（基础数学专业论文）交换环上m赋值的分解.pdf

摘要 摘要 2 0 0 2 年，张的根在环上引进了m 一赋值的概念，这个概念同时蕴含了m a n i s 赋值和形式有限v 一赋值。本文研究交换环上m 一赋值的分解与合成。通过在 序幺半群上引进融洽同余，交换环上m 一赋值被分解为一个可消m 一赋值及其剩 余环的一个核为零的m a n i s 赋值。反之，对于交换环上一个可消m 一赋值及其 剩余环的一个核为零的m a n i s 赋值，该环的一个m 一赋值被合成，使得它能通 过所述的分解回复到两个给定的赋值。 关键词：序幺半群；融洽同余；m 一赋值；可消m 一赋值；m a n i s 赋值 a b s t r a c t a b s t r a c t i n2 0 0 2 ，d e g e n z h a n gi n t r o d u c e dt h en o t i o no fm v a l u a t i o n so nc o m m u t a t i v e r i n g s b o t hm a n i sv a l u a t i o n sa n df o r m a l l yf i n i t ev - v a l u a t i o n sm a y b ec o n s i d e r e da s s p e c i a le x a m p l e s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t et h ed e c o m p o s i t i o na n d c o m p o s i t i o no fm v a l u a t i o n so nac o m m u t a t i v er i n g b yi n t r o d u c i n gt h en o t i o no f h a r m o n i cc o n g r u e n c e sf o ro r d e r e dm o n o i d s ，am v a l u a t i o no nac o m m u t a t i v er i n gi s d e c o m p o s e di n t oa c a n c e l l a t i v em v a l u a t i o na n dam a n i sv a l u a t i o nw i t hn u l lc o r eo n t h er e s i d u er i n go ft h i sc a n c e l l a t i v em v a l u a t i o n c o n v e r s e l y , f o rac a n c e l l a t i v e m v a l u a t i o na n dam a n i sv a l u a t i o nw i t hn u l lc o r eo nt h er e s i d u er i n go ft h i s c a n c e l l a t i v em - v a l u a t i o n ，am v a l u a t i o ni ss oc o m p o s e dt h a ti tc a nb et u r n e db a c k i n t ot h eg i v e nv a l u a t i o n sb ys u c had e c o m p o s i t i o n k e yw o r d s ：o r d e r e dm o n o i d ；h a r m o n i cc o n g r u e n c e ；m - v a l u a t i o n ；c a n c e l l a t i v e m v a l u a t i o n ；m a n i sv a l u a t i o n i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得南昌大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文储签名( 手写) ：高哎 签字目其目：腑堋7 曰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：高 及 导师签名： 签字日期：研年p 月均日 魄乡瓦 签字日期：矿犷年陟月彳日 第1 肖引言 第1 节引言 赋值理论可以看成拓扑代数的一个分支。它的发展已经有近百年的历史。 1 9 0 0 年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题。直到 1 9 2 6 年，e a r t i n 和o s c h r e i e rn l 乜l 。”使用实域理论对h i l b e r t 第十七问题作出 肯定的回答。他们建立了实域理论，并研究了实闭域的性质，得到了许多和实数 域类似的结论。经过二三十年的发展，实域理论变得非常成熟。这样，将实域理 论的有关概念和结果进行推广就成为数学家们很感兴趣的一件事情。 赋值是实域理论的一个重要组成部分。域上赋值的具体介绍可见于许多专题 论文，例如文献 4 - 7 j 。1 9 5 7 年，p s a m u e l l 砌在交换环上引入了“位的概念， 由此开创研究交换环上赋值理论的先河。其后，n b o u r b a k i 阳1 在交换环上定义了 赋值，不过他不要求是满射。在这个基础e ，1 9 6 9 年m m a n i s n 们再一次在交换 环上引进赋值的概念。这种引进的赋值在当今的一些文献中被称为m a n i s 赋值。 随后，这种赋值得到广泛的应用。学者们建立了许多与m a n i s 赋值相关的概念 和结论。 众所周知，域为一种特殊的交换环。对交换环的实性应如何定义直到8 0 年 代之初尚未取得普遍的共识。1 9 8 1 年，1 e c o l l i o t t h e l e n e g l l 曾提出有两种最佳 的选择，可用来作为实性的定义，它们是：其一，1 在其中不能表为平方和的形 式；其二，y # o 只有在每个墨，0 时才能成立。其后t y l a m 1 2 1 把第一种选 择称为半实环，而后一种选择称为实环。 1 9 8 7 年，戴执中n 3 1 成功地在环上定义了实位和实赋值，从而在环上得到了 全然类似于实域理论的如下有关结果： ( 1 ) 环尺成为实环，当且仪当尺有实位或实赋值，它们可能是浅显的。 ( 2 ) 若俾，m ) 为环r 的一个实位，驴是( b ，m ) 所确定的一个实赋值，则尺 中存在某个亚序t ，使得妒与t 相容。 虽然戴执中先生是第一个在环上建立实位和实赋值概念的，但由于文 1 3 是以中文形式在国内刊物上发表的，且受其它方面因素的局限，这一新概念并未 为国外同行所知。因此，几年之后，m m a r s h a l l n 4 h 首次”将域上的实位和实 赋值推广到交换环上，从而为环上实位和实赋值的研究奠定了基础。 在文 1 4 】的同年，曾广兴在戴执中提出的环上实位和实赋值基础上，以中文 形式发表了文 1 5 。通过交换环的一个序以及所谓的一子环给出了环上实位的 构造，并且还讨论了实位( 实赋值) 在扩环上的拓展，从而得到了环的实位可以 拓展的一个充要条件。此外，作者将域上实位拓展的唯一性推广到环上。 第1 肖引苦 一些其他形式的赋值也被引入到交换坏的范畴内。1 9 8 9 年，h a r r i s o n 和 v i t u l l i 州引进了环上v 一赋值的概念。2 0 0 2 年，张的根n 7 1 引进了一个更为一般的 赋值即坏上m 一赋值，m 一赋值同时蕴含了m a n i s 赋值和形式有限v 一赋值。曾广 兴在文 1 9 ， 2 0 中进一步完善了交换环上m 一赋值的理论体系。 作为域上赋值论知识( 参见文献阴中定理2 1 2 和定理2 1 3 ) ，下面两个相互 关联的事实是熟知的： ( 1 ) 域f 的任何一个阶大于1 的赋值妒，都可以分解成为f 的一个较小的阶 的赋值驴以及在9 的剩余域上的一个赋值矛，使得：伊的阶= 妒的阶+ 历 的阶。记作：够= 妒o 妒。 ( 2 ) 设伊是域f 的一个赋值，以r 为其值群；又设驴是妒的剩余域f 的一 个赋值，值群为a ，于是f 有一个赋值妒，它能如( 1 ) 那样分解为垆与 缈。 这表明，域上一个赋值可以通过其值群的孤立( 凸) 子群“分解成该域的 一个较低阶的赋值和剩余域的一个值群为已知孤立予群的赋值；反之，对于域上 一个赋值及其剩余域的一个赋值，该域具有一个“合成的”赋值，这赋值可通过 前面方式分解成两个分别与已知赋值等价的赋值。文 1 0 】中，m m a n i s 针对他所 提出的赋值考虑了相应的分解问题，并获得类似的结果( 见文献 1 0 】中命题3 ) 。 由于m 一赋值是一个更为一般的赋值，人们自然会提出这样的问题：为完善m 一 赋值理论，能否针对交换环上m 一赋值的“分解”和“合成”建立有关结论? 本 文将围绕这一问题而展开讨论。由于m 一赋值的值集不再为群，“孤立子群 显 然不适合作为“分解”和“合成”m 一赋值的工具。出于这一考虑，我们将在序 幺半群上引进同余的“融洽性”，并通过融洽的同余柬替代孤立子群进行讨论。 一个三要素组( r ，+ ，s ) 称作序幺半群，如果下列条件成立：( 1 ) ( r ，+ ) 是一个 带有零元0 的交换幺半群；( 2 ) s 是r 的一个序；( 3 ) 对于任意口，声，) ，r ， 由as 卢可推出a + ，s 多+ y 。此时，也迳称r 为一个序幺半群。对于一个序幺 半群r ，通过添加r 之外的一个符号，可扩充为一个新的序幺半群ru ) ， 若规定a + = ，且 ， ，其中a ru ， ，f 。 根据文献 1 7 中定义l ，交换环上m 一赋值可叙述如下： 定义l设r 为一个序幺半群，且尺是一个交换环。尺到ru 的一个满射v 被 称为环r 上一个m 一赋值，若对于任意a ，b r ， v ( a 6 ) = ，0 ) + y ( 6 ) ，且 v ( a + 6 ) 苫m i n v ( a ) ，v p ) 。此时，称r 是l ，的值幺半群。 显然，当r 为群时，定义1 中的m 一赋值v 即为m a n i s 赋值。 容易验证，若v ：r _ ru 的一个序同构口，使得对于每个aer ，o ( v 。 ) ) = ，：( 口) ， 则称v 1 与v 2 等价。 在本文中，“环 均指含有单位元的交换环，并且要求环的子环也具有同一 单位元素。对于集合a 的一个等价关系一，a 中元口关于一的等价类将记为a ， 即a = 仁e aiz 一口) 。此外，用彳一表示a 关于一的商集，即彳叫= a 1a 彳) 。 3 第2 ：1 了同余的融洽性 第2 节同余的融洽性 在本节中，我们将在序幺半群上引进同余与序之间的“融洽性”，并建立一 些相关的结论。 定义3 设r 是一个序幺半群，s 是它的序。序幺半群r 的一个同余兰被称作是 融洽的，若下由f 两个条件成立： ( 1 ) 对于任意a ，p ，) ，ef ，由a + ) ，毒卢+ ) ，可推出a 兰卢； ( 2 ) 对于任意口，卢，yef ，由口f - 和as7s 可推出口毫r 。 此时亦称，同余毒与序s 是融洽的。 下面例子表明，对于序群来说，融洽的同余与孤立子群可相互转化。 例l设r 是一个加法序群，s 是它的序，且足r 的一个孤立予群。按如下方 式规定r 的一个二元关系羞( m o d a ) ： 口量f l ( m o d a ) 营口一卢a ， 于是，i ( r o o da ) 是r 的一个融洽的同余。 事实上，由群的一个熟知结论( 参见文献 1 8 中定理1 6 ) 知，兰( r o o d a ) 是 r 的一个同余。现设a + ) ，= 卢+ ( m o da ) ，其中a ，声，ye f ，则a 一声= 陋+ ) ，) 一( + ) ，) 。从而口誊f l ( m o d a ) 。再设口，j 6 f ，) ，ef ，使得口暑f l ( m o da ) 且口sys ，则口一卢，且0s ，一口s 卢一a 。注意到0 ，声一口= 一( 口一) ，且是r 的一个孤立子群。从而) ，一a 。因而口一y = 一( y a ) 。因此 口暑y ( m o d ) 。于是，基( m o d a ) 是r 的一个融洽的同余。 结论l设r 是一个加法序群，且兰是r 的一个融洽的同余，则零元0 关于誊的 同余类0 是r 的一个孤立子群。 证明 显然0 。由群的一个熟知结论( 参见文献 1 8 中定理1 6 ) 知， 4 第2 节同余的融洽性 0 是r 的一个子群。设一as sa ，其中ae o ，声r 。由于一口暑0 暑口，且蔷 是r 的一个融洽的同余，从而由定义3 中条件( 2 ) 知，一口暑。因而卢兰0 ， 即卢0 。因此0 是r 的一个孤立子群。证毕。 例2 设r 是一个序幺半群，s 是它的序。按如下方式规定r 的一个二元关系暑： 口l 营存在6 f ，使得口+ 6 ；p + 6 。 于是，暑是r 的一个融洽的同余关系。 事实上，对于任意口i ，有a + 0 = 口+ 0 ，其中0 e f 。从而口兰口。设口蓉多， 其中a ，ef ，则a + 5 = 芦+ 6 ，其中5e f 。于是卢+ 6 = 口+ 6 。从而卢置a 。 再设倥量且卢l i e ) ，其中口，) ，e f ，则存在6 1 ，6 2e f ，使得口+ 反= 卢+ 6 l 且+ 6 2 = ) ，+ 6 2 。从而有口+ 6 = y + 6 ，其中6 = 4 + 6 2 r 。因而口三) ，。于是， 量是r 上一个等价关系。 设a 毫声且y 暑叩，其中口，y ，叼ef ，则存在6 。，6 ：r ，使得 口+ 6 1 ；卢+ 6 l 且y + 6 2 一r l + 6 2 。此时口+ ，+ 6 = + 叩+ 6 ，其中6 = 6 l + 6 2 r 。 因而倪+ y 量卢+ r l 。于是，墨是r 上一个同余关系。 设a + ) ，暑卢+ ) ，其中口，卢，yef ，则存在6 f ，使得口+ y + 6 = 卢+ ，+ 6 。 此时口+ 6 = 芦+ 6 ，其中6 一，+ 6 r 。因而a 兰卢。再设口毫卢且口sys 卢， 其中a ，r ，则存在6 r ，使得口+ 6 = p + 6 。由于r 是一个序幺半群，从 而a + 6sy + 5s + 6 ，即口+ 6 y + 6sa + 6 。因止匕口+ 6 = y + 6 。因而a 罩) ，。 于是，三是1 1 的一个融洽的同余。 引理1 设r 是一个序幺半群，s 是它的序，且暑是r 的一个同余，使得对于任 意口，y f ，由a + ) ，宝+ y 可推出a 兰卢。于是，下列叙述等价： ( 1 ) 兰是融洽的。 ( 2 ) 对于任意口，) ，7 r ，由a 暑卢，善r 和asy 可推出 叩或兰，7 。 证明 ( 1 ) 寺( 2 ) ：假定三是融洽的。设a 置p ，y 三蟹和口s ) ，其中口， 5 第2 。仃同余的融洽性 ，叩ef 。如若 7 7 ，则( 2 ) 成立。下设刀s 。由于f 是一个序幺半群， 从而口+ 刀sy + 叩s ) ，+ 。由于口暑，且) ，暮刀，从而a + ，7 墨) ，+ 卢。由定义3 中条件( 2 ) 知，a + ，7 罩7 ，+ 叩。再由定义3 中条件( 1 ) 知，口量) ，。由于a 暑， 且) ，墨7 7 ，从而卢量刀。 ( 2 ) 专( 1 ) ：设a 霉卢且as ，s 声，其中口，卢，】，ef ，贝4 有口景卢，】，罩 ， 且asy 。由叙述( 2 ) 知， y 或者暑y 。注意到ys 卢。从而必有卢暑y 。 又由于a 暑芦，从而a 誊) ，。由定义3 知，毫是一个融洽的同余。证毕。 现设q 是任意非空集合。根据定义，q 的一个二元关系实际上都可看作笛 卡儿积集q q 的一个子集。因此，对于集合包含关系s ，q 的任意多个二元关 系构成一个偏序集。 命题1设r 是一个序幺半群，s 是它的序。记e 为r 的所有融洽的同余组成的 集合，则三对于集合包含关系组成一条链。 证明 假若命题不成立，则有暑。，- 2 e ，使得量。旺暑：且羞：旺暑。此时存在 口，卢，口1 ，屈r ，使得口暑。声f i a ，暑2 l ，但口暑2 声和a l 暑l 屈不成立。显 然，口乒声。注意到暑。a ，但卢量：a 不成立。从而不妨设口 卢+ 口1 口+ 口1 。由于卢l + 口暑2a + 口l ， 且兰：是融洽的，从而卢+ a 1 暑2a + 口1 。因而卢暑2 口，即a 暑2 卢，矛盾! 因此，命题成立，即e 对于集合包含关系组成一条链。证毕。 设r 是一个序为s 的序幺半群，兰是r 的一个融洽的同余。记f 暑为r 关于 6 第2 节同余的融洽性 同余暑的商集，则f 羞：= 忸。l 口n ，其中a 表示f 中元a 关于暑的同余类。对 于任意口，e f 誊，规定口+ 卢= ( a + ) 。由文献 1 8 知，f 兰是一个交 换幺半群。 引理2 设r 和墨同上，则幺半群f 兰满足消去律。 证明设口+ 声；a + ) ，其中口，卢，ef ，则似+ f 1 ) 一 + 7 ，) ，即 口+ 卢兰口+ y 。由于暑是r 的一个融洽的同余，从而鲁y 。因而= y 。证毕。 引理3 设r 和暑同上，且在f i 上规定如下二元关系s ： 口。s 卢，当且仅当口= p ，或者口乒f t 且口 。 则s 是f 量的一个序。 证明 设口。= 卢，且，= ，7 ，其中口，p ，y ，7e f 。若a = ) ，则显 然尻= 叩。若口。y 且口 y ，则显然卢，7 。注意到口富，暑r i ，且a 7 ，。 由引理1 知7 7 。此时必有声 叩；否则卢= 刀。因而，上述规定是合理的。 设口r 誉。显然口s 口。 设口s 卢，且卢s y ，其中口，芦，r 。若a 。= 卢。或p = ) ，则显 然口s 。) ，。下设口卢且) ，。此时必有口 且 y 。从而口 y 。由s 的规定知，a y 。 设口s 卢且卢。s 口，其中口，p r 。假若口，则口 卢目 声。因而s 口。 最后，设口，卢，7 ，r ，且a s 声。由s 的规定知，口= ，或者口卢 且a 卢。若口= ，则口+ 7 ，；。+ y 。从而a + y s + ) ，。若口且 7 第21 ，同余的融洽性 a y + 口2 + 展。因而 ( 口。，卢1 ) 。( 口2 ，芦2 ) 。 最后设 ，展) ， ：，卢：) ，( a 。，) e e l 一，且( a 。，3 1 ) s ：，卢：) 。此时 存在yef ，使得y + a l + 2sy + 口2 + l 。从而y + a l + 2 + 口3 + 卢3sy + 口2 + 岛 + 口3 + 3 。因而( q + ，展+ 岛) s ( 吃+ a 3 ，属+ 属) - ，即( a 1 ，屈) + l ，岛) s ( 口2 ，2 ) + ( 口3 ，声3 ) 。 因此，是一的一个序。证毕。 在下文中，所得的序群一将记作。 结论3 设r 是一个序群，暑是r 的一个融洽同余，且相关记号同上，则序群 同构于r 的孤立子群0 ( 参见结论1 ) 。 证明由结论1 知，0 是r 的一个孤立子群。规定到0 的一个映射p ， 使得对于任意( 口，卢) 。e a ， ( 口，卢) 1 一a 一。 下证口是a 到0 的一个序同构映射。 首先证明，0 作为映射的规定是合理的。设 ，) e a ，则( a ，夕) 。从 而a 量声。由于r 是一个序群，从而口一喜0 。因而口一o 。设( a 。，展) ， ( a 2 ，芦2 ) ，且( 口1 ，芦1 ) = ( 口2 ，多2 ) ，则存在7 r ，使得y + 口l + 多22 ) ，+ 口2 声1 。 由于r 是一个序群，从而a ，+ 2 = a 2 + 屈。冈向口l 一声。= a ：一2 。因此目的规定 1 0 第2 节同余的融洽性 是合理的。 易证秒是一个单射。设口e e 0 ，则口暑0 。从而 ，o ) e a ，且日( ，0 ) ) ； 口一0 ；a 。因而口是一个满射。 设 ，展) ， ：，展) 。，则口( ( q ，p 。) + ( 口：，反) 。) = 口( 。+ a ：，反+ 殷) ) = 口。+ 口2 一( 展+ p 2 ) = ( 口，一反) + ( a 2 一卢：) = 8 ( ( 乜，卢，) ) + 8 ( ( 口2 ，p ：) ) 。从而口是 n o 的一个同构映射。 设( 口，展) ：，p ：) 。，其中 ，a ) 。， ：，p ：) 。则存在ye l ，使得 ) ，+ 口l + 卢2 7 ，+ 口2 + 屈。由于r 是一个序群，从而a l + 声2 口2 + 展。 因而 口1 一卢l 0 。b kj 面v ( 口1 s 2 一n 2 s 1 ) v ( 5 l s 2 ) 。 s 2 因而v ( a l s 2 一a 2 s 1 ) v ( s ，s 2 ) 一v 0 1 ) 。+ v ( s 2 ) = v ( a 1 ) + y ( s 2 ) = v ( a l s 2 ) 。由序 s 的规定知，y ( 口l s 2 一a 2 s 1 ) v ( a l s 2 ) 。从而v 0 2 s 1 ) = v ( a l s 2 一( a l s 2 一口2 s 1 ) ) = m i n v ( a l s 2 ) ， ，( 口l s 2 一a 2 s 1 ) = y ( a l s 2 ) ，即v ( a 2 ) + v ( s 1 ) = v ( a 1 ) + v 0 2 ) 。因而 ( y ( 口，) ，v ( s 。) ) 一( y ( 口：) ，y ( s ：) ) ，即( v ( 口，) ，v ( s 。) ) = ( y ( 口：) ，y ( s ：) ) 。因此，v 的规定是 合理的。 对于任意g ，存在口，声r ，使得g = 陋，芦) ，并且口善。由于v 是 r 到f 的一个满射，从而存在a ，s 尺y 。o o ) ，使得v ( a ) = a ， ，( s ) = 。从而 g ；( v ( 口) ，v ( s ) ) 。由于l ， ) 暑v ( s ) ，从而v t 0 ) ：v ( s ) 。若s s 则竺彳m 。 s 从而石( 竺+ m ) ：( v ) ，v ( s ) ) ；g 。若s 隹s 贝1 j v ( s ) 为r 譬中可逆元。从而存在 s 1 5 第31 7m 一赋值的分解 s e r y 一1 ( ) ，使得v ( s ) = 一y ( s ) 。此时，口s e r v 一1 ( ) ， a l s - s ，一1 尺， y ( a s ) 一1 ，( 1 ) = y ( 口) + v ( s ) = v ( 口) 一l ，( s ) = y ( s ) 一v ( s ) = 0 。i 因而 并且万( 竿+ m ) ；( v ( 口s 1 ) v ( 1 ) ) = ( 口s t ) y ( 船i ) ) 一( v 。) ，v ( s ) ) 一g 。 因此，可是剩余环彳m 到u 】- 的一个满射。 a _ le a ，且不妨设万( 生+ m ) s 石( 生+ m ) 。 s 2 s 25 l 若石( 鱼+ m ) ；，则生m ，且万( 鱼+ m ) + 万( 生+ m ) 。由于肘是爿 s 1s 15 ls 2 的一个素理想，从而生生m 。此时，了( 鱼生+ m ) ：；可( 鱼+ m ) + s ls 2s 1s 2s 1 万( 生+ m ) 。i 若- v ( a l + m ) ，则可( 鱼+ m ) 。从而鱼，a - & e a m ，进而 j 2s 1s 2s 15 2 鱼生小m 。、“、o s ls 2 此时，了( ! 旦! 三。+ m ) ；( ( ，( 口，口：) ，v ( 5 ，s ：) ) ：( ( v ( 口。) ，v ( s 。) ) 。+ 毛s 2 ( ( v ( 口：) ，v ( s ：) ) 。= 了( 鱼+ m ) + 石( 鱼+ m ) 。 墨s 2 若可( 鱼+ a _ l + m ) ：，则显然石( 鱼+ 垒+ m ) 乏m i n 万( 鱼+ m ) ，万( 生+ 肘) ) 。 s 1s 2s 15 2s ls 2 下设可( 鱼+ 鱼+ m ) ，则鱼+ 生岳m 。从而l ，+ ( 鱼+ 生) ：0 ，即 s 1s 2 s 1s 2s 1s 2 a l s 2 + a 2 s i 毛5 2 ；0 。假若万( 生+ m ) ； 5 2 鱼m 。由此将导致矛盾： 生+ a _ z 2e m 。 s 1s 2 ，则万( 生+ m ) ：即 5 l 。同样， 从而y ( 鱼) = v ( 鱼+ 生) ：0 。由此有，l ，( 口，s ：+ a 2 s ，) 暑v ( s ，s ：) ，且v ( 口：) 兰v ( s ：) 。 s ，s ls 7 此时可进一步断言： 存在yef ，使得y + v 0 2 s 1 ) sy + v ( a 】s 2 ) ，即y + v 2 ) + v ( s 1 ) s 1 6 皇 ， 、， f爷 l 4 弋 彳 矿 且 竺1 q 一墨 没 m 一屯 日 o = 、 一屯 ，i 、 ym 萑 吒一是 而从 第3 节m 一赋值的分解 ) ，+ v ( a 1 ) + v ( 5 2 ) 。 事实上，如若不然，则v ( a 2 ) + 1 ，( s 。) v ( a ) + l ，( s ：) 。从j 币f fv ( a ，) 乒0 0 。注意到 v ( a 2 ) ；否贝0v - 。( 竺三) 0 。若鱼m ，贝i jv t ( 生) 0 ；y ，( 兰互) ，即v t ( 口，) 一v ( 5 。) s 2s 1s l s 2 y 0 2 ) 一y ( s 2 ) 。从而v l s 2 ) y ( 口2 s 1 ) ，即v ( a 1 s 2 ) v ( a 2 s 1 ) 。由r 霉上序的 规定知，v ( a 。s ：) 1 ，0 ：岛) ，即y ( 口。) + v ( s ：) y 0 ：) + ，( s 。) ，矛盾! 若鱼彳m ， s l 则可( 鱼+ m ) ；( y ( 口，) ，v ( 墨) ) 。 s l 由于可( 生+ m ) s 可( 生+ s 2s l m ) ，从而p ( 口：) ，v ( s ：) ) s ( v ( a ，) ，v ( s ，”。由上序的规定知，上面断言成立，前后相矛盾! 由上面断言有 ) ，+ v ( a l s 2 + a 2 $ 1 ) + v ( s 2 ) y + m i n v ( 口1 s 2 ) ，v ( a 2 s 1 ) ) + y 0 2 ) ；m i n y + v ( 口，s ：) ，) ，+ 1 ，( 口：s 。) ) z ( s ：) 一y + v ( a 2 s 1 ) + v ( s 2 ) 一y + v ( a 2 ) + v ( s l s 2 ) 。 从而( v ( 口。s ：+ a 2 s ，) ，v ( s 。s ：) ) ( v ( 口：) ，v ( 5 ：) ) ，即可( ! 土+ ! 互+ m ) s ls 2 m i n 歹( 鱼+ m ) ，万( 垒+ m ) ) 。 s 1s 2 因此，v 是r 上的一个m a n i s 赋值。此外，由v 的规定知，万的核为 仁+ ml a e m ； 了0 + m ，其中旦+ 为剩余环彳m 中零元。证毕。1 m s sl 1 作为定理1 的一个应用，我们把文献【1 0 】中命题3 作为推论1 重新加以证明。 推论l设l ，是环尺的一个m a n i s 赋值，r 是v 的值群，s 是r 的序，且是r 的 一个孤立子群，则 ( 1 ) 存在r 到f ao 。o 的一个m a n i s 赋值y ，使得对于任意ae r ， f 0 0 ai 一 。l v ( 口) + a 1 7 若以1 ，。( ) 若口睡，一1 ) 。 第3 1 ，m 赋值的分解 ( 2 ) 存在y t 的剩余环r 到u 的一个核为零的m a n i s 赋值可，使得 口+ m i v 三，若若以：ae 彳m 、m ， 其中( a ，m ) 为v 的赋值对。 证明 ( 1 ) 由例1 知，暑( m o da ) 是f 的一个融洽同余，简记作暑。由定理 1 ，存在月到f au 【o o ) 的一个可消m 一赋值l ，使得对于任意口r ， 巾o o 嚣：鬻 设ye v ( a ) 。由于，e v ( a ) 兮yil ， ) 营) ，一v ( a ) ea 兮) ，e v ( a ) + a ，从而 v ( 口) 。；y 0 ) + a 。因此f 一f a 。注意到f a 足一个序群，从而，是一个m a n i s 赋值。 ( 2 ) 注意到s ，= 1 ) ，从而y 是自身的分式赋值。由定理1 ，存在v 的剩余 环r 到a u o o 的一个核为零的m a n i s 赋值石，使得 卜k 魄耋竺勺， 其中似，m ) 为v 的赋值对。 由结论4 的证明过程知，0 ；a 。再由结论3 知，a 。量0 = a 。规定a 到a 的一个映射0 ，使得对于任意 ，f 1 ) ， ( a ，) ha 一多。 由结论3 的证明过程知，驴是a 到a 的一个序同构。通过等同，可认为a = a ， 且( 口，) = a 一卢。 设aea m ，贝i jv ( 口+ m ) = ( ，( 口) ，o ) 。= v ( 口) 一0 = v ( a ) 。证毕。 第4 ：肖m 一赋值的合成 第4 节m 一赋值的合成 设w 是环r 到fu o o 的一个可消m 一赋值，则幺半群r 满足消去律。从而r 具有序差群d r 。记矽= w - 1o o ) ，则剩余环r g 为整环。令f 为整坏r 矽的分式 域。对于非零当卑e f ，其中口，6 r 但口，6 睡矽，规定坼( ：警) ：w o ) 一w p ) 。 b + 幻b + p 结论7 上述是域f 的一个值群为d r 的赋值，只要补充规定：w f ( 0 ) = 。 证明首先证明，w ，作为映射的规定是合理的。设当望，掣e f ，且 b l + 矽b 2 + 矽 而a l + 9 92 耢删瓴例”小( ”郴，例- o o 从砒吼- 口2 4 矽。因 而w ( a l b 2 一a 2 轨) 一0 0 。因此w ( 口1 b 2 ) = w ( a 2 b 1 + ( a l b 2 一a 2 b 1 ) ) = m i n - , v ( a 2 b 1 ) ，忡a 一口办) ，。于是w ( a 1 ) 一w ( b 1 ) 2w ( a 2 ) 一w ( b 2 ) 。囚此w e 刚观疋是 合理的。 对于任意g d r ，存在口，# er ，使得g = 口一声。由于v 是尺到r 的一个 满射，从而存在口，6 烈矽，使得口；w o ) ，p ：w p ) 。因而拿啤f ，且 b 七p 蚧( 等等) = w 。) 一w ( 6 ) = a 一卢2 g 。于是w ，是域f 到d ru p 】的一个满射。 显然w 0 ) ；当且仅当工：0 。 设搿b l4 - ，等b 针柚秘撕并bm ( 鬻) 。 移7 + 移2 + 移b 、+ 移 w f ( 群p 棚| j 口，趴且坼( 并- i - m ( 耢b po 自动勘 d l + 矽d l矽2 + 矽 舻个素骢从胁1 口2 趴删w f ( 群群f ( 筹净 第4 节m 一赋值的合成 = w ，( a l + 矽 b ，+ 矽 ) + w ，( a 2 b 2 + 矽 + 矽 。若w f ( n2 喏矽，进而口1 a 2 硭矽。此时脚( a l + 矽 反+ 矽 a l + 矽a 2 包+ 矽b 2 = ( 吣) 一吣) ) + ( 吣：) 一忡：) ) = 坼( 若w ，( m i n w f ( w f ( w f ( a 1 + 矽 a 1 + 矽 b l + 矽 给 + 矽 口 + j b 1 + 矽b 2 口2 b 2 + 矽 七9 p + 矽 ) ，则w f ( + 矽 + 矽 a 2 b 2 + 矽 + 矽 ) ，从而a l ， ) 2 咋( 筹z m ) ) + ( 群) 。 + 生竺) ；，则显然w f ( b 2 + g o 7 一 ) ，w ，( + 矽 + 矽 a 2 b 2 + 矽 + 矽 ) = w f ( ) = 即a 2 矽， ) 。若怖( a l + g o a 1 + g o 口 + o b l + 矽b 2 岛+ 矽b 2 + 矽 a l b 2 + a 2 b l + 矽 b i b 24 - 矽 则( a l b 2 + a 2 b l 矽。从而口2 硭矽， + 矽 + 矽 + 矽 + 矽 1 ) ，贝, l ja l b 2 + 口2 6 1 硭矽，且 ) = w v ( a 2 b 1 + a 2 b 1 ) 一w ，( 6 l b 2 ) 。假设 ) 一即a ，诺矽。由此将导致矛盾： 且k ( 考亿) - w o 自于 w ( a l b 2 + 口2 b 1 ) 一w ( b , b 2 ) 之m i n w ( a l b 2 ) ，w ( a 2 b 1 ) 一w ( b l b 2 ) ) 腼州鬻+ 口2+ 矽 + 矽 - - m i n , v ( a l b 2 ) - w ( b , b 2 ) ，w ( a 2 岛) 一皑6 2 ) = 吣：) - w ( b 2 ) ， ) 蚧( 等) - m i n 畎 a 1 + 矽 b l + 矽 因此雌是域f 的一个值群为d r 的赋值。证毕。 肌( 群) o 在下文中，该赋值怖将被称为分式域f 上w 的诱导赋值。 显然，若w 本身是一个m a n i s 赋值，则d r = f 。从而w f 是域f 上一个值群 为r 的赋值。 设“是环r 到r u 】- 的一个可消m 一赋值，u 是“的剩余环r 。到u ( 】- 的 2 0 第4 节m 一赋值的合成 一个核为零的m a n i s 赋值。记尺。和m 。分别为“的分式赋值的赋值环和赋值理 想，f 和f 分别是整环尺矽和r 。的分式域，其中矽= “h ( o o ) ，_ rd r 为f 的序 差群。再设“，为分式域f 上比的诱导赋值，且云i 为分式域f _ e u 的诱导赋值， 则m t ，百的值群分别为d r 和a 。记彳二和m