（基础数学专业论文）lipschitz映射的可微性和banach空间的凸集嵌入.pdf

摘要 摘要 本文致力于涉及目前泛函分析学界关注两个不同研究领域的内容，并 将它们有机结合起来一b a n a c h 空间的l i p s c h i t z 嵌入和l i p s c h i t z 映射的可微 性我们采取了全新的方法，得到诸如“对于任何凸集，在像空间具有r a d o m n i k o d 夕m 性质( r n p ) 的情况下，l i p s c h i t z 嵌入与线性嵌入等价 ，“如果可分 空间x 具有r 则对于x nc o 的每个l i p s c h i t z 嵌入t t ( x ) 都不能包含一个 其线性扩张是一个无穷维子空间的凸子集等这样的出乎人们意料的结果 我们的基本做法是，通过b a n a c h 空间非支撑点集不空的闭凸集的精细刻划， 从而建立了可分空间的闭凸集是”非零”测度集的特征一非支撑点集不空( 第二 章) ；然后将经典的g 茜t e a u x 可微性定理局部化( 也是某种程度上的广义化，第三 章) ；即证明了定义在可分b a n a c h 空间闭凸集c 上取值于具有r n p 的b a n a c h 空 间的每个l i p s c h i t z 映射。厂都是几乎处处g 首t e a u x 可微的，然后将它们应用到 b a n a c h 空间中凸子集的线性嵌入问题( 第三章) 并研究了有关粗嵌入问题( 第四 章) ；最后( 第五章) 讨论了非空闭凸集具有超c c p 的充要条件 关键词 嵌入问题；l i p s c h i t z 映射；b a n a c h 空间 厦门大学博士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m m i t t e dt ot w od i f f e r e n ta r e a so ft h er e s e a r c ho ff u n c t i o n a la n a l y s i s a n dc o m b i n e st h e m l i p s c h i t ze m b e d d i n go fb a n a c hs p a c ea n dd i f f e r e n t i a b i l i t yo f l i p s c h i t zm a p p i n g w eh a v ea d o p t e dan e wa p p r o a c ht oa c h i e v es o m es u r p r i s i n g c o n c l u s i o n ss u c ha s t h el i p s c h i t ze m b e d d i n gf r o ma n yc o n v e xs e ti n t oab a n a c h s p a c ew i t hr n p i se q u i v a l e n tt ol i n e a re m b e d d i n g 。“i fas e p a r a t e db a n a c hs p a c ex w i t hr n pi sl i p s c h i t ze m b e d d e di n t oc ow i t hl i p s c h i t zm a p p i n gt ，t h e nt ( x ) c a n n o t c o n t a i nac o n v e xs u b s e to fw h i c ht h el i n e a rs p a ni sa ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e ” o u rb a s i ca p p r o a c hi st og i v eap r e c i s ec h a r a c t e r i z a t i o no fn o n e m p t yc l o s e dc o n v e x s e to fb a n a c hs p a c et h r o u g ht h er e s e a r c ho fn o n s u p p o r t p o i n t sa n dw ep r o o ft h a tt h e c l o s e dc o n v e xs e to fs e p a r a t e db a n a c hs p a c eh a s ”n o n z e r o m e a s u r ei fa n do n l yi fi t h a sn o n s u p p o r tp o i n t ( c h a p t e r2 ) ；t h e nl o c a l i z et h ec l a s s i cg 萏t e a u xd i f f e r e n t i a b i l i t y t h e o r e m ，( c h a p t e r3 ) t h a ti s ，t h el i p s c h i t zm a p p i n g f r o ma n yc o n v e xs e ti n t oab a n a c h s p a c ew i t i lr n pi s g g t e a u xd i f f e r e n t i a b l ea l m o s te v e r y w h e r e ；w ea p p l yi tt ot h e l i n e a re m b e d d i n ga b o u tc o n v e xs u b s e to fb a n a c hs p a c e ( c h a p t e r3 ) a n dc o n s i d e rt h e c o a r s ee m b e d d i n g ( c h a p t e r4 ) ；f i n a l l y ( c h a p t e r5 ) d i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fa n o n e m p t yc l o s e dc o n v e xs e tw i t hs u p e r - c c e k e y w o r d se m b e d d i n gp r o b l e m ；l i p s c h i t zm a p p i n g ；b a n a c hs p a c e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任 声明人( 签名) ： 年月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质 版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打“ ) 作者签名： 导师签名： 日期： 日期： 年月日 年月日 第一章绪论 第一章绪论 本文致力于涉及目前泛函分析学界关注两个不同研究领域的内容，并 将它们有机结合起来一b a n a c h 空间的l i p s c h i t z 嵌入和l i p s c h i t z 映射的可微 性我们采取了全新的方法，得到诸如”对于任何凸集，在像空间具有r a d o m n i k o d y m 性质( r n p ) 的情况下。l i p s c h i t z 嵌入与线性嵌入等价”等这样的出乎人 们意料的结果我们的基本做法是，先将经典的g 茜t e a u x 可微性定理局部化( 也 是某种程度上的广义化) ，然后将它们应用到b a n a c h 空间中凸子集的线性嵌入 问题 1 1b a n a c h 空间的嵌入问题 b a n a c h 空间嵌入问题，它包括b a n a c h 空间插值、局部理论、同胚和再赋 范理论、映射可微性、等距延拓和逼近、“万有空间、o r l i c z 空间构造问 题等等，自泛函分析诞生，就受到人们高度关注，构成了泛函分析中最本质 最深刻的组成部分之一并与其他数学分支结合、应用最广泛的研究领域之 一近十年间，人们发现用以通过几何空间( 如非紧完备黎曼流形、有限生成 群等) 的大尺度几何结构探索指标代数( 1 l j r o e 代数) 的k 理论群的信息，从而建 立几何空间的几何、拓扑与分析之间的联系，并应用于解决其他重要问题， 如n o v i k o v 猜想、g r o m o v l a w s o n r o e n b e r g 正标量曲率猜测、群代数幂等 元问题等的粗几何，尤指粗b a u m c o n n e s 猜想和粗n o v i k o v 猜想，与“粗嵌入 竟有如此本质内在的联系它们可以归结为有界几何( 1 1 这样一个离散度 量空间q ，使得存在一个函数厂：q _ n ，满足：q 中任何一个以r 0 半径的球 所包含q 的点都不超过。厂( r ) ) 是否能够“粗嵌入到一个h i l b e r t 空间或者一致 凸空间，这实质上是“嵌入 研究领域的目前泛函分析界高度关注的一个崭 新课题( 见 1 - 2 2 ) 一般而言，经典“嵌入 是指( 1 ) 将一般度量空间等距或同胚地映入某 个b a n a c h 空间；( 2 ) 将某一个或某一类b a n a c h 空间( 线性、l i p s c h i t z 或连续) 同 胚的映入某个( 类) 性质更好的b a n a c h 空间的子空间；或者( 3 ) 将一个b a n a c h 空 间某个具有良好拓扑性质和几何性质的集合“线性”同胚的映入某个具 有同样良好性质的空间；以及( 4 ) 从某一集合出发构造某类具有我们所期 厦门大学博士学位论文 望性质的b a n a c h 空间( 1 ) 早期以寻求“万有( u n i v e r s a l ) 空间为代表，进入 上个世纪5 0 年代，则以著名的d v o r e t z k y 定理为代表例如：著名的b a n a c h m a z u r 万有定理告诉我们，每个可分的度量空间都可以等距于c 0 ，1 1 的一个 子集更一般的结论是：每个度量空间都等距于z o o ( q ) 的某个子集( 见【7 9 ； 而d v o r e t z k y 定理则告诉我们，每个无限维b a n a c h 空间都几乎等距地包含着任 意有限维的h i l b e r t 空间它还包括范数的等距延拓和逼近、再赋范理论等( 详 见【2 3 - 2 5 ) ；( 2 ) 以广泛应用于偏微分方程、调和分析等领域的“插值空间 理论( 例如，见【2 6 ，2 7 】) ，b a n a c h 空间的分类理论和l i p s c h i t z 映射的可微性理论研 究为代表( 例如，见 2 8 3 2 】) ；( 3 ) 以著名的d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y c z s k i 嵌入定 理( 见 3 3 - 3 5 ) 为代表，i l p b a n a c h 空间的每个弱紧集都可以弱弱同胚于某个自 反b a n a c h 空间的子集；( 4 ) 以b o u r g a i n 为求解非线性偏微分方程( s c h r o d i n g e r 方 程) 而构造的一类b a n a c h 空间( 因此获得1 9 9 4 年f i e l d s 奖， 3 6 - 4 5 ) 和g o w e r s 等为 解决“无条件基等重要问题而构造的一类空间( 因此获得1 9 9 8 年f i e l d s 奖， 4 确4 】) 以及o r l i c z 空间构造等为代表 粗几何是”非交换几何”领域九十年代以来发展起来的重要研究方向，它 孕育于非紧流形上的指标理论，其主要目标是通过几何空间( 如非紧完备黎曼 流形、有限生成群等) 的大尺度几何结构探索指标代数( a pr o e 代数) 的k 理论 群的信息，从而建立几何空间的几何、拓扑与分析之间的联系，并应用于解决 其他重要问题，如n o v i k o v 猜想、g r o m o v l a w s o n r o s e n b e r g i e 标量曲率猜测、 群c 宰代数幂等元问题等用粗几何的观念研究非紧空间上的指标问题，这种 想法来源于指标定理的热方程方法的启发事实上，非紧流形上的广义椭圆算 子的k - 理论指标并不依赖于流形的局部几何，而是依赖于流形的大尺度几何 结构，即流形的粗几何在几何空间上通过控制局部紧算子的传播速度产生的 c 木代数，即r o e 代数c 术( x ) ( 其中x 为一个度量空间) ，恰好反映了几何空间的粗 结构特征；广义椭圆算子的指标就是落在r o e 代数的k 群之中从几何空间 的一个容易计算的几何不变量，即粗化k 同调群l i m 纸( 疡( r ) ) 到r o e 代数 的k 理论群纸( ( x ) ) 有一个指标映射弘，粗b a u m c o n n e s 猜想断言这个指标 映射为同构，从而提供了计算r o e 代数k 理论群的有效途径因此，粗几何上 的指标理论的中心问题就是解决粗b a u m c o n n e s 猜测( 见 1 0 - 2 2 】) 随着几何群论和粗几何的发展，m g r o m o v 提出了”粗嵌入”的概念给 定两个度量空间q l ，q 2 ，称映射f ：q 1 _ q 2 为粗映射，如果，_ 1 把f ( f 2 1 ) 中的有界集映成q 】的有界集；称q 1 ，q 2 粗等价，如果同时存在q 1 一q 2 和 q 2 _ q 】的粗映射；称q 】可以粗嵌入到q 2 ，如果存在q 2 的一个子空间与 2 第一章绪论 q 1 粗等价在粗几何中，象”嵌入”是一个等价不变量那样，”粗嵌入”仍然是个 粗等价不变量，因此能反映度量空间的一些本质性质2 0 0 0 年，g y u ( 郁国梁) 【8 】证明了粗b a u m c o n n e s 猜想对于可粗嵌入至l j h i l b e r t 空间是成立的；最近，他 又和k a s p a r o v 2 0 合作证明了粗几何n o v i k o v 猜想对于可粗嵌入到一致凸空 间成立这样粗几何和嵌入问题受到了更加广泛的关注在此需要指出，陈 晓漫，王勤关于这一论题做了出色的工作，例如：引入了关于拟局部算子的 局部化c 宰代数d ；( x ) ，并结合局部化r o e 代数c ( x ) ，建立了k 同调的局部化 对偶理论及其同粗b a u m c o n n e s 猜测的联系，通过在空间的无穷远处对几何 算子的传播速度进行局部化的方法来研究指标问题；用这种空间局部化方 法，构造了新的指标代数c 二( x ) 并研究了相应的指标定理；还刻画了r o e 代 数的理想结构( 【1 3 ，1 5 _ 1 7 ，2 1 ，2 2 ) 等等应该说，在1 9 9 9 2 0 0 0 年间，粗几何上 的指标理论的研究取得了重大进展，一方面，y u 利用局部化技术结合其他工 具对”一致可嵌空间”证明了粗b a u r a c o n n e s 猜测，从而对相当广泛的空间类 证明了n o v i k o v 猜测，并引出c 木一代数理论的正合问题与n o v i k o v 猜测的有趣联 系另一方面，g r o m o v 、h i g s o n 、y u 用膨胀图上r o e 代数中的鬼投影元给出了 粗b a u m c o n n e s 猜测的反例鬼投影的出现，使人们意识到对粗b a u m c o n n e s 猜 测的研究将长期、复杂而艰巨的工作因此，寻求更多的”一致可嵌空间”，成为 这一研究领域的重大课题之 本文的目标之一就是研究b a n a c h 中一般凸集的线性嵌入、l i p s c h i t z 嵌 入、一致嵌入和粗嵌入等关系 1 2 l i p s c h i t z 映射的可微性 众所周知，函数( 映射) 的微分，就是反映其局部可”线性”逼近的程度由 于w i e r s t r a s s 函数( 即连续但无处可微函数) 的存在，使得l i p s c h i t z 函数( 映射) 成 为可微性研究的最合适的对象早在1 9 0 0 年，l e b e s g u e 就证明了：定义在实 直线r 上的l i p s c h i t z 函数均几乎处处可微。1 9 2 0 年，r a d e m a c h e r 证明了定义 在任何有限维空间上的l i p s c h i t z 函数也是几乎处处可微进入1 9 世纪3 0 年 代，泛函分析的诞生使分析学家更加关注于无穷维空间更加关注无穷 维空间上的l i p s c h i t z 函数( 映射) 的微分行为但在无穷维空间，许多形式不 同的可微性定义是互不等价的，最强的可微性叫做f r 6 c h e t 可微性，最弱的 可微性叫做g g t e a u x 可微性，这些对于有限维空间的l i p s c h i t z 函数而言都 是等价的因此，无限维空间上l i p s c h i t z 函数的可微性研究又派生出两个 3 厦门大学博士学位论文 分支一f r 6 c h e t 可微性和g g t e a u x 可微性研究，核心任务都是要将l e b e s g u e r a d e m a c h e r 定理以某种形式推广到无限维空间l i p s c h i t z 函数f r 6 c h e t n - i - 微性 的研究颇具戏剧性在推广l e b e s g u e r a d e m a c h e r 定理之前，首先要考虑”是 否存在一个无限维空间，譬如可分h i l b e r t 空间，满足其上的每个l i p s c h i t z 函 数至少在某一点是f r 6 c h e t 可微的? _ 自上个世纪三十年代起，人们陆续 举出了几个可分h i l b e r t 空间上的无处f r 6 c h e t n - - 微的l i p s c h i t z 函数的例子，直 到1 9 7 9 年r r p h e l p s 和s f i t z p a t r i c 逐一验证了这些例子，竟发现它们全是错 的l 此领域一个重要突破是由d p r e i s s1 9 9 0 年【6 5 】作出的一a s p l u n d 空间上的 每个l i p s c h i t z 函数都在一个稠密的子集上处处f r 6 c h e t 可微，这也是他本人 在1 9 9 0 年国际数学家大会上的4 5 分钟特邀报告的主体结果，这一结果使得人 们对于无限维空间上l i p s c h i t z 函数f r 6 c h e t 可微性有了一个崭新的重新认识 但是随之而来的是进一步的问题，比如：是否可分h i l b e r t 空间上的每两个 l i p s c h i t z 函数至少有一个公共f r 6 c h e t 可微点? 是否存在一个一个无限维空间 使得其上的每个l i p s c h i t z 函数( 映射) 都是在一个稠密子集上f r 6 c h e t 可微? 对 后一个问题，l i n d e n s t r a u s s 和p r e i s s 3 1 】给出了肯定的答案，但是，前一个问题仍 然没有大的进展l i p s c h i t z 函数g 苞t e a u x 可微性的研究相比f r 6 c h e t 可微而言， 成果要丰富得多要将l e b e s g u e r a d e m a c h e r 定理推广到无限维空间，首先要解 决的问题是”几乎处处”的概念如何建立但是，早在1 9 5 9 年 6 6 并1 1 9 6 0 年 6 7 就 已经知道在任何一个无穷维的b a n a c h 空间上都不存在非平凡的平移不变的测 度，因此，不存在一个适合无穷维空间且在有限维空间与l e b e s g u e 钡j 度吻合的 测度这个难题似乎并没有难道聪明智慧的数学家们_ 几乎处处”的概念本质 是以”零测度集”来定义的，只要给出合理的”零测度集”我们便有了合理的”几 乎处处”的概念所谓合理一般来说要满足下列三条：( 1 ) 可列可加性，即可数 多个”零测度集”的并还是”零测度集”；( 2 ) 非空开集不是”零测度集”；( 3 ) 闭 超平面及其子集都是”零测度集”在1 9 7 2 年，j e r c h r i s t e n s e n ( 6 8 ) 对于 a b e l i a np o l i s h 群g 中的任意子集a 定义了h a a rn u l l 集：a 为h a a rn u l l 集若存 在b o r e l 钡0 度肛使得对于g 中任意z 都有u ( x + a ) = 0 特别的，若g 为局部紧， a 为h a a rn u l l 集当且仅当a 的h a a r 坝4 度为零p m a n k i e w i c z ( 6 9 】) 于1 9 7 3 年介绍 了c u b en u l l 集n a r o n s z a j n ( 【7 0 ) 则于19 7 6 年在可分b a n a c h 空间x 上定义了 a r o n s z a j nn u l l 集，并证明了从x 中的开集到可分共轭b a n a c h 空间的l i p s c h i t z 映 射的非g 萏t e a u x 可微点为a r o n s z a j nn u l l 集而1 9 7 8 年，r r p h e l p s ( 【71 】) 介绍 了g a u s s i a nn u l l 集，并证明了从可分b a n a c h 空间到具r n p 的b a n a c h 空间的局 部l i p s c h i t z 映射( l i p s c h i t z 常数与局部邻域有关) 的非g 狁a u x 可微点为g a u s s i a n 4 第一章绪论 n u l l 集注意到y b e n y 锄i n i 和j l i n d e n s t r a u s s 在【7 】中介绍了盯一d i r e c t i o n a l l yn u l l 集， 由定义可知a r o n s z a j nn u l l 集是仃d i r e c t i o n a l l yn u l l 集，仃d i r e c t i o n a l l yn u l l 集是 h a a rn u l l 集 关于a r o n s z a j nn u l l 集和g a u s s i a nn u l l 集的一个著名结果是c s s r n y e i ( 【7 2 1 ) 证明了g a u s s i a nn u l l 集就是a r o n s z a j nn u l l 集；b o r e l 集a 是a r o n s z a j nn u l l 集 当且仅当对x 上每个非退化的g a u s s i a n 澳9 度肛，有肛( a ) = 0 根据a r o n s z a j n n u l l 集这个特征，有时人们也将a r o n s z a j nn u l l 集称为g a u s s i a nn u l l 集利用 a r o n s z a j nn u l l 集的原始定义来取代g a u s s i a nn u l l 集自身的定义，对证明下面提 到的定理1 2 1 要简便的多定理1 2 1 实际上是将经典r a d e m a c h e r 定理推广到 无穷维空间上考虑l i p s c h i t z 函数的g a t e a u x 可微性，这主要归功于a r o n s z a j n ， c h r i s t e n s e n 和m a n k i e w i c z 他们引入和使用不同的几乎处处的概念，给出了此 定理不同的证明版本 定理1 2 1 ( 【7 0 】 7 】) 设x 是可分b a n a c h 空间，u 为x 中的开集，b a n a c h 空间y 具 有r n p , f ：u y 为l i p s c h i t z 映射，则f 在u 中的g 茜t e a u x 微分不存在点构成 的集合是g a u s s i a nn u l l 集 这里称一+ b a n a c h 空间x 具有r a d o m n i k o d 2 m l * _ _ 质( r n p ) ( 或x 为r n p 空 间) 如果对每个有限测度空间( q ，弘) 和每个弘连续有界变差的向量值测 度丁：一x ，都存在f l 1 m ，x ) ，使得， 丁( a ) = l f ( ) d 弘( u ) ， 对一切的a 都成立，( 关于r n p 详细讨论见【7 】第五章) 定理1 2 2 ( 7 3 1 【7 】) 设x 是可分b a n a c h 空间，则下列论述等价： ( 1 ) x 具有r n p ； ( 2 ) 每个l i p s c h i t z i 函数( n - q ) m 强i 为绝对连续函数) f ：【0 ，1 】一x 几乎处处 可微： ( 3 ) 每个l i p s c h i t z i 噩! i 数f ： 0 ，1 】一x 有g 一可微点( 垤 o ) 定理1 2 2 说明了在定理1 2 1 中假设l i p s c h i t z 映射的值域空间y 具有 r n p 是必要的 2 0 0 3 年，l i n d e n s t r a u s s 和p r e i s s ( 2 8 1 ) 91 入了r n u l l 集的概念，不仅证明 了定理1 2 1 中的g a u s s i a nn u l l 集替换为f n u l l 集后结果也成立，而且主要是 5 厦门大学博士学位论文 在l i p s c h i t z 映射的f r 6 c h e t 可微性的研究方面取得了突破性的进展：在每 个盯一p o r o u s 集都是f - n u l l 集的b a n a c h 空间上的可列个l i p s c h i t z i 垂t 数有公共的 f r 6 c h e t 可微点 通过对于上述可除集的简单观察，我们可以得到具有非空内部的b o r e l 集 不是可除集，含于超平面中的b o r e l 集是a r o n s z a j nn u l l 集本文得到：可分 b a n a c h 空间中的闭凸集为a r o n s z a j nn u l l 集的充要条件是非支撑点为空 从2 0 世纪8 0 年代开始，“小集合上l i p s c h i t z 凸函数的可微性定理引起了 学者们的关注 1 9 8 8 年，m e v e r o n a 和j r a i n w a t e r ( 【7 4 】) 对于b a n a c h 空间x 中的闭凸集c 利 用非支撑点( n ( c ) ) 非空来取代内点非空的条件，对c 上凸函数的可微性进行研 究j r a i n w a t e r ( 【7 5 】) 证明了： 定理1 2 3 设x 是弱紧生成空间，c 为x 中的闭凸集，n ( c ) 不空，f 为c 上的凸函 数并且在n ( c ) 上局部l i p s c h i t z ，则f 的g 冱t e a u x 可微点集为c 中的稠g 6 集 定理1 2 4 设x 是a s p l a u d 空间，c 为x 中的闭凸集，n ( c ) 不空，f 为c 上的凸函 数并且在n ( c ) 上局部l i p s c h i t z ，则存在c 中的一个稠g 6 集d 使得f 在d 上处处 f r 6 c h e t 可微 1 9 9 0 年，d n o l l ( 【7 6 】 7 7 】) 讨论了定义在非支撑点不空的闭凸集上 的凸函数f 的可微性与f 的次微分之间的关系而在1 9 9 1 年，j b o r w e i n ， s f i 卸a t r i c k 和p k e n d e r o v ( 7 8 】) 上述定理推广到定义在- 类空间的g 6 集上的 局部l i p s c h i t z d j 函数上，得到了关于可微性的结果 吴从忻和程立新( 【7 9 】) 在t 9 9 4 年证明了： 定理1 2 。5 设x 是可分b a n a c h 空间，d 为x 中的非空开凸集，伪d 上的连续凸函 数，则对于f z e d - 的每一个g 萏t e a u x 可微点z ，存在d 中的闭凸子集c ，n ( c ) 不空 且含有z ，f 关于c 的限制函数在z 处f r 4 c h e t 可微 简要地说，上述文章的作者们希望针对定义在b a n a c h 空间中内部为空的 闭凸集上的l i p s c h i t z 凸函数来考察可微性定理，本文用非支撑点代替内点得 到： 定理1 2 6 设x 是可分b a n a c h 空间，u 为x 中非支撑点不空的闭凸集，b a n a c h 空 间y 具有r n bf ：u y 为l i p s c h i t z 映射，则f 在u 中的g 冱t e a u x 微分不存在点 构成的集合不空 6 第一章绪论 1 3 粗嵌入的理论研究进展 g r o m o v ( 【8 0 】) 在1 9 9 3 年引入了粗嵌入的概念： 定义1 3 1 设( x ，呶) ，( d y ) 为度量空间，称映射f ：( x ，d x ) _ ( 如) 为粗嵌 入若存在不减的p l ，纯：【0 ，o 。) _ 【0 ，o 。) 使得 ( 1 ) 对于任意的z ，y x 都有p l ( d x ( z ，秒) ) d y ( 厂( z ) ， ) ) p 2 ( 奴( z ，可) ) ( 2 ) l i m 。一。m ( ) = + o o 2 0 0 0 年，y u ( 郁国梁) 证明了粗b a u m c o n n e s 猜想对可粗嵌入进h i l b e r t 空 间的有界几何空间成立，于是，一部分人开始研究怎样的空间可 以粗嵌入到h i l b e r t 空间 2 0 0 2 年，d r a n i s h n i k o v , g o n g ，l a f f o r g u e ，和y u ( 【8 1 ) 贝j j 证明j l i p s c h i t z 万有空间c o 不可以粗嵌入到h i l b e r t 空间 近来， n o w a k ( 【7 6 】) 证明了当p 2 时f 口不可以粗嵌入到h i l b e r t 空间在 此期间，n o w a k ( 7 7 】) 还得到： 定理1 3 2 设x 是可分度量空间则下列条件等价： ( i ) x 可以粗嵌入至t j h i l b e r t 空间； ( i i ) 对于任意的1 p 2 ，x 可以粗嵌入到乙； ( i i i ) 对于任意的l p o ； ( v i i ) 若x , - - 1 分，则( c ) 非空当且仅当c 包含在x 的闭超平面中 下面我们介绍几种已知的也已经成为经典的零测度集的概念 定义2 1 3b a n a c h 空间上的概率测度“称为g a u s s i a n 澳4 度若对于任意的矿 x ，实直线上的舰具有g a u s s i a n 分布，其中，比( a ) = 卢妇： a g a u s s i a n 钡j j 度称为非退化若对于任意的z + 0 ，。的分布非退化 设v 为一维l e b e s g u e 澳1 度对于y x o ) ，记 4 ( 芗) = acx ：a 为b o r e l 集使得对于任意的z x 有v ( an ( x + r y ) ) = o ) 对于有限或无限序列 z n ) ，其中0 譬 z n ) ，记 4 ( z n ) ) = acx ：a = u a 佗，a n 4 ( z 他) ) 用k 来代表h i l b e r t 方体f 0 ，1 1 n ，设丁为k 上的积测度x 中的子集g 称为c u b e ， 若存在线性无关的向量所构成的序列 z n ) 满2 ：l l x i i 0 0 ，s p a n x n 在x 中 稠密，并且存在一一的仿射t 满足对于某一z x 有t ( k ) = o + o n ( 尼= k n k ) 使得t ( k ) = c 测度7 - ot o 称为c u b e 汉 度，记为印 有了上面的准备工作，我们可以开始介绍三类零测度集的具体定义 定义2 1 4 设a 为可分b a n a c h 空间x 中的b o r e l 集 ( i ) a 称为g a u s sn u l l 集，若对于所有x 上非退化的g a u s s i a n 澳9 度弘都 有肛( a ) = 0 ( i i ) a 称为a r o n z a j nn u l l 集，若对于所有由非零向量构成并且在x 中稠密 的( z n ) 都有a a ( z 礼) ) ( i i i ) 4 称为c u b en u l l 集，若对于x 上所有的c u b e 狈1 度付都有砑( a ) = 0 对于上述定义中的的零测度集，【7 】证明了： 定理2 1 5 设a 为可分b a n a c h 空间中的b o r e l 子集，下述结论等价： ( i ) a 为g a u s sn u l l 集； ( i i ) a 为a r o n z a j nn u l l 集； ( i i i ) a 为c u b en u l l 集 1 0 第二章非支撑点与零测度集 从而将三类零测度集统一了起来 为了零测度集理论的完整性，我们也将已知的其他几种零测度集的定义 叙述如下： 定义2 1 6 设g 为a b e l 群，g 具有平移不变的度量d ，g 相对度量d 完备可分 记e 为g _ k 单位元，若g 局部紧，则存在g 上唯一平移不变的测度弘，称为h a a r 测 度若g 非局部紧，可以如下定义h a a rn u l l 集： b o r e l 集a 称为h a a rn u l l 集，若存在g 上的b o r e l 概率测度儿使得对于任 意z g 有p ( z + a ) = 0 性质2 1 7 设g 局部紧，则g 中b o r e l 集a 为h a a rn u l l 集当且仅当a 的h a a r 灏1 度为 零 定义2 1 8 可分b a n a c h 空间e 中集合a 称为d i r e c t i o n a l l yn u l l 集，若存在e + x 0 ，使得对于任意的可e 都有( 秒+ r z ：r 亿) ) n a 的测度为零 集a 称为仃一d i r e c t i o n a l l yn u l l 集，若a 为- i 数d i r e c t i o n a u yn u l l 集的并 性质2 1 9 可分b a n a c h 空间e 中集合a 为g a u s sn u l l 集令a 为伊一d i r e c t i o n a l l y n u l l 集净a 为h a a rn u l l 集 2 2 零测度集的拓扑特征 我们首先来考虑非支撑点集( g ) 对于整个空间而言所具有的性质，从而 为研究非支撑点集与零测度集之间的联系做好准备经过研究，我们得到如下 结果 定理2 2 1 设c 为可分b a n a c h 空间x 中闭凸子集，下述结论等价： ( i ) n ( c ) d