（流体力学专业论文）基于拉格朗日跟踪方法的流体质点和粒子的扩散和沉降研究.pdf

上海人学硕上= 学位论文 摘要 在流体力学中，从拉格朗日观点出发研究流体质点在物理空间内的运动轨 迹，可在很大程度上反映流体的真实流动状况。质点的运动方程一般是不可积 的动力系统，可能产生混沌对流( c h a o t i ca d v e c t i o n ) ，从而会影响流体的混合和 弥散。粒子的扩散、沉降问题广泛存在于环境、工程、工业生产中。因此研究 质点和粒子的轨迹、扩散、沉降具有重要的理论意义和应用价值。本文基于拉 格朗同跟踪方法做了如下工作，分为两个部分： 一、研究周期振荡的二维r a y l e i g h b 6 n a r d 对流中流体质点和布朗粒子的轨 迹、扩散特性。首先，采用四阶龙格库塔法求解质点和布朗粒子的运动方程， 分析它们的轨迹和运动的周期性。计算结果表明，在涡胞振荡频率和振幅不太 大时，质点的运动行为可分为两类，一类是中心区质点的准周期运动，另一类 是边缘区质点的不规则运动。两区内的质点被分界线隔开。中心区水平宽度分 别随振幅、s t r o u h a l 数的增大而减小。布朗粒子的分子扩散效应可以克服分界线 的限制。其次，研究大量质点及布朗粒子的扩散特性。我们跟踪一个涡胞里均 匀分布的4 0 0 0 0 个标记质点，研究均方位移与时间的标度关系。计算结果表明， 在s t r o u h a l 数为1 1 时，求得标度指数约为1 0 ，这与前人的结果1 3 有所偏差， 可能原因是统计点数过少；另外，增大振幅可以整体增大均方位移，但几乎不 改变标度指数。考察边缘区质点的均方位移，求得标度指数约为1 1 ，说明这是 超扩散行为。按类似的方法研究布朗粒子扩散的标度关系，求得标度指数趋近 1 0 ，说明这是正常扩散行为。 二、研究层流和湍流边界层中细颗粒的平均轨迹、沉降速度等特性。我们 采用粒子的动力学模型，求解运动方程，跟踪粒子的运动。计算结果表明，当 粒径、密度比在一定范围内变化时，层流中粒子的沉降速度与它们之间存在幂 律关系。在湍流边界层中，我们主要考察了颗粒沉降速度随驰豫时间的变化关 系，所得计算结果与前人的结果基本吻合。 关键词：r a y l e i g h b o a a r d 对流扩散标度律沉降 上海大学硕上学位论文 a b s t r a c t f l u i df l o wp r o b l e ms u c ha st h ed i f f u s i o no ff l u i dp a r t i c l e sa n db r o w n i a n p a r t i c l e sc a l lb em o r ep r o p e r l yd e s c r i b e df r o ml a g r a n g i a np o i n to fv i e w t h e e q u a t i o no fp a r t i c l e sm o t i o ni su s u a l l yan o n - i n t e g r a b l ed y n a m i cs y s t e r n w h i c h m a y b ei c a dt oc h a o t i ca d v e c t i o no fp a r t i c l e s t h ec h a o t i ca d v e c t i o nh a si m p o r t a n t e f f e c t so nf l u i dm i x i n ga n dp a r t i c l e sd i s p e r s i o n t h ed i f f u s i o na n dd e p o s i t i o no f s u b - m i c r op a r t i c l e se x i s te x t e n s i v e l yi ne n v i r o n m e n t a l e n g i n e e r i n ga n di n d u s t r i a l f i e l d s t h u st h er e s e a r c ho fp a r t i c l e t r a j e c t o r y , d i f f u s i o na n dd e p o s i t i o ni s o f t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e t h er e s e a r c hb a s e do nl a g r a n g i a nm e t h o di n t h i sp a p e rc o n s i s t so ft w op a r t sa sb e l o w ： i nt h ef i r s tp a r t ，w es t u d yp a r t i c l eb e h a v i o ri nt w o d e m o n s i o n a l t i m e p e r i o d i c r a y l e i g h b 6 n a r dc o n v e c t i o n f i r s t l y , w eu s e4 t hr u n g e k u t t am e t h o dt os o l v e p a r t i c l em o t i o n a le q u a t i o n s o fw h i c ht h ev e l o c i t yf i e l di sm o d e l e db yas t r e s s f r e e s t r e a mf u n c t i o n a n dt h e na n a l y z et h ep a r t i c l e s t r a je c t o r i e si np h y s i c a ls p a c e t h e c o m p u t a t i o n a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e r ea r et w ot y p e so fm o t i v eb e h a v i o rf o rf l u i d p a r t i c l e s o n eo fw h i c hi sq u a s i p e r i o d i cm o t i o nf o rp a r t i c l e si nt h ec e n t r a lr e g i o no f e e l la n dt h eo t h e ro n ei sc h a o t i cm o t i o nf o rp a r t i c l e si nt h ee d g eo fc e l l t h et w o r e g i o n sa r es e p a r a t e db ys e p a r a t r i x t h ew i d t ho fc e n t r a lr e g i o nl i n e a r l yv a r i e sw i t h o s c i l l a t o r ya m p l i t u d eo rs t r o u h a ln u m b e r t h em o l e c u l a re f f e c to fb r o w n i a np a n i c l e s c a no v e r c o m et h el i m i to fs e p a r a t r i x s e c o n d l y , w e 仃a c k4 0 0 0 0f l u i d p a r t i c l e s t r a j e c t o r yw h i c ha r eu n i f o r md i s t r i b u t e di no n ec e l l a n ds t u d ys c a l i n gr e l a t i o n b e t w e e nm e a n s q u a r ed i s p l a c e m e n ta n dt h et i m et os t u d yt h ed i f f u s i o no ff l u i d p a r t i c l e s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h es c a l i n ge x p o n e n ti sa b o u t1 0 w h i c hi sd i f f e r e n t f r o m1 3o fc a s t i 西i o n e sr e s u l t o n eo ft h ep o s s i b l er e a s o n si st h a tt h es t a t i s t i c a l p a r t i c l en u m b e ri st o ol i t t l e i ti sa l s os h o w n t h a tt h es c a l i n ge x p o n e n ti si n d e p e n d e n t o fo s c i l l a t o r ya m p l i t u d e ，a n dt h ei n c r e a s eo fo s c i l l a t o r ya m p l i t u d ec a ne n l a r g et h e w h o l ev a l u eo fm e a n s q u a r ed i s p l a c e m e n t as c a l i n ge x p o n e n to f1 1i sg o t t e nw h e n w em a i n l ys a m p l i n gp a r t i c l e si nt h ee d g eo fc e l l t h ed i f f u s i o no fb r o w n i a np a r t i c l e s i ss i m u l a t e di nt h es a m ew a y , a n dw eg e tt h es c a l i n ge x p o n e n to f1 0 w h i c h d e m o n s t r a t e san o r m a ld i f f u s i o nf o rb r o w n i a np a r t i c l e s i nt h es e c o n dp a r t ，w ei n v e s t i g a t ep a n i c l em e a n t r a j e c t o r ya n dd e p o s i t i o nv e l o c i t y f o rf i n ep a r t i c l e si nt h ep o i s e u i l l el a m i n a rf l o wa n dt u r b u l e n tb o u n d a r yl a y e r a d y n a m i cm o d e lf o rp a r t i c l e si se s t a b l i s h e d t h er e s u l t si n1 a m i n a rf l o ws h o wt h a t d e p o s i t i o nv e l o c i t ys a t i s f i e sp o w e rl a ww i t hp a r t i c l ed i a m e t e ra n dp a r t i c l e t o - a i r d e n s i t yr a t i oi naw i d er a n g e i nt h et u r b u l e n tb o u n d a r yl a y e r , w ea d o p ta s s e m b l y a v e r a g em e t h o dt os i m u l a t em e a nt r a j e c t o r ya n dd e p o s i t i o nv e l o c i t y , a n dt h er e s u l to f r e l a t i o nb e t w e e nd e p o s i t i o n v e l o c i t ya n dr e l a x a t i o nt i m ei sa g r e ew i t ht h a t i n r e f 3 8 k e y w o r d s ：r a y l e i g h b 叠a a a r dc o n v e c d o nd i f f u s i o n s c a l i n gl a wd e p o s i t i o n v i i 上海人学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) i l l 上海大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 课题来源、研究目的和意义 本课题来源于上海市浦江计划项目“可吸入颗粒物在呼吸道中的沉降和扩 散研究”，项目编号：0 6 p j l 4 0 4 1 。 本文基于拉格朗日方法，建立( 标记) 流体质点( m a r k e df l u i dp a r t i c l e ) 和粒 子( l a g r a n g i a np a r t i c l e ) 的运动模型，研究周期振荡的二维r a y l e i g h - b 6 n a r d 对流 中流体质点和布朗粒子的轨迹、扩散，以及层流和湍流边界层中粒子的沉降。 在流体力学中，从拉格朗日观点出发，即从流体质点运动的观点出发，研究 流体质点在物理空间内的运动轨迹，可在很大程度上反映流体的真实流体流动。 拉格朗日流体质点的运动可以用一组非线性偏微分方程来描述，而这些动力系统 一般是不可积的且表现出混沌行为，从而产生混沌对流( c h a o t i ca d v e c t i o n ) 或拉 格朗日型湍流( l a g r a n g i a nt u r b u l e n c e ) 1 捌。这些发现对流体混合和弥散有重要 的应用价值，引起了许多研究者的极大兴趣【3 】。 关于拉格朗日型湍流的研究主要集中于二类流动：一类是三维定常流动， 另一类是二维不定常流动 4 】。我们选取周期振荡的二维r a y l e i g h b 6 n a r d 对流为 背景流场( 以下简称r b 对流) 。r b 对流是热稳定研究中的经典问题，它可为 人们对地球物理、星际、海洋、大气、纯半导体生产中对流现象和输运机制的 认识，以及耗散系统中非线性现象的精细研究提供理想的模型【5 】。所以研究r b 对流中的流体质点和布朗粒子的运动具有重要的意义。 布朗粒子在流体中一方面跟随流体运动，另一方面自身做布朗运动，这样产 生了对流效应和分子扩散效应的耦合行为。这种耦合发生在地球物理、化学工程 和无序介质 6 】( d i s o r d e r e dm e d i a ) 等领域中。在一个简单的层流流场中，分子扩 散效应和流场的耦合会产生奇特的行为，比如产生很大的扩散系数【7 1 ，这对粒子 的输运有很大影响。 研究亚微粒子的弥散和沉降在工程、工业生产、环境中有重要的现实意义。 亚微细粒子的弥散和沉积是工业和医学上经常发生的现象，如电子元件的生产、 上海人学硕士学位论文 食物的微生物污染、伤口受到病毒和放射性粒子的感染等，所以越来越引起人 们的重视 8 】。近年来，人们认识到大气中细微颗粒易于富集有毒物质，是细菌、 病毒等的载体；细微颗粒容易沉积在呼吸道及深部肺泡内，甚至进入血液和脑 部，给人体健康造成很大的危害，而且细微颗粒是引起城市大气层能见度低、 诱发灰霾天气、导致人群呼吸道疾病和心血管疾病高发以及造成不利城市景观 的主要因素1 1 。 1 2 国内外研究概况 1 2 1 关于周期振荡的二维r b 对流中粒子扩散的理论、实验和数值研究概况 s o l o m e n 和g 0 1 l u b 【1 2 】于1 9 8 8 年通过实验和数值模拟研究了对流中粒子的 输运问题，并且在数值模拟过程中引入了流函数模型，研究表明涡胞边缘示踪 粒子的轨迹表现为敏感依赖于初始条件的混沌轨迹，粒子的混沌对流( c h a o t i c a d v e c t i o n ) 是输运的基本机制。这是对r b 对流中的混沌对流比较早的关注和 研究。c h e m i k o v 等人【b 】研究了涡胞振荡极慢和极快时的粒子输运，推导出等 效扩散率表达式。s o l o m e n 等人【1 4 】通过实验研究了对流中液滴的混沌混合问题， 通过周期变化的磁场驱动n a c i 溶液运动产生对流，可清晰观察到液滴的拉伸与 折叠、e k m a n 泵吸、e k m a n 二次流等现象，并通过计算液滴的均方位移研究了 大尺度输运。c a s t i g l i o n e 等人 7 ，1 5 ，1 6 】利用统计平均的方法研究了对流中粒子的 增强扩散( e n h a n c e dd i f f u s i o n ) ，以及涡扩散率与s t r o u h a l 数的变化关系，指出 当环流频率与振荡频率同步时，会发生共振现象，并导致扩散增强；当分子扩 散率趋向零、s t r o u h a l 数约为1 1 时，扩散表现为超扩散；此外还研究了粒子位 移增量的高阶矩的变化，其阶数与时间幂指数之间存在分段的线性关系。2 0 0 1 年起，s o l o m o n 等人 1 7 之o 】通过一系列数值模拟和实验研究了混沌区粒子的“飞 行 ( f l i g h t ) 和超扩散问题。k o s t r y k i n 等人 2 1 】通过数值和实验研究了对流中的 拉格朗日涡结构问题。 2 上海大学硕士学位论文 1 2 2 关于布朗运动、粒子扩散和沉降的研究概况 英国植物学家布朗于1 8 2 7 年发现了细粒子的不规则热运动布朗运动【2 2 1 。 l a n g e v i n 2 2 1 提出了描述布朗粒子运动的l a n g e v i n 方程。b r o c k 2 3 】对热迁移现象 做了理论研究，提出了热迁移力的经验公式。热迁移现象( t h e r m o p h o r e s i s ) 是 流场中存在温度梯度时，粒子受到热区和冷区流体分子不平衡的碰撞而趋向低 温区运动的现象。这些学者完成了布朗运动、热迁移现象研究的早期工作。 之后，随着湍流研究的进展，粒子在槽道流、管流中的沉降成为关注的重 点，学者们做了大量的实验、理论和数值模拟工作，特别研究了沉降速度随驰 豫时间的变化关系。驰豫时间是刻画粒子惯性的特征量，沉降速度定义为壁面 上粒子沉降的质量通量和边界层中平均浓度的比值。l i u 和a g a r w a l t 2 4 1 、w o o d 2 5 1 等人通过实验研究了湍流中浮质粒子、液泡的沉降，测出了沉降速度的变化趋 势。 许多学者采用模型对粒子沉降进行数值模拟，国外如k a l l i o 和r e e k s 2 6 1 、 m c l a u g h l i n 2 7 1 、z u m w a l tk a l l i o 2 8 1 、a h m a d i 等人 2 9 - 3 8 1 、g r e e n f i e l d 和q u a r i n i t 3 9 1 、 t h a k u r t a 等人【钧1 、k r o g e r 和d r o s s i n o s 4 1 】、g i o v a n n i 和r e y n o l d s t 4 2 1 、h o u s i a d a s 和d r o s s i n o s 4 3 】等，国内如刘小兵和程良骏等人4 4 , 4 5 】、李嘉等人【4 6 】、黄社华等 人m 、x ic h e n 和d o n g y a nx u 4 引、傅旭东和王光谦【4 9 1 、郭宇等人【5 0 1 、蔡旭晖 和陈家宜【5 l 】、c h i u 等人【5 2 】、r a n 等人【5 3 】、z h a ob i n 和c h e nj i u j i u 5 4 1 等。数值 模拟粒子运动和沉降的方法一般有： 一、粒子的动力学模型 模型方程一般为： ：yf 二一 l ( 1 1 ) p l 第一式为粒子的动力方程，左边项为惯性力，右边各项为各种力，其中拖曳力、 s a f f m a n 升力中包含了粒子当地的流场速度，需要求解速度场。m c l a u g h l i n t 2 7 1 、 o u n i s t 3 3 1 、t h a k u r t at 4 0 l 等人采用了d n s 的方法求解流场，h e 3 8 1 等采用r s m 模 丝出 p ，ltq 垫出 ，(【 上海人学硕士学位论文 型求解时均流场。随之出现的一个问题是对脉动速度的模拟，h e 3 8 】等采用 “c f w m ”模型( c o n t i n u o u sf i l t e rw h i t e n o i s em o d e l ) ，k r o g e r 和d r o s s i n o s 4 1 】、 r a n 等人【5 3 1 则采用“c l g ( t ) ”( 吒脉动速度的均方根，g ( t ) 标准方差的高斯 随机数) 的方法，李嘉等人【蚓采用f o u r i e r 级数和湍流脉动能谱的方法。之所以 如此重视对脉动速度的模拟，是因为湍动扩散是导致小粒子沉降的重要原因。 g o s m a n 和i o a n n i d e s 5 5 1 、g r e e n f i e l d 和q u a r i n i 3 9 1 、k r o g e r 和d r o s s i n o s 4 1 1 考虑 了湍流涡对粒子的作用，采用涡的生存周期模型( e d d yl i f e t i m em o d e l ) ，把湍流 看作是由一系列连续生成的随机涡组成，每个涡具有生存周期和相关的脉动速 度，脉动速度由方差为，i 。云i i ( k 是湍动能) 的高斯随机数生成，在粒子陷在 涡里的时间段内，这个脉动速度值保持不变。 二、拉格朗日随机模型 该模型的提出可追溯到l a n g e v i n 方程，1 9 8 7 年1 1 1 0 m s o n 【5 6 1 对前人的工作 做了系统综述并加以完善，使之应用更加广泛。该模型假设高雷诺数下流体质 点的速度位移演化是连续的m a r k o v 过程，运动方程为随机微分方程； d v = a ( v , y ) 舢c o 副( 1 2 ) d y = v d t 、7 d w 是w i e n e r 过程，c o 为k o l m o g o r o v 常数，占为湍动能耗散率。郭宇等【5 0 】 利用这个模型模拟粒子当地的流场瞬时速度。有些学者对这个模型进行了修正 来模拟重粒子、布朗粒子的运动，如蔡旭晖、陈家宜【5 1 】利用l e s 方法产生次网 格湍流脉动强度，计算( 1 2 ) 式第一式中的加速度a ( v ，y ) ，并在第二式右端中附 加一个重力沉降速度项做为惯性粒子的运动方程；g i o v a n n i 和r e y n o l d s 4 2 1 基于 布朗粒子分子运动的时间尺度小于湍流的k o l m o g o m v 时间尺度的条件下，在第 二式右端中附加布朗粒子的随机速度，提出了布朗粒子的随机运动方程。 三、直接建立位移速度的运动学方程 动力学模型中粒子的受力方程比较复杂，求解起来较为困难，因而某些学 者试图避开受力方程，设法直接建立位移一速度的运动学方程，如：l a n g e v i n 方 程是描述布朗粒子运动的方程，粒子的拉格朗日速度由当地流体速度和模拟分 4 上海大学硕上学位论文 子扩散效应的随机速度叠加组成；h o u s i a d a s 和d r o s s i n o s 4 3 】把经验的热迁移速 度表达式、湍动迁移沉降速度表达式叠加在一起，作为粒子总的沉降速度，建 立粒子的运动学方程。 此外，z h a o 和c h e n 5 4 】把粒子看作连续相，控制方程采用漂移通量模型 ( d r i t 乇f l u xm o d e l ) ，通过c f d 方法数值分析了通风管中的粒子沉降。这是针对 粒子浓度较大时的情形。 国内一些学者对粒子运动方程的计算方法和作用力表达式的修正进行了研 究。刘小兵、程良裂4 5 1 研究了湍流边界层中固体小颗粒湍流运动的拉格朗日模 型，通过修正的b b o 方程，建立了包括受壁面影响的拖曳力、s a f f m a n 升力及 m a g n u s 升力的运动方程。李嘉等人【4 6 】建立了剪切湍流中颗粒运动的“脉动频谱 随机轨迹模型”。黄社华等人【4 7 1 研究了任意流场中稀疏颗粒运动方程的数值解 法及应用，对b a s s e t 力构造了适当的计算格式，并提出称之为p ( e c ) 。多步法的 差分格式。x ic h e n 和d o n g y a nx u 48 】研究了大k n u d s e n 数下近壁区粒子的热 迁移行为，推导出了依赖于温度梯度、热通量、气体压力和气一壁温度比的热 迁移力表达式。傅旭东、王光谦 4 9 】基于颗粒相动力学模型所确立的基本方程和 本构关系，导出了固液两相平均速度差的表达式，研究了明渠挟沙水流中的颗 粒相平均速度及速度滑移。郭宇、崔桂香等【5 0 】在湍流边界层的重粒子运动方程 中引入了s a f f m a n 力，并考虑了粒子固壁碰撞和粒子间碰撞的因素。c h i u 等人【5 2 】 在沉降模拟中考虑了涡扩散、布朗扩散和热迁移的综合效果。r a n 等人 5 3 1 在动 力方程中引入了壁面效应引起的修正系数，数值研究了气固旋转流边界层中粒 子的运动轨迹和沉降速度特性。 1 3 论文的工作和组织结构 在周期振荡的二维r b 对流中，前人主要研究了示踪粒子、液泡、液滴的 混沌混合和奇异扩散。本文采用不同的方法做了与他们相近的一部分工作，如 对流体质点行为的分类，s o l o m o n 等人通过分析质点轨迹的庞家莱截面，在相 空间里划分出规则区( o r d e r e dr e g i o n ) 和混沌区( c h a o t i cr e g i o n ) ，而本文则通过 直接观察轨迹的变化和分析纵向位移的功率谱密度，在物理空间划分出中心区 上海大学硕士学位论文 和边缘区；对流体质点的扩散，我们参考了c a s t i g l i o n e 的统计方案，但又进行 了改进。此外在此基础上做了部分扩展，如分析了中心区的形状、宽度随振幅 及频率的变化、振幅对流体质点扩散的影响，研究了布朗粒子的轨迹、扩散等 问题。 在层流中，a h m a d i 等人主要研究了热迁移力对粒径小于l 微米的亚微粒子 沉降的影响，而我们关注等温条件下粒径在1 微米到1 0 0 微米的球形粒子的平 均沉降轨迹，比较了各种力所起的相对作用，并计算了沉降速度；对于湍流中 粒子沉降速度的计算，我们采用统计平均的方法模拟粒子的平均轨迹和沉降速 度，而且关于沉降速度的计算结果与前人的结果比较吻合。 本论文是以作者攻读硕士学位期间承担课题的工作为基础，在第一章中阐 述了课题研究的来源、目的、意义以及国内外研究的现状。第二章数值研究了 周期振荡的二维r a y l e i g h b 6 n a r d 对流中流体质点、布朗粒子的轨迹和扩散行为。 第三章数值研究了层流和湍流边界层中不同粒径粒子的扩散和沉降行为，第四 章是结论和展望。 6 第二章周期振荡的二维r a y l e i g h b 6 n a r d 对流中流 体质点和布朗粒子运动的数值研究 2 i r a y l e i g h b n a r d 对流现象介绍 所谓r a y l e i 曲一b e n a r d 对流就是在一个封 j 容器内，下表面j j u 热而上表面冷 却形成温差( 图2 - l ( a ) ) ，当浮力和传热效应克服粘性阻力时，就产l 对流吼 对流中会出现不同形状的涡胞( c e l lv o r t i c e ) 如图2 1 ( b ) 。 髓 。f 等 + 了7 1 7 7 7 _ 7 _ _ t 1 ( aj ( b ) 图2 - 1 ( a ) 实验靛生示意刚。( b ) 满咆形状示意蚓。 1 9 0 1 年，叭纳德( b 6 n a r d e ) 在) j i l 热容器中的液体时发现，选到定条件时， 原先无规则运动的液体会表现出一种有序、规则的漩涡，流体从容器底部的中 心上升到达顶部后再沿容器边下降，形成对流，并产生? i 角j ；的涡胞( 见图 2 - 3 ( a ) ) 。1 9 1 6 年英园物理学家瑞 q ( r a y l e i 曲j ws ) 电进行丁相似的流动实验 发现对流流体形成柱卷( r o l l ) 像并排平放的钢管，相邻# 卷的旋转方向相反f 见 图2 - 2 “c ) ，图2 - 3 ( b ) ) ；导出了对流发生的基本理论，友现控制对流发e 的参 数足r a 数和p r 数，并求出了临界r a 数。由于这两位学者的贡献这种射流啦 象称为r a y l e i 曲一b e n a r d 对流。 ：维的r b 对流一般分为稳定( t i m e i n d e p e n d e d ) 的对流和周期变化 ( t i m e - p e r i o d i c ) 的对流前者的流场定常，后者的流场在纵向上随时阳l 周姐性振 荡( 如图2 - 2 0 ) ，沿箭头方向振荡1 ，我们主要研究后者。关丁后者的实验实现， s o l o m e n 1 4 1 、k o s t r y k i n 等垤过周期变化的磁场力驱动流体运动产，芒振荡涡链。 超 。笈 上海大学硕上学位论文 了 _ l 丁 t ( c ) 图2 - 2 ，r b 对流中立体涡胞形状示意图【2 0 57 1 。 ( a )( b ) 图2 3 ，r b 对流中产生的六角形斑图和二维卷筒涡胞示意图( 5 8 】。 2 2 流场的模拟 在无应力壁面条件下，周期振荡的二维r b 对流流函数可表示为1 9 】： ( x ，y ，t ) = ( a k ) s i n k x + bs i nc o t w ( y )( 2 1 ) w ( y ) = s i n ( z y d )( 2 - 2 ) 其中a 、k 、b 、国、d 依次为涡胞边界上的最大速度、波数、振幅、角频率、 涡胞长度。无量纲化的流函数表示为【7 ，1 5 , 1 6 】： ( x ，y ，t ) 2 沙os i n ( x + bs i nc o t ) s i ny( 2 3 ) 将流函数( 2 - 3 ) 代入速度场万( ；，f ) = ( o 弘, o y ，一。垆, o x ) ，可得到： e 海大学硕士学位论文 u = f r o ，8 i n ( x + b s i n c o t ) c o s y ( 2 - 4 ) 【y = 一c o s ( x + b s i n c o t ) s i n y c a s t i g l i o n e 等人 1 5 1 6 】研究了s t r o u h a l 数为1 1 时，周期振荡的二维r b 对流 中的粒子奇异扩散。参照他们的工作，我们暂取= l ，振幅b = 1 和s t r o u h a l 数6 = c o l - = 1 1 ( 三= 幼为一对涡胞的长度) 。 稳定的对流流线图如图2 4 ，由于流动定常，故质点的拉格朗日迹线与流线 重合，涡胞中心处质点静止，边界上质点迹线与坐标轴平行，其他位置质点的 迹线则是环线，质点围绕涡胞中心环流。对于周期振荡的对流，我们取垂向边 界为x = 0 f dx = 7 ，纵向可认为无限长。零时刻和2 2 8 l 2 时刻的速度场如 图2 - 5 ( a ) 、( b ) ，可观察到零时刻涡胞左、右边界为x = 0 和x = 7 1 ，到2 2 8e 时刻移动到了x = 0 和x = 7 的左侧，整个流场沿纵向发生了平移。 图2 4 ，稳定的二维r b 对流的流线图。 2 3 流体质点轨迹的模拟 2 3 1 当参数振幅为1 、s t r o u h a l 数为1 1 时质点轨迹的模拟 标记流体质点的运动方程为：d x d t = v ( x o ，t )( 2 5 ) 一v ( x o ，f ) 是初始位置为一x 0 的( 标记) 流体质点在f 时刻的拉格朗日速度。在初始时 9 上海大学硕上学位论文 3 2 1 0 ( a ) 零时刻流场速度矢量图。 一20 x2 46 ( b ) 2 2 8 口时刻流场速度矢量图 图2 - 5 ，零时刻( a ) 和2 2 8 l 2 o 时刻( b ) 的速度场矢量图。 刻位于 o ，x x o ，万 区域的涡胞中，取不同位置的质点坐标作为求解方程( 2 5 ) 的初始值，采用四阶龙格库塔法求解，拉格朗日速度设置为该位置处的欧拉速 度，占、b 、a t 取值如前。四阶龙格一库塔法求解如下形式的微分方程： d x d t = 一f ( x 一，f ) ( 2 6 ) 将时间区域 o ，r 】作等分，步长为a t = 丁，i + 1 时刻的x 与i 时刻的x 满足： ；件1 = ；+ ( 云i + 2 k 2 + 2 石3 + 云4 ) 6( 2 7 ) 其中t = i a t ，乏l = a t f ( x 叫, t ) ，乏2 = a t f ( x + o 5 7 , l ，t + o 5 a t ) ， 云3 = a t f ( x 一+ o 5 云2 ，t + o 5 出) ，云4 = a t f ( x 一+ 无3 ，t + f ) ( 2 - 8 ) 对时间步长的选取要兼顾精度和计算效率，计算发现取a t = o 0 0 1 l 2 时 l o 上海大学硕 ：学位论文 的模拟效果和取a t = 1 0 _ 4 r 、a t = 1 0 f 时的模拟效果非常接近，对 于捕捉质点轨迹的特点已经相当良好，故取& = o 0 0 1 l , o 。 计算结果表明，涡胞内部区域( 称为中心区) 的质点的运动轨迹，和涡胞 边缘区域( 称为边缘区) 的质点的运动轨迹有明显的不同。 图2 - 6 是初始位置坐标为( n 3 ，n 2 ) 的质点轨迹及其纵向位移的变化，对比 定常r b 对流中质点的轨迹，可见质点除了在角向上绕涡胞中心环流之外，同 时在纵向上前后振荡，总的效果相当于圆周运动和简谐振动的复合运动，形成 类似螺旋状的轨迹。长时间后质点仍被限制在某个区域内，不会沿纵向扩散。 取涡胞左右边界上初始位置坐标为( o ，氕2 ) 、( 兀，7 c 2 ) 的质点进行模拟，轨迹 如图2 7 ，其特点是：质点始终在多个涡胞边缘快速游走，在纵向上有很强的扩 散性；中间一段迹线密集变粗，两侧总体是对称的，表明在短时间内，质点总 是往复沿中间几个涡胞边缘运动，具有振荡性；长时间后质点会扩散很远。其 中初始坐标为( o ，n 2 ) 的质点在短时间内的轨迹和无量纲纵向位移的变化分别如 图2 8 、2 - 9 ，可见运动几乎没有周期性。 涡胞边界附近存在一个区域，质点的轨迹类似于边界上质点的轨迹，如初 始位置坐标为( 兀0 0 4 ，n 2 ) 的质点轨迹见图2 1 0 ( a ) 。该区域在当前的参数取值下 较窄，稍稍向里移动就进入中心区，如初始位置坐标为( 兀0 0 5 ，n 2 ) 的质点轨迹 见图2 - l o ( b ) 。 模拟结果表明在周期振荡的二维r b 对流中，( 标记) 流体质点的运动分为两 类：一类是中心区质点的规则运动，质点陷入在涡胞里而不会扩散，另一类是 边缘区质点在多个涡胞边缘附近的快速游走，具有强扩散性。这两区在相空间 中分别对应s o l o m o n e 2 2 】提到的规则区( o r d e r e dr e g i o n ) 和混沌区( c h a o t i cr e g i o n ) ， 两区被“k a m 栅栏”隔开，混沌区包裹着规则区，两区内的质点互不混合。质 点轨迹的庞家莱截面如图2 1l ，封闭曲线对应准周期运动，边缘附近的散点区 对应混沌运动。( h i 3 ，7 c 2 ) 和( 兀，n 2 ) 纵向位移时间序列的功率谱密度如图2 1 2 ， ( a ) 中有明显的“尖刺状谱线，表明强周期性行为，而( b ) 中包含各种谱线，几 乎为连续谱，表现为宽带，对应质点运动的混沌性。 矛7 零零、 j ；：i ：；兰：兰，二 0d5i15 x + 一l b ) i d2 - 6 初始俺置坐枷、i j ( n 1 3 ，2 ) 的流体质点轨迹和纵向f t 移的变化，( a ) e ：鞍k 时间的 轨垃，r ：短时间内轨迹，( b ) o - 1 0 0 尢母纠时间步山尢昔削纵向忙穆的变化 3 25 2 15 1 05 0 n l j 7 上 i， 、一 、2 0 = i i0 2 0 丽r 弋万面r 丽0 0 图2 - 9 ，训始位嚣坐标为( 0 ， ，2 ) 的质点无嫩纲纵向位移增量晌变化图 哪四 3 2 1 0 削2 - 1 1 质点轨迹的庞家某截面 0 x2 封州曲线虾分是规则r 46 边缘附近敞点部分拦泄沌r 上海大学硕上学位论文 ( a )( b ) 图2 - 1 2 ，质点纵向位移时间序列的功率谱密度变化。( a ) 初始位置坐标为( 兀3 ，兀2 ) 的中心 区质点。( b ) 初始位置坐标为( 兀，兀2 ) 的边缘区质点。 2 3 2 不同的参数取值对质点运动轨迹的影响 令b = i ，占= 1 0 ，模拟得到初始位置坐标为( r t 3 ，尢2 ) 的质点轨迹如图2 1 3 ， 与图2 - 6 相比，图2 - 6 中几乎只出现一种形状的线圈，而此图中出现了多种形 状的线圈。初始位置坐标为( 尢，n 2 ) 的质点轨迹如图2 1 4 ，仍然保持了扩散性与 振荡性。两质点纵向位移的功率谱密度如图2 1 5 ，表明各自的周期性与混沌性 仍然保持，但前者的功率谱密度出现了更多的尖峰状谱线，表明轨迹趋向复杂。 当占更大时，中心区质点的轨迹更为复杂，如s = 1 0 0 时，求得质点( r r 3 ，兀2 ) 的轨迹和纵向位移的功率谱密度如图2 1 6 ，其中在( b ) 中可观察到功率谱密度出 现了倍周期分叉现象。 增大振幅，分别令b = 5 ，占= 1 1 和b = 5 ，占= 1 0 ，求得质点( 7 r 3 ，r r 2 ) 的轨 迹如图2 1 7 ，从图( a ) 对比图2 6 ，可见增大召使得质点纵向运动范围增大，但 垂向运动范围变小。从图( b ) 可见b 和s 都增大时，轨迹不再规则。两种情形下 质点纵向位移的功率谱密度如图2 1 8 所示，前种情形下质点保持了周期性行为， 后种情形几乎为连续谱，表明此时质点可能处于混沌区了。 1 4 25 厂了7 2 i ，7 、 吐，f ，一、? ns l 吲l 、：、 ? b 0 1 、 ，v x 、一 05 【- - - - ，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - m ) i 划2 - 1 3 ，b = i ，s = l o ，韧始位置坐标为( n 3 ，h i 2 ) 的质点的轨迹；( a ) o 5 个无量纲时刮步 山轨迹- _ 掣点表示起点旱耳衷示终点恤】0 3 0 个无啦纲时间步内轨迹 25 l ，一万 幽2 - 1 4 口= 1 ，t = 1 0 t 让缘k 质点( ，“，2 ) 的轨迹。( a ) 0 - 2 个无- 纲i l - f 问步内轨迹黑 点表示起点，景号表示终点。( b ) 0 - 3 0 个无培纲时间少内轨垃， 1 0 静 2 1 0 01 0，2 0 ( a ) 1 0 芒 吕o 2 1 0 1 0 0 ，2 0 3 0 ( b ) 凹2 - 1 5 b = i ，e = l o t 两质点纵向f t ) _ 移的功率谱密度。( a ) 质点( ，3 ，丌，2 ) 。( b ) 质点( ，n 2 ) 一一 一。 一 广 i _ ( a ) 1 0 5 5 0 f 1 0 0 ( b ) 斟2 - 1 6 ，当口引1 = 1 0 0 时质点( 州3 ，垃) 的轨垃和纵向伊侈功奉谱密度，抽) 在0 - 4 0 十无苗荆时间步内的轨迹，( b ) 纵向啦移的功率谱密度。 。卜百广了f 1 1 5 _ 音3 ( 劬 酗2 丌质点( 州3 ，