（基础数学专业论文）一类广义周期三阶非线性色散方程的柯西问题.pdf

一类广义周期三阶非线性色散方程的 柯西问题 专业：基础数学 姓名：欧阳娟 导师：殷朝阳教授 摘要 本篇硕士学位论文主要研究了一类广义周期三阶非线性色散方程，该模型 包含了有重要物理意义的c a m a s s a - h o l m 方程，f o r n b e r g - w h i t h a m 方程，广义 c a m a s s a - h o l m 方程和一类三阶非线性色散方程 本文主要采用k a t o 半群方法研究了该类方程的柯西问题的局部适定性，同时 利用方程的结构和守恒量给出了一些强解的爆破结果本文主要分为三部分 第一章介绍本文所讨论的主要问题和所需的概念和定义，以及国内外的研 究现状 第二章通过k a t o 半群方法建立了方程的柯西问题的的局部适定性，并进一 步得出了强解的正则性和强解的最大存在时间不依赖于初始值的光滑性 第三章首先给出强解爆破的判断准则，然后分别讨论了g ( u ) = 一q u 2 + ：1 舻，k = 0 ( 其中o l ，m ，瓯r ，n n ，i = 1 ，2 n 且瓯0 为偶数) 和p = 2 时强解的的爆破在g ( u ) = 一口u 2 + ：1m 乱夙，k = 0 ( 其中口，m ，魂r ，n n ， z = 1 ，2 n 且瓯0 为偶数) 时，本文利用先验估计和方程的对称性得出了一个 强解爆破的结果在p = 2 时，本文利用方程的结构和守恒量得出了几个强解爆 破的结果在g ( u ) = 一q u 2 + ：1 , t i u 6 t ( 其中q ，m ，盈r ，n n ，i = 1 ，2 礼且 民o ) ，p = 2 时，本文利用方程的结构和守恒量得出了更多强解爆破的结果 关键词；一类广义周期三阶非线性色散方程，广义的c a m a s s a - h o l m 方程，柯西 问题，局部适定性，强解的爆破 t h ec a u c h yp r o b l e mf o rac l a s so ft h eg e n e r a l i z e d p e r i o d i ct h i r d - o r d e rn o n l i n e a r l yd i s p e r s i v ee q u a t i o n s m a j o r ： n a m e ： f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s o u y a n gj u a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry i nz h a o y a n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yac l a s so ft h eg e n e r a h z e dp e r i o d i ct h i r d - o r d e r n o n l i n e a r l yd i s p e r s i v ee q u a t i o n s t h ee q u a t i o n sc o n t a i nt h ec a m a s s a - h o l me q u a - t i o n ，t h ef o r n b e r g - w h i t h a me q u a t i o n ，t h eg e n e r a h z e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ， a n dac l a s so ft h i r d - o r d e rn o n l i n e a r l yd i s p e r s i v ee q u a t i o n sa sf o u rp a r t i c u l a rc a s e s w h i c hh a v ei m p o r t a n tp h y s i c a lb a c k g r o u n d s i nt h et h e s i s ，t h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h ee q u a t i o n si sd i s c u s s e db yu s i n g k a t o ss e m i g r o u pt h e o r y , m e a n w h i l es e v e r a lb l o w u pr e s u l t so fs t r o n gs o l u t i o n st o t h ee q u a t i o n sa r eo b t a i n e db yu s i n gt h es t r u c t u r ea n di n v a r i a n t so ft h ee q u a t i o n s t h em a i nc o n t e x to ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eo u rc o n c e r n e dm a i np r o b l e m ，a n ds o m e c o n c e p t sa n dd e f i n i t i o n s ，a n di t sr e s e a r c hs t a t u sa th o m ea n da b r o a d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ee s t a b l i s ht h el o c a lw e l l - p o s e d n e s so ft h ec a u c h yp r o b - l e mf o rt h ee q u a t i o n sb yu s i n gk a t o ss e m i g r o u pt h e o r y m o r e o v e r ，w eo b t a i nt h e r e g u l a r i t yo fs t r o n gs o l u t i o n sa n d s h o wt h a tt h ee x i s t e n c et i m eo fs t r o n gs o l u t i o n s d on o td e p e n do nt h es m o o t h n e s so fi n i t i a ld a t a i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s td e r i v ea ne x p l o s i v ec r i t e r i o nf o rs t r o n gs o l u t i o n st o t h ee q u a t i o n s t h e nw ed i s c u s st h eb l o w - u pp h e n o m e n au n d e rt h ec a s e so fg ( u ) = - - o e 7 2 2 + ：1m u 民，k = 0 ( 口，m ，文r ，礼n ，i = 1 ，2 na n d 瓯0 i se v e n ) a n d = 2 ，r e s p e c t i v e l y w h e ng ( u ) = 一q u 2 + ：lm 小，k = 0 ( q ，m ，蠡r ，佗n ， i = 1 ，2 凡a n d 瓯0i se v e n ) ab l o w u pr e s u l to fs t r o n gs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n s i so b t a i n e db yu s i n ga p r i o re s t i m a t e sa n ds y m m e t r yo ft h ee q u a t i o n s w h e n = 2 ， i i s e v e r a lb l o w u pr e s u l t so fs t r o n gs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n sa r eo b t a i n e db yu s i n g t h es t r u c t u r ea n di n v a r i a n t so ft h ee q u a t i o n s w h e ng ( u ) = 一口札2 + ：17 i u & ( q ，m ，氏r ，n n ，i = 1 ，2 ? na n d 盈o ) ，= 2 ，m o r eb l o w u pr e s u l t so f s t r o n gs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n sa r e o b t a i n e db yu s i n gt h es t r u c t u r ea n di n v a r i a n t s o ft h ee q u a t i o n s k e yw o r d s ：ac l a s so fg e n e r a l i z e dp e r i o d i ct h i r d - o r d e rn o n l i n e a r l yd i s p e r s i v e e q u a t i o n s ，t h eg e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ，t h ec a u c h yp r o b l e m ，l o c m w e l l - p o s e d n e s s ，b l o w u po fs t r o n gs o l u t i o n s i i i 中山大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 名：膨陋咻瑚7 年月日 i j 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文 储签名：漱p 娟日期硼7 年月j 日 导师签名：曾墨氟翠日 日期：乙唧年占月1 日 4 1 第一章引言 1 1预备知识和研究的问题 偏微分方程是指含有多元未知函数u = 缸( z ) ，z = ( x l ，x 2 ，z n ) 及其若干阶 偏导数的关系式f ( z ，t ，舞，老舞瓦烁) = 0 其中最高阶导数的阶数 m = m 1 + 耽+ + 为方程的阶 偏微分方程反映了变量u 及多个自变量z = ( z 1 ，x 2 ) 间的相互制约关 系，物理学、力学、工程技术等自然科学，经济学、人口学等社会科学中很多重要 变量关于时间，空间以及其他因素的变化规律常常通过偏微分方程描述把这些 从具体问题，主要是物理问题中导出的偏微分方程称为数学物理中的偏微分方程 本文主要研究一类广义周期三阶非线性色散方程的柯西问题的局部适定性和 强解的爆破 1u t 一+ k u 零+ 9 ( u ) 2 】z = p 钆z 弘犯4 - 钆乱嘲，t 0 ，z r ， u ( o ，z ) = ( z ) ， z r ， ( 1 1 ) i u ，z ) = u ( 亡，z - i - 1 ) ，t 0 ，z r ， 其中g ：r _ r ，且夕c m ，p ，k r 为任意常数，咖( z ) 为周期函数 首先，为了统一概念和清晰起见，以下我们列出本文所需的若干基本概念和定 义本文所讨论的定解问题为与方程( 1 1 ) 所对应的柯西问题本文所讨论的初 始值咖 ) 所在的函数空间为s o b o l e v 空间日r ( s ) ，其中， ；，s = r z 定义1 1 3 2 】一个连续函数，如果具有某偏微分方程中出现的各阶连续导数，且 代入方程后能使它变成恒等式，则称该函数为方程的古典( c l a s s i c a l ) 解；如果该函 数无穷次可微，则称为光滑( , o o t h 解；进一步，若该函数可以展开成收敛幂级 数，则称为解析( a n a l y t i c a l ) 解 在现代偏微分方程理论中，除讨论偏微分方程定解问题的古典解外，还需考虑 各种意义下的广义解最常用到的广义解是强解本文主要讨论如下具体定义的 强解 定义1 2 3 3 】若函数u ( t ，z ) c ( o ，t ) ；日r ( s ) ) nc 1 ( 0 ，t ) ；h r - 1 ( s ) ) ，r ；几 乎处处满足方程以j ，则称u ( t ，z ) 为定解问题以砂的强p m 吲解 1 本文主要讨论定解问题( 1 1 ) 的局部适定性和强解的爆破，其具体定义如下。 定义1 3定解问题以砂的局部适定性是指在某个时间段 0 ，t ) 上方程以砂存 在唯一解u ( t ，z ) h 7 ( s ) ，r ；且该解连续依赖于初始值u o ( x ) 而强解的爆破 是指l i m s u p t t ti i 乱( 亡，) l l x r ( s ) = + c o 1 2 已有的研究 对该模型的一些特例已经有了广泛的研究，并取得了不少好的结果其中主 要有c a m a s s a - h o l m 方程，f o r n b e r g - w h i t h a m 方程，广义c a m a s s a - h o l m 方程和 一类三阶非线性色散方程 当g ( u ) = 3 u 2 ，卢= 2 ，k 0 时，方程( 1 1 ) 为c a m a s s a - h o l m 方程 ：ut-舅ut=三=+篡篡3uu+=+1，k，22 u u 嚣+ u ；t 主 芋0 , 二x e r r ，, 该方程是一个描述浅水波在平底水面上的单向传播的模型其中u ( t ，z ) 表示在 ( 0 ) 时刻z 方向上的水波流速，七为与浅水波临界波速相关的非负参数( 参见 1 ，1 5 】) c a m a s s a - h o l m 方程有双哈密顿结构( 参见【1 3 ) 且完全可积( 参见 2 】) c a m a s s a - h o l m 方程的孤立波在七 0 时光滑，且在极限情形k = 0 时有尖峰 ( 参见 3 】) 这些孤立波是轨道稳定的，且其相互作用类似于孤立子，即相互作用后 能量和形状保持不变( 参见 4 ，5 】) c a m a s s a - h o l m 方程的柯西问题已被广泛研 究该方程既有整体存在的强解( 参见 6 ，7 】) 也有在有限时间内爆破的强解( 参 见【6 ，7 ，8 ，9 】) 当g ( u ) = u 2 ，卢= 3 ，k = 1 时，方程( 1 1 ) 为f o r n b e r g - w h i t h a m 方程( 参见 1 4 】) ， l 饥一$ + + 1 ) t 正。= 3 u = u z + 乱u 犯茁，t 0 ，z r ， 乱( o ，z ) = 铷( z ) ， z r ， iu ( 亡，z ) = u ( t ，z + 1 ) ，t 0 ，z r ， 该方程用于研究水波的破裂现象( 参见【2 2 ) ，但它没有孤立子相互作用现象它 的强解对应于水波在振幅最大点时有尖峰( 参见【2 3 】) 2 当p = 2 ，k = 1 时，方程( 1 1 ) 为广义周期的c a m a s s a - h o l m 方程 ， l 饥一u 缸+ 夕( u ) 2 】2 + k u z = 2 u 王牡站+ u ，t 0 ，z r ， u ( o ，z ) = 咖( z ) ， z r ， iu ( 亡，z ) = u ( t ，z + 1 ) ，t 0 ，z r ， 该模型的柯西问题问题的局部适定性和强解的爆破已被研究( 参见【2 8 ) 文中应 用k a t o 半群方法得出了该模型的柯西问题的局部适定性利用解的斜率在时间发 展的最大值和最小值点，得到了一个解的爆破的判断准则，且证明了在某些光滑解， 些方程在有限时间内爆破对该模型非周期情形的广义c a m a s s a - h o l m 方程的柯 西问题的研究可参见文献 2 9 】 当g ( u ) = - - o l u 2 时，方程( 1 1 ) 为一类广义周期三阶非线性色散方程 ：ut-舅utx三x：+掣kux。=10，。，uuz+触zz+乱uz嚣t；耋芋o,二xe r r ，, 该模型的周期情形的柯西问题的局部适定性和强解的爆破已被研究( 参见文献 3 4 】) 文中应用k a t o 半群方法得出了该模型的柯西问题的局部适定性并且进一步得 到了强解的正则性和强解的存在时间不依赖于初始值的光滑性而对强解的爆破 情形，文中给出了一个判断准则和一个特殊情形下( 尼= 0 ) 的爆破结果，最后通过 方程的结构和守恒量重点研究p = 2 时强解的爆破，并给出几个强解爆破的充分 条件对该模型的非周期情形的三阶非线性色散方程的柯西问题的研究可参见文 献 2 5 】 1 3本文的工作 本文主要研究周期模型即方程( 1 1 ) 的柯西问题的局部适定性和强解的爆破 本文将文献 3 4 】中g ( u ) = 一q 札2 化为g ( u ) c m ( r ，r ) ，进行研究类似于文 献 3 4 】，本文应用k a t o 半群方法证明了方程( 1 1 ) 的柯西问题也具有局部适定性 ( 定理2 2 ) 同样我们得出了强解的正则性和强解的存在时间不依赖于初始值的光 滑性( 定理2 3 ) 对于强解的爆破情形，本文主要参考 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】中的方法进行研究首先 给出一个强解爆破的判断准则( 定理3 1 ) ，然后利用先验估计和方程的对称性讨论 3 g ( u ) = - - o u 2 - fe ：l i 庐( 其中o t ，m ，& r ，n n ，i = 1 ，2 n 且民0 ，= 0 时强解的爆破( 定理3 2 ) ，然后通过方程的结构和守恒量重点研究p = 2 时强解的 爆破，并给出几个强解爆破的充分条件( 定理3 3 ，和定理3 4 及推论3 1 ) 最后考 虑g ( u ) = - - o e u 2 + e 冬17 i u 氐( 其中q ，m ，瓯r ，佗n ，t = 1 ，2 佗且氏o ) ， p = 2 时强解的爆破，并给出了几个强解爆破的充分条件( 定理3 5 ，定理3 6 及推 论3 2 ) 4 第二章局部适定性 2 1k a t o 定理 本文主要采用k a t o 半群方法来证明与方程( 1 1 ) 相对应的柯西问题的局部适 定性为此我们以适合本文的方式来阐述k a t o 定理 考虑抽象拟线性发展方程； - d v 口+ a ( 口) 口= 地) ，亡o ，移( o ) = 伽 ( 2 1 ) 令x 和y 为h i l b e r t 空间，且y 紧嵌入x 令q ：y _ x 为一拓扑同构， l ( x ) 表示从y 到x ( l ( x ) ，若x = y ) 的所有有界线性算子组成的空间考 虑以下条件。 ( i ) a ( y ) l ( vx ) ，y y 且 i i ( a ( y ) 一a ( z ) ) w h x r a l l y z l l x l l 叫l l y ，y ，z ，w y 并且a ( y ) a ( x ，1 ，) ( 即- a ( y ) 生成x 上的g 半群t ( s ) ，且i i t c s ) l l x 。) ， 且在y 的有界集上一致成立 ( i i ) q a ( y ) q 1 = a ( y ) + b ( 可) ，其中b ( y ) l ( x ) 为有界算子，且在】厂的有 界集上一致有界，同时成立 i i ( b ( y ) 一b ( z ) ) w l l x p 2 i i 可一z l l y l l w l l x ，y ，名加x ( i i i ) f ：y _ y 可以扩张为从x 到x 的映射，在y 的有界集上是有界 的，并且成立 i i ( y ) 一f ( z ) l l y t 3 1 1 y z l l v ，y ，z i i ( y ) 一f ( z ) l l x 肛4 i i 可一z l l x ，y ，z y 以上p l ，p 2 ，p 3 和p 4 为只依赖于m a x l l y l l v ，i i z l l v 的常数 定理2 1 ( k a t o ) 1 6 】假若以上条件例，_ 砂，( i i v 成立给定y ，则存在一个 仅依赖于i i o l l y 的时间正方程偿砂在【0 ，t ) 上有唯一强解钉，且白满足 u = 口( ，伽) c ( o ，t ) ；y ) n c l ( o ，t ) ；x ) 并且v oh 口( ，v o ) 为从y 到c ( o ，t ) ；y ) n c l ( o ，t ) ；x ) 的连续映射 5 2 2方程变换 为了应用k a t o 定理，我们需要将柯西问题( 1 1 ) 化为一个抽象的拟线性发展 方程 首先我们引入一些记号所有的函数空间都是在s = r z 上的d ( a ) 表示 算子a 的定义域阻，矧表示线性算子a 和b 的换位子i | 恢表示b a n a c h 空 间x 上的范数0 0 护( s ) 和( ，) 驴( s ) 分别表示日r ( s ) ，r r 上的范数和内积 令雪= t 一，方程( 1 1 ) 可化为 i 玩+ 蟊u + p 雪乱2 = ( 学u 2 一k u 一丢9 ( u ) ) z ，t o ，z r ， 雪( o ，z ) = 铷( z ) 一霹u 0 0 ) ， z r ，( 2 2 ) i 雪( 亡，z ) = 雪( ，z + 1 ) ，t 0 ，z r 再设 g ( z ) ：=c o s h 一p 】一互1 ) 其中m 表示不大于z 的最大整数，则有( 1 一鲤) - 1 ，= g 宰，对所有，l 2 ( s ) 成 立，且g 木雪= u ，其中j i c 表示卷积应用上述恒等式，方程( 2 2 ) 可化为 i 饥+ 讹王= 魂g ，i c ( j u 2 一譬2 一k u 一 9 ( “) ) ，亡 o ，z r ， 钍( o ，z ) = 咖( z ) ， z r ， ( 2 3 ) i u ( ，z ) = 让( t ，z - f1 ) ，t 0 ，z r 或等价地写为 i u t + 乱u 霉= a l ( 1 一磋) 一1 ( u 2 + 譬2 一k u 一吾夕( u ) ) ，t o ，z r ， 让( o ，z ) = u o ( z ) ， z r ， ( 2 4 ) iu ( t ，z ) = u ( t ，z + 1 ) ，t 0 ，z r 2 3适定性定理及其证明 定理2 2 假设g ，r ) ，m 2 给定u o h r ( s ) ，耋 0 ，方程以砂绒偿彳力在 0 ，t ) 上有唯一强解u ，满足 缸= u ( ，u o ) c ( 【o ，t ) ；日r ( s ) ) nc 1 ( 【0 ，t ) ；4 r 一1 ( s ) ) 且仳连续依赖于初始值u o ，即映射乱oh 也( ，u 0 ) ：日r ( s ) hc ( 0 ，t ) ；h r ( s ) ) n c 1 ( 0 ，t ) ；h r 1 ( s ) ) 是连续映射 6 令a ( u ) = 乱以，( u ) = 以( 1 一霹) 一1 ( u 2 + 学u ：一k u 一；夕( ) ) ，y = 三p ( s ) ，x = h r 一1 ( s ) ，q = a = ( 1 一恁) m ，显然q 为从日r ( s ) 到牙- 1 ( s ) 上的 拓扑同构映射为了证明定理2 2 ，应用定理2 1 ，我们只需验证a ( u ) 和f ( u ) 满足 条件( i ) ( i i i ) 为此我们首先引入以下几个引理 引理2 1 【1 6 】令8 ，t 为满足一s 言， 1 i i f g h 州1 z ( s ) c h f h t t 。( s ) l l g l l - t ( s ) ，若s 曼，则有 a 一8 【a 5 + 件1 ，f i 一。i i l ( l 2 ( s ) ) c f l h r ( s ) ， i s i ，i t i r 一1 ， 其中c 为仅依赖于s ，t 的正常数 引理2 3 2 1 】令x 和y 为b a n a c h 空间且y 紧嵌入x ，一a 生成x 上的c o 半群t ( t ) ，s 为从y 到x 的同构映射则y 是a 一容许的仰t ( t ) yc 亡0 ， 且t ( t ) 限制在y 上为y 上的c o 半群j 当且仅当- a 1 = - s a s _ 生成x 上的 岛半群s t ( t ) s 更进一步，若y 是a 一容许的，则一a 在y 上的部分为t ( t ) 限制在y 上的c o 半群的无穷小生成元 引理2 4 1 9 】令a c ( r ，r ) 且o ( o ) = 0 则有 。u | i r a ( r ) ， 若三 专，u h ( s ) 1 其中a 是一个仅依赖于函数n 和r 的单调递增函数且t h r ( r ，r ) 弓i 理2 5 若$ - q - a ( u ) = 仳以，乱h ( s ) ，r ；，则4 ( u ) a ( l 2 ( s ) ，l ，p 7 ) 7 证明：由于2 ( s ) 为h i l b e r t 空间，所以a ( u ) g ( l 2 ( s ) ，1 ，卢7 ) 当且仅当 ( 1 ) ( a ( u ) y ，可) 日。( s ) 一p i l y l l 2 0 ( s ) ，y l 2 ( s ) ， ( 2 ) 存在某个或对所有入 p 7 ，a i + a 的值域为l 2 ( s ) 先证( 1 ) 由于让h r ( s ) ，r i ，所以乱，l o o ( s ) 因为i i 缸z i i l * ( s ) i l u l l r ( s ) ，所以 1 一( a ( 缸) 可，y ) x o ( s ) = 一( u o y ，) 日o ( s ) = 言( u y ，可) 日o ( s ) 专i l “。i i l o 。( s ) i i | l 备。( s ) c l l u l l r ( s ) l l y i j 日2 。( s ) 令p 7 = c l l u l l r ( s ) ，则可推出 ( a ( 乱) 秒，可) 2 日。( s ) 一p 川可i i 备。( s ) 再证( 2 ) 由于a ( u ) 为闭算子且满足( 1 ) ，所以对所有入 p 7 ，a i + a 都有 闭值域从而只需证明此时a ，+ a 的值域在l 2 ( s ) 中稠密 给定u h r ( s ) ，r 2 ，y l 2 ( s ) ，由莱布尼茨公式，可得 侥( u y ) = u x y + u 允可成立于日_ 1 ( s ) 由于l 。( s ) ，可得 d ( a ) = d ( u o 卫) = l 2 ( s ) ；u 以y l 2 ( s ) ) = z l 2 ( s ) ；一o 。( u z ) l 2 ( s ) ) = d ( ( 乱如) ) = d ( a + ) 用反证法证明若入 p 时a i + a 的值域不为l 2 ( s ) ，则存在z l 2 ( s ) ，z 0 使得( ( a i + a ) y ，z ) 日。( s ) = o ，v y d ( a ) 由于d ( a ) ) h 1 ( s ) 且日1 ( s ) 在l 2 ( s ) 中稠密，所以d ( a ) 在l 2 ( s ) 中稠密从而在l 2 ( s ) 中有入z + a + z = 0 又因为 d ( a ) = d ( a + ) ，所以 ( 入一p ，) | i z i i 备。( s ) ( 入z ，z ) 日。( s ) + ( a z ，z ) 日。( s ) = ( z ，a z + a z ) h o ( s ) = 0 ，枞 p 7 由上可得z = 0 ，这与之前的假设z 0 矛盾所以对任意a p 7 ，a i + a 的值域 均在l 2 ( s ) 中稠密 结合以上两点知引理得证 8 引理2 6 若算子a ( u ) = u 以，乱h r 偈) ，r 墨，则a ( u ) g ( h r - 1 ( s ) ，1 ，) 证明： 由于日r - 1 ( s ) 为h i l b e r t 空间，所以a ( u ) g ( h r 1 ( s ) ，1 ，p 7 ) 当且仅当 ( 1 ) ( a ( u ) y ，y ) 日r 一，( s ) 一卢川可f | 刍，- ( s ) ，y h r 一1 ( s ) ， ( 2 ) - a ( u ) 在日卜1 ( s ) 上生成岛半群 先证( 1 ) 由于t h r ( s ) ，r ；，所以u ，三( s ) 且i i l i p ( s ) i i t 1 1 - r ( s ) 因为人r 1 ( u 以y ) = a r - 1 ，叫以y + u a r - 1 ( 以可) = 【a r 1 ，u 】以y + u 以a 卜1 y ，所以 一( a ( u ) ，) 日r - t ( s ) = - ( a r - 1 ( u 以y ) ，a r 一1 y ) 日。( s ) = 一 ( h r - l , u o z y ，a 一可) 日。( s ) + ( u o 霉a y ，a 一可) 日。( s ) 】 = 一 ( a r - - 1u o x y ，a r 一1 秒) 。( s ) 一去( u a 7 1 y ，a r 一1 可) 日。( s ) 】 i ，则 i i b i ( u ) y l i h 。( s ) = | i 人卜1 ，u 以】人1 - r 训日。( s ) = l l h 7 1 u 以a 1 一r 可一u o z y l i h o ( s ) = | | 人卜1 ，u h 1 - r 以训俨( s ) s i i 【a r 一1 ，叫a 2 一r i | l ( l ：( s ) ) l l a 一1 0 z y l l 。( s ) _ i ，则a ( u ) l ( h r ( s ) ，h r - 1 ( s ) ) ，并且 i i ( a ( 钍) 一a ( z ) ) w l h r - ，( s ) su 1 1 1 u z | | 日r - , ( s ) l l w l l s r ( s ) ， 其中u ，z ，w h ( s ) ， 耋 证明： 令u ，z ，w h r ( s ) ，7 2 ，由于日r 一1 ) 是b a n a c h 代数，所以 0 ( a ( u ) 一a ( z ) ) w l l x r - t ( s ) i l u z 1 1 r 一，( s ) | l 以w 1 1 r 一( s ) u il l u z 1 1 r - , ( s ) l l w l l h r ( s ) 在上述不等式中令z = 0 可得a ( u ) l ( h 7 ( s ) ，h 卜1 ( s ) ) 引理2 8 若算子s ( u ) = 【a 1 ，牡以】人，u h r ( s ) ，r ；，则b o , ) l ( h r _ 1 ( s ) ) ，并且 。 i i ( b ( u ) 一b ( z ) ) w l n r 一( s ) m l l u z l l , f r ( s ) l l w l l r - - ( s ) ， 其中u ，z h r ( s ) ，w h 一1 ( s ) ，r 墨 证明： 令u ，z h ( s ) ，w h 卜1 ( s ) ，r i ，则 i i ( b ( u ) 一b ( z ) ) w i i h r 一- ( s ) = i i a 7 1 【a 1 ，( u z ) 侥】a 一1 w 1 1 。( s ) l i a 7 1 【人1 ，( u z ) 】a 1 一r i i l ( l ：( s ) ) j j 人r 一2 以叫j 1 日。( s ) m l l u z 1 1 r ( s ) l l w l l r - ，( s ) ， 其中最后一个不等式应用了引理2 2 ，对应8 = 1 7 ，t = r 一1 令z = 0 ，从 而可得b ( u ) l ( h 卜1 ( s ) ) 引理2 9 假设g c m 假，r ) ，m 2 令厂( u ) = o x ( 1 一理) 一1 ( u 2 + 竽u ：一 k u 一；夕( u ) ) ，则，在日r ( s ) 的有界集上一致有界，并且当r ( i ，m 】时， 成立 ( a )i i f ( y ) 一f ( z ) 1 1 r ( s ) m l l u 一名0 日r ( s ) ，y ，z h r ( s ) ， ( b ) i i f ( y ) 一，( z ) 1 1 日r 一，( s ) p , l l y z 1 1 r 一( s ) ， y ，z h r ( s ) 1 0 证明：c a ) 令y ，z h r ( s ) ，r ；，由于1 1 0 z ( 1 一磋) - 1 u i i 驴( s ) l l u l l 日( s ) ，札 日r 一1 ( s ) ，且日卜1 ( s ) 是b a n a c h 代数，所以可得 i i f ( y ) 一，( z ) 1 1 日r ( s ) = l l 晓( 1 一磋) 一1 ( 1 ( y 2 - z 2 ) + 鱼( 记一之) 一七( y z ) 一互1 ( ) 一夕( z ) ) 1 1 日，( s ) 三i i ( 剪一名) ( y + z ) 1 1 日r - ，( 鳓 舟口1 + i 旦 2 i1 1 ( 如一) ( + 磊) 1 1 日r - ，( s ) + 芍1i b ( y ) 一g ( z ) l l x r - ，( s ) + l k l l l y 一名1 1 日r - ( s ) s 昙1 1 y z 1 1 日，( s ) i i 暑，+ z 1 1 日，( s ) + i 壁 竽如一1 1 日，一，( s ) l l + 1 1 日r - ，( s ) + i k l l l 可一z | 1 日，( s ) + 三i i 夕( 可) 一9 ( z ) 1 1 日，一- ( s ) 应用引理2 4 可知，t 一g ( u ) 一g ( o ) 是一个从日卜1 到日r - 1 的c 1 一映射 由中值定理( 1 2 】) ，可得存在某个m 0 ，且仅依赖于m a x ( 1 l y l l r ，i i z l l r ) ， 则有 则可得 l i g c y ) 一g c z ) 1 1 一，( s ) m i i y z 1 1 日r - - ( s ) i l ，( y ) 一，( 名) l i n r ( s ) s 扎一z i i - - c s ) l l 可+ z i i 舻( s ) + l 掣y x - 1 1 h - i ( s ) i l y x + z z l l 驴。( s ) + i k l l l 可一z i l b - ( s ) + 互11 1 9 ( y ) 一9 ( z ) i i j j r r 一，( s ) _ ；，同样由于1 1 0 z ( 1 一理) _ 1 t 正i i 驴( s ) sl i u i i 一( s ) ，u 1 1 日卜1 ( s ) ，且日卜1 ( s ) 是b a n a c h 代数，所以亦可得 i i ，( 可) 一f ( z ) l i 一( s ) = 愀1 一磋) 1 ( 抄。) 一缸沪出) ) + 竽( 谚一z ) 叫可叫) k l ( s ， 孤夕一z ) ( 可刊峥：( s ) + i 竽如一气) ( 如+ z z ) l l 胪2 ( s ) + l w 夕( 可) 一夕( z ) i i h - - t ( s ) + ni l y z i i h - = ( s ) 由上述相同的m 0 可得 i i f ( y ) 一，( z ) i | 日r 一，( s 丢l i ( 可一z ) ( + z ) l i 一：( s ) + i 垒( 一) ( 弛+ z ) l l 驴一：( s ) - i - 言1 1 9 ( y ) 一g ( z ) 1 1 r ，( s ) + i k ll l y z 1 1 日一。( s ) _ m i l y - z l l j j r r - 。( s ) + i l y - z 1 1 日，( s ) i i 拶+ z 1 1 日，( s ) + i 旦 立川一乞1 1 日r - ：( s ) i i 如+ 乞| 1 日r - - ( s ) + i k 剪一z 1 1 r 一，( s ) ( 1 + i k l + i 壁亏翌1 ) ( m + i l y l l 日，( s ) + i l z l l 日，( s ) ) l l u - z 1 1 日，( s ) 其中倒数第二个不等式应用了引理2 1 ，对应8 = r 一1 ，t = r 一2 从而( b ) 得 证 定理2 2 的证明；综上所述，由引理2 5 和引理2 6 知k a t o 定理中的条件 ( i ) 成立，由引理2 7 知k a t o 定理中的条件( i i ) 成立，由引理2 8 知k a t o 定理中的条件( i i i ) 成立，因此由k a t o 定理即可证明定理2 2 1 2 定理2 3 假设夕c m ( r ，r ) ，m 2 给定u o h r ( s ) ，詈 r m ，定理2 2 中 强解的最大存在时间t 与初始值u o 所在空间日r ( s ) 中的参数r 的选取无关即 若u o 日r ( s ) ，i r 的情形因为在r ， r 时结论同样成立，我们将方程( 2 2 ) 化为 1 玩+ a ( t ) f s + b ( t ) f s w - ，( t ) ，t 0 ，z r ， f s ( o ，z ) = a 2 u o ( z ) ， z r ， ( 2 5 ) i 雪( ，z ) = f s ( t ，z + 1 ) t 0 ，z r ， 其中a ( t ) f s = o ( u f l ) ，b ( t ) f l = ( p 一1 ) 雪，f ( t ) = - ( - i g ( u ) 一互1 夕( o ) 一学u 2 + 七让) z 要证明u c ( 0 ，t ) ；h r , ( s ) ) ，只需证明f s c ( 【o ，t ) ；h