（基础数学专业论文）全纯bloch和besov空间刻画.pdf

摘要 在1 9 8 6 年，h o l l a n d 和w a l s h 首先给出了复单位圆盘上b l o c h 空 间的。个刻画，一般在b l o c h 空间范数的定义中出现导数，但是该 刻画的特点是不出现导函数后来n o w a r k 把该结果推广到n 维复 单位球上的全纯函数的b e s o v 空间最近任广斌【5 】，【6 1 把该结果 做到了n 维实单位球上的双曲调和函数b l o c h 空间，4 、b l o c h 空间 和b e s o v 空间本文正是基于这些基础，给出了n 维复单位球上的全 纯函数的b l o c h ，z j 、b l o c h s h b e s o v 空间的一个不利用导数，仅利用函 数自身的个刻画 关键词：b l o c h 空间，b e s o v 空间 l l a b s t r a c t i n1 9 8 6 ，h o l l a n da n dw a l s hf i r s t g a v et h ec h a r a c t e r i z a t i o no fb l o c h s p a c e so i lt h eu n i td i s ci nc 2 t h ep o p u l a rc h a r a c t e r i z a t i o no fb l o c hs p a c e s a r er e l a t e dt od e r i v a t i v e ，b u tt h i so n ei sd e r i v a t i v e - f r e e l a t e r ，n o w a r kg e t t h es i m i l a rr e s u l tf o rt h eh o l o m o r p h i cb e s o vs p a c e so nt h eu n i td i s ci nc n r e c e n t l yr e nc u a n g b i ne x t e n d e dt h er e s u l tt oh y p e r b o l i ch a r m o n i cb l o c h ， l i t t l eb l o c ha n db e s o vs p a c e so nt h eu n i tb a l li nr ”t h i sp a p e ra l eb a s e d o nt h e s er e s u l t s a n dg e tt h ed e r i v a t i v e - f r e e 出a r a c t e r i z a t i o n so fh o l o m o r p h i c b l o c h ，l i t t l eb l o c ha n db e s o vs p a c e s k e y w o r d s ：b l o c hs p a c e s ，b e s o vs p a c e s l u 致谢 真诚地感谢我的导师任广斌教授，是他把我引进了数学这个 美妙的领域，并得以完成学业在学习过程中，任老师渊博的学识， 严谨的治学态度深深的感染了我但印象最深刻还有任老师对学 生无微不至的关怀，我原来的多复变基础十分薄弱，正是在任老师 悉心的指导下才完成硕士学业 感谢史济怀教授，刘太顺教授，罗罗副教授，从他们的讨论班和 言谈中受到很多启发和鼓励，在此深表谢意! 感谢王明治师兄还有讨论班其他各位同学的鼓励和帮助，很 高兴有这个机会向他们表示感谢! 1 1 历史背景 第一章绪论 在1 9 8 6 年，h o l l a n d 和w a l s h 8 】首先给出了全纯b l o c h 空间在单位圆盘d z c ： 1 ) 上的一个刻画 定理1 1 1 设，是d 上全纯函数，则，eb ( d ) 等价于 s u p ( 1 - l z i ? ) ( 1 1 1 2 ) 世掣：z ，w 。，z ”) o 。 它的意义在于一般需要通过函数的偏导才能刻画b l o c h 空间的性质，而 这个定理告诉我们不用导数也能得到该空间的描述正因为如此，后来有很 多人继续了这方面的工作，比如s t r o e t h o f r i 5 ， i 6 】就给出了定理1 1 1 的一个 很基本的证明而且将它推广至l j b e s o v 空间，即 定理1 12 设pe ( 2 ，o 。) ，是d 上全纯函数，f 缉等价于 ：( 一1 2 1 2 ) e ( - 一i 1 2 ) g ( 掣) 9 a r ( z ) a r ( ”) 。 n o w a r k 【1 1 】利用皿。上的复m 6 觇u s 变换将该结果推广到n 维复单位球，得 到 定理1 1 3 设p ( 2 n ，o o ) ，是b 。上的全纯函数，f 昂等价于 正。(。(1-2汽l卟nl(fif瓦(z)-jf(w蕊)jj b nb n l w 1 创4。叫w 叫4 、p ld t ( z ) d r ( w ) o 。 其* p o z = 铬o ，q 。z = z r z ，而且s 。= ( 1 1 a 1 2 ) 我们注意到如果定理l1 3 中的分母1 一p z s 。q 。z 1 要是能被替换 为i w 一圳，那么结果就显得更加自然和简单 后来任广斌等1 5 】， 6 】用新的思路，主要利用实的m s b i u s 变换将该结果推 广至l j b l o c h ，小b l o c h 和b e s o v 空间上，得到下面几个结果 定理1 1t 对于任意觋上全纯函数，fe 3 等价于 s u p ( 1 - l z l 。) ( 1 1 ”1 2 ) 且瞥：z ，伽b 。，z w 。 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章绪论 l1 历史背景 足理1l51 殳0 a 茎1 ，是r 中单位球n 上的双曲调和函数，f b 等价 于 s u p ( i - i z l 2 ) 。( 1 一i - 1 2 ) 1 一。警：。，g b ，z ) 0 而 且0 a 1 定理ll8 假设0 0 且q + p = a 对于任意b 。全纯函数， f b o 等价于 1 i r a 。一s u p ( - 一l z l 2 ) 。( 一1 w 1 2 ) 4 瞥：w b 。，= 叫) = 。 定理l1 9 假设p ( 4 n 一2 ，o 。) 对于任意皿。全纯函数，f 玩等价于 丘。厶(1-izl2)一1(1一i”12)一2“(掣)pz d v ( z ) d v ( ”) 0 b ( z ，r ) = y c “： z y l r ) s ( x ，r ) = c “：i z y i = r ) 特别地，= b ( o ，1 ) g d s 。= s ( o ，1 ) 分别表示中以原点为圆心的开单位球 和单位球面 设，卢0 而且0 a 1 ，f 是觋上的连续函数如果存在常数c ，使得 ( 1 一i z l 2 ) 。( 1 一j 纠1 2 ) 9j f ( z ) 一，( 伽) j 茎c l z 一”i( 2 1 ) 对于任意z ，w b 。成立，那么我们说，满足一个指数为( o ，卢) 的加叔l i p s c h i t z 条件如果存在常数c ，使得 ( 1 一l z l 2 ) 。( 1 一l ”1 2 ) 4 i f ( z ) 一f ( z o ) 1sc l z m 1 1( 2 2 ) 对于任意z ，叫觋成立，那么我们说，满足一个指数为( q ，p ，a ) 撇h s l d e r 条件 对于，b 。，记v ，( z ) = ( 瑟( z ) ，瑟( z ) ) ，并且称v ，( z ) 为，在z 点 的梯度 对于舻上全纯函数，记 删2 。墨。鬻， 0 z 印( 爿，i z 、z j 其中皿( z ，z ) 是一个b e r g m a n 度量，也就是 也( z ，z ) ! ! 土! ! 二! ! l ：2 i 兰! ：! 三! ! ! 三l ： 2 ( 1 1 2 1 2 ) 2 4 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 篁三童堡垒兰兰 ! ! ：! 塞童堡垒童兰兰 t i m o n e y 在文章 1 7 】和【1 8 里证明了b l o c h 空间8 是满足 川日s u p q i ( z ) c o ；b “ 这样的全纯函数类构成的集合小b l o c h 空间玩是满足 ；i mq f ( z ) = 0 一】一 。 的全纯函数类构成的集合b l o c h 空间和小b 1 0 c h 空间有很多等价刻画f 5 】1 吼阢 1 0 【2 0 比如对于砜上全纯函数f ， ( 1 ) ，8 当且仅当s u 9 缅。( 1 一j zj 2 ) j v ，( z ) j o 。； ( 2 ) f b o 当且仅当( 1 z 1 2 ) l v f ( z ) i o ，( h 一1 一) i g c 叫3 的单位球为皿。，d u 是皿。的正规化体积度量，出是勰。球i i 上的 正规化面积度量 对于全纯函数f 皿。，记是皿。的m s b i u s 变换( f l 】，p 2 5 ) q o 。z ) ! 二垦! 二! ! 堡! 1 1 一( 五n ) , 中p o z = 祭o ，q 。z = z 一只z ，而且s 。= ( 1 一l a l 2 ) 我们定义 9 f ( z ) = v ( fo ) ( o ) 并且把v ，( z ) 称，在z 点的不变梯度记 d t ( z ) = ( 1 一l z l 2 ) “。咖( z ) ， 它是在m 6 b i u s 变换妒。下不变的( 见 1 ，p 2 8 d ，也就是 上。，( 2 ) 打( z ) 2 上。，。妒。( z ) d r ( z ) 我们考虑b e s o v 空间岛，它是由b 。上满足f 寺，( z ) f p ( b 。，打) 的全纯 函数构成( 2 0 】) 当p 1 ，睇是b a a a c h 空间，它在上的自同构群作用下 不变的当p 一。，它就是b l o c h 空间3 岛也有一些等价的刻画 6 ， 8 1 ，【1 4 ， 2 0 】比如，对于皿。上的全纯函数， f 昂当且仅当( 1 一2 ) l v f ( z ) f p ( 皿。，打) 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 第= 章预备知识 22 相关引理和定理 2 2 相关引理和定理 本论文我们主要将利用实的技巧来处理全纯函数的问题可以把c 札看 作r m ( m = 2 n ) ，那么c ，上的单位球b 。可以被看作r m 上的单位球，记为q ( 从 现在起，如果没有特别指出，本文中n 代表r m 中的单位球) 一般说来，对于 任意z r “，我们以极坐标的形式记z 一一，那么z a q 我们把n 上的m 6 b i u s 变换记做币。( 1 1p 2 5 ) ，它是q 的一个自同构变 换，形式为 州= 堕学舢) 对于任意z ，y p ，我们知道z = l x i x , y = 川7 对于任意w ，y r ” 由对称引理得到 1 1 9 l w y i = 1 1 w 1 一w t 同理我们得到 1 i 引一( 1 一i 叫i ) 2 y l = 1 1 w l y 一( 1 一1 w 1 ) 2 w 1 凼此 i l y l 2 训一( 1 一i 叫1 ) 2 y 7 i = i y l l l 训t y 一( 1 1 w 1 ) 2 w 7 在上式中，令w = o 和= z a ，我们有 悱) 1 2 盎乌 而目容易得到 刊蚓2 = 吲警铲 我们考虑度量 d a ( z ) = ( 1 一l z l 2 ) 一2 “d v ( x ) 它是在实m s b i u s 变换币。下不变度量( 【6 ) ，也就是 fs ( 班) 2 上，o 札( 圳) ( 21 ) ( 22 ) 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第7 页 兰三兰堡兰竺兰矍兰垫苎! ! 兰童垒兰 记z = ( 丑，z n ) 其中= + i y i ，那么 v m ，= c 鼍，嵩，= ；c 矗，一鼍，差，一鼍i 我们定义不变梯度 m ( z ) = v ( y 。也) ( o ) ， 则 i a f ( x ) 1 = ( 1 一2 ) l v ，( z ) | _ 对于任意o n 和6 ( 0 ，1 ) 我们记 e ( 口，6 ) = z n ：f 够h ( 。) f j ) ， b ( n ，6 ) = z q ：l x o i 1 ，a r 和r ( 一1 ，1 ) 那么 黼虻等笋f c a , a + i - 2 卜协s ， 证明记哦为g e g e n b a u e r 多项式这些多项式可以被下面的生成函数 决定 其中 ( 1 2 r u + r 2 ) 一1 = 岳o g 嘉( “) r “ 哧( u ) = ( _ 1 ) ”訾f ( 哪a + m ；u 2 ) 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 兰三兰堡垒! ! 兰墅! 垫苎! ! 兰童塞兰 + ，m ) = ( 一- ) “与手z f ( 一m ，a + m + - ；“2 ) 为了计算引理2 2 2 式子中的积分，结合上面的两个式子，我们只需估计积分 ，1 ( 1 一。) 学f ( j 一1 m ，a + m ；u 2 ) d u 因为它是个偶函数，令t = “2 我们就可以把积分变成区间( o ，1 ) 上的积分 结合b a t e m a n 的积分表示，我们即可得引理22 2 l e m m a2 2 3 6 如果口 一l ，和卢r 那么对于任意x q 上器州沪( 1 - l x p ) 馔 其中n ( z ) b ( z ) 代表当一l 时，比值器是一个正的有限数 证明坦上面的积分记为厶，p ( g ) 由s t r i n g 公式知，我们只需证明 五，( z ) = ! ；寺筹f ( 掣，掣；。+ 心+ - ； z i z ) 对于任意单变量的函数，和7 7 a q ，我们有积分 小心啪州泸巷( 1 _ 掣m 胁 其中( e ，7 7 ) 代表p 中的普通内积取 ，( u ) = ( 1 2 r + r 2 ) 竽字p ( o ，1 ) ) 一2 r u + r 2 ) 一! 学如( ( ) = 巷南篙篇斋m ，砒 = f ( 坐笋，掣；n ；叫扪i 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 0 页 第= 章预备知识 22 相关引理和定理 因此，由极坐标公式我们有 ，。) a 打，( 1 2 ， + r 2 1 。1 2 ) 一业产出( ( ) j s r 2 ) 。d r f ( 。! ! ! ! ：! i ；! ! 二星，! ! ：! ：乒；n ；r 2 ) d r 冉结合b a t e m a n 枞分公式即日j 得引埋2 2 3 文1 6 中引理4 2 给出了下列结果 l e m m a2 2 4 珂如果p21 和d 一1 ，f 是q 上的双曲调和函数，那么 上( z 1 矧出) p 圳曼a 驴m 沪蜊 为了证明定理1 5 ，我们需要将它改进为下面的引理 l e m m a 2 2 5 设p 1 和q 一1 如果，是q 上的调和函数，那么对于q 上 的任意- 实, m s b i u s 变换砂我们有 上( z 1 竿群a t ) 蜊g 加。删仁。， 证明固定( 0 ，1 ) 观察到，对于任意t 【0 ，1 和n q ，如果t 和l n l 至少有一个小于，那么陋n i = t i o i e 从而f 1 丽击- 因此( 2 4 ) 的左边可 以被下述式子控制 l ( z 1 竿掣出) 9 蜊+ g 墨洲p 将上式和式第一项记为i 由极坐标公式和m i n k o w s 姘s 不等式，我们得 ，=zn j ( 1z 。( j ( 1l 掣出) a a c e ，s 2 n 一1 c 一s 2 ，。a s g z l ( j ( 1 警出) p 8 2 n _ 1 ( ，研a s a z l ( f m 冲) 9 ”s 2 ) ， 其中 h ：! 二丝蚴笪! 业 u 尹 一 z f c 毫 g 。 | = 厶 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 1 页 第二章预备知识22 相关引理和定理 年u m f i e t t 不等式 1 9 】，p 7 5 8 z 1 ( z i h ( 一) a 一) 9 ( ，一s ) 。d s g j ( 1n 9 ( t ) ( 一t ) 。+ 9 a t 我j f f ，g z l ( z 。 c 一，a ，) 9 c 一s ，。a s sc t 2 n - 1 ( 1 一t ) 。蜂( t ，i a f 。妒1 ) d t = c | a i 。t ，( o ) i d ( o ) 我们仍然需要证明 r s u p1 a io 讪( z ) 1 9 c i a ，。妒( n ) 1 d 。( o ) ( 2 7 ) “2j n 熟知，对于任意q 上调和函数g 成立 r l g ( z ) i c i g ( t u ) i d a ( u ，) j e ( x ，6 ) 因为调和函数的每个偏导数仍然是调和的，我们有 ， 1 v ，( z ) i c l v f ( w ) l d a ( w ) j e ( z 其中献) = ( 1 - l ”i ) - - 2 n d u ( w ) ；, 是实m s b i u s 变换，i a f ( x ) i = ( 1 - 2 ) 1 v ，( z ) 1 一l u _ 1 一( i t ) e ( x ，6 ) ) 利用f u b i n i s 定理我们得到 r l a f ( x ) l c l a f ( w ) 1 9 扒) j e ( ，6 ) r c i a ，o 母( g ) r d a ( y ) 因为砂是n 的全纯自同构，我们有 i a ，。妒( z ) 1 9 c l a ，。t i ( g ) 1 9 d a ( y ) j e 扛，d ) 对于。m # n y e ( x ，6 ) ，1 一i y i11 一11 ，所以( 27 ) 式成立 3 1b l o c h 空间 第三章主要结果 在返一邵分我们给出定理1 1 7a n d1 1 8 的证明 定理1 17 可以被转述为 定理311 设o 墨1 ，是上的全纯函数，则，3 等价于 8 u p ( 1 - i z l 2 ) 。( 1 _ h 警叫阶训) o 。( 3 1 ) l z 一叫l “l 、 e p f l 我们把p 看作豫2 “，那么n 可以被当成觋因为。和 一a 两个 指数至少有一个不大于；，我们可以假设0 1s 首先，我们假设，8 对于任意n q 我们有 m ) 叫垆0 1 面d ( 蝴= 妻k 。m ：1 瓦删出= l o f ( 因此 卅吲兰2 酬川日0 1 当拈州f 川幽9 剖 现在把，换做，。，并且令z = 妒。a ) 我们得到 i f ( z ) 一，( 叫) l 2 ni i 州。l o g 掣 为了估计最后一项，我们利用 忉剖叫n 雹黔洲薹帮l 印。= e 持 对于任意o n 1 和o n 应用等式( 24 ) 一( 2 5 ) 我们得到 忉雠捌揣 ，1 ( z ) p 一。( 1 一l 妒。( z ) 1 2 ) 。 = a 研i 九z - w 叩l ； ( 鹕广2 d _2 1 - 2 a l z w 1 1 一 。( 1 一l z l 2 ) “( 1 一i 2 ) 1 一。+ 1 2 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 第三章主要结果 31b l o c h 空_ 间 上面我们用到了假设s ；和不等式1 一f w f f i z l w z m 其中；，w n 注 意到 2 1 2 。s2 1 2 利用上面的结果 i f ( z ) 一，( ”) j n g 币i 二_ 刁：；斋i if i i 。， 这就证明了必要性 相反，设，是全纯的且满足( 21 ) 式因为，可以看作是q 上的调和函数， 对于任意固定6 ( 0 ，1 ) ，我们知道( 2 ，p 5 0 4 】 ( 1 一f z l 2 ) l v f ( z ) f c i ，( w ) d r ( w ) j e ( z ，6 ) 固定z q 并且把，用f f ( z ) 替换，那么我们得到 ( 1 1 2 1 2 ) l v f ( z ) l c l ，( z ) 一，( ”) l d r ( ”) ( 3 2 ) j e ( z ，6 ) 因此、 ( 1 一l z l 2 ) l v f ( z ) l c s u p i f ( z ) 一，( 叫) i ：w e ( z ，6 ) ，。n ) 注意到对于任意e ( z ，6 ) ，l 妒。( z ) i 6 和1 211 1 1 2 ，因此 ! ! 二! 兰! ：2 ：! ! 二! 竺l ：! ：二：! ! 二! 兰! ：! ! ! ! 二! 竺l ：2 1 【= 一叫i 一 f z 一伽f ：f 笪! 二随倒! 、 。 l ( z ) 1 7 c ( 3 , 3 ) 所以、 ( 1 一i z l 2 ) l v ，( z ) i 兰a s u p 塑二二坚与荨学i f ( z ) 一，( 叫) l g s 印( 蚓警等业i f ( 扩m ) i + 。 这就完成了定理3 1 的证明口 n 酏叫 # 叫 毗 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 4 页 第三章主要结果31 b o c h 空_ 问 定理31 2 设o d d 时有 s u p ( 一i ：j 2 ) 。( 1 一l 州1 2 ) 4 1 拶：w tb 。，z w ) e 因为 d t ( w ) = r ( e k ，r ) ) = r ( b ( o ，r ) ) = 2 n $ 2 n 一1 ( 1 一t 2 ) 一2 ”d t j e ( z ，r j j o 我们有( 1 一i z l 2 ) i 审，( z ) l 6 成立，它意味着( 1 - 1 2 1 2 ) l v ( z ) l 一 0 ( i z f 一1 一) 这就完成了定理的证明 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 5 页 第三章主要结果 32b e s o v 空问 3 2b e s o v 空间 本节给出定理119 的证明，为了和我们的做法作个比较，我们在这里先 给出定理1 1 3 的证明 在证明这个定理之前我们需要几个引理 l e m m a3 2 1 设1 p o o 并且一1 a ( d o ，并且使得正数1 满足 m o z ( 1 一一1 ，l + 型) 7 0 使得 ：堕畿涮掣：ck(2n+cc+p( 引) 1 m 。i ( z ) l 1 - 1 ) - 1 1 证明令w = 忱( “) 那么 卜上毪u l 侧2 n 磐嬲k ( z 州u )1 一 。 + 帅( 1 刊 ，。) 峥7 = ，上。潞 = c k ( z ，z ) b ( a + 1 ，p ( 7 1 ) + 1 一。) ， 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章主要结果 32b e s o v 空_ 间 其中b ( x ，g ) 是b e t a i 垂l 敷 l e m m a3 2 3 对于皿n 上全纯函数， 上。上。1 ! ! 铲( 1 一i ”1 ) 。d v ( z ) d r ( z ) a 上。( 。，) 9 ( z ) d r ( z ) 证明根据引理1 1 2 ，我们可以类似于引理3 6 【3 】的证明过程定理1 1 _ 3 的 证明先证明必要性 如果，岛，那么 j = 上。上。f ；：；i 褊( 一i 。1 2 ) g ( - 一i ”1 2 ) g d r ( z ) d r ( 训) = 上。上。止锵( ，一1 妒。( w ) 1 2 ) g d r ( z ) d r ( w ) = 上。上。1 三j ! 竺铲( 1 一i u l 2 ) g 一1 d v ( u ) d r ( ”) 茎 ( q ，尸( w ) d r ( w ) 一1 现在我们来证明充分性因为对于w e ( a ，r ) ，我们有 ! ! 二刨：) ： 1 一( w ，a ) p 卜p 上，1 亏，( 。) 1 9 a 丁( n ) sg 上。上。， f l ! ! ；! i i j ：；5 省a v ( t 。) d r ( 。) = g 上。上。， i ! ； i ： ； ! ；： i i 器a r c ”) a r ( 。， 所以 i v ，( o ) 1 9 d t ( a ) j b 。 ：。上。号黼( - 一i ”1 2 ) ( 一i n l 2 ) g d r ( n ) d r ( ”) (上。(1-1012汽1一i州(fif面(a)-if(w厕)l、pj 州啪r ( 咄 b nj b n 1 w 1 埘” o w 仙l 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 7 页 第三章主要结果 32b e s o v 空间 最后一个小等式是凼为 坠导掣 1 ，钏b n l l 一( ，z ) i、。一” 证毕 现在开始证明定理1 19 ，它可以被转述为 t h e o r e m3 2 4 勘( 4 n 一2 ，o 。) ，那么，对于任意峨上全纯函数， 上。上。1 1 瞥( 1 一i z l 2 ) g ( 1 一1 w 1 2 ) l 一2 ”d r ( z ) d v ( w ) 4 n 一2 ，我们可以设o = l 一2 n ，显然n 一1 现在我们采取变 形 = 也( o ) 并且对( 3 3 ) 两边关 于- d r ( z ) 积分，并且注意到 d u 。( a ) = ( 1 一l o n “d u ( a ) = ( 1 一l o n ”2 “d a ( a ) 可得 厶厶瞥筹a r ( z ) a v ( 叫)n ni 妒：( 训) i ，( 1 一l 叫1 2 ) 轨r ”。、7 g 上上i a ，( w ) 1 ，望i ! ；：；襻a v ( z ) 打( ”) ( 。a ) 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 8 页 第三章主要结果32b e s o v 空间 上式左边记为i ，利用( 21 ) 和( 2 2 ) 正，掣( w ) l p 鬻眦m 加) n j ni 币：( 1 一i 叫1 2 ) 2 “、7 。、7 ：1 瞥( 1 1 2 1 2 ) ( 1 一”f 2 ) 5 2 “d r ( z ) d v ( w ) 为了估计( 3 4 ) 的右边，把它记做j 因为p 4 n 一2 ，那么l 一札+ 1 l ：n 一1 一1 利用引理22 我们有 上唰豁紫高挲州“j n( 1 1 叫 2 ) 2 “( 1 1 2 1 2 ) “+ 1 。 ：正必坚州z ) 5 厶丽而巧f _ 一“p ， ! c 因为i a f ( w ) l = ( 1 一i 1 2 ) l v f ( w ) l ，我们最终得到 js c ( 1 一l 叫1 2 p i v f ( w ) 1 9 d t ( w ) 并注意到上式所以可得( 3 2 ) 能推出( 3 1 ) 反之，如果，是砜上的全纯函数，并且满足( 31 ) ，我们需要说明( 3 2 ) 成 立，因为，是q 上调和的，杜宇任意6 ( 0 ，1 ) ( 1 一l z l 2 ) ，i v f ( z ) 1 9sc i ，( z ) 一f ( w ) 1 9 d a ( ”) j e ( # ，6 ) n n d a ( w ) = ( 1 一i 叫j 2 ) - 2 “d r ( w ) ，我们有 上( z i 。1 2 ) i v ，( z ) 1 9 a r ( z ) a ：上扛，1 ：! ；5 ；! ! ：i ：i ：半d r ( z ) d v ( z “) 引n 2 1 告诉我们，对于任意i t ) e ( z ，d ) ， 蚓掣zw 狐 i l ” 这意味着 研杀g 咄譬睾型 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 9 页 第三章主要结果 9 3 2b e s o v 闾 因此 g ( ：瞥( 1 一i = 1 2 ) g ( 1 一i 1 2 ) l 一2 ”d r ( z ) d v ( w ) 这就完成了证明 我们可以将该结果推广到有参数的情形 l ，恤 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 0 页 第三章主要结果 3 3 高阶形式的刻画 3 3 高阶形式的刻画 利用t a y l o r 公式我们可以得到b l o c h 空间的高阶导数的刻画，也就是定 理3 1 1 可以推广为 定理3 31 设0 q m ，m n ，对于皿。任意上的全纯函数，fe 舀等价 于 。u p( 。 z , w e b n ，= 舢l学) o 。 i 石一叫f mf 。 ( 3 1 ) 足理3 3 - 1 日勺让明该定理的让明和3 21 很相似，我们用i 刊样的方法 把看作瓞“首先我们证明必要性，如果，e8 ，我们知道 ( 1 一i z l 2 严l o a f ( z ) l = o ( 1 ) ， 又由t a y l o r 公式，我们有 他) _ i 纛掣卜妒2 m 卜矿一1 三业半型卜妒出 因此 i f ( 沪掣( z - w ) n l g z l 研筹篙而( m g z 1 而丽杀希雨庐( ) m d t ni z w 1 9 。( 1 一2 ) ，( 1 1 w 1 2 ) 一。 即 (一iz】。)。(一i。i。)m一。!丛三l二三三笋三；掣lg 反之，我们知道 ”2 ) m l 暑伊北胚厶，( ，( 沪 三掣m ) ) d r ( w ) 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 1 页 第三章主要鲒果 33 高阶形式的刻画 如果全纯函数，满足式子( 3 1 ) ，则可以得到 ( 制) m i 三伊m 胚l ，目高啬丽州”) l 5 m 。 又m ( 23 ) ，我们知道 1 一l z l 21l i 叫1 2 ( w e ( z ，6 ) ) 所以 充分性也得到证明 同样，定理32 ：4 也可以推广为 定理3 3 2 如果1 p o o ，一；一p 一1 m a x ( 一2 ( s + 1 ) ，2 ( n + s ) ) ，那么对于皿。任意上的全纯函数，舀等价 于 上。上。1 1 铧( 1 一i z l 2 ) 一n 一1 ( 1 一i ”1 2 ) ；+ 5 d v ( z ) d v ( w ) = 上。l 亏，( ”) 1 9 d ( z ) 定理3 3 1 的证明因为它和定理3 2 4 有点类似，我们只给出它的简要 证明记卢= ；一n ，我们有 煦疑燮咖( 。) 一1 ，且r a i n ( 6 ，t ) + 一l ，那么 (ni二ij!i!；：!；!；而(1一izi。)a(1一lwl。)rdv(z)dv(u，)w ，b 。j b 。1 1 一 r 2 ”6 + 7 ”“ 。 = i 冗，( z ) 1 2 ( 1 一 ) 1 。d u ( z ) 其中 喇= 喜和 由此我们得到启发，有没有办法克服定理3 2 1 中关于p 的条件，得到对定 理1 1 2 更广泛的推广? 值得我们去思考 参考文献 a h l f o r s l v ：m s b i u st r a n s f o r m a t i o n si ns e v e r a ld i m e n s i o n so r d w a yp r o f e s s o r s h i pl e c t u r e si nm a t h e m a t i c s1 9 8 1 a x l e r ，s ，b o u r d o n ，p a n dw r a m e y ：h a r m o n i cf u n c t i o nt h e o r y ( g t m ： c 0 1 1 3 7 ) n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g1 9 9 2 b u r b e a ，j a n ds a n ds yl i ：w e i g h t e dh a d a m a r dp r o d u c t so ，h o l o m o r p h i c f u n c t i o n si nt h eb a l l p a c j m a t h 1 6 8 ( 1 9 9 5 ) 2 3 5 2 7 0 c h o e ，j s ，k i m ，h o a n dp a r ky y ：ab e r g m a n c a r i e s o nr n e o s u r c h a r a c t e r i z a t i o n 吖b l o c h f u n c t i o n s 饥t h eu n i tb a i lo f c “b u l lk o r e a n m a t h s o c 2 9 ( 1 9 9 2 ) ，2 8 5 2 9 3 r e ng u a n g b i n ，a n dt uc a i f e n g ：b l o e hs p a c ei nt h eu n i tb a l l0 ，伊，p r o c o ft h ea m e r m a t h s o e 1 3 3 ( 2 0 0 5 ) ，7 1 9 - 7 2 6 r e ng u a n g b i n ，a n dk s h l e ru ：w e i g h t e dh e l d e rc o n t i n u i t yh y p e r b o l i c h a r m o n i cb l o c h 血n c t i o n sj o u r n a lf o ra n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，v o l u m e2 1 ( 2 0 0 2 ) ，n o ，2 ，5 9 9 6 1 0 h a h n k ，t a n dy o u s s f ie h ：m s b i u si n v a r i a n tb e s o vp s p a c e sa n dh a n k e l o p e r a t o r si nt h eb e r g m a ns p a c eo nt h eu n i tb a l li nc 8 c o m p l e xv a r i a b l e s1 7 ( 1 9 9 1 ) ，8 9 1 0 4 h o l l a n d ，f a n dw a l s hd ：c r i t e r i a ，。rm e m b e r s h 妒o fb l o e hs p a c ea n di t s s u b s p a c e ，b m o a m a t h a n n 2 7 8 ( 1 9 8 6 ) ，3 1 7 3 3 5 h up ya n ds h i 3 h ，r a n d o md i r i e h l e tt y p ef u n c t i o n so nt h eu n i tb a l l 。f c “c h i n e s ea n n m a t h s e r b2 0 ( 2 0 0 0 、4 0 9 4 1 6 h up ya n dz h a n g w 3 1an e wc h a r a c t e r i z a t i o no fd i r i c h l e tt y p es p a c e s o nt h eu n i tb a l lo f j m a t ha n a l a p p l 2 5 9 ( 2 0 0 1 ) ，4 5 3 4 6 1 n o w a k 、m ：b l o c hs p a c ea n