（流体力学专业论文）非线性折叠孤波和周期传播波模式研究.pdf

中文摘要 高维非线性系统的非线性激发模式、复杂非线性波的研究是当前非线性孤子理论、 波动理论和非线性动力学研究的重要课题自然界中存在的各种非线性折叠现象，周 期波形态需要我们从非线性波动模型中寻求更合理的理论诠释本论文主要以源于实 际水波和其他物理问题的2 + 1 维非线性波动模型( 方程) 为研究对象，深入研究了它 们的求解问题，揭示出丰富的非线性折叠孤波和周期传播波模式，并运用解析和图示 方法对其非线性特性进行了探讨本论文的主要工作及其研究成果可以分为三部分概 述如下： 第一部分，本文将近年来发展的多线性分离变量方法、p a i n l e v 6 截断展开法、广义 的形变映射方法等分别推广应用到多个2 + 1 维非线性波动模型，如2 1 维长短波共振 相互作用方程，m a c c a r i 系统、广义n n v 方程、2 - - 1 维k d v 方程、h b k 方程，2 + 1 维 变系数b k 方程等，获得他们的分离变量解基于2 + 1 维非线性分离变量解，选择适 当的单值和多值函数，获得了丰富的非线性单值和多值局域激发模式，特别是多值折 叠孤立波激发 在2 i 维分离变量解中选择适当的的单值分离变量函数，构造了2 + i 维非线性 波动模型多种单值相干孤子结构如d r o m i o n ，d r o m i o n 格子，s o l i t o f f 。2 - s o l i t o f f ，静止 和运动呼吸子、瞬子、c o m p a c t o n 、p e a k o n 等；考察了一些典型的非线性激发模式间 如c o m p a c t o n 和c o m p a c t o n ，p e a k o n 和p e a k o n ，线孤子和分一周期孤子，d r o m i o n 和 d r o m i o n ，d r o m i o n 和s o l i t o f f 之间等相互作用行为，发现其相互作用可以弹性的也可以 是非弹性的，揭示了多样奇异而重要的非线性特性 在2 + 1 维分离变量解中引入适当的多值函数，构造出多种复杂的多值局域折叠孤 立波形态，如蠕虫状折叠孤波，绳结型折叠孤波、帐篷式折叠孤波、蠕虫状s o l i t o f f 折 叠孤波，蠕虫状d r o m i o n 折叠孤波等折叠孤波在所有方向都呈多值局域折叠形态， 折叠子相互作用为弹性碰撞分析了两类不同分离变量解基础上的局域激发模式的渐 进行为，给出了折叠孤波渐进演化行为的一般特点以及折叠孤波相互作用为弹性的相 移条件，并具体研究了折叠孤波的弹性相互作用行为( 折叠子) 在2 + 1 维分离变量 解中引入多值函数和不同单值函数，得到了多种半折叠孤波激发，如钟状半折叠圈孤 子、c o m p a c t o n 半折叠圈孤子、p e a k o n 半折叠圈孤子等半折叠孤子在一个方向上多 值圈孤子折叠，而在另一方向上非线性单值局域半折叠孤子之间的非线性相互作用 是弹性，而半折叠孤子与单值局域孤子、半折叠孤子与折叠孤子以及更复杂的半折叠 孤子、折叠孤子、单值局域相干孤子之间等多值和单值非线性激发模式间的相互作用 u i 中文摘要 是非弹性的，呈现出多样的非线性特性这些研究展示了丰富多姿的多值局域折叠激 发形态，为进一步了解和研究自然界的各种复杂非线性多值折叠现象奠定了基础 第二部分，本文拓展和推广了新近发展的几种典型的直接代数方法和基于分离变 量解的间接方法，获得多个2 + 1 维非线性波动模型丰富的雅克比椭圆函数双周期波解 和周期传播波模式，并得到长波极限情形下存在的非线性孤立波 发展和应用h i r o t a 双线性一口函数方法，雅克比椭圆函数展开法，线性叠加法，b 函数展开法等分别求解2 + 1 维2 d s g 方程，耦合z k 方程，2 + 1 维k d v 方程，2 + 1 维长 波短波共振相互作用方程，2 + 1 维色散长波方程，获得丰富的雅克比椭圆函数双周期 波解，描述了一些周期波形态及周期特性长波极限下即椭圆函数模量m 一1 时，一 些椭圆函数波退化得到相应的非线性孤立波解。如钟形孤波，单扭结孤波，马鞍型双 扭结孤波，线孤子等此外，还将椭圆函数展开方法拓展应用到离散差分非线性系统， 获得了离散a l 方程的周期波解和离散孤子，并揭示了亮、暗离散孤子的非线性特性 从2 + 1 维分离变量通解出发，引入适当的雅克比椭圆函数如雅克比正弦、余弦函 数，雅克比第三椭圆函数及其倒数函数等，得到( 2 + 1 ) 维h b k 方程和m a c c a r i 所得孤 子方程的多种周期传播波，揭示了不含复变量和含复变量的两类非线性波动模型的周 期传播波特性这些椭圆函数波随着椭圆函数模量的变化呈现出不同的形态，可以是 周期振荡波，也可以是d r m i o n 格子，多p e a k o n 激发形态等，长波极限下，可以退化 为单值局域d r o m i o n s 、多l u m p s 激发模式椭圆函数传播波之间的相互作用是非弹性 的，而在长波极限下相应相干孤子激发d r o m i o n ，l u m p s 之间的相互作用可以是弹性 的，也可以是非弹性的此外，我们还构造了在雅克比椭圆函数波背景下的d r o m i o n 孤子，这种新的复合波形态与海洋中发生的畸形极值波极其类似 第三部分，本文从2 + 1 维分离变量通解出发，提出了构造一种新非线性波即周期 折叠波的简单方法。获得了的2 + 1 维h b k 方程和2 + 1 维k d v 方程的周期折叠波我 们基于2 + 1 维非线性分离变量解，引入适当的多值函数和雅克比椭圆如雅克比椭圆正 弦、余弦函数等，得到蠕虫状、帐篷状等多种复杂非线性周期折叠波周期折叠波在一 个方向上呈多值圈孤子折叠，而在另一方向上为单值周期振荡波，数学解析上可以视 为特殊的半折叠波形态周期折叠波的非线性相互作用是完全弹性的，在长波极限下 退化为单折叠孤立波，相应折叠孤立波的非线性相互作用也是完全弹性的，除了相位 变化，相互作用前后其形状和速度均不发生变化这些研究有助于我们理解和认识自 然界特殊的非线性周期折叠波现象 关键词：( 2 + 1 ) 维非线性系统，雅克比椭圆函数，折叠孤波，周期波，孤子 a b s t r a c t e x p l o r i n gn o n l i n e a re x c i t a t i o np a t t e r n sa n dc o m p l e xn o n l i n e a rw a v e si nh i g hd i m e n s i o n n o n l i n e a rs y s t e m si sa ni m p o r t a n tt o p i ci nt h er e s e a r c hf i e l d so fn o n l i n e a rs o l i t o nt h e o r y , w a v e t h e o r ya n dn o n l i n e a rm e c h a n i c s t h e r ea r ev a r i o u st y p e so fn o n l i n e a rf o l d e dp h e n o m e n aa n d p e r i o d i cw a v e si nn a t u r e ，w h i c ha t t r a c tu st os e e kr e a s o n a b l et h e o r e t i c a le x p l a n a t i o n si nt h e s t u d yo fn o n l i n e a rw a v em o d e l s t h i sp a p e rf o c u so n2 + 1d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rw a v er o o d e l s ( e q u a t i o n s ) o r i g i n a t e df r o mp r a c t i c a lw a t e ra n do t h e rn o n l i n e a rp h y s i c a lp r o b l e m s ，s e e k i n g t h e i re x a c ts o l u t i o n s ，r e v e a l i n ga b u n d a n tn o n l i n e a rf o l d e ds o l i t a r yw a v ea n dp e r i o d i cp r o p a - g a t i n gw a v ep a t t e r n sa n di n v e s t i g a t i n gt h e i rn o n l i n e a ri n t e r a c t i o np r o p e r t i e sa n a l y t i c a l l ya n d g r a p h i c a l l y t h em a i nw o r k sa n do u ra c h i e v e m e n t sa r eo u t l i n e di nt h r e ep a r t si nt h ef o l l o w s p a r ti ，t h ea p p r o a c h e sm u l t i - l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o nm e t h o d ，p a i n l e v dt r u n c a t e de x - p a n s i o nm e t h o d a n dg e n e r a l i z e dd e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o dt h a tp r e s e n t e di nr e c e n ty e a r s a r ee x t e n d e dt os o l v em a n y2 + 1d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rp h y s i c a lm o d e l si n c l u d i n g2 + 1d i - m e n s i o n a ll o n gw a v es h o r tw a v er e s o n a n c ei n t e r a c t i o ne q u a t i o n ，m a c c a r is y s t e m ，g e n e r a l i z e d n n ve q u a t i o n ，2 + 1d i m e n s i o n a lk d ve q u a t i o n ，h b ke q u a t i o na n d2 + 1d i m e n s i o n a lv a r i a b l e c o e f f i c i e n t sb ke q u a t i o n ，t h ec o r r e s p o n d i n ge x a c tv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n so ft h e ma r e o b t a i n e dr e s p e c t i v e l yb a s e do n2 + id i m e n s i o n a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n s ，i n t r o d u c i n g p r o p e rs i n g l ev a l u e da n dm u l t i v a l u e df u n c t i o n s ，a b u n d a n tn o n l i n e a rs i n g l ev a l u e da n dm u l - t i v a l u e dl o c a l i z e de x c i t a t i o np a t t e r n se s p e c i a l l yf o l d e ds o l i t a r yw a v ee x c i t a t i o n sa r ed e r i v e d s e l e c t i n gp r o p e rs i n g l ev a l u e dv a r i a b l es e p a r a t i o nf u n c t i o n si nt h e2 + 1v a r i a b l es e p a r a - t i o ns o l u t i o n s w ec o n s t r u c tm a n yt y p e so fs i n g l ev a l u e dc o h e r e n ts o l i t o ns t r u c t u r e ss u c ha s d r o m i o n ，d r o m i o nl a t t i c e ，s o l i t o f f ，2 - s o h t o f f ，s t a t i ca n dk i n e t i cb r e a t h e r ，i n s t a n t o n ，c o m p a c t o n ， p e a k o n ，a n ds oo n t h ei n t e r a c t i o n sa m o n gt h e s ec o h e r e n tl o c a l i z e de x c i t a t i o n si n c l u d i n g t h ec o l l i s i o n so fc o m p a c t i o na n dc o m p a c t o n ，p e a k o na n dp e a k o n ，l i n es o l i t o na n dy - p e r i o d i c s o l i t o n ，d r o m i o na n dd r o m i o n ，d r o m i o na n ds o l i t o f f ，e ta l ，a r ei n v e s t i g a t e da n a l y t i c a l l ya n d g r a p h i c a l l y , a n df o u n dt h a tc a l lb ee l a s t i ca n dn o n e l a s t i cr e s p e c t i v e l y , w h i c hr e v e a lv a r i o u s e x o t i ca n di m p o r t a n tn o n l i n e a rc h a r a c t e r sa n di n t e r a c t i o np r o p e r t i e s i n t r o d u c i n gp r o p e rm u l t i v a l u e df u n c t i o n si n2 + 1d i m e n s i o n a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o - l u t i o n s ，w ec o n s t r u c tm a n yt y p e so fm u l i t i v a l u e dl o c a l i z e ds o l i t a r yw a v e ss u c ha s “w o r m s h a p ef o l d e ds o l i t a r yw a v e , r o p ek n o t s h a p ef o l d e ds o l i t a r yw a v e , t e n t ”s h a p ef o l d e ds o l i t o r yw a v e ，w o r m - s o l i t o f ff o l d e ds o l i t a r yw a v ea n dw o r m - d r o m i o nf o l d e ds o l i t a r yw a v e ，e t a 1 v v 1 a b s t r a c t t h ef o l d e ds o l i t a r yw a v ee x c i t a t i o ni sm u l t i v a l u e dl o c a l i z e da n df o l d e di na l ld i r e c t i o n sa n d t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nf o l d o n si se l a s t i c w ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so ft h el o - c a l i z e de x c i t a t i o n sp r o d u c e do nt w of a m i l i e so fv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n sa n dg i v eo u t t h ep h a s es h i f t i n gc o n d i t i o n st h a tl e a dt oc o m p l e t e l ye l a s t i ci n t e r a c t i o nf o rt h e f o l d e ds o l i t a r yw a v e s ，a n dw ei n v e s t i g a t et h ec o m p l e t e l ye l a s t i ci n t e r a c t i o n sb e t w e e nt w of o l d e ds o l i t a r y w a v e s ( f o l d o n s ) a n a l y t i c a l l ya n dg r a p h i c a l l y i n t r o d u c i n gs i n g l ev a l u e da n dm u l t i v a l u e df u n c - t i o n sp r o p e r l yi nt h e2 + 1d i m e n s i o n a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n s ，w ed e r i v ev a r i o u ss e m i - f o l d e ds o l i t a r yw a v e ss u c ha sb e l l l i k es e m i f o l d e ds o l i t o n ，c o m p a c t i o n l i k es e m i f o l d e ds o l i t o n a n dp e a k o n 1 i k es e m i f o l d e ds o l i t o n s ，e ta 1 t h es e m i f o l d e ds o l i t a r yw a v ee x c i t a t i o n sa r em u l t i v a l u e dl o o ps o l i t o nf o l d e di no n ed i r e c t i o na n ds i n g l ev a l u e dl o c a l i z e di no t h e rd i r e c t i o n t h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nt w os e m i f o l d e ds o l i t o n sa r ee l a s t i c ，w h i l et h ei n t e r a c t i o n sa m o n g o t h e rn o n l i n e a rm u l t i v a l u e da n ds i n g l ev a l u e de x c i t a t i o np a t t e r n ss u c h 略t h ei n t e r a c t i o n s b e t w e e ns e m i f o l d e ds o l i t o na n ds i n g l ev a l u e dl o c a l i z e ds o l i t o n ，s e m i f o l d e ds o l i t o na n df o l d e d s o l i t o n ，a n dt h ei n t e r a c t i o na m o n gs e m i f o l d e ds o l t i o n ，f o l d e ds o l i t o na n ds i n g l ev a l u e dl o c a l - i z e ds o l i t o n s ，a r en o n e l a s t i cg e n e r a l l y , w h i c hr e v e a ld i f f e r e n te x o t i ca n di m p o r t a n tn o n l i n e a r m e c h a n i c a lp r o p e r t i e s o u rr e s e a r c hw o r ke x p o s ev a r i o u si n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n tl o c a l i z e dm u l t i v a l u e df o l d e de x c i t a t i o n s w l l i c hh e l pu st of u r t h e ru n d e r s t a n da n de x p l o r ec o m p l e x n o n l i n e a rf o l d e dp h e n o m e n ai nn a t u r e p a r ti i ，a p p l 姐n gt h ed e v e l o p e da n de x t e n d e dd i r e c ta l g e b r a i cm e t h o d st h a tp r e s e n t e d i nr e c e n ty e a r sa n db a s e do i lt h e2 + 1d i m e n s i o n a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n s ，a b u n d a n t j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nd o u b l yp e r i o d i cw a v e sa n dp e r i o d i cp r o p a g a t i n gw a v ep a t t e r n sf o r m a n y2 + 1d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rw a v em o d e l sa r eo b t a i n e d ，a n di nl o n gw a v el i m i ts o l i t a r y w a v e sa r ed e r i v e da sw e l l w ed e v e l o pa n da p p l yt h eh i r o t ab i l i n e a r 一口f u n c t i o nm e t h o d ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x - p a n s i o nm e t h o d 1 i n e a rs u p e r p o s i t i o nm e t h o da n df e x p a n s i o nm e t h o dr e s p e c t i v e l yt os o l v e m a n y2 + 1d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rw a v em o d e l si n c l u d i n g2 + 1d i m e n s i o n a l2 d s ge q u a t i o n ，t h e c o u p l e dz ke q u a t i o n ，2 + 1d i m e n s i o n a lk d ve q u a t i o n ，2 + id i m e n s i o n a ll o n gw a v es h o r tw a v e r e s o n a n c ei n t e r a c t i o ne q u a t i o na n d2 + 1d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n ，a b u n d a n t j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nd o u b l yp e r i o d i cs o l u t i o n sa r ed e r i v e d t h e s es o l u t i o n ss h o wv a r i o u s p e r i o d i cw a v es h a p e sa n ds p e c i a lp e r i o d i cc h a r a c t e r s i nl o n gw a v el i m i t ，i e ，t h em o d u l u s o ft h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nm 一1 , s o m ee l l i p t i cf u n c t i o nw a v e sm a yd e g e n e r a t ei n t os o l i t a r yw a v es o l u t i o n ss u c ha sb e l l - l i k es o l i t a r yw a v e ，k i n ks o l i t a r yw a v e ，s a d d l e l i k es o l i t a r yw a v e a n dl i n es o l i t o na sw e l l f u r t h e rm o r e ，w ea l s oe x t e n dt h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o n m e t h o dt od i s c r e t ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c en o n l i n e a rs y s t e m s t h ep e r i o d i cw a v es o l u t i o n sa n d d i s c r e t es o l i t o n sf o rd i s c r e t ea le q u a t i o na r eo b t a i n e d ，a n di m p o r t a n tn o n l i n e a rp r o p e r t i e s o fd i s c r e t eb r i g h ts o l i t o na n dd a r ks o l i t o n sa r er e v e a l e d b a s e do n2 + 1d i m e n s i o n a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n s ，i n t r o d u c i n gp r o p e rj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n ss u c ha ss n ，c n ，d na n dn d ，e ta 1 ，w eo b t a i nm a n yt y p e so fp e r i o d i cp r o p a g a t i n g w a v ep a t t e r n sf o r2 + 1d i m e n s i o n a lh b ke q u a t i o na n dt h es o l i t o ne q u a t i o np r e s e n t e db y m a c c a r ir e s p e c t i v e l y , w h i c hd e n o t et h ec h a r a c t e r sa n dn o n l i n e a rp r o p e r t i e so fp e r i o d i cp r o p - a g a t i n gw a v e sf o rt w oc l a s s e so fn o n l i n e a rw a v em o d e l st h a tp o s s e s sc o m p l e xv a r i a b l e so r n o t 。t h e s ee l l i p t i cf u n c t i o nw a v e ss h o w sd i f f e r e n tf o r m s 衄t h em o d u l u sc h a n g e s ，w h i c hm a y b ep e r i o d i co s c i l l a t i o nw a v e s ，d r o m i o nl a t t i ca n dm u l t i - p e a k o n s ，e ta 1 i nl o n gw a v el i m i t ， t h e s ee l l i p t i cf u n c t i o nw a v ep a t t e r n sm a yd e g e n e r a t ei n t os i n g l ev a l u e dl o c a l i z e de x c i t a t i o n s d r o m i o na n dm u l t i 1 u m p s t h ei n t e r a c t i o n so fe l l i p t i cf u n c t i o nw a v e sa r en o n e l a s t i c ，w h i l et h e i n t e r a c t i o no ft h ed e g e n e r a t e dc o h e r e n ts o l i t o ns t r u c t u r e sd r o m i o n sa n dl u m p sm a yb ee l a s t i c a n dn o n e l a s t i ca sw e l l m o r e o v e r ，w ea l s oc o n s t r u c tan e wk i n do fc o m b i n e dw a v ep o s s e s s i n g d r o m i o ns o l i t o n si nt h eb a c k g r o u n do fj a c o b ie l l i p t i cp e r i o d i cw a v e s w h i c hi 8v e r ys i m i l a ri n t h ef o r m st ot h ef r e a ke x t r e m ew a v e st h a ta r i s es o m e t i m ei no c e a n p a r ti l l ，w ep r e s e n ts i m p l ea n de f f e c t i v et e c h n i c st of i n dn e wn o n l i n e a rw a v e st h ep e r i o d i c f o l d e dw a v e sb a s e do n2 + 1d i m e n s i o n a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n s ，a n dt h ep e r i o d i cf o l d e d w a v e so f2 + ld i m e n s i o n a lh b ke q u a t i o na n d2 + 1d i m e n s i o n a lk d ve q u a t i o na r ec o n s t r u c t e d r e s p e c t i v e l y i n t r o d u c i n gs u i t a b l em u l t i v a l u e df u n c t i o n sa n dj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n ss u c ha s s na n dc na p p r o p r i a t e l y , m a n yt y p e so fc o m p l e xn o n , n e a rp e r i o d i cf o l d e dw a v e ss u c h 够w o r i n - l i k ep e r i o d i cf o l d e dw a v e sa n dt e n s i l ep e r i o d i cf o l d e dw a v e sa r ed e r i v e d t h ep e r i o d i cf o l d e d w a v ei sm u l t i v a l u e dl o o ps o i l t o nf o l d e di no n ed i r e c t i o na n ds i n g l ep e r i o d i co s c i l l a t e di no t h e r d i r e c t i o n ，w h i c hm a yb ev i e wa sas p e c i a lt y p eo fs e m i f o l d e dw a v ei nm a t h e m a t i c a la n a l y t i c i nl o n gw a v el i m i t ，t h ep e r i o d i cf o l d e dw a v e sm a yd e g e n e r a t ea ss i n g l ef o l d e ds o l i t a r yw a v e s t h ei n t e r a c t i o n so ft h ep e r i o d i cf o l d e dw a v e sa n do ft h e i rd e g e n e r a t e ds i n g l es o l i t a r yw a v e s a r ec o m p l e t e l ye l a s t i c ，i e ，t h e r ea r en oc h a n g e so ft h es h a p e sa n dv e l o c i t i e sb e f o r ea n da f t e r t h ei n t e r a c t i o nb e s i d e sp h a s e ss h i f t s t h i sw o r kh e l pu st of u r t h e ru n d e r s t a n da n da c q u a i n t s u c hs p e c i a lp e r i o d i cf o l d e dp h e n o m e n ai nn a t u r e k e yw o r d s ：( 2 十1 ) d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs y s t e m ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n s ，f o l d e ds o l i t a r yw a v e ，p e r i o d i cw a v e ，s o l i t o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中 特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成 果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名： 日期：型口釜 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 醐：芈 第一章绪论 物质世界是复杂的，自然界事物的发展及其相互间的关系是非线性的随着人类 认识的深入和科学技术水平的提高，人们越来越发现自然科学和工程技术中普遍存在 各种各样的非线性问题，其非线性效应可以产生本质上全新的一些物理现象，也即非 线性现象在物理学中，非线性主要表现为相干性和耦合性近四十年来，从自然科 学，工程技术、甚至社会科学各个领域中，人们广泛深入地开展了非线性问题的研究， 并且取得了重大进展【l 】【8 】随着各种观测手段的完善和计算技术的发展，许多迫切需 要解决的非线性问题正在逐步得到解决，非线性科学也逐渐发展成为- f - j 独特的崭新 科学继牛顿力学和量子理论之后发展起来的非线性科学已经取得的成果显示。非线 性研究在深刻地诠释丰富多彩的自然界，复杂多变的周围世界，以及哲学和方法论方 面，引起了深刻的变革，促进了一大类新兴学科的诞生和发展，极大地影响着现代科 学的逻辑体系 波动现象是自然界最普遍的现象之一，非线性波是非线性物理研究中的重要内容 【9 】 1 3 】非线性波的研究，早在一百多年前s t o k e s 和r i e m a n n 就进行了开创性的工作 f 1 4 ，1 5 】，而后一直经历了一个加速发展的过程，近年来更取得相当大的发展复杂非线 性波的研究中，特殊孤立波( 孤立子) 的研究，尤其受到物理学家和数学家的关注，近 三十年来获得了极大的发展【1 6 】【2 9 】孤立波( 子) 是非线性系统的基本激发模式，是 非线性波动物理模型方程由平衡非线性项和色散项得到的特殊非线性解，孤立子理论 已经和混沌、分形、复杂网络等成为非线性科学研究中的重要内容，在自然科学的各 个领域里都具有非常重要的角色孤子理论一方面在量子场论、粒子物理、凝聚态物 理、流体物理、等离子体物理和非线性光学等物理学的各个分支及数学、生物学、化 学、通讯等各自然科学领域得到广泛的应用【1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 4 ，2 5 】另一方面极大地促进了 一些传统数学理论的发展【2 1 ，2 8 ，2 9 】，从而可积系统的研究引起了物理学家和数学家 的极大兴趣，开展对非线性波动物理模型的复杂非线性波和孤立波激发模式的相关研 究。具有十分积极的理论和实践意义 1 1非线性波和非线性波动方程 波动问题是个长久不衰的科学论题在空间的某点上某一物理量在平衡态受到 扰动后，该扰动以确定的速度向四周传播的这种现象称为波水波的特性以及声、光 传播特征，是日常经验中所熟悉的而著名的湍流现象、微观粒子的波粒二象性和宏 观天体引力波等也与其密切相关，甚至现代城市交通阻塞问题也作为一个波动问题来 2 第一章绪论 研究波的概念、理论、方法及其应用遍及包括物理学、数学、力学、光学、化学、生 物学、地理学、工程技术等自然科学领域，而且已经渗透到经济学和社会学等社会科 学领域 波动问题独特之处在于人们可以在任何技术水平上研究它尽管波动问题所涉及 的领域不同，但是描述波动现象的方法却是相同的为了从理论上了解波动现象，以 及解决出现的实际问题，数学的概念及其技巧已经有了相当丰富的发展广义地讲。 如果一个偏微分方程具有能描述波动现象的解，那么这个方程就被称为波动方程一 般情况下，波动方程同时含有时间和空间变量，因此它是一类重要的时空动力学系统 早期，由于人类认识的局限，研究手段的限制和处理实际问题的要求精度不高，往往 将一个实际的波动问题进行简单和理想化的假设，从而得出比较容易研究的线性化模 型，如弦振动方程，热传导方程等线性化模型满足叠加原理，可以说，迭加是用来解 决所有线性问题的系统方法的关键例如，傅立叶变换和拉普拉斯变换都与解能够迭 加有关，也就是能把问题分成许多小问题，然后把分离的解迭加起来而得到整体问题 的解另外，分离变量方法也是求解线性波动问题最为惯用的方法线性波和线性方 程的求解问题已经得到很好的研究 随着科学技术的发展和人类认识的深入，人们越来越发现自然科学和工程技术中 普遍存在各自的非线性问题，其非线性效应可以产生本质上全新的一些物理现象对 于非线性波动现象而言，用线性化模型进行定量描述已不能完全反映客观的真实世界 的波动问题，应该取而代之为各种不同的非线性模型，即