（基础数学专业论文）二个双边基本超几何级数变换公式及其应用.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 3 1 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y t w ot r a n s f o r mf o r m u l a so fb i l a t e r a l b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s n u m b e rt h e o r y s u p e r v i s o r ：p r o f l i uz h ig u o n a m e ：m a oj i ah u a a p r i l ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 4 2 3 5 l l 4 哪y 17 郑重声明：本人呈交的学位论文二个双边基本超几何级数变换公式及其应用， 是在华东师范大学攻读硒壬博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 日期：w f o 年6 月7 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 二个双边基本超几何级数变换公式及其应用系本人在华东师范大学攻读学位 期间在导师指导下完成的硒生博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范 大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门 和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学 位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采 用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选)： ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ， ( 、力2 不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名查查塑瞥l 曲f o 年b 月i e l “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适刚 上述授权) 。 l 毛加骅硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 时俭益教授华东师范大学主席 林磊副教授华东师范大学 早期q 稆副教授华东师范大学 摘要 在本文中通过r a m a n u j a n1 妒1 和公式，五重积恒等式，利用围 道积分的方法，得到了二个双边基本超几何级数的变换公式，通过 其中的一个公式得到著名的h e i n e2 妒1 变换，b a i l e y2 妒2 变换公式以 及d o u g a l l 的2 h 2 级数等式的g 一模拟等q 一级数的一些定理和公式， 并且利用h e i n e2 1 变换得到了其中一个变换公式的3 5 个等价形式。 关键词：r a m a n u j a n1 妒1 和公式，围道积分，h e i n e2 庐1 变换，g 一模拟 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t w ot r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao fb i l a t e r a lb a s i ch y - p e r g e o m e t r i cs e r i e si so b t a i n e db yu s i n gr a m a n u j a n s1 妒1s u m m a - t i o nf o r m u l a ，q u i n t u p l ep r o d u c ti d e n t i t ya n dc o n t o u ri n t e g r a t i o n ，t h e n s o m ef o r m u l aa n de q u a t i o no fq - s e r i e s ，l i k eh e i n e sf a m o u st r a n s f o r - m a r i o nf o r m u l ao f2 西1 ，b a i l e y st r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao f2 砂2a n d aq - a n a l o g u eo fd o u g a l l s2h 2 一s u m ，a r ed e r i v e df r o mo n eo ft h et w o f o r m u l a s ，a n dg e t3 5e q u a lf o r m u l ao ft h em a i nf o r m u l at h r o u g hh e i n e 2 1t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a k e y w o r d s ：r a m a n u j a n 81 妒1s u m m a t i o nf o r m u l a c o n t o u ri n t e g r a - t i o n ，h e i n e st r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao f2 1 ，q - a n a l o g u e 目录 目录 1 引言 1 1 1 基本超几何级数的发展历史 1 1 2 论文的意义及主要结论1 1 3 常用的记号 2 2 定理的证明 4 2 1 几个重要的引理4 2 1 1 口一二项式定理 4 2 1 2 r a m a n u j a n1 矽1 和公式 5 2 1 3 五重积恒等式7 2 2 主要定理及其证明9 3 几个推论 1 3 3 1 h e i n e2 1 变换- 与b a i l e y2 矽2 变换1 3 3 2 一个非终止的q - v a n d e r m o n d e 和1 5 3 3 一个三项2 1 的变换公式1 6 3 4 d o u g a l l2 h 2 一级数等式的g - 模拟1 7 4 定理2 2 1 的等价形式1 9 ： 4 1 等价形式的推导过程1 9 4 2 3 5 个等价形式2 2 参考文献 致谢 3 1 3 6 1 引言 1引言 1 1基本超几何级数的发展历史 对于基本超几何级数( 又称口一级数) 的研究开始于伟大的瑞士数 学家e u l e r ，在1 7 4 8 年将基本超几何级数作为整数分拆的生成函数。其 后，g a u s s 在1 8 1 3 年，c a u c h y 在1 8 2 5 年和h e i n e 在1 8 4 6 年相继发现了几个 低阶口一级数的变换公式和定理。从十九世纪末n - 十世纪中叶，有许多重要 的数学家，像r o g e r s ，r a m a n u j a n ，w a t s o n ，b a i l e y 和s l a t e r ( 主要来自剑 桥大学) ，他们对于基本超几何级数的发展作出了重要的贡献。在他们 中j a c k s o n 用了毕生的精力系统的发展了基本超几何级数的理论，印度 天才数学家r a m a n u j a n ，在他遗留下来的笔记本中给出了许多酽级数的公 式，为口级数的发展做出了伟大的贡献。在1 9 5 0 年到1 9 7 0 年这段“黑暗 时期，a n d r e w s 和a s k e y 坚持组织了一些会议和写了许多论文。使数学界 相信q 一级数在古典分拆理论、数论和其它相关理论中是有用的( 可以参见 f 3 ，4 1 ) 。非常感谢这两位数学家的努力，基本超几何级数在如今变成了一 个活跃的研究领域。在最近的二十年中，q 一级数理论飞速的发展。它的应 用已经从数学领域扩张到了量子物理学和计算机代数领域。关于基本超几 何级数的更详细的介绍可以参考 1 ，4 】。 1 2 论文的意义及主要结论 虽然口一级数的研究已经到了一个比较深的层次，但是对于一些基本超 几何级数基本的定理和变换公式的研究仍然是十分必需的。本文的目的是 试图将一些低阶的和公式以及变换公式统一的由一个变换公式给出。在基 本超几何级数的研究中，有双边级数和与单边级数和公式以及相应的变换 公式，一些低阶的单边变换都可以由双边变换公式取特殊值得到，即单边 的都包含在了相应的双边级数的公式中。 本文中的主要结论是定理2 2 1 ，定理2 2 2 ，本文在第一部分给出口 1 1 3 常用的记号 级数的历史的简单介绍和一些常用的符号的定义，第二部分是定理2 2 1 与定理2 2 2 的证明。第三部分是定理2 2 1 的几个推论。第四部分是定理 2 2 1 的3 5 个等价的形式。根据作者的知识范围，定理2 2 1 的3 5 个等价 的形式，定理2 2 2 是新的变换公式。在定理2 2 1 的证明中，对于级数的 收敛性，以及积分与级数求和互换的证明在文献 1 】1 中的第一章与第四章中 已经详细的给出了，在以下的证明中都默认级数是收敛的，积分与求和可 互换。关于围道积分的方法可以参考4 2 1 。 1 3 常用的记号 在整篇论文中我们均假定 1 ，对于专门的名词与符号，都将遵循 参考文献 1 】中的定义。如下定义q 一移位阶乘： ( 。；g ) o = 1 ，( n ；g ) n = n ( 1 一o q 岛) ，( n ；g ) 。= ( 卜。q k ) ，n n + k = ok = 0 ( 1 3 1 ) 1 3 常用的记号 那么单边的和双边的基本超几何级数的定义由下面的公式给出： r + ，。 n z - 乏：- 1 ；口，z = 壹n - - - - - o 以k 冀z - f ( 一1 ) ng ( ：) ，8 lj n = 一 其中( 三) = 业2 丑，q 0 ，7 - s 。 一f ( a l ，a 2 ，n r + 1 ；口) n ( q ，b l ，玩；g ) n 矿 ( 1 3 6 ) ”凡厂黯糍z ，l 3 ( 1 3 7 ) 佃 2 定理的证明 2 定理的证明 在给出本文主要定理的证明之前，先要给出几个引理。 2 1 1 口一二项式定理 引理2 1 1 如果i q i 1 ，a ，z c 且l z i 1 ，那么： 止彤垮矬肚铣 ， 这个定理是由g a u s s 3 3 】，c a u c h y 【3 4 和h e i n e 3 s 独立发现的，它是 口级数理论中最重要的定理之一。 证：令 饰，= 薹溉矿 然后得到如下的式子： a ( z ) z a ( q z ) - = 萋器( 1 吖矽。n = o、1 1 ，n 邛刊薹器扩_ ： 却刊薹器扩 = ( 1 一) z ) 即： 4 2 1 几个重要的引理 现在考虑如下的式子： 胁m = 薹酱( - a - q n l 1 a q 矽 厶( 名) 一厶( z ) = 訾( ) z n n = u 、 = 一a z 厶q ( z ) 即： 厶( 名) = ( 1 一a z ) 厶( z ) 将( 2 1 2 ) 式和( 2 1 3 ) 式合并，就得到了 厶( z ) = 害f o ( q z ) 反复迭代( 2 1 4 ) 式七次，然后令k _ + o 。就得到了 f o ( z ) = 锗，口( q k z ) = 铣脚) = 铣 这样就完成了引理得证明。 关于q 一二项式定理的证明还可以参考【1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，1 2 ，1 6 1 。 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 口 2 1 2 r a m a n u j a n1 妒1 和公式 引理2 1 2 如果i q l 1 且l b a 。l 1 ，那么： 砒b z = n 曼黯拈一， 由于r a m a n u j a nl 砂1 和公式在本文中占据着重要的地位，而且是印度 天才数学家r a m a n u j a n 最著名的定理之一，在这里有必要简单的介绍一下 这个公式的历史。 r a m a n u j a n1 矽1 和公式第一次出现是在他的第二本笔记本中【1 2 ，1 3 。 然而笔记本要到1 9 5 7 年才出版，在1 9 4 0 年时，h a r d y 在关于r a m a n u j a n 工作的书【1 1 】中，将这个公式命名为r a m a n u j a n1 矽1 和定理。紧接着关于 这个公式的第一个证明在1 9 4 9 和1 9 5 0 年分别由w h a h n 1 4 】和m j a c k s o n 2 1 几个重要的引理 1 5 】给出。自从这两个证明之后，其他数学家又发表了许多关于这个公式 的证明，可以参见 1 6 卜 3 2 】。 在本文中，用的是i s m a i l 2 6 】的证明。 证：可以把g 一二项式定理重新写为： 铣= 薹涨儿三0 0 黠一 = 黜塞激矿 将a 用叼一替换，就得到： 薹揣批筹淼警z - 一( a q 一z ；口) ( 口；口) 。( n 丁；口) 。, r - n 一( n g 一；口) ( q n + 1 ；g ) ( z ；口) 。 ( q a x ；g ) ( 口；q ) 。( a x ；口) 。 一( q a ；g ) ( q n + 1 ；口) 。( z ；口) ( a x ，q a x ，g ，q n + l a ；g ) 。 ( z ，q n + 1a x ，q n + 1 ，q a ；g ) 如果将q n + l 用b 来替代，那么b 在接近于0 的时候，等式的两边在 b 处是解析的，所以当b = q n + 1 时，等式的两边相等。序列 口叶1 ) 的极 限点是0 ，而且等式两边的函数在b = 0 处的开集中解析，两个函数在开 集中的无限多个点处相等，所以在这个开集中恒等。由解析连续性，当 l j n i 1 时，就得到了( 2 1 5 ) 口 6 2 1 几个重要的引理 2 1 3 五重积恒等式 引理2 1 3 如果i q f 1 ，z c 那么： + 口掣( 沙一z 一) + o o = ( 1 一x q n ) ( 1 - - x 一1 9 n 一1 ) ( 1 一口n ) ( 1 一z 2 9 2 竹一1 ) ( 1 一z 一2 口2 n 一1 ) n = l ( 2 1 6 ) 本文中对引理2 1 3 的证明运用的是 4 0 】中的方法，关于五重积恒等式 的历史和其他证明可以参见【4 1 】。 证：令 那么f ( x ) 在0 i x l 0 0 中可以展开成洛朗级数： + 0 0 ，( z ) = 矿， 从( 2 1 7 ) 式可以得到： ，( z ) 一= ( 1 一q x ) ( 1 一q x 2 ) f ( q x )( 1 一q - i x _ 1 ) ( 1 一q - z x - 2 ) 2 q 2 x 3 那么由f ( x ) 的展开式，就得到： + + o o c n z f l = c nq n + 2 3 n = 一o o t l = - - 0 0 比较等式两边护的系数，就得到： a n2q n c a 一3 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 当n 0 时，将( 2 1 8 ) 式迭代将得出： 堡f 曼堡1 2 c 3 n2q 2 c o ：业业，(21c3n+lq 2 c 19 ) 。 ，l 么， 兰f 曼翌= 盐 c 3 n 一】2q 2 c - 1 ， 7 一n2 g 2一 z一l n2 g 2 z l n g z l n g z l 佃脚 = z 厂 2 1 几个重要的引理 已经证明了对于非负整数n ，( 2 1 9 ) 式是成立的。如果在( 2 1 8 ) 式中，将 n 换成3 一n ，再乘以矿一，就得到了： c n2q 竹一2c 3 一n 那么对于非负整数竹，就有如下的等式： c 一3 n2g 2 c o ， 竺( ! 堡= 翌 c 一3 n + l2q 2 c l 竺i 曼2 1 2 c 一3 n 一12q 2 c 一1 所以( 2 1 9 ) 式对于所有的整数n 都成立。 接下来，可以观察到了： 器= 糟一x - - 1 1 一= 一= 一 厂( z - 1 )( 一z ) 那么就有： 扩= 一z 1 z 哪 分别比较上面等式两边z o 与z 的系数，就得到了c o = 一c 一1 ，c 1 = 一c 一2 这样的结果，再结合( 2 1 9 ) 式，得出c 1 = 0 。 由上面的结果，就得出了： m ) = c 0 g 掣z 3 n + c 1 g 学x 3 n + l + c 一1 g 掣x 3 n - 1 ( 2 1 1 0 ) = c o q 掣( z 胁一z 嘲一1 ) ， 接下来就只剩下求c o ，那么在( 2 1 7 ) 式与( 2 1 1 0 ) 式中令z = 一1 ，就 有： + o 。+ 。o i i ( 1 + 矿) 2 ( 1 一q 2 n - 1 ) 2 = c o 口掣( 一1 ) n n = 1礼= 一o 。 8 2 2 主要定理及其证明 再由e u l e r 的结论 n = 1 以及j a c o b i 三重积恒等式 得到了 这样就完成了引理得证明。 ( 1 + q n ) ( 1 一q 2 舻1 ) = 1 c o2 2 2主要定理及其证明 n - - 一0 0 ( 一1 ) ng ( ；) ：g n n 箸( 1 一q n ) l i z 理2 2 1 如果i q l 1 ，n ，b ，c ，d ，z ，c 且i 是i i z i 1 ，那么： 口 。妒。毒三；口，z=若：丢芜妻乏乏号差云器z砂。以cdbgd，cazcz；g，芝孑 证：运用引理2 1 2 的r a m a n u j a n m = 一0 0 2 1 ( 2 2 1 ) l 妒1 和公式，得到下面的两个等式 扯镶恕糍 器( 三) 仇= ( 6 ；口) m z ( a z x ，q x a z ，g ，b a ；g ) 。 ( z x ，b x a z ，b ，q a ；口) 。 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 将( 2 2 2 ) 与( 2 2 3 ) 两式相乘，并用算子南霸z i = 1 警作用两边，就得到了： 1 2 7 r i轧 扩一m 坚 - - - - 1 z ( r z ，q c x ，q m a z ，a z x ；口) 。 ( d c x ，z ，b x a z ，z x ；口) 。 9 z ( 2 2 4 ) 佃 佃 = 、，g g z g z ，f 1j 丝d 口 d 0 ， 口 6 zc z p-。-。-_。-_l 虫比 。一竺 堕彤一心 q q彤一以 一 g g c d 佃 佃 1 一雨 堡 m 曲一曲 一p 堡 n d 曲心一 妻一佃一 一 g g丝咖 0 一c 一6 一g 口一d口一6 = 2 2 主要定理及其证明 石1 兑x n _ m 警= = 仁2 所以( 2 2 4 ) 式的左边等于 在( 2 2 4 ) 式中记： 聊，= 镓翁糍筹棼三 那么被积函数f ( z ) 在 1 内有不可去的一阶极点z n l = 空芋，z n 2 = z q n ，几= 0 ，1 ，2 ， 经过计算，被积函数f ( z ) 在1 = 警处的残数为 n 掣蒜篱巍 仁2 q 在z n 2 = z q n 处的残数为 ( 一1 ) ng 掣 ( 寺，c 矿，譬，芳；g ) 。 ( g g ) n ( 哪口n 等，c z 矗q n q ) ( 2 2 7 ) 由复变函数中的残数定理，( 2 2 4 ) 式就变为 # 业扩：! 丝咝丝1 2 盟 n 幺( 6 ，d ；g ) n 。 ( 6 ，d ，q c ，q a ；g ) 。 匿n 口掣浅曩赣2 神 r + c o n 掣( 赤膨n 譬，芳；口) 。 + 驴h 掣蒿嚣蹴j 糍 佃一 2 2 主要定理及其证明 ( 杀坩；g ) 斗妒铲 2 ( d 蚴q n + l 。窜a c zg ) = 卜妒器 仁2 加， ( c - - 刍q n c z q n ；q ) 斗矿锗 2 m ， ( 譬匆) 刊n 踹糟 亿2 加， ( 割c z 刊n 嗡券 2 m ， ( 岛c z q n ) 刊n 爷 2 “， ( 等；g ) = 满心n 比= 潞( 2 2 1 5 ， ( 警；g ) 。= 器，( 警；g ) 。= 而( b d a c 面z ；q ) o o ( 2 2 1 6 ， 将上述等式代入公式( 2 2 8 ) 中，经过整理就得到了定理2 2 1 。 口 定理2 2 1 是对【1 0 】中的一个定理的完善，也是【3 6 】中的一个推论。但 作者发现它蕴含着许多g 一级数的重要咆定理与和式，将在推论中给出。 定理2 2 2 如果i q i 1 ，n ，b ，z ，c 且i z i 1 ，那么： 戮+ o o ( a ；q ) 3 n - ( 3 + 1 ) z 3 n 一善糍口鹎札1 亿2 加， =喘b鬻1z z q ； 薹错( 珈掣一 ( ，一，一g ) 乞( 口；g ) n z 3 鼍 i e 运用引理2 1 2 的r a m a n u j a n1 妒1 和公式，得到下面的等式 黑链( 三) m = 镟踹筠訾 2 邶， 2 2 主要定理及其证明 可以将五重积恒等式写为 n = 一o o + o o 口掣z 3 n 一g 掣x 3 n - 1 + o o = n 竹= 1 n = 一o o x 2 q n ) ( 1 一x - 2 q n 一1 ) ( 1 一 ( 1 + x q n ) ( 1 + x - l q 俨1 ) 一( x 2 q , 1 i x 2 ，口；g ) 。 ：= = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二= ( 一x q ，一l x ；口) 盟 ( 2 2 1 9 ) 佃 3 几个推论 一_ 3 几个推论 由定理2 2 1 可以得出以下的推论3 1 1 至推论3 4 1 。 3 1 h e i n e2 矽1 变换与b a i l e y2 矽2 变换 警论3 1 1 ( h e i n e2 妒1 变换) 如果| g i 1 ，口，6 ，c ，z ，c 且h 1 ，那么就 旗k 彬 = 赫旗心邮 ， 证：在定理2 2 1 中，令d = g ，那么在( 2 2 1 ) 式左边的双边级数就变 薹+ o o 丽( a , c 两；q ) n z n ，n 鲁( g ，6 ；g ) n 由( 1 3 1 ) 式可知( 1 ；q ) o o = 0 ，那么( 2 2 1 ) 式右边的第一项为零，第二项变 根据单边基本超几何级数的定义( 1 3 6 ) 式，就得到( 3 1 1 ) 式。 h e i n e2 1 变换的两个等价形式： 口 旗卜舭卜舒施心b ” 似地， 确k 舭 _ 皆旗 6 c 6 b 几孤毗6 j ， h e i n e 2 咖1 变换是h e i n e 3 5 】，f 3 s 首先给出的，这三个变换公式在口- 级数 理论中占据着重要的地位。关于它们的其他的证明可以参考 1 卜 5 】。 1 3 iffffffffffffjfffjjff g k一疗 一曲丝一国 佃脚 k 一 汨彩 墨石 堕限 3 1h e i n e2 咖1 变换- 与b a i l e y2 妒2 变换 推论3 1 2 ( b a i l e y2 砂2 变换) 如果i q i 1 ，口，b ，c ，d ，z ，c 且i 篆l 1 ，那么就有 2 妒。 主；口，z = 垦i 貉2 砂。 ( 3 1 4 ) 证：在定理2 2 1 中，同时令o _ t a c z ，c _ 警，b a z ，d _ c z ，名_ 懈b d 得到 。也 乏：蓁；g ，墨 = 下曼糙。九 鲁；口，等 将( 3 1 5 ) 式两边同时乘以 + 瓦(q,疆d,b蒜qa c z ) 2 ，r( n 邵z ，墨，墨，鲁；g ) 拌1i ( 急峦d q 口) ( 旦a ，弘如) c ( 3 1 5 ) 后右边就等于( 2 2 1 ) 的右边，那么左边就相等，这样就得到了( 3 1 4 ) 式。 b a i l e y2 砂2 变换的一个等价形式： 。勺。善j三；g，z=j糍2矽z 口 ( 3 1 6 ) b a i l e y2 妒2 变换的证明也可参考【3 9 】，同样也可由 2 6 】中得方法的出。 以下的推论3 2 1 ，推论3 3 1 的其他证明可以参考 1 。 1 4 1j 旦毗 g 警警毗 。l 1j 丝d g 旦 | 虫 1j d 一0 g 0 6 警们 。l 3 2 一个非终止的q - v a n d e r m o n d e 和 3 2 一个非终止的q - v a n d e r m o n d e 和 推论3 2 1 ( an o n t e r m i n a t i n gf o r mo ft h eq - v a n d e r m o n d es u m ) 1 ，口，b ，c c 且i 嚣l | q i 1 ，那么就有 。| - 口，b1 2 妒1 i ；q ，ql + 【 c j ( q c ，a ，6 ；g ) ( c q ，a q c ，b q c ；口) 2 。口c口,2b，qcc；g口 如果i q i ( 3 2 1 ) 一( 口c ，a b q c ；q ) 。 ( a q c ，b q c ；g ) 证：运用h e i n e2 也变换可得： 施鼢叼a q 卜丽( b q d , 瓢z ；q ) 瓶心d , a q 孙z ( 3 2 那么( 2 2 1 ) 式就变为 。妒2 黔十辚怒徽糍旗d c , ；q , 警 。cqd,的aqdd；口，z ( 3 2 3 ) 在c 3 号3 ，式中令6 = 口，z = g ，那么左边就变为。， m d c ；g ，口 而右边的第一项为 一(qa,qd,acqd,dac；q)。0小acqc q a d a c c q d ； 剀d ( ， q ) w oi 一州l 竺? ：翟式爨。竺三芦变为而( q d , 而a c q 瓦d ；q ) o o 右边的第二项经过整理后为 一 一百乏五嬖型a溉qdc q d ；z tl 口q 7 三：男d ；口，口l( ( f g ， ， q ) o 。胖1l口2 d 州州l 最后再令c = b ，d = c ，就得到了( 3 2 1 ) 式。 1 5 ( 3 2 4 ) 口 一 k 曲 g 一咄咝吲 旦似 垒凹煎讹丝以生以 0一 3 3 一个三项2 矽1 的变换公式 推论3 3 1 ( t h r e e - t e r mt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a s ) 如果l q i 1 ，a ，b ，c ，z c 且j 鬈i l z i 1 ，那么就有如下的等式： ，1 2 吼l - c ；口j 2 ( a b z c ，q c ；q ) 。 ( a z c ，q a ；口) 。 矾h c a , c q a b cg ，到 而(b再,q而c,c刁a,iaz砑q,q两2a丽z；q)o。2-( c 口，6 口c ，g o ，( z c ，c g 口z ；q ) 。1 ngcg,2bqcc；g，z 3 4 d o u g a u2 h 2 一级数等式的9 - 模拟 3 4 d o u g a l l2 h 2 级数等式的g - 模拟 推论3 4 1 如果l q l 1 ，口，b ，c ，d c 且i 舞i 1 ，那么就有如下的等式： 砒盼，面bd-一(q,a,bc,dc,bdaq,aq2bd；q) z矽-1aqbn,口a，qcd；口，口 ( 3 4 1 ) 证：运用h e i n e2 1 变换可得： 砒 d c 劣孙警 _ 丽( b d a c z , 丽a q c ；q ) o o 办一b , 咖a q d 汜差 ( 3 4 2 ) 那么( 2 2 1 ) 式就变为 砒b 小铣糍瓣嬲瓣 +与墨i垡舌!l望糍z。zczbgab dq cd c z d；q，竺d! ( ， ，z ；q ) o o 吖1 lc 加 州 i 在( 3 4 3 ) 中令z = 兰，由于 ( b a ，b q ；口) ( b ，b a q ；q ) 。 第一部分的和式经过整理后变为： 1 7 一。1 一q 6 礴 。，aqb。,ga，qcd；g，q ( 3 4 3 ) r _ l l l l i i j 旦蝴 g d 哪叭 良 口 g 0 。l 3 4 d o u g a l l2 h 2 一级数等式的g - 模拟 第二部分的和式中当z ：一b d 后，由g 一二项式定理得 a c z 旗旧口小卜a c q 孙剀 ：! 丝! ) 旦 ( a q d ；g ) 这样就得n - j ( 3 4 1 ) 口 如果在( 3 4 1 ) 式中令b = q ，就可以得到古典超几何级数中g a u s s 和的 口一模拟： 广1 。- 卜触i = 锈瓣 4 在古典的超几何级数理论中很少出现非终止的双边级数和，d o u g a l l 2 日2 一级数和是其中很重要的一个t 1 ；- 1 断的双边级数和等式，许多的数学 家都尝试着去发现它的q 模拟，只有a s k e y 4 4 】发现了一个c a u c h y 型b e t a 积分的g - 模拟，与d o u g a l l2 h 2 一级数和相类似，最近在【3 7 中利用a b e l 和 的方法得到d o u g a l l2 h 2 一级数等式的口一模拟。本文中用的方法与之不同。 关于d o u g a l l2 h 2 一级数等式参见 6 ，4 3 】o 1 8 4 定理2 2 1 的等价形式 4 定理2 2 1 的等价形式 4 1 等价形式的推导过程 在定理2 2 1 中，2 妒2 级数的右边是两个2 1 级数，那么就可以利用著 名的h e i n e2 1 变换对这两个2 1 级数进行变换，这样就可以得到了定理 2 2 1 的3 5 个等价形式。下面给出具体的推导的过程。 首先令口7 = d c ，c ，= b d a c z ，6 ，= d q c z ，z = a q d ，那么c 7 z = b q c z ，b a = q z ，就由h e i n e2 1 变换( 3 1 1 ) 式，就可得到 z咖t芸芋；口，鲁=2矽，口7歹；g，z = 错籼l 知 = 糌旗甬a qq 铂d d q c z a q d ； b q ( ， g ) 吖1l 州c i 由双边基本超几何级数的定义， 。 n 6 e ；g ，z = 2 。 c 6 a ；g ，z 那么又可得到如下等式： 旗悖斗疵謦，引 =鬻dqcza q d ；旗降a q ，剖 ( ， g ) 。吖1 i刊毗i 1 9 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 4 1 等价形式的推导过程 接着分别运用( 3 1 2 ) 式与( 3 1 3 ) 式，就可得到： 2 1 矾瞎 2 砂1 芸 ( b q c z ，n q b ；g ) ( d q c z ，a q d ；g ) rb | 二， 2 砂1 i c l 孙了aq卜一(aqc,qz；q)o,瓶 b d o c z 由；口 c z剀 器a q d ；恕2 z ( g ) o o ”1 用以上同样的方法，可以得到下面的变换公式： 矾心z , b a d 孙詈卜 函( b 历q d 面, z 鬲；q ) o 瓦。2 ( c z g d ，n g d ；g ) 。h 。以z,bad等卜丽(aqzd,ba；q)oo。 。咖， z , c z b 口a ，d ；q ，芝笋 = 纠b 署 警 篙c z q 舞da q 瓣d ；。( ， 口) o 。 2。z,czbqa，d；g，a了q=一(aqzd,cqd；q)o。 c q 1 ，i i b q g i i j a c z q 6 d a