（基础数学专业论文）广义余扭曲余代数和广义扭曲双代数.pdf

摘要 代数和余代数是h o p f 代数理论中两个基本概念近几年，对代数结构和余代数结构 的研究成为h o p f 代数中的一个焦点，并做了各种形式的推广在这篇论文中，我们主要 进行两个方面的研究：一方面给出余扭曲子上新的余代数结构，即广义余扭曲余代数； 另一方面是给出广义扭曲双代数 本文共分三章，结构安排如下： 在第一章中，我们简单介绍h o p f 代数的研究背景及本文研究问题的来源，并简要阐 述了本文的基本思想 在第二章中，首先回顾h o p f 代数中的一些概念，重点给出了余扭曲子的概念，并给 出了广义余扭曲余代数即：设( d ，d ，d ) 是余代数，线性映射s ：dod _ do d 满足下列条件：( d ) d ，= e ( d s ) ( ) s ，d c ( d ) = d s e ( ( d ) s ) 和& 2o & 3o 2 = 2 os ： d o d _ d o d 圆d ；& 3 0 s 1 3 0 1 = a 1o s ：d o d d 圆d o d ；岛3 0 s x 2 = $ 1 2 0 3 ： d o d o d _ d 圆d o d 其中i ，i = 1 ，2 ，表示对d p d 第i 个元素作用那么双线性 映射s oa d ：d _ d 圆d 是定义在d 上的另一个余结合余代数结构，余单位是d 我 们把它表示为( d s ，s oa d ，e d ) ，叫做广义余扭曲余代数，映射s 叫做d 的余扭曲子然 后给出广义余扭曲余代数的性质 在第三章中，首先给出了一些简单的定义及相关定理，然后得到主要定理：设( d ，p ，u ，) 是双代数，t ：d o d _ d 圆d 是d 的扭曲子和s ：d o d _ d o d 是d 余扭曲子如果t 和s 是相容的，即先用t 作用后用s 作用和先用s 作用后用丁作用是相同的，则d 上的 新代数( d ，p o t ，u ) 和新余代数( d ，s o a ，) 构成广义扭曲双代数( d ，# o t = 木，t | ，s o a ，) 的充分条件：s ：d 圆d _ dod 是代数映射和t ：dod dod 是余代数映射 关键词：余模，余扭曲子，广义余扭曲余代数，广义扭曲双代数 i i a bs t r a c t a l g e b r aa n dc o a l g e b r aa r et w of u n d e r m e n t a lc o n c e p t i o n si nt h e o r yo fh o p fa l g e b r a i nr e c e n ty e a r s ，t h ei n v e s t i g a t i o n so fa l g e b r aa n dc o a l g e b r as t r u c t u r e sb e c o m eaf o c u si n t h e o r yo fh o p fa l g e b r a ，a n dd ov a r i o u sf o r m so fp r o m o t i o n i nt h i sp a p e r ，w em a i n l y i n v e s t i g a t et w oq u e s t i o n s ：t h ef i r s to n ei sg e n e r a l i z e dc o t w i s t e dc o a l g e b r ao nc o t w i s t e r ； t h es e c o n do n ei sg e n e r a l i z e dt w i s t e db i a l g e b r a t h ed i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da 8f o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fh o p fa l g e b r a sa n dp r e s e n ts o m e b a s i cp r o p e r t i e sa n dt h em o t i v a t i o n ，a n dm e a n i n go ft h i st h e s i sa r ei n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，f i r s t l y , w er e c a l lt h ed e f i n i t i o n si nh o p f a l g e b r a ，a n dm a i n l yw e i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fc o t w i s t e ra n dg e n e r a l i z e dc o t w i s t e dc o a l g e b r a ，t h a ti s ：l e td b eac o a l g e b r aw i t hc o m u l t i p l i c a t i o nd e n o t e db ya da n dc o u n i t d ，s ：do d dod al i n e a rm a ps a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ：( d ) = ( 矿) ( ) s ，d c ( d ) = 萨g ( ( d ，) s ) a n ds 1 2 0 s 1 3 0 k 2 = a 2 0 s ：d o d d p d o d ；3 0 岛3 0 a 1 = a 1 0 s ：d o d _ d o d o d ； $ 2 3 0 $ 1 2 = $ 1 2 0 岛3 ：d o d o d _ d o d q d t h e nt h eb i l i n e a rm a ps o a d ：d _ d o d i sa n o t h e rc o a s s o c i a t i v ec o a l g e b r as t r u c t u r eo nd w i t hc o u n i tg d ，w h i c hw i l lb ed e n o t e d b yd sa n dc a l l e dg e n e r a l i z e dc o t w i s t e dc o a l g e b r a ，t h em a psw i l lb ec a l l e dac o t w i s t e r o nd a n dt h e nt h en a t u r e so fg e n e r a l i z e dc o t w i s t e dc o a l g e b r aa r eg i v e n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s t l yr e c a l lt h ed e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s ，t h e n ，w eo b t a i n t h em a i nt h e o r e m ：l e t ( d ，p ，u ，a ，) b ea b i a l g e b r a ，t ：dod _ do di sat w i s t e r a n ds ：dod dodi sac o t w i s t e rf o rd i fta n dsi sc o m p a t i b l e t h e nn e w a l g e b r a ( d ，pozu ) a n dn e wc o a l g e b r a ( d ，soa ，e ) o ndi sag e n e r a l i z e dt w i s t e db i a l g e b r ai f a n do n l yi f s ：d o d _ d o d i s a l g e b r am a pa n dt ：d o d _ d 圆d i sc o a l g e b r am a p k e y w o r d s ：c o m o d u l e ，c o t w i s t o r ，g e n e r a l i z e dc o t w i s t e dc o a l g e b r a ，g e n e r a l i z e dt w i s t e d b i a l g e b r a i i i i v 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 参考文献 致谢 目录 i i i i 引言 1 h o p f 代数的背景知识 1 本文问题的提出 2 广义余扭曲余代数 5 预备知识 5 广义余扭曲余代数 7 广义余扭曲余代数的性质1 3 广义扭曲双代数 1 9 预备知识1 9 广义扭曲双代数2 0 攻读硕士学位期间发表或写作的学术论文 独创性声明 关于论文使用授权的说明 2 5 2 9 3 1 3 3 3 3 v v i 第一章引言 在本章中，我们首先对h o p f 代数及其相关作用的背景知识、发展过程加以简单地介 绍其次，阐述本文主要问题的提出过程 1 1h o p f 代数的背景知识 1 9 4 1 年，h h o p f 在研究上同调时构造了既有代数结构又有余代数结构的概念这 一概念同期也出现于g i k a e 及其同事所作的群对偶的文章中直到1 9 6 5 年， j w m i l n o r 与j c m o o r e 在文献 1 】中将上述概念正式称为h o p f 代数，他们的这篇开拓性 的文章给h o p f 代数的研究奠定了基础自此，h o p f 代数引起了数学家们的广泛重视， 并且取得了丰硕成果特别是近二十年来，主要是量子群的兴起，i k a p l a n s k y 某些猜 想 2 1 的成功解决，以及h o p f 代数作用理论的发展使之成为- - 1 7 新的科学体系h o p f 代 数广泛应用于各个领域，如被作为工具用来研究域k 上的l i e 代数【3 】因为一些代数几 何工作者需要利用在空间上作用的环或者代数来定义几何空间( 有时在通常的意义上并 非是空间) ，所以它也广泛应用于代数几何中八十年代，前苏联物理学家v g d r i n f e l d 深刻地揭示了量子群、h o p f 代数及量子y a n g - b a x t e r 方程的关系 4 1 随后人们对此做 了大量的研究具体成果参见文献 5 】- 8 】由于量子y a n g - b a x t e r 方程在物理学的量子反 射法中起重要的作用，是物理学中一个十分重要的方程因此量子群( 即h o p f 代数) 成 为数学家和物理学家十分感兴趣的研究领域 h o p f 代数地发展经历了五个阶段： i n t e g r a l 和m a s c h k e 定理的发现是第一个阶段；l a g r a n g e 定理的证明是第二个阶段； h o p f 代数作用的研究是第三个阶段；这个领域的主要结果见文献 9 】，而且s m o n t g o m e r y 和r j b l a t t n e r 证明了对偶定理；量子群的研究是第四阶段，量子群和拟三角h o p f 代 数是一致的；辫子h o p f 代数的研究和有限维h o p f 代数的分类是h o p f 代数发展的第五 阶段超对称在物理学和数学中都有着广泛的应用，超代数和超h o p f 代数自然也是非常 重要的研究领域 1 9 8 6 年a j o y a l 和r s t r e e t 引入辫子m o n o i d a l 范畴，其定义参见文献 1 0 】在 h o p f 代数中，辫子m o n o i d a l 范畴是一个重要内容，它在量子群，低维拓扑，三维流形， 1 广义余扭曲余代数和广义扭曲双代数 辫理论，扭结理论，量子y a n g - b a x t e r 方程及场论等领域都有许多重要的应用辫子 m o n o i d a l 范畴的一个重要背景是由l d f e d d v ，n y u r e s h c t i k i n 及l a t a k h t a - j a n 等构造的h o p f 代数上的表示范畴，见文献 3 】 h o p f 代数日在代数a 上的作用的研究很早就已经出现了h o p f 代数与一般群不 同，它作用在张量积上，并弱于一般的群，其变换不完全可逆在群论中，有限群的作用 占有很重要的地位而在h o p f 代数理论中，作用与余作用即模与余模占有重要地位有 关h o p f 代数及其作用与余作用的详细内容见文献 1 1 ，1 2 ，1 3 】 1 2 本文问题的提出 在h o p f 代数中，代数和余代数是一对对偶的概念，且占有十分重要的地位人们利 用不同的方法构造了不同的代数结构和余代数结构1 9 7 1 年，r g h e y n e m a n 和m e s w e e d l e r 两人首次提出s m a s h 积【1 5 | 它是在张量积乘法上定义了一个新的乘法结构 为：( a 圆 ) ( 6og ) = ea ( h ljb ) oh 2 9 即是在模作用基础上通过张量积的扭曲而得 到1 9 9 7 年，r k m o l n a r 在 1 4 1 中给出了s m a s h 积的对偶概念s m a s h 余积，它上的 余乘被定义为：a ( b o h ) = b lp 蟮- 1 h io 蟛0 o h 2 即在余模的基础上定义了一个新 的余乘，同时刻画了s m a s h 积和s m a s h 余积的一些性质随后，d e r a d f o r d 给出了 左s m a s h 积代数和左s m a s h 余积余代数构成一个双代数的充分必要条件，并称之为双积 ( b i p r o d u c t ) 1 e l ，同时对此双代数的结构和性质进行了研究1 9 9 0 年由左s m a s h 积代数 和右s m a s h 余积余代数构造了另一个双代数，称之为双交叉积( b i c r o s s p r o d u c t ) 1 7 1 随后 又对双交叉积及与之相关知识的结构性质做了进一步的研究参见文献【1 8 ，1 9 ，2 0 1 9 9 8 年，王栓宏和李金其构造的双重双交叉积是一种一般的积【1 1 】，它推广了双重交叉积，双 交叉积，双积，量子偶，s m a s h 积以上各种积都是对张量积中间两项进行扭曲而得到 这方面的研究具体成果参见 2 1 一 3 1 2 0 0 5 年，f p a n a i t ea n df v o y s t a e y e n 构造出 了既对张量积中中间两项扭曲又对首尾两项进行扭曲的积( l - rs m a s h 积) 3 2 】，它上的乘 法结构定义为：( a o z ) ( 6 0 y ) = a y 1 1 】) ( z jb ) o z 可 o 】随后，l y z h a n g 给出了l rs m a s h 积的一些列子，并讨论了它的一些结构性质【3 3 】接着，2 0 0 8 年，f p a n a i t ea n df v o y s t a e y e n 又构造了l rs m a s h 双积畔1 而文献 3 5 】首次提到的广义 s m a s h 积，广义s m a s h 余积，广义s m a s h 双积是一些更一般意义上的积，它们是通过 2 第一章引言 更广的模代数和余模余代数构造出的各种积的推广形式随后，焦争鸣和王志更利用双 模代数、双余模代数和双模余代数、双余模余代数构造了广义l - rs m a s h 积和广义l - r s m a s h 余积p 2 0 0 6 年，文献 3 7 利用扭曲子构造了一种新的代数结构延着这一思 路，很自然地要问是否可以引入余扭曲子构造新的余代数结构和讨论与其有关的相关性 质? 能否使新的余代数结构和扭曲子上新的代数结构形成双代数? 本文就这一问题进行 了讨论，并给出确定的结果 3 广义余扭曲余代数和广义扭曲双代数 2 1 预备知识 第二章广义余扭曲余代数 本章的研究内容涉及余代数和余模，下面我们将介绍与此有关的预备知识 在本文中如无特殊说明，我们一律用k 表示一个确定的域所有的代数和余代数都 定义在k 上，用无下标的。代替。七对于域k 上的双代数日，它的乘法、单位、余乘、 余单位分别记为：p 日、u h 、h 、e h ，我们将沿用文献 1 3 】和 1 4 中的记法，并将 日中的余乘简记为：h _ h 圆h ，a ( h ) = h iph 2 ，vh h 在下文中均省略和式 符号 定义2 1 1 ( c ，) 叫做k 一余代数，若c 是一个向量空间，：c _ coc 是一 个余乘映射和g ：c _ k 是一个余单位映射，且使得下列条件： ( 1 )( oi d ) 0 = ( i do ) o ； ( 2 ) ( eqi d ) 0 = ( i d 圆e ) o 成立 定义2 1 2 设c 和d 是余代数，g ：c _ d 是一个线性映射，称g 是一个余代数 同态如果下面条件： ( 1 )a d 0g = ( gq g ) oa o ； ( 2 ) e d o9 = e c 成立 定义2 1 3 设( g ，) 是一个余代数，一个k 一空间m 是一个左d 余模是指存在 一个映射p t ：m _ c 圆m ，mhm ( 一1 ) or e ( o ) com 满足下列条件： ( 1 ) ( 圆i d ) op = i d ； ( 2 ) ( i dop t ) o = ( 圆i d ) op t 也即对vm m 都有： ( m ( 一1 ) ) 钉1 ( o ) = m m ( 一1 ) 。m ( 0 ) ( 一1 ) 。m ( 0 ) ( 。) = ( m ( 一1 ) ) 1 。( m ( 一1 ) ) 2q m ( 。) 5 广义余扭曲余代数和广义扭曲双代数 定义2 1 4 设( c ，a ，) 是一个余代数，一个k 一空间m 是一个右d 余模 是指存在一个映射矿：m _ moc ，mh r n ( o ) o7 n ( 1 ) co m 满足下列条件： ( 1 )( i dq ) op r = i d ； ( 2 )( doa ) 0p r = ( 矿oi d ) 0 矿 也即对vm m 都有： m ( o ) ( m ( 1 ) ) = m i、气、 m ( o ) om ( 1 ) 1o m ( 1 ) 22 m ( o ) ( o ) om ( 0 ) ( 1 ) om ( 1 ) 定义2 1 5 设( c ，a ，e ) 是一个余代数，一个k 一空间m 即是左c 一余模又是右c 一 余模，且满足下列条件：( io 矿) op 。= ( p qi ) op r 也l l p x , - i vm m 都有 m ( 一1 ) 。m ( 0 ) ( 。) qm ( o ) ( 1 ) = m ( 0 ) ( 一1 ) pm ( o ) ( 0 ) pm ( 1 ) 成立即先左余模作用后右余模作用和先右余模作用后左余模作用是相同的则称m 是 d 双余模 定义2 1 6 【3 5 】设c 和d 是余代数， w ：cqd do c 是k 一线性映射， w ( cod ) = d w 圆c ，c c ，d d 设c wxd 作为域k 上的向量空间是co d ， 定义余乘k d = ( 七owo 而) o ( c 圆d ) 也就是说，铆k d ( c 必d ) = c 1 必 ( d 1 ) w ) 圆( ( c 2 ) wkd 2 ) 如果余乘满足余结合性，余单位映射是哳k d ( ckd ) = e c ( c ) e d ( d ) 则c w d 称 做c 和d 的广义s m a s h 余积，彬叫做余扭曲映射 定理2 1 7 【3 5 】设c 和d 是余代数， w ：cod _ doc 是线性映射下面条件 是等价的 ( 1 ) c w d 是广义s m a s h 余积 ( 2 ) 下面条件是成立的： ( 如o g ) 0w ( cod ) = e c ( c ) d 6 第二章广义余扭曲余代数 ( e do 七) 0 ( cod ) = d ( d ) c ( do 如) ow = ( 易ow ) 0 ( w qb ) 0 ( 七oa o ) ( 场o c ) ow = ( w 圆七) 0 ( 七ow ) 0 ( a co 场) 2 2 广义余扭曲余代数 本节我们先给出余体矩阵的概念，然后根据提出代数的广义扭曲的思路，构造余代 数d 上的一个新的余乘结构，并证明它是一个新的余结合余代数 定义2 2 1 如果a 叭b ，b kc ，a c 是广义s m a s h 余积，余扭曲映射 肼，w 2 ，w 3 叫做是相容的，如果它们满足： ( oa ) o ( bow 3 ) o ( 肌oc ) = ( c om ) o ( w 3o b ) o ( ao ) 如果这个是事实，映射： 乃：( a 肌b ) 圆c _ co ( a 叭b ) t 2 ：ao ( b c ) _ ( b w 2 c ) o a 其中 噩= ( w 2 圆a ) 0 ( bow 3 ) t 2 = ( com ) o ( w 3ob ) 同样是余扭曲映射，并且( a 肌p ( b ) 死kc 三a t 2k ( b p ( c ) ，这个余代数表示为 a kb w 2 必c 这种结构可以迭代成任意个数的乘积形式 定理2 2 2 设( d ，a o ，e d ) 是余代数，线性映射s ：d 圆d _ dqd 满足下列条 件： ( d ) = ( d s ) ( d ，) s ，d ( j ) = d s ( ( ) s ) 和 $ 1 30 $ 1 20a 2 = 20s ：dod _ do dod 7 广义余扭曲余代数和广义扭曲双代数 $ 1 30 岛30a x = a 1 0s ：dod _ d 圆d od 30 $ 1 30 $ 1 2 = $ 1 20 $ 1 30 岛3 ：dqd 圆d _ dodod 其中a i ，i = 1 ，2 ，表示对dqd 第t 个元素作用那么双线性映射s oa d ：d _ dqd 是定义在d 上的另一个余结合余代数结构，余单位是e d 映射s 叫做余皿矩阵 我们考虑：如果d w 必c 是广义s m a s h 余积，我们是否可以从张量积余代数dq c 得到它? 定义： ，s ：( d 圆c ) o ( doc ) _ ( doc ) o ( doc ) 其中s = ( d 圆woc ) o ( do 7 oc ) 使得： s c ( doc ，) p ( ，圆c ，) ) = ( d ，p ( c ，) w ) o ( ( d ，7 ) wo c ，7 ) 那么d wkc 的余乘可以得到作为som d 圆g ，且s 满足： ( oc ，) ( d ，7oc ，) = ( ( 圆c ，) s ) ( oc ，) s ( 彳oc ，) e ( j 7 圆c ，7 ) = ( ( d ，oc ，) s ) ( ( j 圆c ，7 ) s ) 但是s 并不满足定理2 2 2 的其它条件因此，我们给出以下主要定理： 定理2 2 3 设( d ，d ，d ) 是余代数，线性映射s ：dod _ dod 满足下列条 件： e ( d ) d = e ( d s ) ( ) s ，8 c ( d ) = d s s ( ( ) s ) 和 & 2 os a 30a 2 = a s0s ：dod _ d od0 d 30 $ 1 30a 1 = a 1 0s ：do d _ d do d 昆30 $ 1 2 = s , 20 3 ：dod 圆d _ do d0d ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 其中a i ， = 1 ，2 ，表示对d od 第i 个元素作用那么双线性映射s o a d ：d _ d od 是 定义在d 上的另个余结合余代数结构，余单位是e d 我们把它表示为( d s ，s o a d ，d ) ， 叫做广义余扭曲余代数，映射s 叫做d 的余扭曲子 8 第二章广义余扭曲余代数 如果s 是余扭曲子，我们将通常表示s ( do ) = d so 以，d ，d ，d ，所以d 上的 新余乘s oa ( d ) = ( d t ) s d 2 s 那么定理中的式子可以用下列记号给出： ( d s ) 5o ( ) 1 。o ( d ，) 2 s = d so ( ( d ，) s ) l 圆( ( d ，) s ) 2 ( d 1 ) so ( d 2 ) 5q ( ) s 5 = ( d s ) 1 圆( d s ) 2p ( j ) s d so ( ( d ，) s ) 5 固( 7 ) 。= d so ( ( j ) 5 ) s o ( d ，7 ) 。 证明对于余单位性是显然的 下证余乘满足余结合性，即证： ( io ( so ) ) o ( so ) = ( ( so ) o ，) ( s0 ) ( jo ( so ) ) ( so ) ( d ) = ( ip ( so ) ) ( ( d 1 ) s 圆d 2 s ) = ( d 1 ) so ( ( d 2 s ) 1 ) 8o ( d 2 s ) 2 。 = ( ( d 1 ) s ) 8q ( ( 如) 。圆( d 2 2 ) l s 。 = ( ( d 1 1 ) s ) 8o ( ( d 1 2 ) 8 ) s ，p ( d 2 ) s 8 = ( ( ( d 1 ) s ) 1 ) 5 q ( ( d 1 ) s ) 2 。，o ( d 2 ) s = ( ( s0 ) q 职s0 ) ( d ) 所以，定理成立 口 现在，如果d wp ( c 是广义s m a s h 余积，那么我们可以证明映射s ( 如上所给) 对于 do c 来说满足定理2 2 3 的条件，并且变形余乘就是d wkc 的余乘 下面验证定义的s 满足定理2 2 3 的三条： 2os ( ( d ，oc ，) o ( d ，7 圆c ，7 ) ) = 2 ( o ( c ，) o ( d ，7 ) 彬oc ，) = ( d ，o ( c ，) w ) o ( ( 7 ) woc ，7 ) 1o ( ( ) woc ，7 ) 2 = ( o ( c ，) w ) o ( ( d ，7 ) w ) 1o ( c ，7 ) 1o ( ( d ，7 ) ) 2o ( c ，) 2 s 1 2os 1 3o 2 ( ( d 7oc ，) o ( d ，7oc 1 7 ) ) = $ 1 2o 岛3 ( ( oc ，) 圆( 7oc ，) 1o ( 7pc ，) 2 = $ 1 2o & 3 ( ( d ，oc ，) p ( ( ) 1o ( c ，) 1 ) 圆( ( d ”) 2o ( c ，) 2 ) = s 2 ( ( d ，oc ，) o ( ( ) 1o ( c 1 7 ) 。) o ( ( ( d ，7 ) 2 ) wo ( c ，7 ) 2 ) 9 广义余扭曲余代数和广义扭曲双代数 = ( d ，o ( c ，w ) 叫) o ( ( ( d ，7 ) 。) o ( c ，) 1 ) o ( ( ( d ，7 ) 2 ) o ( c ，) 2 ) = ( dp ( c ，) w ) 圆( ( d ，7 ) w ) 1o ( c ，7 ) 1o ( ( 7 ) ) 2o ( c ，7 ) 2 a 1os ( ( d ，圆c ，) o ( d ，7qc ，7 ) = a 1 ( d ，o ( c ，) 彤o ( ) oc i ) = ( o ( c ，) w ) 。固( d ，o ( c ，) w ) 2o ( ( 7 ) woc ，7 ) = ( ( ) ，o ( ( c ，) ) 1 ) o ( ( d ，) 2o ( ( c ，) w ) 2 ) 圆( ( d ，7 ) woc ，) 3os 1 3oa 1 ( ( oc ，) o ( d ，oc 1 7 ) ) = 3 os 1 3 ( ( d ，qc ，) 1 圆( d ，圆c ，) 2o ( d ，7o c ，) ) = ( ( ) 1o ( ( c ，) 。) ) o ( ( ) 2p ( c ，) 2 ) o ( 7 wpc ，7 ) ) = ( ( d 7 ) o ( ( c ，) 1 ) w ) q ( ( d ) 2o ( ( c ，) 2 ) 叫) o ( ( 7 w ) 叫oc ，7 ) ) = ( ( ) 1q ( ( c 7 ) ) 1 ) o ( ( d 7 ) 2o ( ( c ) w ) 2 ) o ( ( d ，7 ) w 圆c ”) 3os 1 2 ( ( oc ，) o ( d ，oc ，) ) = s 1 2o 岛3 ( ( d ，oc i ) o ( 7oc ，) ) 是显然的 也就是说，d wkc = ( doc ) s 所以我们可以得到d wxc 的余结合性作为定理 2 2 3 的结果 相反地，如果w ：d0c _ cod 是一个线性映射，使得上面给出的映射s 是 d 圆c 的余扭曲子，那么w 是余扭曲映射和d w c = ( d o c ) s 如果这是事实的话， 我们就可以说余扭曲子可以通过余扭曲映射得到 注释：设s 是余扭曲子满足另外条件： s 1 20 $ 1 3 = s 1 30 $ 1 2 30 $ 1 3 = $ 1 30 岛3 那么容易验证s 还是一个尼矩阵相反地，一个双射的尼矩阵满足这两个条件就是一 个余扭曲子 下面我们给出余扭曲子的例子： 设以，b ，c 是三个余代数和m ：b o a _ a 圆b ；w 2 ：c ob _ b q c ；w 3 ：c o a a 圆c 是余扭曲映射，考虑张量积余代数d = co b oa 和映射s ：dod _ d pd s ( ( cob 圆口) o ( c ，圆6 ，o 口) ) = ( c 圆b w = ( 口) 肌) 圆( ( c ，) o ( b t ) w lpo ) 1 0 第二章广义余扭曲余代数 般来说，s 不是d 的余扭曲子，但是我们有下面的结论 命题2 2 4 如上所述，s 是余代数d 的一个余扭曲子充分必要条件是下面条件成 立： c w 2o ( 妒) 肌oa w l = c w 2 o ( b w l ) w 2o a w l ( 4 ) c w 3o 6 m 圆a w 3 ) w l = c w aob w x ( n 叭) ( 5 ) ( c ) ob w 2oa w 3 = ( c w 3 ) w 2pb w 2oa w 3 ( 6 ) a a ，b b ，c c 此外，这是事实的话，可以得到m ，w 2 ，w 3 是相容的余扭曲映射 证明根据定义，s 是余代数d 的余扭曲子的条件是定理2 2 3 中的( 1 ) 一( 3 ) 式成 立即： 研2o & 3 。2 ( ( c 圆6 圆口) o ( c ，ob oa i ) ) = a 2 。s ( ( cqbp o ) p ( c ，o6 ，oo ) ) s 2 3os , 3 。1 ( ( cq b 圆o ) p ( c p 圆6 ，圆a i ) ) = 1os ( ( cqbo n ) 圆( c ，o6 ，o 口7 ) ) s 2 3os 1 2 ( ( cobo o ) p ( c ，o6 ，oo ) p ( c ，ob ”圆口”) ) = s 1 2o ，岛3 ( ( cobo n ) o ( c ，ob 7 n ) o ( c ，7 圆6 ，oo ) ) 下证三式成立： 岛2os 1 3o 2 ( ( cobo a ) q ( c io b 7o a i ) ) = 研2 os 1 3 ( ( cpbo n ) o ( 西ob iqn ：) o ( 乏。醍oo ：) ) = s 1 2 ( ( co b w 2o ( o ) 肌) 圆( o 酲o n ：) q ( ( ( 艺) ) p ( 6 ：) moo ：) ) = c o ( 6 ) 埘2o ( ( ( n ) m ) 加3 ) 叫1o ( ( ) 伽。) 埘zo ( 6 i ) 叫t 圆o ip ( ( 乏) ) o ( 5 2 ) w lq a ： = c o ( 6 ) 2q ( ( ( n 肌) 肌) 协1 ) 埘3o ( ( 舀) 。) 。o ( 6 i ) zo o io ( ( 乏) ) o ( i f 2 ) w 1oq ：! = c o ( 6 ) 2p ( ( o ) 肌) 叫3o ( ( 西) w 3 ) 耽o ( 6 7 ”，) 1o 口i 圆( ( 艺) ) o ( 6 m ) 2o o ： = c o ( b w 2 ) 叫2o ( ( o 肌) ) 伽3 圆( ( i ) w 3 ) 协zo ( 6 7 - ) 1o n ：o ( ( 艺) ) o ( 6 ，m ) 2oo ： = c o ( 6 ) 伽2o ( n 肌) q ( ( c ，1 t ，s ) 1 ) 加2o ( 6 ， ，) 1o o ：q ( ( c ，) 2 ) p ( 6 ，肌) 2o 口： = c o ( b w 2 ) 叫2oa w 3 ) m 固( ( c ，蚴) 1 ) 伽：q ( 6 7 - ) 1o o io ( ( c ，) 2 ) o ( 6 ，m ) 2oo ： = c 圆b w 2 圆( n ) mo ( ( c ，t ，。) 叫z ) 1o ( 6 7 t l ，) lo o ：q ( ( c ，眠) ) 2o ( 6 7 肌) 2 圆o ： = 2 ( ( c 固b w 2 圆( o ) 眦) o ( ( c w 3 ) w 2 圆b w 1oa i ) ) = 2os ( ( co b 圆a ) o ( c ，o6 ，oa r ) ) 1 2 兜3os 1 3o 1 ( ( cob 圆n ) o ( c io b oo ) ) = 3os 1 3 ( ( c 1qb 1o 口1 ) oc 2p b 2oa 2 ) 圆c i 圆b 7 n ，) ) = 3 ( ( c 1o6 po ( 口p ) 肌) o ( c 2o b 2on 2 ) q ( ( c ，) o6 7 肌oo ，) ) = c 1 ：2c 1 6 pp 6 pq a w l3 ) w 1 。c 2 6 z 。( n 罗。) 伽圆( ( ( c ，) ) 伽a ) 。o ( 6 ，肌) 伽1o a 7 a p ) w 1 圆c 2o6 笋z 。( o ；。) ”- o ( ( ( c ，) ) 伽z ) 删。 ( 6 ，) 硼1 n = c 1o ( b w 2 ) 1o ( a p ) w 1oc 2o ( b w 2 ) 2o ( n 3 ) 埘t 圆( ( c ，) ) 伽so ( b t w l ) 仰1o o = c 1 圆( 6 ) 1o ( a w l3 ) w 1o c 2o ( b w z ) 2p ( o ；3 ) 硼，o ( ( c ，) ) 蚴圆( 6 7 肌) 埘1q o = c 1o ( 6 ) 1o ( a w 3 ) 1 ) 肌oc 2o ( 铲。) 2o ( a w 3 ) 2 ) 们p ( c ，) o ( 6 7 ) 埘1o n ：c 1o ( b w 2 ) 1o ( ( n 胍) 1 ) 肌圆c 2o ( b w ：) 2q ( a w 3 ) 2 ) 伽zo ( c w 3 ) w 2o ( b l w l ) 伽1o o = c 1o ( b w 2 ) 1o ( ( q ) 肌) 1o0 2 圆( 铲。) 2 ( ( n s ) w l2o ( c ，) p b w 1o o = c 1 ( 6 ) 1o ( ( o ) 叭) 1oc 2 圆( 6 ) 2o ( ( o ) 肌) 2o ( c ，) o b w 1o 0 7 ) = a 1 ( c 1ob w 2 圆( a w 3 ) w 1 圆( c w 3 ) w 2o b w 1o n 7 ) = a 1 os ( ( cobo o ) o ( c ，o6 ，p0 7 ) ) s 1 2o ，岛3 ( ( co bp o ) q ( c i 圆6 ，o0 7 ) 圆( c ，7o6 ，7 圆o ”) ) ：co b w 。o ( a w s ) 加o ( c w 3 ) w 。圆( b i w 2 ) 埘，o ( a 7 w 3 ) w zo ( c ，7 ) o6 ”w 1o o ” ：co b w ：o ( a w z ) w t 圆( c i w s ) 伽。o ( 6 ，叫t ) 圆( a w 3 ) w 1o ( c ，) p6 ，7 w 1o o ” ：cob w 2o ( a w 3 ) w 1o ( c t w 3 ) w 2q ( b l w l ) 叫。 ( a w a ) 埘圆( c ，彬s ) 们。o6 ，7 伽，oo ” = s 奎3 os 1 2 ( ( cobq n ) o ( c ，o6 ，oo ) 圆( c i q6 ，oo ”) ) 所以，s 是余代数d 的一个余扭曲子等价于( 4 ) ，( 5 ) ，( 6 ) 式成立 其次，验证m ，是相容的 ( apw 2 ) o ( w 3 圆b ) 。( c 圆肌) ( co bo a ) = ( c w 3 ) w 2o ( 6 肌) 圆( n ) = ( c w 3 ) w 2o ( 6 ) 肌 ( n 肌) = ( c ) o ( 6 ) 肌o ( o ) = ( c w 2 ) w 3q ( 6 ) 肌o ( n ) 肌 = ( m o c ) o ( bow 3 ) o ( w 2qa ) ( co bo o ) 所以，命题成立 口 ，f 第二章广义余扭曲余代数 2 3 广义余扭曲余代数的性质 本节我们主要通过余扭曲子将原来余代数的性质推广到广义余扭曲余代数上 命题2 3 1 设s 是余代数d 的一个余扭曲子，u 是余代数f 的一个余扭曲子， 如果v ：d _ f 是余代数映射，使得( v v ) os = uo ( voy ) ，那么v ：d s f u 是 一个余代数映射 证明要证v ：d s f u 是一个余代数映射，即证： uom fov = ( vo v ) os 0a o ，s fov = e d 由已知：v ：d _ f 是余代数映射， 所以m f ov = ( vo v ) om d 和s f ov = d 又因 ( yov ) os = uo ( v 圆v ) 所以 u o x fov = uo ( vov ) o d = ( v 圆v ) oso x d 所以，命题成立 口 例2 3 2 ：如果b w a 和b 0 ，a 是广义s m a s h 余积，：a _ a 7 和g ：b b 7 是余代数映射，满足( 夕o 厂) 。w = w o ( ，0 9 ) ，那么g o f ：b w 4 一b 0 ，k a 7 是余代数 映射我们可以看到这个就是命题2 3 1 的特殊例子，d = b o a ，f = b 7o a ，v = 夕 ， 和s ( u ) 是从w ( w 7 ) 得到的余扭曲子 命题2 3 3 设( d ，a ，) 是余代数，x ，y ：do d _ dod 是d 的余扭曲子，满 足下列条件： x 2 3om 32k 3 ox 2 3 x t 20m 3 = y 1 3 0x 1 2 x 2 s0m 22y 1 20x 2 3 x 1 2oy 2 3 = 蚝3 ox 1 2 1 3 广义余扭曲余代数和广义扭曲双代数 那么y 是d x 的余扭曲子，x 是d y 的余扭曲子，x oy yox 是d 的两个余扭