（基础数学专业论文）态射方程αxαβ和αxβγ的非负定解.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文在具有m o o r e p e n r o s e 逆的a b e l 范畴中，给出了态射方程 暇口。= 口 的非负定解存在的充要条件为方程 a y ；口 有解，以及非负定解存在时通解的表达式 x = 口。( d ) + ( 1 日- - 5 一口) 口棚( 1 b 一口一口) 随后的两个推论较仔细地分析了通解的结构。而第三个推论给出了正定解存在 的充要条件 把这些结果应用于矿除环上的矩阵方程 a x a = b ， 就得到该方程非负定解存在的充要条件为方程 一y = b 有解，以及非负定解存在的条件下通解的表达式 x = a 。b ( a 。) 十( l a a ) w ( i m a 一) ； 并由矩阵的特性以及解的结构，得出了j 的秩的公式、最大秩解和最小秩解， 同时还有正定解存在的充要条件 在范畴上添加一些性质对于较特殊的态射a ，肛，本文给出了方程 罐8 = 7 具有非负定解的充要条件以及通解的表达式同样，将这些结果应用于矿除环 上的矩阵方程 a x b = c ， 就得到该方程非负定解存在的充要条件，以及在有非负定解的条件下通解的表 达式 关键词 a b e l 范畴，m - p 逆，非负定态射，正定态射 i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c e o f 也en o n n e g a t i v e - d e f i n i t es o l u t i o nt ot h em o r p h i s me q u a t i o n 似口= w h i c h i s t h a tt h ee q u a t i o n 缈= 卢i sc o n s i s t e n t i nt h i sc a s e ，ar e p r e s e n t a t i o no f t h eg e n e r a l s o l u t i o ni sa l s og i v e d ： x = a p ( a 。) + ( 1 日一口一口) 踟( 1 口一口一口) i nt h en e x tt w oc o r o l l a r i e s ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo f t h eg e n e r a ls o l u t i o nc a r e f u l l y ； i nt h et h i r d c o r o l l a r y , w eg i v e t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n e eo f t h e p o s i t i v e - d e f i n i t e s o l u t i o n a p p l y i n gt h e s er e s u l t st ot h em a t r i xe q u a t i o n a x a + = bo v e rp d i v i s i o n r i n g 啪g e tt h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h e n o n n e g a t i v e d e f i n i t es o l u t i o nt ot h em a t r i xe q u a t i o n a x a = bw h i c hi st h a tt h e e q u a t i o n a y = bi s c o n s i s t e n t s i m i l a r l y , ar e p r e s e n t a t i o n f o rt h e g e n e r a l s o l u t i o ni sg i v e d ： 卫= a 。b ( a 。) + ( ，。一a 4 ) 阿( ，一彳一一) b y t h ep r o p e r t i e so fm a t r i xa n dt h es t r u c t u r eo ft h eg e n e r a ls o l u t i o n ，w eo b t a i nt h e f o r m u l af o rt h er a n ko f xa n dt h er e p r e s e n t a t i o mf o rt h eg e n e r a ln o r m e g a t i v e d e f m i t e s o l u t i o n so f r n i n i r a a la n dm a x i m a l r a n k r e s p e c t i v e l y a d d i n gap r o p e r t y t ot h ec a t e g o r y , w ea t t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f t h en o n n e g a t i v e - d e f m i t es o l u t i o nt ot h em o r p h i s me q u a t i o n 麟8 = yf o rs o m es p e c i a lm o r p h i s m s 伐，8i y ，f o l l o w e db yar e p r e s e n t a t i o no f t h e g e n e r a ls o l u t i o n a st h e i ra p p l i c a t i o n ，w eg i v es o m er e l e v a n tr e s u l t s o ft h em a t r i x e q u a t i o n a x b = co v e r p - d i v i s i o nr i n g k e y w o r d ：a b e lc a t e g o r y , m p i n v e r s e ，n o n n e g a t i v e d e f i n i t em o r p h i s m ， p o s i t i v e - d e f i n i t em o r p h i s m i i 硕士学位论文 m a s t e r sn i e s i s 第一部分引言和预备知识 1 1引言 1 9 7 6 年，c g k h a t r i 和s 。k m i t r a 在他们的论文 1 中。给出了矩阵方程 a 2 ：4 ”= b( 1 ) 的h e r m i t i a n 非负定通解而后，j k b a k s a l a r y 在其1 9 8 4 年发表的论文 8 中， 给出另外一种通解表达式随着d a i 和l a n c a s t e r 的论文 5 发表，在实数集上 对方程( 1 ) 的讨论也得到了较高的重视2 0 0 0 年，g r s p 在文 7 中，给出了一种 新的h e r m i t i a n 非负定通解表达式利用这种表达式，可以很容易得到方程( 1 ) 的最大秩解和最小秩解并且， 1 1 继续给出了方程( 1 ) 在特定秩下的通解文 2 2 在 7 的基础上进行了推广，讨论了四元数体上方程( 1 ) 的非负定解存在的 充要条件和通解表达式，以及最大秩解和最小秩解 由于范畴论更强调研究问题的整体性、变化性和转化性，从而可以更清晰 地揭示问题的内在结构例如，对m o o r e - p e n r o s e 逆的研究，自从 2 中引进了态 射的m o o r e - p e n r o s e 逆，国内外许多学者在这方面作了较深入的研究 1 0 ，1 1 ，1 4 ， 1 5 ，1 6 ，1 9 ，取得了比较好的结果范畴的方法显示了独到的一面文 1 7 将关 于矩阵方程的某些研究推广到a b e l 范畴，讨论了线性态射方程 舛= 矿 x 妒= y 的解法，有解的充要条件及通解表达式 本文将文 7 ，2 2 的结果推广到具有m p 逆的a b e l 范畴，讨论了态射方程 组口= p 的非负定解和正定解存在的充要条件及通解表达式把这些结果应用于矿除环 上的矩阵方程( 1 ) ，就将 7 ，2 2 中的结果推广到了更一般的情况 文 1 3 研究了更为一般的矩阵方程 m a t = c 的h e r m i t i a n 非负定通解存在的充要条件和通解表达式本文试图解决在范畴 鳓篙羔。 中的态射方程 的类似问题，获得了一些结果 c o c p = 7 1 2 预备知识 设c 是一个范畴，伊：x y ，吵：y - - z 是c 的两个态射，态射的合成按以 下顺序进行：伊l f ，：x z 定义1 2 1 1 0 若对于范畴c 中的任一态射妒：x o y ，存在态射 p ：y 呻x ，满足( 妒) = p ，并且对妒：y 寸z ，有( 妒y ) = y 伊，就称 是 范畴c 的一个对合 定义1 2 2 1 1 ，1 6 设c 是有对合车的范畴，p ：x _ 】，是c 的一个态射， 盍果存在态射：y 斗x 。使得 9 驴7 妒= 妒， 弘7 尹y = y ， ( 矿y ) = 妒妒， ( 卿) 。= 御， 则称妒是妒的关于对合 的m o o r e p e n r o s e 逆，简称m - p 逆，记作妒+ 满足第一个方程的叫做妒的一个卜逆，用伊一表示妒的某一个卜逆 本文所讨论的范畴c 均为具有对合木的a b e l 范畴，且每个态射关于对合 的m - p 逆存在 定义1 2 3 设卢：a - a 是c 中的一个态射，若存在届：a 斗a i ，使得 = 届届，则称是非负定态射若夕还是单位态射，贝称声是正定态射 若态射砘：a i 寸s ，“2 ：a 2 - - s ，p l ：s 寸a l ，p 2 ：s 寸呜，满足 “l p l 嚣1 ，“2 p 2 = 1 月2 ，”i p 2 = 0 ，u 2 p i = 0 ，p i “l + p 2 “2 = 1 s ， 则记 s ，2 ，p l ，p ：) = 4 0 a 2 ，称s 为a l o a 2 的对象由 3 ，对c 中任两个对 象x 、l r ，x o r 总存在。且基本唯一 类似地，若态射“，：a i _ s ，p ，：s 呻a 川f ，兰哟，满足 硕士学位论文 m s t e r s t i i e s i s w ，水，善扣r 乩， 贝u 记 s ，“，p ，1 i ，z = 叟一， 另外，对于矿：x 斗y ，d 劬) 表示伊的定义域，即d ( 妒) = x 引理1 2 4 1 9 设x ，y 是c 中的两个对象， 若妒：x 斗】，是单( 满) 态射则妒是满( 单) 态射： ( 1 j ) = 1 j ： 若妒= k e r ，则妒= c o k ( g ) 引理1 2 5 设卵：肖斗y 是c 中单态射，则 1 9 叩矿是单位态射： 设聃= k e r l 7 ，7 i ：z 斗l ，则存在石：y - 9 x ，雹：y - 9 z ，使得 y ，仍确，而乃，= 工o z ，即满足： 叩石= 1 ，7 l 石i = 1 z ，7 石l = 0 ，刁1 石= 0 ，研+ 乃叩i = 1 r 证：令厅= 叩( 叩叩) 一1 ，舆ur p r = 玎刁( ，7 叩) 一= 1 。令占= 研= 矿( 1 7 1 7 ) 一1 7 ， 贝u5 = 占2 令智l = k c r ，贝0 叩l 刀叩= 0 ，从而叩l 石= 0 由( 1 r 一占) 占= 0 ，贝0 存在 乃：y 斗z ，使得1r s = ，故仇一编= 碣，即霸研= ，7 ( 1 r 一占) = 0 由r l 是单态 射。有叩i 五= 1 z ，r x i = o 此外，石7 7 + 石i 玎l = 占+ l r 占= 1 r 即 ，7 厅= 1 j ，7 i 疗l = l z ，r f r l = 0 ，印1 ，r = 0 ，刀7 7 + 厅i 坪l = 1 r 于是 y ，叩，7 l ，厅，帮l = x o z 对偶地，若叮：x 寸r 是满态射，则刃珂是单位态射 引理1 2 6 1 9 设妒：x - 】，是c 的一个态射，则 p 伊= 0 当且仅当伊= 0 ： ( 卿) + = ( 伊+ ) 矿： ( p + ) = ( 尹) + s l 理1 2 7 设：a _ a 是c 中的一个态射，则是非负定态射的充要 条件为= 届确，其中属是满态射，盯是正定态射 硕士学位论文 m a s t e r s1 7 - b s i s 引理1 2 8 1 7 设p ：x y ，y ：x z 是c 的两个态射，则方程彤= y 有解的充要条件为( k e r 伊) 吵= 0 此时，方程通解为 x = 妒一妒+ ( 1 r 一伊一妒) 孝， 其中f ：y _ z 是任意一个态射 此外，若是满态射，方程通解可表示为 x = 伊2 y ， 其中妒5 = 伊一+ ( 1 ，一伊一p ) 善y 一 引理1 2 9 设伊：j y 是c 的一个态射，则 c o k o = c o i m ( 1 r 一妒一妒) ： ( 黟k e r ( t p 一妒) = i m ( 1 r 一妒一力： ( 萤c o i m ( 1 r 一妒一妒) 口】= c o i m ( 1 r 一妒一妒) 营k e r 8 n k e r ( 妒一伊) = 0 ，其中 0 ：y 哼x 证：设1 r 一9 一p = 河l 刃2 ，口= q 0 2 ，缸2 b = 一，2 分别为1 r 一伊一妒，0 ，刃2 q 的满单分解，且珂l ：y 斗e o ，b ：y 斗s ，扎：e oj e l 由，可2 = k e r ( 妒一妒) 显 然奶，l = c o i m ( 1 y 一矿一妒) 印设v = k e r o f l k e r ( 伊一妒) ，v ：矿呻y ，再设 v 1 = k e r 0 ，v = v 2 v l = v ，矿2 ，贝0 v 3 7 1 ，2 = v 3 6 矿2 0 i = v 2 p 1 0 1 = 0 j 由题设，峨= c o i m ( 1 r 妒一妒) = c o i m ( 1 r 一妒一妒) 印，故“是单位态射 由n 是单位态射，2 是单态射及b j ，2 = 0 ，故v ，= 0 ，从而v = v 3 叮2 = 0 ， 即k e r o n k e r ( _ i v 一妒) = 0 乍若k e r o f l k e r ( p 一伊) = 0 ，即”3 万2 = v = 0 ，则v 3 = 0 设r l = k e r y l ，且 r i ：k 反，则，7 l 万2 b = 仉y i ，2 = 0 由v i = k e r 0 = k e r 0 1 ，则存在 砚：巧- - d ( v 1 ) ，使得r h m 2 = 仉v 1 由v = k e r a ( 7 k e r ( p 一9 ) = v ln w 2 ，存在 r ：巧专矿，使得r i = r v ，r 2 = r v 2 ，则仇= 0 ，即 是单态射又 是满态射， 故 是单位态射由吼n = c o i m ( 1 r 一尹一力刎，所以吼= c o i m ( 1 r 一妒一力印， 即c o l i n ( 1 r 一妒口】= c o i m ( 1 r 一妒一伊) 硕士学位论文 m s t e r sn i e s l s 第二部分主要结论 2 1 态射方程耐晓+ = 芦的非负定解 定理2 1 1 设口：4 斗b ，：o 一4 是范畴c 的两个态射，并且尸= p o p ， 其中p ：a 呻d 是满态射，盯：d 斗d 是正定态射则方程似盯= 口有非负解 的充要条件是方程a y = 有解此时，锨口= 的通解为 x = 口。p ( a 。) + 十( 1 口一口一a ) 0 z 0 ( 1 口- - a 一口) ， ( 2 ) 其中口2 = 货一+ ( 1 口- - c t a ) 8 p 一，占：b 斗d 是任意一个态射： f = ( c o k u ) ( c o k u ) ，“是满足仃= “甜的任意一个态射： 口：b 呻d ( f ) 是任意一个态射 证：若粕是方程甜口= 的一个非负定解，则甜。口= 显然，方程 a y = 有解反之，若是方程掣= 的一个解则缈。= = p o p 令 x o = y 0 ( o r p 。) 一】o y 0 ( o p ) 一】， 显然，是非负定的由于叩+ 是单态射，所以( 叩) ( 叩+ ) 一= 1 。，从而 颤。口= a t y o ( o - p ) 一】仃【y o ( o - p ) 一】。口= b ( o - p ) 一o - ( , t p ) 一】声 = p ( o - p ) ( o - p ) 一盯 ( o - p ) 】( o - p ) p = p o p = 口， 故是方程暇瑾= 卢的一个非负定解。 设x 是方程饿+ = 的一个非负定解，即存在五：b _ c ，使得 聋2 x 1 x 1 令印= k 嚣，则碱铂) ( 瞄) r = 彬翠。= 0 ，且p = c o k 由引理1 2 6 ， 智( 似i ) = 0 于是存在：d c ，使得1 似l = i ，则 p u i “l 。p = ( 呱) ( 甜j ) = 卢= p t t p + s 硕士学位论文 m a 吼r st h e s i s 由p 是满态射，有“i “l = 盯 令“2 = k e ) ，i 殴d ( u 2 ) = e 由r 引理1 2 5 ，存在 p l ：c 呻d ，p 2 ：c e ，使得 u i p t1 1 d ，“2 p 2 = l f ，u l p 2 = 0 ，u 2 p l = 0 ，p l “i + p 2 “2 = l c 令屯= p i ，屯= x l p 2 ，则 甜22 唧l p l 。, o u l p l2 p ， 似32 饿p = 肛l p 2 = 0 由引理1 2 8 ，存在占：b 斗d ，0 ：b 斗e ，使得x 2 = 口。p ，x 3 ；( 1 b 一口一a ) o ， 其中口= 口一+ ( 1 口一口一口) 印一于是一= t ( p i h + p 2 “2 ) = x 2 ”l + b “2 ，从而 x = x 1 x i + = ( 工2 h l + x 3 u 2 ) ( x 2 ”i + 而毫f 2 ) + = ( x 2 1 ) ( x 2 1 ) + ( x 3 2 ) ( x 2 ”1 ) + ( x 2 1 , 1 i ) ( x 3 2 ) + ( x 3 2 ) ( x 3 “2 ) + = 口。p u l ( 口3 p u l ) + x 3 u 2 工2 + 工2 “i “2 z 3 + z 3 “2 “2 x 3 = 口。肛 峨。尸( 口2 ) + + 屯“2 b = 口。p o p ( a 2 ) + ( 1 口一口一a ) o u 2 甜2 0 ( 1 日一a - a ) + ， 其中 ”2 = k i ! i ( u i * ) 等价于“2 = c o k u i ，故u 2 q = 0 ，并且 ”2 “2 + = ( c o k u l ) ( c o k u l ) ，砘= 盯， 于是x 可表示为( 2 ) 的形式 反之，若工= 口。声 。) + ( 1 口一g a ) o f ；o ( 】日口一口) ，其中有态射蠡，使得 口。= d 一+ ( 1 日一a 。口) 印一，盯= u u ，f = ( c o k u ) ( c o k u ) 由方程掣= 有解，则嬲一= 船一缈= a y = 卢，从而粥一p = p 于是 嬲。p = p ，则 积口 = c 瓣“p ( a 。) 口+ 口( 1 8 一口一a ) o r o ( 1 b 一口一口) 口 = 船p o p 似。) 岱。= p o p = 声。 显然 x = 口p u u p ( a 。) + ( 1 8 一口一a ) 0 ( c o k u ) ( c o k u ) o ( 1 b 一口一口) = 【a j 州4 - ( 1 。一口一a ) o ( c o k u ) 口。, o u + ( 1 口一口一a ) 0 ( c o k u ) ， 所以x 是方程麟a = 口的非负定解 推论2 。1 。2 设条件同定理2 。1 1 ，x 如( 2 ) 所示，吼：b e l ，并且g i q 2 是 ( 1 。一口一a ) o 的满单分解令 c l ，”：，“；，p ：，p ；) = d o e i ，万：b 斗c i 且 万= 盯i + q t u ；，则j = c o i m x 证：设“是满足盯= ”“的一个态射令u = ( c o k u ) ，4 = 叫+ p ：9 2 “，则 受墨= ( 口j 口“：+ 9 1 “；) ( p ：“+ p ；9 2 “) = 口2 p “+ q l q 2 “7 = 口。, o u + ( 1 8 一口。口) 觎， 故工= 掰磊万 下证占是满态射，抗是单态射 设_ y = c o k 8 ，令y ，= - ；y 。y 2 = “：_ y ，则 盯。拶l + 吼j ，2 = ( 口。j d 毫+ 吼n ；沙= 咖= 0 由凹1 9 2 = a o 日- - a a ) o = 0 及9 2 是单态射，有a q ，= 0 再由p = p ，有 , o y l = 。, o y i + 叼l y 2 = 0 ，从而吼y 2 = 0 由于p ，q l 均为满态射，故y l = 0 ， y ：= 0 ，于是y = 0 ，即j 是满态射 设玎= k e r s l 由“= ( c o k u ) ，有u t u = 0 ，则 7 驴i 甜甜= r l p j u u + 仞，；9 2 甜= ( ，护：甜+ ，7 p ；9 2 甜) 甜= 叩磊玎= 0 由“= 盯是单位态射，故印：= 0 由卵巩= 0 ，有 ，矽：9 2 “2 ，矽i h + 仞；9 2 u = ，砷= 0 口：，”均为单态射，则聊：= o 于是叩= ，7 ( 一u ：+ p 2 u 2 ) = 0 ，故一是单态射 由和及引理1 2 5 ，4 磊j 是单态射，因此j = c o i m x 推论2 1 3 设x = 口。( 口。) + ( 1 日一口一a ) o r o ( i 口一a 口) ， = 口。p ( a 。) + ( 1 5 一口一口) 岛硪( 1 b 一口一a ) ， 其中口。，f 均相同，且f = ( c o k u ) + ( c o k u ) ，仃= “甜，甜：d 寸e 并设 c o i t a l ( 1 b 一口g ) 岛】= c o i m ( 1 口一口一口) 按照口的商对象的序，有口。p c o i m x c o i m x 。： c o i m x = c o i m x o 当且仅当c o l i n 0 口一口一口) 口】= c o i m ( 1 b 一口一口) 7 证：设( 1 b 一口一a ) o = q l q 2 ，( 1 日一0 r - a ) o o = q o q ：均为满单分解，且 吼：d e l ，吼：d 寸磊，再设 c 1 ，“i ，材：，p ：，p ；) = d o e l ， c o ，“? ，“；，p ? ，p ： = d o e 0 ， 占= 口。删：+ q l u ：，民= 口。? + q o u ：， 由推论2 1 2 ，巧= c o i m x ，磊= c o j m x o 令叩7 = k e r ( 1 口一口一口) ，贝0g o = c o k r l ，叩勺i q 2 = 叮( 1 口一仃一a ) o = 0 故 r l q l = 0 从而存在吼：e o _ 置，使得q l = q o q 3 令妒= p 扣：+ p 2 。q 3 “；，则 皖矿= ( 口。讲+ q o “；) ( p 弘：+ p ；9 3 h ：) = 口2 俐；+ 吼u ；= 万， 所以c o l m x s c o i m x o 由。p = p 及p 是满态射，故口4 p 是满态射，又 印：= 口，傀，；p ：+ q l “；p ：= 口4 p n a 。p c o i m x 因此群。p c o i m x c o i m x o 同，j = c o i m x ，瓦= c o i m x 0 ，氏妒= 万若c o i m x = c o i m x 0 ，则妒 是单位态射由”和= “；p 弘：+ “：p ：吼u ：= q 3 u ；，及“；为单态射，妒为单位态射， 故9 3 为单态射又吼= q o q ，且吼为满态射，则吼为满态射，从而吼为单位态射 因此c o i t a l 0 。一厦a ) o 】= c o i t a l 0 口一口一口) 岛】= c o l i n ( 1 口一8 一口) 若c o i t a l ( 1 口一口一a ) o 】= c o i m ( 1 b 一口一a ) ，贝9 由，c o i m x c o i m x o ，并且 c o i m x osc o i m x ，因此c o i m x = c o i m x o 推论2 1 4 在推论2 1 2 的条件下，下列各条等价： x 是正定解： c o i t a l ( 1 口- - a 一口) 卅= c o l i n ( 1 口一口一口) 且；口有解： k e r 0 c l k e r ( a 一口) = 0 且= a 有解 证：令x l = 口, o u + ( 1 日一口一a ) 0 ( c o k u ) + ，贝0 z = x 1 x l j 由z 是正定态射，故而而。是单位态射，是单态射又 界e r p ) ( 蕊1 ) ( 似i ) 。( k e r p ) + = 0 ， 8 硕士学位论文 m a s t e r ls t h e s i s 由引理1 2 6 ，( k c r p ) ( a c c l ) = 0 ，从( k e r p ) a = 0 由引理1 2 8 ，方程p y = 口有 解占，玩，妒的意义同推论2 。】3 ，磊矿= 占。 由x 是单位态射及j = c o i m x ，则占是单位态射，从而民是单态射：再由 瓯= c o i m x 。，8 0 是满态射，于是民是单位态射，因此妒是单位态射，从而 6 0 = c o i m x ，即c o i m x = c o i r a x n 由推论2 1 2 ，即得 c o i m ( 1 8 一口一a ) o 】= c o i m ( 1 日口一口) 毒设r h = k e r x t ，则 ( 编吐p ) u u = ( r h a 2 p ) u u + 卵1 ( 1 b a a ) o ( c o k u ) “= 叩1 x l “= 0 由”“= d r 是单位态射，故r l 口。p = 0 q l , q 2 同推论2 1 3 ，则 r l q q 2 ( c o k u ) = r i ( 1 口一口一a ) o ( c o k u ) = 研葺一醌口。= 0 ， 故 r h q l = 0 设口= q 口2 是满单分解，由引理1 2 9 ， q i = c o i m 【( 1 日一口一a ) o 】= c o i m ( 1 口一口一口) = c o k t z ， 则a 2 = k e r q l ，从而存在态射拼，使得仇= 叩；口2 由口l 口2 口一口= 吼，则 口2 口一口= 口2 ，于是a 2 口。p = 口2 口一p + a 2 ( 1 口- - ：t 一口) 印一p = 口2 口一p 所以 啸口2 口一，= 可i 口2 口p = r l a 。p = 0 又p y = 瑾有解，不妨设甄是p y = o l 的一个解， 则啸口2 = 啸口2 口一口= 硝口2 口一p y o = 0 ，由口2 是单态射，故叩产o ，即x 是单态射 由引理1 2 5 ，x = 五一是正定态射 由引理1 2 9 即得 9 篙篙。 2 2 态射方t z x f l = ，的非负定解 在这一节中，假定在范畴c 中对任意聆个对象4 ，a ：，以，存在对象彳和 态射a 。：彳，斗a ( i = 1 , 2 ，斤) ，使得 a ，a ，口。，1 s i ，1 ) = a 1o 彳2 0 0 4 定理2 2 1 设 4 ，“1 ，“2 ，地， 2 ) = a i o a 2 ，舌：a 寸a 满足孝= 孝，则善非 负定当且仅当下列条件成立： “，专材i 非负定： ”2 c u2 + 一( “2 f 甜1 ) ( “l 善“i ) + ( ”l 善 2 + ) 非负定： k = k c r ( “l 勿】) ，k ( u i 毒”2 ) ；0 证：j 若善：爿一彳非负定，则存在叩：a 斗b ，使得孝= 柳 吨乒l = “t ( 可，7 ) 砘= ( “i 玎) ( ，7 甜i + ) = ( “i 刁) ( “l ，7 ) 非负定： 由( ”i 孝“l ) + = 【( 1 玎) + 】( “l ，7 ) + ，故有 “2 掌”2 ( 2 善”i ) ( “1 善甜i ) + ( “l 孝”2 ) = 球2 ( 7 7 7 7 ) 掰2 一f 甜2 ( 玎，7 ) 村l 】“”l 叩) + 】( 。叮) + 甜l ( 叩彳) “2 。】 = ( u 2 叩) ( “2 叩) 一( “2 叩) ( ”l ，7 ) 【( ”l ，7 ) + 】( “l 叩) + ( “i 叩) ( ”2 叩) = 扣2 们 2 们一扣2 功( 们+ ( “l 们( “2 功 = ( 2 功【1 自- ( u l 功+ 似i 功】( ”2 彬 = m ：叩) 。一“。功+ q 啦】【l 。- ( u 。协+ 0 。印) 】0 ：野) = 0 2 叩) 1 。一( 功+ ( 功儿0 ：，7 ) 1 。一 。功+ ( 吨，7 ) 】 非负定； k = k e r ( “1 和i ) ，则( 觚l 叩) ( 妇i 玎) = 七( “i 和i ) = 0 ，k u l 叩= 0 ，从而 | i l 弘2 ) = ( 勋l ，7 ) 叩”2 = 0 仁设尹= “l 孝“l ，0 = “l 掌“2 ，= “2 c u2 + ，贝0 舌= ( l “l + “2 “2 ) 菩( 氓“1 + 2 ”2 ) l o 由， 由， = ”i l 豇1 “l + 2 2 如l i + “l l 铷2 “2 + 2 “2 乒2 h 2 = 甜l 砬p u i + u 2 o ”i + i o u 2 + ”2 枷2 存在锅：a i b i 使得妒= 吼吼， 庐一0 妒+ 0 非负定，于是存在伊2 ：a 2 一b 2 使得 一0 伊+ 0 = 9 2 仍 由，( k e r p ) o = 0 ，再由引理1 2 8 ，存在y ：a i a 2 使得p j ，= 0 ，于是 目妒+ 0 = ( 秽) + 妒+ ( 仍，) = _ ) ，御+ 秽= y = j ，伊l 伊i j ， 令b io b 2 = 曰，v l ，v 2 ，v i ，v 2 ) ，卣= 伊l v l + ”2 ( j ，仍) v i + ”2 妒2 v 2 ，贝0 善l 晶= l 吼v 1 ) ( 吨+ 妒l v l ) + ”2 ( ) ，p t ) v t ( 地妒i v i ) + “2 p 2 v 2 ( “i 妒t v i ) + ( 砘妒i v l ) 【“2 + ( y 妒1 ) v l 】+ “2 ( j ，伊i ) v i “2 + ( j ，吼) v i 】+ “2 妒2 v 2 【 2 ( y 妒1 ) v i 】+ + h i + 敢v l u 2 2 v 2 1 + “2 ( y 妒1 ) v lm 2 0 妒12 v 2 r + “2 妒2 v 2 【“2 妒2 v 2 r = h l 吼v lv i p l 嘶+ ”2 ( y 伊t ) v lv l p i 撕+ “2 妒2 v 2v 1 + 伊l “l + ”i 伊i hh c t y “2 + “2 ( y 伊t ) v tv t 妒l ) w 2 + u 2 * q 2 v 2v l + 妒y u 2 + u i 伊l hv 2 仍“2 + 甜2 ( j ，妒1 ) v lv 2 仍“2 + ”2 妒2 v 2v 2 妒2 “2 = “i + 妒“t + ”2 妒l 吼) 地+ 0 + u t 。ln y u 2 + “2 y + 纸吼+ ) w 2 + 0 + 0 + o + ”2 矿2 伊2 。“2 = ”1 妒“i + u 2 ( y 妒) “1 + q 呼可俐2 + u 1 + y 纯吼y “2 + u 2 + 妒2 伊2 + “2 = “1 妒”i + “2 口q + + 6 k2 + “2 口妒+ 0 “2 + “2 妒2 伊2 “2 = u l * 擘，”l + ”2 口”l + 甜t i 鬼2 + ”2 加2 = 善， 所以，孝非负定 定理2 2 2 设 x ，q ，v 2 ，v 1 ，v 2 + = a i o a 2 ， z ，w i ，w 2 ，+ ，w 2 ) = 4 0 a 3 ， y ，“f ，甜，1s f s 4 ) = a lo a 2 o a 30 a 4 口l ：x 斗x ，口2 ：y 斗y ，吼：z 斗z 均 可逆，p = q + 嘶+ v 2 ”2 ，厂= u i w i + 蚝w 2 若口= e 口2 ，= 口2 + 丘3 ，那么态射 方程口x 夕= ，有非负定解当且仅当下列条件同时成立： i l 硕士学位论文 m a s t e r s1 1 t e s i s 设珀= h ( a t 一1 y 日q - j ) ，则以非负定： 设，2 = v i ( 口1 - 1 y o r 3 - t ) w 2 ，3 = v 2 ( 口i - 1 7 a 3 - i ) h ，贝4 ( k e r y i ) ，2 = 0 ，( k e r y t ) ，3 = 0 证：j 若方程岱x 声= ，有非负定解而f 4 - i jx o = 一，则 口l - i ，协3 = ( 2 1 - i ( c o ) = e 口2 x o 口2 f ，l = v l 1 - 1 彬3 1 ) w l = v le 口2 x o a 2 * 厂+ = u ia 2 x 0 1 2 2 “l = 科lc r 2 x lx f 口2 糕i = 甜li 馐2 x i 和i 口2 x 1 ) 非负定： ，2 = v l 陋1 - 1 y a 3 - i ) w 2 = v ie 1 2 2 口2 厂w 2 = ”l a 2 x o 口2 = “it g t 2 x l 工i 口2 “3 = 甜tj 工l 3 口2 工1 ) ， ，3 = v 2 以i - i ，愤3 1 1 ) w i = v 28 口2 口2 。厂w 1 + = “2 口2 x o 口2 “l = ”2c 。2 x l x l 口2 “l = “2c 。2 耳l ( “1 口2 x 1 ) ， i 哇1 - t ( k e r y l ) ，1 = 0 ，于是( k e r y i ) ( 均x 1 ) = 0 ，从而 ( k e r y l ) ，2 = ( k e r y ) “i 口2 x l ( “，1 9 2 x i ) + = 0 ， ( k e r y l ) y 3 = ( k e r y i ) “i 口2 x l ( ”2 口2 x 1 ) = 0 仁令 乃= l - i y o q 一1 ) w 2 ，扎= ，4 一，3 + y 2 ， ( s ，口f ，口，2 i s 4 ) = a 2 国“；0 4 4 ，口= ，3 + 口2 + ，2 口3 ， 妒= 口2 ( ，3 y l + ，3 + ，o y o ) 口2 + 口2 y 4 口3 + 口3 y 4 口2 + 吩 y 2 。，i + ，2 + y o ( ，。y o ) + 凡】如， 则 o y i + 口= ( ，3 a 2 + ，2 a ，) y i + ( ，3 口2 + ，2 n 3 ) = 口2 以乃+ 儿a 2 + 乃+ ，2 + y i + ，3 + 口2 + 口2 儿y l + ，2 口， + 口3 ，2 ，l + ，2 口3 ， 一口n + 口= 口2 口2 + 口2 几q + a 3 n 。口2 + 口3 y o ( ，o y o ) + a 3 1 2 一口3 ，2 ，l + ，3 口2 一口2 ，3 ，l + ，2 口3 = 口2 ，。r 。口2 + 口2 ( y 4 一，3 ，l + ，2 ) 口3 + 口3 ( y 4 一，2 ，i + y 3 ) d 2 + 口3 y o ( ，o t o ) + y o 口3 = a 2 y 。r o 口2 + 2 。，o0 3 + a 3 y o + 口2 + 口3 y o ( ，。，。) + ，o a 3 i 令= a 2 ，oa 3 + a 3 ，0 4 - ，o 口3 ， 则 彬= 拉2 ，o 矗3 口3 。，o 口2 + 口2 ，o 口39 3 y o + ，。d 3 + d 3 r o + ，o 口3 以3 y o 口2 + 口3 ，o + y o d 3 口3 y o + y o 3 + = f i , 2 ，o y o 口2 + 0 2 ，o 码+ a 3 ，oa 2 + 0 3 ，oy oy o ，o 口 = 口2 y 。y 。口2 十口2 y 。口3 + 口3 ，。口2 + 口3 y o ( y o y o ) + ，。口3 ， 故 妒一口n + 口= 彬 取6 1 = 蚝，b 2 = 口2 “2 + 吒”3 + q + ，于是 b , b 2 = 0 ，b 2 b i 0 ，b i b l = q “= 1 ， b 2 b 2 。= ( 口2 “2 + 口3 “3 + 口4 ”4 ) ( 口2 “2 十口，“3 + 口4 “4 ) = a 2 a 2 + a 3 龟+ 口4 a 42 1 s ， b l b l + 6 2 b 2 = t l * q + ”2 ”2 + 3 ，+ “4 ”4 = 1 r 即 r ，b t ，b 2 ，反，如 = a to s 。 令y = 6 l n b l + 6 l g b 2 + 6 2 0 b l + 6 2 加2 ，则b i y bi = ，i 非负定， b 2 y b2 一( 6 2 y b i + ) ( 6 l y b l ) + ( 6 】y b2 ) = 一目n + p 非负定， k e r ( b t y b l ) 】( 饥y b 2 ) = ( k e r7 1 ) 口= ( k e r r