（应用数学专业论文）关于几个平均值函数的单调性及凸性的研究.pdf

摘要 在理论研究与实际应用中，不等式常常起着很重要的作用，它的重要性甚至超过 等式尤其，当许多方程无法求出精确解时，我们可以利用适当的不等式对解进行估 计 凸函数是现代数学中最广泛使用的概念之一，而与凸函数有关的不等式在数学基 础理论研究和应用中起着非常重要的作用有的文献介绍和研究了各种凸函数及其相 关性质，目前凸函数讨论一直比较活跃我们利用了凸函数及相关性质建立不等式及 改进部分结果，并得到了一定的成果，为写该论文奠定了一定的基础由于s c h u r - 凸函数在数学科学上的重要性，引起了数学家们很大的兴趣多年以来，s c h u r - 凸函 数被数学家们研究且因此获得各种不同的经典的结果 全文共分五章： 第一章，简述课题的发展历程、研究现状和本文所作的工作 第二章，讨论了广义h e r o n i a n 平均的s c h u r 凸性质和s c h u r 调和凸性质以及j “义 h e r o n i a n 平均比的s c h u r 凸性质、s c h u r 几何凸性质和s c h u r 调和凸性质，得到一般结 果 第三章，讨论了尺一平均数的单调性和凸性质 第四章，利用s t o l a r s k y 平均的比较定理讨论了q if e n g 型不等式： 答邵) 型f 丝卜驯哦工0 “6 0 ，口b b 。一a 。 、7x a + b 。 成立的充分必要条件 关键词：广义h e m n i a n 平均：s c h u r 凸性质：s t o l a r s k y 平均：r 平均数 t h e s t u d y o nm o n o t o n i c i t ya n d c o n v e x i t yo fs o m em e a nf u n c t i o n s a b s t r a c t i nt h et h e o r ya n dt h ea p p l i c a t i o n ，i n e q u a l i t i e so f t e np l a ya l lv e r yi m p o r t a n tr o l e ，i ti s m o r ei m p o r t a n tt h a nt h a to f e q u a l i t i e s e s p e c i a l l y ，i ti si m p o s s i b l ef o ral o to f e q u a t i o n st o f i n dt h e i re x a c ts o l u t i o n sv i ac a l c u l a t i o n s c o n v e xf u n c t i o ni so n eo ft h em o s tw i d e l yu s e dc o n c e p to fm o d e mm a t h e m a t i c s ，b u t t h e i n e q u a l i t i e sw i t hr e l a t e dt oc o n v e xf u n c t i o np l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nb a s i c t h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o n s o m er e f e r e n c e si n t r o d u c ea n d s t u d yav a r i e t yo f c o n v e xf u n c t i o n sa n dr e l a t e dp r o p e r t i e s ，t h ed i s c u s s i o no fc o n v e xf u n c t i o nh a sb e e nm o r e a c t i v e w r eu s ec o n v e xf u n c t i o na n dr e l a t e dp r o p e r t i e st oe s t a b l i s hi n e q u a l i t i e sa n di m p r o v e s o m ec o n c l u s i o n s ，o b t a i ns o m er e s u l t s ，l a yaf o u n d a t i o nt ow r i t et h ep a p e r g r e a ti n t e r e s to f m a t h e m a t i c i a n si sa r o u s e df o rt h ei m p o r t a n c eo fs c h u r - c o n v e xf u n c t i o n 。o v e rt h ey e a r s s c h u r - c o n v e xf u n c t i o ni sr e s e a r c h e db ym a t h e m a t i c i a n sa n di su s e dt oo b t a i na v a r i e t yo f c l a s s i c s t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，t h ep a p e rs t a t e sb r i e f l yt h e a n dt h ep r o j e c t e dw o r ko ft h ea r t i c l e c o u r s eo f d e v e l o p m e n t ，r e s e a r c h i n gs t a t u sq u o i nc h a p t e r2 ，t h ep a p e rd i s c u s s e st h es c h u rc o n v e x i t ya n dt h es c h u r h a r m o n i c c o n v e x i t yo f t h eg e n e r a l i z e dh e r o n i a nm e a n sw i t ht w op o s i t i v en u m b e r sa ，b a tt h es a m e t i m e ，w es t u d yt h es c h u rc o n v e x i t y ，t h es c h u r - g e o m e t r i cc o n v e x i t ya n dt h es c h u r h a r m o n i cc o n v e x i t yo fq u o t i e n tf o rt h eg e n e r a l i z e dh e r o n i a nm e a n sw i t ht w op o s i t i v e n u m b e r sa ，b ，a n do b t a i ns o m eg e n e r a lr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，t h em o n o t o n i c i t ya n dt h ec o n v e x i t yo fr m e a n sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r4 ，b a s e do ns o m er e l a t e da r t i c l e s ，t h ep a p e ru s e s c o m p a r i s o nt h e o r e mf o r s t o l a r s k ym e a n st od i s c u s st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eq if e n g t y p e i n e q u a l i t y 等孚冰，半( 等卜肌咖加岍6 k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dh e r o n i a nm e a n s ： d i r e c t e db y ：p r o f b a o y i n t e g u s i a p p l i c a n tf o rm a s t e rd e g r e e ：f ul i l i ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) ( c o l l e g eo fm a t h e m a t i c s i n n e rm o n g o f i au n i v e r s i t yf o rn a t i o n a l i t i e s t o n g l i m0 2 8 0 4 3 c h i n a ) 内蒙古民族大学硕士学位论文作者声明 本人声明：本人呈交的学位论文是本人在导师指导下取得的研究 成果。对前人及其他人员对本论文的启发和贡献己在论文中做出了明 确的声明，并表示了感谢。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外， 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果。 本人同意内蒙占民族大学保留并向国家有关部门或资料库送交 学位论文或电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权内蒙古民族大 学可以将本人学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：笪塑塑日期：卫年月旦日 内蒙古民族大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 本课题的选题意义及背景 一个数学问题中，经常同时存在着若干个量，研究它们之间的关系，经常被归结 为不等式问题量的不等是绝对的不等式作为一个工具在数学的各个领域内起着十 分重要的作用，它的重要性甚至远远超过等式，因此人们一直在不断的丰富和发展着 不等式理论 关于不等式，已经出版了若干部有影响的英文专著其中最有影响的是1 9 3 4 年 由著名数学家h a r d y 、l i t t l e w o o d 和p o l a y 编写的 i n e q u a l i t i e s ) ) 一书它标志着不等 式己发展为一套系统的科学理论 自2 0 世纪7 0 年代以来，国际上差不多每4 年召开一次一般不等式国际学术会议， 每次会议都出版了论文集许多重要国际数学会议也把不等式作为主要的议题上世 纪8 0 年代到9 0 年代，以d s m i t r i n o v i c 为首的南斯拉夫不等式研究小组异常活跃， 相继出版了一系列不等式专著，其影响现今已自东欧传遍全世界 目前，国内关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果，比较有影响 的专著是王伯英的专著控制不等式基础、匡继昌的专著常用不等式、王松桂和 贾忠贞合著的矩阵不等式等 随着不等式理论的迅速发展及其在自然科学、工程技术和社会经济等领域的广泛 应用，关于各类不等式的新结果层出不穷，它们或是经典不等式的改进和推广，或是 完全新型的不等式，或是应用的深入或拓广数学不等式理论有着广阔的前景和良好 的发展前途 在现代数学中，凸函数是最广泛使用的概念之一，而与凸函数有关的不等式在数 学基础理论和应用中起着非常重要的作用函数的凸性质是证明不等式的一种重要工 具在凸函数定义的基础上，逐渐又定义了各种广义凸函数，如，平均凸函数、9 凸函数、s 凸函数等等由凸函数理论发展起来的凸分析己发展成为一门独立的数学 分支，是研究不等式理论的重要基础 本文中令r = ( 娟，佃) ，r - 【0 ，佃) ，r = ( o ，+ ) 下面给出凸函数的定义和与本文相关的几个广义凸函数的定义： 定义1 1 1 1 叫设烈x ) 是区间g c 月上的实值函数，若对任意的x , y g ，五e o ，l 】， 有 伊( 触+ ( i - a ) y ) s 名驴( 力+ ( 1 一五) 伊( y ) ， 三叁三堡堂燮塑皇塑堡墨鱼壁塑堡窭 则称认x ) 为g 上的凸函数反之若 9 ( 众+ “一_ ”，) 五以功+ ( 1 一名) ， 成立则称烈x ) 为g 上的凹函数 定义1 1 2 3 1 若认工) 是区间gcr 上的正值函数，且l n 矽( x ) 是g 上的凸函数，则 称伊o ) 是g 上的对数凸函数 定义1 1 3 i 7 - 1 0 l 设烈神是定义在区间g r 上的正值函数，若对于任意的 而，屯g 口 0 ， 0 ，口+ = 1 ，有 9 0 c o y 、s 矿0 心9 。0 9 。 则称烈x ) 为g 上的几何凸函数 定义1 1 4 “1 设9 ( x ) 是区间g s r 上的正值函数，若对于任意的而，矗g 和 名【o ，1 】，有 。 妒( 南) 则称烈曲为g 上的调和凸函数 五( 妒( 而) ) 叫+ ( 1 一允) ( 9 ( 五j 产 平均值不等式在不等式理论中处于核心地位二元平均值不等式由于其精巧多 变，一直受到不少不等式研究者的青睐现在介绍几个常见的二元平均值： 设口，b r ，p 月，那么有 算术平均：爿( 口6 ) ：a + b ： 几何平均：g ( a ，6 ) = 磊： 调和平均：脚6 ) = 南= 羔； “ 十口口十仃 幂协舭班托卅形一。， 【压p ：o ； f 口一b 对数平均：z ( 口，6 ) ： 1 l n a - l n b ，： 口6 ， 【砺口：玩 指数平均：，( 岛6 ) ：f p i f ，t , 笠b j 尼埘，口6 【口，口= 6 ； h e m n j a n 平均： i t , ( a ，6 ) = 竺掣 1 9 2 3 年，舒尔( s c h u r ) 把些常见且有用的初等或高深的不等式归纳起来，演绎 出一套较完备的理论来处理具某些特性的不等式这也就是优化理论( t h e o 眄o f 内蒙古民族大学硕士学位论文 3 m a j o r i z a t i o n ) ，也称控制不等式理论控制关系和s c h u r - 函数是控制不等式理论的 两个最基本的概念，控制关系是向量间的一种较弱的次序关系，s c h u 卜凸函数是比熟 知的凸函数更为广泛的一类函数，二者的结合是导出不等式的十分有效的方法在控 制不等式理论的研究中，发现和建立向量间的控制关系是一项重要而基础的工作因 为控制关系深刻地描述了向量间的内在联系，一个新的控制关系与适当的s c h u r 凹函 数或s c h u r 凸函数的结合，常常能繁衍出许多形形色色的有趣的不等式 下面是控制关系的相关定义： 对于x = ( 而，而，而) r ”，将x 的分量排成递减的次序后记为x l l j 1 2 j 1 。】 定义1 1 5 t t 5 i 设x ，y r “满足 kk 。 nn ( i ) 五】m 矿k = 1 ，2 ，n - 1 ；( i i ) 1 门= m 则称x 被y 所控制，记作 i = ls = i i = lt = l x 。，工v ，。m i n 或一“，v ) o ； 【0 x y = o 如，j ，) ：必，训咄x y ，r n j n o 叻6 ， ( 其嗍咖) = 意啬以咖) = 型竽以啪) = 而2 a b 砸_ 1 的充分必要徘 内蒙吉民族大学硕士学位论文 5 第二章广义h e r o n ；a n 平均的s c h u r 凸性 2 1 广义h e r o n i a n 平均以，p ( 口，6 ) 的研究进展与相关引理 设( 口，b ) ，w ，五r ，p r 经典的h e r o n i a n 平均3 1 定义为 q 1 ( 口 6 ) ：竺粤业 关于此类平均有著名的双边不等式1 1 2 1 3 ： m 。s h l i ( 口，b ) m 口， 其中口= 丽i n 2 ，= 詈，而m ，( 口，6 ) 为幂平均 在文【1 4 】中，毛其吉给出了h e r o n i a n 平均的种推广： a 4 1 ( 口? 6 ) ：a + 4 4 a b + b ， 并建立了双边不等式： m 蟛( 口，6 ) s 风1 ( 口，6 ) m g ( a ，6 ) - 后来，j a n o u sn 5 1 对h i 1 ( 口，6 ) 和风。( 口，6 ) 进行了统一的推广， 平均 州删：篙譬胚似鸭 【_ w = 鸭 并讨论了风( 口，b ) 与其它一些平均的可比性 文【1 6 】，讨论了有关广义h e r o n i a n 平均 县。p ( 口，6 ) = 定义了广义h e r o n i a n ( 2 1 1 ) ( 毕卜。， 仁坨， 届。p = 0 。 的不等式，得到 l ( a ，6 ) h t 。p ( 口，6 ) ( 口，6 ) ， 摹中p 三，g 詈p ，并且p = 兰，g = ；1 是最佳常数 文【1 7 】中，李大矛，顾春和石焕南讨论了q 。户( 口 6 ) 关于口，6 的单调性质及s c h u r 凸性质，得到 定理2 1 1 印e ，( 口，6 ) 关于口，b 在碍上单调递增当p - - - f 。时，q ，( 口，6 ) 关于 6 关于几个平均值函数的单调性及凸性的研究 ( 口，6 ) 在碍上s c h u r 凹；当p 2 时，日i ，( 口，6 ) 关于( 口，6 ) 在碍上s c h u r 凸；而当 j 3 p 2 时，蜀，( 口，6 ) 关于( 口，6 ) 在碍上的s c h u r 凸性不确定 文【1 8 】中，石焕南等定义了更为一般的广义h e m n i a n 平均： h t j p ( 口，b ) = ( 锷蚪删雕2 _ 3 ， 【历， 并且讨论了h ”( 口，6 ) 的s c h u r 凸性和s c h u r 几何凸性， 定理2 1 2 1 3 1 设( p ，w ) r 2 ， p 2o w = + 得到了如下的定理： ( 1 ) h ( 口，6 ) 关于口，b 在碍上单调递增； ( 2 ) 若( p ，w ) p - ，w 。) u p 三，w - ) u 吾 1 或口 0 ，有 ( 1 + x ) 4 l + a x ， 若0 口 - 2 ，osw - 2 ，( 2 1 7 ) 和不等式( 2 1 8 ) ，有 圮p ( ) ( - + 掰) 争2 詈( ( z + 材) 詈一一一詈甜) 。 显然k ，( 幻关于群r 递增且k ，似) 丸p ( o ) ：0 ( i i ) 若o ，川岛且p i ，w 2 0 ，( 材) o 显然成立 ( 2 1 8 ) ( 2 i 9 ) 栅 挪固 乃 0 ， l q 亿亿 亿 尸一2 +l 一 p 一2 、， 材 + o 有 c - 二v l p v io 若 8 关于几个平均值函数的单调性及凸性的研究 若( p ，w ) 最且l p s 2 ，p t m 若设p l = 罢 0 ，则 丸p ( 甜) = 红p l x p ( “) = ( 1 + 材) 户。一l 一2 ( p 一1 ) u ( 1 + “) 2 0 p 1 因此，由九p ( 0 ) = 0 ，有 圮p c ，= c p 一一，c + 材，p - 2 - 2 c + 材，导一( + 詈z ，) 。， ( 2 i 1 0 ) ( 2 i 1i ) 由引理2 1 8 ，有p 2 这也就是说九p ( 甜) o 必须有( p ，w ) 巨 ( i v ) 对于w ，m r ，由于丸尸( o ) 气。和k ，( 甜) o ，有纯，p ( o ) o 和p l 詈 若o p l 詈，用( i i i ) 中的相同方法，易得i p 2 时有九p ( “) o 若p l - 2 ，w 0 ，w 一2 ( p + 1 ) ) ， ( 2 1 1 4 ) e = ( p ，w ) l p - 2 ，o w 一2 ( p + 1 ) ) ( 2 1 1 5 ) 2 2 广义h e r o n i a n 平均日虬p ( a ，6 ) 的s c h u r 凸性 定理2 2 1设( 口6 ) r ：，w er ，p r ，若( p ，w ) 五，则函数h ( 口 6 ) 为关 于口，bt f f _ r 2l - i 拘s c h u r 凸函数：若( p ，w ) e 易，则函数日w ( 口，6 ) 为关于口，6 在r ：上的 s c h u r 凹函数其中局和最已由引理2 1 9 中的( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 分别给出 证显然矾o ( 口，6 ) = 口6 关于口，b 在r 2 _ hs c h u r 凹 当p o 时，有 、 掣：上k + 一w b 叫1 h “舶) ) i 叩 o ， ( 2 2 1 ) a 口 w 十2i 2 、。 、1 型：士p + 一w a 叫1 k 和，6 ) ) i 叩 o ， ( 2 2 2 ) o b w + 2 i 2 、。 j 。“。 不妨设口6 ，l + = 詈且民，那么 = 耐a - b 圳l - p ( a t , - - i _ b p - i _ 6 ) ( 口6 ) 争j 仁2 3 ) ( a - b ) b ：- ( h 唧( 仉6 ) ) l 一，丸p ( 甜) 其中丸p ( 材) 定义为( 2 1 4 ) 由引理2 1 5 ，引理2 1 9 和( 2 2 3 ) ，定理得证 定理2 2 2 设 ，、 毛： ( 弘w ) li + i w p 2 ，o w 2 ， ( 2 2 4 ) l - ， ，、 e 4 ； ( p ，w ) l z o ， 9 1 , i n ( 5 9 ) = - - 0 0 8 5 2 o ， 且 丸s ( 1 0 1 ) ：- - 0 9 9 9 7 9 9 0 ， 其中九p ) 定义为( 2 1 4 ) 由( 2 2 3 ) 知日( 1 ) 的符号改变了 定理2 2 3 设( 口，6 ) ，wer ，p er ，若( 办w ) 五，则函数以p ( 口，6 ) 为关 于& 6 在艇上的s c h u r 调和凸函数：若( p ，w ) ，那么函数日”( 口，b ) 为关- t - a ，6 在 上的s c h u r 调和凹函数其中只和疋已由引理2 1 1 0 中的( 2 1 1 4 ) f f g i ( 2 1 1 5 ) 分别给 善l 一旦垒全垩望篁鱼墼箜璺塑堡垦鱼丝塑堡窒 出 定理2 2 4 设 e - - ( p ，w ) l - 2 p 一l ，o 罢 一( p + 1 ) ) ，( 2 2 6 ) = ( p ，w ) l p o 时， 户( 口，6 ) 为关于口，6 在上的s c h u r 凹函数；当p o 时，只j ，p ( 口，6 ) 为关于口，6 在r ：上的s c h u r 几 何凹函数和s c h u r 调和凹函数：当p 0 ，函数f ( ，s ；a , b ；x ，y ) 关于，s 单调递增，其 它情况单调递减 定理3 1 3 2 9 1 若( 工一y ) ( ，+ s ) 0 ，函数f ( r ，s ；a ，6 ；工，y ) 关于口单调递增且关于b 单 调递减：若0 一力( ，+ 5 ) 一i 1 时，s 位；，s ；x ，y ) 为关于 s 的单调递增函数；当口 0 时，s ( a ；r ，s ；x ，y ) 为关于口的单调递增函数；当r + s 0 时，s ( a ；r ，s ；x ，y ) 为关于口 一i 1 的对数凹函数且为关于 口 。时，若c 工一y ，l x , + 等uv + u 。， 单调递增，反之单调递减 c ；，当v 一甜 0 ，即r + s 0 时，s fj l ；( v 一材) ，( v u ) s ；x ，y1 关于“，v 单调 v 一材 递增 当( v 一材) ( ，+ d 。，t l pr + s o 时，s ( 击；( v 一材) ，( v 一甜) s ；毛y ) 关于“，v 单调递 减 ( i i i ) 当1 ，一“ 。，1 即r + s 0 时，尺( 玑v ： s ：ly ) 为关于u的单调递增函数：当，+ 0 ，且( v - u ) ( v + u ) 0 时，或( v - u ) ( r + s ) 0 ，且 ( ，一五) ( ，+ ) 0 且( ，一“) ( v + z ，) o ，则当口 一言时s 似) 为对数凹函数，当口 一妻时，有y u o 时，得到y + 砧 o ；，一材 o 时， v 一材z 得到y + “ o 时，r ( u ，；，j ；x ，少) 为对数凹函数当l 0 时，得至u v + u 0 ； ，一u 0 故o 一砧) o + “) l , y l , a b o ( 4 ) 且当0 x 1 ，或0 0 且a b ，不等式 了b x + y _ 丁a 。+ y 型x ( 斋n b 熹i na ， ( 4 2 1 ) 6 1 一口。ll 一 成立当且仅当0 ，y ) e ；a ，其中 a = ，y ) i x 0 ，y s o ，x + y o ，2 x + y 1 ) 证当y = 0 或x + y = 0 时，不等式( 4 2 1 ) 和( 4 2 2 ) 中的等式成立由引理1 1 7 2 引， 当x y ( x + y ) 0 时，不等式( 4 2 1 ) 等价于 e ( x ，x + y ；a ，b ) e ( o ，1 ；a ，b ) ，若x y ( x + y ) 0 ，( 4 2 3 ) 且 e ( x , x + y ；a ，6 ) e ( 0 , 1 ；a ，b ) ，若x y ( x + y ) 0 ， ( 4 2 5 ) 且 g ( x ，x + y ；a ，b ) e ( o ，l ；a ，6 ) ，若x y ( x + y ) 0 ， ( i ) 当m i n x ，x + y ，0 ，l 0 时，有x 0 r x + y 0 因此有 岫+ y ) 2 鬲y 砌，1 ) = 0 ，l n ( 1 + 三) 若x 0 ，y o ，显然有e ( x ，工+ y ) e ( o ，1 ) ，由引理1 1 7 ，当2 x + y 之l 时，( 4 2 1 ) 成立 若x 0 ，y 0 ，显然有e ( x ，x + y ) e ( o ，1 ) ，由引理1 1 7 ，当2 x + y l 时， ( 4 2 2 ) 成立 ( i i ) 当m i n x ，x + y ，0 ，1 ) 0 时，有x 0 或x + y 0 因此有 e ( x ，工+ 力=竺划和p ( o ，1 ) ；1 ， y 若x 0 ，y 0 ，显然有e ( x ，x + y ) se ( o ，1 ) ，由引理1 1 7 ，当2 x + y l 时， ( 4 2 i ) 成立 若x 0 ，x + y 0 ，显然有2 x + y 0 ，y 1 + u ( x ，y ) ix $ 3 , - j 7 1 + 妻) u ( z ，y ) f 工 0 , y o u ( 五y ) i x 0 ，y 0 ，x + y o ，2 x + y - 3 ) 不等式 一b x + y _ a x + y x + y ( a + 4 r 万+ b 3 ) ， 6 1 一口。j 成立当且仅当( x ，y ) d ，其中 肚骶，) ，) 愀吣 o 2 肘蚱_ 3 ，古 e ( 三彳l 口6 ，若嘶叫 。时，有x 。且x + y 。因此有 ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) 由引理1 】7 ， ( 4 2 9 ) ( 4 2 1 0 ) ( 4 2 11 ) ( 4 2 1 2 ) 2 0 关于几个平均值函数的单调性及凸性的研究 e ( x ，x + 夕) = 和p ( 习= 丽1 ， 若x o ，j ， 0 ，由引理1 1 7 ，当2 x + y 2 ，3 ，l + 兰时，( 4 2 7 ) 成立；当 x 2 x + y 0 ，y 0 ，由弓l 理1 1 7 ， 2 x + y 2 ，3 ，l + z 时，( 4 2 7 ) 成立 x 业 当2 x + y 1 + - - y 时，( 4 2 8 ) 成立；当 ( i i ) 当m t n 五x + 弘昙，圭) 。时，有x 。或x + y 。因此有 e ( x ，z + y ) = x - l - y 卜l x y和p ( 习乩 若x 。，j ， 。，显然有p ( x , x + y ) s p ( 兰，兰) ，由引理1 i 7 ，当2 x + y 2 时， ( 4 2 7 ) 成立 若x 。，x + y 。，显然有2 x + y 。，y 。，工+ y 。，显然有p ( x , x + y ) 5 p ( 吾，圭) ，由引理1 1 7 ，当2 x + y 0 ，且口6 ，z ，y r ，x 0 ，则不等式 等孚半( 而2 a b a ) ， 叫3 ， 6 1 一口1 xk + 6 成立当且仅当( z ，y ) e ，其中 内蒙古民族大学硕士学位论文 2 1 e = p x 0 , y 0 , 2 x + y o ，y o u ( x ，y ) l x o , y o ，z + y o ，2 工+ y 一3 b ：* y _ a x * y 型f ，堡丫 b 一口。工k 口+ b 成立当且仅当( x , y ) f ，其中 ( 4 2 1 4 ) 。f = 卜) i x 0 ， ( 4 2 1 5 ) 且 e c x ，x + y ；a ，b ) e ( - 2 ，- 1 ；a ，b ) ，x y ( x + y ) 0 ， ( 4 2 1 7 ) 且 e ( x 。x + y ；a 6 ) e ( - 2 。- l ；a ，b ) ，x y ( x + j ，) 0 ( 4 2 i 8 ) 我们分两步讨论： ( i ) 当m a x x ，x + y ，- 2 ，- i 0 时，有 如炉碉y ， “一1 ) 2 再1 ， 2 因x 0 且x + y 0 ，于是由引理i 1 7 有。 ( 1 1 ) 若工 0 ，y 0 ，当2 x + y 一3 ，e ( x ，x + j ，) e ( - 2 ，- 1 ) 时，即2 x + y 一3 ， 古l + 孝时，由不等式( 4 2 1 6 ) 知不等式( 4 2 1 3 ) 成立 若z o ，y o ，当2 x + y - 3 如) ，) 冽2 ，一1 ) i f j ，h i 2 h y 3 ，古 0 ，由m i n x ，x + y ，一2 ，一1 ) 0 ，或x + j ， 0 ， 且由引理1 1 7 ，有 p ( 五x + 夕) ：蟹捌，p ( 一2 ，一1 ) ：一1 ， y ( 2 1 ) 若工 0 ，当y 0 时，有x y ( x + y ) 0 ，此时有e ( x ，x + y ) = l p ( 一2 ，一1 ) = 一l ， 由不等式( 4 2 1 5 ) 知不等式( 4 2 1 3 ) 成立 当x 0 ，y 0 时，有x y ( x + y ) p ( 一2 ，一1 ) = 一1 ， 由不等式( 4 2 1 8 ) 知不等式( 4 2 1 4 ) 成- 1 r 当x 0 ，y p ( 一2 ，一1 ) = 一l ，当2 x + y - 3 时，由不等式( 4 2 1 5 ) 知不等式(