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若干l a 群及一类特殊p 群自同构群的结构 摘要 本文研究了若干类l a - 群和一类特殊p 一群自同构群的结构。利用自由 群的方法，即用生成元及定义关系和扩张理论推导了若干l a - 群的新系列， 用群的扩张理论及自由群的方法证明了满足这些定义关系的群的存在性， 并用v a n - d y e k 定理验证了所定义的群是l a 一群。利用全形及半直积的方法 给出了一类特殊p 一群自同构群的结构。主要结果如下： 第一章介绍了有限群特别是自同构群的研究背景和现状。 第二章讨论了若干类l a 群的新系列。首先利用已知的p 4 阶群的结构 猜想了一些新的定义关系，然后利用自由群的方法得到了这些群的构造和 存在性，并得到了所构造的群的一些性质。最后我们利用自同构群的知识 验证了所有这些群是l a 群。 第三章假设g 是p 5 阶有限群，对于群g 具有一个循环极大子群，给 出了它们所有互不同构的类型；利用半直积和全形的概念，得到了具有循 环极大子群的p 5 阶群的自同构群的构造，同时也验证了具有这样性质的群 是l a 群。所应用的方法可以用于解决所有具有循环极大子群的有限p - 群 及自同构群的构造。 关键词：生成元定义关系扩张理论自同构群l a - 群半直积 分类号：0 1 5 2 l a g r o u pa n dt h es t r a c t o r eo fa u t o m o r p h i s m g r o u p so fs o m es p e c i a lp g r o u p s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i nr e s e a r c hs o m en e w sl a - g r o u p sa n dt h e s t r u c t u r eo fa u t o - m o r p h i s mg r o u p so fs o m es p e c i a lp - g r o u p s b yu s i n gt h e m e t h o do ff r e eg r o u p s ，t h i si st os a y , g e n e r a t o r sa n dd i n f i n i n gr e l a t i o n sa n d e x t e n s i o nt h e o r e ma n a l y z es o m en e ws e r i e sl a - g r o u p s t h ee x i s t e n c eo ft h o s e g r o u p si sp r o v e db yu s i n gt h em e t h o do fe x t e n s i o nt h e o r e ma n df r e eg r o u p s ， w h i c ha r ei na c c i d e n c ew i t ht h el a - c o n je c t u r e t h es t r u c t u r eo fa u t o - m o r p h i s m g r o u p so f s o m es p e c i a lp - g r o u p si sa n a l y s i s e db yt h em e t h o do fh o l o m o r p ha n d s e m i - d i r e c tp r o d u c t t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： c h a p t e ro n e w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dt h ec u r r e n ti n v e s t i g a t i o n o fi nt h i st h e s i s c h a p t e rt w o t h ea n a l y s i s o fs o m es e r i e sn e wl a - g r o u p s a tt h e b e g i n n i n g ，w ea s s u m es o m en e wd i nf i n i n gr e l a t i o n sb yt h ed i n f i n i n gr e l a t i o n s o fi g i = p ，a n dp r o v ep r o p e r t yo fc o n je c t u r eg r o u p s ，w eo b t a i ni t ss t r u c t u r ea n d e x i s t e n c eb yf r e eg r o u p s a tl a s t ，w eo b t a i na l lt h o s eg r o u p sa r el a - g r o u p sb y m e a n so ft h er e s u l t so fa u t o m o r p h i s mg r o u p c h a p t e rt h r e e l e tgb ea f i n i t ep g r o u p ，i g i = p 5 t h ec h a r a c t e r i s t i c o ft h ep r e c i s es n l l c t u r eo ft h ea u t o - m o r p h i s mg r o u p so f g r o u p so fo r d e r w h i c hh a v ec y c l i ca n dm a x i m a ls u b g r o u p s ，i sa n a l y s i s e db yt h em e t h o do f h o l o m o r p ha n ds e m i d i r e c tp r o d u c t a tt h es a m et i m e ，w es h o wt h a tt h eg r o u p s w i t ht h e s ep r o p e r t i e sa r el a g r o u p s i ta l s oh a sr e a lv a l u e st ot h ea b s o l u t e s o l u t i o no ft h ef a m o u sl a - c o n je c t u r e k e yw o r d s ： g e n e r a t o r s ；d i n f i n i n gr e l a t i o n s ； e x t e n s i o n t h e o r e m ； a u t o m o r p h i s mg r o u p ；l a - g r o u p ；s e m i - d i r e c tp r o d u c t 1 1 i ( m ，刀) x 暑y ( p ) 符号说明 整数m ，力的最大公因数 x , y 模p 同余 【口，b 】 口，b 的换位子 k 川= 口，6 ，嶝i - i 学卜一数l卜lj a u t ( g ) 或a ( g ) i g i o ( a ) g q = 竿卜2 z ( g ) c g ( h ) g ( ) q 。( g ) = ( 口g i 口，= ) c ( g ) 有限群 群g 的自同构群 群g 的阶 元素a 的阶 群g 的导子群 群g 的中心 群日在群g 中的中心化子 群何在群g 中的正规化子 群g 的幂零类 模p 的原根最小正整数( g 产1ml ( m o d p ) ) 模p 的二次非剩余的最小正整 v 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 瞰 谚卺年6 具毛b 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： “口时发布 口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 糍：阳即躲到圣妨炒牌加日 广西大掌司e 士学位论文( 2 0 0 8 ) 第一章绪论 1 1 群及自同构群和l a 一猜想的研究进展 有限群论是代数学领域最古老，最悠久的分支之一，也是最有研究价值的一个分支。 它起源于l a g r a n g e ( 1 7 3 6 1 8 1 3 ) ，r u f f m i ( 1 7 6 5 1 8 2 2 ) ，g a l o i s ( 1 8 1 1 1 8 3 2 ) 研究代数方程根式 解理论的工作。这个时期的群是由多项式的根组成。事实上，在十九世纪的大部分时间 里，所有的有限群都是指有限置换群。而有限群论的基本思想是由这些早期的群论工作 者以及他们的继承者c a u c h y ( 1 7 8 9 1 8 5 7 ) ，以及s y l o w ( 1 8 3 2 1 9 1 8 ) ，j o r d a n ( 1 8 3 8 1 9 2 2 ) 等 发展起来的。 抽象群的概念是最先由c a y l e y ( 1 8 2 1 1 8 9 5 ) 认识并提出的，但是直到d y c k ( 1 8 5 6 1 9 3 4 ) 在介绍群的表示时，抽象群理论的一些概念才被广泛接受。在f r b e n i u s ( 1 8 4 9 1 9 1 7 ) ， b u r n s i d e ( 1 8 5 2 1 9 2 7 ) ，s c h u r ( 1 8 7 5 1 9 3 6 ) t 作的推动下，有限群的理论达到了它的第一个高 峰时期。1 9 2 8 年后，h a l l 、w i e l a n d t 为有限群做出了新的决定性的贡献而b r a u e r 则在 群表示论的领域里做出了决定性的贡献。 有限群论有着悠久和丰富的历史，它是现代代数学领域中最具代表性的一个分支， 随同c a l o i s 理论一起，为了这一理论的需要而产生的，一直以来，群论在许多专家学者 的研究工作中得到了蓬勃的发展，并且形成了许多新的方向，比如：群流形理论，群类 ( 也就是抽象群的性质) 理论，自同构群和群偶理论等。在这些理论中，自同构群的研 究一直吸引了许多学者去探索，然而，一般要给出一个已知群的自同构群的性质是非常 困难的，即使是只给出自同构群的阶也是一项十分艰难的工作。 然而，在群论的众多分支中，有限群无论从理论本身还是从实际应用来说都占据着 更为突出的地位。同时，它也是近年来研究最多，最活跃的一个数学分支。最近的2 0 多年来，经过很多数学研究者的努力，在有限群中取得一连串的突破，并最终在八十年 代初解决了著名的有限单群分类问题。这项重大的科学成果的得来是非常不容易的，是 无数群论工作者长期的艰苦努力的结果。他开辟了群论研究的新天地。 代数学的基本问题之一就是决定由某些公理定义的代数系统究竟有多少个互不同 构的类型，即所谓同构分类，对许多代数系统这个问题已经基本解决。比如：任意域上 给定的n 维线性空间彼此同构。这实际上就是域上有限维线性空间的同构分类。它告诉 我们，从同构意义上讲，任意域上给定维数n 的线性空间只有一个。又比如给定正整数 1 1 ，任意两个1 1 阶循环群彼此同构。即，从同构意义上说，n 阶循环群只有一个。这实际 上就是有限阶循环群的分类定理。类似例子还有很多。基于同样的想法，c a l a y 在给出 广西大掌硕士掌位论文( 2 0 0 8 ) 抽象群的定义以后，明确提出了关于一般n 阶有限群的同构分类问题。和循环群的情况 迥然不同，人们发现群的同构分类是异常之复杂。为了解决这个问题，长久以来众多数 学家做了大量的工作，得到了有限群构造定理。因此描述一个群的结构成为群论研究的 基本问题。1 9 8 0 年，有限单群分类定理完成。至今为止的二十多年中，可解群的研究有 了重大的发展。群类的迅速兴起，开拓了可解群的新领域，同时也提供了新的研究方法。 另一方面，确定一个群的可解性以及描述具有特定条件的可解群的结构，仍然是群论研 究的重要问题。因此，有关这个方面的许多新的研究课题不断被提出，形成一个颇具特 色的研究热点。 关于有限p 群的研究也已经具有一个悠久的历史。众所周知，在有限群理论中，p ” 阶群的分类问题十分重要。因为无论任何有限群的研究最终都可以归结为有限p 群的 问题，可见p 群在群论研究中的重要性。对于p 为奇素数，r o d u e yj m a e s 已经给出了 小于等于p 6 阶的p 群的完整分类，并确立了p 群的基本理论。p 7 阶群的完全分类也 已经由e a o b r i e n 和m r v a u g h a n - l e e 完成。分类这些有限群的主要困难在于解决同 构问题，这是因为计算过程相当复杂。在p h i l i p h a l l 的研究中，给出了具有一个循环极 大子群的有限p 群的分类和仅有一个p 阶子群p 群的结构。h o l d e r 给出亚循环p 群的 一个定理以及b u r n s i d e 关于p 群的基本定理都是比较经典的结果。p h i l i ph a l l 在文献 【1 3 1 - 【1 5 】中引入正则p 群的概念。n o r m a nb l a c k b u r n 在文献【1 0 】、【1 5 1 确立了p - 群的极 大类理论，并给出了关于p 群的许多定理。a v i n o a mm a n n 在文献 1 0 】中进一步研究了 正则p 群，确定了正则p 群的幂结构等问题。 研究有限群归根到底是决定有限单群到探索扩张理论以及求一群的自同构群这三 方面的根本问题，由此可见研究自同构群的重要性。由于群g 的某些性质在很多情况下 对自同构群是不一定成立的，因而研究自同构群也有它独特的一面。类似于群的阶我们 可以得到：并不是所有给出生成元及定义关系的有限群都能通过计算求得它的阶，更不 用说它的自同构群的阶了，而对某些特殊p 群研究并给出它们的阶及自同构群的阶和 结构是可能的。 究竟哪些群可以作为有限群的自同构群? 这是有限群论特别是自同构群理论中最 重要的问题。因为群论在实际应用当中( 如理论物理，量子力学，量子化学，结晶学， 密码学等方面) 都要用到这方面的结论。因此在这些方面国内外的许多专家学者都在努 力地进行着研究和探讨，得到了许多有价值的成果。 2 广西大掌硕士掌位论文( 2 0 0 8 ) 1 2 自同构群及l a 一群的研究现状 关于什么类型的p 群可以作为有限群的自同构群，许多专家学者给出了一些有价 值的结论。我们需要了解的主要有： 1 9 8 3 年d m a c h a l e 证明了p ”0 以4 ) 不能作为有限群的自同构群，其中p 为奇素 数。 1 9 8 8 年m j c u r r a n 利用p 5 阶群的分类定理证明了不存在有限群g 使得 l a u t ( g ) i = p s , p 为奇素数，并证明了当p 为奇素数且0 - 1 ，3 ) = l 有且仅有一个p 5 阶群使 得l 彳甜( g ) i = p 6 ，这就说明了存在群g 使得l 彳斫( g ) i = p ”有解的最小整数n 是6 ，p 为奇 素数且( p 一1 ，3 ) = l 。 1 9 8 9 年，俞曙霞教授和班桂宁教授利用p 4 阶群的完整分类独立于m j c u r r a n 的证明 了不存在群g 使得ia u t ( g ) l = p 5 ( p 为奇素数) 。 1 9 9 4 年，班桂宁和俞曙霞教授证明了存在p ”群使得卜4 “，( g ) | = p ”1 ，这里p 为奇素数， 贝i j 尼6 。 对于a u t ( g ) 非循环的情况，1 9 9 0 年陈贵云证明了：设p ，咿是素数，r p q 。 若ia u t ( g ) l 硼r ，则r = 2 ，q = 2 p + l 且给出了g 的构造。 1 9 9 4 年，李世荣证明了不存在有限群g 是使得a u t ( g ) 的阶为奇数，在这里w ( i a u t ( g ) i ) 4 ，这里w ( 妒口i ，l l p l u l p 2 “p ，。 对于a u t ( g ) 为交换p 群的情形，1 9 8 3 年d m a c h a l e 证明了不存在有限群g 是使得 i a u t ( g ) l 为p ”阶交换群，这里”7 ，刀是自然数，p 为奇素数。另外，j o n a h d 和 k o n v i s s e r m 己于1 9 7 5 年证明了存在p 8 阶群，使得a u t ( g ) 为p 1 6 阶交换群，p 为奇素数 世 寸o 1 9 9 0 年以来，班桂宁教授和俞曙霞教授在这方面取得了一系列的突破。他们解决了： 能充当有限群的自同构群的所有最小阶交换群，即不存在有限群g 使得la u t ( g ) i 为 小于p 8 的交换群：接着又证明了不存在有限群g 使得ia u t ( g ) l 为小于p 1 0 的交换群； 进而又证得了不存在有限群g 使得ia u t ( g ) l 为小于p 1 1 的交换群。1 9 9 6 年，他们又完 全解决了关于p 一群作为自同构群的猜想( 1 ) 不存在群g 是使得ia u t ( g ) i - - i g i - - p 6 ( 2 ) 当p 暑l ( m o d 3 ) 时，p 群作为有限群的自同构群的最小阶为p 7 ( 3 ) 3 群作为 有限群的自同构群的最小阶为3 9 。关于自同构的研究，国内外许多群论的专家学者还在 探讨一些新的途径，不断取得新的成果。 3 广西大掌硕士掌位论文( 2 0 0 8 ) 对自同构群的阶的计算也在分类的群的研究中得到了发展，在过去的一些硕士论文 中分别给出了阶小于p 7 的有限p 群的自同构群的阶，这些结果为我们研究自同构群的 性质提供了一些可行性方法，为我们的研究开阔了思路。 基于同样的思想，人们也一直在关注l a 猜想的解决，在这方面国内外的一些学者 们作出了许多著名的结果，然而，都没有得到完全彻底的证明。d a v i t t ，e x a r c h a k o st ， 俞曙霞、李世余、班桂宁等。利用群中心和中心商的性质证明很大一部分有限群都是 群。也就是说距离l a 猜想完全解决越来越近。于是我们在已有这些文献的基础上 希望在这些方面做进一步的研究。本文的主要目标就是能够找出更多的有限群符合猜想 的条件，以便为猜想的完全证明创造更加完备的基石。 关于换猜想就是：阶大于p 2 的有限非循环p 群是阶群，即群g 的阶是自同构群 阶的因子的群。人们首先证明了对于交换p 群和一些特殊有限p 群成立。1 9 7 9 年， t h e o d o m se x a r c h a k o s 证明了对于另外一类非交换p 群也成立d a v i t t 证明了 i i p 4 的有限非交换p - 群是l a - 群a1 9 9 3 年，俞曙霞、班桂宁进一步证明了1 卜p 5 的有限非交换p 群是队群。1 9 9 4 年。并利用有限p 群的某些子群的性质给出了几类 非交换的博群。班桂宁、李世余等给出了咻群的新系列见【2 2 】接着在1 9 9 4 年俞曙霞、 班桂宁【2 0 1 又证明了中心循环且中心商是p 5 的有限- 群是博群。 本文所用到的方法是在已有文献的基础上，运用自由群及扩张理论、生成元、定义 关系及数论及组合数学的方法来确定群的结构，进而确定这些群的自同构群的结构并计 算相应的阶。验证我们给出的那些群是否符合擤猜想的条件，即判断是否为群。 所以，对自同构群的研究进而为解决队猜想创造有利的条件是很有实际意义和学 术价值的。 1 3 本文的工作 对一类p - 群的自同构群的研究，利用已有的有限p - 群构造一类新的有限群使得它 们符合换猜想的条件，从而验证它们是博群。首先利用已知的一些有限p 一群的生成 元及定义关系，猜想另外一些定义关系，即利用已知的定义关系中参数的一般化，再研 究这些生成元及定义关系做成的群的性质，利用群的扩张理论去验证我们所构造的群的 存在性，主要就是找出适当的扩张函数。如果这样的群存在，那么利用自由群的方法( 主 4 广西大掌硕士掌位论文( 2 0 0 8 ) 要是v a nd y e k 定理) 证明所存在的群的定义关系与我们的猜想一致。如果存在的困难较 大，我们可以通过增加限制条件，添加设置来考虑。接下来应用有限群的性质( 幂零性、 特征子群、正则性等) 、同余及组合数学的方法确定这样的群的自同构群的结构并计算 相应自同构群的阶。由前述定义就可以确定这样的有限群是否符合睥猜想的条件，从 而判定他们中在什么样的条件下所构成的群是l a 群。接下来我们应用全形及半直积的 方法，通过自同构群的阶来确定其结构。 2 1 引言 第二章若干类l a 一群 如果群g 的阶整除其自同构群a ( g ) 的阶，群g 称为l a 群。l a - 猜想是指：阶大 于p 2 的有限非循环p 群g 是l a - 群。l a - 猜想是自同构群研究中的一个重要问题，至 今已证明了相当一类p - 群是l a - 群，但是l a - 猜想的完全解决还是一个难题。 有限群主要有三个大的问题：一是单群的分类问题，这个问题已经在上世纪八十年 代初基本解决。二是关于群的自同构问题，一些群的自同构群也已经给出。第三个是群 的扩张理论，因为单群的分类问题的解决，使得他成为研究群的一个重要工具。研究的 主要技术可以从以下方面考虑：一、自由群技术：对于给定群g ，找出群g 的关系集s ， 证明f 兰g ，主要应用v a nd y e k 定理。二、对于由定义关系给出的群g 求a ( g ) ， ，o 可利用计算满足定义关系的生成集从而得到a ( g ) 及其a ( g ) 阶。三、扩张技术：用 s c h r e i e r 扩张理论证明群g 的存在，用一般的方法也就是利用g 群的一些性质( 参考文 献 1 9 】) 或者循环扩张的方法( 参考文献【2 6 】) 。 本章通过自由群和扩张理论的方法给出了一类新的l a 群系列。 2 2 自同构群的一些基本概念 有关自同构的问题在有限群的研究当中是一个重要的方面，是有限群三大研究核心 之一。对有限群自同构群的阶的问题，一些具有特殊性质的有限p - 群的阶以及它的自 5 广西大掌硕士掌位论文( 2 0 0 s ) 同构群的阶的计算，已经取得了许多成果。这对有限群自身的研究具有重要的参考价值。 定义2 2 1 【1 6 1 设g 是有限p 群，如果g 的阶整除其自同构群的a ( g ) 阶，则称g 为l a - 群。 引理2 2 2 i l o 】设n 2 ，称p ”阶群g 为最大类p 群，若4 g ) - 万一1 。 引理2 2 3 【1 0 1 设n 2 ，称p ”阶群g 为最大类p 群，则： ( 1 ) l g , g , + 。l = p ，i = 1 ，2 ，n - 1 ( 2 ) 对i 2 ，g 。是群g 中唯一的p ”。阶正规子群 ( 3 ) 若 r 雯，且i g 1 p 2 ，则g 亦为最大类p - 群 ( 4 ) 对于o i 疗一1 ，有z ，( g ) = g ，卜。 引理2 1 4 1 10 1 设g 为非交换p - 群，z ( g ) 循环。 ( 1 ) 若c ( g ) _ 2 ，则2ii a u t ( g ) l ； ( 2 ) 若i g z i s l 和乞l ，则g 的中心自同构群的阶为： 1 4 ( g ) l - p 口，其中口= z n i n ( 碍，) 。 i j 引理2 2 6 【1 6 1 阶大于p 2 的有限非循环交换p - 群是l a 一群。 引理2 2 7 【1 6 l 满足以下条件之一的阶大于p 2 的有限非循环p 群是l a - 群： ( 1 ) g 的幂零类f ( g ) 2 ； 环群； ( 2 ) g 是p 交换p 群； ( 3 ) g 或g z ( g ) 是亚循环群： ( 4 ) g 有极大类或g 有极大类正规子群n 使得g n 为初等交换群或为p 2 有限循 ( 5 ) i g z ( g ) i5p 4 ； 6 广西大掌硕士掌位论文( 2 0 0 8 ) ( 6 ) z ( g ) 术( g ) ； ( 7 ) ( g ) 是循环群。 引理2 2 8 1 叼设有限p 群g 是非平凡子群何和交换群彳的中心积，如果h 是l a 群， 则g 是l a 群。 引理2 2 9 【1 叼满足下列条件之一的群是l a 群： ( 1 ) p 2 ，g 的每一交换特征子群是循环的； ( 2 ) p 3 ，g 的每一交换正规子群至多二元生成： ( 3 ) p 3 ， g i = 少，存在一个，- ( 2 ，忍一2 ) 使g 的p 7 阶子群至多二元生成： ( 4 ) g 的每一真子群均为亚循环群。 引理2 2 1 0 n 0 1 非交换p 群之以其中心或换位子群为模的商群，其阶必能被p 2 整除。 引理2 2 1 1p s l 满足下列条件之一的群是l a 群： ( 1 ) p 2 ，g 的每一交换特征子群是循环的； ( 2 ) p 3 ，g 的每一交换正规子群至多二元生成； ( 3 ) p 3 ，l g l = p ”，存在一个厂( 2 厂刀一2 ) 使g 的p 阶子群至多二元生成； ( 4 ) g 的每一真子群均为亚循环群。 引理2 2 1 2 9 1 设( 口，聊) = 1 ，m o ，则同余式吸暑6 ( i n o d 聊) 恰有一个解。 推论2 2 1 3 设p 为奇素数，0 口 p ，则同余式a x m l ( m o d p ) 恰有一个解。 证明：由引理2 2 1 5 可以直接得到。 引理2 2 1 4 聊若钟童6 c ( m o d m ) ，且( r e , c ) = d ，则口暑6 ( m o d 詈) 。 推论2 2 1 5 a c m b c ( m o d p ) ，且( a c ) - 1 ，则口誊6 ( m o d p ) 。 证明：由引理2 2 1 7 可以得到。 注：以后为了书写方便，如果甜兰1 ( m o d p ) 则把x 记为a - 1 ，即口一1 表示口口1 量l ( m o d p ) 。 7 广西大掌硕士掌位论文( 2 0 0 8 ) 2 3 若干* 群的新系列 本节我们给出一些具体例子，以便说明这种方法的应用。以p 4 阶群为例，首先将其 生成元和定义关系中参数一般化，讨论这些参数的取值，进一步说明在什么样的条件下 可以构成群，在什么样的条件下不能成为群。如果是一个群的话，讨论一下是否符合 l a 猜想的条件。 引理2 3 1 1 2 1 设g 是群，口，b ，c g ，则： ( 1 ) 【口，6 】- l = 【6 ，口- 】； ( 2 ) 【a b ，c 】= 【口，c 】6 【6 ，c 】 ( 3 ) 【口，b c l = a ，c 】【口，6 】 引理2 3 2 p 1 设g 是有限群，口，6 g 且【口，6 】z ( g ) ，又设玎为正整数，则有： ( 1 ) 矿，h i - 口，b l ”； ( 2 ) 口，6 “ = 【口，6 】”： ，打i ( 3 ) ( 口6 ) ”= 口”b “【6 ，a t ；j 引理2 3 3 3 1 设任意的群g ，g l , b ，c eg ，则： ( 1 ) 口6 = “口，6 】； ( 2 ) 【口，6 】= 矿，6 c ； ( 3 ) 【口，6 r 1 = 【6 ，口】= 口，b 一 6 = 口一1 ，6 口； 引理2 3 4 1 明( v a nd y e k ) 设g 是由生成元而，而，和关系，( 毛，而，) ，i ei p f i t g 义, 的群，h = ( a l ，口2 ，a r ) ( 这些q 可能相同) ，v i e ，z ( q ，口2 ，口，) = l 则存在一个满 同态盯：g = 粥( r 寸日，即薯hq ，其中自由群f g 7 ) = ( 五，屯，) ， 】，= ( z ( 而，屯，) i f ) ，= y 蒯( 】，在刚7 中的正规闭包) 。如果i g l i h i 佃， 则上述的满同态盯是一个群同构( 日是由生成元q ，a 2 ，口，与定义关系 z ( q ，口2 ，口，) = l ，v i e ，所定义的群) 。 置 广西大掌硕士掌位能文( 2 0 0 8 ) 引理2 3 5 【1 9 】( 关于计算群的自i 司构群的阶的定理) 设一个有限群： g = ( 口l ，g 2 ，ql z ( 口l ，口2 ，口r ) = 1 ，ie ，) ( 1 ) 如果盯是一个自同构群，则对v f ，z ( 盯( 口1 ) ，口( 口：) ，盯( q ) ) = l ( 2 ) 如果映射仃：口ih 口，满足z ( q ，口2 。，口，) = l ，v i i i ，且g = ( q 。，如，口，。) ， 则仃能扩展成g 的一个自同构群。 注：g = ( q ，g 2 ，口，i z ( 口l ，t 2 ，口，) = l ，i i ) ，尺= z i f ) ，何= ( j j i ，鸣，啊) 如果z ( 啊，红，绋) = l ，v i e i ，则 向，红，以 叫做g 的一个足- s e t 。且i a u ( g ) i - i r s e t l 引理2 3 6 【2 8 l如果c ( g ) = 2 ，则e x p ( g ) = e x p ( g ，z ( g ) ) ；g 为l a - 群。 引理2 3 7 s l 设是群，f = ( s ) 是册阶循环群。又设口n ，fe a u t ( n ) ，a 与f 满足 a ，：口，f 脚= a ( 3 2 ) 。则由( 3 6 ) 及( 3 7 ) 式确定的和口满足( 3 2 式。因而可以 得到一n 被f 的扩张( 简称n 的聊次循环扩张) ，记作g = e x t ( n ，肌，口，f ) 。并且所做 的埘次循环扩张均可由适当的满足( 3 2 ) 式a 与r 依上法得到。 定义2 3 8 【3 】称g 为群被群f 的扩张，如果是g 正规子群，并且- - - f 。 定义2 3 9 【3 1 称g 为亚循环群，如果g 有循环正规子群n ，使得商群啾，也是循环群。 即，亚循环群是循环群被循环群的扩张。 引理2 3 1 0 ( h o l d e r 定理) 设g 为亚循环p 群，则g 有形如甜”= l ，”= z g t , n = 甜7 ，其中 ，肼詈l ( m o d n ) ，t ( r - 1 ) 量0 ( m o d n ) 。 证明：( 17 设。g 是丹阶循环群被所阶循环群的扩张，则g = ( ”) ( v ) ， ( 甜) 多，矿= 1 ，l ) | m ，v 朋= 以= ”7 ，明显的”，= ”户，材，= ”，= ，所以 r m 暑l ( m o d 刀) ，i ”毒：l ( t t ) = ( ，”) = ，。= 1 l t ，可得f ( ，一1 ) - o ( m o d n ) 。满足g 的定义关系。 ( 2 ) g 的存在性 设= 乙= ( ) ，且f = 乙= ( 5 ) ，口= ，( 一s ) = 三；： 三：。 因为，_ 量l ( m o d n ) ，( ，刀) = 1 ，那么存在一个自同构f h u t ( n ) ：“h ”7 。设口( j ) = f 口( s ) = f ，i = 0 ，1 ，2 州3 一，m - 1 口r = ( ”) 7 = ( h 7 ) = 材一= = 口， “r 一：“，2 ，”，= 材用= “。又因为“口= “一= ”，所以满足( 3 2 ) ra = i 。则存在一个 群g = e x t ( n ，f ， 口) = 五) = 五pe 凡口 。令口( s ) = ；，v = ；。那么可以得到 1 ，m = 1 ，m 一- 1 ，：；：式：- 口：l ：口：，材v ：“d s ) = u r = 材，得l g i ：朋甩 ( 3 ) 设f = ( x ，y ) 是一自由群，s = x n , 少m x - t , x y 工叶 ，= s f ，h g ：掣_ 砧， 专v 。因为( 州) y = ，所以( 州) 旦，州) = ( 歹) ，l 州勉) 卜m 由此 9 广西大掌习l 士掌位论文( 2 0 0 8 ) 得到l m ( x n ) l - m 玎= i g i 。由引理2 3 3 知兰g 。所以： g = ( 州p = l ，v ”- - u t , u v = u r , r m 薹l ( m o d 刀) ，( ，- 1 ) 兰0 ( m o d 玎) ) 。 证毕。 引理2 3 1 1 翻设是一个群，f = ( s ) = 1 ，s ，s 2 ，s 肘- 1 是一由s 生成的聊阶循环群， 口，f a u t ( ) ，( ，j 7 ) = 三；：；三：，口( j ) = f ，这里。l 一，朋如果 a 7 = 口，f 用= 口，则( 厂，口) 是群被群f 的一对扩张函数。 注：关于扩张函数对( 厂，口) 的构造方法和证明过程在文献【3 】、文献【1 9 】以及【3 5 】中 给出了不同的证明及构造方式，对扩张函数有兴趣的读者可以详细阅读这些材料。 引理2 3 1 2 m 群g = g s ，g 9 ，g l o ，设映射仃( 口) = ，b 7 口，仃( 6 ) = c h b 小，盯( c ) = 止b 止驴， 其中( o ，之s p 2 1 ，o ，【口，口】= 1 ( 口 ， 所以g ( 口) ，由此可得g 。= ( a 又由a g 。，b g ，则可以得到口= 【口，b 】【g ，g 】_ g 3 ， 那么g = ( 口) g ，矛盾所以s o 。 a 6 = a a ，6 】= 口1 + ，- ，口扩= ( 口6 ) 6 = 口( 1 + ，) 2 ，口6 ，- - a ( 1 + ，【口，6 】= 口( 1 + ，y - 1 ， a i6 7 】= a i 【( 1 + ，- ，- 1 1 ，l = 【口，6 ，】- 口1 + ，一，那么我们可以得到( 1 + ) ，z 1 ( m o d p ”) 设乙= xi ( x ，p ”) = l ，( p ”) = iz 册i ， 因为矽( p 册) = ( p 一1 ) p ，所以( 1 + 矿) p 1 = - 1 ( m o d p 肘) 设d = m i l l m l ，以) ，则可以得至0 ( 1 + p 5 ) ，暑l ( m o d p 啊) ( 3 ) 根据( 2 ) 的结果构造扩张函数( 厂，口) 。 由g = ( 口，b ) ， 取= z ，= ( 口) ，设，= z 矿= ( s ，( 1 + p 5 ) ，= l ( m o d p ”) ， 因为( 口) = ( 口l + ，) ，( 1 + p 5 ，p ) = 1 ，取f = 口( s ) ：x h = p ，x ，口h 口1 + ， 那么f e a u t ( n ) 。 由s c h r e i e r 扩张定理3 2 。，此时l 相当于a 。 以下我们证明1 7 = 1 ，f ，= 1 很显然1 7 ：1 ，口r ：口6 ：口1 + ，i ，口f - = 口( 1 + ，- ) ，a = 口( 1 + ，i y ， ， 口r ，：口( “，) ，：口，( 1 + p s ) 一- 兰l ( m o d p ”) 。 因此f ，= 1 由( 一，s ) = l ，口( ) = f 。，i = 0 ，1 ，p ”- 1 。这样就有g = e x t ( z ，p n , 1 ，f ) 且i gi = p ” 设6 = ；，6 ，：；矿：；，1 ，；：r ，- f ：f ，：口( s ，) ：7 ，i ：0 ，1 ，p 一1 ， 6 ，= 五。= ；s ，一f ( s ，s r 1 ) = s ，= i = l ； 很显然a = i ，又【口，6 】= 口a 6 - - a 一a 5 - - a 一a 7 - a ，满足所假设群的定义关系。 ( 4 ) 利用自由群理论证明所满足的关系就是上面给定群的定义关系 设f = ( 工，力是一自由群，s = x ，- ，y ，i x ，y x - ) ，- f = f s f = = ( 歹( - ) ， 因为y p = l ，则有lf ( x ) i p ”，if 阵p ”( x ) p 斛。爿gi ，由v a nd y e k 定理可得 1 2 广西大掌硕士学位论文( 2 0 0 8 ) f 兰g 。 因此g = ( 口，b a p = b f = 1 ，【口，6 】= 口，( 1 + p 5 ) ，暑l ( m o d p ”) ，d = n f m m 一1 ，疗) ) ， 且ig | = ，”。 ( 5 ) 以下我们计算自同构群的阶，因为参数的范围较大，如果计算相当困难，我们可 以在相应条件下增加一些设置，但要保持原来的过程和结果不变。看此时的群是否符合 l a 猜想的条件，从而判断是否为l a 群。 ( 1 ) 若册= 2 ，玎5 ，s = l ，则l a u t ( g ) i - - ( p - d p ”3 = p ( p - 1 ) 1 0 l ( 2 ) 若s m 2 】，则有g z ( g ) ，且 ( i ) 如果刀m ， 贝u i a u t ( g ) l = ( p d p 2 ”+ 5 + “- 1 = ( p 一1 ) p ”- 1 i g i ； ( i i ) 如果m n ，则i a u t ( g ) i = ( p - 1 ) p ”“i g l 证明：( 1 ) i 艮m = 2 ，n 5 ，s = l ，u a u t ( n ) ，口。= 口。= 矿铲，6 = 膈i 矿b 乃， g ：( 口p ，【口，6 】：口，；1 ，可得口，z ( g ) 由于【口，6 尸】：口( “| 口卜l = 口，1 ；j ，” = a d = 1 所以b p z ( g ) ，这样有( 口， (