（工程热物理专业论文）多孔介质扩散、导热、渗流分形模型的研究.pdf

多孔介质扩散、导热、渗流分形模型的研究 摘要 分形理论给多孔介质传热传质研究提供了一种新的视角! 本论文对分形多孔介质中斐克扩 散、和压力弥散和热传导过程进行了全面和系统的分析。 本文首先采用有限容积法分析了分形多孔介质中的热传导过程，多孔介质可以视为二元混 合介质，计算中发现分形结构中的导热规律非常复杂。基质与孔隙之间存在着很强的相互换热， 当不考虑孔隙气体中的导热时，本文所构造的随机s i e r p i n s k i 地毯匕导热系数与基质率( 基质 百分含量) 大多呈指数关系，这与a r c h i e 定律的结果是一致韵进步模拟计算发现：分形结 构中的温度分布和热流分布存在自相似性，与结构紧密关联le 述模拟的结果使我们对分形多 孔介质中的热传输规律有了更深的了解。 在第三章中，对物质在分形介质中的布朗运动作了初步分析，并依此建立了分形介质的扩 散模型，并对不同分形结构下影响扩散过程的主要因素作了初步分析，斐克定律不再适用。物 质在分形多孔介质中的扩散受到质量分形维数和谱维数的影响很大，分析表明：物质的分形介 质中的扩散是一种不均匀扩散，扩散过程可以认为是个标度过程大部分气体粒子沿着结构 中最短路径的方向扩散有效扩散系数和系统的尺度之间存在指数下降关系。 第四章将荣特卡罗( 随机模拟) 方法应用于多孔介质中的物质传输过程：采用通道逾渗模型， 对不同孔隙i 蝴结率下的弥散规律进行了分析。模拟申发现：在渗流阈值附近，确实存在着反 常弥散和优势通道现氛网格中的压力分布也和全部联通时完全不样由于在逾潘阈值附近， 网格可视为近似分形结构，对二维网格，纵向弥散系数和尺度之间存有指数增加关系l 流体微 团的概率密度分布函数也表现出多重分形特征i 这实际上表明了逾渗闽值附近的弥散是一种典 型的非线性弥散过程l 为了更深入地了解物质在多孔介质中的运移，本论文进行了土柱模拟实验，将含颜料的水 分渗入不同类型的土壤中，然后对其不同深度的剖面进行观察，并且进行了图像分析，发现颜 料的分布满足分形特征，水分越土壤中的运移存在优势流现象，受到大孔隙的影响很大，这与 上述随机模拟的结果是致的。 最后章本论文对新老有机碳在土壤当中的迁移积累进行了数值模拟，分析了不同参数对 有机碳扩散的影响，得到了不同年龄的有机碳在土壤中的分布规律，这为进步预估中国土壤 中的有机碳动态交化打下了基础。 本论文所作出的分析计算和实验研究，对建立符合实际情况的多孔介传热传质模型具有很 好的参考价值l 关键词：多孔介质，分形，蒙特卡罗方法 热传导，渗流，优势流 d i f f u s i o n 、p e r c o l a t i o na n dh e a tc o n d u c t i o ni nf r a c t a l p o r o u s m e d i a a b s t r a c t f r a c t s lt h e o r yw o u l do f f e ran e w s i g h t o nh e a ta n dm a s st r a n s f e ri np o r o u sm e d i a t h i sp a p e r m a i n l yd e a l sw i t ht h er e s e a r c ho n t h em a s s d i f f u s i o n ，d i s p e r s i o na n dh e a t c o n d u c t i o ni nf r a c t a lp o r o u sm e d i a f i r s t l y , h e a tc o n d u c t i o ni nf r a c t a lp o r o u sm e d i ai sa n a l y z e da n ds i m u l a t e db y u s eo ff i n i t ev o l u m em e t h o di nt h i sp a p e r f r a c t a lp o r o u sm e d i ac a nb e s i m p l i f i e da sa k i n do fb i n a r ym i x t u r ew i t hd i f f e r e n tt h e r m a lc o n d u c t i v r i e s t h ec a l c u l a t e dr e s u l t s s h o wt h a th e a tt r a n s f e ri nf r e c t a l p o r o u sm e d i a i sv e r yc o m p l i c a t e d ，t h et h e r m a l c o u p l i n ge f f e c to fm a t r i xw i t hp o r es t r u c t u r ei ss t u d i e d w h e nh e a tt r a n s f e ri np o r e s t r u c t u r ei sn e g l e c t e d ，t h ee f f e c t i v et h e r m a lc o n d u c t i v i t yf o rr a n d o ms i e r p i n s k ic a r p e t i ss c a l e du pw i t ht h ep e r c e n to fm a t d x ，w h i c hi sd e s c d b e db yt h ec l a s s i ca r c h i e sl a w a l lt h e s er e s u l t sa r eh e l p f u lt ou n d e r s t a n dh e a tc o n d u c t i o nm e c h a n i s mi n p o r o u s m e d i a t h e n ，b r o w n l a nm o t i o nl nf r a c t a is i e r p i n s k ic a r i o e ti ed i s c u s s e di nt h et h i r d c h a l p t e lt h er a n d o mw a l ki n f r a c t a ls i e r p i n s k ic a r p e ti sd e m o n s t r a t e da sas c a l e d p r o c e s s t h ef l c k l a wi sn o ta p p l i c a b l ei nf r a c t a lm e d i a t h es p e c t r a ld i m e n s i o ni s e s t i m a t e db ym o n t ec a d o ( r a n d o mw a l k ) m e t h o d t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt n a t m a s sd i 竹u s i o ni nf r a c t a ! m e d i ai sn o n - h o m o g e n e o u sa n dn o n l i n e a r t h ed i f f u s i c n c o e f f i c i e n ti ss c a l e du pw i t hp o r o s i t yp e r c e n t t h eg a sd i f f u s i o ni ss i m u l a t e du s i n g d i 开u s i o ne q u a t i o ni nf r a c t a lp o r o u sm e d i a d i s p e r s i o np r o c e s si np o r o u sm e d i ai sa n a l y z e da n ds i m u l a t e db yu s eo fm o n t e c a d om e t h o di nt h i sp a p e r m a n yu n u s u a lp h e n o m e n an e a rt h ep e r c o l a t i o nt h r e s h o l d c a u s e d b yr a n d o mp o r er e m o v a lo rb l o c k a g ei sf o u n d f i r s t ，t h eg r i dp r e s s u r e d i e t d b u t l o ni sa n o m a l o u s ：s e c o n d l y , t h 6d i s p e r s i o ni sm u c h s l o w l yt h a ni ne u c l i d e a n s p a c e t h i r d l y , t h e r ei s ap r e f e r e n t i a lp a t hf o rd i s p e r s i o nf l o wn e a rt h ep e r c o l a t i o n t h r e s h o l d ；f o u r t h ，t h el o n g i t u d i n a ld i s p e r s i v i t y i ss c a l e dw i t hg d d l e n g t h a tl a s t ，t h e p r o b a b i l i t yd e n s i t y f u n c t i o ns h o w sm u l f i - f r a c t a l c h a r a c t e d s t i c ，w h i c h i sg a u s s d i s t r i b u t i o ni ne u c l i d e a ns p a c e 1 1 1 e e x p e r i m e n t a le t u d yi sd e s i g n e dt oo b s e r v et h ef l o wp r o c e s sb yu s eo f m o r p h o l o g i c a lm e t h o di nd i f f e r e n tk i n do fs o i l s m a c r o p o r eg e o m e t r yi ss u b s e q u e n t l y c h a r a c t e r i z e d b yu s i n g f r a c t s ld i m e n s i o n so f s t a i n i n gp a t t e r n s o nh o d z o n t a l c r e s s - s e c t i o n s t h er e s u l t sp r o v et h a tw a t e rf l o wi ns t r u c t u r e dc l a ys o i l si ss t r o n g l y i n f l u e n c e db yt h ep r e s e n c eo fm a c r o - p o r e sa n dt h e i rg e o m e t r i e s t h e p r e f e r e n t i a lf l o w l sf o u n d w i d e l y l nt h eu n - d e s t r u c t e ds o i l s a m a t h - p h y s i c a lm o d e l o fv e r t i c a lt m n s p o r to fo r g a n i cc a r b o ni ns o i li si n t r o d u c e d n u m e d c a is i m u l a t i o no fd i s t r i b u t i o no fs o cj ns o i lp r o f i l e sl sc o n d u c t e d 一1 n f i u e n c e o fs o m ep a r a m e t e r sa r ea n a l y z e d ，s u c ha s ：d ( d i f f u s i o n r a t e s ) ，v ( c o e f f i c i e n t o f c o n v e c t i o n ) d o u b l eo rt h r e ec o m p a r t m e n 协m o d e lo fs o c i su s e d i ti sf o u n dt h a tt h e d i f f u s i o n p r o c e s sf o r d i f f e r e n tc o m p a r t m e n t so fo r g a n i cc a r b o ni ns o i li s v e r y d i f f e r e n t l y t h i sm o d e lc o u l da l s oc a l c u l a t e dt h ea c c u m u l a t i o no fs o ci ns o i lp e ry e a g w h i c hi sh e l p f u lt ou n d e r s t a n dt h ed y n a m i c p r o c e s s o f o r g a n i cc a r b o ns t o r a g ei ns o i l t h ea n a l y t i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s u l t so b t a i n e di nt h i sw o r kw i l l b e g r e a t l y v a l u a b l ea n d s i g n i f i c a n tf o r t h e u n d e r s t a n d i n go f h e a ta n dm a s st r a n s f e rm e c h a n i s mi n f r a c t a lp o r o u sm e d i a k e y w o r d s ：f r a c t a l ，p o r o u sm e d i a ，m o n t ec a r l om e t h o d h e a t c o n d u c t i o n ，p e r c o l a t i o n p r e f e r e n t i a lf l o w 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 听知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对术研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和 乜予文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 莩相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 釜部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名日期： 东南大学博士学位论文 第一章绪论 多孔介质是自然界中广泛存在的一种多相混合物，自然界实际的多i l 介质结构 多变而复杂，总的来说，分成真正的三裂1 刮：( 1 ) 颗粒多孔介质，如堆积的谷物， 二元金属颗粒混合物等；( 2 ) 骨架性多孔介质，如多孔岩石，木材，发育良好的土 壤等：( 3 ) 纤维性多孔介质，比如身上穿的衣服等。多孔介质中传热传质过程是工 农业与人类生命活动中最主要的热物理过程之一。因此，研究多孔介质中传热传质 特性具有很重要工程应用背景和科学价值。 在多孔介质领域的研究中，前人已发展了许多描述能量与物质迁移的物理模 型，这些模型可以归纳为“连续介质模型”和“非连续介质模型”两类。以前经典 的工程方法一般都采用连续介质模型，即先定义一个微元控制体积k 然后对之列 出能量、物质平衡方程式，加上边值条件进行求解。求解过程中，多孔介质的宏观 性质，如有效输运系数、反应速率，者b 用与微观量对应的平均值川。对孔隙的模拟 可以采用毛细管模型，物理定律控制着毛细管内流体的输运程度。上述连续介质模 型在实际中有了很多的应用，但也碰到了很多的问题，因为多孔介质结构变化很大， 界面非常不规则，确定流体和固体的边界条件是一个非常重要的问题，有时过于简 化，即使求解也得不至有价值的信息! 于是，通常只好采用比个别孔大得多的长度 标度，通过容积平均方法，对过程进行宏观描述i 有人曾三番五次地致力于从基本 的力学原理导出达西定律，即用n a v i c r - s t o k e s 方程式来求解，这对于理解多孔介质 渗流至关重要，但因为多孔介质边界条件的复杂，这种办法一般都行不通，这就是 为什么大多数多孔介质渗流模型都是用圆的毛细管来近似的原因所在。但这种简化 只能在一定范围内适用，这就激励人们必须寻求不同的解决问题的途径。 这样，多孔介质能量与物质迁移理论之精确与否，关键在于看它能否考虑多孔 介质内部复杂结构的具体影响! 连续介质模型的局限性就表现在这个方面，很难讨 论象有效孔隙率，孔隙大小分布对输运的影响! 一般多孔介质系统，如土壤流化床 等系统是不均匀的，孔通道的联结状况会随着人为耕作等原因而发生很大改变，对 团粒结构较好的土壤，土体中各种孔隙大小不等，团聚体内部的小孔隙中的水呈静 止状态，基本不流动，仅有一些缓慢的扩散；而团聚体之间的一些大孔隙中，水流动 得快，是水流的主要通道，为描述溶质在不均匀土体的迁移过程，动水不动水模型 和水体多分压模型相继提出：s 删d e g g 一试图用统计力学的方法来表述多孔介质 渗流。在描述多孔介质结构这个关键问题上，采用随机迷宫或流网的方法。但这些 结构模型在应用时都不太方便。很多实际问题表明：系统形态( 即其联结性) 及其几 何尺寸在物质迁移过程起了重要作用州，平均体积的近似无法描述系统结构。那么 如何描述多孔介质的结构便成为一个难题!。 m a n d l b r o t 等b q 在7 0 年代首次提出了分形的思想。自然界很多复杂、貌似不 规则的物体，河流、水系、地形貌、云彩等，都可视作分形物体。对于实际多孔介质 分形结构的描述，k a t z 和t h o m p s o n t q 作了很多分析，他们的研究得出结论：多孔 东南大学博士学位论文 介质的孑l 隙空间( p o r es p a c e s ) 的确具有分形特征，他们采用扫描电镜的实验证明 了沙石孔隙空间在一定尺度范围内具有自相似陛，并利用分形统计学预测了精确的 孑l 隙度( p o r o s i t y ) 。他们还指出：在岩石形成期间，稳态结晶生长是形成自相似几 何的可能原因：a n d e r s o n p j ，k a y e t v j 等进一步测定了各种不同类型土壤的分形维数， 他们发现孔隙表面也具有分形特征：并尝试将这些分形维数与扩散过程联系起来。 他们的分析实际上表明：对土壤这类多孔介质，其颗粒分布、孔隙通道形状、土壤 颗粒的表面积都可能具有分形特征1 分形理论的发展使人们在多孔介质迁移过程的研究中引入分形模型，这时随机 的扩散对流过程是在符合分数维分布的孔隙中进行，因此建立一种新的“非连续介 质模型”，从而可以将过程中新的现象与规律揭示出来，这是以前连续介质模型所不 具备的，这无疑也将会推动土壤物理过程复杂性问题的解决。 利用分形理论研究多孔介质的能量与物质迁移过程，前人已作了一定的前期研 究工作，但由于问题的复杂性，至今仍有很多问题尚待探讨。将分形理论应用到多 孔介质却会碰到很多难点，下面首先介绍分形理论中常用的一些关键概念，如分形 维数、反常扩散、随机行走、l e v y 分布等，然后对目前分形理论应用于多孔介质领 域国内外进展作一阐述! i 1 分形理论中一些基本概念的讨论 分形结构实际上仍是一种理想模型，它是自然界中很多复杂物体的一种抽象。 欧氏几何学研究对象是类似圆、立方体等规则物体，具有几何对称性，维数为整数， 物理过程都是建立在此基础上；而自然界中有很多貌似不规则的物体，这是传统几 何学无法处理的，这些图形一般已经不具有几何对称性，但是在这些不规则的物体 后面，却蕴含着新的规律：标度不变性，即在不同尺度下观察，分形物体具有尺度 上的自相似性( 递归性) ，维数为分数。需要强调的是：在很多文章中提到的分形物 体，如k o c h 曲线，s i e r p i n s k i 地毯等。虽具有几何对称性，但毕竟这是一些理论 构造模型：自然界中的真实物体更接近随机分形，不具备几何对称性。分形几何学 的诞生使我们研究的图形大大拓宽了。分形物体内的物理过程，如物质的扩散、热 量的传递等，都可能与标度不变性、几何不对称性等这些特点相关联。下面就多孔 介质分形模型中所涉及的一些基本概念进行讨论， i i 1 表征多孔介质结构的分形参数 物质在多孔介质中扩散，孔隙分布、孔壁表面形态、孔网络结构对物质的扩散 起着重要作用。多孔介质结构复杂，其孔隙、孔通道、孔壁表面等都有可能视为分形 结构，如图i - 1 所示。 2 东南大学博士学位论文 ab c 图卜1 各种分形结构：a ) 表面分形结构，b ) 质量分形结构：c ) i l 隙分形结构 单一的分形维数很难完整地描述多孔介质复杂的内部形态，因而就需要多种多 样的分形维数，如下面介绍孔轴分形维数、孔隙质量分形维数等，都是对结构的描 述： ( 1 ) 多孔介质孔通道的结构 多孔介质复杂的通道走向，可以用其通道轴线的形态来描述，孔通道的轴线形 成弯弯曲曲的复杂曲线，具有分形的特征，称之为孔轴分形维数它是孔通道弯曲度 的衡量。 ( 2 ) 多孔介质孔壁表面的结构 孔壁表面不规则和不光滑的几何结构也可能具有分形特征，这可用吸附的实验 方法测得【i “，称之为孔壁表面分形维数( 维数在2 3 之间) 。 ( 3 ) 质量和颗粒的不均匀分布 由于多孔介质中固相颗粒基质或孔隙不能完全填满剖面，在剖面上并不是均匀 分布。在很多情况下，孔隙或颗粒基质的面积具有分形的特征，称之为孔隙质量分形 维数或基质质量分形维数( 在i - 2 之间) ，这些分形维数反映了多孔介质静态结构参 数。 圈卜2 不同结构的s i e r p i n s k i 地毯( 质量分形维数、孔隙率相同) 东南大学博士学位论文 有些多孔介质虽然孔隙率、孔隙分形维数相同，但孔隙的分布可以不一样“， 如图1 - 2 ，可以猜测物质在其中的扩散情况也不一样。因此仅有孔隙分形维数还不 能完全描述分形介质的动态迁移过程，还要涉及到其他分形维数。 上述分形维数分别从不同角度来描述多孔介质的结构，对于一个具体问题，要 分析哪些分形维数起主要作用，然后才能建立合适的多孔介质分形模型。 1 1 2 分形布朗运动 。布朗运动( 无规行走) 在物理、化学中起着重要作用，它是一个与时间有关的 随机分形。如果说上述多孔介质在空间尺度上存在标度不变性，那么布朗运动可以 看作在时间尺度上存在标度不变性。 在欧几里德空间，根据随机行走理论，布朗粒子的扩散分布函数是高斯分布p j 。 物质粒子在欧几里德空间的平均扩散距离f ( t ) 为： = f( 1 一1 ) 而对于分形结构，物质粒子的平均扩散距离r 2 ( t ) 为： - l 川( 1 2 ) 其中h 是一个参量，亦称为h u m 数u “。对于欧几里德空闻的布朗运动，h = 0 5 ， 时间相关特性表明：布朗运动是一个独立的随机过程，它过去的行为不影响它将来 的行为，即马尔科夫过程，亦可称之为正规布朗运动：当h o 5 时，这时就有依赖 于时间的记忆效应产生，当h 0 5 时，存在正效应，它的特点是过去有增长的趋势， 将来也会仍然橡持这种增长，如果是过去有减弱的趋势，那么将来也会保持这种减 弱：而当h 0 5 时，这时的效应是负的，过去的增长倾向将会造成将来的减弱趋势， 具有强烈的时间相关效应，如图1 - 3 ： 图卜3 不同h u r s t 下的分形布朗运动 由于h 不同，分形布朗运动的规律不同，可以推测，粒子在空间的扩散规律也 会有很大差别，扩散系数为【1 ： d t 2 - i ( 1 3 ) h = o 5 时的扩散为正常扩散：h 0 5 时的扩散称为超扩 4 东南大学博士学位论文 散( s u p e r d i f f u s i o n ) ，在自然界中也很多，比如湍流中的粒子，步长可以很长，扩散 过程很快，在下面介绍的l e v y 运动属于这种类型。 分形结构中的随机行走过程有很多类型，如果假设粒子作正规布朗运动，像一 个“没有记忆力的醉汉”所为，其过去的运动和现在没有关联，粒子的步长很短， 根据随机运动理论可以得到粒子扩散密度函数满足高斯分布，也是通常所讲的f i c k 扩散。但近来在自然界一些现象，比如湍流、微生物这些系统中，发现上述假设不 太符合实际情况，粒子的运动在过去和现在强烈关联，粒子运动步长有时很大，这 就是目前讨论较多的l e v y 过程1 1 4 1 。l e v y 过程像是“还有点记忆的醉汉”所为，其 特征是步长分布为幂分布：p 佃) = 硝“( p o w e r l a w d i s t r i b u t i o no f s t e p s ) ，如图卜4 a 布朗运动 b l e v y 运动 图1 _ 4 布朗运动和l e v y 运动的比较 l e v y 过程的粒子的空间扩散密度函数与稳定分布有很大关系 1 1 l 。稳定分布具有 下列特征：遵从某分布的概率变量之和，如果进行一次适当的变换厢琪分布与原来 的分布相同，象这样的分布就是稳定分布，换句话说，也具有某种自相似的特性。通 常的高斯分布属于稳定分布的一种特殊情况。 1 1 3 逾渗理论和分形结构中的反常扩散 自然界中广泛存在无序和随机结构，统计物理中的逾渗模型是为了描述流体在 无序介质中的随机扩散和流动而建立的【l 那。常规的扩散过程是指粒子在介质中无序 行走，比如分子热运动，它的无序性来源于运动的随机性；而逾渗模型中的扩散过 程无序性来源于介质本身的无序结构。逾渗模型的研究表明：在渗流阈值附近，这 时渗流集团具有统计自相似结构，具有标度不变性，可以认为是一个典型的分形， 其结构是不规则的，扩散过程也与正常扩散不同，是上面所述的亚扩散：而当大 于逾渗闽值很多后，整个点阵上的位置均被占据，这时的逾渗集团是一个各向同性 的均匀体，扩散与普通的欧几里德空间规律相同。 对分形结构的扩散，物质粒子平均扩散距离 式也可表示为： 东南大学博士学位论文 为了描述分形结构中扩散动力学过程，引入谱维数d ，谱维数与其他分形维数 之间存在一个很著名鸽关系式1 5 1 ： 2 d ， d = o d w ( 1 5 ) d 是谱维数，卉是质量分形维数，巩是分形结构中的随机行走的分形维数。指 数d d ：在欧氏空间正好等于1 o ，而对分形介质耍小于1 0 。d d 越，3 、，平均扩散距离： 也越小。由于分形结构上存在很多空洞和分支岔道，流体需走很多”冤枉路”，扩散 过程就缓慢。在分形结构中的随机扩散比欧几里得空间要慢得多，这种扩散特性称 为反常扩散或扩散慢化| 1 们，对应上面所阐述的h e ( 1 1 7 ) 只是多孔介质的渗流阈值，p 是孔隙率。c ，毋。是常数，上式实际上表明当多 孔介质的孔隙率大于渗流阈值时，饱和水力传导系数与多孔介质的尺度大小成指数 关系。 对于分形结构的非饱和水力传导系数，也发现与尺度存在标度特性，这是传统 模型无法得到的结论。 d g h e n e z 等旧3 9 j 分析了不同长度，不同直径土柱的实验结果，确证了c r a w f o r d 的结论( 尺度越大，水力传导系数越小) ，不过指数可能是单一常数( 单一分形) ， 也可能是一个函数( 多重分形) 。而且g u e 洒【q 叫假设水分在土柱中的运动是一个标 度过程，即分形布朗运动。并尝试用分形布朗运动来分析多孔介质中水分的非饱和 流动，非常好的估计了水分扩散率反常实验结果! e m a d l e r f 4 1 4 2 x ，多孑l 介质中的s t o k e s 流动。采用有 限差分方法和m o n t ec a r l o 方法研究一维、二维、三维s i e r p i n s k i 地毯中的s t o k e s 流 动和t a y l o r 弥散，他们发现对于一二维分形体，不同方向上渗透率( 各向异性) 与 孔隙率成指数关系： ! 生 k ( 占) 2 一d ( 1 _ 1 8 ) 三维的情况要复杂一些。计算结果与传统的c a r m a n 方程的结果有差异，倒是和 a r c b j e 方程比较一致。 1 弭e r 和w h e a t m f i 【4 j 1 又将分形理论应用于多孔介质吸水和放水问题( s o i lw a t e r r e t e n t i o n ) ，得到下面分形体的水力势与含水率的指数关系： y = y 。( 芸) v 叶- 2 ( 1 1 9 ) 口j 卉是多孔介质的面积分形维数。 将分形理论应用于多孔介质领域，逾渗模型起了很大作用，k o p l i k a # ， s a h a m i 4 5 1 ，y a n u k a 4 6 】，o x 勰l 4 7 】等作了很多工作，逾渗模型有很多类型，在文献【4 8 】 作了一些介绍。这里简单介绍一下键逾渗模型，它是把复杂的多孔介质简化为一个 正方形点阵，点与点之间由不同大小的孔隙通道( 物理中称为”键，) 组成。流体物质 在其中不同管径的通道里行走，然后用随机模拟理论得到整个模型的水动力特性。 这些通道当中，有的通道是开的，有的通道是闭合的，正如上面所述，当整个键逾 渗网络处于逾渗阚值附近时，由于处于临界状态，整个随机网络可以视为近似的分 形结构，水动力弥散特性与尺度之闯也会表现出一种标度特性： d c c ( 1 2 0 ) 这与w l a e a t c r a f f 4 9 1 假设溶质在水分中的弥散是分形布朗运动得到的结论是一致 的，并和野外测试的数据是相符合的。 v v m o u r z e r 血o p w 等根据多孔介质三维微观地貌特征，构造随机分形体( 与真实 的情况非常接近) ，然后直接进行数值模拟，n e u m a n 5 1 1 等尝试将物理学中的重整化 东南大学博士学位论文 理论引入多孔介质水动力学方面，并取得了很大进展! 这些都是目前比较前沿的工 作。 总之，将分形理论应用于多孔介质传热传质现象，已有了很大的进展，但目前 还缺乏系统陛的研究工作，还有很多问题有待解决，比如w h e a t c r a f t t 4 u l 并1 g u e r r i n i l 斗w 在分析中都假设多孔介质中水分和溶质的运动是分形布朗运动，但这种先入为见的 假设还是会使人疑虑! 另外从上面已发表文献的介绍可以比较情楚地看到：分形多 孔介质的热物性和分形维数的关联表达式多种多样，比如式( 1 1 4 ) 、( 1 - 1 6 ) 与( 1 1 8 ) 。 这些不同形式的渗透率表达式，能否经得起大量实验的检验，有待进一步验证，文 献中对这些公式的内涵缺乏清楚地说明! 这些问题实际上涉及到对基于分形结构上传热传质过程的深入理解，即当结构 满足不同尺度下的自相似规律时，会对其中的物理过程造成如何的影响? 从上面的 文献综述中也可以看到：只有比较深入地了解这个问题，才能更好地理解不同尺度、 不同结构下热物性的变化规律! 由于多孔介质传热传质对科学的发展和工农业的进 步以及生命活动的重大作用，多孔介质传热传质己成为现代工程热物理的前沿研究 领域。利用分形理论研究实际多孔介质的传热传质规律，已成为一个十分有前景的 研究热点。而且这方面的工作也可以和地理地质科学、非晶体物理等其他领域 4 8 1 ”1 的研究结合起来，对新的边缘科学的生长也有很广阔的发展空间。目前这方面的研 究工作尚属起步阶段，国内在这方面的研究仍然很欠缺，本文就是从这种角度出发， 对分形结构中的基本物理过程：导热过程、扩散过程、渗流过程进行系统讨论，希 望在这方面作一些初步地探索。 1 2 东南大学博士学位论文 1 4 本文研究的内容和目标 本论文的研究内容涉及到非线性物理学、地下水动力学和传热传质学的交叉领 域，主要着眼于以下几个方面： 1 ) 在第二章，本文采用c 语言构造随机s i e r p i m k i 地毯，以此作为分形多孔介质 模型，视之为基质与孔隙二元混合介质，然后采用有限容积法分析了其中的 热传导过程，分析结构自相似性对导热系数的影响，进一步了解分形多孑l 介 质中的温度场、热流分布情况； 2 ) 第三章对物质粒子在不同分形结构中的布朗运动进行了讨论，建立分形结构 下的无压差扩散模型，计算不同分形多孔介质的谱维数，仔细分析了不同 分形结构的扩散系数的变化规律，并和欧氏空间下扩散进行了比较。 3 ) 第四章主要讨论两端有压差二维键逾渗网格的流体微团扩散模型。分别讨论 不同孔隙通道联结率下的弥散特性，特别是对逾渗阈值附近情况作详细分析， 这主要是由于逾渗阙值附近，键逾渗网格可以近似看作是分形结构：了解 分形结构下的物质弥散正是大家所感兴趣的内容： 和第五章为了更深入地了解物质在多孔介质中的运移，本论文进行了土柱模拟 实验，通过将含颜料的水分渗入不同类型土壤中的方法，对其不同深度的剖 面进行观察，并且测定分形维数，以实际了解水分在土壤中的运移与结构之 间的关系。 5 ) 第六章是以有机碳在土壤中的迁移为对象，研究新老有机碳在土壤当 中的迁移积累机理，分析不同年龄的有机碳在土壤中的分布规律，这为预估 土壤中的有机碳动态变化打下了基础。 东南是拳博士学位论文 第二章分形多孔介质中的热传导 在航空航天，建筑，纺织，农业，能源，食品等很多实际领域的应用中”“，多 孔介质的导热特性是人们所关一1 1 , 的重要问题。 当多孔介质的固体颗粒相互紧密接触且不移动，多孔材料的温度不太高，且孔 隙中的流体处于接近静止的状态，这时可不需要考虑辐射换热、对流换热和固体颗 粒间的接触热阻，多孑l 介质中的传热过程主要是由热传导所控制。按其导热过程是 否随时间变化，又可分为稳态和非稳态导热两种。 对于多孔介质中的纯导热过程，一般说来，它包括：( 1 ) 通过固体颗粒的导热过 程；( 2 ) 多孔孔隙中气体或液体的导热：( 3 ) 固体颗粒与气体或液体之间的导热。研究 结果表明：影响多孔介质导热过程的因素很多，其中，包括孔隙尺寸、形状及分布、 多孔介质固体颗粒的物性、气体或液体种类，组分，形态和特性等等，正因为如此 众多的因素，将这些因素按其影响大小及变化规律组合起来，以形成统一的导热系 数数学表达式并非易事。因而需采取恰当的简化方法对之进行研究。 以往的研究中曾采用过两种简化方法对多孔介质的导热特性进行分析：( 1 ) 以简 化模型为基础的简化解析法，将多孔介质所有孔隙视为相互联通，相互平行的一系 列圆柱通道，气体或液体在其中流动，气体或液体不断与固体中交换热量。由此建 立导热方程分析导热特性。这种方法已经应用于汽轮机叶片等很多冷却问题研究 中；( 2 ) 简单组合法，将多孔介质的颗粒视为球形、六角形、正方形等，颗粒排列均 匀，然后通过模拟电路计算或电热模拟法得到有效导热系数的估算式，这种方法己 被广泛地应用于由金属材料行业中；也有人p 删采用这种方法对含湿多孔物品进行 研究，将孔隙通道视为那种既有与热流平行，又有与热流垂直的规则组合通道，如 图2 1 。对之进行热阻分析，然后得到多孔介质的有效导热系数。 噩 q 图2 - i 含有两种不同方向孔隙的多 孔体示意图 虽然上述两种方法在一定的范围 内有效，但由于系统形态( 即其联结性1 及其几何尺寸在热量传输过程起了重要 作用，这些近似结构模型与实际的多孔 介质相去甚远，对实际复杂多孔结构的 介质，其导热系数预测值与实验结果有 较大误差，为此需要开辟新的研究途径， 以得到更好的多孔介质有效导热系数估 算式。要做到这一点，必须对多孔介质 的结构作进一步考虑。分形理论的引入 对如何描述多孔介质的结构提供了一条 新的有效的途径! 一些研究工作表明； 对于很多颗粒性多孔介质，其颗粒或孔 隙的大小分布在一定尺度范围内具有分 1 4 东南大学博士学位论文 形特征，有着统计的自相似性。对多孔介质建立分形导热模型将会与实际导热情况 吻合得更好。 a d l e r t 圳采用了有限差分法对确定性分形介质的导热系数作了讨论，本章在此 基础上，首先构造随机分形体，然后采用有限容积法，讨论热量在这些分形结构上 的传输规律，并分析各种影响因素，最后计算了这些分形体上的温度场和热流分布。 通过这些讨论，希望能够深入了解分形多孔介质结构热量传输的一些规律。在分析 中没有考虑多孔介质中的辐射换热、对流换热和固体颗粒间的接触热阻。 2 1 多孔介质分形结构的构造 本文采用随机s i e r p i n s k i 地毯模拟自然界真实的多孔介质，这是一种“人工构造 分形体”自然界真实的多孔介质是复杂多变的，构造随机s i e r p i n s k i 地毯的方法多 种多样，在文献【2 3 中作了详细的阐述。 这里用类似文献 2 4 的方法来构造，由于真实的多孔介质的图像是黑白二色的， 经扫描处理后，输入计算机后得到b m p 或其他格式的文件，一般用二值象素( o 和 1 ) ，来代表整个多孔介质基质和孔隙随机分布的信息。这里简单地描述一下图 2 - 2 a , b ，c ，d 构造情况：把一个单位正方形e ，假设分成九个边长为l 3 的小正方形， 其中如果被基质占据，那么就标志为1 ，如果为孔隙所占据，那么就标志为0 ；孔隙 所占的百分比为p ，这些小正方形所代表的值组成子集e 。；类似地，对于上述九个 正方形中的每一个，如其为1 ，那么重复以上操作；如其为0 ，那么其中九个小正 方形都标志为0 ，组成集e ：。这样就构成一个含递归关系随机分形集合的集合， 那么就可以用c 语言根据这些数据集逐级绘出图形。这里不妨称e l 为一级分形，亦 可称为元胞；e 2 为二级分形，依次类推。 绘制s i e r p i n s k i 地毯的计算机算法步骤如下： ( 1 ) 设置递归深度n ： ( 2 ) 用黑色随机填充辨( 卜p ) 个正方形，为多孔介质的基质，设其为l ；其他的 正方形为白色，为多孔介质的孔隙，设其为0 ；这些小正方形所代表的值组成 子集e 。并将上述图像信息储存在数组a ( 3 ，3 ) ，并用c 语言依此决定定点坐标， 绘制3 * 3 个正方形； ( 3 ) 对上述九个正方形进行递归操作，如果正方形为1 ，对其细分九个小正方形， 重复第( 2 ) 步操作；如果正方形为0 ，对其细分九个小正方形，统设为o ；这些 小正方形所代表的值组成子集e 2 ；并将上述图像信息储存在数组b ( 9 ，9 ) ；并用 c 语言依此决定定点坐标，绘制9 * 9 个正方形 ( 4 ) 重复上述过程，直到递归深度, 1 为止； 东南大学博士学住论文 a b c d i 级分形 i i 级分形 图2 _ 2 各种类型s i e r p i n s k i 地毯( 基质分布满足指数分布) 对图2 - 2 a ，尸值为1 9 ，其关系为九叉树数据结构，如图2 - 3 所示，图2 - 2 a , b , c , d 各阶分形基质的面积分布经计算发现满足指数分布( 孔隙面积分布并不满足) ： s 。a t r z = pa c ( 1 一p ) 4 ( 3 1 ) 式中尸一元胞孔隙率，p 基质率，口分形递归阶数 对图2 2 a ，这里就可以计算出每级s i e r p i n s k i 分形体的孔隙和基质的面积含量 屯m i = 8 9 s 二m 2 = ( 8 9 ) 2 s 。n 。3 = ( 8 9 ) 3 s ，。l = i 一8 1 9 s 口。2 = 1 - ( 8 1 9 ) 2 s p 。，3 = 1 - ( 8 9 ) 3 _ - - ， 由此也可以看到，对于图2 - 2 ，基质的面积分布满足指数分布，而孔隙的面积 1 6 臣岛囡如踊踞 东南大学博士学位论文 分布则不满足，因此对上述生成的分形体，实际上是基质分形体。 1 1 腻1 ( o ，o ，o ，o ，o ，o ，o ，o ，o ，o ) 图2 - 3 随机s i e r p i n s k i 地毯所对应的九叉树数据结构 图2 - 2 a , b 所示的自相似图形，p = 1 1 9 ，r = l 3 ，单元数m 等于曼其基质分形维数 为： d ，：! 煎! = 1 2 丝2 ：坚：1 8 9 3( 2 2 、 。 l n ( i r ) i n3 对图2 2 c ，d ，p = 2 9 ，孔隙的分布不一样，基质分形维数是由上述类似计算可得 都等于i 7 7 1 。 本文主要对两种不同类型的元胞( 3 + 3 单元，4 * 4 单元) 所生成的各阶分形体