（流体力学专业论文）可压缩平板边界层的非平行稳定性研究.pdf

中文摘要 本文从n a v i e r - s t o k e s 方程出发，对方程进行抛物化，得到抛物化稳定性方 程( p a r a b o l i z e ds t a b i l i t ye q u a t i o n ) 。然后再线性化，得到本文所用的线性抛物化 稳定性方程( l p s e ) 。利用差分方法对方程进行数值离散，研究了可压缩边界层 的非平行稳定性问题。讨论了可压缩边界层的非平行性对扰动的影响。引入三维 扰动波，讨论了展向波数对扰动的影响。得到以下结论： ( 1 ) 在马赫数分别为4 5 的超音速和o 3 的亚音速边界层中，考虑了边界层 的非平行性，用p s e 方法研究平板边界层中扰动的演化，计算所得的特征值和 特征函数分布，与用局部平行流假设的l s t 所得结果相符。 ( 2 ) 在马赫数为4 5 的超音速边界层中，基本流的非平行性对增长率有明 显影响，流向波数沿流向增长；在马赫数为0 3 的亚音速边界层中，基本流的非 平行性对增长率有明显影响，流向波数沿流向衰减。 ( 3 ) 在马赫数为4 5 的超音速边界层中，对比了不同展向波数下的增长率 的变化曲线，得出边界层的非平行性对三维扰动波的影响要大于对二维扰动波的 影响。 ( 4 ) 在马赫数为4 5 的超音速流中，随着展向波数的增大，展向扰动增大， 流向扰动相应处会出现一个明显的剪切层，但是对法向扰动和温度扰动影响较 小；在马赫数为o 3 的亚音速流中，随着展向波数的增大，增长率和流向波数的 变化变大，而展向扰动会逐渐变小，法向扰动，和温度扰动都变小，流向扰动变 化不明显： 关键字：p s e ，非平行性，t - s 波，线性稳定性理论 a b s t r a c t i np r e s e n ts t u d y , t h en o n - p a r a l l e ls t a b i l i t yo fas u p e r s o n i cb o u n d a r yl a y e ro na f l a t ep l a t ew i t hm a c hn u m b e r4 5 ，a n do fs u b s o n i cb o u n d a r yl a y e r sw i t hm a c h n u m b e r0 3i si n v e s t i g a t e de f f e c t i v e l yb yu s i n gp a r a b o l i z e ds t a b i l i t ye q u a t i o n s ( p s e ) w i t ht h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ，t h ef i n i t ed i f f e r e n c et e c h n i q u ei se m p l o y e di n b o t hx c o o r d i n a t ea n dy - c o o r d i n a t e ，m e a n w h i l et h ep e r i o dc o n d i t i o ni su s e di n z - c o o r d i n a t e t h ei t e r a t i o no fp r e d i c t o r - c o r r e c t o ri su s e di nt h em a r c h i n gp r o c e d u r e t h e t o l l m i e n - s c h l i c h t i n g ( t - s ) w a v e sa r ep r e s e n t e dw h i c ha r ec o m p a r a b l ew i t h t h el i n e a rs t a b i l i t yt h e o r y ( l s t ) a n dp s er e s u l t s f r o md i f f e r e n tc u r v e sc o m p u t e d b yt h ee x a m p l e ，t h ee f f e c t so ft h en o n - p a r a l l e l i s ma l ea c c u r a t e l yg i v e n r e s u l t sa r c q u i t ec o n s i s t e n tw i t ha v a i l a b l ed a t a i th a sb e e np r o v e dt h a tp s em e t h o di se f f e c t i v et o s t u d yt h en o n - p a r a l l e l i s mo ft h eb o u n d a r yl a y e rs t a b i l i t y i ti n d i c a t e st h a tt h e n o n - p a r a l l e l i s mo ft w o - d i m e n s i o n a ld i s t u r b a n c ei sw e e k ，b u tf o rt h r e e - d i m e n s i o n a l d i s t u r b a n c et h en o n - p a r a l l e l i s mi s s t r o n g i ta l s os h o w st h a t t h en o n p a r a l l e l i s m b e c o m e sm o r ea n d s t r o n g e rw i t ht h ei n c r e a s i n go ft h es p a n w i s ew a v e n u m b e r k e y w o r d s ：p s e ，n o n - p a r a l l e l i s m ，t - sw a v e ，l s t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学雠文储弥精 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权基鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 私半 签字日期叫年6 月f 弓日 导师签名：歹矿一磊 签字日期：伽1 年月弓日 天津大学硕十学何论文 第一章绪论 第一章绪论 从层流到湍流的转捩问题具有很大的理论意义和实际应用价值，流动稳定性 理论最初是为了解释流动从层流到湍流的转捩机理而形成的。对于可压缩边界层 的研究，无论从理论上还是实验上，都比对不可压缩边界层的研究要困难的多， 因为可压缩的稳定性问题比不可压缩稳定性问题更复杂，影响参数更多。 1 1不可压缩稳定性研究 转捩的研究开始于1 8 8 3 年的r e y n o l d s 实验，他通过圆管研究了层流和湍流 两种不同的流动状态。在雷诺的实验中发现，在固定参数v d y 。3 0 0 0 ( v 是 平均速度，d 是圆管直径，九是运动粘性系数) 下，原来平滑的速度变化曲线 出现了一个显著的突变。r e y n o l d s 发现突变是由层流转变到其他的运动状态所产 生的，并且认为这种突变与层流不稳定性有关。 2 0 世纪初，p r a n d t l 提出边界层概念后，人们发现边界层中同样存在着层流 和湍流两种流态。t a y l o r 在1 9 2 3 年观察到了c o u e r e 流的不稳定的情况。类似的 还有平行流的稳定性，比如平面p o i s e u i l l e 流、h a g e n - - p o i s e u i l l e 流、平面c o u e a e 流等。 k l e b a n o f l f 【2 8 ，s a r i c 1 5 和k a c h a n o v 11 等人的实验表明，在平板层流边界层 中，虽然扰动一般先以二维形式开始，但在沿流向演化时，不可避免的要出现三 维扰动，且三维扰动的增长率大于二维t - s 波的增长。从明显的出现三维扰动开 始到转为完全湍流，不需要很长的过程，通常在几个t - s 波长范围内就完成。根 据t - s 波的幅值不同，有三种不同的三维扰动，分别称为c ( c r a i k ) 一型，h ( h e r b e r t ) 一型和k ( k l e b a n o f f ) 一型。有关流动稳定性非线性稳定性理论能很 好地解释这些结果。 不可压缩流的线性稳定性理论是从二十世纪初开始发展的。o r r 和 s o m m e r f e l d 建立了研究平行流稳定性的小扰动方程，即o r r - s o m m e r f e l d 方程( 以 后称o - s 方程) 。h e i s e n b e r g 是第一个从理论上证实了在r e y n o l d s 数很大时有不 稳定解的人，但他没有具体算出临界r e y n o l d s 数。t o l l m i e n 和s c h l i c h t i n g 进一 天漳大学硕十学位沦文 第一章绪沦 步发展了h e i s e n b e r g 的渐近方法，t o l l m i e n ( 1 9 2 9 ) 第次计算了包含不稳定区 域的中性曲线和临界雷诺数r e 。，l 临界雷诺数表达式为r e = 甜。万比，( 其中甜。为 自由来流速度，万为排移厚度，圯为运动粘性系数) 。在临界雷诺数下，在平行 流假设的前提条件下，即忽略了边界层厚度的增长，层流是稳定的。之后，t o l l m i e n 和s c h l i c h t i n g 又具体计算了小扰动的解，预测了小扰动会以波的形式出现，以后 这类解称为t o l l m i e n s c h l i c h t i n g 波( 以后称t - s 波) 。 在前人的努力下，得到了关于o r r - s o m m e r f e l d 问题解的一个基本形式，即 为1 ，= v ( y ) e x p i ( c + 犀一研) 】( 其中，z ，y ，z 分别表示流向，壁面法向，展向。 口为流向波数，为展向波数，缈为频率) 。层流时不稳定扰动波的波数口要比 湍流时的波数小的多。由于不稳定的粘性区域的影响，s c h l i c h t i n g ( 1 9 3 3 ) 2 2 计算出的增长率是衰减的。但是，计算所得的临界雷诺数r c 。远小于实验测出的 转捩时的雷诺数r e ，。s q u i r e ( 1 9 3 3 ) 进一步研究了卢0 ( 卢为展向波数) 的 情况下三维不稳定性问题，在低雷诺数下，可以等同于二维问题。因此不稳定波 开始是二维的，随着扰动演化成三维的。然后很快就会出现失稳的现象。 流动稳定性非线性理论的研究是从l a n d a u 开始的，他在1 9 4 4 年提出，当扰 动增长后，非线性的影响会起作用。在他的研究下，得到了描述幅值变化曲线的 l a n d a u 方程。s m a r t 在1 9 6 0 年提出了弱非线性理论，给出了求解l a n d a u 系数的 方法。这一理论成了后来许多工作的出发点。s t u a r t 的理论在应用时受到一些限 制，它只能求解存在中性曲线，并且国。之 1 的情况，无法处理远离中性曲线和 无中性曲线的情况。周恒【1 8 】等在1 9 8 2 年将非线性振动理论中的k - b 方法应用 于流动稳定性的研究中，其实质和s t u a r t 的方法一样，但其形式更带有普遍性， 更便于应用。h e r b e r t 2 6 提出了二次失稳理论：认为当存在定常或准定常有限幅 值二维t s 波时，三维次谐波通过参数共振而失稳，导致三维扰动的增长。c r a i k 提出了共振三波理论：在弱非线性理论的基础上，加入共振条件，满足此条件的 一个二维波和一对斜波的流向相速度相等，其能量交换关系保持不变，若幅值在 初始时增长则在较长时间内的演化不会有反复，将一直增长下去。 这些实验和理论尽管还不能完全解决转捩问题，但已经形成了不可压缩流动 的稳定性研究的较为完整的体系。 天津大学硕士学位论文笳一章绪论 1 2可压缩稳定性研究 早在1 9 6 0 年，l a u f e r & v r e b a l o v i c h 与d e m e t r i a d e s 就分别对可压缩平板边 界层作了稳定性实验。k e n d a l l ( 1 9 6 6 ) 对马赫数4 5 的平板边界层人工扰动实验 数据与m a c k ( 1 9 6 9 ) 的理论分析结果吻合很好，而在马赫数为2 2 是稍差一些。 l y s e n k o 和m a s l o v 研究了冷却壁对平板边界层稳定性的影响，与m a c k 的工作结 论一致。k e n d a l l ( 1 9 7 5 ) ，d e m e t r i a d e s ( 1 9 7 7 ) ，s t e t s o n ，t h o m p o s n ，d o n a l d s o n 和s i l e r 等先后对零攻角的尖锥边界层做了稳定性实验。 可压缩平行流线性稳定性分析的基本方程，是由l e e s 和l i n 1 7 最早应用小 扰动理论得到的。后来，l e e s 和g o l d 成功地把该理论推广到自由剪切流。早期 的这些稳定性工作都是采用渐近的方法，缺少数值验证。第一个直接从粘性稳定 性中用数值方法计算出简正模态特征值的是b r o w n ，更精细的数值计算工作则是 由m a c k 完成的。m a c k 的一个重要发现是，对一个给定的频率，与不可压边界 层中最多只会有一个不稳定波不同，当来流m a t h 数超过2 时，超音速边界层可 以有两个甚至更多的不稳定波。其中有一个波可以由不可压边界层的不稳定波延 拓而得，称为第一模态，其它的则称为第二、第三模态等：m a c k 的开创性工作 以后，可压缩平板边界层的线性稳定性理论已经初步形成。 对于可压缩流动稳定性的数值研究，随着计算机技术的发展，通过直接求解 n s 方程进行数值模拟( d i r e c tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ) 成为可能，d n s 成为研 究可压缩边界层流动稳定性的重要手段。g r o p e n g i e s s e r 在1 9 6 9 年用无粘的空间 模式的稳定性理论得到更广泛的可压缩混和层的数值计算结果。m a c k 在1 9 6 9 年的数值计算结果发现了可压缩理论中的第二模式。m a l i k 年提出了高精度的二 点四阶紧致格式，对三维可压缩边界层的稳定性分析进行了数值实验。g a s p e r a s 在1 9 8 7 年首先用r u n g e - - k u t t a 方法直接求解稳定性方程，对尖锥外形进行了稳 定性分析。同年m a c k 、m a l i k 对尖锥外形的轴对称边界层进行了稳定性分析， 、并与实验进行了比较，分别讨论了压力梯度对平板边界层的第一模式与第二模式 的影响。e r l c b a c h e r 和h u s s a i n i 在1 9 8 7 年用直接数值模拟的方法，观察到了一个 有限幅值的二维波与三维扰动相互作用触发二次失稳的现象。 可压缩的稳定性问题比不可压缩的稳定性问题更复杂，影响的参数更多，加 上可压缩流对超音速稳定性的实验比不可压缩的实验难的多。可压缩的稳定性研 究要考虑非线性和非平行性的影响，虽然我们可以用直接数值模拟进行研究，但 由于直接数值模拟耗费的代价比较大，所以对可压缩的稳定性研究存在一定的困 难。 天津大学硕十学何沦文第一章绪论 1 3p s e 方法的引入 对于可压缩流动的研究，我们所用的方法一般是二维和三维d n s 。由于 d n s ，尤其是三维d n s 对计算机的要求很高，所以我们需要更有效、更经济的 数值分析方法。p s e 早期是由h r b e r t 和b r t o l o t t i 1 3 开发的，能够提高对可压缩 稳定性数值分析的速度。 对于边界层的研究，除了非线性的影响，非平行性影响也可能导致计算误差。 即使细微的偏差经过流向很大的距离之后积累起来之后将会变得很大。尽管在计 算上已经足够精确，理论值和实验值在中性曲线上表现出来的差别仍然很大。因 1 1 为非平行性的影响是雷诺数导数亡l 拘d , l ( r e = r e ；，r e ，= 。x y 。) ，所以 c b o u t h i c f ( 1 9 7 2 ，1 9 7 3 ) ，g a s t e r ( 1 9 7 4 ) 1 2 等人使用了摄动方法来获得b l a s i u s 解中二维波的精确结果，并且排除了非平行性导致的实验与理论之间的偏差。 p s e 包含了线性稳定性理论忽略的非平行性和非线性的影响。c h a n g 和 a i r i a u 等人都曾经用过p s e 方法作稳定性分析。p s e 成功应用于很多可压缩边界 层的线性和非线性稳定性分析。s h h u 和x i a o l i nz h o n g 研究了可压缩平板边界 层的稳定性问题。c h a n g 和m a l i k 3 也用p s e 方法研究了可压缩边界层的线性和 非线性稳定性。最近，c h a n g ，v i n h 和m a l i k 1 4 用p s e 方法研究了高超音速边 界层的流动线性稳定性。目前，p s e 已经发展成为一种分析边界层机理的有效的 方法。然而，p s e 最重要的应用领域是空气动力学，利用p s e 方法对转捩进行 分析，可以为层流控制，飞行器的设计等提供理论基础。 1 4 本文的主要工作 现有的分析可压缩流动的方法有线性稳定性理论，直接数值模拟。但是线性 理论难以考虑非平行性，直接数值模拟虽然可以考虑非平行性和非线性，但工作 量太大，所以本文从n a v i e r - s t o k e s 方程出发，对其进行抛物化，然后再对的方 程线性化，得到本文所需要的线性抛物化方程( l p s e ) 。本文通过得到的l p s e ， 研究超音速和亚音速可压缩边界层中扰动的演化，比较了考虑平行性和不考虑平 行性对扰动演化的影响。通过引入三维波t - s 波，讨论了展向波数变化对扰动演 化的影响。 4 天津大学硕士学位论文 第二：章数值方法 2 1控制方程 第二章数值方法 不管是可压缩线性稳定性方程，还是抛物化稳定性方程， 压缩n s 方程。分量形式的n s 方程为： 挈+ p 宴+ 7 , 挈+ p 堡+ y 竺+ p 丝+ w 望：0二+ + 上+ + y 二+ + w 二2 加 。缸 苏。咖咖。瑟 瑟 p 串+ 7 , 丝+ y 塑+ w 蓦：筮+ 丝+ 篮p i + + ，+ w l = 坐+ 二二+ 【_ 已 、仞缸 匆 瑟7缸。勿。瑟 p ( 堡+ 甜堡+ v 堡+ w 鱼) ：坠+ 监+ 丝p - 一+ 甜+ 1 ，+ w ) = 二+ 二卫+ 乙 一西 良 咖 受7缸 咖 瑟 它们都是来源于可 ( 2 1 - a ) ( 2 1 - b ) ( 2 1 - c ) 夕( 塑+ 甜罢+ v 业+ w 坐) ：篮+ 丝+ 一a p =(21d)a 、t盘 a y 0 z 7 0 x 。a y o z 一 胪p 鲁= d 曲p + d i v ( k g r a d t ) + 矽 ( 2 1 - e ) 其中：p ，u ， 1 ，w ，t ，k ，c ，p ，p ( o o ) 分别表示密度，流向速度， 法向速度，展向速度，温度，热传导系数，定压热容，压力，压力的各个分量。 、2 2简化方程 害+ p 罢+ 甜罢+ p 祟+ v 罢+ p 娑+ w 挈：o 言邮否栅素印面茜印西+ w 舌_ 0 ( 2 2 a ) 辟+ 甜一o u + ，一o u + w 鱼) ：一鱼+ 4 a ja , + 4 p 0 2 u2a , 堡2 a 一a w + 一ao x 勿 岔7甜3 苏良。3 反2 3 玉a y 3 良岔。 、 1 8 z v 一1 8 z w舀l l 跏8 ho u 8 l l 乏ha ho w铲l , i a 2 u b ，二 ( 2 2 ) 一3 一i k , g y 卜3 a r z 3 z + 茜夏+ 二a y a y + 蓄瓦+ 吾否+ 萨十虿 。 勿反受岔。岔函。却27 昆2 5 天津大学硕士学位论文 第：章数伉方法 ，加 加加 加、劫 月舭a t a 2 v2 础g t u 2a “o w - i t 。j p l v v - - i t p一州面+y万+w瓦一茜+j万万+j矿一3二ayoxj万v-,iv,vot i 5 , + ( 2 2 c ) 一 教瑟7却3 却咖3 。却2 3 砂瑟，、 1a z t l10 z wa l lo v a l lo u8 uo va uo w a z v8 z v 一3 一o x o y + 一3 一o y o z + 一o x 面+ 一o x o y + 二o z o z + 二o z o y + 百o y + 万 。 玉 2 如2 ，0 7 o to t 识印勿勿印良o - 7 ，扩t 良o t ，扩丁 碑唁扣夏+ + 气) 5 舌韧盂w 茜+ 嚆+ 磊西锹虿卜o y 瓦般可 ”a 反匆 a 良 匆 岔a 【及 酽 谚矿 + 差罢+ 譬+ m e 灿2 + 营2 + 主售+ 争2 + 主当+ 参2 + 主售+ 争c 2 二e ， 售+ 鲁+ 爹， 在上述方程展开的过程中，用到了状态方程p = 肚丁消除了压力p 。然后对 方程进行无量纲化，选取特征长度为l o = 比u 。( 其中x 。为计算域入口到平 板前缘距离，i , i , o 为自由来流速度，几为运动粘性系数) ，计算域入口到平板前缘 无量纲距离为： x ：= j c o 毛= 4 l t , o x 0 y 。， 。而入v i 雷诺数的表达式与之相同且为： r e o = 甜。，o 几= 4 1 , o x 0 y 。= x o 。 无穷远速度为甜。，密度为风，温度为l ，粘性系数为a t 。，热传导系数为屯， 其他参数相应无量纲化为： p = p 几p = 风z ，。2t = t t o u 。2kppl oi = k 2 几。j d 。z ，。 2 m2 咒m t = t 瓦 ”2 u 甜 x = x l o v 2 1 , 1 v y = y l o z = z t o y 1 0 l oy = z2 w 2 t , i w 注：带“，- ”号的为无量纲量，下面得到的是化简后无量纲方程，为书写方 便，略去“妒。 6 d二2，k 加砂 舡i： 笪“坐矿 彻一良 舡一瑟一铲 脚一地跏一酽 w l n 叶 井一岔加一如 p p 一耖4 广塑砂挑瑟挑一砂弘一瑟舡一砂 + h h筹犀1望敏堕施己气丝苏塑砂忑 挑一砂巩一驰 跏一缸，卜3 + ，1 一矗铷穆 天津大学坝十学f 市论文 第_ 章数值方法 ，、 一 娑+ p 罢+ c _ _ p p l 1+ p 竺+ v 翌+ p 型+ w 望：0二+ p + p + v 二+ 口+ w 二= a t j 8 x 0 4 3 ( 1 两却r 现娩 d l o x。vo v o z r 使 ( 2 3 a ) 厦害+ 塞+ v 考+ w 菥1 ( p 瓦a t + 丁聂1 【j 4 面a t 瓦i g u7 4 等丽2a z 虿o v 3 28 l l0 w 16 1 v1a 2 w a i ja u 8 l l8 l o n , 8 l l0 u v l - v 铲u铲u 一3 瓦i + _ 3 面十- 3 丽+ 一o y 夏+ 亩一0 v + 二o z o x + 蓄西+ 鬲0 v + 萨 良岔 。良咖。反咖良却 。臣瑟广 2 岔2 磅+ l f 老+ y 霉+ 嗤+ 壶p 警+ 喙= 拱考害+ 争窘一j 2 丽a a 3 枷 2 抛西1铲 1a 2 v a a 跏础锄a a 加a a 伽扩w-r- v - a 2 w j i 虿+ j 蕊+ j 丽+ 否否+ 去否+ 万瓦+ 万万+ 虿+ 歹 碍+ “罢+ v 考+ 0 7 ，= 型1 - - 塑o r + 噜，+ 如罢+ r 害，+ v p 考+ r 争 咖暑+ 噻卅熹尝罢+ 窘+ 考考+ 窘+ 老暑+ 窘，i + 驰业磐e 毫n 售灿营+ 圭毫+ 2 + 三g + 宝n 三毫+ 警2 专售+ 言+ i o w ) 2 】 将瞬时的流动分解为平均流和扰动值： 一 一 甜= 1 4 + 甜1 ，= 1 ，+ 1 ，w=w+w p = p + p t = t + t 代入方程并化简，在化简过程中，略去非线性项。在此过程中，使用了f 做 简化。由石= ( 于) ，得到：- ( 于) 争。令r ：厂t ( ) 可以得蓟f 的表达式。 互= 厢) = ( 彤幸雨i + c 刚( - 砖。娑玉张m ) ( - 旧- 2 】争 q 4 其中：c = 11 0 4 k 疋( k 为开尔文，咒为无穷远温度) 。 7 c孓2，l 锄一良了。器謦 2 3 + 一 旷一： v 一2 于一矗立矿伊 4 3 v 一拓 4 - l 3 加一玉加一砂舡一岔舡一砂y 岣疆丝砂 喜皇昆 、， k l ，堕旧 扭a 舡否 塑砂尘砂 眇 缸否 。一旭挑纰 1 f 卜 加卜玉 。卜3 + 气一a ，也叻 v 丁 钟一良 一：a型出 + i 一， a 垫坶 天津大学硕士学位论文筇：章数值方法 故得到f 为： r ：塑于：+ 亍( 1 + c ) ( 于+ c ) 。 ( 2 5 ) 得到简化后的方程为( 见附录，为书写方便，以后扰动表示均略去“a ”) 。 将分量形式的方程合并成矩阵形式： r 詈十彳芸+ b 茅+ 絮+ + 害+ 骞+ 雾+ 塞+ 塞 。2 m + 窘= o 在推导式( 2 6 ) 的过程中，直接略去了非线性项，故得到的方程是线性的。 然后，对方程进行抛物化，将扰动分解成一个快速的振荡波和一个慢变形状函数。 我们为去除波的椭圆特性，改变形状函数对方程进行抛物化。和线性稳定性理论 相似，我们假定不稳定波的频率为国，展向波数为夕( 假定扰动波在时间和空间 上是周期性的) ，在整个运算过程中为一个不变的常量。 在l s t 中，在直角坐标系中，b ，y ，z ) 分别代表流向，法向，展向，扰动的 普通形式为： ( x ，y ，z ) = j u ( y ) e x p i ( a x + 应一w t ) 】 在p s e 中，扰动的表达为： o ，y ，z ) = y o ，y ) e x p i ( f x 口【_ p ；+ 肛一纠) 】 ( 2 7 ) 这个公式保证了形状函数y ( z ，y ) 的缓慢变化，其中工是快变量，a ( x ) 是相 应的流向波数，沙是形状函数向量，可以写为： y = ( p ，“，1 ，毗r ) ( 2 8 ) 将式( 2 7 ) 代入式( 2 6 ) 中，可以将式( 2 6 ) 化成如下形式： 6 y + 刍掣o x + 刍掣o y + 害o x + 宴o x o v + 鲁= o ( 2 9 ) 。 计一 其中， 刍= 一m + d + f 鲥+ 0 宄+ i d ，a _ a 2 ) 矿料一帆一夕2 k 2 a = a + 2 i a v x x + 洞 ( 2 1 0 ) b = b + i p y ￥z + i c t v , r r 在平行流理论中，形状函数y 被假定为只是y 得函数，方程( 2 9 ) 可以化 成如下得形式： 8 天i - t t _ 大学硕士学位论文 第j ：章数债方法 f 上。尸。 卜西喏一嘉 他川 在p s e 方法中，我们做如下的两个假设： 1 ) 在( 2 7 ) 中的波数口与x 有关，并且随着空间扰动的变化而变化。 2 ) 形状函数沙的变化沿流向是1 _ 的小量，故其二阶导数( 堡娶) 是上 r e o “。 缸2 一r e o 的二阶小量，可以忽略。 方程( 2 9 ) 可以抛物化为如下形式： 6 沙+ 刍挈+ 会娑+ 磐：o ( 2 1 2 ) 魂 勿“巩2 2 3 坐标变换 为j 促局计算精度，对y7 j l 司米取j 变列格的方法。本文采用的网格变换为： 少：关( 其中，6 ：。、1 + 8 k - 3 ( k = - 3 0 0 ) ) 户南其中扣t ( ( 2 1 3 ) 在刁方向，采取等间距网格，其范围为，7 0 ，l 】。有了y 与，7 的关系，我们可 以求出塑a y ，万d 2 r 。 i 业：业立 l 砂a 刁砂 【矿c 3 2 9 = 睾( 軎) 2 + 茜雾 式( 2 1 1 ) 可以化为： 钒刍警+ p 害+ 雾) 茜+ ( 害) 2 雾= 。 c 2 “， 9 天津大学硕士学付论文 第：章数伉方法 2 4差分格式 本文的计算中，对流场中的点，临边界点，边界上的点在y 方向采取了不同 的差分格式。在工方向采取简单的一阶单边差分格式。 1 ) 流场中的点，一阶导数与二阶导数都采用采取四阶有限差分格式： 2 ) 临边界点，一阶导数采取三阶有限差分格式，二阶导数采取二阶有限差 分格式： j = 2 ， 等2 古【- 2 ”3 ”6 叫 眵= 击h 也刊 ( 2 1 6 ) 等= 击p 矿6 仰】 等2 击陟j _ t - 2 y + 】 1 7 二一 7 ( 2 ) 3 ) 边界上的点，采取二阶有限差分格式： j = o ， 等= 井一3 书1 2 j + l 2 + ： i 砂砂l 7 “ j = n ， 等= 非y ，- 2 n i _ ，i j - l + 三2 j - 2 - = 一i i ， + 一i ，一l 砂缈l 2 q j 2 5边界条件 为了解方程( 2 1 1 ) ，我们需要在法向使用合适的边界条件。 1 0 ( 2 1 8 一a ) ( 2 。1 8 - b ) y 少 一 一 y y + + y y + + 沙 沙 8 8 ，。l0卜 一i 脚上脚 一 一 = = 盟砂盟砂 天津大学硕十学位论文第二章数值方法 1 ) 在擘面l ：我们采取无滑移的边界条件： , = v = w = t = 0 ，( 尸o ) 2 ) 在自由流场无穷远处使用d i r i c h l e t 边界条件： 材= 1 ，= w = t = 0 ，( y = o o ) 2 6p s e 的计算步骤 下图是p s e 方法计算的推进图： ) ( o x l x 2x 3 图2 1p s e 计算推进图 ( 2 1 9 a ) ( 2 1 9 - b ) 采用下面两个步骤，就可以使得扰动向下游推进： 1 ) 确定计算域入口位置，以及入口边界条件。 2 ) 沿流向推进，一排点一排点的计算，可以得到下游不同位置的扰动演化 情况。 从这个示意图上我们可以看出p s e 的推进速度比较快，就是由于对n s 方 程进行抛物化之后，去除了方程椭圆性。故p s e 方法能够很快的使扰动向下游 推进，因此，它的计算代价是比较小的( 相对d n s ) 。 在向下游推进的过程中，计算某一位置的扰动演化，我们采取的是口迭代的 方法，由于式( 2 1 1 ) 的系数矩阵中包含口，而沙，口都是工的函数，上面的一 个方程不足以确定两个量。补充方程的形式有几种，但其实质相同：使形状函数 沿工缓慢变化。本论文选用的补充方程是： f ( 塑+ 0 型) a y ：0 ( 2 2 0 ) m a xc o x 上标c 表示复共轭，具体应用这一条件时要用下式算出一个新的波数，如 天津大学硕士学位论文 第二章数值方法 扩= ao l d i i 1f 瓦3u + o d x v ) d y ( 2 - 2 1 ) e = f ：i2 + i ；f 2 (2o-a-(, ) d y 2 2 ) 然后返回p s e 方程重算一个新的解。如此反复迭代，直至0 【的变化小于预设的 小量占( 本文中取占= 1 0 。9 ) 。 2 7基本流选取 本文采用的是空间模式，基本流是选用的是二维的平板边界层布拉休斯 ( b l a s i u s ) 相似性解 2 5 1 。将二维可压缩流体n s 方程进行量纲分析，忽略高阶小 量，得n - 维可压缩平板边界层方程为： o ( p u ) + 旦逊，o c 们 拿+ p v 拿：昙f 宴1 ( 2 2 3 ) 瓦 万2 万l 万j q 面a t + q 万0 t = 昙( 茁詈 + ( 考) 2 第一个方程为连续性方程，第二个方程为运动方程，第三个方程为能量方程。 然后对方程引入i l l i n g w o r t h 变换， 陪= p 。u 。k 卜去f ，砌= t 旦西 xp 。j 其中下标“ 表示无穷远处的量。设无量纲流函数为： ( 刁) ：掣 2 舌 砌) = 丢 经化简后得到如下常微分方程： j ( c l ) + f f 。= 0 i ( c 2 9 ) 7 + p r 店= ( 1 一，) m ：p r c l f 帕 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 天津大学硕十学付论文 筇章数值方法 其q ：p r = 0 7 2p r a n d t l 常数，) ，= 1 4 为比热比，眠为来流m a c h 数，系数c l 和 c 2 分别为： 印老= 2 等， p 。p 。 l 。) 1 七l s 其中死= l1 0 4 k 为参考温度。 对于绝热壁，边界条件为： j f ( o ) = f ( o ) = g ( o ) = 0 1 ) = g ( o o ) = 1 c ：= 景= 2 焉， p 。k 。 l 。) j 七l s ( 2 2 7 ) 用打靶法把该常微分方程组的边值问题化为初值问题，并利用龙格库塔法 解出贝t 1 ) 、八t 1 ) 、厂( t 1 ) 、g ( t 1 ) 、g ”( t 1 ) ，同时也可以算出厂( n ) 和g ( t 1 ) 。 设某一x 位置的位移排移厚度为占，有 万= f ( 1 一了p u ) 方= i g ( r ) - f ( 刁) u 0 0 ；几； r ( 2 2 8 ) x 2 云，) ，2 云，r e 气2 百p u 8 0 ，我们可曙得出： 瓦r o = 咕( 酬( 棚秆。 无量纲流函数与无量纲的物理量之间的关系为： y = 言= 商砌阱，压f ( g ( r 1 ) - 竺f ( r 1 ) ) d r l 旺2 9 ) 1 3 天滓大学颂 学传论文第二章数值方法 u t r ) ：兰：厂7 ( ，7 ) 甜芘 v ( ，7 ) ：兰：一 z ，瞳 玎 【厂( 7 7 ) g ( 7 7 ) 厂( 7 7 ) g ( 7 7 ) d 7 】 0 砌) = 丢_ g ( 7 7 ) 砌) 5 昙2 而1几g 【圳 胁赢p5 是2 两1j 气z ，。酣。p 。甜。“。，型二 ( 2 3 0 ) 将变量踞转换枷，可以求得某1 处的甜( y ) ，v ( 广) ，t ( y ) ，p ( y ) 和 p ( y ) 的分布，其中工枷分别为工枷用南无量纲化后的无量纲量。 2 8p s e 中无量纲特征长度的选取 在2 2 节对p s e 方程无量纲的时候，我们选取特征长度为： ，。= 4 y 。x o u 。， 而在2 7 节的b l a s i u s 解中，我们选取的无量纲长度为： 磊= f ( 1 一p ) 砂= f g ( 叩) 一厂( 7 7 ) o d 几甜 ； 由以上两式比较得出： 毛= 磊牛( 压 g ( 叩) 一f ( 刁) 坳) 。 ( 2 3 1 ) 故p s e 的计算坐标与l s e 的计算坐标之间相差一个常数 压 g ( 叩) 一例却。 0 下面再看入口处的雷诺数，在2 2 节p s e 计算过程中，入口处雷诺数的表达 式为： r e 。= i t 。l o y 。= 厄而：= ， 而在2 7 节b l a s i u s 解中，入i s 处雷诺数的表达式为： 等书柏脚杼c = 1 4 天津大学硕十学位论文 第一：章数值方法 对比两式可以得出： r e 。= r e 矗压 g ( 7 7 ) 一f ( 刁) 坳。 ( 2 3 2 ) 在马赫数4 5 情况下，求得芝i g ( 刁) 一厂( 叩) p 7 7 的值为8 5 7 6 。在马赫数0 3 的情况下，求得上式的值为1 7 5 8 。p s e 和l s t 中的雷诺数，特征值和计算域都 相差这样一个倍数。 天津大学硕士学位论文笕- 二章p s e 计算超音速流 第三章p s e 计算超音速流 本章采用空间模式对超音速流平板边界层扰动演化作了分析，本章先用p s e 计算平行流所得的结果与线性稳定性理论的结果对比来验证程序。然后讨论了非 平行流对超音速流稳定性的影响，使用p s e 对扰动演化进行数值分析，研究了 二维扰动波和三维扰动波的演化情况。在计算过程中，基本流采用二维的形式， 假设在展向是周期性变化的。本章将p s e 的计算结果和线性稳定性理论的结果 作比较。 3 1参数选取 来流马赫数为4 。5 的超音速流，入口处雷诺数r e 。= 1 1 2 5 1 3 9 ，即为边界层 前缘到计算域入口的无量纲距离。基本流由2 7 节中的b l a s i u s 解直接给出，采 用二维的形式。温度r o = 2 5 5 7 ，在z 方向选取1 0 0 个点，y 方向选取4 0 0 个点。 p s e 中流向的计算域范围为o 1 3 7 2 2 7 4 ，法向的计算域范围为肛8 5 7 。l s t 中流 向的计算域范围为0 , - - 1 6 0 0 ，法向的计算域范围为o 1 0 。 口为流向波数，其中口= 口，+ i a ，夕为展向波数，p = o 时，加入的扰动波 是二维波，0 时，加入的扰动波为三维波，缈为频率。 本章选用的是第二模态的特征值和特征函数。为了方便起见，本章中所用到 的流向点数与流向位置之间的对应关系由表3 1 给出： 表3 1 本章所用流向点数与流向位置的对应关系 1 6 天津大学硕十学位论文第三章p s e 计算超音速流 3 2用平行流验证p s e 在不考虑边界层的非平行性情况下，我们认为流动是平行的，即为平行流。 在平行流的假设下，线性稳定性理论得出的扰动演化是不变的。本节在p s e 的 计算中加入平行的基本流，将p s e 和l s t 两种方法得到的扰动演化结果进行分 析。 3 2 1入口加入二维扰动波 表3 2 计算域入口处h d a 扰动波的特征值： 入口加入增长的二维扰动波。将p s e 得到的计算结果与线性稳定性理论得 到的结果做对比。为了和线性稳定性理论对比，选取p s e 计算过程中的第l ，5 ， 1 5 ，3 0 ，5 0 ，8 0 ，1 0 0 个点位置处的特征函数和线性稳定性理论结果作比较，下 面图中给出的是流向第5 0 个点位置的特征函数曲线( 口，为流向波数，q 为流向 增长率，甜为流向扰动速度，1 ，为法向扰动速度，w 为展向扰动速度( 三维波) ， t 为扰动温度) ： 1 7 ( b ) q 天津大学硕十学位论文第三章p s e 计算超音速流 ( c ) 甜 ( a ) t 图3 1p s e 计算的二维扰动波的特征值、 特征函数与l s t 结果的比较 ( d ) ， 注：阳矿表示流向波数，硝表示增长率，p s e 表示抛物化方法计算结果， l s t 表示线性稳定性理论计算结果。 3 2 2入口加入三维扰动波 表3 3 计算域入口处加入扰动波的特征值： 入口加入增长的三维扰动波。和入口加入二维扰动波的情况相似，同样选取 1 8 天津大学硕十学侍论文第二章p s e 计算超音速流 1 ，5 ，1 5 ，3 0 ，5 0 ，8 0 ，1 0 0 个位置处的的特征函数进行比较。下面给出的是流 向第5 0 个点位置处的特征函数曲线： 0 2 6 9 8 0 2 6 9 7 - o 2 6 9 6 l 0 2 6 9 5 0 2 6 9 4 0 2 6 9 3 l 旧扦l k j 02 5 0 0 5 0 0 07 5 0 01 0 0 0 01 2 5 0 0 x ( a ) 口， ( c ) ” - 母 o 0 0 4 3 0 0 0 4 4 _ 0 0 0 4 5 0 0 0 4 6 ( b ) 口j ( d ) y ( e ) w( f ) t 图3 2p s e 计算的三维扰动波的特征值、 特征函数与l s t 结果的比较 天津大学硕士学位论文第二章p s e 计算超音速流 图3 1 ，图3 2 给出了