（基础数学专业论文）算子矩阵的谱及相关问题的研究.pdf

算子矩阵的谱及相关问题的研究 李愿 摘要投影、算子谱理论、w e y l 定理及效应代数是近年来算子理论中比较活跃 的一些研究课题，在算子理论的研究中有着重要的理论价值和应用价值对它们的 研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支，诸如代数学、几何理论、算子扰动理 论、矩阵理论、逼近论、优化理论与量子物理等本文研究内容涉及h i l b e r t 空间中算 子矩阵的谱补、代数上投影算子的d r a z i n 逆及m o o r e - p e a r o s e 逆、b a n a c h 空间上 算子的b r o w d e r 定理和w e y l 定理、h i l b e r t 空间中量子效应的下确界和广义下确界 四个方面的内容本文在研究方法上着重使用了算子分块技巧，根据所研究的内容， 对给定的算子进行适当的分块，通过对它们的研究可使算子之间的几何结构的内在 关系变得更加清晰，由此揭示所涉及算子之间的更多信息全文分五章： 第一章运用空间分解理论、分块算子矩阵技巧，系统地研究了上三角算子矩阵 的左谱、左本性谱、本性近似点谱的扰动问题对给定的算子对( a ，b ) ，给出存在左 可逆算子g 使得m c 左可逆的充要条件；存在可逆算子g 使得m o 左可逆的充要 条件；存在左可逆算子g 使得m e , 是左f r e d h o l m 算子的充要条件；存在可逆算子g 使得m c 是左f r e d h o l m 算子的充要条件；存在左可逆算子g 使得m c 是左w e y l 算 子的充要条件；存在可逆算子g 使得m e 是左w e y l 算子的充要条件 第二章获得了无限维h i l b e r t 空f 可中两个幂等算子的差是f r e d h o l m 算子的一些 充要条件；进一步在含单位元的口代数上得到：两个投影算子的差及乘积d r a i n 可 逆和m o o r e - p e n r o s e 可逆的一些充要条件；给出了两个投影算子的差及乘积的d r a z i n 逆和m o o r e - p e n r o s e 逆的一些刻画 第三章重点研究了b a n a c h 空间上的算子满足w e y l 定理和a - w e y l 定理，得到了 解析余亚正规算子满足a - w e y l 定理；同时也讨论了上三角算子矩阵的w e y l 定理和 b r o w d e r 定理 第四章讨论了左乘算子l 日( 召( “) ) 的约化极小模与a 的约化极小模的关系； 讨论了广义d r a z i n 可逆算子的广义d r a z i n 逆的约化极小模的上下界及广义d r a z i n 可逆算子的广义d r a z i n 逆的约化极小模与算子的约化极小模的关系 第五章用算子谱理论的方法和算子分块技巧，研究了h i l b e r t 空间上两个效应的 下确界问题给出了两个正可逆算子存在下确界的充要条件，肯定回答了g u d d e r 提 出的一个公开问题同时也讨论了两个效应的广义下确界的一些性质 本文所取得的研究成果分为以下八个方面： ( 1 ) 对给定的算子对( 4 ，b ) ，记蜘；( a 。b c ) 讨论丁上三角算子矩阵慨的 左谱、左本性谱、本性近似点谱的扰动问题，完全刻画了集合n g i n v ( e ，h ) 一f e ( ) ， u c i n v ( ，h ) 巩e ( 血略) ，n g i n v ( k ，h ) 吼。( m c ) 和u g i n v ，( e ，嘲a ( 幻) ( 2 n 己蜥( x a ：) - 对给定算子a b 何) ，b b q c ) 和c 酬e h ) ，刻 画了m x 的本性谱的并集u x 口( r 秆) 口。( 地) 和w e y l 谱的并集u g b ( ， ) ( 圾) ( 3 ) 当c ( ，爿) 时，分别讨论了对一切x 酬h 1 c ) ，都有m x 左可逆的充 要条件和存在x b ，) 使得m x 左可逆的充要条件 ( 4 ) 获得了无限维i t i l b e r t 空问上两个幂等算子的差是f r e d h o l m 算子和可逆算 子的一些充要条件 ( 5 ) 给出了c 4 代数上两个正交投影的差与积的m o o r e - p e n r o s e 逆和d r a z i n 逆的 表达式 ( 6 ) 给出了b a n a c h 空间上算子满足a - w e y l 定理的一个充要条件作为推论，得 到了a - w e y l 定理对解析余亚正规算子成立 ( 7 ) 设a 8 ( h ) ，定义左乘算子( 右乘y k - t - ) 分别为：l a ( b ) = a b ( r a ( b ) = b a ) ， v b 日( “) 证明了：，y ( 三a ) = 7 ( r a ) = 7 ( 4 ) ( 8 ) 研究了量子效应的下确界问题，运用分块算子矩阵和算子谱理论方法，肯定 的回答了g u d d e r 提出的一个公开问题 关键词：投影；幂等算子；m o o r e - p e n r o s e 逆；d r a z i n 逆；量子效应；w e y l 定理；a _ w e y l 定理；c + 代数；f r e d h o l m 算子；本性谱；本性近似点谱 r e s e a r c ho i ls p e c t r ao fo p e r a t o rm a t r i c e sa n d r e l a t e dt o p i c s y u a nl i a b s t r a c t p r o j e c t i o n s ，o p e r a t o rs p e c t r a ，w e y lt h e o r e ma n dq u a n t u me f f e c t s a r eh e a t e dt o p i c si uo p e r a t o rt h e o r ya n da l s oh a v ei m p o r t a n tv a l u ei nb o t ht h e o r y a n da p p l i c a t i o n t h er e s e a r c ho ft h e s es u b j e c t sh a sr e l a t e dt op u r ea n da p p l i e d m a t h e m a t i c ss u c ha sa l g e b r a ，g e o m e t r y , o p e r a t o rp e r t u r b a t i o nt h e o r mm a t r i xa n a l y s i s ，a p p r o x i m a t i o nt h e o r y , m u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e l i n g ，o p t i m a l i t yp r i n c i p l ea n d q u a n t u mp h y s i c se t ct h er e s e a r c ho ft h i st h e s i sf o c r i s e so ns p e c t r a lc o i n p l e m e n t so f o p e r a t o rm a t t i c e 8 t h em o o r e - p e n r o s ei n v e r s ea n dd r a z i ni n v e r s eo fp r o j e c t i o n si na c 4 ：a l g e b r a w e y lt h e o r e ma n di n f i m u ma n dg e n e r a l i z e di n f i m u mo fq u a n t u m e f f c c t s o i lah i l b e r ts p a c e u s i n gt h et e c h n i q u eo fo p e r a t o rb l o c k s t h ei n t e r n a lr e l a t i o n s a n dc o n s t r u c t i o n sa m o n go p e r a t o r sc a nb ef o u n d t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t of i v e c h a p t e r s i nc h a p t e r1 b yu s i n gs p a c ed e c o m p o s i t i o na n db l o c ko p e r a t o rm a t r i c e s t h e p e r t u r b a t i o u so fl e f ts p e c t r a 1 e f te s s e n t i a ls p e c t r aa n de s s e n t i a la p p r o x i m a t ep o i n t s p e c t r ao fu p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o ri l l a t r i c e sa r et r e a t e dc o m p l e t e l y f o rag i v e nd a i r o fo p e r a t o r sf a ，b 1 ，s o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s m yc o n d i t i o n su n d e rw h i c hm ci sl e f t i n v e r t i b l ef o rs o m el e f ti n v e r t i b l e ( i n v e r t i b l e ) o p e r a t o rca r eg i v e n a sa ne x t e n s i o n ， w ea l s oo b t a i ns o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n su n d e rw h i c hm ci sl e f t f r e d h o l ma n d1 e f tw b y lf o rs o m e1 e f ti n v e r t i b l e ( i n v e r t i b l e ) o p e r a t o rg r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r2 t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h ed i f f e r e n c e o ft w oi d e m p o t e n to p e r a t o r so ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e si sn e d h o l mf i n - v e r t i b l e ) i sd i s c u s s e d i na d d i t i o n ，s o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c hp r o d u c t s a n dd i f f e r e n c e so fp r o j e c t i o n si nac + a l g e b r aa r em p o r e - p e n r o s e ( d r a z i n ) i n v e r t - i b l ea r eo b t a i n e d a t1 a s t ，s o i l l ee x p r e s s e so ft h em o o r e - p e n r o s e ( d r a z i n ) i n v e r s eo f p r o d u c t sa n dd i f i e r e n c e so fp r o j e c t i o n si nag a l g e b r aa r ee s t a b l i s h e d i nc h a p t e r3 s o m ec o n d i t i o n su n d e rw h i c hw j v l st h e o r e ma n db r o w d e r st h e - o r e ms u r v i v ef o ra no p e r a t o ro nt h eb a n a c hs p a c ea r ec o n s i d e r e da n de x p l o r e d a sac o r o l l a r y , w es h o wt h a tw e y l st h e o r e mh o l d sf o ra n a l y t i c a l l y 玎一h v p o n o r m a l o p e r a t o r sa n da - w e y l st h e o r e mh o l d sf o ra n a l y t i c a l l ye o h y p o n o r m a lo p e r a t o r s i n a d d i t i o n w ec o n s i d e rs o m ec o n d i t i o n su n d e rw h i c h k v l sa n db r o w d e r st h e o r e m h o l df o ro p e r a t o rm a t r i c e s i nc h a p t e r4 t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e d u c e dm i n i m u mm o d u l u so ft h e l e f tu m l t i p l i c a t i v eo p e r a t o rl a n dt h er e d u c e dm i n i m u mm o d u l u so fo p e r a t o rai s d i s c u s s e d i na d d i t i o n ，w es t u d yt h er e d u c e dm i n i m u mm o d u l u so ft h eg e n e r a l i z e d d r a z i ni n v e r s eo fa no p e r a t o ro nab a n a c hs p a c ea n dg i v eo u tl o w e ra n du p p e r b o u n d so ft h er e d u c e dm i n i m u mm o d u l u so fa no p e r a t o ra n di t sg e n e r a l i z e dd r a z i n i n v e r s e ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r5 ，u s i n gt h em e t h o do ft h es p e c t r a lt h e o r yo fo p e r a t o r s ，w ec o n s i d e r c o n d i t i o nu n d c rw h i c ht h ei n f i m u maabe x i s t sf o rt w oq u a n t u me f f e c t saa n db a sac o r o l l a r y 】w eg i v ea na f f i r m a t i v ea n s w e ro fa c o n j e c t u r eo fg u d d e r i na d d i t i o n ， s o m ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e di n f i m m nanba r ec o n s i d e r e d t h er e s u l t sf r o mt h et h e s i sc o n s i s to ft h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s lf o rag i 出( 邶) 。f o p e r a t o r s , l e t 一( ：斗t h e p e r t u r k t i o n so fl e f ts p e c t r a ，l e f te s s e n t i a ls p e c t r aa n de s s e n t i a la p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r a o fa no p e r a t o rm a t r i xm ca r ec o n s i d e r e d ，t h e nt h es e t s ：n g i n v 口f e ( ) ， u g i n v ( k ，哪毋e ( 且幻) ，n c i n v ( c ，h ) 吼。( 幻) a n du g i n v ( ，h ) ( y e a ( n 幻) o x ec h a r a c - t e r i z e dc o m p l e t e l y , w h e r e 国e ( t ) a n d 吒o ( t ) d e n o t et h e 】e f te s s e n t i a ls p e c t r m na n d e s s e n t i a la p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u mo ft ，r e s p e c t i v e l y zl e tm x = ( x a 暑) u eaz 。o p e r a t o rm a t r t xa c t t n so nt h eh i l b e r t s p a c e7 - o 肥f o rg i v e no p e r a t o r sa ，ba n dc ，t h es e t su x b f “心a e ( m x ) a n d u 并昂f 州，) d o ( 奴) a r ec h a r a c t e r i z e dc o m p l e t e l y ，w h e r e 仃8 ( t ) a n d0 w ( t ) d e n o t et h e e s s e n t i a ls p e c t r m na n dw e y ls p e c t r u mo ft ，r e s p e c t i v e l y 3 f o rg i v e na ，ba n dc ，w h e ngi sac o m p a c to p e r a t o r ，w eg i v et h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nu n d e rw h i c hm xi sl e f ti n v e r t i b l e ，f o rs o m eo p e r a t o rx a n d a l s oo b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nu n d e rw h i c hm xi sl e f ti n v e r t i b l e ， f o ra l lo p e r a t o r sx 4 w eg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n st h a tt h ed i f f e r e n c eo ft w oi d e m p o t e n to p e r a t o r s i sf r e d h o l m ( i n v e r t i b l e ) 5 t h ed r a z i na n dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e so fp r o d u c ta n dd i f f e r e n c eo fo r t h o g - o n a lp r o j e c t i o n si nac a l g e b r aa r ee s t a b l i s h e d 6 an e ws u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nu n d e rw h i c ha - w e y lt h e o r e mh o l d s f o ra no p e r a t o rto nab a n a c hs p a c ei so b t a i n e d a sac o r o l l a r y , w eo b t a i nt h a t a - w e y l st h e o r e mh o l d sf o ra n a l y t i c a l l yc o h y p o n o r m a lo p e r a t o r s 7 l e ta 廖( 咒) d e f i n eal e f t ( r i g h t ) m u l t i p l i c a t i v eo p e r a t o ro nb ( 咒) b y l a ( b ) 一a b ( r a ( 口) 一b a ) ，f o ra l lb b ( 日) w eg e tt h a t7 ( l a ) = 7 ( r a ) = ，y ( a ) 8u s i n gt h em e t h o do ft h es p e c t r a lt h e o r yo fo p e r a t o r s w eg i v ea na f f i r m a t i v e a n s w e ro fac o n j e c t u r eo fg u d d e r k e y w o r d s ：p r o j e c t i o n ；i d e m p o t e n to p e r a t o r ；m o o r e - p e n r o s ei n v e r s e ；d r a z i n i n v e r s e ；q u a n t u me f f e c t ；l e f te s s e n t i a ls p e c t r a ；e s s e n t i a la p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r a c ： “： b ( 爿) ： 8 ( 尼，咒) ： b f ( 咒，7 - 1 ) ： i n v ( k ：，7 - ) n ( a ) ： r ( a ) ： n ( a ) ： d ( a ) ： a s c ( a ) ： d e s ( a ) ： i n d ( a ) ： i ( a ) ： a ( a ) ： p ( a ) ： a c c a ( a ) ： d i s t ( x ，) ： “( a ) ： 毋。( a ) ： ( a ) ： ( a ) ： 7 ( a ) ： e ( ) ： a a b ： a n b ： a + ： a d ： 主要符号表 复数域 无穷维复可分h i l b e r t 空间 h 上全体有界线性算子空间 从咒到咒全体有界线性算子空间 s ( j c ，“) 中左可逆算子之集 召，咒) 中可逆算子之集 算子a 的核空间 表示算子a 的值域 表示算子a 核空间的维数 表示算子a 值域空间的余维数 表示算子a 的升标 表示算子a 的降标 算子a 的f r e d h l o m 指标 算子a 的d r a z i n 指标 算子a 的谱 算子 的预解集 表示算子a 的谱的聚点之集 表示向量z ，y 之间距离 算子a 的本性谱 算子a 的左本性谱 算子a 的本性近似点谱 算子a 的w e y l 谱 表示算子a 约化最小模 表示谱测度 表示算子a 和b 的下确界 表示算子a 和b 的广义下确界 表示算子a 的m o o r e - p e n r o s e 逆 表示算子a 的d r a z i n 逆 1 0 5 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 专雄 d ，6 日期：竺旦：! 堑 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名 日期：迦二上。辽 前言 算子理论是泛函分析中一个极其重要的研究领域，t l 从2 0 世纪初h i l b e r t ，b a - n a c h ，p d e s z 等人建立算子理论以来，算子理论已得到了迅速发展并渗透到数学的各 个分支，形成了一批经久不衰的研究课题，其研究内容涉及到基础数学与应用数学 的许多分支，诸如代数学几何理论，算子扰动理论，矩阵理论，逼近论，优化理论 与量子物理等等本文涉及到的算子补问题，广义逆与w e y l 定理是近年来算子论中 比较活跃的研究课题 算子矩阵是以算子为元素的矩阵，缺项算子矩阵就是一些元素是已知的，其余 元素都是未知的算子矩阵而算子扰动问题就是对缺项算子矩阵进行研究，讨论 其所缺项对整个算子矩阵的影响，如谱的扰动问题缺项算子矩阵的补问题在算 子理论的研究中有着重要的意义由于换位提升理论，插值理论及控制理论中一 些问题的刺激，这一问题已被许多学者从各个方面所研究，并获得了许多较深刻的 结果，参见文献 1 - 6 1 文献 i - 6 1 分别对形如l ：l 和l ： 的缺项 d 上， 算子矩阵所有补之谱的交集和并集进行了刻画而2 2 上三角算子矩阵是最简 单且最基本的缺项算子矩阵，因此2 2 上三角算子矩阵补的研究有着特别重要 的意义近十年来，2 2 上三角算子矩阵的谱扰动问题吸引了一大批学者，他们 分别对2x2 上三角算子矩阵的各种谱扰动问题进行研究见【7 - 1 8 】，分别刻画了 集合n c 口) - ( m e ) ，n c 口( ，加( ) ，m 曲晖， f ) ( ) n c e b ( ( ) ， n c b ( 一) 哪( ) 本文第一章主要考虑在上述集合中，若算子c 的变化范围分别 是左可逆算子之集岛，爿) 和可逆算子之集i n v ( c ，h ) 时上述集合是否改变? 能 否完全刻画这些集合? 利用算子谱理论与算予分块技巧，我们完全刻画了这些集合 投影算子虽然是结构最简单的算子，但它也是最基本的算子目前，一部分学者 研究投影的和，差与乘积在何种情况下仍然是投影，在何种情况下两个投影可交换， 投影的和与差的可逆性( 非奇异性) ，投影的分解的性质以及投影的线性组合等性质 文献( 1 9 - 3 5 】研究了幂等矩阵的线性组合的各种性质在文献【2 2 】中，j k b a k s a l a r y 和o m b a k s a l a r y 证明了有限维空间上幂等矩阵的线性组合的可逆性与其系数无 关，得到了一些有趣的结果特别是，文【2 9 】得到：在无限维h i l b e r t 空问“中，若 p 和口是召( 咒) 中的两个幂等算子 如果a l 和a 2 是非零复数且a l + k 0 ，则 ) l l p + k q 的可逆性与a i , a t 无关因此个自然的同题是：p q 的可逆性与p + q 的可逆性之间有没有直接的关系? 在2 1 中，我们讨论了p 一0 的可逆性( n e d h o l m 性) 与p + q 的可逆性( p r e d h o l m 性) 之间的直接关系，包含了文【3 0 】中的结论 算子的m o o r e - p e n r o s e 逆和d r a z i n 逆是近年来算子论研究的又一热点问题 1 9 5 8 ( 文【3 6 】) 年m + p ，d r a z i n 在半群中引入d r a z i n 逆，文【3 7 1 在一般b n a c h 空间中 得到算子d r a z i n 可逆当且仅当升标与降标有限且相等容易证明：如果何是有限 维h i l b e r t 空问，则蓐( h ) 中每一个算子是m o o r e - p e n r o s e 逆的，也是d r a z i n 可逆 的但是，如果d i m t - 无限，则存在不是m o o r e - p e r , r o s e 可逆的算子，如值域不闭的算 子；存在不是d r a z i n 可逆的算子，如单侧移位算子有关m o o r e - p e n r o s e 逆和d r a z i n 逆的具体内容，请参阅文献f z 6 - 5 0 1 近年来，人们也对p 代数上的m o o r e p e a r o a e 逆和d r a z i n 逆的表示和特征作了深入研究( 见文献【5 1 - 5 7 1 ) 另外，在文 5 8 】中， r a k o & v i 6 和v l a d i m i r 在b a n a c h 代数上引入m o o r e - p e n r o s e 逆的概念在3 2 3 3 中，我们主要给出了口代数上的投影算子的和与积的m o o r e - p e n r o s e 逆和d r a z i n 逆的表示 1 9 0 9 年h w e y l 在研究自伴算子的谱的紧摄动时发现自伴算子的谱在紧扰动 下没有有限重的孤立特征值，这个结论后来被称为 w e y l 定理“w e y l 定理现在 已被延伸到亚正规算子、t o e p l i t z 算子( c o b u m 5 9 1 ) 解析拟亚正规算子( h o u 6 0 d ， 代数p a r a n o r m a l ( c u r t o 6 1 ) 、解析亚正规算子( c a o 6 2 1 ) v r a k o c e v i c ( 6 3 1 ) 证明了 a - w e y l 定理对余亚正规算子算子成立s v d j o r d l e v i c 和d s d j o r d l e v i c ( 6 4 ) 证明 了：如果p 是拟亚正规算子，a - w e y l 定理对t 成立文【6 5 ，6 6 】考虑了算子矩阵 满足w e y l 定理的条件，其它相关研究参看【6 7 ，6 8 1 第三章中，我们得到：对于任意 f 日( 口( t ) ) ，如果t 有单值延伸性且t 是r e g u l o i d ，则w e y l 定理对，( 成立；如 果p 有单值延伸性且t 是r e g u l o i d ，则a - w e y l 定理对，( 即成立作为定理的应 用，我们研究了解析m 亚正规算子和解析余亚正规算子的w e y l 定理，证明了解析 m 一亚正规算子满足w e y l 定理，解析余亚正规算子满足a - w e y l 定理 算子的约化极小模是一个重要的概念，在小波分析研究中有着重要意义另外， 算子的约化极小模与算子范数之间联系紧密，文f 6 9 】得到：若0 t 召( 爿) ，则 7 2 ( = i n f 口( 刀) ) o = i n f a ( t * t ) o ) ，而i i t i l 2 = s u p a ( t t * ) o ) = i n f a ( t * 即) o ) 一个关于算子约化极小模的基本事实是：若0 t b ( 何) ，则 1 ( t ) 0 当且仅当r ( 是闭值堍一个关于约化极小模有趣的问题是：对那些算 予类l i m k o o7 ( p ) 有意义? 若有意义，l i m k _ 。，y ( p ) = ? ，相关文章查阅【7 0 - 7 4 另外，约化极小模的扰动及一些特殊算子的约化极小模的估计也引起研究者的兴趣 ( 见f 7 5 ，7 6 】) 在第四章中，我们研究了左乘算子l a 8 ( 8 ( h ) ) 的约化极小模与a 的约化极小模的关系；讨论了d r a z i n 可逆算子的d r a z i n 逆的约化最小模上下界及 算子d r a z i n 逆的约化最小模与算子的约化极小模之问的关系 h i l b e r t 空间咒上量子效应指的是集合：e ( h ) ：= t b ( n ) ：0 t n 中 的算子h i l b e r t 空间上两个量子效应的下确界问题是确定在何种条件下效应a 和 b ( “) 的下确界aab 存在，相关研究参阅【7 7 - 8 3 1 例如，t m o r e l a n d 和s 2 g u d d e r 在文献1 7 8 】证明了，如果a 和b e ( c ”) 是正定矩阵，下确界a a b 存在 的充要条件是a 和b 是可比较的如果ae ( w ) ，p 是正交投影，则p a a 存在 在本文第五章中，我们运用算子谱理论的方法，研究了两个效应a ，be ( 冗) 下确 界aab 的存在问题，得到了两个正可逆算子下确界存在的充分必要条件，肯定回 答了文1 8 2 中的一个公开问题另外，h i l b e r t 空间上量子效应的同构，局部同构及 线性保持问题，也取得了丰硕的成果，见( l a j 0 8m o l n f i r 的专著f 8 4 】) 作为h i l b e r t 空间上量子效应的延伸，效应代数由f o u l i s 和b e n n e t 于1 9 9 4 年在文献【8 5 j 中引 入这一概念很快引起了诸多学者的关注，相关研究见文献 s 5 - 9 9 3 第一章算子矩阵的谱扰动 设石和“分别表示b a n a c h 和h i l b e r t 空闻，b ( x ) 和b ( 笼) 分别表示刀和 冗上的全体有界线性算子若算子t b ( z ) 口b ( 咒) ) ，用( 丁) ，r ( t ) 分别表 示t 的零空间和值域令n ( t ) = d i m n ( t ) ，d ( t ) = c o d i m n ( t ) 对t b ( 石) ( t b ( h ) ) ，规定伊( r ) ，r ( t ) 和p ( t ) 分别表示算子的谱，谱半径和预解集若n ( 印 o ) m 。( ：= a c ：t a 隹垂+ ( x ) ， 口k ( t ) ：= a c ：t a 譬雪( x ) l - 1 上三角算子矩阵的左谱扰动 本节我们主要刻画了集合：n c i n v ( r ，h ) 6 l ( m v ) ，u 促i n v ( ( ，a t ( m c ) 为了证明本节主要结论，我们需要下面几个引理 引理1 1 1 若a b ( 爿) ，b b ( 咒) 且c b g c ，爿) 有下面算子矩阵的形式： g = ( 基宝) ：胛m c 酣州咖丽， 则 幻是左可逆当且仅当 尬：= ( 言c b j l ) ：c b ，。c b ，1 一r c a ，上。 证明。充分性由于a 是左可逆，则r ( a ) 是闭子空间空间咒o 可以 分解为咒0 = 爿on ( b ) o ( b ) 1 = 兄( a ) 1or ( a ) o 因此m c 作为从 秆0n ( b ) o ( b ) 上到r c a ) 1o r ( a ) o 咒的算子有下面算子矩阵形式： = ( 吾三) = 卦 其中a l 是从h 到r ( a ) 的可逆算子，风= b l n c b ) j - 且 e = ( 笔爱) ：c b ，。c b ，上一r c a ，1 。r c a ， 。 ( 一a i l g a ；1 a ) 是从7 - i o n ( b ) o ( b ) 1 到咒o n ( b ) o ( b ) 1 的可逆算子因此m c 左可逆当 量) 推论i i 2 设( a ，b ) 是给定的算子对，若c 有算子矩阵形式( i ) 且m c 有算 、 q 0 尻 a o 0o 山o ，、 = 、l q f。0， a q a 一 ，o 0 ，、ll， q q 毋 贼口g 0 驰”k a 于由 ( 1 ) 若r ( b ) 是闭的，则 幻左可逆当且仅当a 左可逆且g 左可逆 ( 2 ) 若d ( a ) 礼( b ) ，则对一切g b ( i c ，h ) 有m c 不是左可逆 证明( 1 ) 若r ( b ) 是闭的，则口1 左可逆记b 产是口的一个左逆元，我们有 ( ：一c b + ) ( 言宝) = ( 言三) 因此， 矗左可逆当且仅当c l 左可逆 ( 2 ) 若d ( a ) 礼( b ) ，则口不左可逆，故 n 不左可逆由引理1 1 1 知：m c 不 左可逆 推论1 1 3 若r ( b ) 是闭的，a 左可逆且n ( b ) d ( 锄，则存在c o 局，h ) 使得m o o 是左可逆 证明显然，d i m r ( a ) ；o o 由于n ( b ) d ( 以) ，令岛是从n ( b ) 到r ( a ) 1 的 部分等距算子，岛是从( b ) 土到r ( a ) 的部分等距算子定义 q = ( 鲁兰) ：n ( b ) e n ( b y - - - , r ( a 舳聃 7 显然岛左可逆由引理1 1 2 ( 1 ) ， 左可逆 引理1 1 4 ( p o o l 中x i 章，定理3 1 1 ) 如果a b ( n ，p c ) 是左( 右) n e d h o l m 算子且k b ( n ，) 是紧算子，则a + k 左( 右) f t e d h o l m 算子 下面是本节的一个主要定理 定理1 1 5 对给定的算子对( ab ) ，我们有 n a l c m c ) = 毋( a ) u c ：d ( a a ) n ( b a ) ) u 西b ， 其中西口= a c ：r ( b a ) 是闭值域j i d ( a a ) o o ， 证明设m c a 有算子矩阵形式( 2 ) 且c 有算子矩阵形式( 1 ) 若a a 左 可逆，则由引理1 1 1 知：对任意c b ( i c ，h ) ，都有m c a 不左可逆当且仅当对 任意c 1 b ( n ( b a ) ，r ( a a ) 1 ) 与岛b ( n ( b a ) 1 ，r ( a a ) 1 ) 都有 m = ( 言b 2 。) 不左可逆 为清楚，我们分两种情形来证明 情形1 若a a t ( a ) ，则对任意c b ( ，h ) ，有m c a 不左可逆 反设存在四b ( n ( b a ) ，r ( a a ) 1 ) 和四b ( n ( b a ) 1 ，n ( a a ) 1 ) 使得 ( 譬b 置a ) 左可逆由于a 圣b 毋) ，则d ( a a ) o o 显然四和c 2 都是紧算子由引理 1 1 4 ，我们得到 ( ：日。! a ) 是左f r e d h o l m 算子因此r ( b l a ) 是闭的，但是a 垂日( a ) 蕴含r ( b a ) 不闭的矛盾! 情形2 若a a c ：r ( b a ) 不闭的d ( a a ) = o 。) 毋( 舢，则存在 c o b l ( i c ，7 - 1 ) 使得肘岛一a 是左可逆 记王r 1 是r ( a 一 ) 1 的闭子空间且满足：d i m h x = n ( 日一a ) 和d i m ( r ( a a ) 上e 既) = d i m n ( b a ) 1 定义：a 和岛分别是从( b a ) 到日l 和从n