ) = t ( 1 ，力i 0 i 札( z ，0 ) = u o a n dt h em a i nr e s u l t sa r e a sf o l l o w s ： 1 s h o wt h a to p e r a t o r - ag e n e r a t o ra na n a l y t i cs e m i g r o u p s 2 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs a t u r a t e dm i l ds o l u t i o n sa n dc l a s s i c a l 8 a t u r a t e ds o l u t i o n st ot h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o re x t e n d e d f i s h e r - k o l m o g o r o ve q u a t i o n sb yb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e m 3 b yu s i n ga n a l y t i cs e m i g r o u p st h e o r y , w ed e r i v er e g u l a r i t yr e s u l t sf o r t h ee x t e n d e df i s h e r - k o l m o g o r o ve q u a t i o n 4 w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o na n d d i s c u s sa s y m p - t o t i cb e h a v i o ro ft h i ss o l u t i o n k e y w o r d s ：b a n a c hs p a c e s ；e f ke q u a t i o n s ；s e m i - l i n e a re v o l u t i o ne q u a - t i o n s ；a n a l y t i cs e m i g r o u p s ；m i l ds o l u t i o n ；c l a s s i c a ls o l u t i o n ；g l o b a ls o l u t i o n ； r e g u l a r i t y ；a s y m p t o t i c ；f i x e dp o i n tt h e o r e m s u b j e c tc l a s s i e a t i o n ：0 1 7 5 1 5 m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：遂整日期：堕年! 月丝目 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：a 魄透蓬导师签名：查墨：婺日期：竺2 年妄月型田 上一j - 刖菁 发展方程 e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程广义地说，是包含时间变 数t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或其他自然科学中用 来描述随时问而演变的状态或过程狭义地说，它是指可以化为一个b a n a c h 空间中 的抽象微分方程的c a u c h y 问题来处理的那些数学物理方程如波动方程、热传导方 程、s c h r s d i n g e r 方程、流体动力学方程组、k d v 方程、反应扩散方程等等以及由这些 方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合方程组，都属于发展方程的范畴抽象空间的微 分方程是一种无穷维系统，与有限维空间的常微分方程有着本质的区别，有限维空间的 常微分方程的许多方法和结论不再适用而由e h i u e ，r s p h i l 坳s 和k y o s i d a 等人发展 的有界算子半群理论则成为处理抽象c a u c h y 问题的重要工具，有力的推动了问题的研究 研究中表明，对于线性的发展方程，如波动方程、热传导方程、s c h r s d i n g e r 方程，只 要初值适当的光滑，其c a u c h y f 司题的解也必具有适当的光滑性，且在t o 的半空间整体 存在但是，非线性发展方程则不同，一般古典解只在时间t 的一个局部范围存在因此，在一 定的条件下，获得非线性发展方程整体解的存在性，以及考察解在时间t o o 时的渐近性 态，有重要的意义 此外，随着现代的自然科学和工程技术的发展，为了更加精确模拟现实中的问题，模型 不仅局限于经典的二阶偏微分方程，很多问题在数学上表现为高阶偏微分方程因此，本 文的研究对象选择了一个非线性高阶发展方程，在物理、生物和化学方面有着广泛应用 的e x t e n d e df i s h e r - k o l m o g o r o v 方程： 砘+ 1 t 翻一t k t + t 3 = 0( 0 - 1 ) 该方程源自于标准的二阶f i s h e r - k o l m o g o r o v ( f k ) 方程 t l t u 一t + t 3 = 0( 0 - 2 ) f k 方程，是1 9 3 7 年由r f i s h e r 和k o l m o g o r o v 首先提出来的，用以描述生物种群的扩散与适 应问的相互作用后来，c o u l l e t 1 l i r s a r d o o s 2 发现了模型中的一些缺陷，根据实际的需要 增添了四阶导数项，得到了方程他1 ) 因为，方程他1 ) 可以看作是f k 方程自然的扩展，所以 命名为e x t e n d e df i s h e r - k o l m o g o r o v 方程 简称e f k 方程 。 1 莆言 e f k 方程应用广泛经常应用的方面包括有双稳态系统的图式形成( p a t t e nf o r m a ， t i o n ) 1 ，2 】，总体遗传学【3 】，液晶中畴壁的传播问题f 4 】，反应扩散系统中的行波【5 】，某种退化 状态的振幅方程的不稳定性【6 】，特别是临界点( 又称l i p s c h i t z 亡( ) 附近的相变【7 】，由于此时 高阶导数项表示的自由能量泛函，不再是可以被忽略的，所以增加稳定的四阶导数项是十 分必要的 正是由于其广泛的背景，所以e f k 方程受到了诸多关注近些年，关于e f k 方程的研 究主要集中在方程( o - i ) 的静态方程 1 t 一札龆一u + 矿= 0( 0 - 3 ) 上，方程( 0 - 3 ) r 要作适当变量的变换，取 1 t t ( 功= 硪纷) ，q = 一去 就是熟悉的c a n o n i c a l 方程 弛。+ g t 蹦一“+ 矿= 0 ( 0 - 4 ) p e l e t i e r 等人在这方面作了大量的工作，得到了一系列的研究成果降1 8 】依新的不 同取值，获得了多种的周期解( p e r i o d i cs o l u t i o n ) ，异宿解( h e t e r c f i n i cs o l u t i o n ) 和同宿解( h o m o c l i n i cs o l u t i o n ) 其中，文【8 ，l o ，1 6 - 1 8 在边值条件 u ( o ) = “( 二) = ( o ) = ( 工) = 0( 0 _ 5 ) 下，讨论了问题( 0 - 4 ) ( 0 - 5 ) 周期解的存在性令 l 1 = 7 r 利用极小化原理( m i n i m i z a t i o nt i l e o d e m ) 证明了当l l 1 时，问题存在非平凡解，当工 m l l 时，至少存在m 个非平凡解；而当工 时，情况 莆言 会很复杂，出现周期，混沌等有界解，见文【1 l ，1 2 ，1 3 ，1 6 1 方法上，文【8 ，9 l 用打靶法，极小化原理 等方法获得了解的存在性，文【15 】用先验估计方法，进一步证明了整体解的存在性另 外，文 1 2 - 1 4 ，1 7 对一般的情形 t l j “+ + a u + b u s = 0 利用山路引理等方法，获得了方程同宿解的存在性 对随时间演变雕发展型e f k 方程，研究其解的长时间性态的结果相对较少2 0 0 4 年 文【1 9 】，在周期边值条件 、 u , j ( o ，t ) = t u ，t ) ，j = 1 ，2 ，3 ，4( 0 - 6 ) 和初值条件 ( ，0 ) = t l o ( z ) ， ( o - z ) 下，研究了班p k 方程的厨期初边值目题( o - 1 ) ( 0 - 6 ) ( o - 7 ) ，获得了解的存在唯一性证明了系统 在l 2 中整体吸引子的存在文【2 0 ，2 1 ，2 2 j 在边界条件 u ( o ，t ) = ( 1 ，t ) = 0 ，u ，( 0 ，) = ( 1 ，t ) = 0 ，( 0 - 8 ) 或 u ( o ，t ) = u ( a ，t ) = 0 ，( 0 ，t ) = t ( 1 ，) = 0 ，( 0 - 9 ) 研究e f k 方程初边值问题( 0 - 1 ) ( 0 - 7 ) ( 0 - 8 ) 和( 0 - 1 ) ( 0 - 7 ) ( 0 - 0 ) ，并针对问题( o - i ) ( o - 7 ) ( o - s ) ，获 得了弱解的存在性唯一性和正则性文 m - 2 2 使用的主要方法都是g a l e r k i n 有限元逼近 的方法 本文的主要目的是，利用算子半群和不动点定理的方法，讨论无穷区间上e f k 方程初 边值f 日a ( o - i ) ( o - 7 ) ( 0 - 9 ) 氍j m i l d 解古典解的存在唯一性，正则性，以及整体解和解的渐近性 态；对比文 2 1 ，2 2 】中的弱解结果，获得了古典解在正则性上，文 2 1 ，2 2 】对初值要求较高，并 且要想进一步提高解的正则性，必须不断提高初值的光滑程度，而本文在对初值较弱的限 制下，获得了古典解，并证明了解关于时间变量t 和空间变量z 都无限次可微的，获得了较好 的正则性本文结构安捧如下： l 中，我们介绍了文中主要工具解析半群必要的准备知识，和e f k 方程相应线性方 程的结果 3 前言 2 中，利用算子半群的知识讨论t e f k 方程局部m i l d 解和古典解的存在性唯一性，在 此基础上，又获得了饱和解的存在性 3 是本文的主要工作，讨论j e f k 方程解的正则性 4 中，证明了整体解的存在性，并讨论了解的浙近性 4 1 线性方程的解析性 本文研究e ) 【t e n d e d 盹h e r k 0 l m o g o r o v ( e f k ) 方程初边值问题： i 啦+ 靠一“嚣一让+ 矿- 0 ，z i = 【0 ，1 1 ，t 0 ， t ( o ，t ) = t ( 1 ，t ) = 0 ，( o ，t ) = u z z ( 1 ，t ) = 0 ， ( 1 - 1 ) 【( z ，o ) = 蛳 解的存在唯一性，正则性和渐近性因为，要用算子半群的方法把方程( 1 1 ) 化为b 龃a c h 空 间的抽象发展方程来处理所以，我们首先引入算子半群的一些结果 1 1 解析半群的有关结果 定义l 1 嘲设= d c i 妒l 口( z ) 忱) 为复平面上的角形区域，其中一 妒l o o ，当a 岛： a i n e a o u o ) 时，使得a ，+ a 有有界逆。且 矿临而m ， 则称 为x 上的扇形算子 5 1 线性方程的解析性 引理1 1 l 设a 为b a n a e h 空间x 中的扇形算子测一a 生成x 中指数稳定的解析半 群t c o c t o ) 定义1 4 嘲设x 为b a n a c h 空间，a ：d ( a ) 一x 为线性算子，称 s ( a ) = t ( z + ，a z ) j z d ( a ) ，i i * 1 i = ：1 ，茁+ ，( z ) ) 称为a 的数值域，其中j ：x x 为对偶映射 引理1 2 嘲设a 为x 中闭线性算子，s ( a ) 为a 的数值域，e 为可可的余集，则 ( 1 ) 当a 时，a ，一a 为闭值域单射； ( 2 ) 当a en p ( a ) 时，i i r ( x ，a ) i i 磊桶； ( 3 ) 设岛为的连通分支，若pne o d ，则cp ( a ) 定理1 1 设a 为x 中的疆定算予，0 p ( a ) ，若丑口( 0 ，詈) ，使s ( a ) cc 芝k ，其中， 。= 川口( a ) j o 时，印为穗定闭线性算亏乞 ( i i ) 当o o l 0 ，有9 a 一。i l g 设o o ，记为a 的分数幂小的定义域d ( a “) 按范数 ，i f 。= 小构成 的b a a c h 空间特别地，) c o = 墨j 0 = d ( a ) ，当0 0 还需要以下s o b o l e v 空间嵌入定理： 7 1 线性方程的解析性 引理1 6f 矧设qcr n 是一个具有伊1 延拓性质的开集，1 p ，而a 是在x = p ( n ) 中的一个扇形算子，对某个m2l 满足d ( a ) = 五一w m , ，( n ) ，则对于0sa 1 ， k 一k , p ( q ) ，当k n q o ；而+ k + 矿= 学一 - 7 1 2 1 - 厕f + 2 1 r 2 7 1 + 4 7 百- 厕一 。， 所以，有0 k _ 7 1 2 由文【2 3 】，方程( 1 6 ) 的解为 牡= ，y z l z l g 1 ( 屯r ) a 2 ( _ 啪( s ) d s 机 这儿，g l ( ，r ) ，g 2 ( r s ) 是相应二阶边值阿是的g r e e n 函数，分别为 g l ( t ，r ) = g 2 ( r ，s ) = o t r 1 0 r t 1 0 f s 1 o s r 1 i “0 ； 相应的( a ，“) = 0 ，当且仅当t = 0 所以，a 是正定的 9 筮挚铲 舞一 = 星l = 量| 堕 塑 s 一 目一 ，。i，卜r，1【 1 线性方程的解析性 因此，由定理1 2 知，一a 生成工2 中指数稳定的解析半群 1 3 扇形算子线性发展方程的有关结果 设0 a + o o ，j = ( 0 ，司，e f k 方程初值问题( 1 2 ) 相应的线性方程为 针胤勘o ) ，t ej (i-8) i “( o ) = u o 这几，a 是x 上的扇形算子，一a 生成指数稳定的解析半群t o ) 定义1 6 问题( 1 8 ) 的古典解是指：u ( t ) e ( 【o ，a l ，x ) 在( o ，叫上连续可微r u ( t ) d ( a ) 满足方程( 1 - 8 ) 此时，t ( t ) 可由半群t ( t ) 表示： “( ) = t ( ) t l o + z 。t o s ) ( s ) 幽( i - 9 ) 当j i l 1 x ) 时，由( 1 - 9 ) 式确定的( t ) e ( 正x ) 称为方程( 1 8 ) 的m i l d 解 引理1 7 嘲设 ( t ) l 1 ( ( o ，d ) ，x ) 在( o ，口) 上连续，令口( t ) = f dt ( t s ) h ( s ) d s ，则初值 问题( 1 8 ) 对每个撕d ( a ) 存在古典解，只需下列条件之一成立： ( 1 ) ( t ) 在( o ，n ) 上连续可微； ( 2 ) v ( t ) d ( a ) ，t ( o ，a ) r a v ( t ) 在( o ，口) 上连续 注：此引理只需一a 生成岛半群即可 定理1 3 设j = ( 0 ，司，h c ( 正x ) ，0sn p 1 , r 7 = p o 1 ，u o 知，刘 方程( 1 8 ) 的砌d 解u t - ( j , 墨) 且下式定义的映射：日( 咖， ) ( t ) = t ( t ) u o + f ：t ( t s ) ，l ( 8 ) 幽映砀xa x ) 入c 叶( z k ) 连续 证明对v 0 t 1 t 2 ，由引理1 5 有 i t ( t 2 ) u o t ( t 1 ) t 1 0 0 。= i i a 。( t ( t 2 ) 一t ( t 1 ) ) t 幻0 = i i a 一佃一。( t ( 如) 一t ( t 1 ) ) a a u d i sc l i a 一垆一。( t ( t 2 一t 1 ) 一，) f l t o p c 8 y 一1 d s i i , , 0 1 1 p - - t l ，功 = c t 2 一i l l l 8 t l o 怕 所以t ( t ) u o 伊( z 丘) 再估计”( d ，l，幻 i i v ( t a ) - v ( t , ) l l 。si i a 。( t ( 如一s ) 一t ( t , - s ) ) h ( s ) d s 1 + l i a 。t ( 如一s ) h ( s ) d s l f 垒厶+ 如 j 0j “ 1 0 1 线性方程的解析性 对第一部分，可得 t 2 = 0 a 。t ( 如一s ) l l ( s ) d 8 e ( t 2 一s ) 一。d s l i h l l o g ( 如一t 1 ) 1 一。i l h l l c 对第二部分，得 ，t 1，t 1 五i i a o ( t ( t 2 一s ) 一t ( t l s ) ) d i i h l l o = l i a o ( t ( t 2 一t l + s ) 一t ( s ) ) l d s i l 0 口 ，t lp t a - t l + 8f t l = i i a l + a t ( r ) d r o 如i i h l l c d p 一。一( t m t l4 - s ) 一。】d s i i h l l o j 0 j 0 j 0 ；g 弘 一。一易一“+ ( t 2 一t - ) 1 一。】1 i h l l osg f ( 亡2 一t ，) 1 一。】1 i h l l o 因此i i v ( t 2 ) 一v ( t 1 ) l l 。g ( 屯一t 1 ) 1 一。i i h l l o c ( t 2 一f 1 ) ，i i h l l o 得i l u l l c ，c ( 1 l x l b + l i l i g ) 即 i h 0 , ，h ) l l c ，c ( u x l l a + i i h l l o ) 所以，h 映昂xc ( zx ) 入c - ( z 墨) 连续 定理1 - 4 设l l o x ，h c 叶( ( o ，口1 ，x ) ，则方程( 1 8 ) 的m i l d 解u e ( 【0 ，川，x ) n0 1 ( ( o ，a l ，x ) f 1o ( ( o ，n 】，墨) 为x 中古典解 证明 u ( t ) = t ( t ) u o + t ，( ) 是方程( 1 8 ) m i l d 解 由于t ( t ) 是解析半群，所以t ( t ) u o 是方程的古典解 一 要证，v ( t ) d ( a ) ，t 正r a v ( t ) 三1 ( zx ) 在( o ，】上连续 o ) = r t ( t s ) _ 7 l ( s ) d s = t t ( t s ) ( 危。) 一 ( t ) ) d + r t 一s ) o ) 如 = t o s ) ( 0 ) 一h ( t ) ) d t - i - t ( s ) h ( t ) d s 垒t ，1 ( t ) + t j 2 ( t ) 显然，抛( t ) d ( a ) 且a v 2 ( t ) = t ( t ) h ( t ) 一_ i l ( t ) ，所p a v 2 ( t ) g ( 正x i ) 而 i i a v , ( t ) l i i i a t ( t 一8 ) l i 矗( t ) 一h ( s ) l l d 8 c ( t s ) 一1 0 s y d s c i 1 ，有丘一e x ，则g ：e e x 局部l i p b c h i t z 连 设j = ( 0 ，司( 0 a + o o ) ，若乱( t ) e ( z x ) 满足积分方程 u ( t ) = t ( t ) u o + t ( t s 蛔0 ( s ) ) d s ，t j ( 2 - 2 ) 则称u ( t ) 为方程仁1 ) 的l i l d 解设“为方程仁1 ) 在区间【0 ，t ) k 的l i l d 解，若t 不能向右 延拓为方程( 2 - 1 ) 在更大区间上的m i l d 解，则称u 为方程( 2 - - 1 ) 的饱和m i l d 解若t e ( 【0 ，d ，e ) n c l ( ( o ，”，x ) n c ( ( o ，q ，x i ) ，则“为方程协1 ) 的古典解 定理2 1 ( 局部存在性) 设 幻， ( 互3 ) i 缸( 屯) = u o 在 t o ，t o + h l 存在唯一的m i l d 解让c ( t o ，t o + h i ，e ) 证明 由引理1 6 ，因为 口 0 ，有0 i i 露i 0zi l 。 1 2 2e f k 方程解的存在唯一性和饱和解的存在性 取 1 待定，令j = t o ，t o + h l ，作c ( z 五) 上的映射 f ( ( t ) = t o t o ) u o + t o s ) g ( t ( s ) ) d s 则f ：c 墨) 一c ( z x 0 ) 取c 恐) 中的球d = 百c 似) ( t 1 0 ，k ) c 百c ( j t 研( t 0 ，q k ) ， y u d ，有i l u ( t ) 一蛳怯q ，得i l u ( t ) l l e i i 蛳i i e + 倪k ， 结合引理1 6 ，对饥 t o ，t o + h l ，有 i if u ( t ) 一u oi i 。l ia 。( t 0 一t o ) u o u o ) i i + 0a 。t o s ) i i i i9 ( t ( s ) ) i id s j t o 一 - i f ( t o t o ) 一，) ( a 。t 1 0 ) i i + 朋：0 一s ) 一。i i ( t ( s ) ) 3i i 幽 j t o - i i ( t ( t t o ) 一d ( a 。t 1 0 ) i i + 厶o s ) 一。i i ( t ( s ) ) 3i i e d s j t o ，t h ( t ( t t o ) 1 ) ( a = u o ) i i + m o ( t 一8 ) 一。( 8u oi i e + c 么k ) 3 幽 - o ，当h h i 时，使得 i i ( t o t o ) 一州俨撕) i i i k ， 取= ( 孺习等) 击，当 时，m 。( i iu o 怯+ c o 耳) 3 譬 譬 因此，当h m i n h l ，1 ) 时，f ：d d 对v u l ，t 2 d ，有： i if u l ( t ) 一f u 2 ( t ) l i 。= 0 a 。t ( t s ) 函( t l ( s ) 一9 ( t 2 ( s ) ) ) 】d s0 ，幻 i ia 。t ( t s ) i i i it 露0 ) 一遁( s ) i id s ，t o ，t i ia 。t o s ) 0 - 前( s ) 一遥( s ) i i ed s j t o ，f a 。t ( t s ) 0 0 钍l ( s ) 2 + t l i ( s ) t 1 2 ( s ) + t 2 ( s ) 2 i i e i l u l ( s ) 一t 2 ( s ) l l e ，幻 r t 版o s ) 一“( 3 ( i i t l o i i e + g ：j r ) 2 ) c ：0t l ( s ) 一t 2 ( 8 ) i i 。d s j t o m a c a ( 3 ( 1 l “o u 露+ 仅科) 篙 u l - - u 2 岘 只要取= ( 孺z 雨肃知：瓦硒) 击， 当，l 0 ，3 l = l ( a ，固，7 ( o ，1 ) ，使 i f ( t 1 ，1 ) 一，( t 2 ，观) 0 l ( i t l t 2 1 1 + l l l 一= 2 l i b ) ，t 2 f 0 ，叫，z 1 ，如瓦( 口，兄) 则方程( 2 - 4 ) 的m i l d 解为古典解 证明 设让e ( f o ，叨，e ) 为( 2 - 4 ) 的m i l d 解令危( t ) = f ( t ，u ( ) ) ，则 g ( zx ) 所 以，牡( t ) 为 对应的线性非齐次方程的m i l d 解 由定理1 3 ，m i l d 解的正则性，( ( o ，刀，e ) 这儿，6 i 1 ，u o 托，则e f k 方程初值问题( 2 - 1 ) 存在唯一的饱和古典解t ： 【0 ，即一e 且当r 0 ，使方程( 2 - 1 ) 在【o ，h i 】上存在m i l d ) 解，再 l ：! x u ( h 1 ) 作为初值，应用定理2 2 ，把解可延拓在区间m l ，如1 上，如此继续下去，我们证明该解 可延拓为饱和解 记p = 如i 咖：【o t # l x 为方程( 2 - 1 ) 的解) ， 则由定理p 在l l 中引入半序关系：l 一锄也是咖l 的延拓即i o ，o t ，) ci o ，如) 当t f 0 ，如。) 时，如= 九 设为p 的非空全序子集，令 = s u p t t i ) 定义万：【o ，_ ) 一y 如下，对t o ，- ) ，j 妒l 使得o 。 t i l ( t ) = l ( ) 石( t ) 的值不依赖1 的选择：若j 也，使 t 因为为全序子集，庐l 与也有大小关系不妨设九 如，则如( t ) = l ( t ) 所以，- ( t ) ： o ，t - ) 一x 有定义显然历满足方程协1 ) 由z o m 引理，肛存在极大元矿( t ) ： 【o ，p ) 一x 是饱和解 唯一性由定理解的局部存在唯一性易得 最后，证明当t o ，使0u ( t ) 怯kt 【o ，刃辛0u ( t ) l i 。娲 j i 口( t ) | | a = oa 。t ( t ) u ou + 8a a t ( “i i i ig ( t ( s ) ) i id s j 0 一 mi iz0 。+ 7 螈p s ) 口0t ( s ) 8 刍d s m l 。+ 兰t i - , 1 尉垒鲍 取h o = ( z 鲍) 为定理2 1 中区间的长度 取t o = t 一警，u o = “( 如) 由局部解的存在唯一解：口：【t ，t + 警j e 1 5 2e f k 方程解的存在唯一性和饱和解的存在性 = = = = = = = = = = = = = = 竺竺= = = 竺! ! = = = 兰三三= ：三= 圭= 兰= ；兰三兰釜；三= = = = 竺= = = ! = = = = 从而，- 嘲b 1 o ，t + 粤】，与饱和解定义矛盾 所以，反设不成立，暮fi iu ( t ) 怯= + o o - 1 6 3e f k 方程解的正则性 在前一节获得t e f k 方程初边值问题( 1 1 ) 的古典解本节我们将在此基础上，进 一步提高解的正则性关于正则性，文 2 1 ，2 2 w 用有限元逼近的方法获得了一些结 果在驴( ，) 空间，在初值咖z - p ( i ) 时，证明了解牡 ) 三o 。( ( o ，刃；日2 ( ，) n 日a ( 功的存 在性，且毗上。( ( o ，即；2 ( 聊还可以进一步提高正则性，使得u t z 户( ( o ，印；上产( ，) n 琢( 功，l 。( ( o ，即；l 2 ( 聊，但是，获得此结果的前提是初值要满足更高的条件 口6 ( n 而本文利用解析半群的性质，不需对初值提出更高的限制，获得了较好的正则性，证 明了解关于时间变量t 和空间变量z 都是无限次可微的 首先，证明如下引理， 引理3 1 设o 0 ，使问h ( 2 - 1 ) 在( o ，川上存在唯一的古典解u ( t ) c ( ( o ，o 】，置) n c l ( ( o ，叫，x ) n g ( 【o ，叫，托) 有 t ( f ) = t c t ) u o + t ( t s ) g ( u ( s ) ) d s ( 3 - 4 ) j 0 令 h ( t ) = 夕( 让( t ) ) = 一矿( t ) ，( 参5 ) 则“( t ) 为，l ( ) 相应的线性方程的古典解 先证，对任给t ( o o ，由( 3 - 4 ) ，( 3 - 5 ) 有 t ( e ) = t ( e ) t 0 + t ( c s ) ( s ) d s x 1 当t e ，有 札(=r(t10+-tos)7l(s)幽+f2tos)no)d,joj 札( t ) = r ( t ) t 1 0 + t o 一8 ) 7 l ( 5 ) d s + t o 一 ，e，l = t ( t e ) t ( e ) t 0 】+ t ( t e ) t ( e s ) ( 8 ) d s + t o s ) ( s ) d s j 0j ，c，i = t ( t e ) l t ( e ) t o + ft ( e 一8 ) ( 8 ) d 占】+ t o 一8 ) 九( 8 ) d s j oj = t ( t e ) u ( e ) + 丁( t s ) a ( s ) d s 再对两端同时用a 作用，得 ，t a u ( t ) = t ( t d a u ( e ) + t 0 一s ) a ，l ( s ) d s 考察初值问题： i 砘( ) + a 口( 力：a n ( t ) ，t k ，d 4 i ”( e ) = 胤( e ) 令口( t ) = a 缸( t ) ，由洚1 5 ) 显然口( ) 是问题( 孓1 6 ) 的i 1 1 i l d 解， ( t ) = t ( t e ) ( e ) + t o s ) a a ( s ) d 3 由p 1 3 ) ，a h ( t ) c ( 【c ，司，x ) ，所以，对v o 口 1 ，任取c 1 “ f 1 o ) ，有口( e 1 ) 饰 ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 1 ( 3 - 1 7 ) 3e f k 方程解的正剜性 因此，只需取适当大的0 卢 l ，使得j 0 一伊( n 根据，定理1 3 ，m i l d 解的正则性，有 ( ) = a u ( t ) c 6 ( ( e 1 ，叫，伊( 聊( 3 - 1 8 ) 因此，u ( t ) c s ( ( e l ，n j ，( 功1 扫( 3 - 1 1 ) 式，a h ( t ) c s ( ( e 1 ，卅，x ) 再由定理1 4 ， ( t ) c 1 ( ( e l ，d 4 ，x ) f lg ( ( c l ，a 4 ，五) 因此，t i ( t ) c 1 ( ( e l ，n 】，墨) nc ( ( f l ，o l ，】，2 ) 由e 和e 1 的任意性，“( t ) e ( ( o ，叫，尥) 如此继续，可以得到( t ) a ( ( o ，叫，d ( 小) ) 所以，让( t ) e ( ( o ，】，c 。( 聊这样就得 到t 关于的无限光滑性 下面，讨论1 1 , 关于t 的正则性 因为谩古典解，让g ( ( o ，0 1 ，x 1 ) n c l ( ( o ，叫，x ) 令h o ) = 一u 3 ( t ) ，有( t ) = - 3 u 2 ( t ) t i ( t ) d ( ( o ，d 】，x ) 由引理3 1 知，霄扣o e q ( t ) = u t ( t ) = t ( t e ) 口( e ) + f t , t ( t s ) ( s ) d s 是问 题( 3 - 1 ) 的m i l d 解由于( t ) c ( ( o ，d 】，x ) ，对v o p e ， ( e 1 ) j 0 这儿，取0 卢 i 1 ，u 0 五。，则e f k 初边值i h - 题( 2 - 1 ) 在【o ，+ o 。) 上存在唯一整体 解u ( t ) c ( ( 0 ，+ o 。) ，g ”( ，) ) nc ”( ( o ，+ o o ，) ，c ( j ) ) 证明 根据定理2 2 ，问题( 2 - 1 ) 在【0 ，t ) i - ：存在x 上的饱和古典解“( ) g ( ( o ，t ) ，x 1 ) nc 1 ( ( o ，t ) ，x ) ne ( 【0 ，即，咒) ，而定理3 1 进一步证明了牡关于z 和t 都无 限光滑由定理2 3 ，当t o ， 这儿，7 0 = ，y 7 r 4 + 矿一1 0 两边同乘以e 札，有 扣1 1 2 。e 椰) o 两边关于t 在【0 ，习上积分，有 0 u i l 2 e l i i 蛳1 1 2 0 ， 所以， i i “1 1 2 _ 1 iu oj 1 2 e - 2 3 0 ) ，f ：x x 是c 1 连续，单调递 增，- f i f o ) = o ，则问题( 4 - 4 ) 在( o ，+ ) 存在