（道路与铁道工程专业论文）特殊工况下无缝道岔的有限元分析.pdf

摘要 目前，随着我国高速铁路及客运专线的大规模兴建，作为跨区间 无缝线路关键技术之一无缝道岔的分析与研究，成为铁路轨道领 域的热点与难点问题。国内外相关专家学者先后开展了无缝道岔温度 力与位移的试验研究，并提出不同的无缝道岔计算理论与方法，但迄 今为止，还没有形成一套成熟的、公认统一的分析方法。 本文在系统地归纳总结国内外各种无缝道岔计算理论的基础上， 建立了无缝道岔温度力与位移有限元模型，并根据能量原理与形成矩 阵的“对号入座”法则建立了模型求解的非线性方程组，采用 m a t l a b 语言编程实现计算机运算。 运用本文建立的无缝道岔有限元模型，对无缝道岔各影响参数进 行分析计算，发现轨温变化幅度及扣件阻力参数对无缝道岔受力与变 形有显著的影响，这为无缝道岔铺设运营、养护维修提供了参考价值。 基于本文建立的无缝道岔有限元模型，对无缝道岔在实际工程中 常见的五种工况进行分析：分析研究了无碴道岔、半焊无缝道岔及固 定辙叉无缝道岔在温度力作用下钢轨受力与变形的变化规律，分析研 究了铺设锁定轨温差、线路爬行对无缝道岔受力与变形的影响。通过 对以上五种工况的分析，找出了它们之间的变化规律，所得结论具有 工程实用价值。 关键词：无缝道岔有限元参数分析无碴道岔半焊 固定辙叉锁定轨温差线路爬行 a b s t r a s t c h i n ai sc o n s t r u c t i n gr a i l w a yl i n ef o rh i g h s p e e dr a i l r o a da n dt h e p a s s e n g e rt r a f j i cm a s s i v e l ya tp r e s e n t j o i n t l e s ss w i t c h ，a so n eo f t h ek e y t e c h n o l o g i e so nc r o s ss t a t i o n1 i n e ，p r e s e n t l yc o m e st ot h eh o t s p o ta n d n o d u so nt r a c ks t r u c t u r er e s e a r c h m a n ye x p e r t si nt h ew o r l dp r o p o s e da l l k i n d so fd i f f e r e n tj o i n t l e s ss w i t c hc o m p u t a t i o nt h e o r ya n dt h em e t h o d ， a n dh a v ec a r d e do u tt h er e l a t e de x p e r i m e n t a ls t u d y b u ts of a r , m a t u r e a n du n i f i e dm e t h o dh a sn o tb e e na g r e e db yt h em o s te n g i n e e r s t h i sp a p e r , d e p e n d i n go nf i n i t ee l e m e n tm e t h o do ft h ej o i n t l e s s s w i t c h st e m p e r a t u r es t r e s sa n dt h ed i s p l a c e m e n te s t a b l i s h e d ，w h i c hb a s e d o ns u m m a r i z i n ga l lk i n d so fc o m p u t a t i o nt h e o r yi na n do u t t h e n ， n o n l i n e a re q u a t i o ng r o u p sw h i c hw a se s t a b l i s h e da c c o r d i n gt oe n e r g y p r i n c i p l ea n d “s e t i n f i g h t - p o s i t i o n r u l e i sc a l c u l a t e db ym a t l a b p r o g r a m m i n gl a n g u a g e t h es e n t i v i t yo fe a c hj o i n t l e s ss w i t c hd e s i g np a r a m e t e ri sa n a l y z e d b a s e do nt h em o d l e t h er e s u l t ss h o wt h a tt h et e m p e r a t u r ea p p r e c i a t i o n a n df a s t e n i n gr e s i s i t a n c ei so fi m p o r t a n c et ot h ef o r c ea n dd i s p l a c e m e n t o fi o i n t l e s ss w i t c h ，w h i c hi su s e f u lt og u i d et h ep a v e m e n ta n d m a i n t e n a n c eo f jo i n t l e s ss w i t c h b a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n tp r i n c i p l e ，a n a l y s et h ei n f l u e n c e so f f a m i l i a rf i v ee n g i n e e r so nt h el o n g i t u d i n a lf o r c ea n dt h er a i ld i s p l a c e m e n t o fc o n t i n o u sw e l d e dt u r n o u t ，s u c ha st h e b a l l e s t l e s st u r n o u t ，t h e h a l f - w e l d e dt u m o u t ，t h er i g i df r o g st u r n o u t ，t h ed i f f e r e n ta l g e b r a i co ft h e s t r e s s f r e et e m p e r a t u r ea n dt h er a i lc r e e pf o r c e s t h er e s u l t si su s e f u lt o e n g i n e e r i n gc o n s t r u c t i o n k e yw o r d s ：c o n t i n o u sw e l d e dt u r n o u t ， f i n i t ee l e m e n t ， p a r a m e t e ra n a l y s i s b a l l e t e l e s s t u r n o u t ，h a l f - w e l d e dt u r n o u t ，r i g i d f r o g s s t r e s s f r e et e m p e r a t u r e ， r a i lc r e e pf o r c e s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名： 习垄蜴 l 吼爿年月尘 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：上 监导师签名 e t9 9 ：幽年旦月2 m _ 厶e t 硕士学位论文第一章 绪论 第一章绪论 1 1 铁路无缝道岔附加温度力研究的目的和意义 无缝线路在完善了桥上无缝线路、高强度胶结绝缘接头、无缝道岔和无缝线 路施工方法等多项技术后，把闭塞区间的接头( 包括绝缘接头) 乃至整个区间，甚 至几个区间( 包括道岔、桥梁、隧道等) 都焊接在一起，取消了缓冲区，成为跨区 间无缝线路。跨区间无缝线路不仅强化了轨道结构，而且最大限度地消除了钢轨 接头，从而提高了线路的平顺性、改善了乘车的舒适性、保障了行车的安全性， 因此，跨区间无缝线路既是轨道结构技术进步的重要标志，也是高速和重载轨道 结构的优先选择，更是适应铁路客运高速化、货运重载化要求而诞生的必然产物。 它以无可争议的优越性为各国所承认，各国铁路竞相发展跨区间无缝线路。跨区 间无缝线路的大量铺设极大地推动了无缝道岔的发展。目前，无缝道岔已为世界 上许多国家所采用。德国铁路将区间无缝线路长轨条与站内无缝道岔直接焊接， 构成跨区间无缝线路后，其中无缝道岔有十余万组。为了适应高速重载铁路运输 的发展，我国铁路自1 9 9 3 年开始先后在京山、京广、大秦线上铺设了4 处轨节 长2 0 k m 的跨区间无缝线路，同时开始了无缝道岔的铺设。1 9 9 6 年，我国铁路 各主要干线开始全面提速，进一步推动了跨区间无缝线路和无缝道岔的发展。 作为发展跨区间无缝线路关键技术之一的无缝道岔，因其与两端的无缝线路 实施焊接或胶接，当温度变化时，道岔前后两端温度力处于不平衡状态，钢轨会 产生附加温度力，并导致有关部件产生附加纵向位移，而过量的钢轨附加力及变 形容易破坏无缝道岔的几何平顺性，并导致其结构部件的破损，从而降低旅客乘 车的舒适性，甚至直接威胁列车运行的安全。因此，进行铁路无缝道岔结构体系 分析方法的研究在铁路轨道工程中具有重要的理论意义和实用价值。无缝道岔在 温度效应作用下的受力与变形的机制较为复杂，是进行无缝道岔设计、铺设与维 护管理的理论基础和主要难点，也是发展高速重载铁路和实现铁路不断提速的技 术难点之一。 因此，进行铁路无缝道岔温度附加力与位移分析的研究在铁路轨道工程和我 国客运专线及高速铁路建设中具有重要的理论意义和工程实用价值。研究无缝道 岔就是弄清其纵向力和位移在道岔范围内的分布和随温度的变化，以及关键部件 承受的作用力，为设计、铺设和养护维修提供理论依据，弥补既有理论的不足， 解决现场出现的问题。 硕士学位论文第一章绪论 1 2 无缝道岔温度附加力研究概况 1 2 1 国外学者研究概况 无缝道岔已在世界上许多国家获得应用，各国学者都对其在温度效应下的受 力和变形做了很多的试验和研究，但目前还没有形成一种成熟、公认统一的理论 方法。现将其中几位专家学者的计算方法和思路综述如下。 德文版的铁路道岔一书中介绍了德国铁路在无缝道岔纵向力分布及变形 方面的成果，建立了无缝道岔纵向力的计算模型和计算方法1 3 】。轨温变化2 5 。c 时， 1 2 号无缝道岔纵向力的计算结果表明。在尖轨跟端位置，基本轨的附加纵向力 最大，约为温度力的3 7 。但在现场实测时，基本轨最大附加纵向力仅为温度力 的7 。 1 9 8 9 年日本铁道综合技术研究所线路构造研究室柳川秀明、三浦重等提出 计算模型和方法【4 1 。柳川秀明等的研究思路是：他们认为道岔附近钢轨附加纵向 力的大小以及尖轨与基本轨的相对位移，依赖于钢轨间相互约束与道床纵向阻 力。假设基本轨与导轨之间是用弹簧相互联结的，其弹性系数采用试验所得，选 用道床纵向阻力时考虑了阻力与位移的非线性关系。在些基础上他们通过对基本 轨和导轨问传力f 的计算来确定基本轨的附加温度力及导轨与基本轨间的相结 位移。其传力f 由下式确定。 f = k ( 哦。巧) ( 1 1 ) 式中：k 为约束弹簧系数； 盈为导轨纵向位移竹篆； ( 1 - 2 ) 1 7 2 4 为基本轨拉伸或纵向位移或压缩变形量，42 孟；( 1 - 3 ) a 为钢轨截面积； e 为钢轨弹性模量； y 为轨道纵向阻力。 运用以上所列f 、执、d 三个平衡关系式，通过试算便可求解。该计算方法 虽然提供了较为齐备的平衡条件和计算参数，能够保证计算顺利进行，但存在不 足之处：导轨与基本轨之间力的传递不仅与两轨间相对位移有关，还与两轨间 距有关，在两轨相对位移一定的情况下，两轨间距越大，所传递的相互作用力就 越小，所以该算法对两轨间纵向力传递处理不严密。该法所用的阻力参数为： 2 硕士学位论文第一章绪论 y = 上，式中a 为线路纵向阻力初始系数。显然，用这一阻力函数计算基本 y + a 轨附加纵向力和位移量不收敛，与实测结果比较有明显差异。 1 2 2 国内学者研究概况 上世纪8 0 年代至今，我国先后在京广线、大秦线、滨洲线、兰新线和秦沈 客运专线等线路铺设了无缝道岔并开展了相应的试验研究。国内学者先后对无缝 道岔的分析计算方法进行了可贵的探索和研究，并相继发表了相关论文或专题研 究报告【l 卜”】，极大地促进了我国无缝道岔和跨区间无缝线路的发展。 1 9 9 4 年许实儒教授提出了无缝道岔温度力和变形分布的三节点力学模型及 二次松弛法【1 引，对固定辙叉无缝道岔进行了分析。该法的基本思想是对无缝道 岔建立了具有三个节点的力学模型，经过两次放松节点约束，通过递推试算，求 出两尖轨跟端和辙叉的位移以及各轨节的温度力分布。 1 9 9 5 年卢耀荣研究员运用“两轨相互作用原理”，提出了无缝道岔纵向力计 算方法j ，考虑了导轨与基本轨的相互作用，并根据实测线路阻力给出了阻力一 位移表达式。所谓“两轨相互作用原理”，即无缝道岔的基本轨和导轨分别处于 无缝线路的固定区和伸缩区，随着轨温的变化，导轨克服阻力而伸缩，同时通过 联结件和岔枕对基本轨施加纵向力，因而基本轨除产生由温度力产生的“虚应变 外，还承受由导轨施加的附加纵向力而产生“实应变 ，导轨因伸缩而放散部分 温度力，并受到基本轨、岔枕和扣件所施加的反作用力。如此，导轨、基本轨因 相对位移且通过联结件、岔枕相互作用和约束组成一个力学平衡体系。 1 9 9 6 年范俊杰教授提出了计算无缝道岔的“当量参数法”，并确定了相应的 计算参数，随后发表了相应的研究论文【i5 。1 8 】。“当量参数法”的基本原理是：岔 枕因其位置不同，而有不同的道床纵向阻力、不同的扣件阻矩，同时，岔枕的弯 曲变形也不同，因此，岔枕传给基本轨的附加温度力应逐根计算，分段叠加，再 加上辙跟或限位器传递的力，这一计算过程相当复杂，为简化计算，引入“当量 参数”综合考虑道床纵向阻力、扣件阻矩以及岔枕弯曲变形的影响。 1 9 9 7 年蔡成标博士等提出了计算无缝道岔温度附加力和位移的研究论文 【1 蛇，并于1 9 9 8 年提出了无缝道岔多轨相互作用原理计算法及应用软件f 2 2 1 ，该 法同时考虑了道床阻力随岔枕长度的变化及基本轨与导轨间的相互作用力，建立 了无缝道岔钢轨温度力与变形分析的力学模型。 1 9 9 8 年马战国副研究员考虑了道床阻力、间隔铁阻力以及导轨与基本轨相 互作用的非线性，并通过实测确定了这些非线性关系。采用有限单元法，考虑了 轨枕、扣件和道床阻力的作用，对1 2 号固定辙叉无缝道岔各个部分的受力和位 移规律进行了分析。这些理论在分析无缝道岔在温度效应作用下的受力与变形 硕士学位论文 第一章 绪论 时，均做了较多的假设，如四轨线下道床阻力的分配与实际情况有一定的差异、 有的没有考虑极限扣件阻力的影响 2 3 - 2 5 】【4 7 】。 2 0 0 1 年王平教授考虑扣件阻力、扣件阻矩、道床阻力以及间隔铁阻力的非 线性，建立了可动心轨式无缝道岔钢轨附加温度力及位移的分析模型和计算方法 【2 6 3 4 】 o 2 0 0 1 年陈秀方教授首次将广义变分原理应用于无缝道岔的分析计算中，提 出了计算无缝道岔钢轨附加温度力与位移的一种全新方法，考虑了扣件阻力的非 线性，将岔枕视为有限长w i n k l e r 弹性地基梁，对岔枕进行了较为真实的模拟， 并作为算例，分析了秦沈客运专线1 8 号无缝道岔以及京秦客运通道1 2 号可动心 轨无缝道分群的钢轨附加温度力与变形随钢轨温度变化的规律，并成功应用于京 秦客运通道提速改造工程中【3 5 。3 8 1 。 2 0 0 3 年曾志平博士将轨枕视为弹性地基上的有限长梁，用基于弹性理论的 戈氏法对其进行受力分析，通过假设钢轨纵向力函数，计算无缝道岔结构各部分 的能量，利用广义变分原理建立无缝道岔结构非线性平衡方程组，并用最速下降 法求解【3 9 - 4 2 1 4 8 4 9 1 。 2 0 0 5 年刘衍峰、王树国应用a n s y s 软件对无缝道岔进行了分析，孙大新、 孙立儒也应用a n s y s 软件对桥上无缝道岔及小号码无缝道岔进行了分析1 5 0 - 5 3 】。 2 0 0 6 年易锦利用基于变分原理的有限单元法建立了无缝道岔的计算模型， 分析了无碴道岔纵向温度附加力与位移，并且与有碴道俞进行对比，得到了一些 对工程实际有用的结论【5 4 】。 综上所述，国内外关于无缝道翁的计算理论可以说各有所长，但至今还没有 一种被普遍接受的方法，而我国客运专线和高速铁路建设的发展需要一个切实可 行的无缝道岔计算方法。为了满足客运专线和高速铁路发展的客观需要，寻找一 个理论完备并具有工程实用价值的无缝道岔设计和检算方法，己成为广大铁路工 程技术人员一个亟待解决的课题。 1 3 本文的主要研究内容 求解无缝道岔纵向力及位移是一个超静定问题，并且具有很强的非线性，为 避免求解过程中有过多的假定与简化，本文在前人的研究基础上选用了有限单元 法，并且运用m a t l a b 语言编程实现计算机运算。随着计算机技术的跨越式的发 展，建立无缝道岔的有限元精确仿真模型，获得更接近实际的计算结果是完全可 行的。 本论文包含以下内容： 第一章：阐述了无缝道岔纵向温度力及位移研究的目的和意义，介绍了国内、 4 硕士学位论文 第一章绪论 国外学者在无缝道岔纵向力及位移方面的研究状况，简要概括了本论文的主要研 究内容。 第二章：简要介绍了有限单元法的概念，并介绍了解非线性方程组的几种常 用方法。在参考前人分析研究的基础上，根据能量原理和形成矩阵的“对号入座” 法则建立有限元模型来求解非线性方程组，并且运用m a t l a b 语言编程实现计算 机运算。 第三章：对本论文建立的有限元模型进行实际的求解计算，以高速客运专线 1 8 号无缝道岔为研究对象，计算了在升温4 5 。c 情况下无缝道岔的纵向力及位移， 并且对影响无缝道岔纵向力和位移的计算参数进行了分析研究。 第四章：对在实际工程无缝道岔铺设、运营和维修中常见的几种特殊工况进 行了分析研究，找出其变化规律，提出了一些有益于工程实用的合理建议。 第五章：结论及今后须进一步努力的方向。 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 2 1 有限单元法概述 2 1 1 有限单元法的发展 “有限单元法”这一名称最早是由c l o u g h 在1 9 6 0 年的一篇关于平面弹性 问题的论文中提出的。其实，有限单元法最初是在5 0 年代作为处理固体力学问 题的一种方法出现的，它是结构分析矩阵方法的一个分支。据文献记载，早在 1 9 4 3 年c o u r a n t 就应用了“单元”，他在求解s t v n a n t 扭转问题时，将杆的横 截面剖分为三角形“单元”，假设翘曲函数在三角形单元中呈线性分布。在 c o u r a n t 之后十多年，这一方法逐渐流行起来【5 8 。6 0 1 。 b e s s e l i n g 于1 9 6 3 年将有限单元法和传统的里兹( r i t z ) 法比较后指出，有 限单元法是里兹法的另一种形式，其试函数就是分片插值函数，在单元上解析， 在整个域上仅满足连续的条件。试函数的这一改进，使有限单元法比普通的里兹 法更灵活，适应性更强。目前，有限单元法在工程界获得了广泛的应用，已成为 杰出的工程分析工具。 我国学者对有限单元法的创建和发展也有不少贡献。著名学者冯康在1 9 6 5 年提出的“基于变分原理的差分格式 ，就是有限单元法。 初期的有限单元法是建立在虚功原理或最小势能原理基础上的。在 1 9 6 0 1 9 7 0 这十年中，发展了以各种不同变分原理为基础的有限单元法，并在许 多方面对有限单元法进行了研究： ( 1 ) 有限单元法与加权残数法的关系； ( 2 ) 发展了弯曲元、曲元和等参元； ( 3 ) 作为偏微分方程的数值解法，广泛应用于结构的非线性问题和动力学 问题、固体力学问题、流体力学问题、热力学问题以及其他方法难以处理的工程 问题； ( 4 ) 建立在函数分析概念上的数学基础。 自1 9 6 7 年以来，出版了许多有限单元法的专著，发行了不少有限单元法的 杂志，关于有限元理论和应用的论文也层出不穷，展现出数值方法前所未有的生 命力。板壳结构有限元分析的研究尤其活跃，由于按板壳理论直接构造协调的简 单有效的板壳单元碰到巨大的困难，研究人员提出了多种解决办法，获得一定的 成功，譬如龙驭球等提出的拟协调单元等。1 9 9 3 年以来，徐兴及其研究生，从 三维实体等参单元出发，直接引入相应的基本假定，构造了中厚板壳单元、 6 硕士学位论文 第二章 有限单元法基础及无缝道岔计算模型 k i r c h h o f f 薄板单元、空间梁单元、平面梁单元等一系列退化单元。另外，为适 应层合板壳和箱梁等复杂结构的计算，发展了层合板壳单元、- 虚拟层合板壳单元 和组合单元，突破了不同材料应划分为不同单元的要求。这一改进，使得复杂结 构的整体空间分析、动力分析、非线性分析、形状优化等复杂问题变得简单有效。 现在有限单元法已广泛应用于航空航天、船舶建造、核能电站、地下建筑等 结构工程，在潮汐运动、热传导、化学反应中物质的传递和扩散以及流体和结构 的相互作用等领域，也有广泛的研究和应用。随之而来有限单元法的专用和通用 软件也大量出现，比较著名的通用软件有n a s t r a n 、a s k a 、m a r c 、a n s y s 、 t i t u s 、a d i n a 等。 虽然有限单元法已经发展的相当成熟，但是在进一步扩大应用范围，提高和 完善有限单元法的使用技巧等方面还有许多工作要做。例如断裂、损伤等材料破 坏问题，各种非线性问题、流体问题和大规模复杂结构的求解效率、误差界限和 收敛速度的估计、网格剖分的自动化、自适应有限单元、以及有限单元和优化相 结合的计算机辅助设计等等。 2 1 2 有限单元法的分析条件及基本步骤 在应用有限元法分析计算时，要求具备以下的条件畔j ： ( 1 ) 变行协调条件连接在同一个节点的各个单元的位移应该是互相协 调的； ( 2 ) 静力平衡条件作用在结构结点的外荷载必须与单元内荷载相平衡； ( 3 ) 力和变形的关系服从虎克定律，即力和变形之间的关系为线性或非线 性关系。 用有限单元法分析一维、二维、三维还是板壳等问题，其基本分析过程都是 一样的，概括起来分为以下五步： ( 1 ) 结构的离散化 所谓离散化是指，将待分析的结构用选定的单元型式划分成有限个单元体， 把单元的一些指定点设为连接相邻单元的结点，以单元的集合体来代替原结构。 在这一步中应作的具体工作是：建立坐标系；对单元结点进行合理编号；为以下 有限单元法分析准备必要信息。 下面以弹性力学问题的有限单元法为例，说明剩余的四个基本过程。 ( 2 ) 确定位移模式 完成离散化后，为对典型单元进行特性分析，必须对单元的位移分布做出合 理的假设，也即假设单元中任何一点的位移可用结点待定位移的一个合理、简单 的坐标函数表示，这一坐标函数称作位移模式或位移函数。 位移模式的确定是有限单元法分析的关键，比较常用的方法是以多项式作为 7 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 位移模式，这是因为其微积分运算比较简单。从泰勒级数展开的意义上来说，任 意光滑函数的局部均可用多项式来逼近。 ( 3 ) 单元特性分析 确定单元位移模式后，即可对单元作以下三方面的工作：利用几何方程( 应 变一位移关系) 将单元中任一点的应变用待定点结点位移来表示，也即建立矩阵 方程；利用物理方程( 应力一应变关系) 导出用单元结点位移表示的单元应力矩 阵方程；利用虚位移或最小势能原理建立刚度方程。在以上三方面工作中，核心 工作是建立单元刚度矩阵和等效结点荷载列阵。 ( 4 ) 集成所有单元的特性，建立整个结构的平衡方程 本步工作利用“对号入座”法集成整个结构的整体刚度矩阵和综合等效结 点荷载列阵( 包括直接结点荷载和等效结点荷载两部分) ，从而建立结构整体刚 度方程。 本步工作的具体细节因所求解问题和程序处理方法的不同有所区别，对一些 问题将存在坐标( 局部和整体) 转换问题，对于“后处理”法( 用于对号入座定 位向量可不考虑边界位移约束) 还存在位移边界条件的引入等问题。 ( 5 ) 解方程组和计算输出结果 对线性问题，整体刚度矩阵方程式将是一组线性代数方程组，一般是高阶方 程组。由于整体刚度矩阵的高阶、带状、稀疏和对称的特性，在有限元法发展过 程中，研究建立了许多不同的存储方式和相应的计算方法，利用它们可以解出全 部的未知位移。求出位移后，可以进一步计算应力( 或内力) ，并用数表或图形 方式输出整理后的结果，在此基础上再结合具体问题进行结构分析。 2 2 非线性方程组的解法 2 2 1 概述 求解非线性方程组是无缝道岔温度力与位移计算中的一个重要环节。与解线 性方程组不同，非线性方程组求解问题无论在理论上还是在解法上都不如线性方 程组成熟和有效。对非线性方程组解的存在性及寻找有效的数值方法均存在很多 问题，很难找到一种适合各类非线性及不同非线性程度的解法。例如，对非线性 方程组是否有解，有多少解，理论上就没有很好解决。在解法上，除对极特殊的 非线性方程组外，直接解法几乎是不能使用的。目前，对非线性方程组的解法形 形色色，它们都各有自己的适用范围，用的不好解可能收敛很慢甚至发散。目前 常用的非线性方程组的求解方法有：直接迭代法、牛顿法( 也称为n e w t o n - r a p h s o n 法或切线刚度法) 、修正的牛顿法、载荷增量法等【7 n 8 0 】。 8 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 2 2 2 非线性方程 为了表达简洁和推证方便，对于多元函数，我们记： x = ( x l ，x 2 ，x 。) 7 1 。 ，( x ) = ，( x l ，x 2 ，x 。) a x = ( a x l ，x 2 ，a x 。) r = ( x l x o ，x 2 一x 2 0 ，x n x o ) r 以( x 。) = x 0 0 + o ( 1 l a x l l ) ( 2 3 在无约束最优化方法中，最速下降法就是要找出，( x ) 下降最快的方向，由式 ( 2 - - 3 ) ，根据c a u c h y s c h w a r z 不等式知：( 缸) 丁g o o ) 一l f 酬卜i i g ( x o ) f f ，当且仅 当a x = 一g ( x ) i g ( x ) 1 1 时取等号，即a x 取负梯度方向时，( x ) 下降最快，称以负梯 度方向为搜索方向的算法为最速下降法。可见，最速下降法是以函数的一次近似 为基础而提出的算法。同理，若r ( x ) 在点x o 二次可微，则v x 。( x o ) ，由多元 函数的台劳公式有 9 弭一讹卉一哦卉一地 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 如：，叫托0 z ) 嚆警叫) + 1 2 窆主辫( 矿枷，一x ? m ( h 。n 鲁鲁舐缸，一 “叫 1 l “7 记为： ，( 石) = 厂( x 。) + ( 血) 7 9 ( x 。) + 去( 血) r 何( x 。) a x + d ( i l 酬1 2 ) ( 2 4 ) 上式右边最后一项是比0 缸1 1 2 更高阶的无穷小量，( x ) 的值主要取决于前三 项，我们记q ( a x ) = ，( x ) + ( 血) r g ( x ) + ( 血) r h ( x ) a x 2 。取什么样的缸能使血为 q ( a x ) 的最小点，显然，它应当满足v q ( a x ) 兰h ( x ) a x + g ( x ) = 0 ，所以 a x = 一h 一( x ) g ( x ) 。在无约束最优化方法中，牛顿法是以函数的二次近似为基础 而提出的算法，对于一般函数在极小点附近常可用二次函数很好地进行近似，因 此根据二次近似来确定的搜索方向可望有较快的收敛速度。对于二次凸函数，用 牛顿法，只要一步就达到最小点。对于一般多元函数的极值可以这样来判断。设 ，：dj r 1 ( d r ”) ，x 为d 的一个内点，r ( x ) 在点x 处二次可微，若 v r ( x ) = 0 ，则x 为，( x ) 的极值点。由台劳公式，当i i 缸0 充分小且不为0 时有 r ( x + 缸) = ，( x ) + ( 缸) r v ，( x ) + 去( 缸) r h ( x ) a x + d ( 0 缸n ( 2 5 ) 所以 r ( x + a x ) - r ( x + ) = 去( 缸) 7 1h ( x ) 缸+ d ( 0 缸i 2 ) ( 2 6 ) 上式右边第二项是比| | 缸1 1 2 更高阶的无穷小量，所以这两项之和的符号主要 依赖于第一项的符号。当h ( x ) 0 ( 即v z r ”，z 0 ，有z t h ( x ) z 0 ) 时， 第一项为正，r ( x + a x ) 一r ( x ) 0 ，所以，( x + 缸) r ( x ) ，即x 为，f ，x j 的局 部严格极小值点。 求多元函数的极值点常采用迭代法，其基本思想是先选择r ( x ) 的极小点的一 个初始点x o ，再逐次产生一系列点x o ，x 。，使 r ( x o ) ，( x 1 ) ， 2 ) ， ) ，并希望点列x k 极限就是，( x ) 极小点x + 。 2 2 3 直接迭代法 设x 的某个初始近似值为x o ，相应的近似矩阵k o 可以按下式得到， ko：k(x01(2-7) 1 0 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 可以得到一个改进的近似值， x 1 = ( k o ) 一f ( 2 8 ) 重复这样的过程，从第n 次近似值到第n + 1 次近似值的求解公式为， f k ( 月) = k ( x ”) 1 x n + l ：= ( k 一) 一f ( 2 9 ) 不断重复上述迭代过程，直到两次近似值的“偏差”，x ”= x 肿1 一x ”充分小 为止。迭代过程的收敛性可以采用以下二类标准进行判断。 ( 1 ) 近似解偏差的范数 卜”忆= m a x m 口。 ( 2 1 0 ) 或 0 a x n i | 2 = k a x ”) r x ”弘口蚓l ： ( 2 1 1 ) 口为事先定义的小数。要注意的是，收敛标准( 2 1 0 ) 一般不适用于弹塑 性问题分析。 ( 2 ) 失衡力的范数 对于每个迭代步x ”，可以求得， 叩”= k ( x ”) 一f ( 2 1 2 ) 一般地，甲”0 ，它代表了对平衡点偏离的一种度量，称为失衡力，收敛 标准可相应的取为， 渺忆刚i 。 或l l ：_ f l f ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) p 为事先指定的一个小数。 2 2 4 牛顿法 牛顿法又称牛顿一拉斐逊( n e w t o n r a p h s o n ) 法，力学上称之为切线刚度法， 是最著名的非线性方程组求解方法之一。 为描述方便起见，可以改写为如下形式， v ( x ) = k ( x ) x f = 0 ( 2 1 5 ) 硕+ 学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 设瞰x ) 为具有一阶导数的连续函数，初始近似值为x o ，第n 次迭代的近似 值为x ”。把瞰x ) 在x ”处泰勒展开，有 吣) ：叩( x 小罢i ( x - - x n ) + o ( x - - x n ) z ( 2 1 6 ) 傀l 。：。 忽略( x x n ) 的二次以上高阶项，保留线性项，则得到x 的一个新的近似值 x ”1 = x ”一( k ；) 1 甲( x 。) ( 2 - - 1 7 ) 式中，k ；= = j 为结构的切线刚度矩阵，它由相应的单元切线刚度矩阵组装 0 xl 。：h 而成。通过与上一迭代步得到的结果进行相对误差比较，可以控制收敛过程。 n e w t o n 法的求解步骤为： ( 1 ) 设初始值x o ，令n = 0 ； ( 2 ) 计算不平衡量t ”= 甲( x ”) = k ( x ”) x ”一f ； ( 3 ) 计算切线刚度矩阵k ；：掣； 蒎 ( 4 ) 解方程 k ；x ”= 一t ”，得，a x ”= 一( k ；) 一t ”； ( 5 ) 计算n + 1 次近似值，x 肿1 = x ”+ a x ”； ( 6 ) 判断是否收敛，如果收敛，迭代结束，否则令n = n + 1 ，转( 2 ) 。 可以证明，牛顿法的收敛阶为2 ，一般情况具有很快的收敛速度。但在有些 非线性问题( 如理想弹塑问题、结构软化问题) 中，由于切线刚度矩阵可能奇异 或是病态，矩阵求逆有一定困难，此时可以通过引入阻尼因子的方法进行修正， 以减弱切线刚度阵的病态性质。除一些比较小的问题之外，牛顿法在有限元分析 中亦不多用，因为它要求每次迭代重新计算切线刚度矩阵，并分解回代，计算量 太大。因此，修正的牛顿法和拟牛顿法应运而生。 修正的n e w t o n 法( 修正n e w t o n r a p h s o n 法) 认为，迭代过程中没有必要 每次计算切线刚度阵，可以选择一个恰当的n ，计算过程中每n 次迭代修正一 次刚度。当n = i 时，修正的牛顿法退化为牛顿法。 2 2 5 荷载增量法 载荷增量法是不同于直接迭代法和牛顿法的又一类线性化方法。这方法从问 题的初值出发，随着外部荷载f 按增量形式逐步增大来研究结构的运动和变形。 载荷增量法可以得到整个荷载变化过程中的研究对象的运动和变形。因此特别适 1 2 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 合于与加载历史有关的力学问题( 如弹塑性问题) 。 令f = 衍，式中旯是一个用以描述荷载变化的参数，称为载荷因子，一般来 说它与时问相关，f 只是空间函数。设力= 2 0 = 0 时方程的解x o 己知，x 为对应 参数五的解，x + a x 为对应参数兄+ 兄的解，则 w ( x ，的= w ( x + x ，入+ 砷= 0 ( 2 1 8 ) 对( 2 1 8 ，) t a y l 。r 展开，忽略高阶项，保留线性项，并注意到箬= 和 w x ，名) = 0 ，容易得到， 解之得， k 7 - ( x ，旯) x f a 2 = 0 a x = a a k7 1 ( x ，五) 】- 1 f ( 2 一1 9 ) ( 2 2 0 ) 不失一般性，假设力 0 ，1 】，把它分成n 份，分点为0 = 厶 厶 九= l ， 则求x 。+ 。( m = 0 ，l ，2 一1 ) 的递推公式可以表示成， i 如= 呜，屯) i f 魄 1 = x m + 瓯 旧= 一无 ( 2 2 1 ) 这就是著名的e u l e r 算法。e u l e r 算法在每一步计算中都会引起某些偏差，造 成对真解的漂移，而且这种漂移可能不断的积累。因此，在实际应用中需要对 e u l e r 法进行修正。第一种修正方法是把上一步的误差引入当步迭代，并采用更 精确的改进e u l e r 法。第二种方法则是把载荷增量和牛顿法或修正的牛顿法结合 在一起，在每一个步中采用牛顿法和修正的牛顿法进行迭代分析。本文在有限元 分析中采用后一种修正方法。 2 3 无缝道岔有限元计算模型的建立 2 3 1 无缝道岔温度附加力计算方法 目前国内对无缝道岔纵向力及位移的计算进行了较多的研究，各个专家、学 者提出了各自的理论和方法，被工程学术界接受的主要有以下几种比较成熟的方 法： l 、当量参数法【1 5 - 1 8 】 当量参数法是北京交通大学范俊杰教授提出的，该方法己通过部级鉴定，并 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 为设计部门选用。该方法的主要思想是：温度变化时，里侧钢轨承受的温度力一 部分因位移而释放，另一部分在克服道床阻力后将通过间隔铁或限位器、岔枕、 扣件阻矩而传给基本轨。岔枕因其位置的不同，有不同的道床纵向阻力，不同的 扣件阻矩。同时岔枕的弯曲变形不同，因岔枕的弯曲刚度不同而传递给基本轨的 附加力也各不相同。因此，岔枕传递给基本轨的附加力应逐根计算，分段叠加， 再加上辙跟或限位器传递的力，这一计算非常复杂。为简化计算，范俊杰教授引 入了“当量参数”来综合考虑道床纵向阻力、扣件阻矩、岔枕弯曲变形的影响。 这就是当量参数法的核心。当量参数法的优点是对温度力的传递分析得非常详尽 和透彻。缺陷是在温度力传递时视基本轨为固定不动，忽略了两者之间的耦合作 用，没充分考虑道床阻力间隔铁阻力的非线性，四轨线岔枕下道床阻力的分配与 实际情况有出入。 2 、两轨相互作用原理【1 1 。1 2 1 铁道科学研究院运用两轨相互作用原理，对轨温变化引起导轨、基本轨纵向 力的变化进行了分析，建立温度力和轨道纵向阻力作用下导轨和基本轨系统的力 学模型。假设直基本轨与曲基本轨为无限长，尖轨在滑床板上自由伸缩，与其连 接的导轨为半无限长，半无限长的一段随轨温变化而伸缩，因间隔铁、岔枕、扣 件的约束，导轨与基本轨进行力和位移的相互传递。 固定型无缝道岔纵向力和位移计算中共有五个未知量：基本轨最大位移量； 导轨靠近辙跟部分的最大位移量；基本轨纵向力分布；导轨纵向力分布； 间隔铁阻力；对可动心轨无缝道岔需要增加一个未知量，即导轨靠近心轨部分 的最大位移量，共六个未知量。 运用两轨相互作用原理建立导轨、基本轨、间隔铁之间力的平衡条件，并根 据对现场导轨和基本轨位移的观察实测补充导轨和基本轨的位移函数条件，即可 求得无缝道岔纵向力及位移的分布。 两轨相互作用理论的优点是考虑了道床阻力、间隔铁阻力、导轨和基本轨相 互作用力的非线性，并通过现场实测确定了力和位移曲线，位移函数也是根据现 场实测假定而来，因而具有和现场结合紧密的特点。不足之处：未考虑到极限扣 件阻力的影响，四轨线岔枕部分各轨线道床阻力的分配处理不清晰，采用了较多 的假设，因而理论性有所下降。 3 、无缝道岔非线性计算理论【2 4 j 西南交通大学的王平教授提出了基于有限单元法的无缝道岔计算理论，该计 算理论的主要思路是：以岔枕和钢轨的接触点划分钢轨和翁枕单元，将节点位移 及钢轨节点温度力视为变量。钢轨节点两端纵向力与扣件纵向阻力相平衡，钢轨 两相邻节点位移差与该钢轨释放的温度力成正比，岔枕视为侧向支撑于弹性地基 1 4 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 梁上的有限长梁，岔枕所受的扣件阻力与道床纵向阻力相平衡。尖轨跟端限位器 或间隔铁、长翼轨末端的间隔铁是无缝道岔中的重要传力部件，计算中其阻力与 钢轨相对位移关系采用实测值。计算中考虑无缝道岔轨道一定的计算长度，建立 钢轨边界节点温度力与位移的协调关系，可建立如下的非线性方程组： f ( u ) = p ( 2 2 2 ) 式( 2 2 2 ) 中，u 为未知变量列阵，p 为荷载列阵，求解该非线性方程组， 即可得钢轨的节点位移和节点温度力。 该计算方法的优点是：引进了有限元计算理论，建立起比较适合实际情况的 无缝道岔有限元计算模型，使得对无缝道岔钢轨纵向力和位移的分析和计算不需 要过多的假设和简化；考虑了道床阻力，扣件阻力、间隔铁阻力的非线性。不足 之处是：该计算理论假设导轨和基本轨平行，而实际情况中导轨和基本轨并不平 行，两者通过岔枕( 具有一定弯曲刚度) 的相互作用与四条轨线的相互位置有关， 且枕下阻力在四条轨线的分配也与其相互位置和岔枕刚度有关。且有限元程序的 阅读和理解是一件困难的事，影响了理论的推广应用。 4 、广义变分原理法【3 5 4 0 j 2 0 0 2 年陈秀方教授提出了“铁路无缝道岔结构体系分析广义变分法”。将轨 枕视为连续弹性基础上的有限长梁，对轨枕进行了受力分析，建立了钢轨轴向力 和轨枕变形曲线的关系。在假设钢轨纵向位移函数的基础上，计算了无缝道岔结 构体系各部分的能量，通过广义变分法建立了结构体系的平衡方程，最后用 m o n t ec a r l o 法求解非线性方程组，得出无缝道岔附加纵向力及导轨位移等计算 值。其数学方程及其广义变分法如下： ( 1 ) 轨枕力学分析 在无缝道岔结构体系中，轨枕将基本轨与导轨相联结成为整体结构。为了分 析导轨与基本轨的相互作用，必须首先进行轨枕力学分析。视轨枕为弹性地基上 有限长梁，其地基反力与纵向位移呈线性比例关系，地基刚度为k ( k n c m 2 ) 。 以直股和侧股完全焊接的道岔为例，轨枕受力具有对称结构，建立u o v 直角 坐标体系，l 为轨枕长度，y 为导曲线坐标，v 为基本轨作用于一根轨枕的纵向 力，v t 为导轨导轨作用于一跟轨枕的纵向力。轨枕受力如图2 1 所示。 图2 1 轨枕受力示意图 建立轨枕的弹性线微分方程： 硕士学位论文第二章有限单元法基础及无缝道岔计算模型 窘孙= 竿 ( 2 2