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关于一般f i n s l e r 度量及三个特殊 f i n s l e r 度量的若干射影性质 学科专业 指导教师 基础数学 王佳教授 研究方向：微分几何 研究生：黎芳( 2 0 0 1 2 8 0 ) 摘要 本文主要研究一般f i n s l e r 度量以及三个特殊f i n s l e r 度量：s h e n 度量，k r o p i n a 度量，广 义r a n d e r s 度量的射影性质第三部分首先讨论了一类射影平坦s p r a y 由射影平坦f i n s l e r 度量 诱导的问题；其次讨论射影平坦f i n s l e r 空间成为局部m i n k o w s h i 空间的条件；最后研究共形 平坦且射影平坦f i n s l e r 度量的特性第四部分讨论s h e n 度量成为b e r w a l d 度量，d o u g l a s 度 量，射影平坦以及具有零曲率的条件第五部分研究k r o p i n a 度量成为d o u g l a s 度量的条件并 考察其s 曲率第六部分讨论广义r a n d e r s 度量成为b e r w a l d 度量以及具有c 可约性质的条 件主要获得以下结果： 定理3 1假定f = f ( z ，y ) 是强凸区域ncr n 上的f 1 l n k 度量，定义射影平坦s p r y l y 磊：= 矿杀锄池妒矿斋 其中 ( ，y ) 是零阶正齐次的标量函数，那么台 由射影平坦f i n s l e r 度量户诱导的充分必要条 件是f 满足微分方程组 b t = ( ( z ，y ) f f ) 一， k = 1 ：n 定理3 2假定f 是强凸区域n 上的f u n k 度量， 为常数，则当且仅当h = 0 ，；，1 时， 存在n 上的f i n s l e r 度量乒诱导瓯并且 ( i ) 当h = 0 时，可取芦= f ( y ) 为一局部m i n k o w s h i 度量 ( i j ) 当h = 1 时，可取卢= f + 咒。( 一a i ) ( i i i ) 当h = 时，可取j = f 满足 定理3 3 射影平坦f i n s l e r 空间( m ，) 是局部m i n k o w s h i 空间的充要条件是射影因子p ( i ) p j k = o ； ( i i ) 弓r + 巩弓= 0 定理3 , 4共形平垣且射影平坦的f i n s l e r 空间( 正f ) 是常曲率的b e r w a l d 空间若共形 因子口满足f f i c z k + 2 吼k = o ，( ，f ) 为局部m i n k o w s h i 空间；否则为常曲率a = i 再1 ( 2 j o o + 口3 ) 的r i e m a n n 空间 定理41 s h e n 度量f = 坠譬是b e r w ；a l d 度量当且仅当下列之一成立 ( a ) 芦关于a 平行； ( b ) f 与。射影相关； ( c ) f 与n 有完全相同的测地线，即g k 虿 定理4 2( i ) 若s h e n 度量f = 生娑射影平坦，则。射影平坦当且仅当卢关于n 平行 ( i i ) 若n 射影平坦，则s h e n 度量f = 垒笋射影平坦当且仅当卢关于n 平行。 定理4 - 3 ， 若。射影平坦，s h e n 度量f = 坠竽射影平坦，则f 一定具有零曲率 定理5 1 k r o p i n a 度量f = 譬成为d o u g l a s 度量的充分必要条件是卢为闭的1 - 形式 定理5 2 f = 譬具有常s 曲率s = b + 1 ) c f 的充分必要条件为常数c 满足方程 ( n + 1 ) ( c 0 4 矿十卢2 r 0 0 ) + n 2 卢6 2 0 = 0 其中 自：( b 2 ) ；m + 2 n ( b 2 丽) x m - 2 ( n + 一1 ) s i n 俨 定理6 1设亨= f + 零为广义r a n d e r s 度量且f 是b e r w a t d 度量，则f 成为b e r w a i d 度 量的充分必要条件是芦关于f 平行 定理6 2广义r a n d e r s 度量f = f + 卢c 一可约的充分必要条件是f c 可约 关键词：f i n d e r 度量；l h m k 度量；s h e n 度量；广义r a n d e r s 度量，k r o p i n a 度量；旗 曲率；s 曲率；1 形式 2 o np r o j e c t i v ep r o p e r t i e so fg e n e r a lf i n s l e r m e t r i ca n dt h r e es p e c i a lf i n s l e rm e t r i c s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t u t o r ：p r o f w a n gj i a a u t h o r ：l if a n g ( 2 0 0 1 2 8 0 ) a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yp r o j e c t i v ep r o p e r t i e so ff i n s l e rm e t r i ce s p e c i a l l ys h e nm e t r i c ，k r o p i n a m e t r i ca n dg e n e r a l i z e dr a n d e r sm e t r i c i nt h et h i r t hp a r tw ed i s c u s sf i r s t l yt h ep r o b l e mw h e nak i n d o fp r o j e c t i v es p r a yc a l lb ei n d u c e db yp r o j e e t i v e l yf l a tf i n s l e rm e t r i c ；s e c o n d l yc o n d i t i o n su n d e r w h i c h ap r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e rs p a c eb e c o m e sal o c a l l ym i n k o w s k is p a c e ；t h i r d l yt h es p e c i a lp r o p e r t i e so f c o m f o r m a l l yf l a ta n dp r o j e c t i v e l yf i a tf i n s l e rs p a c e i n 曲ef o u r t hp a r tw es t u d yc o n d i t i o n so fs h e n m e t r i ct ob eb e r w l a d ，d o u g l a s ，p r o j e e t i v e l yf l a to rt oh eo fz e r oc u r v a t u r e i nt h ef i f t hp a r tw es t u d y ac o n d i t i o no fk r o p i n am e t r i ct ob ed o u g a l sa n dd i s c u s si t ss - c n r v & t n r ei nt h es i x t hp a r tw ed i c u s s c o n d i t i o n so fg e n e r a l i z e dr a n d e r sm e t r i ct ob eb e r w a l da n dc r e d u c i b l ew eo b t a i nm a i n l yt h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m3 1 l e tfb et h ef u n km e t r i co nas t r o n g l yc o n v e xd o m a i nni nr ”a n dd e f i n ea p r o j e c t i v e l yf l a ts p r a yb y 瓯：= i 丽0 2 讹) f y i w h e r eh ( x ，y ) i s0 - o r d e rp o s i t i v e l yh o m o g e n e o u ss c a l a rf l m c t i o n ，t h e ng hi si n d u c e db ya p r o j e c t i v e l y f i n s l e rm e t r i cfi fa n do n l yi ffs a t i s f i e st h eo d e s 瑶= ( ( ，v ) f f ) 矿，= 1 一n t h e o r e m3 2 l e tfb et h ef u n km e t r i co nas t r o n g l yc o n v e xd o m a i nqi nr ”a n dhi sa c o n s t a n t ，t h e ni fa n do n l yi fw h e nh = 0 ，；，1 ，t h e r ea r ef i n s l e rm e t r i e s 卢o nnw h i e hi n d u c et h es p r a y 瓯m o r e o v e r ， ( i ) i fh = 0 ，w em a yp u tf = f ( v ) w h i c hi sal o c a l l ym i n k o w s h im e t r i c ( i i ) i f t = 1 w e m a yp u t f = f + b ；( 一a i ) ( i i i ) i f h = ：w em a yp u tf = f w h i c hi st h ef u n km e t r i c t h e o n3 3l e t ( j f f ) b eap r o i e c t i v e l yf l a tf i n s l e rs p a c e t h e n ( m ，f ) i sl o c a l l ym i n k o w s k l i fa n do n l yi ft h ep r o e c ti v ef a c t o rs a t i s f i e s ( j ) b = o ； ( i j ) 弓珏+ 巩毋= 0 t h e o r e m3 ，4l e t ( m ，用b eac o m f o r m a l l ya n dp r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e rs p a c e ，t h e n ( m ：f ) i s b e r w a l ds p a c eo fc o n s t a n tc u r v a t t t r e f u r t h e rm o r e ，i ft h ec o n f o r m a lf a c t o r 口s a t i s f i e sj t o + 2 f f i k50 ， t h e ni ti 8l o c a l l ym i n k o w s h i ；u n l e s s ( m ，f ) i sr i e i n a n n i a ns p a c eo fc o n s t a n tc u r v a t u r e = 赤( 2 a o o + 一3 ) t h e o r e m4 。1 t h es h e nm e t r i cf = 甓譬i sb e r w a l di fa n d 。n l yi fo n e 。ft h ef o i l 。w i n gh o l d s ( a ) 卢i sp a r a l l e lw i t hr e s p e c tt oc e ； ( b ) fi sp r o j e c t i v e l yr e l a t e dt oo ： ( c ) fh a s t h es a m eg e o d e s i c sa sn ，t h a t i s g = 召 t 1 1 e o r e m4 2 ( i ) i ft h es h e n - m e t r i cf = 蜓譬i sp r o j e c t i v e l yf i a t ：t h e ns t i sp r o j e c t i v e l yf l a ti f a n do n l yi ff li sp a x a l e l lw i t hr e s p e c t , t os t ( i i ) i f 。i sp r o j e c t i v e l yf l a t ：t h e nt h es h e n m e t r i cf = 地：譬罡i 8p r o j e c t i v e l yf l a ti fa n d 。n l yi f 卢 i sp a r a l e l lw i t hr e s p e c tt oo t h e 。r e m4 3 i f 。i sp r 。j e c t i v e l yf l a ta n dt h es h e nm e t r i cf = 尘：竽卫i sp r o j e c t i r e l yf l a tt 。 t h e nfm u s tb eo fz e r oc l l r v a t l l r e t h e o r e m5 1 t h ek r o p i n am e t r i cf = 譬b e c o m e sd o u g l a sm e t r i ci fa n d 。n l yi ff li sc l o s e d t h e o r e i n5 , 2 t h e k r o p i n a m e t r i e f = 譬i s 。f e o n s t a n ts - c u r v a t l l r e s = ( n + 1 ) c f i f a n d 。n l y ff h ec o n s t a n tcs a t i s f i e s ( 竹+ 1 ) ( c a 4 铲+ f 1 2 r s o ) + 0 2 卢6 2 口= 0 4 w h e r e 一= 盟型掣笋坠”m t h e o r e m6 f 1l e tf = f + 卢b et h eg e n e r a l i z e dr a n d e r sm e t r i ca n dfi sab e r w a l d1 2 1 e l r i c ， t h e nfi sb e r w a l di fa n do n l yi f 口i sp a r a l l e lw i t hr e s p e c tt of t h e o r e m6 2t h eg e n e r a l i z e dr a n d e r sm e t r cf = f + 口i sc r e d u c i b l ei fa n do i f l yi ffi s c r e d u c i b l e k e yw o r d s ： f i n s l e rm e t r i c ；f u n kl l , l e t l 、i gs h e nm e t r i c ，g e n e r a l i z e dr a n d e r sm e t r i c ；k r o p i n a m e t r i c ；f l a gc u r v a t u r e ；s - c u r v a t u r e ；1 - f o r m 5 一引言 早在1 8 5 4 年，r i e m a n n 在其著名的就职演说中就提到微分几何的度量除了可用二次形式 的平方根定义以外，业可用四次微分形式的四次方根定义他在该论文中对广义空间引入了基 于弧长元素为d 一= f ( z l ，矿：d x l ，d x “) 的度量结构这里，f ( zy ) 是一个定义在切丛t m 上的关于y 的一阶正齐次函数一种重要的特别情形是f 2 = 吼，( z ) 积2 d x j ，称之为r i e m a n n 度 量 1 9 0 0 年，h i l b e r t 在他对未来数学发展提出的2 3 个问题中的第2 3 个问题就是变分的问 题1 9 1 8 年，f i n s l e r 在他的博士论文中讨论了基于变分定义度量的一般原则，并由此讨论了 这类空间中的曲线和曲面的性质特征，f i n s l e r 几何的名称就来自此论文 1 1 1 9 1 8 年引入f i n s l e r 几何之后，b e r w a l d 接着引入了曲率的概念，把r i e m a n n 曲率推广到f i n s l e r 空间四十年代， 两位几何大师c a r t a n ，s s c h e r n 在f i n s l e r 空间中引入了c h e r n 联络，这是f i n s l e r 几何发展 过程中的一个里程碑自此以后，国内外大批的几何学家投入到f i n s l e r 几何的研究中，取得 了丰富的理论成果，f i n s j e t 几何日趋完善自八十年代起，f i n s i e r 几何开始在相对论，物理 学，生物学以及心理学等领域得到广泛的应用，展现了f i n s l e r 几何的独特魅力 2 - 9 】九十年代 至今，在s s c h e r n ，z s h e n 等的带领下，f i n s l e r 几何更加朝气蓬勃地向前发展，这段时间， 许多难题被完全或部分地征服 与r i e m a n n 度量最为接近的f i n s l e r 度量是( n 卢) 一度量，这一直是f i n s l e r 几何学家们研究 的热点九十年代以前，以日本人t y a m a d a 等人为代表主要采用张量分析的方法研究( 卢) 一 度量，主要得到了关于r a n d e r s 度量，m a t s u m o t o 度量等的一些性质但几何的本质往往被复 杂的张量计算所掩盖，所以这方面的进展缓慢 1 0 - 1 6 1 九十年代以后，z s h e n 引入新的运算模 式并大量应用m a p l e 程序运算，为( a ：卢) 一度量的研究注入了新的活力1 ”- 2 到目前为止， r a n d e r s 度量得到了基本上彻底的研究最近，z s h e n 提出了一个新的( o ，卢) 度量即s h e n 度 量，目前文献中还没有较深入的研究结果 目前f i n s l e r 几何研究的主要问题有：常曲率空间特别是射影平坦常曲率空间的分类问题， 近两年已取得重大进展，特别是r a n d e r s 空间的常曲率分类问题基本上已经完成 2 6 - 3 2 】；f i n s l e r 空间的射影变换及与之有关的曲率问题 3 3 - 4 4 】；还有s 曲率问题等 4 s - 4 s 本文第三部分先讨论一般的射影相关以及射影平坦f i n s l e r 空间的一些性质我们知道， 一个f i n s l e r 度量可以诱导一个s p r a y 但反过来不一定成立定理3 1 和定理3 2 给出了一类射 影平坦的s p r a y 可由射影平坦f i n s l e r 度量诱导的充分必要条件，推广了文献【4 3 和文献【3 5 j 的相关结果定理3 3 讨论射影平坦f i n s l e r 空间何时成为局部m i n k o w s k i 空间，文献 3 3 得 到了定理3 3 的充分性部分，本文用不同的方法得到了其充分必要性又因为局部m i n k o w s h i 空间是射影平坦的，从而该定理揭示了射影平坦f i n s l e r 空问与局部m i n k o w s h i 空间的本质联 系接下来的定理34 则完全地刻画了共形平坦且射影平坦f i n s l e r 空间的特征第四部分讨论 6 s l l ( 、1 度量成为b e r w a d 度量，de m 曲t s 度量，射影平坦以及具有零曲率的条件定理4 】得到了 s h ( ，1 1 度量成为b e l d c l 空间的三个等价条件定理4 2 得到了在n 射影平坦的假设下， s h e n 度量射影平坦的充分必要条件以及在鼬n ，度量射影平坦的假设下，n 射影平坦的苍分必要条 件定理4 3 得到了在n 射影平坦的假设下，射影平坦的s h e l l 度量必具有零曲率第五部分 研究h o p i n a 度量成为d o u g l a s 度量的条件并考察其s 曲率迷向s 曲率及常s 曲率是近来 十分关注的问题，但s 曲奎的计算并非易事，只有较典型的r a l l d e r s 度量和f m l k 度量的s 曲 童有显式表示，本文的定理5 2 运用一定的技巧计算出了k l o p i n a 度量的s 曲率。第六部分的 定理61 和定理6 2 分别讨论广义r a n d e l s 度量成为b e l w a l d 度量以及具有c 一可约性质的条件 二预备知识 首先介绍f i n s l e r 度量以及一些特殊f i n s l e r 度量 令7 是一个t z 维实向量空间y 上的一个函数f ( y ) 称为m i n k o w s h i 范数如果f 满足 ( a ) 对v y v ，有f ( y ) o 并且f ( v ) = 0 当且仅当y = o ； ( b ) f ( a y ) = a f ( ) 对v y 矿a 0 成立； ( c ) f 在v 一 0 1 上是c 8 的，使得对v y v ，v 上如下定义的双线性函数g 成为内积： 强( m ) ：；羔 f 2 ( ”+ s 。+ 枷) m ：f f 。 强”j ：= 互百i 瓦【 【私+ 8 “+ 驯m = 忙o 这时( i f ) 称为一个i v l i n k o w s k i 空间令f e ：) 坠1 为y 的一个基，y = y i e i ，矿r ” 洲j ! ，) = = ；器 则有 盯p ( t z ， ) = g q ( 材) “2 v ， = i t 。e i ，w = e j 设m 是一个n 维流形，t m 上的函数f ( x ，”) 称为f i n s l e r 度量如果f 满足 ( a ) f ( z ：) 在丁m o ) 上是c 。的； ( b ) 对v y v ，g ( v ) = ，( z ，y ) 是已m 上的m i n k o w s k i 范数 ( ，f 1 称为f i n s l e r 空间 对v 0 y 弓m ，p m f 在昂m 上诱导了如下的一个内积珊： g y ( ? j ) ：= g i j ( x ) 矿= ：i f 2 y i y j 护 这里z = ( ，一) 表示p f 的坐标，( z ，) = ( z 2 矿) 表示y t , m 的局部坐标， 1 9 7 2 年，在已被物理学家广泛关注的t t a n d e r s 度量f = n + 卢的基础上，日本数学家 m m a t s m n o l o 提出了( o ，卢) 一度量这个概念设m 为一个n 维流形称f i n s l e r 度量f 为m 7 上的( n ，卢) 一度量若尸( z ：) = ，( o 卢) 为1 阶正齐次函数，即 f ( x r , ) = ： ，( d ) v , k 0 ， 其中o ：= 、n ”( z ) 矿矿为r i e l l l a n n 度量，卢：= b z ( z ) 矿为1 阶微分形式，即1 一形式 下列是文献中常见的池p ) 度量：r a n d e r s 度量f = “+ 卢；m a t s u m o t o 度量f = 坠竽； p a r k l e e 度量f = n + 譬；k r o p i n a 度量f = 譬；广义k r o p i n a 度量f = 啄芸，m o ，1 下面介绍本文中关于( a 卢) 一度量所使用的一些记号 定义b i 。如下： 6 q 伊：= d b i b 田： 其中0 i ：= 如，并且田：= 咄d z 2 代表的l e v i c i v i t a 联络形式。令 ，玎：= ；( 魄。一如；。) ：s 誓= ：( 岛。+ b ，) ， s ；：= n 讪8 蛳o ：= 6 t 5 知r 0 0 ：= r i j y 2 矿，8 6 = s ；旷，s o = s l y 若s i j = 0 ，t 1 1 称, 卢为闭的1 形式；若r ：j = 0 ，则称卢为k i l l i n g1 一形式；若b i l j = 0 ，则称卢 关于。平行 其次，我们来看f i n s l e r 空间中的一些重要几何量的定义 假设c ( z ) 为( m ，f ) 的一条参数曲线，若它满足测地方程 篆9i ( f ) + 2 g ：( c ：磊d e ) = 。， 其中 g 2 ：= 秒f 【f 2 k z 一 f 2 一) ( 2 1 ) 则称c ( ) 为测地线，g 2 为f 的测地系数其中( 铲) 表示( 船) 的逆矩阵定义 g ：j ：，t 杀- 2 g i ( 剐) 杀 则这个向量场是整体定义在切空间t 1 f 上的，从f 的齐性我们有 g t ( 。 ) = 2 g i ( z ，) ， a 0 我们称g 为f 诱导的一个f i n s l e rs p a r y 对任一非零向量y 弓m ，定义c a r t a n 挠率为q = c o t ( x ，) d 一 如 d x ：耳m 耳m o b m r ，其中 e 。t ( z ，) ：= ；西j o 丽f e 【。，) 8 定义q ：= v o v o v r 其中 c v ( u , v , w ) 2 ( 咖2 m 产“= 以： = t ，勺，：护 则称c ：= q ”f f 0 ) 为c a r t a n 挠率 定义平均c a r b n 挠率为与= 厶( _ ) o 咖；：乃m 。r ，其中 五：= 2 ；9 。i f 2 j t 矿“ = 杀胁肛丽 ( 2 。) 定义b 8 。”8 1 0 曲率为岛2 弓“d x 。d 妒。d x 。圆嘉k ：弓 ，。耳m 。乃m 眠其中 b ；埘( z ：”) ：= 否i ：；i ；茜( 。，”) ， ( 。3 ) 定义平均b e r w a l d 曲率为曷= e j 心。d z k l f ：t p m 。t p m _ 月，其中 e m 喇) ：= ；啄施，j ! ，) 竺果占2o ，贝称f 为b e r w a l d 度量如果e = o ，则称f 为弱b e r w a i d 度量，o 、 定义l ”“8 6 ”g 曲率为毛2 厶批d 。d 。d z 1 p ：t p m 。t p m 。t p m _ 6 动。羹影 锄f - 一扣m 删鼢虻一轨m 如j ! ，) 蔫n 如果l = 0 ，则称f 为l a n d s b e r g 度量 定义平均l a n d s b e r g 曲率为 ： 。d x i ：t , m + r ，其中 。五：= 矿。l m 在b e r w a l d 曲率的基础上，jd o u g l a s l k td o u g a s 曲率 弓mx 昂m 耳m 斗耳m 定义为 哆“= 瓣9 a i i ， 其中 岛：q 削蓉象。出一圆杀 ( 2 4 ) 口：一击筹旷 ( 2 5 ， 如果d = 0 ，则称f 为d o u g l a s 度量 定义r i e i t l a n n 曲率为岛= 壤d 。暴j p ：耳i ，_ 蜀m 其中 硪= z 篆一淼矿+ 。掣器雾筹 r i e m a n n 曲率的迹 r i e ( z ，y ) ：= ( n 1 ) r ( ) = 兄鬻( z ，) 称为r i c c i 曲率r ( z ) = 击r i c ( z ? ，) 称为r i c c i 标量 定义f 为局部m i n k o , as k i 度量，若f 满足b = 0 r = 0 这时，( ，f ) 称为局部m i n k o w s k i 空间 对一个二维平面p c 咒m 和0 y 耳m 定义旗曲率为 m 小= 蕊蒜， 其中p = s p a n y ，“) ，显然k = o 营r = 0 如果( p ，功= a ( 曲，即k y ) 与所选平面无 关，则称f 具有标量曲率k = a ( ”) ，在一个局部坐标系下，这等价于 r = a f 2 慨一警) ( 2 6 ) 如果a 是一个常数，那么我们称f 具有常曲率 定义w e y l 益率为 = 峨如。杀i p ：耳m _ 乃m 其中 暇：叫一熹筹j ! ，t ； a k ：= r 一r 畦 定义s 曲率为一个标量函数s ：t m - r s = 筹妒万o ( t n a p ) ， 62 瓦百一圹1 历- ， 其中，卵( z ) = e u c l i d 型e a n 。v o l ( b 2 ) ，“j n 是欧氏空间中单位球的体积，磁：= ( 矿) r “，f ( 扩e t ) 0 ，则称f 与f 射影相关容易得到 上的两个f i n s l e r 度量射影相关当且仅当f 满足 f i y 2 一f = 0 ( 2 8 ) 这时f 与f 的测地系数的关系为：召= g 1 + p y ! ，其中 p ：型 2 ，。 如果，是局部m i n k o w s k i 的度量，则称芦是射影平坦的f i n s l e r 度量 不难得到，卢射影平坦当且仅当卢满足 b t y 一e f 0 ( 2 9 ) 这时，尹的射影因子为 p - 等 ( 2 1 0 ) 下面我们来计算射影相关以及射影平坦f i n s l e r 空间的b e r w a l d 曲率和r i e m a n n 曲率的关 系 若卢与f 射影相关，则分= g z + p y z ，于是两者的b e r w a l d 曲率和r i e m a n n 曲率之间满 足如下关系f 2 , 3 1 ： 日 f = 弓川+ p j k l , 4 + p j 嚣+ 弓f 雌+ p k t s ； 只= 只+ 三畦+ , r k y 2 宦：= p 2 一p j 丁 = 3q ：p , k p p k ) + 三k 其中0 ”表示关于f 的水平协变导数容易得到，再= r 当且仅当射影因子p 满足 p ；k p 最= 0 若( m ，户) 是局部m i n k o w s k i 空间，则( 尬f ) 射影平坦且s p r a y 系数g k p 矿于是有下面的 式子 p ；k p 见= 只女一g 只一p p k = b - + r 旷b + p 只一p r = b k + p n 只j 矿一p 2 = 只，矿一g ；b 矿一p 2 p j ：，y j 一2 p 旷p 一p 2 = 巴。y 3 + p 2 3 ( 尸b p r ) + 三 3 ( 只一g ；p r p r ) 一( p 2 + b ，矿) 3 ( b * + r 矿只+ p 耳一尸r ) 一( 2 户r + b * + 扩矿) 2 b + p r 一只，矿y 由上述计算可得 b ；k f = 一弓 f 矿一b 研一马f 畦一展f 吗= 0 硪= ( p 2 + p z ，矿) 氓一( 2 p z * + p r f 0 矿矿) 扩 ( 2 1 1 ) ( 2 、1 2 1 应用( 2 1 2 ) 不难得到f 的r i e m m m 曲率r = 0 当且仅当b * + 尸最= 0 引理2 2 蚓 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e r 度量如果f 与f 射影相关并 且f 具有常曲率，那么也具有常曲率当且仅当q 。= 只| j 一弓：= 0 ，其中p = f 1 l k j r y k 为射影 因子， 引理2 3 2 3 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e r 度量且它们是射影相关的，其 中射影因子为p 如果f 具有标量凹率 ( z ，g ) ，则f 具有标量曲率页( z ， ) ，并且下式成立： x ( z ，) _ 2 一a ( z ，y ) f 2 = 三 ( 2 1 3 ) 其中 三：= p 2 一角t y 。 ( 2 1 4 ) 若f 与f 有关系f = e c ( z ) f ，则说f 与f 共形相关其中c ( z ) 称为共形因子称f 是 共形平坦的如果f 与一个局部m i n k o w s k i 度量是共形相关的 若f i n s l e r 度量f 与同一个局部m i n k o w s h i 度量共形相关且射影相关，则称f 共形平坦且 射影平坦 下面我们计算共形平坦且射影相关的f i n s e r 度量f = 矿( 。) f 与f 的一些关系。 由引理2 1 直接计算可得 p = 妻o k 矿， 非c r k 7 1 k y i - - 务 其中o ： 记。o ：= o k y 2 ：则( 口o ) = 口 于是有 虿；g t - f f y o y i i f 2 一 1 2 下面假设卢局部m i n k o w s h i ，即f 共形平坦且射影平坦根据上面的计算，容易得到共 形平坦且射影平坦f i n s l e r 空间的r i e l n a n n 曲率为 愿= ( ；珊。+ i l n 。2 ，一( j l a o k - i - ；以w ， ( 2 】5 ) 其中0 0 0 ：= t r o y 2 y 3 a i j = ( 仃2 ) z j = ( t x l z ：1 在计算f i n s l e r 度量的基本形式时，我们多次用到下面的代数引理 引理2 4假设( 1 ) 矩阵( q 。，) 为一n 阶的可逆复方阵，其逆记为( q 巧) ； ( 2 ) 对于一列复数c j ，若一= g j c 。，j = 1 ，n 那么 ( a ) d e t ( q i j + q 勺) = ( 1 + c s c s ) d e t ( q i j ) ； ( b ) 若1 + c 8 c s 0 ，则( q i j + c c j ) 可逆，且逆矩阵为( q ”一i ；岳d d ) 三一般f i n s l e r 度量的射影性质 定理3 1假定f 是强凸区域n 上的f u n k 度量，定义射影平坦s p r a y g h ：= y i 丽0 2 ) 硝丽0 其中h ( x ，) 是关于的零阶正齐次的标量函数( 即 ( z ，蛔) = a ( z ，) ，v a o ) ，那么瓯由射 影平坦f i n s l e r 度量户诱导的充分必要条件是声满足微分方程组 曩t = ( 0 ，y ) f f ) - * ，k = 1 ，：n ( 3 1 ) 证t f 定f 诱导磊，则的测地系数为兹= h ( x ，) f 扩由于瓯射影平坦，有卢射影平 坦于是户满足( 2 9 ) 且p 由( 2 加) 给出，于是 2 h ( z ，y ) f f = 足t 扩( 3 2 ) 对( 3 2 ) 式关于y 求导并利用( 2 9 ) 得 2 ( h ( z ，) f f ) ，= ( 豆- y ) = 豆* 哪+ e t = 2 豆 即膏满足( 3 1 ) 反之，设n 上的f i n s l e r 度量膏满足( 3 1 ) ，则( 31 ) 关于y 求导再用y 缩并，有 最k y l y = ( h f y ) y * yy 。= ( f 卢) 一= 最r 从而户满足( 2 9 ) 且射影平坦，射影因子由( 2l o ) 给出用y 缩并( 31 ) 得 或t 扩= 2 h f p 1 3 于是，p = 等，满足( 2 1 0 ) ，即瓯恰为f 诱导的射流证毕 定理3 2 假定f 是强凸区域n 上的f u n k 度量，h 为常数，则当且仅当h = 0 ；1 时， 存在n 上的f i n s e r 度量卢诱导赢并且 ( i ) 当h = 0 时，可取f = f ( y ) 为一局部m i n k o w s h i 度量 ( i i ) 当h = 1 时，可取f = f 十b ( 一a i ) ( i j j ) 当h = ；时，可取f = f 证 ( 必要性) 由定理3 1 ，岛由f i n s l e r 度量户诱导等价于微分方程组( 3 1 ) 有解设 存在j 满足( 3 1 ) ，已知f u n k 度量的s p r a y 系数为g z = f y ，于是卢与f 射影相关且射影 因子为p = ( 一；) f 注意到 = ( 学b = g i k f ；j y _ 型k 一掣：。 从而q 玎= 只。一弓i i = 0 于是，由引理2 2 得卢具有常曲率霄，且满足蠢2 一k f 2 ：兰，其中 k = 一 又曼= p 2 只y k ( h 一；) 2 f 2 ，于是 膏产：f h 2 一 1 f 2 若h 2 一h o ，即h o ，1 时，牙0 ，有声兰佣f 。于是 霹= 厚 c 慨c 厣h 2 - h 吼一厣耻。晦 可得 昏= ；( f 卢垮 可见，当且仅当h = 时卢可能满足( 3 1 ) 式 因而有，若微分方程组( 3 1 ) 存在解，则必有h = ；或h 2 一h = 0 ( 充分性) 当h = o 时，微分方程组( 3 1 ) 变形为或t = 0 = 1 ： 一m i n k o w s k i 度量，则卢是( 3 1 ) 的解 ( 3 3 ) 即h = o ，；，1 n ，令f ( z ，y ) = 声( 们为 当h = 1 时，由文献 4 4 】的引理3 2 ，( 3 1 ) 可解 当h = 时，f u n k 度量是( 3 1 ) 的一个解 评注 在上述充分性的证明中，我们只证明了( 3 1 ) 可解，自然地有这样一个问题：当 h = 0 ， ，1 时，能否找出( 3 1 ) 的所有解? 对此我们有如下结论： ( a ) 当h = 0 时，( 3 1 ) 变形为 最 = 0k ：1 ；，n 1 4 解此方程组得卢= 户( ”) 即卢是m i n k o w s h i 度量 ( b ) 当h = 1 时，有卢r 平坦，牙= 0 这时，所有满足条件的声可解析地表为 户= 曼嘉杀妙( ”十讹 h 。 其中咖( ) = 户( o ) ，( ) 是m i n k o w s h i 范数， f ! = y _ r 。i 妒( ) 1 ) ( c ) 当h = 时，令户= v f ( v 矗) ，则f 是( 3 1 ) 的解但( 3 1 ) 是否还有其他解? 这个问 题宵待进一步讨论 由上述证明还可以得到：诱导瓯( ，z 为常数) 的f i n s l e r 度量卢必有非正常曲率 定理3 3射影平坦f i n s l e r 空间( m ，f ) 是局部m i n k o w s h i 空间的充要条件是射影因子p 满足 ( i ) 弓k = 0 ； ( i i ) 马r + 巩弓= 0 证 ( 必要性) 若e , k = 0 ，由( 2 1 1 ) 式，显然有b = o ；若( i i ) 成立，用扩缩并( i i ) 得 f 0 + p 弓= 0 ，利用( 2 1 2 ) 式可得r = 0 于是( m ，f ) 是局部m i n k o w s h i 空间 ( 充分性) ( m ，f ) 是局部m i n k o w s h i 空间，则b = 0 ，r = 0 把b = 0 代入( 1 1 ) 式可得 马k f 矿一局k 研一弓f 畦一r i 吗= 0 令z = z 即得弓 = 0 ，即( i ) 成立利用r = 0 可得乃+ _ p 弓= 0 ，此式对y 求导，得 巩马+ 弓最+ p 弓女= 0 利用( i ) 可得( i i ) 定理3 3 给出了局部m i n k o w s h i 空间的一个判别方法，只用到其射影因子。下面举例说明 例3 1( f u n k 度量) 在单位球b ”c r ”上，定义 f 一型丑罡三二皿至卫卫团卫e 三三二互互三三圭三兰! 型三 。 1 一1 2 其中和 分别代表标准欧氏范数和内积o k a d a