（基础数学专业论文）关于半群的加细半格的应用.pdf

西南人学硕： ：学位论文摘要 关于半群的加细半格的应用 基础数学专业硕士研究生喻厚义 指导老师郭聿琦王正攀 摘要 本文主要讨论了半群的加细半格在研究半群的性质和结构中的若干应用确 定了两个正则纯正密码u 一半群之间好同态的构造和局部纯正正则密码群并半群的 加细半格结构全文共分三章 第一章给出了半群的相关概念，特别介绍了完全正则半群和半群的半格的相 关内容，并给出了本文使用的主要符号和术语 第二章首先讨论了正则纯正密码u 半群关于矩形u - 半群的加细半格分解的唯 一性，然后，在此基础上，确定了任意两个正则纯正密码u - 半群之间好同态的结构 第三章证明了一个半群是局部纯正正则密码群并半群当且仅当它能唯一地表 示成一族完全单半群的加细半格，并指出其特例，即一个半群是左( 右) 拟正规密码 群并半群当且仅当它能唯一地表示成一族完全单半群的右( 左) 强半格，从而正规密 码群并半群的强半格结构便成了我们的结论的推论 关键词：半群的加细半格；正则纯正密码u 半群；好同态；完全单半群；局部纯 正正则密码群并半群 s o m ea p p l i c a t i o n so fr e f i n e ds e m i l a t t i c e so f s e m l g r o u p s m a j o r ：a l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s n a m e ：y uh o u y i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u oy u q i a b s t r a c t t h em a i nt o p i ci ss o m ea p p l i c a t i o n so fr e f i n e ds e m i l a t t i c e so fs e m i g r o u p si n t h es t u d yo fp r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r e so fs e m i g r o u p s w em a i n l yd e t e r m i n et h e c o n s t r u c t i o n so fg o o dh o m o m o r p h i s m sb e t w e e na n yt w or e g u l a ro r t h o c r y p t o us e m i - g r o u p sa n dr e f i n e ds e m i l a t t i c es t r u c t u r e so fl o c a l l yo r t h o d o xr e g u l a rc r y p t o g r o u p s t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s w ep r e s e n tt h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fs e m i g r o u p si nc h a p t e r1 e s - p e c i a l l y ，s o m er e l a t i v ec o n t e n t sa b o u tc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sa n ds e m i l a t t i c e o fs e m i g r o u p sa r ei n t r o d u c e d a n dt h e n ，w eg i v es o m en o t a t i o n sa n dt e r m i n o l o g y w h i c ha r eu s e di nw h a tf o l l o w s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ts h o wt h a tt h er e f i n e ds e m i l a t t i c ed e c o m p o s i t i o no fa n y r e g u l a ro r t h o c r y p t o us e m i g r o u pi n t or e c t a n g u l a ru - s e m i g r o u p si su n i q u e t h e nu s i n g s u c has t r u c t u r ed e s c r i p t i o n ，w ei n v e s t i g a t eg o o dh o m o m o r p h i s m sb e t w e e na n yt w o r e g u l a ro r t h o c r y p t o us e m i g r o u p s c h a p t e r3i sd e v o t e dt os h o wt h a tas e m i g r o u pi sal o c a l l yo r t h o d o xr e g u l a r c r y p t o g r o u pi fa n do n l yi fi tc a nb eu n i q u e l ye x p r e s s e da sar e f i n e ds e m i l a t t i c e so f c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s s u c hs t r u c t u r ed e s c r i p t i o nc a nb es p e c i a l i z e dt ol e f t ( r e s p e c t i v e l y ，r i g h t ) q u a s i n o r m a lc r y p t o g r o u p s t h es t r o n gs e m i l a t t i c e c o n s t r u c t i o n o fn o r m a lc r y p t o g r o u p si st h u sas p e c i a lc a s e k e y w o r d s ：r e f i n e ds e m i l a t t i c e so fs e m i g r o u p s ；r e g u l a ro r t h o c r y p t o us e m i g r o u p ； g o o dh o m o m o r p h i s m ；c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p ；l o c a l l yo r t h o d o xr e g u l a rc r y l t o g r o u p 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文憾妒觚义黼期：年，月弦日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：翕季火导师签名：乏否学( 秘) 签字日期：乃研年, j - 月弘日签字日期：沙习年月加日 西南大学硕士学位论文 刚舌 - 一 日i j吾 “半群代数理论”在数学内部( 组合数学，图论，符号动力学等) 和外部( 理论 计算机科学，信息科学，生物技术等) 的推动下，系统地研究了近六十年，已形成为 代数学中的一个从研究对象、研究课题到研究方法都颇具特色的独立的学科分支 它与“群论”的关系类似于“环论”与“域论”的关系( 在m a t h e m a t i c a lr e v i e w s 的s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n 里，“半群( 2 0 m ) ”归于“群论( 2 0 ) ”是历史的惯性所致) ， 是一个有着宽广的理论背景和美好的应用前景的基础学科，其研究在国际上方兴 未艾 回顾整个半群代数理论发展的历史，对各种半群的代数结构的研究一直是最 受关注的对象之一其中，有许多有效的工具，例如，半群的半格，次直积，织积等 在本文中，我们主要讨论半群的加细半格在研究半群的性质和结构中的若干应用 1 9 4 1 年，a h c l i 肋r d 在文章 1 】中提出了完全正则半群的概念，并证明了一半群s 是一完全正则半群当且仅当s 是某一族完全单半群的半格这给出了完全正则半 群的整体结构( s = u 。y & ) ，也就是通常所指的半格结构，所以完全正则半群通 常被表示成s = 瞰& 】，其中y 是半格，任意q y ，& 是完全单半群但是，这仅 仅是一个粗糙的结构刻画在文章【1 1 中，c l i f f o r d 又提出了半群的强半格的概念， 并证明了一个半群是c l i f f o r d 半群当且仅当它是某一族群的强半格后来，半群的 强半格这一重要工具被广泛应用，并得到了正规带 2 1 】，正规密码群并半群 1 3 1 ，正 规纯正密码群并半群【1 5 ，c - r p p 半群 3 】，c l i f f o r d 拟正则半群 1 7 】等各种半群的结 构在半群的半格的基础上，半群的一直积【2 5 】，一积及其推广形式【2 0 】，半织 积f 5 1 等用来刻画半群结构的概念相继出现 从【1 6 】中，我们知道正规密码群并半群簇是正则密码群并半群簇的真子簇，具 体到带上，就是正规带簇是正则带簇的真子簇一个半群s 是带当且仅当s 是某 一族矩形带的半格，是正规带当且仅当s 是某一族矩形带的强半格一个自然的问 题就是正则带作为矩形带半格有哪类特性呢? 2 0 0 1 年，章亮，岑嘉评和张荣华推 广了半群的强半格的概念，定义了所谓“半群的加细半格”，证明了一族半群的加 细半格形成一半群，作为应用，也证明了一半群是一正则带当且仅当它是一族矩 形带的加细半格1 2 1 ，但在证明一族半群的加细半格形成一半群时，结合律的验证 过程相当复杂，王正攀，郭聿琦和岑嘉评在2 0 0 8 年简化了这一证明 1 8 1 近几年有 多位学者应用加细半格的概念和方法讨论了某些类型的广义完全正则半群的结构 4 ，1 0 ，1 1 ，2 4 】 2 0 0 4 年，王正攀，张荣华和谢牧应用“半群的加细半格”证明了一个半群是正 则纯正密码u 半群当且仅当它能表示成一族矩形u 半群的加细半格，作为特例，指 1 西南大学硕士学位论文 刖旨 出一半群是一正则纯正密码群并半群当且仅当它是一族矩形群的加细半格【1 9 1 在 这篇文章的基础上，我们进一步确定了正则纯正密码u 一半群关于矩形u 一半群的加 细半格分解的唯一性，然后讨论了正则纯正密码u 一半群之间好同态的构造 如前所述，一个半群是一族完全单半群的半格当且仅当它是完全正则半群，是 一族完全单半群的强半格当且仅当它是正规密码群并半群半群的加细半格是半 群的强半格的推广，是半群的半格的特例，因此一族完全单半群的加细半格显然是 完全正则半群，但它具体是哪类完全正则半群呢? 本文证明了一个半群是局部纯 正正则密码群并半群当且仅当它能唯一地表示成一族完全单半群的加细半格，并 指出其特殊情形，即一个半群是左( 右) 拟正规密码群并半群当且仅当它能唯一地表 示成一族完全单半群的右( 左) 强半格从而正规密码群并半群的强半格结构便成了 我们的结论的推论 2 西南大学硕士学位论文 第1 章预备知识 mm m l m lm m 1预备知识 本章我们介绍半群的相关概念及必要的结论关于半群和完全正则半群的进 一步理论，请读者参考 7 ，1 4 ，1 6 】等 1 1半群及相关概念 令s 是一个非空集合称二元组( s ，) 是一半群，如果“”是s 上的一个满足 结合律 ( v a ，b ，c s ) ( 口b ) c = a ( b - c ) 的二元运算在不引起混淆时，我们简称s 为半群，对于任意a ，b s ，将口b 简 记为n 6 称半群s 是一交换半群，如果关于任意a ，b s 有0 6 = 沈称半群s 的 非空子集研为s 的子半群，如果& 关于s 的运算封闭，即关于任意a ，b s l ，有 a b 岛若研在此运算下形成群，则称研为s 的子群 1 s 称为s 的幺元( 或单位元) ，若 ( v s s ) l s = s l = s 0 s 称为s 的零元，若 ( v s s ) o s = s o = 0 易证，一个半群至多含有一个幺元( 或零元) 称三元组( m ，1 ) ( 或简称m ) 是一 个幺半群，如果( m ，。) 是一个含有幺元1 的半群 如果s 没有幺元，在su 1 ) 上规定1 1 = 1 ，且 ( v s s ) i s = s l = s 则su 1 ) 是一个幺半群，l 为其幺元于是，我们总可以用s 1 表示如下幺半群 s 1 ： s 若s 含有幺元； 【su 1 若s 不含幺元 令a 与b 是半群s 的两个子集我们用a b 表示 a bfo a ，b b 容易验 证 ( v a ，b ，c 冬s ) ( a b ) c = a ( b c ) 通常情况下，我们也写以 6 作a 6 ，写 a b 作a b 若s 没有幺元，a s ，则通常 情况下s o 中未必含有凸我们分别用s x a ，口s 1 ，s 1 a s l 表示如下三个集合 s nu n ) ，a sl j o ) ，s a sl js aua su o ) 3 西南大学硕士学位论文 1 1 、卜群及棚关概念 称半群s 中元素a 是一正则元，如果存在z s 使得a x a = a 称半群s 是一 正则半群，如果s 中任何元素都是正则元例如，每个群及任意非空集合上的全变 换半群均为正则半群【7 1 若a s ，且存在a 7 s 使得a a 7 a = a ，a 7 a a 7 = a 7 ，则称a 为a 的一个逆元容易验证，每个正则元都存在逆元称s 中满足a 2 = a 的元素a 是一幂等元记s 中的全体幂等元构成的集合作e ( s ) 。若e ( s ) 是s 的一个子半 群，则称s 是一纯正群显然，正则半群中存在幂等元每个元素都是幂等元的半群 称为带若s 满足关于任意a ，b s ，a b = a ，则称s 是一左零半群对偶地，也有 右零半群左零半群和右零半群都是以下这类半群的特例令，a 为非空集合在 i a 上定义运算如下 ( v c i ，入) ，0 ，p ) i a ) ( i ，入) ( 歹，p ) = ( i ，p ) ， 则称ix 人连同以上运算形成的半群是一矩形带易见，左零半群，右零半群和矩形 带均是带( 因此，左零半群，右零半群通常也分别被称为左零带，右零带) 半群s 到半群t 的一映射称是一同态，如果妒保持运算，即 ( v a ，b s ) ( 口6 ) = ( 8 ) ( 劬) ； 称为s 到t 的单同态，如果是一单射；称妒为s 到t 的满同态，如果是 一满射( 此时，也称t 是s 的同态象) ；称为s 到t 的同构映射，如果是一双 射；称为s 上的自同态，如果咖是s 上的变换在集合s t 上定义运算如下 ( v ( s ，t ) ，( s ，t 7 ) s t ) ( s ，t ) ( s ，t 7 ) = ( s s ，t t ，) 则sxt 连同上述运算形成一半群，称此半群为s 与丁的直积容易验证，一半群 是一矩形带当且仅当它是一左零带与一右零带的直积 令x 是一非空集合称x x 的子集为x 上的二元关系，简称关系x 上所有 二元关系组成的集合记为历( x ) 在二元关系的合成运算 po 盯= _ 【( z ，y ) xxx ：( 3 z x ) ( z ，z ) p ，( z ，y ) 盯 下，历( x ) 形成一个幺半群，其中x = ( z ，x ) ：x x ) 为其幺元( 称为x 上的相 等关系) ，r = xxx 为其零元( 称为x 上的泛关系) 称非空集合x 上的二元关系p 为x 上一等价关系，如果p 满足自反性，对称 性和传递性x 上所有等价关系组成的集合记为多( x ) x 上的任意多个等价关系 的交显然还是一等价关系x 上的两个等价关系的并或合成未必是等价关系令p 是x 上的一个等价关系，xex 则商集x p = x p l z x 构成x 上的一个划分 4 西南大学硕士学位论文 1 1 半群及村i 关概念 7 】称诸x p 为p 等价类，简称矿类，有时也记作如集合上的等价关系与该集合上 、的划分之间有一一对应关系 7 1 j a g r e e n 首先在半群代数理论的研究中定义了g r e e n 关系：令s 是一半群， 关于任意a ，b s ， 0 彩6 幸= 争s 1 a = s 1 b 伍绍6 铮a s l = b s l o 6 铮s 1 a s l = s 1 b s l ， 9 = 2v 骁= 20 铙= 傥0 垡、 嚣= 垡n 统。 后来，e i - q a l l a l i 提出g r e e n , , 一关系【2 】的概念： 2 = ( 口，b ) sxs ：( v e e ( s ) ) a e = a 营b e = 6 ) ， 叨= ( o ，b ) sxs ：( v e e ( s ) ) e a = a e b = 6 ) ， 毋= 空n 交自= 宝v 交 g r e e n 关系和g r e e n , - , , 关系显然都是s 上的等价关系，并且是用以研究正则半群的 非常有力的工具 令形 汐，匆，彤，9 ，夕) 显然，为了方便起见，在本文中，我们 有时用( s ) 代替彤，形( s ) 代替容易看出，每一个识类里至多只有一个幂 等元令a s ，e 或ne ( s ) ，对任意z 成，记e = x 。显然，对任意z s ，有 z = z z o = z o z 半群s 上的二元关系p 称为左相容的，如果关于任意s ，t ，o s ， ( 8 ，t ) p 净( a 8 ，a t ) p 对偶地，也有右相容的概念s 上的二元关系p 称为相容的，如果关于任意 s ，t ，s 7 ，s ， ( 8 ，8 r ) ，( t ，t 7 ) p 昔( s t ，s i t 7 ) p s 上的等价关系称是一 左，右】同余，如果它是 左，右】相容的容易验证，p 是一同余当且仅当p 既是左同余又是右同余s 上任意多个同余的交还是同余s 上的g r e e n 关系刀p 】是一左 右】同余s 上所有同余组成的集合记为够( s ) 若p 是s 上一同余，在s 关于p 的商集s i p 上定义运算如下 ( v a ，b s ) ( a p ) ( b p ) = ( a b ) p ， ( 1 1 ) 容易验证，这一运算是合理定义的，且s i p 关于该运算形成一半群，称为s 关于p 的商半群事实上，我们有 5 西南大学硕士学位论文1 2 完全正则半群 定理1 1 ( 7 】，定理1 5 3 ) 若p 是半群s 上的同余，则s p 关于( 1 1 ) 中的运 算形成一半群，且s 到s p 的映射砂：zhz p 是一满同态 若：s _ t 是一满同态，则二元关系 k e r = ( 凸，b ) s s i o 砂= b e ( 1 2 ) 是s 上一同余( k e r 称为同态妒的栩，且存在同构映射a ：酬k e r _ t 使得 ( k e r ) 4 a = 口 1 2完全正则半群 令s 是一半群称半群s 是一完全正则半群，如果关于任意a s ，存在 a 1 s 使得 a = a a a ，( d - 1 ) = a ，a a 一1 = a a ( 1 3 ) 完全正则半群也称为群并半群实际上，每一完全正则半群也是其极大子群的无交 并，每一极大子群恰是s 的一个彤类，且( 1 3 ) 中a - 1 恰为a 的群逆元，即a 在 矾中的逆元令s 是一完全正则半群关于任意a s ，鼠中的群单位元记作口0 单的完全正则半群称为完全单半群 、 完全单半群有所谓r e e s 矩阵半群的结构表示令g 是一群，人为非空集合， p ：人xi g 是映射( 称其为夹心阵) ，其中，( a ，i ) p = 肌 ( 也称纵i 为p 中的 元素) 在s = i g a 上定义运算如下：关于任意( i ，g ，a ) ，0 ，h ，p ) s ， ( i ，g ，a ) ，h ，芦) = ( i ，g p a i h ，弘) 则容易验证，s 关于上述运算形成一半群称其为群上的r e e s 矩阵半群，记 作【，g ，a ；尸】下文所提到的r e e s 矩阵半群均是指群上的r e e s 矩阵半群半群 s 是一个完全单半群当且仅当它是一个r e e s 矩阵半群 令s 是一完全正则半群称s 是一纯正群并半群，如果e ( s ) 形成s 的子半 群称纯正群并半群s 是一岁纯正群并半群，如果e ( s ) 是一岁一带例如我们有 正则纯正群并半群，正规纯正群并半群等称s 是一局部纯正群并半群，如果关于 任意e e ( s ) ，e s e 是纯正群并半群。称s 是一密码群并半群，如果澎是s 上一 同余称密码群并半群s 是一岁密码群并半群，如果s 澎是一少带例如我们 有正规密码群并半群，左( 右) 拟正规密码群并半群，正则密码群并半群等 完全正则半群是一类同型代数，它关于子代数，同态象和直积封闭记完伞正 则半群簇为够纺，则 坳= 【口。一1 0 = 凸，o = ( a - 1 ) 。，a a - 1 = o 1 0 】 6 西南大学硕士学位论文1 2 完全正则、i ，群 本文将涉及到很多完全正则半群簇的子簇，以下用等式给出其刻画此处都沿用f 7 1 1 3 】或者是【1 8 】中的记号 7 记号1 2 ( 完全正则半群簇的子簇) ( 1 ) 半格，5 d = b = z 2 ，a x = x a l ； ( 2 ) 左零带，2 缪= | 口= a x l ； ( 3 ) 右零带，国男= 口= z 口l ； ( 4 ) 正规蒂，留= a x y a = a y x a ； ( 5 ) 左拟正规带，p 旦劈= a x y = a x a y ； ( 6 ) 右拟正规带，叨2 留= y x a = y a x a ； ( 7 ) 正则甍勿留= 陋耖n = a x a y a ； ( 8 ) 完全单半群，够夕= 【( 0 6 ) o = ( o z 6 ) 0 1i ( 9 ) 正规密码群并半群，量汐箩= ( a x y a ) o = ( a y x a ) o 】i ( 1 0 ) 左拟正规密码群并半群，2 2 百蹭= 【( 口z ! ，) o = ( a x a y ) o 】j ( 1 1 ) 右拟正规密码群并半群，勿2 百方够= 【( y z n ) o = ( y a x a ) o 】i ( 1 2 ) 正则密码群并半群，劈j 汐够= i ( a x y a ) o = ( a x a y a ) o j ( 1 3 ) 局部纯正群并半群，l 汐= ( n z ) o ( 叼) o = ( ( o z ) o ( o y ) o ) o 】i ( 1 4 ) 局部纯正正州密码群并半群，( l 汐) 彭矿留箩= ( a x y a ) o = ( a x ) o a o ( 妒) o 】i ( 1 5 ) 密码群并半群，国够= ( 口6 ) o = ( a 0 6 0 ) o 】= a 0 ( 6 0 ) o = ( a b a ) o = ( a b ) o a o 】 关于以上完全正则半群簇的子簇，显然有 “国g = 2q “鲲圆a 绕q 弱管 2 2 掰，勿2 孵( 三汐) 纺蒯历孵掰 引理1 3 ( 推论i i 4 3 和引理i i 4 6 【1 6 】) 令s = 【y ；& 】溯，口& ，b 函， q ，y 陋例则 ( i ) a 0 = ( a b a ) o j ( i i ) a 乡b a ，a 勿a b 引理1 4 ( 命题v 4 4 【1 6 】) 令s 够勿则以下各款等价： ( i ) s 是一个正则密码群并半群，即s 历掰j ( i i ) ? 和纫都是s 上同余j ( i i i ) s 满足等式( a x y a ) o = ( a x a y a ) o 引理1 。5 ( 定理i i 5 3 16 】) 令s = f y ；& 】够勿则s 是一个纯正群并半群 当且仅当关于所有的q v 是一个纯正群 7 西市大学硕士学位论文 1 3 7 l ，群的半格 _ m 一i - n=m in | i ；i ；i 宣；i i i ；i i i i 令s 是个半群称s 是一个半超富足半群如果它的每一个碧一类都含有一 个幂等元显然，一个正则的半超富足半群是个完全正则半群称s 是一个u 半 群如果s 是个有唯一的幂等元的幺半群称s 是一个矩形u - 半群如果s 同构于 一个u - 半群和矩形带的直积，即s 同构于一个左零半群，一个u _ 半群和一个右零半 群的直积。显然，矩形u 一半群是半超富足半群在本文中，我们总是用 s = 岛岛s s 表示一个矩形u 半群，其中，曼是左零半群，& 是一个u 半群，岛是一个右零半群 推论1 6 若s 是一个矩形u 半群，则e ( s ) 是一个矩形带 1 3 半群的半格 令少是一半群类，如半格类，带类，矩形带类，群类等称s 上的同余p 是 一少同余，如果s p 是一少一半群若矿表示半格 带】类时，也称s 是半群族 印：口s ) 的半格 带】例如，任何带是且仅是一族矩形带的半格 7 j ；任何完全正 则半群是且仅是一族完全单半群的半格若y 是一半格，半群s 是两两不交的半群 族 & ：q y 】的半格，则记s = 【y ；& 】 令y 是一半格， & ：口y 是一族两两不交的半群关于任意q ，卢y ：q p ，九，p ：瓯_ 昂是一同态假设以下条件也满足：关于任意0 f ，p ，7 y ( q j 8 ，丫) ( 1 ) 九，n 是& 上的恒等映射； ( 2 ) 丸，卢咖，1 = 九 在s = u 口y s 口上定义运算“0 ”如下：关于任意0 ，卢y ，a & ，b s 口， aob = ( a 咖a ，a p ) ( 6 咖卢，a p ) ， 则( s ，o ) 是一半群称其为半群族 s q ：q y 的强半格，记作 y ；s q ，札，p 】例如， 任何正规带是且仅是一族矩形带的强半格f 7 ，l6 】；任何正规密码群并半群是且仅是 一族完全单半群的强半格 下面介绍半群的加细半格的概念，这个概念在我们以后的讨论中经常用到 我们首先给出几个必要的概念和结论 定义1 7 ( 【1 8 】，定义2 1 ) 令a ，b 是两个非空集合，是a 到b 的一个集值 映射( 即将a 中元素映为b 的幂集2 b 中的某个元素) ，p 是集合b 上一等价关系 称映射多是a 到b 关于p 的一个关系映射，如果下述条件满足 ( v a a & v b b ) i n nb p i = 1 8 西南大学硕士学位论文1 3 - - t - 群的j l ，格 注1 下文我们将简称西：a 上2 b 作一个关系映射关于任意b b ，可以看 出咖6 ：a _ 劬是一将a a 映为集合口砂n 和中由决定的惟一元素的通常的映 射另外，关于任意b 1 ，6 2 b ，若b l 如，则显然有6 - = 6 2 下文中我们将单元素集 z 和元素z 不加区分于是，集合a 到b 关于b 上 的泛关系的关系映射也是通常的映射因此，关系映射的概念是通常映射的概念的 推广 定义1 8 ( 【1 8 】，定义2 3 ) 令咖1 ：a 马2 b 和也：b 乌2 c 是关系映射称 关系映射九：a 乌2 c 为砂1 和赴的一个结合，如果下述条件满足 ( a ) 朋伪； ( b ) 关于任意a a ，8 1 锄n 九； 其中，a l 锄= l j 。研。x 0 2 我们称1 和锄的结合九是一正则结合，如果下述条件 还满足 ( c ) 关于任意b b ，c c ，存在d c 使得( 幼1 ) 钙冬c ，船 两个通常映射具有惟一的合成，而两个关系映射未必有惟一的结合f 1 9 1 ，因此 我们这里用“结合”而不用“合成”，同时也区分于集值映射的合成 定义1 g ( f 1 9 】，定义2 4 ) 令s 和t 是半群，：s 三2 t 是一关系映射称 f 是一s 到t 关于p 的关系同态，如果p 是t 上一同余，且关于任意8 1 ，s 2 s ， t t ，我们有( 5 l s 2 ) = ( 5 1 p ) ( s 2 p ) 引理1 1 0 ( 【1 9 】，命题2 5 ) 令t 是一半群，p 是t 上的同余则p 是t 上的 带同余当且仅当存在一半群s 和s 到t 关于p 的一个关系映射 定义1 1 1 ( 1 8 】，定义2 6 ) 称映射满足r 同余条件，如果关于任意8 s ， t ，t 1 ，t 2 t ，我们有 ( s p l ) 印( s 亭2 2 ) ( i e t l t p t 2 t ) 令( s 1 ) t = ( s 2 ：) t ， t ( 5 1 ) ( s f 。2 ) ( i e t t l p t t 2 ) 兮t ( s 。1 ) = t ( s 。2 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 现在我们将文 1 2 】中关于半群的加细半格的定理陈述如下 定理1 1 2 今y 是一半格， & ：q y 是一族两两不交的半群关于任意 q ，p o l p ，令风，口为品上的同余，垂口，芦：骂2 昂是一满足r 垌余条件的 关系同态假设下述条件也满足 ( a ) 关于任意q y ，触，n 是& 上的泛关系，瓯，口是& 上的恒等映射i ( b ) 关于任意q ，p ，7 y ，o l p 1 ，哝，1 是雪d ，p 和圣口，1 的一个正则结合； ( c ) 关于任意q ，p ，y q 矽2 ，y ，若a & ，c s ，则 ( 9 c 7 s ) a o ”nc 阢口，1 c p t ，1 9 西南大学硕士学位论文 1 3 、l ，群的、i ，格 在s = 叱y & 上定义运算? o ”如下：关于任意a & ，b 昂， 口ob = ( n 嚷，a 卢) ( 6 圣；，。p ) ， ( 1 6 ) 其中，z & 卢且a c h 。，a p z 卯，a p ，6 圣p ，口卢x p a ，叩则( s ，o ) 形成一个半群 称定理1 - 1 2 中的半群( so ) 为半群族 ：q y 】- 的一个加细半格，记作 【y ；，p 。，芦，瓯夕】若对任意q y ，& 都是岁型半群，我们就称( eo ) 是一个少型 半群的加细半格显然，半群的加细半格是半群的半格的特殊倩形 推论1 - 1 3 令s = i v ；& ，风，卢，圣口，卢】是一族完全单半群的加细半格则s 是 一个完全正则半群 推论1 1 4 令s = 【y ；& ，璐，净，吼，p 1 一族半群的加细半格关于任意 o l ，p y ，q 卢，如果a & ，z 函，则 口z = ( o 圣三，p ) z ，a x a = ( o 圣三，卢) z ( o 圣主，口) 证明由定理1 1 2 ，存在y 岛使得 a x = ( o 圣：，芦) ( z 圣蒡，p ) 且z 郇p y p a , p 另一方面，垂p 是昂上恒等映射所以， 簖= ( 8 圣三口) 。 类似可证a x a = ( 口圣三，p ) z ( o 圣三，p ) 口 下面我们给出半群的加细半格的两种特殊情形【1 9 】令 s = 【y ；& ，儿，p ，翻 为半群族 & ：q y ，的加细半格称s 为半群族 ：q y ) 的一个右强 半格，如果关于任意a ，卢v q2p ，r 一同余条件中的( 1 5 ) 加强为：关于任意 a & ，b ，b l ，b 2 品， 6 ( o 圣口b l ，筇) = 6 ( o 圣爱口p ) ( 1 7 ) 对偶地，也有左强半格的概念 引理1 1 5 ( 命题4 3 【1 9 】) 令s = y ；，p 。，口，圣。，卢】是半群族 & ：口y ) 的 加细半格则s 是 ：q y 的强半格当且仅当s 既是 & ：q y ) 的左强半 格又是 & ：q y 的右强半格 从引理1 1 5 ，容易看出，半群的强半格是半群的加细半格的特例 1 0 西南大学硕士学位论文第2 章正则纯正密码u 一半群之间的好同态的结构 2 正则纯正密码u 半群之间的好同态的结构 为了研究正则纯正密码u 半群之间的好同态，我们首先来确定这种半群加细 半格分解的唯一性 2 1 正则纯正密码u 。半群加细半格分解的唯一性 引理2 1 1 9 1 一个半群s 是一个正则纯正密码u 半群当且仅当s 是一族矩 形u 一半群的加细半格 一般地，半群的半格分解，即使是强半格分解，是没有唯一性的例如，每一个 非平凡的半格既是一族平凡半群的强半格，同时也是它自身的强半格，因此，这种 分解是不唯一的但是，正则纯正密码u - 半群关于矩形u 半群的加细半格分解却具 有唯一性 引理2 2 【1 9 1 令s 是一个纯正密码u - 半群定义二元关系夕如下： 矿= 【( z ，y ) s s ：z 。矿( e ( s ) ) 可。) 则夕是s 上的半格同余，且每一个夕类是一个矩形t 半群 所以，我们总可以将一个纯正密码u - 半群s 记作【y ；& 】，其中y 是一个半格， 每一个& 是一个矩形u - 半群 引理2 3 令s = y ；& = l u o a 口】是一个纯正密码让一半群，关于任意 q y ，1 口是的幂等元若a = ( i 口，n ，a 口) ，b = ，即，坳) 昂，则 ( i ) n 乡6 = 争q = p ，入n = p p j ( i i ) 物6 净q = 卢，i 口= 妇j ( i i i ) o 力6 = 争q = p ，i a = j 治，k = p 口 证明( i ) 若。乡6 ，则 ( i 口，钍n ，a a ) ( i a ，1 q ，入口) = ( i a ，牡o ，a 。) 即 ( 西，u p ，p 口) ( i a ，1 口，a 口) = ( 歹卢，u 口，p 口)( 2 1 ) 于是，p q 类似地，我们有qsp ，从而0 1 = p 又由( 2 1 ) 可得，k = p p 反之，假设o t = p ，入a = 脚若e = ( k 。，1 q ，) e ( s ) 使得a e = a ，则p o t 令，= ( 妇，l p ，知) e ( 昂) ，记s e e ( 昂) 为( 妇，1 口，妇) 另一方面， a = a e = ( a s ) e = a ( s e ) = ( 劾，坳，知) ( 妇，1 p ，0 ) = ( 如，即，妇) 1 1 西南大学硕士学位论文 2 1正则纯正密码u 一半群加细、f ，格分解的唯性 因此，白= 知，即f e = ，所以， b e = ( b f ) e = b ( f e ) = b f = b 于是， a e = a = 争b e = b 相反方向的证明类似于n p 6 的证明 伍) 与( i ) 类似 ( i i i ) 显然 口 命题2 4 每一个纯正密码u 半群都能够唯一地表示成一族矩形u 半群的半 格 证明令s = y ；& 】是一个纯正密码u - 半群定义二元关系p 如下： p = ( z ，y ) s s ：( | q y ) z ，y & ) 我们只须证明p = 夕 若( z ，y ) p ，则据1 6 ，z 。? y 。x 。勿y 。因此z 。夕( e ( s ) ) y 。，从而( z ，y ) 夕 反之，若( x ，y ) 夕，则矿夕( e ( s ) ) y 。所以，存在e e ( s ) 使得z 。2e 勿y 。， 于是z 。ze 曰旷据引理2 3 存在q y 使得z 。，y 。& 所以，( z ，y ) p ，即 p = 口 在本节以下部分，我们来确定正则纯正密码u - 半群关于矩形u - 半群的加细半格 分解的唯一性令s = 【y ；& ，p a ，卢，圣。，p 】是一个正则纯正密码u 半群 引理2 5 【1 9 】关于任意a s ，s 上二元关系几定义如下： m = ( z ，y ) s s ：a 。x 。a 。= a 。y 。a 。) ， 则几是s 上的同余关于任意o l y ，a ，b & ，有p d = p b ( 因此，关于任意 a & ，我们可以直接记p a = p 口) 引理2 6 1 9 】关于任意q ，p y 陋p ，) ，澎( 昂) 几，卢 如果我们能够证明，关于任意q ，p y ，o t p ，儿，卢= 儿i 函，同时，吼，口能够 被唯一确定，那么唯一性的问题就确定了事实上，我们有 定理2 7 正则纯正密码珏一半群s 能够被唯一地表示成一族矩形珏- 半群 & ：q y 的加细半格 证明我们分两步来完成证明 1 2 西南大学硕士学位论文 2 1 正则纯正密码u ? 卜群加细j l ，格分解的唯性 ( i ) 关于任意q ，p y ( q p ) ，z ，y 品，若z 几，p 可，则据引理2 6 ，x 。p a ，n y 。 关于任意a & ，我们有 a 。z o a o 。 z 。( o 。圣南 旷( n 。圣匕 据推论1 1 4 据推论1 6 据推论1 6 据推论1 1 4 即m ，卢p a l s 口反之，令z ，y 昂，x p a y 则x 。p 口y 。，于是 o 。哦，卢= q 。西南 = ( 矿垂毛) z 。( o 。圣x 印o ) = a 。z o a o = a 。y o a 。 = ( 0 0 西易) y 。( 口o y 郇y o ) = i a o o a y 。，口 = 口。圣：。8 据引理2 6 据推论1 6 据推论1 1 4 据推论1 1 4 据推论1 6 据引理2 6 从而x p 口，n y 我们得到p 1 s 口几，卢所以p a ，卢= 几i 昂 ( i i ) 关于任意q ，p y ，q2p ，a & ，b 岛，我们有 n 西：，卢= ( o 圣：，p ) ( n o y 。b ，p ) = ( n 圣：，卢) ( 口。圣：，卢) 扩( o 。西墨) 据推论1 6 =( o 圣譬卢) 6 9 ( n 。圣譬口) = a b o a o 据推论1 1 4 很容易看出a o b , p 与b b p a ，j 3 的选择没有关系因此我们证明了每一个圣q ，口都能 够被唯确定口 注2 ，令s = y ；& ，如，p ，圣口，口】是一个正则纯正密码u 半群从定理2 7 的证明 可以看出，关于任意q ，p y ，q p ，a & ，b & ，有 口圣：，口= a b 。a 。， b p 口，卢= z 昂：a 。x 。n 。= o 。虫：口 = z 函：a o x 。a 。= a 。b o a 。 对于完全正则半群，据【1 8 】中的推论5 1 0 ，我们有 推论2 8 每一个正则密码群并半群都能够被唯一地表示成一族矩形群的加细 半格， 1 3 西南大学硕士学位论文 2 2 正则纯正密码u j i ，群之问的好同态 2 2正则纯正密码u - 半群之间的好同态 “好同态”是富足半群中的个重要概念，在半超超富足半群里，我们有 定义2 9 令是两个半超富足半群之间的同态称是好同态若保持z 和未关系 对于矩形u 半群，我们有 引理2 1 0 【1 9 】今s = ixu 人，酽= ，u a 7 是矩形让半群，且 ：i j 7 ，o ：u 叫，矽：a 叫a 7 是同态则如下定义的映射x x ： s叫、 ( i ，口，a ) 一