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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 反环的性质 摘要 环论作为一门重要的代数学科，是代数几何和代数数论的基础。交换性是 环的重要性质之一，交换性的研究有助于环的其它性质的探讨。反环的研究是 交换性研究与其它环论研究的交叉，它发展与深化了交换性的研究。 本文是在1 9 9 9 年p m c o h n 提出的反环这一概念和2 0 0 3 年y a n gl e e 讨 论的反环和交换环，约化环，对称环等其它环的关系的基础上，利用模论研究 的常用方法描述反环，研究了反环的性质并给出了反环的判定条件，得到了一 些新的结论。 本文分三个部分，主要内容如下： 首先阐述了课题背景、研究的目的和理论意义，国内外研究现状及其主要 研究内容。 其次给出了本文所涉及到的基本概念及其相关定理，这些概念及结论为后 面各章的证明打下了基础。利用根性、环同态及模同态的性质将张量积概念引 入平凡扩张中，揭示了某环上模条件下反环的张量积的性质；利用中心元来构 造一类分式环，讨论了它对反环性质的影响。 最后利用交换性研究的常用工具给出了反环的判定条件。一种判定条件是 利用反环子结构的特点，例如反环内部理想的特点，它的应用范围广泛但实际 操作不易进行；另一种判定条件是利用附加外部条件，例如附加多项式条件， 它的适用范围有限但因操作方便而更具实际意义。 关键词反环；环扩张；张量积；分式环；交换性 哈尔滨理- t 大学理学硕十学位论文 p r o p e r t i e so fr e v e r s i b l er i n g s a b s t r a c t r i n gt h e o r ya sa ni m p o r t a n ta l g e b r a i cs u b j e c ti st h eb a s eo fa l g e b r a i cg e o m e t r y a n da l g e b r a i cn u m b e rt h e o r y c o m m u t a t i v i t yi so n eo fi m p o r t a n tp r o p e r t i e so f r i n g sa n dt h es t u d yo fc o m m u t a t i v i t yi sb e n e f i c i a lt od i s c u s s i o no fo t h e rp r o p e r t i e so n t i n g s t h es t u d yo fr e v e r s i b l er i n g si st h ei n t e r s e c t i o no ft h es t u d i e so fr e v e r s i b l e r i n g sa n do t h e rr i n gt h e o r i e s ，i td e v e l o p sa n dd e e p e n st h es t u d yo fc o m m u t a t i v i t y b a s i n go nt h ec o n c e p to fr e v e r s i b l er i n gb yp m c o h ni n 1 9 9 9a n dt h e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nr e v e r s i b l er i n g sa n do t h e rr i n g s ，s u c ha sc o m m u t a t i v er i n g s ， r e d u c e dr i n g sa n ds y m m e t r i cr i n g sb yy a n gl e ei n2 0 0 3 ，t h er e v e r s i b l er i n g sa l e d e s c r i b e db yt h eu s u a lm e t h o d su s e di nm o d u l er e s e a r c h e s ，t h ep r o p e r t i e sa n d d e c i s i o nc o n d i t i o n so fr e v e r s i b l er i n g sa r es t u d i e da n ds o m en e wc o n c l u s i o n sa x e g a i n e d t h ec o n t e n to ft h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，t h eb a c k g r o u n d ，t h ep u r p o s eo fr e s e a r c ha n dt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e ，t h e i n t e r n a la n de x t e r n a la c t u a l i t ya n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ee l a b o r a t e d s e c o n d ，s o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sw h i c ha r er e l a t i v et ot h i sp a p e ra r e g i v e n ，t h ep r o o f si nf o l l o wc h a p t e rb a s e do nt h e s ed e f i n i t i o n sa n dc o n c l u s i o n s t h e c o n c e p to ft e n s o rp r o d u c ti si n t r o d u c e dt ot h et r i v i a le x t e n s i o nb yu s i n gt h ep r o p e r t i e s o fr a d i c a l ，h o m o m o r p h i s mo fr i n ga n dh o m o m o r p h i s mo fm o d u l e sa n dt h ep r o p e r t i e s o ft e n s o rp r o d u c to fr e v e r s i b l er i n g sa r er e v e a l e du n d e rt h ec o n d i t i o n so fm o d e a t t h es a m et i m e ，ac l a s so fr i n go ff r a c t i o n sa r ec o n s t r u c t e db yu s i n gc e n t r a le l e m e n t a n di t si n f l u e n c eo nt h ep r o p e r t i e so fr e v e r s i b l er i n g sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y ，d e c i s i o nc o n d i t i o n so fr e v e r s i b l er i n g sa r eg i v e nb yu s i n gu s u a lt o o l s ( s u c ha sr a d i c a l ，n i l p o t e n te t c ) o fc o m m u t a t i v i t y o n ed e c i s i o nc o n d i t i o ni sg i v e nb y t h ec h a r a c t e r so fs u b s t r u c t u r eo fr e v e r s i b l er i n g s ，s u c ha st h ec h a r a c t e ro fi n t e r n a l i d e a lo fr e v e r s i b l er i n g s ，i t sa p p l i c a t i o ns c o p ei sw i d e s p r e a db u tt h ea c t u a lo p e r a t i o n i sn o te a s yt oc a r r yo u t a n o t h e ri sg i v e nb ya d d i n ge x t e r n a lc o n d i t i o n s ，s u c ha s a d d i n gt h ep o l y n o m i a lc o n d i t i o n ，i t sa p p l i c a t i o ns c o p ei sl i m i t e db u ti ti so p e r a t e d e a s i l ya n dm o r es i g n i f i c a n c ei np r a c t i c a l 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 k e y w o r d s r e v e r s i b l et i n g s ，e x t e n s i o no fr i n g , t e n s o rp r o d u c t ，r i n go ff r a c t i o n s ， c o m m u t a t i v i t y h i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文反环的性质，是本人在导师指 导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本 人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研 究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将 完全由本人承担。 作者签名： 自华日期：加哆年犁月罗日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 反环的性质系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成 的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不 得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文 的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借 阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以 公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：相华 日期： w 罗年l 月夕日 新虢彳坼 醐：1 年尹月p 日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景及研究意义 代数学作为数学的主要分支，一直是数学方法与思想的重要来源之一。代 数学中的方法与结果具有广泛性，因而渗透到各个不同的数学领域。正是由于 代数学的推动，许多新学科相互交织而生长发展。例如代数与泛函分析结合产 生算子环，代数与拓扑结合而产生代数群。交换代数促进了代数数论与代数几 何的发展。 交换代数是建立在交换环的基础上的，因而交换性的研究对交换代数有促 进作用。反环是交换环概念的推广，对反环的研究是交换性研究的深入与发 展。 1 2 国内外研究现状 反环的研究是交换性研究与其它环论研究的交叉，是交换性研究的深入。 环的交换性问题起源于上个世纪初。1 9 0 5 年，w e d d e r b u m 提出并证明了“有 限体必为域这一结论，从而引出了一个非常广泛的问题，对于任意的一个 环，他在何种条件下为可交换的呢? 许多著名的数学家对此都颇感兴趣， j a c o b s o n 和h e r s r e i n 等均在这一领域内做出了不朽的贡献。 1 9 4 5 年，j a c o b s o n 把w e d d e r b u m 定理进行了推广并证明了：若对环r 内 的任意元素x ，有依赖于x 的正整数n ( x b1 使矿o ) 一工，则尺为交换环【l l 。1 9 5 1 年，k a p l a n s k y 证明了：如果体k 的元x 恒满足，o ) e z ( r ) ( k 的中心) ，则k 为域。此定理推广了与交换性有关的w e d d e r b u m 定理，n o e t h e r 定理，华罗庚 定理以及j a c o b s o n 的另一个定理，而且指出如何把它容易地推广到j a c o b s o n 半单纯环上去。1 9 5 3 年，h e r s t e i n 再把它推广到k i i t h e 半单纯环上去。1 9 5 1 年，h e r s t e i n 证明了：如果有以 1 使环尺的元素恒满足矿一x e z ( r ) ，则尺是 交换的 2 1 。1 9 5 3 年再推广成矿o ) 一x e z ( r ) 即可，从而得到j a c o b s o n 定理的明 显推广形式。随着研究的进一步发展，h e r s t e i n 又证明了：对任意的a e r 有多 项式见( t ) 使口2 见( a ) - a z ( r ) ，则r 为交换环。1 9 5 5 年再将其推广为二元形 式：若对环r 内任意元素x ，y 有依赖于x ，y 的多项式p ( t ) 使x x 2 p ( x ) 与 y 可换，则尺为交换环 3 1 ，这就是著名的h e r s t e i n 定理。j a c o b s o n 定理和 h e r s t e i n 定理是交换性领域中重要的两大定理，是我们研究环的交换性这一理 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 论最基本最重要的理论基础。 1 9 5 0 年，h e r s t e i n 证实了v a n d i v e r 猜想而把w e d d c r b u r n 定理推广成：如 果环r 的零因子恒在中心内且每个元素恒生成有限子环，则r 交换。1 9 5 4 年 把条件“零因子恒在中心内 削弱为“诣零元素恒在中心内。 利用h e r s t e i n l 9 5 5 年的结果b e l l u c e 等在1 9 6 6 年证明了：如果广义交换环 为半单纯的，则它为交换的。广义交换环的换位子理想为诣零的1 4 1 。( 若对环r 的x ，y 恒有自然数m ( x ，y ) 及n o ，y ) 使似) ”o y ) r o l l ( f ) 4 0 ，则说r 是广义交换 环。) 1 9 6 1 年，h e r s t e i n 把j a c o b s o n 最初的环r 满足矿- 引叩交换的结果推广为： 如果对环尺有咒 1 使x 呻1 c 。为r 到尺上的一个自同态，则尺为交换环。 1 9 7 2 年，g u p t a 得到了有1 的结合环恒满足( 砂) 2 - ( f ) 2 且无加法周期为2 的元素时必为交换环。 1 9 7 8 年，牛风文证明了：设尺为b a e r 半单纯环且有整数m22 ，如果对任 意a 1 ，口2 ， 4 。e r ，都有a l a 2 a 。一a 。a 2 a l ，则尺为交换的【5 1 。 随后，在1 9 8 0 年证明了结合环的两个定理。定理1 ：设r 为环，若对任 意的z ，y e r ，都有大于1 的整数露- n ( x ，y ) ，s - s ( x ，y ) ，t - t ( x ，y ) ，使得 似) 4 一x y 5 一x y ，则当r 不含非零诣零理想时是交换的；定理2 ：设为环r 的k i i t h e 根，若对任意的x ，y 尺，都有一个大于1 的整数m m o ，) ，) ，使 ( 砂) _ 一x y ，则尺为交换环且0 = n r = r n 。 1 9 8 2 年，郭元春去掉了趸半单环限制且同时证明了：满足似y ) - y x 的环为交换环；满足( 匆) “o ，r ) = x y 。o ，y o 1 , 1 1 , 2 n 一“1 ) 的k 一半单环为交换 环；幂零元诣零指数有界的b a e r 半单纯环r 中任意元x ，y 均有正整数 n ( x ，) ，) 1 使 一声y u ) 一0 ，则r 为交换环；满足a b 4 6 ”a 。( m ( a ，6 ) ， n ( a ，6 ) 有界) 的b a e r 半单纯环为交换环等一系列结论 6 1 。 1 9 9 1 年，傅昶林给出了环的交换性与它所满足的多项式系数和之间的紧密 联系。 1 9 9 3 年，t h o m a s 证明了：对于有1 的p i 环r 中任意的元素x ，y 恒满足 矿【矿，y 卜【z ，y ”p 。或【矿，y 卜i x ，y ”1 y 沏 1 ) ，并且m ，玎互素或n i x ，y 】霉0 可知b ，) ，】- 0 ，则为交换环 7 1 。 1 9 9 5 年，傅昶林和郭元春对满足可变恒等式的半质环，在某种有界条件下 给出一个判断环交换性的简便准则，并对无界情况也得到较为广泛的结果【8 1 。 1 9 9 6 年，a s h r a f m 证明了：对于有1 的环r 中任意元素z ，y 若满足： x p 【z 一，y i x 9 - x 7 i x ，y ”】y 5 或x p 【z ”，y i x 叮一y 5 i x ，y ”k 7 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 成立，则为交换环。 1 9 9 8 年，a b u j a b a l 证明了满足【矿，y x 7l y 5 i x ，y ”1 y 的半质环为交换环， 进而研究了有1 的环的交换性问题。 2 0 0 0 年，r o b e r t o 证明了无幂零元的有限环为交换环 9 1 。 2 0 0 0 年，蔡敏，傅昶林证明了：半质环尺中任意元x ，y 恒有具有t 一性 质的多项式厂o ，y ) 使，o ，y ) z 僻) ，则尺为交换环i l o i 。 2 0 0 2 年，傅昶林和杨新松提出并证明了具有强e 性质的环的一个重要的 交换性定理l n l 。2 0 0 3 年傅昶林等又将h e r s t e i n 定理进行了更为深入的推广1 1 2 j 。 2 0 0 2 年，m a h a r r a m ，j a d d a h 证明了：有单位元的左单式环若满足多项式 【，o ，) ，g ) - x 7 y ，z 卜0 ，f q ) a 2 z z 】，则它是交换环【1 3 1 。2 0 0 3 年，他们又证 明了：有单位元且m 一扭自由的结合环，若对峨，y r j 俾) ，同时满足 【似) 麻+ y ”7 c m ，x 】蓦【( y x ) - + y 脚，z 】l0 和b 4 ，y ”】一0 ，则r 是交换环【1 4 1 。 2 0 0 5 年，谢中根对半质环的中心元与交换性进行了深入的探讨，丰富了交 换性的理论成果【1 5 l 。 2 0 0 6 年，血d r z e j c w s l 【i 给出了环的交换性的若干注记【1 6 1 。 2 0 0 6 年，陈光海给出并证明了环的一个交换性定理【1 7 1 。同年朱捷、于宪君 也给出了关于半质环的几个交换性定理【1 s l 。 2 0 0 7 年，张立彬证明了满足( 毋) 一少z ( r ) 或l ，( 弦4 ) 一声4 z ( 尺) 的半质环是交换的【1 9 1 。 以上的交换性研究可以看作是反环研究的基础。由于非交换环大量存在， 因此交换性研究的一个深入问题就自然被提出来：在环不交换的条件下，是否 有与交换环相似的性质? 反环的研究就是基于这样的思想展开的。 1 9 7 1 年，l a m b e k 提出了对称环的概念，并且证明了反环是半交换环刚。 ( 那时还不叫反环) 1 9 7 3 年，gs h i n 证明了半交换环是阿贝尔环【2 1 1 。 这样我们就知道了反环，半交换环和阿贝尔环的关系。 1 9 7 4 年，e pa r m e n d a f i z 证明了约化环是a r m e n d a r i z 环【2 2 l 。 1 9 9 8 年，a n d e r s o n c a m i l l o 证明了：如果尺是一个左右诺特环，那么尺是 a r m e n d a r i z 环当且仅当尺是约化环【2 3 1 。 2 0 0 0 年，n kk i m ，y l e e 证明了a r m e n d a r i z 环是阿贝尔环 2 4 1 。 在此基础上，我们就得到了约化环，反环，半交换环，a r m e n d a r i z 环，阿 贝尔环的关系。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 9 9 0 年，h a b e b 研究了环在零交换环或( z c ) 环下是反环的条件 2 5 1 。 同年王建平研究了z c 环与v o nn e u m a n n 正则环的关系 2 6 1 。 1 9 9 8 年，t u g a n b a e v 提出零交换环的概念：v a ，b e r ，a b = 0 ，有a r b b r a 0 。 1 9 9 9 年，c o l m 最先提出反环的概念，它是一类包括所有交换环和整环的 环，指出k i i t h e 猜想对于反环也是成立的；同时还介绍了完全反性这个更技术 性的概念，指出一个完全反环嵌入到体中当且仅当它是整环鲫。自此以后，越 来越多的人来讨论反环和其它一些环如半交换环，对称环，a r m e n d a r i z 环，阿 贝尔环，d u o 环的关系 2 s , 2 9 , 3 0 l 。 有了反环的概念后，零交换环的条件就等价于有单位元的反环。 1 9 9 9 年，d d a n d e r s o n 和vc a m i u o 证明了约化环是对称环，但对称环 不一定是约化环；同时指出了存在非交换非约化的对称环和非对称的反环。他 们把乘积为零的元素相乘可以交换的环叫反环，用z g 表示p 1 1 ；而k x e m p a n i e w i e c z e r z a l 用c n 表示 3 2 1 。 2 0 0 1 年，吴俊研究了约化环，反环，半交换环，n 环的关系【3 3 】。 2 0 0 3 年，c h u h 和k i m ，l e e 分别证明了反环上的多项式环未必是反环， 半交换环上的多项式环未必是半交换环例。 2 0 0 3 年，o r e gm a r k s 首先指出交换环是对称环，对称环是反环，但反过 来不成立；其次研究了d u o 环，反环，对称环这三类环的关系；再次讨论了有 单位元和无单位元两种情况；最后总结了约化环，对称环，反环，( s d ，2 准 素环和所有质理想是完全质理想这六者的关系【3 5 1 。 2 0 0 3 年，n kk i m ，yl e e 首先研究了在有单位元1 的情况下反环的性 质和反环的基本扩张及和反环相关的一些环的关系；其次讨论了反环上的多项 式环未必是反环及一些多项式环的反环性；其次证明了尺是约化环，则尺上的 三阶全矩阵环是半交换环但不是反环；最后讨论了r 是约化环，n 是正整数， o ”) 是由x 。生成的理想，则r x ( x ”) 是反环嗍。 2 0 0 6 年和2 0 0 7 年，王占平等继续研究了对称环的扩张，证明了对称环上 的多项式环未必是对称环，进一步讨论了对称环，反环，半交换环，约化环， 满足z c 的环，满足z ，- 的环的关系【3 7 3 8 1 。 2 0 0 7 年，z h a ol i a n g 和y a n gg a n g 研究了弱反环，它是反环的推广。如果 一个环尺是弱反环当且仅当以阶上三角矩阵环互俾) 是弱反环p 引。 2 0 0 7 年，闻杰研究了对称环和反环的性质，给出了一类环斜群环是反环的 充要条件，并举例说明了反环的m a r t i n d a l e 商环不一定是反环 4 0 l 。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 0 0 8 年，张春霞讨论了在约化条件下，比平凡扩张更广泛的一类扩张环的 半交换性，为我们研究反环的平凡扩张提供了一定的方法【4 1 1 。 反环的研究虽然得到了很多结论，但还有许多未知的结论及理论等待我们 去研究和解决。 1 3 课题来源 本课题来源于黑龙江省自然科学基金。 1 4 本文的主要研究内容 本文主要是对反环的性质进行研究，并尝试给出反环的判定条件，希望得 到一些新的结论。 首先，我们在平凡扩张r 僻，r ) 已有研究的基础上希望给出刀次平凡扩张 的概念而得到只是约化环，则尺的玎次平凡扩张也是反环的结论；同时尝试利 用模论的研究工具讨论尺为约化环m 为不同模时的平凡扩张，永田扩张， d o r r o h 扩张的一般情况，给出反环性质的模论刻划；并研究将张量积概念引入 平凡扩张中且利用中心元来构造一类分式环，讨论这种分式环对反环性质的影 响。希望得到以下具体内容： 设尺为约化环，m 为尺一尺双模。若m 满足a m a 一0 ，则0 一a m m a ， m e m ，a e r ，那么t ( r ，m ) 为反环。 设s 为整环，r 为s 上代数f ir 为反环，则d ( z ( s ，尺) ，s ) 为反环。 设尺为整环，m 是忠实循环r 一模，q ，呒是尺的单自同态，令 n ( r ，m ，q ，吼) 一 ( ，臃) i ，r ，m e m 且 ( ，”) ( s ，厅) ，( r s ，g l ( r ) n + 呸( s ) ，露) ，( ，疗) + ( s ，n ) - ( r + s ，m + 万) 那么n ( r ，m ，q ，吼) 为反环。 设尺为有1 的约化环，令z ( 尺，r ) 1 m ，则z ( 尺，m m ) 为反环。 设尺为有1 的约化环，m 为循环尺一模，a m m a ，ae r ，me m ，n 为r r 双模，吒( 口) 一肌 口为到m 置的单同态，若t ( r ，m ) ， t ( r ，n ) 为反环，贝i j t ( r ，m o 。) 仍为反环。 设环尺为整环，仃是r 的单自同态，m 。是忠实循环尺一模，则有 ，、 lr ，o m ：，i 为反环。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 设尺为反环，s 为中心乘法封闭集，则s 以r 为反环。 其次，我们给出了反环的两种判定条件，一种是利用反环内部的理想的特 点判定，得到了两个性质定理和两个判定定理；另一种是利用附加多项式条件 的判定，得到了交换环的三个判定定理。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 1 预备知识 第2 章反环的性质 2 1 1 基本定义和定理 定义2 1 f 刑1 环尺称为反环，是指由a b 一0 可推出b a 一0 ，其中a ，b e r 。 定义2 2 融m 环r 称为约化环，是指尺中不含非零的幂零元。 定义2 3 1 2 0 p 5 9 环尺称为对称环，是指由a b c 一0 推出a c b 一0 ，其中a ，b ，c e r 。 ( 一个等价条件是若仉r 一0 ，则r i o r ( 2 ) - r i ) - 0 ，仃是 1 ，咒) 的任意排 列。) 定义2 4 1 4 2 1 无零因子的交换幺环，且1 0 ，就称为整环。 定义2 5 【4 3 l 环尺中的元a 如果不是尺的左右零因子，则a 就叫做正则元。 定义2 6 【4 2 1 4 6 若环尺乘法满足幻一b a ，a ，b e r ，那么尺称为交换环。 定义2 7 1 4 3 】6 5 若环尺的零理想是半质理想时，我们称尺为半质环。 定义2 8 【4 3 1 9 2 如果环尺的j a c o b s o n 根基，一r ，那么尺就叫做根基环。如果 ，一o ，那么尺就叫做，一半单纯环，或简称，一半单环。 定义2 妒p 设域f 上的向量空间4 是任意环，满足a ( u v ) ( a u ) v u ( a v ) ，其 中a e f ，犯，y e a ，则a 叫做f 上的代数。 定义2 1 0 1 , 2 】5 一个非零环至少有两个理想，r 本身及 o ，它们称为尺的平 凡理想。除平凡理想外，如果尺还有其他理想，那么称为真理想。 定义2 1 1 1 4 2 j 埘我们设r ，r ，足为，个环。首先做加法群r ，足，r 的直 和rt e l o o r ，然后在尺中定义乘法如下 ( q ，口，) ( 6 l ，以) 一( 口。6 l ，口，6 ，) 则尺成一环，它叫做r ，足，g 的直和。 定义2 1 2 【4 3 】6 8 假定a ，b 是环r 中的元，并且a 是正则元，那么在环r 中有 元a ，包使a 。b 一和，其中a ，是正则元。即a ，b 有公共倍元口。b 一瓴口，这条件 叫做左o r e 条件。 定义2 1 3 1 4 2 1 7 1 一个环到它自身的同态映射称为自同态映射，或者简称自同 态。 定义2 1 4 1 4 2 1 1 6 5 设m 为一个r 一模，规定 a n n ( m ) 一 ae r a x = o ，x e m ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则a n n ( m ) 叫做肘的零化子。 定义2 1 5 1 4 2 1 6 1 称m 为r s 双模，是指m 既是左r 一模又是右s 一模。 定义2 1 6 1 4 2 1 1 醪设m 为一个足一模，若存在一个x e m 使得m 。戤，即m 的元素y 都可表成yi 甜，a e r ，则m 叫做一个循环尺一模。 定义2 1 7 1 4 4 1 如果彳以以( m ) 一0 ，则m 是忠实模。 定义2 1 8 1 4 2 1 1 1 4 设r 是任意环，r 的乘法闭子集是指这样的一个子集sc 尺， 它对于乘法是封闭的。 定义2 1 9 1 4 2 1 4 4 设尺与r 是两个环，如果有一个尺到足的一一对应仃，它 具有性质： 、 o ( a + 6 ) 一仃( 口) + 仃( 6 ) ；o ( a b ) - o ( a ) o ( b ) ，其中a , b e r 那么尺就称为与尺7 同构。 定义2 2 0 4 3 】抛设m r 和r 分别为右r 一模及左r 一模，g 为加群。若称二 元映射f ：m 呻g 为r 一平衡映射，如果它满足下述条件： ( 1 ) f ( m + 所，以) 1f ( m ，玎) + ，( 肌，忍) ； ( 2 ) f ( m ，厅+ 咒7 ) - f ( m ，万) + f ( m ，刀) ； ( 3 ) 厂( m r ，n ) - f ( m ，朋) ， 其中，任意m ，m e m ，n ，万e n ，e r 。 定义2 2 1 4 2 p 1 5 设彳一( 口 ) 为珏以矩阵，b 一( ) 为所m 矩阵，我们定义 a o b - ( a 牙口) 它是一个n m n m 矩阵，称为a 与b 的张量积。 定义2 2 2 【4 3 】2 6 9 右尺一模m r 和左尺一模詹所做的张量积是一个加法群，记 它为m r ，以及一个尺一平衡映射 ：m _ mo 。，所组成的二元组 ( mo 。，o ) 。具有泛性质：对任意加群g 及任意r 一平衡映射厂：肘x n 呻g 所构成的二元组( g ，厂) ，都存在唯一的加群同态f ：mo 。n _ g 使下图可换： 定义2 2 3 1 4 2 1 1 如果一个非空集合s 的一个二元关系尺满足下列三条： ( 1 ) 反身性：a r a ，对所有ae s ； v 且 0m 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 2 ) 对称性：若a r b ，则讹； ( 3 ) 传递性：若a r b ，b r c ，贝j j a r c ， 则称尺是s 的一个等价关系。等价关系通常记成“一 。 定理2 1 t 4 2 j 1 设日为环足的一子环，为r 的一理想，于是商环n n n 和商环h + 同构 n u n ni h + n | n 而且映射x + 一工+ ( 日n ) 是日+ 到n nn 的一个同构映射。 定理2 2 忡2 6 假定r 是本原环，那么有体k 存在，使得尺与全矩阵环墨同 构，即r _ k ，或对于任意m ，r 有子环吃一k 。 定理2 3 脚】2 7 0 - ，一半单环同构于一组本原环的亚直和。 定理2 3 【4 5 1 半质环同构于一组质环的亚直和。 2 1 2 符号意义 本文以尺表示结合环，z 俾) 表示环尺的中心，似) 表示环r 的j a c o b s o n 根，r ( r ) 表示环尺中全体正则元的集合，彳咒以( m ) 表示膨的零化子，r o w 。a 表 示矩阵a 的第i 行，z 表示整数集。 2 2 平凡扩张 2 0 0 3 年，n a mk y u nk i m 和y a n gl e e 研究了反环的性质，其中，环的扩 张是主要考查对象【3 6 姗秘。本章将对其中的部分结论做推广，给出反环性质的 新的刻划。 定义2 2 4 【埤1 1 设尺是结合环，m 是尺一尺双模，我们称由膨张成的尺的平 凡扩张指 t 俾，m ) 一r o m 其中加法为普通意义下的加法，乘法如下定义： ( ，啊) ( ，m ：) 一( ，+ ，吒) 而且它同构于矩形环 (。rm ，) ，鳅一刨 运算方式是一般意义下的矩阵运算。 引理2 1 0 6 1 2 1 1 设尺为约化环，则r ( r ，r ) 为反环。 例2 1 【3 q 2 1 1 设日是实数域上的哈密顿四元数体，r r ( h ，h ) ，则由引理 2 1 知足是反环。但s n lr ( r ，r ) 不是反环，即反环上的平凡扩张未必是反环。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 我们已经知道，r 为约化环时r ( r ，r ) 的情况，那么r ( r ，m ) 会如何呢? 我 们下面的工作就是从多个角度探讨这个问题。 定义2 2 5 设r 是结合环，我们称由r 张成的r 的万次平凡扩张是指 z ( r ) - r ( r ，z 一。( 尺) ) 其中五( r ) - r ( r ，r ) 。 引理2 2 设r 为约化环，m 一足。为一个r 一尺双模，e 为单位矩阵，则 n 胎哦b ) i a e r , b e m 是反环。 证明叫口予驯口子a e 2 e 卜a l , a 2 e r , 啦若 ( 口予怠”子轰) 。r 鬈 q = z ) 则 a i e a ：e 一0 ( 2 - 1 )z、一一， 口，ea ：巨一0 c 2 )1 、一， a , eb 2 + 旦口：e 一0( 2 3 ) 由式( 2 1 ) ，( 2 - 2 ) 得a 。a ：- 0 ，由r 为约化环知a ：a 。一0 ，于是有 口：五i i 口。e 一0 ，口：巨口。巨1 0 将式( 2 - 3 ) 右乘口。巨，得口。e 最口。e 一0 ，则有口。皿口，一0 ，于是对v b o 皿有 a , b , j a 。一0 ，因此慨口，) 7t0 。由r 为约化环知口- 0 ，由的任意性知 垦口。一0 。同理有a ：e 一0 。于是有 a , eb 。10 ，垦口。巨10 则 ( 口予轰”予鑫) 。( 口2 名 尝z ) 2 。 故z 是反环。 证毕。 引理2 3 设r 为约化环，则乃( r ) ；t ( r ，t ( r ，r ) ) 为反环。 证明对( 言三扣2 三户：鼠乩则 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则 若 ( r 。t ：) ，( 苫：) z 俾，z 俾，尺”，r ，m l , m 2 e t ( r ，r ) ( 三：1 ) ( 乞m 2 ) 。( 苫历2 + m l ) 2 。 一0 r , m 2 + 己- 0 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 由式( 2 4 ) 及r 是约化环知 l i l t0 由式( 2 5 ) 知 ，卵：+ 。( 台乏) + ( ：三) 一 ( r , 。a 2 孙弦a 饥a ) 1 l p ：+ 口- 噍+ 虹、i 。o 1 0 r , a 2 + 口l j 于是有 口：+ 口。一0 ( 2 6 ) 啊也+ 岛一0( 2 - 7 ) 将式( 2 - 6 ) 右乘，得r , a ：一0 ，再由式( 2 6 ) 知口。一0 。 由r 是约化环得 口：一0 ，口，一0 。将式( 2 - 7 ) 右乘，得咆一0 ，再由式( 2 7 ) 知红一0 。由r 是约化环得么一0 ，嚏- 0 。于是有 则 能+ m 2 r l r 2 ( ；州台护一吒 ( zm 2 寸葛z ) 。 故互( 尺) 一丁( 尺，t ( r ，尺) ) 是反环。 证毕。 定理2 5 设r 是约化环，则尺的n 次平凡扩张是反环。 证明由引理2 1 ，2 3 知n12 ，n 一3 时命题成立。由数学归纳法知，只需 看万一k 时情况。 1 1 o 置 、l_l + + 蚺矾 于是 任取x z ( r ) ， 对眠 。 m l a l 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则x ；f 口 1 0 卅k 卜r 毛 n 吒 、 a e r ，m e t 一。俾) ，定义 甜 a e r ，m e t 。俾) 乏卜 则 a l a 2 。【o 叱训一n j ec ：岛) - 媒 1 + f ，口2 e a , e 10 如叶a 。2 h 1 嚣吒) 。( 苫 可见o r 为环同构。因此 由引理2 2 知z ( 盯( 墨) + 仃( 屯) m 2i o r a 2 e 。m ) l a e r , m e l ) ( ) 仃( 工：) 证毕。 上述定理中z ( r ，m ) 的模m 是结构清晰的，下面是稍显抽象一些的情况。 定理2 6 设尺为约化环，m 为r 一尺双模。若m 满足a m a 。0 ， 砌，m e m ，a e r ，那么t ( r ，m ) 为反环。 则 0 一a m 一 证明对v ( ：；7 ：1 ) ，( zm 2 ) j r ( 尺，- 叠) ，：，：r ，力嚏。，用曙：z 1 7 ，若 ( 三排 由式( 2 8 ) 及r 是约化环得 m 2 ) 4 册) 2 。 r a = 0 肌2 + m , r 2 0 一0 1 2 ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ， 、lii_， m 口 、l_-， 2 口小 ： + p 2 口 小口 、llll 鸭吒 + + 暇q 鸭啦 声o 4 ，i-l-i、l 啦啦 硒o 砷环 ， j 泛啪舨 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 将式( 2 - 9 ) 右乘，得r , m ：- 0 ，由已知有删：- 0 ，m ：一0 。再由式( 2 - 9 ) 知职一0 ，因此有一0 ，故由已知有r n , 一0 。于是有 ( z ) ( 三：1 ) 。( 苫r 2 m i 4 m 2 ) 。 故丁( 尺，m ) 为反环。 证毕。 张量积是现代代数学的重要工具和对象，我们将张量积概念引入平凡扩张 的研究。 例2 2 设日是实数域上的哈密顿四元数体，r - 丁( 日，h ) ，由引理2 1 知 r 是反环。 令s - r ：r - t ( h ，日) r ( 日，h ) ，则我们不妨可以将s 看成 具体证明可详见定理2 7 。 于是有 但 ( ( ( ，0 i 、 ii 1 00 j ，00 、 il 1 00 j ( 、， ( ：三)( 言 罢) ( ：)( ：三) k 脚 ( 三三)( 乞罢) ( ：)( ： 三) f 0 i1 【00 j f o 0 1 1 1 00 oi il 1 0 0 j 一0 一o 即s = 尺o ：r 未必保持反环特性。 那么哪些反环特性可以在张量积下保持呢? 定理2 7 设r 为有1 的约化环，令丁( 尺，r ) - m ，则t ( r ，m m ) 为反 环。 1 3 于是 证明 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 d 一主茎i口，6，c，dr 定义 ，：z ( 尺，r ) x t ( r ，r ) - - d 设彳。( 三：) 丁( 尺，r ) ，口- ( 三三) z ( 尺，r ) ，a , c e r , m , s e r , 则有 同理有 设r e r ，则 | n c m 2 睢 、 ，( 4t 4 ，b ) 一， | m 吒( 三讣 1 ( a ，e + 垦) - i ( a ，e ) + 厂( 么，且) 1 ( r a 川。，( ( 苫 ( ( 三 ( 三 驴，( ，( 三 讣巾川 ( 三 聃 因此，为z ( 尺，r ) x t ( r ，r ) 至uo 的r 一平衡映射。 由张量积定义知有g 丁( r ，r ) o r ( 尺，r ) 到d 的r 一模同态使 g ( a o b ) 一f ( a ，b ) 任取么 2 ( 三三) ，曰。( 三兰) ， 且g ( 彳 b ) 一0 。由 1 4 驴 6 口0 0 4 0 o 0 郴 眦 宝 船 嬲o o j c ) ) 仍 眦0 o 、l_ii 鸭吒 + + 小 口 、llli 肛以 ， + 、l-_-， 、l、， s c b c 0 4 卜卜 ， 、ln，-、 鸭q 卜 8 q 0 0厶 c 0 ，iliii、 ， 、llll m 口 c o ，i_一，、li 聊 m 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 知 于是 q ca db cb d 0