（基础数学专业论文）环上矩阵的广义逆与加权广义逆.pdf

中文摘要 摘要：广义逆矩阵的理论和方法，不仅是许多数学分支的重要工具，而且在经济 学、统计学、测量学、最优化、信息处理和运筹学等应用学科中都有着非常广泛 的应用。在研究最4 , - 乘问题，线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，控 制论和系统识别问题等等中，广义逆矩阵更是不可缺少的工具。另一方面，结合 环的代数结构的研究方兴未艾，而环上矩阵的广义逆则是揭示环的代数结构的有 力工具。 近年来，随着研究的深入，域、除环、主理想整环、a r t i n 环等上矩阵的广义 逆的研究也已不同程度的展开。本文主要是在文 6 】、【7 】、【1 2 】等理论研究的基础 上，对其中部分结论给以推广和总结。 第三章中首先讨论了环上形如a = g d h ( 其中g ，日为右，左高矩阵， d 2 = d = d ) 的矩阵的广义逆，但在一般情况下，d 并不一定是幂等的，故可以 讨论在一般的情况下，形如a = g d h 的矩阵的广义逆存在的充要条件，并给出相 应的表达式，同时给出a 的f 1 ，3 一逆和 1 ，4 逆存在的充要条件。若环上矩阵没有 上述特殊形式，定理3 2 3 给出了一般的矩阵的广义逆存在的充要条件：( 1 ) 存在 矩阵x 使得a x a = a ；( 2 ) 存在矩阵z 0 使得a = 州z 0 ；( 3 ) 存在矩阵k 使得 a = y o a a 。 第四章主要讨论带有对合反自同构的有单位元的结合环上的矩阵的加权广义 逆，定理4 1 6 给出了这样矩阵的加权m o o r e p e n r o s e 逆存在的充分必要条件： ( g d ) m g d + j d d ，d h n 。1 ( d h ) + j d d 一对称且可逆，同时给出了其表达 式。当d 的m p 逆存在时，肯定有d 的f l l 一逆存在，因此上面的定理的条件比文 【9 】中给出的条件弱，使 9 】中的结论得以推广。同时，可以给出满足这种条件的矩 阵的 1 ，3 m 1 - 逆和 1 ，4 n l _ 逆存在的充要条件。最后，将k p s b h a s k a r ar a o 在文献 5 】中给出的带有对合的有单位元的环上矩阵的m o o r e p e n r o s e 逆存在的充要条件 这个结论推广到环上矩阵的加权m o o r e - p e n r o s e 逆，得到定理4 2 1 1 。 关键词：环；矩阵；广义逆；加权广义逆；搴对称 分类号：0 1 5 3 3 a b s t r a c t a b s t r a c t ：t h et h e o r ya n dm e t h o d so fg e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c ea r ei m p o r t a n t b a s i ct o o l si nm a n ym a t h e m a t i c a ld e s c i p l i n e s ，a n dh a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si n e c o n o m i c s ，s t a t i s t i c s ，s u r v e y i n g ，o p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e s ，i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g , o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n ds oo n g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e sa r ei n d i s p e n s a b l es t u d y i n gt o o l si n t h el e a s ts q u a r ep r o b l e m s ，t h el i n e a ro rn o n l i n e a rp r o b l e m s ，t h en o n c o n s t r a i n e do r c o n s t r a i n e dl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m s ，c o n t r o la n di d e n t i f i c a t i o no fs y s t e mp r o b l e m s a n ds oo n o nt l l eo t h e rh a n d ，t h es t u d yo fa l g e b r as t r u c t u r eo fa s s o c i a t i v er i n gi s p r e v a l e n t ，a n dg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c eo v e rr i n g si s a l li m p o r t a n tt o o li nr e v e a l i n g a l g e b r as t r u c t u r eo fa s s o c i a t i v er i n g i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ei n d e p t hs t u d y , t h es t u d yo fg e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e s o v e rf i e l d ，d i v i s i o nr i n g s ，p i d ，a r t i nr i n g sh a v eb e e nd e v e l o p i n g w eg i v es o m es p r e a d e d c o n c l u s i o n sa n ds u m m a r i e so nt h eb a s eo f t h e r o y si ne s s a y 【6 】，【7 】，【1 2 ，e t c i nc h a r a c t e rt h r e e ，t h em o o r e p e n r o s ei n v e r s e so fm a t r i c e so v e rar i n grw i ma n i n v o l u t i o na n du n i t a r ya r ed i s c u s s e d s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo ft h em o o r e - p e n r o s ei n v e r s eo fm a t r i c e so v e rar i n g 足a r eg i v e n i n p a r t i c u l a r , i ti so b t a i n e dt h a tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f t h e m o o r e p e n r o s ei n v e r s eo fam a t r i xaw h i c hh a v et h ef o r mo fa = g d ha n d d 2 = d = d o v e rar i n gr b u tu n d e rn o r m a lc i r c u m s t a n c e s ，dm a yb e n o t i d e m p o t e n t ，s ow ec a r ld i s c u s st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e o fg e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e so v e rr i n g a l s ow ec a l lg i v es o m ec o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n s ，a n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o ft h e l ，3 - i n v e r s e a n d 1 ，4 i n v e r s e i f m a t r i c e so v e tr i n g sd o n th a v et h es p e c i a lf o r m ，t h e o r e m3 2 2g i v e st h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eg e n e r a lm a t r i x sg e n e r a l i z e di n v e r s e ：( 1 ) t h e r e e x i s t sxs t a x a = a ；( 2 ) t h e r ee x i s t s z 0s t a = a a z o ；( 3 ) t h e r ee x i s t sks t a = r 0 a a i nc h a r a c t e rf o u r , w em a i n l yd i s c u s st h ew e i g h t e dg e n e r a l i z e di n v e r s ew i t hr e s p e c t t oma n dn ，a n dg i v e st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h e w e i g h t e dg e n e r a l i z e di n v e r s ew i t hr e s p e c tt o ma n dnw i t hs o m ed e c o m p o s a b l e m a t r i c e s i nt h i sc o n d i t i o n t h e o r e m4 1 6 g i v e s t h e n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n ：( g d ) m 6 d + j d d ，d h n 。1 ( d n ) + ，一肋一a r e b o t hs y m m e t r i c a la n d i n v e r t i b l e w ea l s og i v et h ec o r r e s p o n d i n ge x p r e s s i o n s w h e l lt h em p i n v e r s eo fd e x i s t s ，i ti sd e a r l yt h a tt h e 1 一i n v e r s eo f de x i s t s ，s ot h ec o n c l u s i o n sc o n d i t i o n sw e n e e di sw e a k e rt h a nt h ec o n d i t i o n si ne s s a y 9 】，a n dt h e nt h ec o n c l u s i o n si sa g e n e r a l i z a t i o no f 9 】a tt h es a l l l et i m e ，w ec a l la l s og i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h e l ，3 m - i n v e r s ea n d 1 ，4 n 一i n v e r s eo fm a t r i c e ss a t i s f y i n gt h es a l l l e c o n d i t i o n s a tl a s t ，w ee x t e n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f t h em p i n v e r s eo fm a t r i c e so v e rar i n gw i t ha r ti n v o l u t i o na n du n i t a r yt ot h ew e i g h t e d m p i n v e r s e k e l n o r d s ：r i n g ；m a t r i x ；g e n e r a l i z e di n v e r s e ；w e i g h t e dg e n e r a l i z e di n v e r s e ； 。s y m m e t r y c l a s s n o ：0 15 3 3 v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：段嘉舌 导师繇夯罢坪 签字日期：翮年月；日签字日期：钟吖年6 月3 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：取夯舌 签字日期：坩年月= ；日 致谢 经过了许多酸甜苦辣和磨练，终于完成了硕士学位论文。在本文即将完成之 际，向所有关心和帮助过我的老师和同学致以深深的谢意。 本论文的工作是在我的导师李思泽教授的悉心指导下完成的，李老师严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来李老 师对我的关心和指导。他不仅为我的学业和研究做出了悉心的指导，在平常的生 活中也给出了无微不至和热情的照顾。他对事业的追求和对生活的积极态度都对 我产生了重大的影响，使我受益匪浅。在此，谨向恩师表达我最真挚的敬意和感 谢。 最后我深深的感谢我的父母，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我 的学业，他们的鼓励陪伴我一路前行。 1 引言 矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的数 学工具，在整个数学研究中起着重要的作用。其中一重要分支广义逆矩阵理 论的研究，在上世纪中期开始得到了很好的发展和完善。 广义逆矩阵的概念渊源于线形方程组的求解问题。设a 为删，l 矩阵，x 为r l x l 未知向量，b 为m x l 常数向量。众所周知，当m = n 且彳为可逆阵时，线形方程组 a x = 6 有唯一解，并且这个唯一解可以表示为工= a b 。然而，在许多情况下，此 方程组的系数矩阵么可能是奇异阵，或者根本不是方阵，但它的解却是存在的。 在这种情况下，应如何用类似唯一解的形式来表示此方程组的解昵? 以上这些问 题，以及在数理统计、数学规划、计量经济、数值分析、控制论和网络等领域的 许多其他问题都需要推广通常逆矩阵的概念，这就产生了所谓的广义逆矩阵。 但直到1 9 5 5 年英国学者r p e n r o s e 利用四个矩阵方程( 现在称之为p e r t r o s e 方 程组) ( 1 ) 翻= a ( 2 ) x a x = x ( 3 ) ( 似) 。= a x ( 4 ) ( 觑) = x a 给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了 迅速发展的时期。半个多世纪来，在众多理论与应用科学领域，广义逆矩阵都扮 演着不可或缺的重要角色。 全文共分四章，主要内容安排如下： 第一章：引言。 第二章：对本文所相关的定义、定理等所需的基本知识作了回顾与简单介绍。 第三章：对环上矩阵的广义逆及广义m p 逆进行研究，从具有特殊形式的和 一般的矩阵两个方面来探讨环上矩阵存在广义逆及广义m p 逆的充要条件和表达 式。 第四章：讨论环上矩阵的加权m p 逆存在的充要条件和表达式，并用不同的 方法来得到加权广义逆的存在性的充要条件和通式。 2基础知识 在本章中，我们首先介绍一下和本文相关的一些基本概念和基本知识，主要 给出了通常研究所得到的域上的矩阵的 1 一逆、广义m o o r e - p e n r o s e 逆等的基本性 质和结果，并给出了域上这样的广义逆存在性的充要条件和表达式。另外，在最 后给出环的相关知识，以及我们所要讨论的环上的矩阵的广义逆等基本概念和性 质，以便帮助读者更好地理解后面章节的内容。如需获得更详细的内容，可查阅 相关的参考资料。 2 1广义m o o r e p e n r o s e 逆 先给出厂义m o o r e - p e n r o s e 逆的定义。 定义2 1 1 【2 】 p e n r o s e ，1 9 5 5 设a c ”，则矩阵方程组( 称之为p e m o s e 方程组) ( 1 ) a x a = a ( 2 ) x a x = 彳 ( 3 ) ( 魃) + = 从( 4 ) ( 剐) + = 黝 有唯一解，这个唯一解如今被称为a 的m o o r e p e n r o s e 逆，简称m p 一逆，记作彳+ 。 如果x 满足上述条件( 1 ) 到( 4 ) 中的( f ) ，( _ ，) 条，那么x 称为a 的 ， _ 逆。 在给出了定义后，我们可以来考虑一下其有什么样的性质。 定理2 1 2 【1 】对任意的矩阵么， ( 1 ) 若彳可逆，则a = a + ( 2 ) ( 彳+ ) + = 彳 ( 3 ) ( 么+ ) + = ( 么+ ) ，( 彳r ) + - ( a + ) r 。 记肚协荔州刎+ 钉 ( 5 ) 若d = d i a g ( d 。，以) ，则d + = d i a g ( 吐+ ，以+ ) 。 ( 6 ) a = a a ( - 4 + ) - ( a + ) 4 4 。 2 ( 7 ) a + = 彳+ ( 么+ ) 。彳+ = 么。a + ) 4 + 。 ( 8 ) ( 爿么) + = 么+ ( 么+ ) 。 ( 9 ) 彳+ = ( 彳彳) + 彳= 彳( 州) + 定理2 工3 1 设彳矿期有奇异值分解彳= p ( 言习q + ，其中p c ”， q c “4 ，且皆为酉阵，= d i a g ( q ，q ) ，q o ，f - 1 ，= ，- ( 彳) ，则 肚q r 妒 定理2 1 4 1 】设a c m ”有满秩分解a = f g ，这里f c 一，g c ， ，= ，( 彳) = ，( f ) = ，( g ) ，则彳+ = g f a g ) f 。 定理2 1 5 【1 】对任意矩阵a ， 彳+ = 彳( 州) 一a ( a 。彳) 一九 以上三个定理分别基于a 的奇异值分解、a 的满秩分解和 1 ) - - 逆来表征 m o o r e - p e n r o s e 逆的。另外，当给定的矩阵a 是特殊矩阵或有特殊形式，则么的 m o o r e p e n r o s e 逆也有特殊的一些性质。 命题2 1 6 1 3 】( 1 ) 若a 与b 酉相似，则a + 与b + 也酉相似。 ( 2 ) 若a 为正定实矩阵，则a + 也为正定实矩阵，且存在可逆矩阵尸，使得： a = p 。 ( 3 ) 若a 为正定矩阵，五为a 的特征根，则a + 也为正定矩阵，e 1 & 为a + 的 特征根。 ( 4 ) 若a 为实对称矩阵，则存在正交矩阵u ，使得a + = u d + u r 。其中， d = d i a g ( 2 。，五，丸) ，五为a 的特征根 ( 5 ) 若 阶矩阵4 有极分解a = s u ，则a + = u r s + 其中s 为半正定矩阵，u 为正交矩阵。 3 ( 6 ) 设以阶矩阵a = 2 2 ”，j ) - 逆 0 0 00 o 0 a l 0 a 2 0 o o a 。0 0 ，则。赤 由前面给出的广义逆矩阵的定义不难看出 1 ) 一逆是最基本、最重要的一种广 义逆，它是研究其他广义逆的基础。对v mx n 阵彳，用爿一表示其任意一个 1 一逆。 我们下面先来看一下 1 一逆的结构及性质，首先给出下面的定理来解决广义逆矩 阵a 一的存在性问题。 定理2 2 1 4 1 - i t a c ”f f - r a n k a = ，若可逆矩阵p c m “和q c “5 ，使 ：得- p a q = 心”懈g 一，使得彳似圳充要条件是 g = q 眨寸 其中g l ：，g 2 。，g 2 ：分别是，( m 一，) ，- r ) x r ，( 万一，) ( 班一，) 型的任意矩阵 定理2 2 2 【1 】设彳c 4 ，彳一为其一个特定的 l 一逆，则 彳 1 - - , 4 一+ u - a a u a a - , 其中u c “”任意阵) ； 彳 1 = 彳一+ z ( l 一州一) + ( l 一彳一么) y ，其中z ，】，c “4 任意阵 。 以上定理用一个特定的4 一刻画出了彳 1 。下面我们来看一下 1 。逆的性质。 定理2 2 3 4 设彳c “，允c ，则 ( 1 ) r a l l l ( ( 爿一) r a n k ( a ) ； ( 2 ) ( a r ) 。= ( 彳一) 2 ； ( 3 ) 若r a i l l ( ( 彳) ；聊= 玎，则a 1 ) 只有唯一元素a 一； 4 ( 4 ) a a 一，彳一a 均为幂等矩阵，且 础( 彳) = m i l k ( 朋一) = r a n k ( a 一彳) ； ( 5 ) 兄一a 一是2 a 的广义逆矩阵，其中 f0 ，a = 0 名一2 允二，名o ； ( 6 ) 若s q ”，z q “，e b = s a t ，则t - t a s 。是b 的广义逆矩阵； ( 7 ) r ( 4 a 一) - - r ( a ) ，n ( a 一彳) = ( 彳) ； 其中r ( a ) 为a 的值域，( 彳) 为a 的核 若矩阵是满足p e n r o s e 方程中的( 1 ) ( 2 ) 的，则称工为a 的 1 ，2 ) - 逆，有 人称这种广义逆为自反广义逆，是因为在( 1 ) ( 2 ) 中，a 和x 的地位完全对称， 即若x a 1 ，2 ，则必有么e x 1 ，2 。 定理2 2 4 2 】设4 掣”，x c “”，则 ( 1 ) x 么 1 ，2 营x a 1 e r a n k x = r a n k a x a 2 e r a n k x = r a n k a 。 ( 2 ) x e a i ，2 ) e r x = y a z ，其中y , z a 1 ) 。 定理2 2 5 2 设彳掣“，并设彳= 粥为a 的一个满秩分解，毋，昱满足条 件一a a + = 名片，露暑= 厶- ，j 一州+ = e ，e e = 厶- ，则a 的 1 ，2 卜逆的通 式为 x = ( g ，曰) ( 篙 ( 砬，乙) ( ；) ， 其中q ，d 2 为，阶可逆阵，目- d t d 2 = ( g g ) _ 1f ，) ，嵋，z 2 为任意阵。 根据前面已有的结论，可得4 的 l ，2 卜逆的另一种通式，如下： 么 1 ，2 ) = 肛+ ( ，一彳一a ) u ) a ( a 一+ y ( ，一剧一) ) l u ，矿任意) 。 由于 2 - 逆在定义上自身的局限性，其所得到的结论较少，下面给出几个基 于 2 _ 逆的广义逆的构造。 定理2 2 6【1 4 】设p , q 分别为p xm 和n xp 阶矩阵，且满足p p = l ， 5 定理2 2 7 【- 4 】设彳为历刀矩阵，且彳有奇异值分解彳= ( 言吕 矿，u 和 虬矿 嚣p 定理2 2 8 4 】设彳为掰刀阶矩阵，且彳有奇异值分解彳= u ( 言：) 矿，u 4 c 纠，：矿f ，q ( 乞3 ) q + q q ( 乞o ) qr u ， 1 00 j 4 1 ，4 ) = a1 4 ) + y ( i 一彳m 4 ) i a “4 任意取定，】，任意) = p + z ( i - a a + ) l z 任意 a 1 ，3 = 彳“3 + 】，( ，一彳n a n 3 任意取定，】，任意 = a + + ( ，一a ) zz t - 壬意 6 彳 1 ，3 ，4 = 3 4 + ( ，一4 彳) y ( ，一州o 3 4 ) f y f 壬意) = p + ( i - a + 么) z ( ，一州+ ) i z 任意) 。 定理2 2 1 2 a i ，2 ，3 ) = i ，2 ，3 + ( ，一彳l 2 3 彳) 匕蜘o 町l y 任意) = p + i - a + 么) 刎+ l z 任意 。 定理2 2 1 3 a 1 ，2 ，4 ) = a1 2 4 ) - i - - 彳“2 4 _ 】，( j 一以“2 ，4 ) i y 任意 = p + 彳+ a z ( z 一朋+ ) i z 任意) 。 2 3环上矩阵的加权m o o r e p e n r o s e 逆 本节我们将会仿照域上矩阵的定义方式建立环上矩阵的概念，从而在环上引 入矩阵的加权m o o r e - p c n r o s e 逆。 我们知道，环( r ，+ ，o ) 是交换环，若乘法半群( 灭，) 是交换的。如果半群( 尺，) 含有元素l 0 ，使得1 a = 口1 = a ，v a r ，就称月为带有单位元1 的环。称环中 的元素a 为单位，如果存在b r ，使得a b = b a = 1 ，此时b 称为a 的逆，记为a 。 若只有口6 = 1 ( 或b a = 1 ) ，就称b 为a 的右逆( 或左逆) ，记为口；1 ( 或口：1 ) 。 类似于域上向量空间的概念，在环上我们有模的概念。 定义2 3 1 设尺是一个含幺环，m 是一个加群，若在r 与m 之间定义一个运 算： v a r 和协m 有唯一的一个元素a x m 与之对应，且满足 a ( x + y ) = a x + a y ， ( a + 6 ) x = a x + b x ， a b x = a ( b x ) ， 1 足z = 工， 其中y 是m 的任意元，b 是尺的任意元，则称m 为左尺一模( 简称左模) 。设膨是 左r 一模，石是膨的一个非空子集。若对互不相同的五，x 及a i r ， i = 1 ，l ，由a l x l + + a n x = 0 可得口l = - - a = 0 ，则称x 线性无关。若膨有线 7 性无关生成元集x ，则称肘是自由r 一模，x 是m 的一个基。 除非特别说明，下面所指的r 一模均指的是左r 一模。 例设尺是环，考虑r 的元素的n 一元组( 列向量) 的集合彤，如果下列运算成 立： 若( q ) ， ) r 4 并且，r ，则( q ) + ) ( a i + 龟) 和，( q ) = ( q ) ，则集合r “是 r 上的模。 定义2 3 2 若肘和均是环k 上的模，如果映射f ：肘专n 满足： 厂( 眠+ 坎) = 矿( 五) + 可( t ) ，弘，x 2e m ，口，6 k ， 则称为由m 到的同态映射。如果厂作为集合映射是单射，满射或者一一对应， 则厂分别称为模单同态，模满同态或者模同构。模m 到其自身的同态映射称为自 同态映射。 设r 是环，环r 上的m x n 矩阵a 可以看作由r “到肜的同态映射，( x ) = 血， 其中a xer ”的第f 个分量为，f = 1 ，m 。矩阵彳的第( f ，j ) 个分量记为。 量= l 当么，曰有相同的阶数时，我们定义么+ 曰= c ，其中勺= 嘞+ 岛。当么是：m x nd ，b 是刀后阶时，定义仰= c ，其中勺= z a , r 。两个矩阵的乘积可以看作是两个同 r = l 态映射的复合具有适当阶数的单位矩阵记作j 。其它像矩阵的转置、行列式、子 式等的定义和表达方式以及相关性质与域上的矩阵的定义与表示方式和性质类 似。我们定义环上矩阵a 的非零子式的极大阶数为p ( 彳) ，也称为环r 上彳的行列 式秩，显然有p ( 船) l l 血 p ( 彳) ，p ( 曰) 。环r 上的矩阵的列( 行) 向量如果是线性 无关的，就称该矩阵为列( 行) 满秩。若4 是r 上的m x 咒阶矩阵，则记为a r 一。 进一步，a 的值域 j ，r ”：y = a x , x e r ” 记为尺( 彳) ，a 的零空间 z 尺4 a x = o 记为( 彳) 。 定义2 3 3 称环r 带有对合a 一万是指环r 带有由r 到r 的函数a 一万使得 a 一+ b ：a + a ，a b ：蔚，石：0 ，t ：1 。 事实上，对合是尺到尺自身的反同构映射。在尺带有对合a 专石的情况下，对 8 m x n 阶矩阵彳= ( 嘞) 来说，我们记彳的第( f ，j ) 个元素为亏并且彳表示( 彳) r 。显然 有( 么+ b ) = + b ，( a b ) = 矿a 。和( ) = 彳。称刀阶方阵么关于宰是对称的， 若么= 么，即= 。 定义2 3 4设彳是环r 上m 阶矩阵，若在尺上存在l l m 阶矩阵g 使得 a g a = a ，则称a 是正则矩阵。若彳是正则的，我们就说彳具有广义逆且称g 为彳 的广义逆。环尺是正则的如果它其中的每个元素都是正则的。 若甩是正整数，r 是环，则尺上所有疗x 玎阶的矩阵的集合肘。( r ) 仍然是个环， 其中m 。( r ) 中的加法与乘法定义如上。 定义2 3 5 称带有幺元1 的环r 上的刀刀阶矩阵彳是可逆矩阵，若彳在环 m 。( r ) 中是单位，即在r 上存在万以阶矩阵b 使得a b = b a = ，。 定义2 3 6 设尺是带有幺元1 的环，称尺上的矩阵彳具有秩分解，若a 可以 写成l r 的形式，其中具有左逆，r 具有右逆，朋叫做a 的秩分解。 我们知道，域上的任意矩阵均具有秩分解，但是在带有幺元的环上甚至于在 整环上并非每个矩阵都有秩分解，这就给我们通过秩分解考虑环上矩阵的广义逆 问题带来了难度，因此我们在后文中采取别的方法来考虑环上矩阵的广义逆的问 题。 定义2 3 7 设r 是带有单位元1 和对合a _ 石的环，彳，x ，m 和分别是r 上 的m x t l ，l , l m ，m m 和r t ? i 阶矩阵，并且m ，关于是对称可逆的。若 a x a = a ( 1 ) x a x = x( 2 ) ( m a x ) = m a x ( 3 m ) ( 删) = n x a ( 4 n ) 成立，则称x 是彳的关于肠和n 的加权m o o r e - p e n r o s e 逆，记为。若 m = n = i ，则x 就是彳的m o o r e - p e n r o s e 逆，记为a + 。 若么和z 满足( 1 ) 式，则称x 为a 的 1 - 逆( 或是广义逆，正则逆，g 一逆) 。 类似地，我们可以定义么的 2 - 逆。若彳, 0 x 满足( 1 ) 式和( 2 ) 式，则称x 为彳的 9 1 ，2 卜- 逆( 或是自反g 一逆) 。若彳，x 和m 满足( 1 ) ，( 3 m ) ，则称石为彳的 l ，3 u 一 逆，同理可以定义么的 1 , 4 n ) 一逆。 定理2 3 8 【5 】设么是环尺上的矩阵若g l ，g 2 均是彳的 i ) 一逆，则g , a g , 是彳 的 l ，2 ) 一逆。 下面是由k p s b h a s k a r ar a o 在文献【5 】中给出的带有对合的有单位元的环上 矩阵的m o o r e p e n r o s e 逆存在的充要条件，得到了一个很重要的结论，在最后我们 将得到这个结论的直接推论，把这个结论推广到加权广义逆。 定理2 3 9 设彳是带有单位元1 和对合a 专万的环r 上的矩阵，则 ( 1 ) a 有 1 , 3 ) _ 逆的充要条件是彳彳是正则的且当a a c = o 时，有a c = 0 ( 2 ) a 有 1 ，4 一逆的充要条件是州是正则的且当d a a = o 时，有删= o ( 3 ) a 有m o o r e p e n r o s e 逆的充要条件是a a 和州是正则的且当a a c = 0 和d a a = 0 时，分别有a c = 0 和d a = 0 。 ( 4 ) a 有m o o r e p e n r o s e 逆的充要条件是a 觚是正则的且当a a c = 0 和 d a a = 0 时，分别有a c = 0 和d a = 0 。 在情况( 1 ) 中，( 彳彳) 一是彳的 1 ，3 一逆； 在情况( 2 ) 中，( 州) 一是么的 1 ，4 ) 一逆； 在情况( 3 ) 中，彳( 州) 一a ( a + 彳) 一是4 的m o o r e p e n r o s e j 蔓_ ； 在情况( 4 ) 中，彳( 彳以) 一a 是彳的m o o r e - p e n r o s e 差。 l o 3环上矩阵的广义逆 随着对矩阵广义逆研究的不断深入，一般域、除环和交换环等上的矩阵广义 逆的讨论也有了不同程度的进展。本章总结前人已有的某些重要结论，得到了一 般带有对合反自同构的结合环上的矩阵的广义逆存在的充要条件，并给出了一些 显式表达。 3 1环上具有特殊形式的矩阵的广义逆 在本节中我们讨论如何确定一般带有对合反自同构的结合环上的矩阵有m p 逆的充要条件和表达式，因为c g c a o 在 1 5 0 7 得到这样的结论：一个带有对合反 自同构的环尺是满足正性条件的y o nn e u m a n n 正则环的充要条件是r 上所有矩阵 均存在m p 逆。于是这个问题的研究对于环论中的有关理论研究是非常有意义的， 并为考虑矩阵的加权m p 逆打下了基础。 陈建龙在文献【6 中给出以下事实： ( 1 ) 当r 为左右主理想整环( p i d ) 时，r 上任意m x n 阶矩阵么，均存在可 逆矩阵p ，q ，使彳= p d i a g ( d i 一，t ，o ，o ) q 。对p ，q 进行适当分块，p = ( 置，昱) ， q = ( 墨 ，。= d i a g ( “，4 ) ，则此时彳= g 日，g = 日，h = 。q 1 分别为右，左高矩 阵( 定义见后) 。 ( 2 ) 当尺为单a r t i n 环时，r 上任意m x n 矩阵爿，均存在可逆矩阵p ，q ，使 a = p d i a g ( 1 ，1 ，e ，o ，o ) a ，其中e 2 = e = e ，仿( 1 ) 分块，则a = g d h ，g = e l l ， h = q 1 分别为右左高矩阵。 由以上两个事实可看出，讨论形如a = g d h ( g 为右高阵，日为左高阵， d 2 = d = d ) 矩阵的广义逆是重要的。但是由于一般环的非可交换性的限制，零 因子与幂等元的出现，我们通常无法像在域中研究矩阵一样应用矩阵的秩，以下 我们用纯环论的方法给出这类矩阵的某些广义逆存在的充要条件和显式表示。由 上面已有的事实可知，当r 为左右主理想整环或单a r t i n 环时，这类矩阵就概括了 r 上所有的矩阵。 定义3 1 1 设彳为m n 阶矩阵，若出= 0 只有零解，则称彳为右高矩阵；看 x a = 0 只有零解，则称4 为左高矩阵。 引理3 1 2 【6 设彳= p d i a g ( d ，o ) q ，p ，q 分别为m 阶和，l 阶可逆阵，d 为，阶 矩阵，则一定存在右高阵g 和左高阵日，使a = g d h 。 引理3 1 3 6 1 4 & g 为m x ，阶右高阵，日为r x n 阶左高阵，则 d ( g d ) 一g d = d = d u ( d n ) 一d 。 引理3 1 4 设a = g d h ，g 为t a x i 阶右高阵，日为r x f t 阶左高阵，d 2 = d ， 则 ( 1 ) ( d e ) d ( g d ) 一彳( f ) i = 1 ，2 ，4 ( 2 ) ( d e ) 一d ( g d ) 7 彳( aj = 1 ，2 ，3 。 证明下面只证明( 1 ) 。( 2 ) 同理可证。 4 ( 叫一d ( g d ) 一a = g d h ( d h ) 一d ( g d ) 一g d h = g d ( g d ) 一g d h = g d h = a 。 ( 删) o d ( g d ) 一 删 ( 册) 。d ( g d ) 一 = ( 明) 。d h ( d h ) 。d ( g d ) 一 = ( 删) 2 d ( g d ) 一， ( 删) 4 d ( g d ) 一删 ( 明) n 脚 - ( 伽) 。d h ( 删n d ( g d ) 一g d h 。 证毕。口 命题3 1 5 6 3 1 殳a = g d h ，g 为m x f 阶右高阵，日为f x n 阶左高阵， d 2 = d ，则以下相互等价： ( 1 ) 彳 1 ) o ( a 1 ，2 ) a ) ； ( 2 ) 存在y 和z ，使得( 删) 】，= d - z ( g d ) ； ( 3 ) ( d h ) i ) o ，( g d ) 1 ) g 并且当a 1 ) o 时，有 彳 1 ，2 = 尥) l m d h i ，g d i 。 1 2 命题3 1 6 设a = p d i a g ( d ，o ) q ，d 2 = d ，则有彳 1 ，2 ) 囝，且此时有 q d i a g ( d ，o ) f 1 a 1 ，2 。 证明根据命题3 1 5 易得彳 1 ，2 ) g 根据定义可得q d i a g ( d ，o ) ，1 彳 1 ，2 。 a q d i a g ( d ，0 ) p - 1 a = p d i a g ( d ，o ) q q d i a g ( d ，o ) p p d i a g ( d ，o ) q = p d i a g ( d 3 , o ) q = p d i a g ( d ，0 ) q = a ， q d i a g ( d ，o ) p - 1 彳q d i a g ( d ，o ) ，1 = q d i a g ( d ，o ) p - 1 p d i a g ( d ，o ) e q d i a g ( d ，o ) ，1 = q 一1 d i a g ( d 3 , 0 1 ，1 = q d i a g ( d ，o ) p - 1 ， 故有q d i a g ( d ，o ) ，1 彳 l ，2 。证毕。 口 以下是本节所要得出的重要结论，给出了矩阵的各种广义逆存在的条件和显 式表达。 定理3 1 7 6 】设a = g 肼，g 为m r 阶右高阵，h 为r x n 阶左高阵， d 2 = d = d ，_ ea 1 o ，则 彳 3 = ( 明) 一d y ( g d ) + ( ，一( 删) 一( 删) ) z 旷= y ，z 为任意 ， 彳 4 ) = ( 伽) y d ( g d ) 一+ z ( 1 一( g d ) ( g d ) 一) l y = 】，z 为任意 定理3 1 8 6 】设a = g d h ，g 为m r 阶右高阵，日为，聆阶左高阵， d 2 ：d ：d ，则以下几条等价： ( 1 ) a i ，3 ) a ( a 1 ，2 ，3 ) a ) ； ( 2