（机械制造及其自动化专业论文）倒立摆实验系统的设计与研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 倒立摆是一种复杂、时变、非线性、强耦合、自然不稳定的高阶系统，许多抽象的 控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来，是控制理论方面课程的新型教学 实验设备，也是进行控制理论研究的很好的实验平台。论文对倒立摆系统进行了建模和 仿真，完成了一级倒立摆系统机械部分、运动控制模块及教学实验软件的设计，实现了 这三部分的联合调试，并在此基础上实现了倒立摆的自起和倒立平衡控制。 用s o l i d w o r k s 完成了倒立摆机械结构的三维实体建模，并对系统进行了干涉检查、 虚拟装配、工程图生成。将生成的机械模型导入虚拟样机软件a d a m s 中，结合控制软 件m a t l a b s i m u l i n k 完成了倒立摆系统虚拟样机的联合仿真，验证了系统的可行性。 对构成倒立摆运动控制系统的电机、编码器和运动控制模块等主要部件进行了比较 选择。确定了以交流伺服电机、增量式光电编码器和基于d s p 技术的运动控制器为主 要硬件组合。所选的运动控制器具有良好的性能，从而提高了系统的控制精度。 设计了教学实验系统总体的程序流程框图，软件系统使用c 语言编写。其中倒立 摆自起采用能量控制算法实现：倒立平衡控制部分应用线性最优控制算法和p i d 算法实 现。用该软件可以实现数据采集、控制率计算、控制输出、数据显示、曲线显示、动画 显示等功能。 对机械部分、控制硬件部分和教学实验软件部分进行了联合调试，并对能量控制算 法和线性最优控制算法在该系统进行了验证，实现了一级倒立摆系统自起和倒立平衡控 制。摆杆角度稳态误差1 7 。，达到了较好的水平。 关键词：倒立摆；机械设计；运动控制；自起；倒立平衡控制 倒立摆实验系统的设计与研究 d e s i g na n dr e s e a r c ho ne x p e r i m e n ts y s t e mo fi n v e r t e dp e n d u l u m a b s t r a c t i n v e r t e dp e n d u l u mi sac o m p l e x ，t i m e - v a r y i n g , n o n l i n e a r , s t r o n gc o u p l i n g , n a t u r a l l y u n s t a b l ea n dh i g h e ro r d e rs y s t e m i n v e r t e dp e n d u l u mi sp e r f e c te x p e r i m e n te q u i p m e n tn o t o n l yf o rp e d a g o g yb u tf o rr e s e a r c hb e c a 嘴m a n ya b s t r a c tc o n c e p t so fc o n t r o lt h e o r yc a r lb e d e m o n s t r a t e db yt h es y s t e m - b a s e de x p e r i m e n t s t h ep a p e rc o n s i s t so ft h ed e s i g na n d r e a l i z a t i o no fm e c h a n i c a ls y s t e m , m o t i o nc o n t r o lm o d e la n dt e a c h i n ge x p e r i m e n t a ls o f t w a r e o fi n v e r t e dp e n d u l u m , a n dt h e ya r ea d j u s t e d t h e n , s e m s w i n g i n gu pa n ds t 曲i l i 修c o n t r o la i m p l e m e n t e db a s e do nm o d e l i n ga n ds i m u l a t i o no ft h ei n v e r t e dp e n d u l u m 。 m e c h a n i c a l3 - dm o d e lo ft h i si n v e r t e dp e n d u l u mi sa c c o m p l i s h e db ys o l i d w o r k s t h e c o - s i m u l a t i o no fi n v e r t e dp e n d u l u mj sc o m p l e t e db ya d a m sb e i n gc o m b i n e dw i t h m a t l a b s i m u l i n k , a n dt h ef e a s i b i l i t yo fm e c h a n i c a ls y s t e mi sc o n f i r m e d m o t i o nc o u t r o ls y s t e ms e l e c t sa cs e i n em o t o r , i n c r e m e n t a lp h o t o - e l e c t r i c i t ye n c o d e r , m o t i o nc o n t r o l l e rw h i c hi sb a s e do nd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r t h em o t i o nc o n t r o h e ri m p r o v e s c o n t r o lp r e c i s i o no ft h es y s t e m t h ef l o wd i a g r a mo fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi ss e tu p ，a n db a s e do l li tt h et e a c h i n g e x p e r i m e n t a ls o f t w a r ei sc o m p i l e di ncl a n g u a g e ，s e l f - s w i n g i n gu po fi n v e r t e dp e n d u l u mi s r e a l i z e db ye n e r g yc o n t r o la l g o r i t h ma n ds t a b i l i t yc o n t r o li sr e a l i z e db yl q ra n dp i d a l g o r i t h m t h i ss o f t w a r e 啪a c c o m p l i s ht h ef u n c t i o n s o fd a t aa c q u i s i t i o n , c o n t r o lr a t e c a l c u l a t i o n , c o n t r o lo u t p u t , d a t ad i s p l a y , c u r v ed e m o n s t r a t e da n da n i m a t i o n s e l f - s w i n g i n gi l pa n ds t a b i l i t yc o n t r o lo fi n v e r t e dp e n d u l u ma r ei m p l e m e n t e dt h r o u g h a d j l l s t i n gm e c h a n i c a ls y s t e m ，m o t i o nc o n t r o lm o d e la n dt e a c h i n ge x p e r i m e n t a ls o f t w a r eo f i n v e r t e dp e n d u l u ma n dt e s t i n ge n e r g yc o n t r o la l g o r i t h ma n dl o ra l g o r i t h m ，s t a b l ee r r o ri s s1 7 0a n dt e a c h e st h eb e t t e ri c y e l k e yw o r d s ：i n v e r t e dp e n d u l u m ：m e c h a n i c a ld e s i g n ；m o t i o nc o n t r o l ；s e l f - s w i n g i n g u p ；s t a b i l i t yc o n t r o l i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：剑迫盘 靳馨以曙、导师签暂_ 二! ! ：二呈里、 _ 2 丑年l 月昱日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 倒立摆系统概述 倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定的高阶系统，许多抽象 的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来，是控制理论教学的理想实验设 备和进行控制理论研究的典型实验平台，一直受到教学和科研人员的广泛关注。因此， 从其肇始之日至今的半个世纪的发展历程中，先后出现了形式各异的倒立摆，大致可以 分为以下五大类：直线倒立摆、平面倒立摆、斜轨道和圆轨道倒立摆以及并行倒立摆。 ( 1 ) 直线倒立摆 直线倒立摆是由可以沿直线导轨运动的小车以及一端铰接于小车之上的匀质长杆 组成的系统，如图i i 所示。对于单级倒立摆【1 】和二级倒立摆1 2 - n 系统的研究已经历了 很长的历程，并且有很多控制成功的报道。在此基础上，三级倒立摆的研究也取得了很 大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例嘲巾j 。北 京师范大学李洪兴教授分别于2 0 0 1 年6 月和2 0 0 2 年8 月完成了四级倒立摆系统的仿真 和实物实验【1 0 l ，是目前世界上控制成功的多级倒立摆系统中级数最多的。 图1 1 直线倒立摆 f i g i il i n e a ri n v c r m dp e n d u l u m ( 2 ) 平面倒立摆 如果小车在水平面内自由运动，即为二维倒立摆系统。图1 2 是一种旋臂式二维单 级倒立摆的示意图：通过两个电机m a 和m b 分别控制后臂和前臂来控制摆杆支点在水 平面的自由运动。并进一步控制摆杆的平衡。其中为4 个测量角度的位置传感器。 还有一种小车式二维倒立摆：使用两个电机分别控制x 轴和y 轴的运动，使得摆杆支 点在水平面内自由运动，并进一步控制摆杆的平衡。文献【l l 】介绍了一种控制二维倒立摆 的方法。 倒立摆实验系统的设计与研究 国 图1 2 = 维倒立摆 f i g 1 22 - di n v e r t e dp e n d u l u m ( 3 ) 斜轨道和圆轨道倒立摆 如果小车运动轨迹不是水平的直线，而是在倾斜的轨道上或圆形的轨道上运动，即 为斜轨道或圆轨道的饲立摆系统其中困斜轨道型二级倒立摆系统与实际的控制问题模 型相近，对其进行的研究也比较广泛。斜轨道二级倒立摆如图1 3 所示，其轨道与水平 方向成n 的夹角。文献【1 2 1 。 1 3 】介绍了对斜轨道倒立摆系统进行的控制研究。图1 4 为圆 轨道单级倒立摆的示意图。电机带动旋臀旋转，将摆杆的支点限制于以旋臂长度为半径 的圆形轨道上，并控制倒立摆的两级摆杆平衡。文献【1 4 】i 坷介绍了对圆轨道倒立摆系统 进行的控制研究。 图1 3 斜轨道倒立摆 f i g 1 3o r b i ti n v e r t e dp e n d u l u m 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 图1 4 圆轨道倒立摆 f 绝1 4c r c l eo r b i ti n v e r t e dp e n d u l u m ( 4 ) 并行倒立摆 对一些其他类型的倒立摆系统，也有人对其进行了研究。文献【1 司研究的是如图1 5 所示的并行倒立摆系统。所谓并行倒立摆系统，就是在同一个小车上安装两根互相独立 的单级摆杆，通过驱动小车来实现同时保持两根摆杆平衡的控制目标。文献i 明介绍了对 并行倒立摆系统进行的控制研究。 图1 5 平行倒立摆 f i 9 1 5p a r a l l e li n v e r t e dp e n d u l u m ( 5 ) 旋转式倒立摆 旋转式倒立摆系统是不通过小车，直接利用电机转动进行控制的倒立摆系统。图1 6 是电机带动旋臂控制摆杆角度的倒立摆。文献【1 s - f 1 9 j 介绍了旋转式倒立摆系统的控制方 法。 倒立摆实验系统的设计与研究 图1 6 旋转倒立摆 f i 9 1 6r o t a t i o ni n v e r t e dp e n d u l u m 1 2 控制理论的发展及其在倒立摆控制系统中的应用 控制理论自诞生之日起至今主要经历了经典控制理论、现代控制理论和人工智能控 制理论等几个阶段。伴随着控制理论的不断发展，对倒立摆的控制也出现了采用经典控 制理论、现代控制理论和人工智能控制理论等多种控制理论的控制方案和控制方法，达 到了倒立平衡的控制目的并且获得的实物实验的成功。 用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的数学 模型，因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量，就能获得系统参数很宽范围内的 稳定性。根据对倒立摆系统的力学分析，应用牛顿第二定律，建立小车在水平方向运动 和摆杆旋转运动的方程，并进行线性化，拉氏变换后得出传递函数，从而得到零点、极 点分布情况【卸。通过引入适当的反馈，使得闭环系统特征方程的根都位于左平面上，使 得倒立摆系统闭环稳定。 与经典控制理论相比，现代控制理论有较强的系统性，从分析到设计、综合都有比 较完整的理论和方法。利用王l 状态反馈方法、极点配置法和最优状态调节器方法都可 实现对二级倒立摆的控制。文献1 2 l 】介绍了基于z 乙状态反馈方法的二级倒立摆控制方案： 针对倒立摆系统具体的有参数摄动及于扰，构造状态反馈控制u = k x 使不确定闭环系统 是具干扰衰减度y 的日。鲁棒最优系统，且性能指标，- r 簖) q 譬+ “：) r u ( o ) a t 具有最 小的上界i 矧。 文献【冽介绍了利用极点配置法和最优线性二次状态调节器l o r 和线性二次输出调 节器l o y 控制倒立摆的方法。使用极点配置法首先需要建立系统的线性模型，然后确 定系统的闭环极点，再通过a c k e r m a n n 公式算出对应的反馈增益矩阵置，。在控制设计 中应用最优线性二次调节器方法的关键在于由分析和实验找到能使系统稳定工作的“初 - - 4 - - n岁一uj， 枷卅勤； ，ffl 大连理工大学硕士学位论文 始”控制，再根据对闭环系统的性能要求，调整二次性能指标中的加权矩阵q 、r 来获 得最优控制u = k ，x 。 被控对象愈复杂，数学模型愈难精确。如果系统本身又是非线性的或具有某些不确 定性，则针对线性化模型进行控制系统设计的各种理论将遇到很大障碍，人工智能控制 理论对解决这样的问题具有一定的优势。倒立摆系统只有在平衡位置附近才可简化为线 性模型，使得针对线性化模型进行控制系统设计的经典和现代控制理论难以达到更理想 的效果。以模糊智能控制和神经网络控制为代表的人工智能控制理论被引入倒立摆系统 的控制中，并且起到了相当大的作用。 模糊逻辑控制是采用模糊化、模糊推理、解模糊等运算的模糊控制方法，其主要工 作是模糊控制器的设计。对变量实现模糊化即把小车的位移和速度以及摆杆的倾角和角 速度描述成模糊语言变量，接着定义某些隶属函数( 例如三角函数、梯形函数或钟形函 数) ，用来确定属于这些隶属函数的隶属度。接着是建立一系列的模糊规贝来描述各种 输入所产生的输出作用，也就是模糊推理。再把模糊输出被合成为能够用于对物理装置 进行控制的输出作用，即可以加到小车上的确切的驱动电压，这个过程称为解模糊判决。 文献【捌1 嚣l 介绍了利用模糊控制理论的倒立摆系统控制方案。 神经网络系统是指利用工程技术手段模拟人脑神经网络的结构和功能的一种技术 系统，它是一种大规模并行的非线性动力学系统。神经网络具有信息的分布存储、并行 处理以及自学习能力等优点，能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，学习与适应严重 不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经 元，因而具有很强的鲁棒性和容错性。将强化学习算法和神经网络有效结合，可有效的 控制倒立摆系统。文献陶介绍了基于q 学习算法和b p 神经网络的倒立摆控制方法，文 献【2 7 】介绍了基于a h c 学习算法和两个双层神经网络的倒立摆控制方法 文献闭【2 9 】是利用一种新的理论拟人智能控制理论对倒立摆系统进行控制的方法。 拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人”。“归约”是人工智能中的一种问题求 解方法。这种方法是将待求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这 些集合分解成更简单问题的集合，依此类推，最终得到一个本原问题集合，即可以直接 求解的问题。另一核心概念是。拟人”，其含义是在控制规律形成过程中直接利用人的 控制经验直觉以及推理分析。拟人智能控制理论，既不要求精确的数学模型，也不要建 造推理机，而是根据物理结构模型直接形成控制规律。 此外，利用多种理论相结合实现倒立摆平衡的控制算法还有再励式的模糊自适应控 制( g a r i c ) 方法、变论域自适应模糊控制方法等【1 0 】。 倒立摆实验系统的设计与研究 1 3 课题研究内容和意义 1 3 1 课题研究内容 ( 1 ) 在对倒立摆动力学详细分析的研究基础上建立系统的反馈方程和状态方程，并 在m a t l a b s i m u l i n k 中建立系统模型。之后，应用p i d 和工q r 两种算法在m a t l a b s i m u l i n k 中实现仿真。同时确定倒立摆机械系统基本参数，为系统机械部分设计提供参考。 ( 2 ) 在研究已有倒立摆机械部分缺陷的基础上，对倒立摆机械部分进行设计。 ( 3 ) 对倒立摆控制部分硬件选型，确定电机、反馈元件和控制模块，组成控制系统。 ( 4 ) 对倒立摆实验系统进行软件设计，给出程序设计方案，实现数据采集、控制率计 算、控制输出，数据显示，曲线显示，动画显示等功能。 ( 5 ) 最后，对机械部分、控制硬件部分和实验软件部分进行联合调试，完成一级倒 立摆整个系统的设计，实现一级倒立摆系统自动摆起和稳定控制。 3 2 课题意义 首先，倒立摆系统是连接控制理论和实际应用的桥梁。通过倒立摆实验，可以对控 制理论和控制方法的正确性以及实用性加以物理验证，对各种方法进行快捷、有效、生 动的比较，是一种有效的物理证明方法，从倒立摆实验中可以总结有效的控制经验。而 且，倒立摆系统的实验研究，具有重要的工程背景，无论空间飞行器控制，机器人直立 行走控制还是各类伺服系统的稳定控制，都可以应用对倒立摆系统的研究成果。因此， 研究倒立摆系统具有理论意义和实践意义。 其次，目前国内外对倒立摆的一系列研究中，绝大部分基于仿真的控制算法研究， 对实际机械装置的研究则较少。而且周内研究所用的机械系统大多从专业生产厂家购置， 控制效果虽好，但价格昂贵，二次开发困难，使得教学环节中学生动手的机会大大减少。 因此，本研究将倒立摆控制算法与虚拟样机技术结合起来，以期为倒立摆算法和实际系 统相结合的研究提供一定参考意义同时，倒立摆实验设备的自行开发也可以增加教学 环节中学生的动手机会。并使倒立摆二次开发成为可能。 大连理工大学硕士学位论文 2 倒立摆系统基本参数的确定 2 1 倒立摆系统基本结构 倒立摆系统采用交流伺服电机直接驱动和运动控制器进行实时控制。该模型系统包 括计算机、运动控制器、驱动机构、倒立摆机械部分和光电编码器几大部分，共同组成 了一个闭环系统，如图2 1 所示。倒立摆机械部分由小车、摆杆转轴、摆杆、导轨、同 步带构成。电机通过同步带带动小车在导轨上运动，小车和导轨之间采用直线轴承以减 少小车与导轨之间的摩擦。同样，为了减少摆杆转轴与小车铰链之间的摩擦采用滚动轴 承。 倒立摆控制系统工作原理是将光电编码器采集的摆杆角度和伺服交流电机反馈的 小车位置输入计算机。计算机根据这些参数通过控制算法确定小车运动方向、移动速度、 如速度等。并由运动控制器来实现该控制算法，产生相应的控制量，使电机转动，通过 皮带带动小车运动，保持摆杆平衡。 图2 i 倒立摆系统组成框图 f 培2 1s t r u c t u r eo fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m 2 2 倒立摆数学模型 对系统建立数学模型是系统设计的前提，而一个准确又简练的数学模型将大大简化 后期的工作。为了简化系统分析，在实际的模型建立过程中，要忽略空气流动阻力，以 及各种次要的摩擦阻力。这样，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统。 机械系统简化如图2 2 所示。 倒立摆实验系统的设计与研究 图2 2 倒立摆系统受力图 f i g 2 2 f o r c e a n a l y s s o f i n v e r t e d p e n d u l u m 本系统内部各相关参数定义如下： m 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的距离 i 摆杆惯量 f 作用在小车上的力 x 小车位置 f 摆杆与垂直向上方向的夹角 0 摆杆与垂直向下方向的夹角( 考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 图2 3 是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，n 和p 为小车与摆杆相互作用力 的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方 向定义如图，图示方向为矢量正方向。 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 p 到一m l ( 】( 】 图2 3 小车和摆杆的受力分析 f i g 2 3 f o r c e a n a l y s i s o f c a r t a n d p e n d u l u m 应用n e w t o n 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程； 厉+ 城+ 1 f 由摆秆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： 一朋膏+ ，竹f 占c o s 0 一m 1 0 2 s i n o 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： ( 盯+ m f + 6 重+ 肌f 百s 口一， f 占2 s i n o - f( 2 1 ) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得 到下面方程： d 2 雎m g 。- m 录( i c o s o ) 即：p s i n o + n c o s o m g s i n o - m l o + m e c o s 0 力矩平衡方程如下： p l s i n o n l c o s 0 z b 注意：此方程中力矩的方向，由于o - 石+ 九c o s 妒一一c o s o ，s 缸妒- 一s i n o ，故等式前 面有负号。 合并这两个方程，约去p 和，得到第二个运动方程： p + m 1 2 ) 0 + m g l s i n o - - m l 譬c o s o ( 2 2 ) ( 1 ) 微分方程模型 设0 - 石+ 妒，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角妒与1 ( 单位是弧度) 相比很小， 一9 倒立摆实验系统的设计与研究 即妒1 时，则可以进行近似处理；c o s o 1 ，s i n o 一驴，( 为2 o 。为了与控制 理论的表达习惯相统一，a p u 一般表示控制量，用“来代表被控对象的输入力f ，线性 化后得到该系统数学模型的微分方程表达式： 生= - m 2 i 孽- ，m g l 妒：? 反 ( 2 3 ) i ( f + m 弦+ 城一肌f 妒- h ( 2 ) 传递函数模型 对方程组( 2 - 3 ) 进行拉普拉斯变换，得到 ( 1 + m 1 2 ，加( s ) s ，z _ m g l d p ( s ) - m l 譬： ( 2 4 ) l ( 膨+ 扰) 西o 沁2 + b x ( s ) s - m l , t , ( s ) s 2 一球 、7 注意：推导传递函数时假设初始条件为0 。 由于输出为角度妒，求解方程组( 2 4 ) 的第一个方程，n - - j - 以得到 猁- 【学一争 把上式代入方程组( 2 4 ) 的第二个方程，得到 叫生字一母n a 严笋+ 小即吣2 哪， 整理后得到以输入力“为输入量，以摆杆摆角妒为输出量的传递函数： 丝。z 刊。器。习巫互孟巫匠面 g鼋鼋 其中，q 一【( m + 肼) ( ，+ 站2 ) 一( 珑f ) 2 卜 若取小车位移为输出量，可得传递函数： ( i + m 1 2 ) s 2 - m g l 删。器。刁巫甄叁巫菱西 ( 3 ) 状态空间数学模型 由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式： f x - 州r + b u l y - c z + d u 大连理工大学硕士学位论文 方程组( 2 3 ) 对j ，解代数方程，得到如下解： 之_ 竞 j 。了i 函- j ( i j + i f m 丽l z ) b j + m 2 9 1 2 + ( i + m l z ) i ( m + m ) + m m l 2 妒i ( m + m ) + m m l 2 “ 工。了石函j j i f i 五石二芦善+ + “ 妒_ 庐 = 兰! 孟+ 竺垡坚! 粤驴+1 x ( m + 册) + m m l 2，( i m + 拼) + m m l 2 整理后得到系统状态空间方程： o1 0二垡丛望= t ( m + 埘、+ m r a l 2 oo o 币瓦丽- m 丽l b m i n i，( m + 历) + 2 n 刚： 00 0 1 01 0 l m 2 9 1 2 ，( 膨+ 肼) + m r a l 2 o m g l ( m + 掰1 ，( 肼+ m ) + m m l 2非 +l m l 蛾 以上就是一阶倒立摆小车系统的状态空间表达式。 2 3 倒立摆控制算法 2 3 1p l d 控制算法 ( 1 ) p i d 控制原理 在模拟控制系统中，控制器最常用的控制方法是p i d 控制，根据p i d 控制系统原理 框图如图2 4 所示。系统由p i d 控制器和被控对象组成。 图2 4 p i d 原理控制框图 f i g 2 4 肋p r i n c i p l ef r a m e w o r k ：| ；薹 而 。型誊。旦咖 f 一+ 一+ 倒立摆实验系统的设计与研究 p i d 控制器是一种线性控制器，它根据给定值r i n ( c ) 与实际输出值y o u t ) 构成控制偏 差： e r m r ( o - r m ( t ) - - y o u t h ) p i d 的控制规律为： “( t ) - k p 卜( f ) + 知一( f 矽+ 华) 或写成传递函数为： 删- 鬻叶+ 专叫 式中，七。比例系数；瓦积分时间常数；乃积分时间常数。 简单说来，p d 控制器各教正环节的作用如下： 比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号e r r o r ( t ) ，偏差一旦产生，控制器 立即产生控制作用，以减少偏差。 积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积 分时间常数正，巧越大。积分作用越弱，反之则越强。 微分环节：反映偏差信号的变化趋势( 变化速率) ，并能在偏差信号变的太大 之前，在系统中引入一个有效的修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。 ( 2 ) 增量式p i d 控制算法 当执行机构需要的是控制量的增量时，应采用增量式p i d 控制，根据递推原理可得： ( k - 1 ) | 【蝴肚1 ) + 一荟8 r r o r ( j ) + k d ( e r r o r ( k _ 1 ) 一e r r o r ( k 删】 “ ) 一u ( k ) - - l l 僻一1 ) “( 七) b ( e r r o r ( k ) 一e w ( 七一1 ) ) + k t e r r o r ( k ) + k o ( e r r o r ( k ) - 2 e r r o r ( k - 1 ) + e r r o r ( k 一2 ) ) 将上式整理得： 血隹) - 如e r r o r ( k 一2 ) 一如+ 2 k o ) e r r o r ( k 一1 ) + 噼+ 七，+ ) e r r o r ( k ) ( 2 ，5 ) 2 3 2 线性二次型最优控制 已知系统状态方程为： x ( t ) - 魃o ) + b u ( o ( 2 6 ) 要求确定最优控制向量： 大连理工大学硕士学位论文 v ( t ) - - l o ：( t )( 2 7 ) 的矩阵k ，使得性能指标： ，r i 墨7 ( t ) 凹o ) + ，7 0 皿u o ) 扭 ( 2 8 ) 达到最小式中q 是正定( 或正半定) 实对称矩阵，r 是正定实对称矩阵。方程( 2 8 ) 右 边的第一项体现了对系统误差的要求，第二项体现了对控制信号能量损耗的要求，矩阵 q 和r 的相对大小，确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量v ( t ) 是 不受约束的。因此，基于二次型性能指标的最优控制系统的设计归结为确定矩阵置的各 元素。采用二次型最优控制方法的一个优点是除了系统不可控的情况外，所设计的系统 将是稳定的。 经推导，当二次型最优控制问题的性能指标由方程( 2 8 ) 定义时，其最优控制规律是 线性的，并由 v ( t ) 一一积( f ) - r 。1 曰7 麟0 ) 给出。其中最优控制向量 k - r 1 8 7 p( 2 9 ) 矩阵p 必须满足下列方程 彳7 尸+ p a p b r - l b 7 p + q 一0 ( 2 1 0 ) 方程( 2 1 0 ) 称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下： ( 1 ) 解退化矩阵黎卡提方程( 2 。1 0 ) 求出矩阵尸，如果存在正定矩阵以某些系统可能没 有正定矩阵p 系统是稳定的，即矩阵a b k 是稳定矩阵 ( 2 ) 将矩阵p 代入方程( 2 9 ) ，求得的矩阵k 就是最优矩阵。 m a t i a b 有一条命令l q r ，它给出连续时间黎卡提方程的解，并能确定最佳反馈增 益矩阵。 若系统的能控矩阵是满秩的则系统可控；系统的能观矩阵满秩的则系统能观。 着系统是能控能观的。因此可以给系统加上最优控制器使得系统闭环稳定，且满足 暂态性能指标。在运用线性二次型最优控制算法迸行控制器设计时，主要的目的就是获 得反馈向量k 的值。由上一小节的推导知道，设计系统状态反馈控制器时，一个关键的 问题就是二次型性能指标泛函中加权矩阵q 和r 的选取。为了使问题简化及加权矩阵具 有比较明确的物理意义，我们将q 取为对角阵。假设 倒立摆实验系统的设计与研究 q - q l ， o 0 q 0o 00 oo oo 玩o 0 q 4 4 ：r 一【r 】 这样得到的性能指标泛函为 r1 ，一旭1 五2 + 如屯2 + 如b 2 + q “- 2 + 朋2 k 由上式可以看出，玩是对而的平方的加权，幺的相对增加就意味着对而的要求相 对其它状态变量严格，在性能指标中的比重大，五的偏差状态相对减小。r 是对控制量“ 的平方加权，当r 相对较大时，意味着控制费用增加，使得控制能量较小，反馈减弱， 而r 取值较小时，系统控制费用减小，反馈增加，系统动态响应迅速。 考虑到一阶倒立摆系统在运行过程中，主要的被控量为系统的输出量善和矿，因此 在选取加权对角阵q 的各元素值时，由于珐，代表小车位置的权重，而q 是摆杆角度的 权重，所以只选取q l 。、如，而q 。一q 。0 。 选取q 和r 时需要注意的几个方面： ( 1 ) 由于我们采用的系统模型是线性化的结果，为使系统各个状态量能够在线性范 围工作，要求各状态量不应过大。 ( 2 ) 闭环系统最好能有一对共轭复数极点，这样有利于克服系统的非线性摩擦，但 系统主导极点的模不应太大以免系统频带过宽，使得系统对噪声过于敏感，以致系统不 能正常工作。 ( 3 ) 加权矩阵r 的减小，会导致大的控制能量，应注意控制u 的大小，不要超过系 统执行机构的能力，使得放大器处于饱和状态。 控制系统如图2 5 所示，图中r 是施加在小车上的阶跃输入，四个状态量x 、j 、妒 和分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆杆角速度，输出) ，一k 妒j 包括小车位 置和摆杆角度。我们要设计一个控制器，使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆 动，然后仍然回到垂直位置，小车到达新的命令位置。 大连理工大学硕士学位论文 图2 5 最优控制系统框图 f i g 2 51 i n e a rq u a d r a t i co p t i n i a lc o n t r o ls y s t e mf r a m e w o r k 2 4 倒立摆基于m a t l a b s i m u i n k 的仿真 s i m u l i n k 是一种用来实现计算机仿真的软件工具。它是m a t l a b 的一个附加组件， 可以用于实现各种动态系统( 包括连续系统、离散系统和混合系统) 的建模、分析和仿 真。s i m u l i n k 的特点是易学易用，能够依托m a t l a b 提供的丰富的仿真资源。 2 4 1 系统模型的建立 根据第二节中推导的数学公式在s i m u l i n k 中建立系统的模型。为了使系统模型更加 简捷和具有高的可读性；子系统可以反复调用，节省建模时间，同时将所建模型封装成 子系统，定义名称为i n v e r t e dp e n d u l u m ，如下图2 6 所示。 倒立摆实验系统的设计与研究 图2 6s h n u l n k 中系统模型框图 f i g 2 6s y s t e mm o d e lf r a m e w o r ki ns i m u l i n k 2 4 2 仿真分析 利用上一节所生成的子系统来构件控制系统，系统使用l q r 控制。系统控制框图 如图2 7 所示： 图2 7 l o r 控制仿真框图 大连理工大学硕士学位论文 系统的初始状态为晚- 1 0 。，五- o ，而- 0 ，南- o 。依次改变小车质量、摆杆质 量和摆杆杆长度，得到小车的质量、摆的质量对系统控制性能的影响趋势是一致的，随 着参数数值的增加，过渡过程延长，小车的摆动幅度加大，系统的稳定性降低，所需平 均控制力增加。但小车的质量对系统的性能影响明显，摆的质量影响较小。摆杆太短或 太长都不利于系统的稳定，当摆杆从o 5 米变化到1 5 米时，系统过渡过程逐渐缩短， 从1 5 米到2 米，系统过渡过程增加；随着摆秆的增加，摆和小车的摆动幅度都加大。 所以，在设计过程中，小车质量不超过1 5 千克，摆杆质量不超过0 2 千克，长度 不超过1 米。 倒立摆实验系统的设计与研究 3 虚拟样机技术在倒立摆设计中的应用 虚拟样机技术是指在产品设计开发过程中，将分散的零部件设计和分析技术( 指在 某单一系统中零部件的c a d 和f 队技术) 糅合在一起，在计算机上建造出产品的整体 模型，并针对该产品在投入使用后的各种工况进行仿真分析，预测产品的整体性能，进 而改进产品设计、提高产品性能的一种新技术p 1 1 。 虚拟样机技术在工程中的应用是通过界面友好、功能强大、性能稳定的商业软件实 现的。比较有影响的有美国机械动力学公司的a d a m s 软件，c a d s i 的d a d s 软件， 德国航天局的s i m p a c k 。其中a d a m s 占据了市场的5 0 以上的份额【3 2 1 。所以本文选 用a d a m s 软件作为系统虚拟样机中运动学和动力学建模与仿真平台。a d a m s 具有快 速简便的建模功能，但是针对一些复杂的机械系统，它的实体建模功能就显出不足。对 于复杂的机械结构可以应用专业的三维造型软件u g 、p r o e 、i d e a - s 、s o l i d e w o r k s 等建立三维实体模型，通过各软件之间的接口以一定格式导入a d a m s 软件中进行仿真 分析。在三维软件中本文选择操作相对简单的s o l i d w o r k s 软件。对于复杂的电子控制系 统仅依靠a d a m s 软件自身也是很难建立精确的模型进行仿真分析。而 a d a m s c o n r t o l s 提供了与控制系统软件m a a b ，s i m u l i n k 接口功能，利用 m a n a b 可以把机械系统仿真与控制系统仿真有机的结合起来，以实现对复杂系统可 靠的仿真。本文选择m n b s i m u l i n k 做系统的控制部分仿真。 3 1 倒立摆机械系统的设计 3 1 1 $ o li d w o r k s 软件简介 s o l i d w o r k s 软件是世界上第一个基于w i n d o w s 开发的三维c a d 系统。s o l i d w o r k s 软件本身的功能就非常强大，再加上有许多公司开发的插件对它的支持，使其功能在很 多方面得到了扩展，这里简单介绍几个常用的功能： ( 1 ) t o p d o w n ( 自顶向下) 自顶向下的设计是指在装配过程环境下进行相关设计子部件的能力，不仅做到尺寸 参数全相关，而且实现几何形状、零部件之间全自动完全相关，并且为设计者提供完全 一致的界面和命令进行全自动的相关设计环境。 ( 2 ) d o w n t o p ( 自下而上) 自下而上的设计是指在用户先定义好产品的各个零部件后，运用装配关系把各个零 部件组合成产品的设计能力，在装配关系定制好之后，不仅作到尺寸参数全相关，并且 为设计者提供完全一致的截面和命令进行全自动的相关设计环境。 大连理工大学硕士学位论文 ( 3 ) 零部件镜像 s o l i d w o r k s 中提供了零部件的镜像功能，不仅镜像零部件的几何外形，而且包括产 品结构和装配条件，还可根据实际需要区分是简单的拷贝还是自动生成零部件的对称 件这一功能大大节约了设计时间，提高了设计效率。 “) 装配特征 s o l i d w o r k s 提供完善的产品级的装配特征功能，以便创建和记录特定的装配体设计 过程。实际设计中，根据设计意图有许多特征是在装配环境下在装配操作发生后才能生 成的，设零件无需考虑的。在产品的装配图作好之后，零件之间进行配合加工，比如： 零件焊接、切除、打孔等功能。s o l i d w o r k s 支持大装配的装配模式，拥有干涉检查、产 品的简单运动仿真、编辑装配体透明的功能 ( 5 ) 工程图 s o l i d w o r k s 提供全相关的产品级二维工程图，显示世界中的产品可能由成千上零件 组成，其工程图的生成至关重要，其速度和效率是各3 d 软件均要面临的问题。s o l i d w o r k s 采用了生成快速工程图的手段，使得超大型装配体的工程图的生成和标注也交得非常快 捷。s o l i d w o r k s 可以允许二维工程图暂时与三维模型脱离关系，所有标注可以在没有三 维模型的状态下添加，同时用户又可以随时将二维工程图和三维模型同步。从而大大加 速工程图的生成过程。 。 。 同时s o l i d w o r k s 提供了g b 标注标准，可以生成符合国内企业需要的工程图，用于 指导生产。 3 1 2 机械部分总体设计 为了使倒立摆机械部分的质量尽可能轻，设计中大部分零件材料选用铝合金6 0 6 1 。 因为铝合金6 0 6 1 在铝中加入了镁和矽等元素，使非常软的纯铝在硬度和张力强度上有 了很大提高，但密度没有增加。倒立摆机械部分分成以下三部分：小车部分、支架音b 分、 传动部分。下表是倒立摆机械部分主要零件选用材料密度和质量的如表3 , 1 所示。主要 部分的工程图见工程图见附录a 。 倒立摆实验系统的设计与研究 表3 1 机械系统零件列表 t a b 3 1p a r t so f m e c h a n i c a ls y s t e m 编号零件名称 材料 密度( g 聊行3 ) 个数 质量( g ) 小车部分 l摆杆轴承座铝合金6 0 6 l o 0 0 2 7l2 1 0 4 0 2转轴普通碳钢 0 0 0 7 8 1 8 3 2 9 3 滚动轴承套桶 铝合金6 0 6 1 0 0 0 2 712 4 2 8 4小车连接板铝合金6 0 6 1 0 0 0 2 712 7 8 6 2 5 直线轴承座 铝合金6 0