（基础数学专业论文）littlewoodpaley算子多线性交换子的双权弱pp和强pp估计.pdf

摘要 本文主要给出了l i t t l e w o o d - p a l e y 算子多线性交换子的双权弱( p ，p ) 和强 ( p ，p ) ( 1 p ) 估计，推广了论文【3 3 】的部分结果。 关键i t , q - l i t t l e w o o d - p a l e y 算子， 多线性交换子， s h a r p 函数，y o u n g 函数， o s c ，空间，端点估计。 e x 0 1 , a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eg i v et w o w e i g h t ，w e a k ( p ，p ) a n ds t r o n g ( p ，p ) ( 1 p o ，q ( x ) = t a ( x ) ，x r ” o ) 成 立， ( 2 ) 正- n - if 2 ( x ) d t r ( x ) = o ， ( 3 ) q l i p ( s ”1 ) e p f 2 ( x ) 一o ( y ) l k y i 对任意的x 。，y s ”1 。 在上述条件下，c a l d e r o n 和z y g m u n d 在【l 】中证明了t 是强( p ，p ) ( 1 p o o ) 型和弱 ( 1 ，1 ) 型的，1 9 5 6 c a l d e r o n 和z y g m u n d 在【2 】中利用旋转法证明了当q 为f i ( s 川) 中 奇函数时，丁是强( p ，p ) ( 1 p ) 型算予。运用此结果和r i e s z 变换，他们还进一步证 明当q l l o g + l ( s 川) 且满足上述条件( 1 ) 和( 2 ) 时，tf f 提强( p ，p ) ( 1 u 一 负局部可积函数。假定t 是c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子，b m u c k e n h o u p t 和 r 腑p p 沈刀【4 】猜测：s u p 2 w ( x r ”：i v ( 工) l 力) ) c l l 厂即以x ) 也疋e 3 朋卫- - j - - 的。此问题 a o 一 现在仍是一个公开问题。 1 9 7 2 年，m u c k e n h o u p t 又在【5 】证明了：给定个权函数w 和p ，1 p o o ，则 l ( 彬) p w d x _ c l c i 坩w d x ( 1 1 ) 的充分必要条件是满足以条件：即存在常数c ，使得对所有方体q ， ( 矗11 ( 1 玎叫砂 川c o 。成立。 对于算子的l p ( 1 p o o ) 加权有界性和弱( 1 ，1 ) 型加权有界性的研究，经过几 十年的发展，已取得了丰硕的结果( 参j j l ! 文献【5 】，【6 】，【7 】，【8 】，【9 】， 1 0 1 ，【1 2 】，【1 3 】) 。 很自然地，人们会问：若双权 ，v ) 满足：存在常数c ，使得对于所有方体q ， ( _ 11 ( 1 玎旷。方卜 ( 1 2 ) 是否是上( 够) p u d x c l i 厂l p v 出 ( 1 3 ) 成立的充分必要条件。回答当然是否的的，在 1 4 ，p 3 9 5 q b ，就已证明了( 1 3 ) 能推出( 1 2 ) ， 反之就不成立。 1 9 8 2g s a w y e 厂在 1 5 i i e o ：j t ：l ( 夥) p ”d x c f l v 出成立的充分必要条件是 存在常数c ，使得对所有的方体q ， m ( y 1 。) p 材d x c e v l - p d x ，( 厨1 甜7 砂圹( 南叫p 砂 字c o o 对所有的方体q 成立，则( 1 3 ) 也成立。 此后，对双权的研究及其算子在双权意义下的有界性的研究都取得了重大的发展( 参见 文献( 1 5 1 ， 1 6 1 ，【1 8 】，【1 9 】，【2 0 】，【2 1 】) 。 对交换子的研究首先由a e c a l d e r o n 在研究沿l i p s c h i t z 曲线的c a u c h y 型积分的厶有界 性问题时提出的【2 2 】。此后，人们发现交换子可应用于刻画重要的函数空间。于是，在1 9 7 6 年，c o a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 在【2 3 】中引入了c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分交换子 的概念，其中c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分交换子定义如下： 限彬川l 胃似矿黼m 2 其中q z ( s ”1 ) 满足( 1 ) 和( 2 ) ，在【2 3 】中，他们借助交换子把单位圆盘上的刀毋方空 间的分解定理推广到高维h a r d y 空间，同时给出了h a r d y 空间的对空间b m o 的一种新刻 画。因为带b m o 函数的奇异积分交换子在偏微分方程上的重要应用，所以奇异积分交换子 是继奇异积分之后引起人们极大研究兴趣的一种重要算子。因此，在2 0 世纪7 0 年代，对 c o i f m a n r o c h b e r g w e i s s 型交换子的研究十分活跃并取得了非常丰硕的成果。( 参见文 献【8 】，【2 4 ，【2 5 】) c o i f m a n ，r o c h b e r g w e i s s 在【2 3 】中给出了交换子【6 ，r 】在p ( 尺”) ( 1 p o 。) 上 的有界性的充要条件，并通过r f p 昭变换交换子在p ( 尺”) 空间上的有界性来刻画b m o 空 间。 定理2 3 1 假设q 满足( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，得到下面结果： ( 1 ) 若6 b m o 贝, , j b ，t 】p ( 月”) ( 1 p ) 上有界。 ( 2 ) 若存在p ( 1 p ) 使得 6 ，弓 在( r ”) 上有界，则6 b m o ，其中巧 ( j = 1 ，2 ，刀) 表示阶r 葩踞变换。 1 9 7 8 年，u c h i y a m a 【2 6 和j a n s o n 2 7 分别独自推广了上述定理的结果，【2 6 】显示上述 定理结论( 2 ) 中的r i e s z 变换r i 可以被c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子丁所代替， j a n s o n 的结果如下： 定理阱1假i 1 2 1 p o or f 2e p ( s 川) 满足( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，则【6 ，丁】在f ( r ”) 上有 界的充要条件是b b m o 。 与此同时，多线性算子首先由c o i f m a n 和m e y e r 在上世纪7 0 年代研究c a l d e r o n 交换 子所引进的。之后他们又进一步研究了高维的多线性奇异积分，仿积，拟微分算子等，并建 立了一些强型的估计。2 0 0 2 年g r a f a k o s 和t o r r e s 【2 8 系统研究了非卷积型的更一般核条件 的高维多线性奇异积分算子，给出了强型和端点弱型的估计。同时，他们还通过多线性插值 来研究伴随算子有界性的某些结果。t 髓d u o n g ，g r a f a k o s g l y a h 2 9 1 等人给出了非光滑 核的多线性算子及其交换子的有界性。2 0 0 9 年l e r n e r ，o m b r o s i ，p e r e z ，t o 嚣和 t r u j i l l o g d 陀獭，p z 等人构造了多线性a v 权【1 8 】。他们用更小的精细的多线性极大算子来 代替常规的多线性极大算子，给出了一些估计，并用这些结果得到了多线性奇异积分算子的 加多重权的有界性，系统地建立了相应于多线性算子的彳口权理论a 3 第二章一些定义、引理和主要定理的介绍 首先，我们定义如下上f f 比w d o d p a l e yg ：函数： 裸一南p m 圹缚捌， 鹏) = t - n 缈( 其中y 是定义在r ”上的函数，且存在正常数c o ，c l ，艿及，满足： ( 1 ) y z ( r ”) 且l 少( x ) 出= o ； ( 2 ) i 沙( x ) l - c o ( 1 + l x 旷； ( 3 ) | y ( x + y ) 一缈( x ) l - - - c 。y m + 帅一一，如果2y x 对于任意给定的正整数聊，l i t t l e w o o d p a l e yg ：函数的多线性交换子定义为： 豉彤十， ( 南) 了m 烨，嘶垆驰，卜龙 a y a t f 打+ l 这里6 ( x ) = ( 岛( x ) ，6 2 ( x ) ，6 m ( x ) ) 且乞 o s c ：，够1 ( 傀沙的定义见下面定 义2 6 ) 注记2 1 ：或，5 的定义是西的推广，- f 删m = 0 i t , j ，g 二= g a 。 众所周知，带p o i s s o n 核的经典g j 函数的弱( 1 ，1 ) 和弱( p ，p ) 有界性分别被 e 朋s t e i n 3 0 1 nc f e f f e r m a n 【3l 】所研究。c f e f f e r m a n 还在【3l 】中建立了g ：的p 有界性，这里 p 2 对于给定的p ，1 1 和对于所有方体q ， ( 2 2 ) ( 面1 e “7 砂7 - 三嵫c 2 ，1 ，) ) 号m p 眺 定理2 3 对于给定的p ，1 p 2 。 如果双权( z ，v ) 满足对于某个， 1 和对于所有方体q ， ( 2 5 ) ( 击归卜1 气 。 6 和 z ；厂c x ，= s u e _ o 。f ，t , _ i o l l i 厂c y ，一l 占咖 i s ，u 。q p i 2 f ( i i 豸i 厂c y ，一c i 占方 否，万 。 这里q 是尺”中的方体，则m l 恰好是标准的h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子，卅就是著 的f e f f e r m a n - s t e i ns h a r p 函数，我们简记m , f = m f ，m , v = m “。 下面再分别定义二进极大函数和二进s h a r p 函数： 肋名厂c x ，= s ，u 。q p ( i g l i c 少，i j 咖 i ，万 。，和 ，d c x ，= s ，u 。q p ( 1 彰l i 厂c y ，一尼i j 咖 了磐i 2 f ( 南e l 厂c y ，一c 1 5 砂 孑，万 。 这里q 是r ”中的二进方体。则m ，恰好是标准的二进h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子， 聊d 就是著名的麟删册一s t e i ns h a r p 函数，我们简记聊厂= m d 厂， m p f = m 轧f 。 ( 2 ) 与o r l i c z 空间有关的符号、定义和引理 定义2 1 在【o ，) 上的函数称为y o u n g 函数，如果它是连续的，凸的和严格 递增的且l i m 竺盟：l i mt _ l _ ：0 。 t - - - ，o + f ，* 西( f ) 定义2 2 对于定义在方体9 上的函数，厂的平均定义为： i l s l 叼制卜扣( 掣h 7 定义2 3 极大算子为：心( 厂) ( x ) = s ，u 。q pi f 中，q ，这里上确界是对所有包含 x 的方体取的。 定义2 4 二进极大函数以为：础( 厂) ( x ) 2 驾l s l l 中，q ，这里上确界是对所 有包含x 的二进方体取的。 如果，= t l 0 9 5 0 + f ) ( s o ) ，我们记0 厂k q - i s 忆崦盯，9 ，收- - m l o o g l ) ，。 如果，= e 。一1 ，我们记l 厂k 口= l l s 唧r ，q ，= m x 。 定义2 5 对y o u n g 函数，函数厂的震荡o s c ( f ，q ) 定义为 o s c ( f ，q ) = i i s 一到m 也。 同样，我们定义0 厂9 2s u q p 仇( 厂，q ) ) 这里上确界是对所有彤中的方体q 取的。 我们将利用下面一般化的h 6 l d e r 不等式，更一般的情形【7 】。 南肌加肋) 咖) 陟 c i i s , l o , ：, q - - - s i i 呻曲固i 弛i 呲茹也 其中吉= 一毒_ ，巳扎而9 是彤的方体。 定义2 6 对r 1 ，我们定义空间o s c 哪厶 伽f = f 如( 足研l l s l l o , 1 ，空间o s c 钟工，适当的包含 w b m o ( r ”) 中，且有范数关系j 1 6 j i c 蚓i 。，( 参见【7 】) 。 8 定义2 7 令1 p o ， 使得j c o 了b ( t ) 了d t 甜1 孚 定义2 8 设缈是定义在【o ，o 。) 上的连续的、严格单调增加的实值函数，使得 妒( 0 ) = 0 ，l i m q ，( x ) = 0 0 。令i f ，= 缈， j 余函数酗= f i f ，( x ) d x 。 f 【o ，) ，f i 三3 ( b ( t ) = f 妒( x ) d x ， 对给定的正整数肌和所有的1 后聊，记。为 1 ，2 ，所) 的所有有限子集 盯= 盯( 1 ) ，盯( 2 ) ，盯( 七) ) 全体。对任意的仃c ? ，定义盯为 1 ，2 ，m o - 。 设云= ( 6 l ，6 2 ，屯) 为一类局部可积函数，对所有的1 七聊和任意的 仃= 盯( 1 ) ，o - ( 2 ) ，盯( 尼) ) c ? ，我们记瓦= ( 乞( 1 ) ，( 。) ) ，吃= 屯( ，) ( 。) 。 对于任意向量吃= ( 吃( 1 ) ，吃( 。) ) ，我们记 i i v 1 l o 扫柏，m ，i i o , 。o 特别地，当盯= 1 ，2 ，所) ，记制b 。 定义2 9 对于每个盯= 盯( 1 ) ，盯( 2 ) ，o - ( k ) ) c ? ，定义或石的第七个多线性交换子 嘲似十呙胁烨枷也小小撒降 若仃= l ，2 ，研 ，men ( 其中为自然数集) 很显然，西石= 或j 。 引理2 11 3 0 1 设6 b m o ，0 p r 2 ，则存在正常数f ，使得对所有有界紧支 集的函数，下面不等式成立： 彬( 矗彤) ) ( x ) 0 ，和一族以高为w 相关与b 的函数厂进行c - z 分解，得到方体 掣) 的子族 最) 使得对每个，gc 3 最对某个后成立。 如果将上述假设中的m s 换成聊，则我们可以将上述结果加强：即能找到丑，使 得gc 最和- - v 。 引理2 3 1 9 1 给定g 口，1 p 2 ”， 0 ，对每个整数后， 以高为阳对g 进行c z 分解，得到一方体族 q ) ，则存在m o 和互不相交的集 口 。，k ) ，ec c ，使得i q i m i 骘i 。 引理2 4n 9 1 给定一个场“馏函数，假定厂是一个非负函数使得l i 厂k ，口趋于0 当 q i 趋于时，则对于每个， o ，存在互不相交的二进方体族 q ) 使得对于每个f ， 1 0 - , ，) = u q 和 p r ”：m 8 厂( x ) 4 ”0c u 3 c ：。 而且，方体族 q ) 有极大性：若q 是二进方体使得qc x e r ”：聊厂( x ) r ) ，则 9 c q 对某个f 成立。 引理2 5 0 1 9 1 ( 广义h 6 1 d e r 不等式) 如果彳，b ，c y o u n g 函数，使得 a - i ( f ) c 1 ( f ) b 。1 ( f ) ，则对所有函数厂，g 和任意方体q 有0 唐k q - 2 1 1 i l l 4 ，q i g l l c ，q 。 特别地，任意给定函粉南肛陋2 叼功。 ( 证明见w e i s s 3 4 ，0 n e i l 3 5 ，【3 6 】) 引理2 61 1 9 】设b 是双倍y o u n g 函数， m b ：( r ”) 专口( r ”) ( 证明见【6 】) 则f _ b ( 厂t ) 了a r t 。成立当且仅当 引理2 7 2 0 1 给定一个非负函数厂l q 对某个g ，1 g 0 ，使得对于每个， 0 ，存在以高为f 占对厂占 进行c z 分解所得的方体 q 5 的子方体族 蟛) ，并且有如下性质： 南e l 厂艿一( 厂艿k 卜 万 s 毛和对所有的 p 导，哿r ( x e r ：m f f f ( x ) ，) ) u ，f o 引理2 9 给定厂 1 和权函数“，我们在可测集ec r n 上定义集合函数4 使得 郴) _ i e l 圭( 舭) 叫南舭卜酬i 时第二个等式 所定义的集合函数彳有如下性质： ( 一) 如果ec f ，则4 ( e ) f 盥i f i ) 丫群( f ) ( 2 ) u ( e ) ( e ) ( 3 ) 如果 q ) 一族互不相交的集合并且满足e = u e j ，则 j 群( 乞) 4 ( e ) 引理2 1 0 1 设五 2 和o 万 1 ，则 彬( g ：厂) ( x ) 渺( x ) 注记2 3 ：将上述引理中的彬和m 分别换成m y 和m d 引理仍成立。 注记2 4 ：在下面定理的证明中，正常数c 在不同的场合是不同的。 1 2 定理2 1 的证明 第三章主要定理的证明 不失一般性，假定u 是有界的一般的情况可以通过如下证明马上得到：如果( 2 3 ) 成立，则用= m i n u ，n ) 代替u ，并且如果( 2 3 ) 的左边对成立且常数c 与n 无关， 则通过f a t o u 引理，便得所需的结论。 l 下面假定厂c ( r ”) ，吲定万，0 6 口) 则l ( g ：门p 甜出。彬( g ：厂) ( 石) p “出口，；甜( g g + ) 口，；扩材( 哦) 因为西厂口，1 口( t + 1 ) j 一( 1 9 ：i 艿) c ? c x 口：m d ( 1 9 ：l 艿一( i g ：厂厂) 口) c 功 口 因为二进极大算子是弱( 1 ，1 ) 的和口e ，则 1 4 q 。+ 。n 口l 口一 艿ll l g ：厂l 万一( i g ：1 1 5 ) 。卜5i c ， 这就证明了( 3 4 ) 。 于是我们得到 a p 口和“r l 乙，k ) 口2 ，口助r ( q n e ) 口2 p g 扩“r l 乙，k ) + 口2 p 口扣彳( 口) ，0 q 下面证明口助“r i l ，i k ) g 口) c x r ”：m y ( x ) f 9 1 矿 由引理2 2 知( 令b ( f ) = ，和= 1 ) ，对每个后，存在一族以高为p a 对厂进行c z 分解后得到互不相交的方体 譬 ，使得口c3 譬对某个，成立。 1 5 - ， 妒 口 ，乍佃 印 口 + 口鬈 妒 口 占一， 占 印 口 一 因此，通过引理2 9 条件( 3 ) 得，口2 ，口g o 7 l l ，k ) 2 口2 ，“q k p a r f 乙l - , j k ) 妫2 p 矿邪彤) 2 a 2 p p - ? k , j 邪彳，峙l 叫p 七，j ll f ，l j 娩k , j 俐( 南如7 出 再由引理2 5 和( 2 2 ) 知， 晓k , d 南如7 出 卜古| l ：，3 哆l 古蛀哆c 否l 彳i l i 少古恍哆 通过引理2 3 ，存在一族互不相交的 骘) 使得每个嘭与它的子集彤是可比较的， c 否i e i l l 户古蛀哆c 否岛k ( 少古 ，出c l m 吾( 少 ，出 再由引理2 6 ，坞是l p 有界的，因为b 满足引理2 6 的条件，所以 c l v d x 定理2 2 的证明 当研= o ，贝j j c o ( t ) = t p + 8 ，于是c o ( ，) 满足定理2 1 的条件( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，g ：5 满足 力n x y 权强( p ，p ) ，所有也必定满足加双权弱( p ，p ) ，所要证明的定理证毕。 下面固定历l ，再固定l p l 且p q ，取适当的g 和，即可。利用引理2 7 ，固定磊和4 ， o 磊 o ，存在互不相交的二进方体族 g ) ，满足 - 1 6 、j 出 一p 矿 p 矿 广 l 上例，l jvii， j v l i ， g ：，；( ) | 晶一( 1 9 j 石( 厂) i 磊) 研出p 伸 凹( 卜肛( 似工) i 咖s 伽u p ，p “( k ：吆( g ：，5 ( 似x ) ) f ) ) s u p t p r 0 彰( g ) 由引理2 对每个歹和，彰c x 尺”：m 毫dc g 。c 厂，c x ， s 去r c x r ”：c i l 云8 t 。，铭茹c 厂，c x ，+ 喜荟i i 瓦i 。群尹 巧( g ：；万c 厂，) c x ， s 去， 十肛， 嘉 划u t = l 口e c 7卜：啪彤小咖 上 s s o t 其中描+ 。毒咖，雕u 吉辄再令k = c du x 创：蟛( g l 石( 厂) ) ( 咖 c uu x 肛蟛( g 石( 厂) ) ( x p i = 1 口e 掣l 0 瓦0 妇。护 上 s 岛 c 俐歹 u 卜：绯妙) ) ( 少融x e r ：m t o o g t ) , , ( f ) ( x ) k t ) 当f = 1 时，c o 厅q ，得到一族集合厩，互，龟它们有共同的特点就是集合 1 7 - 一彰 ，。一 卜：啡川 一b - ：ao s c e x p o o 卜概呷。 当f = 2 时，c + c l 办c 三+ ，得到一族集合鼻+ 以，t + 已，龟+ 已，它们有共 集合x er d k 驯 旦i 瓦1 0 , c o x , 卜q 当i = m - 1 时， + 已+ + g _ 2 h 已+ + c 一，得到一族集合 龟+ g i ，叶。，m - 29 * * 9 龟扣+ 吁- ，它们有共同的特点就是集合 卜：啡“叫 亡 概 扯酗凇浦始媳u 卜r _ 鸠d k “门p 亡卜排解 由上面的讨论，将集合u 工”：鸠( g ：，5 ( 厂) ) ( x ) 砭 重新排序得 j - i 口e 卵i1 1 忆岛i 嘲，x er n d p 计 乞，= n 虬( 呲广( 似x ) 鼢 ，所以， 对每个_ ，和，我们不可能得到i gn e l o q 两一7 当彰一f 2 m ，则l 蟛n f 专i 彰l ，由引理2 2 令= 歹1 ，存在y o ，使得对每 个， o ，存在一族互不相交的二进方体 f ，对每个- ，使得踢ca p , 。对某个，成立， 且州 v t 。 1 因为巳o ) = r p kl o g ( e + t ) 啊p k ) ，则g 1 ( f ) f 鬲l o g ( e + t ) 一。b ( ，) ：t l o g ( e + t ) ”， l 则b - 1 ( f ) = t l o g ( e + t ) 一，所以f p g l ( ，) b 一( ，) 。 于是，由引理2 9 条件( 2 ) 和( 3 ) 和引理2 5 和条件( 2 4 ) 得 ( 3 6 ) 掣篆“( 彰卜s 伽u p t t ，荟碍彰( 彰卜s 伽u p f p 军们f ) 如s 。u p t p e ， 3 引( 南如7 c 哿莩( 南如7 出 c l l s l p v d x 情况2 ：对s u p ，群( q ! ：) 的估计。 协。踢磊一7 州：，片 - 1 9 m ，诚如s u p x 。l , l s l ，眺 jvil， 黼地扯耐k t 阍肭果彰瓦刚能使 得踢cc ，其中 c ) 为以高为s 对l g ：( 厂) r 进行c z 分解所得的方体。因此，由 引理2 9 的条件( 2 ) 和( 3 ) 得 g 装( 彰) o ， e 的一族子方体 虿) ，如果x 虿，则 嵫d ( g ：( 力) ( x ) 肛， n s 脚u p ，p 莩( c ) s c s 伽u p f p 莩群( 蟛) 又因为虿c x r ”：峨d ( g ：( 门) ( x ) f i t c x r ”：m d ( x ) g 1 f i t ) 由引理2 2 ( - 令- t = 1 ) ，对每个f o ，存在互不相交的二进方体族 f ，使得对每 个歹，踢c 爿对某个，成立，并且满足0 k 厅 v t 。 则通过像情况l 中( 3 6 ) 开始的类似讨论那样，我们可以得到 哿厂篆群( 踢) c m 诎 情况3 ：分别对1 办2 ”- 2 ，s u p ，4 ( q ! ；) 进行估计。 t o 科e 瓦 当1 f 卅一1 时，先固定f ，于是我们得到c 二个集合+ 矗扣+ 甜，龟。+ 以。 再分另i j 对s 棚u p f p 蒹群( 彰) e + 已1 姚已+ + q 进行妣 当e + 已+ + 簖1 h q + + q ，仃口，像情况2 所讨论的那样，并且利 用推论2 8 ，存在盼。和一族互不相交的二进方体 刃，使得x 万贝| j 2 0 肘( g ：南( ) ) ( x ) 孱f( 其中g ：弦( 厂) 的定义见定义2 9 ) ， 并且，s 伽u p ，磊4 ( 蟛) c s 伽u p ，尸军彰( 彰力) f o 科e 巧 7 o 、7 再利用引理2 1 和重复像上述定理的证明和情况( 1 ) 和( 2 ) 所讨论的那样( 稍作 ，经捌槲算便可懈s 棚u p ，p 磊鬈( 彰) c m p 诎。 所以，s u p ，群( 踢) c l l 厂r 诎 h = l t o 科e 瓦 综合情况l 、2 、3 的讨论就可以得到定理2 2 所需证明的结果。 定理2 3 的证明 当聊= 。，岛。，= ，4 1 。，c o 一1 。，因为( 南“7 出于卜一刍i i c o ，q c ， 明南r d t ， 则由定理2 1 知，所证结论成立。 下证( 辜) 成立，事实上，令x = g o ) ( 木) 割严1 了d t 宰n 吖) 出 f ( 宇厂_ c o - ( x ) 出= f ( 宰卜 因为4 。( ，) c o - 1 ( ，) f ， f ( a o l ( t ) - 卜令 一又因为舭，地c m 2 1 = 旧，4 出 所有( 宰) 成立。 上c 4 2 0 ( p x ) x 镏0 由引理2 1 知，存在0 万 其中嚣+ 万1 蛳，纠删尹1 麒k 2 箱， c c=j斗甜：啡州丽ki=ik 妒 口e c ，l二0 i i n 如l u 卜：啡妙) ) ( 咖南叫：c 一封 2 2 c du x 鲋：鸠d ( 噍( 叫( 少 cu u x 肛鸠( g ：元( 川( x ) 8 1 “吖i u 卜船圳2 ”忙 2 卅 瓣妒 u 多) 当f = l 时，q - - - j - 2 ”妒 中的所有仃呷。 当i = 2 i t , j ，c o + 已歹已+ ，得到一族集合2 ”触妒 中的所有盯凹。 当i = m 一1 时， e + 已+ + q 。2 已+ + q ，得到一族集合 ，膏 ，f ：，它们有共同的特点就是集合 碍+ 西埘2 。砖h 四4 卜_ 孵( 曲m 2 肼 妇舻 中的所概 由上面的讨论，将集合g ，。叩t f u x r ”：m ；( g ：元c 力) c 功由上面的讨论，将集合u x ”：m ；( g ：元( 力) ( 功 扛ld e c ，l 得粤彳，再记互。一。= x r “：蟛( g ：c 门) c x ， 弧舻 e = x er m 。崦三厂( 似x ) ；) ，所以，或c2 _ - 2 劈u 2 3 1 重新排序 j 肿 ， 2 1，j 胁p u 对于每个整数j f ，l 2 肺，我们定义可为由所有满足i 口n 口i 古l c ：l 的c ：所 组成的集合。显然，对于每个w ，至少存在，使得c ：e ，因此， 2 a 2 p 扩群( 或) 2 口2 尸口k p q r l 。k ) 。 i ，( ：e q j 2 l ，或砰 为了完成定理的证明，我们只需证明2 肌个和芝_ 口k p r l 。k ，刀刀i 。被- c l l 厂i ，v 出控制 k c ：f 即可。 下面分三种情况讨论： 情况1 ：对l 口印4 ( c ：) 的估计。 k c ：e f 。l 因为或巧，所以i 或n 虿l 专蚓，于是由引理2 2 ( 令= 歹1 ) ，存在 l ， q ，使得对于每个七，存在一族互不相交的二进方体 彳 ，它具有如下性质：对 于每个或砖，存在芹，使得c ：ca e , 和0 ，彳 v a 。 于是，我们可以像定理2 1 的证明一样，得到 口k p q r l 。k ) 日k p r l l 。k ) 口印4 ( 3 彳) c 群( 3 彳) l l s 岐，彳 k ：e - 。k k i c ：c 3 p k jk i 南帘理假设和引弹2 s 知 c 驯( 南如7 出卜弓0 二片l 户刍l l ，黟c 否旧。1 0 夕吉0 二片 再由引理2 3 ，存在互不相交的集合族 嘭 使得 c 否l 辟i l l 声 蛀c 否岛( 户古 ( x ) p d x s 9 其忙孺k c 这里k 2 硐c a k ， 则由引理2 2 知，如果我们以s 4 为高度对k ：( 力1 4 进行c z 分解，得到一族方体 饼) ，则对于每个w ，存在，使仔z 乙。kc 饼。因此，由引理2 9 条件( 3 ) 知 l 扩( 或) 铲4 ( 饼) l 砖e 哆i 7 但是，上述不等式右边的估计可以类似像定理2 1 的证明一样，从定理2 1 的( 3 2 ) 开始证明( 证明稍作改动) ，于是得到 善口印群( 饼) c l l 厂i p l ，出 情况3 ： 对l 口印4 ( c ：) ， l ，2 ”一2 的估计。 k 盛e f ； 当1 f 坍一l 时，下面固定f ，于是我们得到已个集合呓也。霄，甓一，下面 分别对- 扩群( 或) ，e + 已+ + 1 已+ + q 进行估计，盯掣， 女，c ，k5 1 k 啪珏c 刊饥峥( 硐k 卜c 锄燃喇) ，使 得e 口k p 色r 。乙，k ) 护群( 饼) 。 kc：ef：|j 2 5 现在我们利用上面的讨论，从( 3 7 ) 的证明开始，分别对g 个和 芝口妒4 ( c ：) ，q + c 二+ + 爵1 c 三+ + q 进行估计，产生新的一族 互不相交的方体 万 和p o ，使得如果x 一q t k t - ，贝| j m 葺d ( 如( 叫( x ) 。 而且否a i v # 7 k k , f 扩群( 万) ，于是通过像从( 3 7 ) 开始证明所讨论 的那样剑情况( 1 ) 和( 2 ) 结束为止，重复进行有限次，可以得到对每个 c + 已+ + c 1 _ ，q + + q ， 乏扩鬈( 或) c l w 诎。 k c ：e f ： 所以，z 乏- - z 乏日助群( 硭) c l i 厂i p 诎。 2 l t ，心e 辟 综合情况l 、2 、3 的讨论就可以得到定理2 3 所需证明的结果。 2 6 - 参考文献 【1 a e c a l d e r o na n da z y g m u n d ，o nt h ee x i s t e n c eo fc e r t a i ns i n g u l a ri n t e g r a l s ，a c t a m a t h ，8 8 ( 1 9 5 2 ) 8 5 - 1 3 9 【2 a e c a l d e r o na n da z y g m u n d ，o ns i n g u l a ri n t e g r a l ，a m e r j m a t h ，18 ( 19 5 6 ) , 2 8 9 3 0 9 【3 c f e f f e r m a na n de m s t e i n ，s o m em a x i m a li n e q u a l i t i e s ，a m e r j m a t h ，9 3 ( 1 9 7 1 ) ，1 0 7 11 5 【4 】b m u c k e n h o u p ta n dr w h e e d e n ，p e r s o n a lc o m m u n i c a t i o n 【5 b m u c k e n h o u p t ，w e i g h t e dn o r r ni n e q u a l i e sf o r t h eh a r d y l i t t l e w o o dm a x i m a lf u n c t i o n ，t r a n s a m e r m a t h s o c 16 5 ( i9 7 2 ) ，2 0 7 - 2 2 6 【6 c p e r e z , o ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eb o u n d e d n e s so ft h eh a r d y l i t t l e w o o dm a x i m a l o p e r a t o r b e t w e e nw e i g h t e dus p a c e sw i t hd i f f e r e n t w e i g h t s ，p r o e l o n d o nm a t h s o c 7 1 ( 1 9 9 5 ) ，1 3 5 一1 5 7 【7 c p e r e z , r t r u j i l l o - g o n z a s h a r pw e i g h t e de s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s jl o n d o n m a t hs o c ，( 2 ) 6 5 ( 2 0 0 2 ) ，6 7 2 - 6 9 2 【8 j a l v a r e z , r b a g b y , d k u r t za n dc p e r e z , w e i g h t e de s t i m a t e sf o rc o m m u t a t o r so fl i n e a r o p e r a t o r s ，s t u d i am a t h ，1 0 4 ( 1 9 9 3 ) ，1 9 5 - 2 0 9 【9 e m s t e i n ，h a r m o n i c a n a l y s i s ： r e a l - v a r i a b l e m e t h o d s ，o r t h o g o n a l i t y a n d o s c i l l a t o r y i n t e g r a l s p r i n c e t o n ：p r i n c e t o nu n i v p r e s sn j ，1 9 9 3 【10 d c r u z - u r i b e ，j m m a r t e l l ，c p e r e z , w b i t 曲e d w e a k - t y p ei n e q u a l i t i e sa n d a c o n j e c t u r e o f s a w y e r , i n t m a t h r e s n o t 3 0 ( 2 0 0 5 ) 1 8 4 9 - 1 8 7 1 【l1 l g r a f a k o s ，c l a s s i c a la n dm o d e mf o u r i e ra n a l y s i s ，p r e t i c eh a l l ，2 0 0 4 【l2 】a k l e m e r , w e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i e sf o r t h el o c a ls h a r pm a x i m a lf u n c t i o n ，j f o u r i e ra n a l a p p l ，10 ( 2 0 0 4 ) 4 6 5 - 4 7 4 【l3 】c p e r e