（流体力学专业论文）自由射流界面稳定性研究.pdf

上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 摘要 喷射成型作为一项先进的金属加丁工艺，雾化是实现该工艺的重要物理过程，雾化喷嘴 的设计对产品的质量有关键的作用。本文调研了现有的喷射雾化喷嘴的结构和设计，总结了 影响喷嘴设计的若干力学原则。在此基础上，从流动稳定性理论的角度研究了速度剖面形状 和速度脉动对自由射流界面稳定性影响。 本文用流体力学基本原理应用外边界为无穷远的粘性同轴液体射流和气体射流的物理 模型，用c h e b y s h e v 谱配置法对稳定性问题进行了研究。主要工作分为两部分，其一是对 于基本流为定常流的情况，着重分析了气液流动中不同的压力梯度比对射流剖面形状和流动 稳定性特征的影响。结果表明随着气液压力梯度比的增大，剪切层厚度变小，导致扰动增长 率及其相对应的扰动波数变大；其二是考虑了有周期脉动的基本流动，考察了流场中的参数 共振问题，用f l o q u e t 定理研究了粘性、压力梯度比、脉动频率等因素与扰动增长率的关系。 根据作者的调研目前还未见用c h e b y s h e v 配置法结合f l o q u e t 定理研究有周期脉动射流稳 定性的文献报道。 关键词：喷射成形 稳定性参数振动 c h e b y s h e y 配点法f l o q u e t 定理 圭蔓查兰圭塑塑焦望壑兰塑垄堂堑塞堑堕主兰堡堡苎! a b s t r a c t s p r a yf o r m i n g i sa na d v a n c e d m e t a l w o r k i n g ，i n w h i c h s p r a y a t o m i z a t i o ni sa ni m p o r t a n tp h y s i c a lp r o c e s st o i m p l e m e n tt h et e c h n i c s t h e d e s i g no f t h en o z z l ep l a y sak e yr o l ei nt h eq u a l i t yo f t h e p r o d u c t i n t h i sa r t i c l e ，w ei n v e s t i g a t e dt h es t r u c t u r ea n dt h e d e s i g no f c u r r e n tn o z z l e s ， s u m m a r i z e ds o m em e c h a n i c a lp r i n c i p l e sw h i c he f f e c tt h ed e s i g no ft h e n o z z l e s f u r t h e r m o r e ，o nt h e b a s i so ft h e t h e o r yo ff l o ws t a b i l i t y , w e a n a l y z e dt h ei n f l u e n c et h ev e l o c i t yp r o f i l e sa n dp u l s a t i n gv e l o c i t yh a v e o nt h ef r e e j e ti n t e r r a c i a ls t a b i l i t y i nt h i s t h e s i s ，b a s e do nf l u i dd y n a m i c sf u n d a m e n t a l ，w es e tu pa p h y s i c a lm o d e lo f c o a x i a lv i s c o u sf l u i dj e ta n dg a sj e tw i t hi n f i n i t ef a r o u t e rb o u n d a r i e sa n ds o l v e dt h ei n s t a b i l i t yp r o b l e mt h r o u g hc h e b y s h e v c o l l o c a t i o nm e t h o d o u rm a i nw o r kc o n s i s t e do ft w os e g m e n t s f i r s t ， c o n s i d e r i n gt h eb a s i cf l o wi ss t e a d y , w ep u te m p h a s i so nt h ea n a l y s i so f t h ei n f l u e n c eo ft h ev a r i o u sg a s l i q u i dp r e s s u r eg r a d i e n tr a t i oh a so nt h e s h a p eo ft h ej e tp r o f i l ea n dt h ec h a r a c t e r i s t i co ff l o ws t a b i l i t y r e s u l t s s h o wt h a tw h e nt h e g a s - l i q u i dp r e s s u r eg r a d i e n t r a t i o i n c r e a s e s ，t h e t h i c k n e s so ft h es h e a rl a y e rw i l ld e c r e a s e ，w h i c hc a u s et h eg r o w t hr a t eo f t h ed i s t u r b a n c et oi n c r e a s ea n dt h ec o r r e s p o n d i n gw a v en u m b e ro ft h e d i s t u r b a n c et o g r o w s e c o n d ，c o n s i d e r i n g ab a s i cf l o ww i t hp e r i o d i c p u l s a t i o n ，w ed i s c u s s e d t h ei s s u eo f p a r a m e t r i cr e s o n a n c ei nt h ef l o w f i e l d a p p l y i n gt h ef l o q u e tt h e o r y , w ea n a l y z e dt h er e l a t i o nb e t w e e nv i s c i d i t y ， 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 p r e s s u r eg r a d i e n tr a t i o ，p u l s a t i o nf r e q u e n c ya n dp u l s a t i o ng r o w t hr a t e a c c o r d i n g t oo u r i n v e s t i g a t i o n ，t h er e s e a r c ho nt h es t a b i l i t yo f a j e tw i t h p e r i o d i cp u l s a t i o na p p l y i n gc h e b y s h e vc o l l o c a t i o nm e t h o da n df l o q u e t t h e o r yh a s n o tb e e n r e p o r t e d u n t i ln o w k e yw o r d ：s p r a yf o rm 心i gs t a b i l i t y p a r a m e t r i cr e s o n a n c e f l o q u e t t h e o r y c e c h e b y s h e vc o l l o c a t i o nm 匝t h o d 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：每样日期2 堕匆：卸 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 酶翠翩魏喇曰期 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 第一章绪论 喷射成形是近二、三十年发展起来的一项先进的金属加工技术。它的基本物理过程是， 液态熔融金属在高速气体的作用下，快速雾化形成直径很小的液滴，液滴在飞行过程中冷却， r 1 1 并最终在某种形状的固体衬底上凝固成形( 图1 ) 。这项技术由s i n g e r 教授提出后”。，经包 括英国o s p r e y m e t a l 公司在内的许多公司和高校的研究，已经达到了工业化生产水平，其产 品广泛应用于航空、航天、国防等领域。与传统的冶金加工技术相比，喷射成形是一项近终 形和半固态加工技术。用该技术制备的快速凝固材料有一系列优点“1 。因此它已纳入国家 8 6 3 计划研究范围。本文在对影响喷嘴设计的力学原则的调研的基础上，用流动稳定性理论 研究了气液两相射流雾化过程中的界面波的失稳问题。 1 1 喷嘴设计中影响雾化质量的力学参数 雾化是喷射成形中的重要过程，它是通过喷嘴这个关键核心部件实现的。张瑕和周哲玮 。“曾对喷射雾化中各阶段的主要物理过程和液滴破碎的机理进行了介绍。现有的雾化喷嘴主 要分为开式和闭式两种。在开式喷嘴中，液态金属在与雾化气体射流作用以前，将依靠重力 图1 自由下落一段距离。对于闭式喷嘴，金属在 出口处真接进行雾化，获得的液滴直径也更 小，分布更均匀，雾化效率更高。但是，由 于高温金属液体在喷嘴出口处被低温的雾 化气体冷却，可能导致金属的凝固。目前闭 式喷嘴还只用于低熔点材料，且金属流速不 能太高，生产效率低。另外，当我们增大气 体压力进而增加气流速度以期达到较好 的雾化效果时，气体可能在金属流出口处的 l s 下方抽吸区( a s p i r a t i o nr e g i m e ) 会产生 正背压，阻碍液态金属下流，或出现回流和 反喷现象，甚至导致完全阻塞。这极大地影 响了喷嘴工作的可靠性，限制了这项技术的 运用。喷射雾化后微滴的质量与许多因素 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 2 有关，考虑到雾化介质与金属液流相互作用的实质，既有物理机械作用，又有物理化学变化， 高速的雾化介质，既是金属液流破碎的动力，同时在一定程度上也是金属液流的冷却剂。雾 化介质与金属液流之间既有能量交换，又有热量交换。因而喷射雾化过程十分复杂。正是由 于雾化过程的复杂性有关喷射雾化工艺中的关键设备一一喷嘴的设计理论还十分缺乏。基 于这些现状，且考虑目前国内尚不具备雾化喷嘴的设计能力，作者调研了目前国际上现有的 各种类型的喷嘴专利，分析了影响雾化质量的力学参数， 1 1 1 外加扰动 研究发现，脉动的雾化气流将使雾化液滴的直径更小，分布更均匀。产生脉动的方法有很 多种，超音速雾化技术( u s g a ) 就是其中之一。人们还发现如果超音速雾化增加了h a r t m a n 激 波装置( 如图2 ) 可使得高压气体加速成为伴有高频脉动的超音速气流，气体马赫数为 2 - 2 5 ，脉动频率为1 0 5 左右。这种应用h a r t m a n 原理的雾化喷嘴在瑞典设计完成，在近年 g a s u i t r a s o n i cr e s o l 3 a r c ec a v i t i e s 图2 来得到了广泛的应用。这种 设计可使得铝粉粒径为 2 2 p m 左右，铜粉粒径为2 0 p m 左右。又如美国专利 4 5 7 5 3 2 5 通过在喷嘴的出口 处增加一共振腔来增加雾 化效果 1 1 2 液态金属的表面张力( 液态金属的过热度) 考虑气液两相射流的稳定性问题，对于不同的流动参数，流场中可能存在两种不同的稳 定性机制，即由表面张力引起的不稳定和由气液射流速度差引起的剪切不稳定。当表面张力 的作用大f 剪切不稳定所起的作用时，流动的不稳定波长和射流直径是同数量级的，表现为 长波不稳定，称为r a y l ej g h 模态；当气液速度差增大，剪切不稳定占优不稳定波长与射 流直径相比很小，即我们关心的雾化状态，称为t a y l o r 模态。在t a y l o r 模态占优时，表面 张力对雾化起着消极的影响，因此如何在雾化过程中降低表面张力是优化雾化质量的一条思 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 路。由于表面张力通常随温度的升高而降低，因此在某些专利中( u s ap a t e n t6 3 9 8 1 2 5 ) 通 过把金属液体加热到很高的温度以降低表面张力，达到降低雾化颗粒大小，提高雾化质量的 效果。这种方法有可能制备纳米尺度的金属粉末。 1 1 3 雾化气体的压力 气体压力在雾化过程中所起的作用非常复杂。在一定条件下，随着雾化压力的增加，气体 的速度越大，用于雾化的能量越大，液态金属越容易被雾化成较细的微粒。但试验发现，过高 的气体压力又会产生负面影响：因为在雾化过程中雾化气体会在金属流出口处的下方会产生 一个背压，这一背压有两个作用：( 1 ) 在雾化过程中引起雾化粒子飞溅阻碍进一步雾化从而 使雾化粒子变得粗糙和不规则。( 2 ) 背压会影响雾化速度并阻碍液态金属下流。严重的还会 引起金属流完全阻塞。囡而在实际设计中可以通过在雾化喷嘴的上方加一个可以调节压力的 控制喷嘴，用来控制背压和雾化喷嘴的雾化强度和方向( 如u s ap a t e n t5 9 9 3 5 0 9 ) 1 1 4 雾化气体的速度 液体雾化的物理本质实际上是气体动能转化为液体表面能的过程。当液态金属被气体雾 化成液滴时，破碎后小液滴的表面积之和比原来的表面积要大，故总的表面能将增加，这些增 加的表面就来t l 雾化气体的动能，因而在一定条件下，雾化气体速度越大，雾化液滴平均直径 越小。如美国专利4 7 8 0 1 3 0 。随着气体雾化技术的发展超音速气体雾化技术( u s o a ) 被广泛 运用。专利6 0 0 1 4 2 6 ，4 6 3 1 0 1 3 和4 0 6 6 1 1 7 都采用了超音速雾化技术。在专利6 4 8 1 6 3 8 中还 采用了一种叫l a v a l 型的喷嘴，它是一个横截面为长方形现收缩后扩张喷嘴，专门用来雾化 长方形薄膜状金属流。专利4 3 7 0 5 3 8 还采用二次雾化技术，第一次用低速等离子气流将金属 熔化并雾化成液滴，第二次用高速气流雾化并喷涂 1 1 5 液态金属与雾化气体的质量比m g 研究表明在一定条件下，较低的金属与气体质量比( m g ) 能提高直径4 、的金属粉末的比 例因为随着金属质量流量的增加，为了保持金属粉末的直径较小，它要求雾化气体的质量流 量相应增加例如美国专利3 9 8 8 0 8 4 。就利用高速气流雾化金属流薄膜，来达到较好的雾化 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 效果。 为了设计出更有效的喷嘴和对实验进行正确的指导，我们就非常有必要对喷射雾化机 理进行理论研究，虽然喷射雾化的机理十分复杂，牵涉到多学科，但我们可以通过对实际问 题的合理简化，抓住主要问题建立理论模型以进行研究。总的说来，喷射雾化可以简化为射 流稳定性问题，我们可以借助射流稳定性理论来研究达一课题。 1 2 射流稳定性的研究回顾 人们对于射流稳定性的研究已经有一百多年的历史了。随着实验手段的不断进步和理 论研究的日趋成熟，人们对射流破碎的机理有了一定的认识，但由于其演化和破碎机理相当 复杂，影响稳定性的参数较多，对其机理还需要进一步的研究和探讨。 射流的稳定性研究最早要追溯到十九世纪三十年代，b i d o n e ( 1 8 2 9 ) t 4 1 和s a v a r t ( 1 8 3 3 ) 吲 最早对射流现象进行了观察：b i d o n e 考虑了非柱状射流入射的几何形状，而s a r a n 则最早提 供了有关射流破碎的定量结果s a v a r t 的数据表明如果射流的直径保持不变的话，射流的连续 长度与射流的速度成正比，他还观察到对于速度恒定的射流，射流的连续长度正比于其直径 早期的射流实验研究大多以雷诺数作为参数。 p l a t e a u 【( 1 8 4 5 ) 6 j 的工作被认为是最早对射流不稳定性的理论研究他研究认为，如果柱状 流体的长度超过其横截面周长就会产生不稳定，在总体积守恒条件下如果初始柱体的表面积 大于所分裂的两个液体球的表面积，则柱体会分裂为两个液滴 最初人们对射流理论上的认识几乎都是建立在线性稳定性分析的基础上的，在无粘条件 fr a y l e i g h ( 18 7 8 ) 最早采用线性稳定性理论来预测低速射流的破碎。r a y l e i g h 对无限长自 由射流入射空气的模型作了小扰动分析胞认为最快增长的表面波导致了射流的破碎* 艮据他 的理论，获得了一个液滴粒径的估计式d = 1 8 9 d 。( d o 为喷嘴直径) w e b e r ( 1 9 3 1 ) 在r a y l e i g h ( 1 盯8 ) 的基础上考虑了流体粘性的作用，给出了他的最快增长 波波长的计算式a = - 压z r - d o ( 1 + 3 0 h ) j ，其中如2 石磊等万为o h n e s o r g e 数在一个波长 的体积形成一个液滴的理想情况下，则w e b e r 的式子变为d = i ：动7 3 d 0 2 1 3 不过即使是在严 上海大学 上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 格的控制下，大的液滴之间也会形成较小的卫星液滴，因此实际产生大液滴的粒径应小于上式 的估计值w e b e r 还发现空气的摩擦使得扰动波长变短，h a e n l i e n ( j 9 3 2 ) 的实验证明了w e b e r 的 理论 t y l e r ( 19 3 3 ) 9 1 测量了液滴的频率，并假设其与扰动的波长有关，他假设所得的液滴大小 相等、破碎前后总体积守恒，射流的破碎是由最快增长波造成，得到d = 1 9 2 a o 从丽他得出 圆柱射流是在最大不稳定波的条件下破碎，从而验证了r a y l e i 曲理论的正确性 t o m o t i k a ( 1 9 3 5 ) 1 0 将r a y l e i g h 的稳定性分析拓展到了粘性圆柱流问题，他获得了一个十 分复杂的一般特征关系式，他只求解了一些非常特殊的情形。而后这个关系式首先由m e i s t e s c h e e i e ( 1 9 6 7 ) 1 数值求解并进行了分析，他的研究概括了一些前人的工作，如 w e b e r ( 1 9 1 3 ) 1 2 的粘性流体入射气体和c h r i s t i a n s e n & h i x s o n ( 1 9 5 7 ) 无粘流体入射无粘流 体的工作等，k i n e s h i t a , e t a 1 ( 1 9 9 4 ) 1 对t b m o t i k a 的方程作了简单的处理，获得了可以适用于 气体液体或液体液体射流破碎的显式方程t e n g ，e t a 1 ( 1 9 9 5 ) 在对k i n e s h i t a e t a 1 在稳定性 理论分析的基础上建立了柱射流破碎粒径的简单公式：丢= ( ；( - + z i ，其中凶为喷 嘴直径，z = 篙；第为变形的。h e s 。唱e 数这个公式可以适用于低速气体一液体或液体- 液体的牛顿或非牛顿流体 r e y n o l d s ”“( 1 9 6 2 ) 进行了轴对称的染色的水射流进入水槽的实验，他根据流动的特征 将流动按雷诺数的大小分为四种类型：1 ) 1 0 r e 3 0 时，流动保持原来的状态；2 ) 3 0 r e 1 5 0 时，会产生轴对称的挤压( c o n d e n s a t i o n ) 现象；3 ) 1 5 0 r e 3 0 0 时，流动将会变得混乱，甚至是在喷嘴处就开始 混乱。但是后来l l e n d o r f 和g e b h a r t ”7 1 ( 1 9 7 3 ) 的进一步研究发现，r e y n o l d 提出的轴对称 挤压是由于实验仪器本身所产生的扰动造成的： 上世纪8 0 年代以前，人们对射流入射到真空或无粘流体的射流稳定性作了比较广泛的实 验和理论研究，但早期对射流问题的研究集中在：1 ) 射流的连续长度；2 ) 液滴的尺寸( 它与最 不稳定波的波长有关) 两方面，对于射流的破碎机理的研究相对较少。 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 6 到了上世纪八十年代以后，随着科学技术的进步，研究方法的更新，计算机技术的飞速 发展，人们对射流稳定性的机理进行了更为深入和广泛的研究。人们试着建立气液双流体模 型来研究粘性流体的稳定性。 h u e r r e 和m o n k e w i t z ( 1 9 8 5 ) t 18 】认为，对于各向同性、不可压缩射流、空间演化的混合层 具有对流不稳定性的特征，因此，射流很容易受到周围各种扰动的干扰而产生不稳定。而外 界的干扰随实验条件的差别而不同。然而，从已有的实验结果我们可以得出在低雷诺数 r e i 雾化气体 图2 1 ：理论模型示意图 z 我们考虑无穷域轴对称的内部为圆柱形液体射流而周围是气体射流的模型( 如图2 1 所 示) ，假设液体和气体均有粘不可压，则控制方程为 v 矿 = p 。西一即，+ ，v 2 矿 【2 1 ) 其中i = 1 , 2 分别代表液体和气体。矿、n 、p ，、“( f = 1 , 2 ) 分别代表液体和气体的速度 矢量、密度、压力和动力学粘性系数：r 表示时间；g 表示重力加速度；i 表示轴向单位矢 l o 相应的界面条件为 r = 0 处，满足轴对称条件 ( 2 2 ) 一k + d 悟昏 p v 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 _ ，：掣：挚：o c 矿d r 2 ) 在r = 日处的界面条件为 相容条件：鲁= _ ，一巧：警= ，一玛= 磐 切向速度连续：巧：= 心： 法向速度连续：巧，= 吒， 动力学边界条件 切向黼，f t 警+ 警 - 胁( 警+ 警 o z钟jo z o r i 法却，警一( p 2 - 2 a 2 批a r l 仃b 刳= 。 3 ) 在，= 处，满足以下边界条件 ，：攀：挚：d 卯o r 其中，、( f = ，2 ) 分别为液体和气体在径向、法向的速度分量；r 、z 分别为径向、 轴向坐标：f 为时间：r 为界面的径向坐标：盯为表面张力系数；r ，、r ? 为界面上的主 曲率半径。 2 2 小扰动方程的推导 将流动变量写成基本流加小扰动的形式，即 矿= 露+ 矿p 。= e + p ：r = 彳+ 矿 其中矿，芦，7 代表基本流，矿，p ，町7 代表小扰动最，i = 1 , 2 分别代表液体和气体。 一= 假设基本流为轴对称柱状流，可表示为：= ( 0 ，o ，w t p ) ) ! ：塑查堂占童堕生旦墼兰塑查兰堑塞墅堕主堂垡堡塞 旦 将基本流加小扰动代入控制方程( 2 】) 和边界条件( 22 ) ，并关于小扰动线性化，得轴对称 情况下小扰动满足的方程： 警研v 露+ 露v 耻一去吣叩研 l v 巧= 0 警吩v 或+ 或v 睁去吣叩2 唬 i vr = 0 1 1 ，= 0 处 麒警+ 警+ 等帕：陪+ 等+ 簪玎， 小。，警一( 小：等) + 盯h 害) = 。 3 1 在r = c 。处 v ；? ：y ；z ：婆：o 钟 ( 2 - 3 ) ( 24 ) ( 2 5 ) 设气液速度差为特征速度、液体射流半径聍为特征长度，将时间、压力、速度矢量、 o 邓一a 划 。哮 争 哮啊 粤一和 嘭 型函 ， 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 坐标分别无量纲化 忙警胪劳旷= 等( ，玎) 机。爿) ，口 无量纲参数有 r g ：p i w a 厅：壁耽；p l w 2 aq ：笠r ：里：丝 “ign(9-p| r r “l 其中r p 为雷诺数，厅为弗罗得数，耽为韦伯数，q 为气液密度比，r 为雷诺数与弗罗 得数之比，为气液动力学粘性系数比。 无量纲化后方程化为 盟+m盟=一亟+一10to zo rr e v 2 露， - j 孥o t 矾婴o r + 警= 一拿o z + 去v 2 k ：0 譬 k e v 旷：0 监o t + 盟o z = 一吉亟o r + 上r e 盟q v 2 兄， o “ 警峨等+ 警= 毛警+ 去苦v 2 k ： v 吃= 0 界面条件为 1 ) r = 0 处 _ ，：擎：挚：o o ro r 2 1 ，= ，处 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 上海大学上邂堕堕旦塑字和在堂婴塞堕硕上掌篁堡塞旦 鲁巩叱暑 k ：+ 华叩 d r ：+ _ d w 2 卵 d r v l ? = v 17 c 警+ 警+ 警加( 警+ 警+ 簪司 旷三r e 监o r 一卜等警 + 孙+ 参 = 。 3 ) 在r = o o 处 ”警= a 打p _ z = o卯泖 2 3 小结： 本章介绍了通过流体力学基本原理建立的外边界为无穷域气体，中间为同轴轴对称液 体射流的双流体模型，利用线性稳定性理论，将基本流加小扰动代入方程和边界条件并对于 小扰动进行线性化，在轴对称条件下得到了一组关于小扰动的方程和边界条件。 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 第三章c h e b y s h e v 配点法 本章主要介绍谱方法中的c h e b y s h e v 配点法，为下面运用该方法分析射流的稳定性作准备。3 1 节 我们首先介绍函数的c b e b y s h e v 多项式展开。并介绍求函数导数的方法和公式。在3 2 节介绍了两种针 对币同实际情况的坐标变换线性变换和非线性变换33 节我们介绍了柱坐标系中配点法对边界条 件的处理并针对柱坐标系中在r = 0 处存在坐标奇异性问题介绍了解决坐标奇异性的方法。 3 1 谱方法简介 谱方法起源于r i t z - g a l e r k i n 方法，它包括以正交多项式( 如三角多项式、c h e b y s h e v 多 项式、l e g e n d r e 多项式等，它们分别是正则和奇异s t u r m l i o u v i l l e 问题的谱函数) 作为基函 数的g a l e r k i n 方法、t a u 方法、或配置法。它们分别称为谱方法、t a u 方法、或拟谱方法( 配 点法) ，统称为谱方法。 谱方法的最大优势是它具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么 用适当的谱方法所求得的近似解将以n 。的任意幂次速度收敛于精确解这里n 为所选取 的基函数展开式项数。这一优点是有限差分法和打靶法无法比拟的。众多的实际应片j 和数值 实例也证实了该方法的有效性。因而谱方法日益受到人们的重视。 下面我们将简单地介绍一下c h e b y s h e v 配点法，关于这一方法的更详细地讨论可以参考 向新民编著的“谱方法的数值分析”( 2 0 0 0 ，科学出版社) 4 9 1 。 设巧( z ) = c o s ( n c o s 1 扛) ) 是定义在区间 一1 ，1 】上的c h e b y s h e v 多项式，则函数，( x ，) 可以表示为： f g ) = q 巧g ) 其中口，被称为离散多项式系数，且a ，与f g ) 间满足关系 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ptg 砖 0 f 。 ，一乃 一一 d 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 其中为配置点，y j 为正规因子( n o n n a l i z a l i o n f a c t o r ) ，_ 为权函数。 上e 规因子，满足 ( 3 3 ) 下面考虑离散的c h e b y s h e v 多项式，对于不同的g a u s s 求积公式有不同的配置点和权函数。 ( 1 ) c h e b y s h e v g a u s s x 。：c d 5 ( 2 k + 1 ) z ，w ，：旦， 七：o 机2 伽百再丁。j 而 忙“ ( 2 ) c h e b y s h e v - g a u s s - r a d a u 2 k z 。2 。0 5 j 而 c h e b y s h e v g a u s s l o b a t t o j ! 女；0 ： l ”i v ：t i 。 ( 3 5 ) 驴1 彘胚 3 卸 庀石 札叫万 w l2 闭而有正规因子n 满足 = 乏c i 。j ( n ，= t 万， 对于g a u s s 和g a u s s - r a d a u 公式 h = 疗， 对于g a u s s - l o b a t t o 公式 ( 一，) ( 3 6 ) kg巧 。 = n v 1 时，它的解的振幅是随时间增长的。 对于本文所形成的配置方程 m 譬：( b + c o s s c o s 甜+ s i n n s i n 甜) 妒 西 、“ 根据f l o q u e t 定理，一定存在一个常数矩阵r ，对于所有的t 满足： s ( t + r ) = r s ( t ) 其中t 是周期，s 是基本解矩阵满足 m s = ( b + c o s s c o s o x + s i n n s i n o x ) s ( 5 2 7 ) 而且假如矩阵r 的特征值是丑( i = 1 , 2 ，m ) ，则( 5 2 5 ) 的解可以写作 仍= e r , t z 。( r ) ，其中z ，( f ) = z ，( f + r ) 上式中y ，称为特征指数，它与特征值五的相依关系是 一：当1 n 丑 这样，为了求y 。我们必须先求r 。由( 5 2 6 ) 得到 s ( r ) = r e ( o ) 因此，r 可以通过在s ( 0 ) = ，( 堤单位矩阵) 下，积分( 5 2 7 ) 一个周期得到。这样方程 的稳定性就由九的符号所决定，如果一的实部为止，则基本流是线性不稳定- 如果一的实 部为负，则基本流是稳定。如果九的实部为0 ，则基本流为中性稳定。 上海大学 上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 4 2 5 5 数值计算 在考察参数变化对射流稳定性的影响之前，我们还需要先讨论一下几个数值计算方面的 问题：数值的收敛性，外部计算区域对计算结果有无影响和坐标变换的选择。 5 5 1 数值收敛算例 f 表是我们利用本文的理论模型在一组特定参数w e = 4 8 9 8 1 0 4n = 3 3 3 3 1 0 5 r e = 3 7 7 0 8 1 0 4 ，f r = 4 1 7 8 7 1 05 ，d v = 9 0 5 ，0 9 = 0 5 1 0 5 下针对内部液体和外部气 体不同展开项数计算得到特征根 。表5 1 中我们取最大a 的模为，相应的实部为“、 虚部为“。数值收敛性结果如表5 1 表5 1 m lm 2 ，芦。 3 05 01 0 0 0 4 6 41 0 0 0 4 5 47 1 8 5 8 e 一0 0 7 4 06 01 0 0 0 4 4 51 0 0 0 4 4 572 3 2 3 e - 0 0 7 5 07 0 1 0 0 0 4 4 51 0 0 0 4 4 57 1 7 9 2 e - 0 0 7 6 08 01 0 0 0 4 4 41 0 0 0 4 4 47 1 9 8 5 e 一0 0 7 7 01 1 01 0 0 0 4 4 41 0 0 0 4 4 47 1 9 8 9 e 一0 0 7 r e = 3 7 7 0 8 ，f r = 4 1 7 8 7 0 ，n = o0 0 0 0 3 3 3 ，q = o 0 0 0 2 l = i 0 1 3 ，c = 9 1 ，k = l ，p = 5 ，0 9 = 0 5 1 0 5 从上表我们可以看出若选取足够的展开项数，本文的数值计算结果收敛性还是比较好 的。另外考虑到下文我们的计算结果要与文献 3 5 的结果进行比较，我们在进行收敛性测试 时采用了与文献 3 5 相同的物理参数。在以后的计算中我们也将采用这些参数。 55 2 外部计算区域r m a x 对计算结果的影响 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文4 3 由于我们的理论模型是外部气体为无穷域问题但事实上数值计算中外部计算区域的数 值总是有限的，因此我们有必要考察外部计算区域的变化对计算结果的影响。结果如袁5 2 ： 表5 2 m lm 2r m a x ，。 6 08 01 01 0 0 0 4 4 47 1 9 8 8 e 一0 0 7 6 08 02 01 0 0 0 4 4 47 1 9 8 5 e 一0 0 7 6 08 03 01 0 0 0 4 4 47 1 9 8 8 e 一0 0 7 6 08 05 0i 0 0 0 4 4 471 9 8 9 e 一0 0 7 6 08 07 01 0 0 0 4 4 47 1 9 8 6 e 一0 0 7 r e = 3 7 7 0 8 ，f r = 4 1 7 8 7 0 ，n = o 0 0 0 0 3 3 3 ，q = o 0 0 0 2 ，l = 10 1 3 ，c = 9 i ，k = 1 ，= 5 ，0 9 = 0 5 1 0 5 从上表我们可以看出在我们的理论模型中，外部计算区域的变化并不影响数值计算结 果，因此在以下的计算中我们就将外部计算区域固定在r m a x = 2 0 5 6 稳定性分析 5 6 1 气液压力梯度对射流稳定性的影响 由于本文的基本流速度剖面是在文献 5 5 的基础上考虑到实际问题中气液压力梯度不 同而建立起来的，因此我们首先来考察一下不同的气液压力梯度比对射流稳定性的影响。 在计算中我们在基本流中引入了一个表征速度脉动的周期流形成了“参数共振”方程。根 据f l o q u e t 定理，我们分别计算了= o 7 ，卢= 1 和= 5 三种情况下小扰动不稳定模态时间 增长率跟波数的变化关系( 见图5 1 ) 其中口= 1 时表示的是文献 5 5 的速度剖面引起的不 稳定模态。计算中我们的参数取值是 e 海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 n = 5 6 6 7 1 0 ，q = 2 x 1 0 。，w e = 4 8 9 8 0 ，甜= 1 5 1 0 5 ，r e = 3 7 7 0 8 ，f r = 4 1 7 8 7 0 。从图 5 1 中我们可以看出，随着气液压力梯度比的增加，不稳定模态的时间增长率和对应的波数 都增加。这是因为随气液压力梯度比的增加，剪切层厚度减小的缘故。 图5 1 不同的气液压力梯度比对射流稳定性影响 5 6 2 气液粘性比对射流稳定性的影响 图5 2 表明随气液粘性比的减小，射流的时间增长率越大，对应的波数也越大，射流越 不稳定。 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文4 5 卢= 5 ，q = 2 1 0 。，r e = 3 7 7 0 8 ，f r = 4 1 7 8 7 0 ，w e = 4 8 9 8 0 ，= 1 5 1 0 5 图5 2 不同粘性比对射流稳定性的影响 从上面的结果还可以看出，当波数大于某个截断波数( c u t o f fw a v e n u m b e r ) 时，流场 中的扰动是稳定的。图5 3 ( 下图) 给出了该截断波数随气液粘性比下的变化情况。位于该 图中曲线的上方的扰动是稳定的，下方的扰动是不稳定的。图中显示随着气液粘性比的增加 流动的不稳定区变小，稳定区增大。这表明气液粘性比越大流动越不稳定，这与上面的结果 是一致的。随着实验条件的变化，射流雾化可能从非稳定区进入稳定区，为了得到较有效的 雾化效果人们可以选择实验参数以使射流位于非稳定区域。 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 r e = 3 7 7 0 8 ，f r = 4 1 7 8 7 0 ，w e = 4 8 9 8 0 ，q = o 0 0 0 2 ，l = i 0 3 2 ，= 1 5 1 05 ，口= 5 图5 3 ，参数共振稳定与非稳定区 5 6 3 ，初始脉动频率对射流稳定性的影响 口= 5 ，o = 2 1 0 4 ，r e = 3 7 7 0 8 ，f r = 4 1 7 8 7 0 ，w e = 4 8 9 8 0 ，n = 6 6 6 7 1 0 5 图5 4 初始脉动频率对射流稳定眭的影响 图5 4 显示了初始脉动频率对射流稳定性的影响，可见初始频率越高，射流的时间增k -口l 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文4 7 率和对应的波数越大。这一变化趋势是与文献 2 9 的研究结果致的。 5 7 理论模型与实验结果的对比 众所周知，任何一种理论模型的正确与否只有通过实验来检验，现在我们将本文的理论 模型应用到实际的喷射成形工艺中。与前人的研究一样，我们的工作仍然围绕着最快增长波 进行的，我们认为射流破碎后的粒径约等于最快增长波的半波长t 即破碎后粒径巩= 互k 。 鉴于理论模型对实际问题作了一定的简化，所以在用实验结果检验理论计算数据时我们 不拘泥于两者数值的完全一致，而是主要从量级和定性的变化规律上去比较。在本文的计算 中一些参数的取值如下： 熔融状态下铝的密度：p = 2 5 0 0 堙m 3 ： 4 0 0 4 c 时氮气的密度：p 2 = 0 5 堙m 3 ： 温度接近9 0 0 。c 时液铝表面张力：盯= o 8 3 6 ，m ： 液态金属导流管口径：a 。= 2 r a m ： 温度在8 6 0 。c 时液铝粘性：t ，= o 0 1 2 p a s 气体粘性：2 6 8 x 1 0 _ 。p a s 液铝初始速度：彬= 0 5 m s ； 初始脉动频率：脚= 1 5 1 0 5 ； 表5 3 是n u k i y a m a 和t a n a s a w a 的实验结果和本文的计算结果：“3 气体速度实验微滴理论计算增长率最理论预测破碎粒径 ( m s )平均直径( a n1快界面波波长( 删) ( 半波长) 2 z r t ( 彬) 9 l5 8 81 0 6 55 3 _ 3 1 0 84 9 78 8 34 4 2 1 4 73 6 06 4 23 2 1 1 5 33 5 66 2 83 1 4 1 8 82 734 6 92 3 5 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 从上表我们可以发现两者在数量级上是一致的并且数值上也很接近。这就在一定程度上 也印证了r a i 等人的研究得出雾化气体的脉动使液态金属表面生成不稳定波导致了液态金 属的破碎这一结论。同时由于我们的理论模型是在文献 2 9 的基础上对实际问题的进一步接 近，因此有必要将结算结果与文献 2 9 的研究结果进行比较。表5 4 是本文参照文献 2 9 的参数结算得到的结果。 表5 4 不变的物理量变化的物理量理论不变的物理量变化的物理理论 粒径量粒径 ( 1 a i n姗 ) p = 2 5 0 0 堙m 3 气体 8 05 0 6 p l = 2 5 0 0 培m 3 液态 0 8 3 63 6 4 p 2 = 0 5 船m 3 初始金属 速* 4 8 ，2 p 2 = o 5 船m 3 表面 形= 0 5 m b雕= 0 5 m s 张力 s = 0 ，8 3 6 n ，” 哆 职；1 2 0 m ss 1 2 03 6 406 2 83 4 2 d o = 2 m m ( d o = 2 r a m ( n m 1 = 3 1 0 p a j m | s * 2 9 8 卢l = 3 1 0 p a s ) a 2 = 1 5 1 0 p a 1 6 02 5 3心= 1 5 x l o p a s0 5 8 22 9 7 * 2 2 1 0 0 0 0 23 6 4 p i = 2 5 0 0 k g m 3 金属 23 0 4 p i ；2 5 0 0 k g i m 3 液密液体 职= 1 2 0 m j p 2 = o 5 k g 晰3 导流+ 1* 2 2 o 度比 彤= 0 5 m s雕= 0 5 m s 管口 d 0 0 0 0 63 4 5 43 4 9 s = 0 8 3 6 n m脏= 1 2 0 m s径 d o = 2 m m s = 0 8 3 6 n m a o 【 + d * 2 2 1 l = 3 1 0 p a - j 1 = 3 1 0 p a s 0 0 0 0 8 82 9 8m m ) 74 5 8 u 2 = 1 5 1 0 p a 2 = 1 5 1 0 p a - s + 1 0* 2 2 9 比较表5 4 与文献 2 9 的数据( 表中带 号的数据是文献 2 9 的理论数据) ，我们容易发现两 者在数量级上是非常一致的，只是本文的理论粒径较文1 敞 2 9 的理论粒径要稍大一点。这可 能是因为本文的模型中考虑了