（地球探测与信息技术专业论文）tti介质地震波数值模拟.pdf

n u m e r i c a l m o d e l i n go fs e i s m i cw a v e i nt t im e d i a at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：s u nq i s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gy a n g u a n g p r o f l iz h e n c h u n c o l l e g eo f g e o r e s o u r c e sa n di n f o r m a t i o n c h i n a u n i v e r s i t yo fp e t r o l e u m ( e a s t c h i n a ) 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得 的成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致 谢外，本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得 中国石油大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对研究所做的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 日期：力户年b 月2 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷 版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩 印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期：如f 蛑6 月8 日 日期：和年多月多日 i 摘要 在勘探开发深入发展的今天，地球介质的各向异性成为研究的热门问题。近年来 勘探开发逐步转向对复杂构造油气藏、岩性油气藏和裂缝油气藏的勘探开发，而这些 问题都涉及到各向异性，因此必须将各向异性介质地震波的传播理论加以研究来解决 上述问题。t t i 介质( 具有倾斜对称轴的横向各向同性介质) 是常见的地震各向异性介 质之一，本论文主要探讨和研究t t i 介质中的数值模拟方法及其等效模型的应用。 本文从各向异性介质的基本概念入手，推导了t t i 介质的基本弹性波动方程及其 弹性参数。并对t t i 介质的弹性波方程进行了高阶有限差分求解，实现了地震波数值 模拟。本文还对数值模拟中的边界条件进行了研究，对c e r j a n 提出的衰减边晃条件 修正了阻尼因子，在同样宽的衰减带内将边界反射压制地更加彻底。同时本文还对数 值模拟算法引入了并行化库函数，对高阶有限差分实现了并行化运算，极大的节省正 演模拟的计算时间，使算法更加人性化和实用化。 最后，在前人研究的基础上探讨了裂缝的等效理论，并且以碳酸盐岩裂缝储层的 概念模型为例，建立了等效模型。本文研究了各向异性模型的波场特征，同时也分析 了各向异性介质波场对成像的影响，针对裂缝等效模型进行了试算，并对结果进行了 详细的分析和讨论。 关键词：各向异性，并行算法，衰减边界，等效模型 n u m e r i c a lm o d e l i n go fs e i s m i cw a v ei nt t im e d i a s u nq i ( g e o p h y s i c a lp r o s p e c t i n ga n di n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rw a n gy a n g u a n ga n dp r o f e s s o rl iz h e n c h u n a b s t r a c t t h eo i le x p l o r a t i o na n dd e v e l o p m e n ti sd e v e l o p i n gi n d e p t hr e c e n t l ya n dt h es t u d yo n t h ea n i s o t r o p yo fe a r t hm e d i ai sb e c o m i n gp o p u l a r t h eo i le x p l o r a t i o na n dd e v e l o p m e n t h a v e g r a d u a l l ys h i f t e dt o t h ec o m p l e xs t r u c t u r a l h y d r o c a r b o nr e s e r v o i t , l i t h o l o g i c h y d r o c a r b o nr e s e r v o i ra n df r a c t u r e dr e s e r v o i t , w h i c ha r er e l a t e dt oa n i s o t r o p i cm e d i aa n di t i sn e c e s s a r yt oa p p l yt h et h e o r yo ft r a n s m i s s i o no fs e i s m i cw a v e si na n i s o t r o p i cm e d i af o r t h es e t t l i n gt h es a i di s s u e s t t i ( t i r e dt r a n s v e r s e l yi s o t r o p ym e d i a ) i so n eo ft h ec o m m o n s e i s m i ca n i s o t r o p ym e d i a ，t h ea p p l i c a t i o no fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o da n di t s e q u i v a l e n tm o d e la b o u tt t lw e r em a i n l yr e s e a r c h e da n ds t u d i e di nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r , t h ee l a s t i cw a v ee q u a t i o na n di t se l a s t i cp a r a m e t e r si nt nm e d i aw e r e d e r i v e df r o mt h eb a s i cc o n c e p to f a n i s o t r o p i cm e d i a ，w i t hs ol v i n gt h ee l a s t i cw a v ee q u a t i o n b yt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o do f h i g h e ro r d e r , w h i c ha c h i e v e dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no f s e i s m i cw a v ei nt t im e d i a t h i sa r t i c l ea l s os t u d i e dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so fn u m e r i c a l s i m u l a t i o na n dr e v i s e dt h ed a m p i n gf a c t o rf o ra t t e n u a t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n sp r o p o s e db y c e r j a n ，t h er e s u kp r o v e st h a tn e wb o u n d a r yc o n d i t i o n si sm o r ee f f e c t i v et h a nt h eo l do n e a n dt h ee d g er e f l e c t i o nw a sm o r et h o r o u g h l ye x t i n g u i s h e da tt h es a m ew i d t ho fa t t e n u a t i o n z o n e t h i sp a p e ra l s oi n t r o d u c e sap a r a l l e l a l g o r i t h ml i b r a r yf u n c t i o n i nt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n ，w h i c hh e l pt oi m p l e m e n tt h ep a r a l l e lc o m p u t i n gf o rt h eh i g h e ro r d e rf i n i t e d i f f e r e n c ea n dg r e a t l ys a v et h ec o m p u t i n gt i m eo ff o r w a r ds i m u l a t i o n ，w h i c hm a d et h e a l g o r i t h mm o r eh u m a n ea n dp r a c t i c a l f i n a l l y , t h ee q u i v a l e n tt h e o r yo ff i s s u r ew a sr e s e a r c h e do nt h eb a s i so ft h e p r e d e c e s s o r s ，a n de s t a b l i s h e dt h ee q u i v a l e n tm o d e lw i t ht h ee x a m p l eo fc o n c e p tm o d e lf o r f r a c t u r e dc a r b o n a t er e s e r v o i r t h ew a v ef i e l dc h a r a c t e r i s t i co fa n i s o t r o p i cm o d e lw a s r e s e a r c h e d ，m e a n w h i l ei t se f f e c t so ni m a g e r yw a sa p p r a i s e d t h e nt h ee q u i v a l e n tm o d e lf o r t h ef i s s u r ew a sc a l c u l a t e do nt r i a l ，a n dt h er e s u l t sa r ea n a l y z e da n dd i s c u s s e di nd e t a i l k e y w o r d s ：a n i s o t r o p y , p a r a l l e la l g o r i t h m ，a t t e n u a t i o nb o u n d a r y , e q u i v a l e n tm o d e l 目录 第一章前言1 1 1各向异性介质数值模拟研究的意义1 1 2 t t i 介质地震波正演模拟研究发展及现状2 1 3 本文主要研究内容及技术路线4 1 3 1 论文主要研究内容4 1 3 2 论文采用的技术路线5 第二章各向异性的基本概念6 2 1各向异性弹性波波动方程6 2 1 1 本构方程6 2 1 2 运动微分方程8 2 1 3 几何方程9 2 1 4 各向异性介质波动方程9 2 2 各向异性介质的分类1 0 2 2 1 各向异性介质的分类1 0 2 2 2 常见的地球各向异性介质l l 2 3 各向异性介质的c h r i s t o f f e i 方程。1 4 2 3 1c h r i s t o f f e l 方程一14 2 3 2t t i 介质弹性波相速度1 6 2 3 3t t i 介质弹性波群速度l9 2 4 各向异性弹性矩阵坐标变换2 0 2 4 1b o n d 变换矩阵2 0 2 4 2t t i 介质弹性矩阵2 l 第三章有限差分法正演模拟及其并行化2 4 3 1 弹性波速度一应力方程2 5 3 2 交错网格有限差分算法2 6 3 2 1 交错网格及其参数2 6 3 2 2 交错网格有限差分算法2 7 3 2 3 调整后的边界条件3 0 3 2 3 模型试算3 2 i i i 3 3 模型试算 3 3 1 均匀各向异性介质 3 3 2 各向异性页岩 3 3 3 各向异性波场特征 3 4 数值模拟并行化 3 4 1 并行算法简介 3 4 2 正演模拟中的并行算法 3 4 3 并行效率 第四章等效各向异性模型 4 1 等效各向异性理论的发展及研究现状 4 2 等效各向异性模型 4 2 1h u d s o n 裂隙理论 4 2 2t h o m s e n 裂隙理论 4 3 3 线性滑动理论一 4 3 裂缝模型试算 结论 参考文献 攻读硕士学位期间取得的成果 硕士学位论文致谢 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言弟一早日u 石 1 1各向异性介质数值模拟研究的意义 实际地下介质中，介质的弹性性质随方向的不同而不同，这样的介质称为各向异 性介质。在地震勘探中，众所周知介质的各向异性是广泛存在的。随着勘探、开发工 作的不断发展，勘探过程中遇到的对象也越来越复杂。对于复杂构造油气藏、岩性油 气藏和裂缝油气藏的勘探开发，必须将各向异性介质地震波的传播理论加以研究来解 决上述问题。 随着地震勘探面临的勘探任务越来越复杂，地震勘探成效在很大程度上，取决于 对符合实际介质模型的方法理论的研究n 1 。如果采用处理各向同性的地震资料的方法 去处理各向异性介质的地震数据一定会导致地震成像的误差和地震分辨率低，因此前 人在地震学和地震勘探中大部分都是假设地球介质都是具有完全弹性性质和各向同 性的物理性质。前人采用各向同性假设来代替各向异性，第一是因为以前观测精度不 高，当然是和观测技术的限制有关，很难通过观测的资料得到所需要的波动各向异性， 因此地震各向异性并没有得到广泛的应用；第二是由于过去己经用各向同性介质模型 近似来代替地球介质模型，并且在一定范围内已经解决了一些实际问题；第三是由于 以前对复杂的各向异性资料进行研究所需要的处理解释技术达不到要求。 地球物理工作者们开始考虑地下岩石的各向异性特性是因为随着勘探地球物理 中各项技术的慢慢发展，多波多分量勘探和大炮检距勘探等新方法新技术的出现，并 且这些方法逐步应用于油田。当然还有，快速发展的计算机技术，也为研究岩石各向 异性提供了重要的支持。因此，研究地震波在各向异性介质中的传播成为一项必要和 重要的工作，也是未来地球物理发展的趋势和必然。 油气勘探的发展主要有两个方向：一是向油藏开发阶段的发展，扩大地球物理方 法的应用范围和领地，提高石油的采收率；二是向纵深方向发展，就是从前期主要研 究的构造油藏的勘探向目前主要研究的岩性油藏的勘探发展，研究复杂地表条件下的 地震采集和复杂地下构造的地震资料的新的处理方法，提高勘探的分辨率，寻找复杂 油气藏，同时加强储层的各种精细物性的研究来提高勘探的精度和开发的采收能力。 对交互薄层岩性油藏和裂缝溶洞油藏等复杂油气藏的研究就是地球物理方法向纵深 方法发展的实际需求。在国内如胜利、渤海湾、大庆、四川和中原油田都发现过裂缝 性油气藏，其中，塔中、轮南、川西和胜利一些目标区块的裂缝检测问题被一些学者 第一章前言 专门研究过( 季玉新，2 0 0 2 ) 。薄储层和裂缝溶洞储层通常在通常情况下都表现为各 向异性。要探测到这些复杂精细储层，必须要一套相应的各向异性理论来指导地震波 的采集、处理以及解释三大环节。因此，目前油气勘探的进一步发展需要各向异性的 深入研究，这样地震各向异性理论也能在此基础上大力发展，油气勘探中的应用能力。 1 2t ti 介质地震波正演模拟研究发展及现状 在勘探地震学方面，二十世纪2 0 5 0 年代各向异性研究仅仅有一些论文阐述的理 论研究出现，5 0 年代才有较快的发展，当时主要是研究薄层各向异性( n 介质) ，但是 由于采集技术的限制，应用上没有受到关注。直到8 0 年代后期，由于横波勘探的发展， 各向异性才被大量关注。从2 0 世纪后期到现在，各向异性基础弹性理论和各种应用模 型都得到了地球物理学家的完善和发展，但是由于其复杂性，在勘探应用研究方面还 相当的欠缺，在天然地震学地球动力学研究方法的应用更是处在初级阶段。因此，需 要进一步研究地震各向异性现象。 地球介质的弹性波一直是广泛研究的对象。n a v i e r 、p o i s s o n 和c a u c h y 等人在l9 世纪2 0 年代对弹性波理论发展作出了程碑意义的贡献推，他们导出了弹性波动力学的 通用的方程组。到了1 9 世纪3 0 4 0 年代，g r e e n 和s t o k e 通过相互协作得出了一个重要的 结论，那就是需要2 1 个独立参数去描述一般情况下的固体弹性性质。后来，k r a u t 对 应用于各向异性介质中的格林函数做了研究并得出了一些定性的波场解。k e l v i n 依据 最基本原理，发表了现代形式上的关于弹性各向异性的第一篇文章并且获得弹性张量 的无坐标表示法。c h r i s t o f f e l 研究了各向异性介质中弹性波的传播并且写了很长的回 忆录【2 训。 各向异性的研究在2 0 世纪取得了卓越的进展。l o v e 研究了h t i 介质中的应力和 应变它们之间的定量关系。r u d s k i 研究了各向异性介质里平面波的性质，首先提出了 各向异性地震波的定量计算方法。l o v e 细致的研究了横向各向同性介质与体波及面 波他们之间的关系。b r u g g e m a 在1 9 3 5 年得出结论，层状固体平均具有轴对称性，这 还是第一次被指出。同时还确定了需要5 个弹性参数描述平均固体的性质，他被公认 为是周期性薄层( p t l ) 模式理论的首创者。s t o n e l e y 和r i g n i c h e n k o 分别研究了陆棚结 构中地震波的似各向异性和地震各向异性的意义。h e s s 通过研究p 波的速度，发现 上地幔总体上表现出了各向异性。k r e y 和h e l l i g 对薄层状介质中的各向异性特性中 反射波的传播规律进行了研究。b a c k u s 推导出了弱各向异性介质中的速度和岩性关 系之间相关联的公式 5 - 6 。f o r s y t h 通过研究发现基阶瑞雷面波速度频散会因方向的不 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 同而发生变化，得出一个结论：最大频散方向是在地幔的对流方向上。a u l d 得到了 二维各向异性介质和三维各向异性介质中弹性波动方程的位移解。t a k e n c h i 使用新方 法制作了h t i 介质中合成记录的传播矩阵。h u d s o n 把裂隙定向分布情况下的各向异 性介质中的本构关系给推导了出来，c h r i s t o f f e l 方程被a u l d 推导出，他也求出了三种 体波的相速度和偏振方向。c a l p r i l l 通过研究v s p 地震记录，首次观测到了横波双折 射的现象7 1 。 各向异性介质中的正演模拟方法的研究在2 0 世纪8 0 年代以后取得了巨大的进步 并走向成熟。用t h o m s e n 系数来表示介质各向异性被首次提出，并且t h o m s e n 给出 了t i 介质中三种波的近似相速度表达式和相速度和群速度之间的关系。r o b e r t w v c s t r u m 对倾斜t i 介质的地下结构特征做了详细描述。t s v a n k i n 等分析了倾斜t i 介质时差。j o h nc b a n c r o f t 把逆时偏移方法用于1 v r i 介质，分别对各向同性介质和各 向异性介质进行了偏移，得出了结论：在偏移位置和反射面的连续性两个方面上，各 向异性介质下的逆时深度偏移在的效果是明显的优于各向同性 8 - 9 o l i n b i nz h a n g 把声 波近似作为基础，通过对有倾斜对称轴的横向各向同性介质( t t i ) 中波传播的频散关 系的研究，推导出一个简单的声波方程，它比弹性波方程更加简单，方程可以对纵波 传播过程中的损耗和纵波旅行时进行比较准确的计算，并对波场使用有限差分方法进 行数值模拟1 10 1 。 t h o m a sm e n s c h 推导出了一种速度的近似表达式，它是关于任意各向异性介质中 波传播的表达式，而且更加简单。牛滨华和何樵登等通过研究坐标旋转这一方法，取 得了求取相速度的一种简便方法即六方各向异性介质情况下的方位矢量波动方程。这 个波动方程被用来直接求取介质的相速度，比较起来这就是一种很简单方便的办法。 r n j r a s o l o f o s a o n 1 1 】在t h o m a sm e n s c h 的公式基础上，他进一步发展出了在任意对 称各向异性介质中，无论地震波是从水平或倾斜界面反射而得到的正常情况下时差速 度的常用的显式解析表达式。侯安宁和何樵登在h u d s o n 模型的基础上，推导出了三 维含裂隙介质中弹性波波传播的群速度和相速度的一种解析表达式，同时在干裂隙和 流体饱和裂隙情况下分别得出了相应的速度。通过得到的结果分析可以看出，裂隙的 纵横比和填充裂隙介质的特性这两个因素对速度的影响最大，而其它因素如骨架介质 的弹性特性和裂隙的平均密度等对速度影响要小了很岁1 2 j 。 d a b l a i n 和v i r i e u x 对t i 介质的波场模拟的研究，最早应用高阶交错网格有限差 分法于各向同性介质，r a m o s m a r t i n e zj 和o r t e g a a 研究了横波分裂现象，d o n ge t a 1 第一章前言 和l g e l 等对各向异性介质都使用了交错网格有限差分法实现了波场数值模拟，采用的 模型是两组斜交垂直裂隙介质，使用了一阶速度应力方程和高阶交错网格有限差分 法进行了模拟 1 3 , 1 4 。候安宁和何樵登全面的研究了各向异性介质中的高阶有限差分法 和它的稳定性，并深入研究了地震波动方程高阶交错网格有限差分法求解各向异性介 质得到的数值相速度误差及数值相速度色散的误差大小。得出的结论是：高阶交错网 格有限差分法通常是要求每个波长长度中离散网格的点数至少为6 ，当然了，低阶如 时间2 阶空间2 阶的数值各向异性要比高阶差分时间4 阶空间6 阶要求网格点数多很 多。王德利对二维三分量进行了模拟，采用的模型是裂隙型单斜介质【限1 7 1 。 c r a m p i n 等通过对v t i 介质高阶差分方法的模拟，发现了在横向各向同性介质中 的波的运动解耦现象，它是由s h 波运动和p 波与s v 波相互运动产生的。候安宁和 何樵登对伪谱法做了详细研究，得出了各向异性介质中地震波动方程的稳定性条件， 为了研究三种在各向异性中常见的震源辐射特征使用了伪谱法进行了模拟，并且对三 种各向异性模型进行了模拟( p t l 、e d a 和正交介质) ，同时研究了地震波的波场快照 的一些特征，最后通过模拟得到的v s p 记录去分析了力源作用在裂隙诱导各向异性 介质上的波场特征。c a r c i o n e 等在模拟三维各向异性介质中地震波传播时使用了伪谱 溃f 1 8 - 2 5 1 二o 王晓欢等也进行了二维三分量弹性波波场数值模拟，采用的是交错网格高阶有限 差分法，同时对三维t t i 介质的群速度和相速度进行了模拟研究。j i a n l i nz h u 与j i m d e r m a n 采用了二维三分量有限元法模拟，主要是为了研究此模拟方法在广义t i 介质 中地震波的传播特征，同时还给出了弹性矩阵坐标变换的表达式及推导旋转矩阵的全 部过程方法 2 6 - 2 8 】。吴国忱导出了t t i 介质弹性波的相速度和群速度公式并且建立了 t t i 介质q p 波波动方程频率空间域有限差分解数值模拟算法【2 9 】。 1 3 本文主要研究内容及技术路线 1 3 1 论文主要研究内容 地球物理学家证实地震介质普遍存在各向异性，而且它们对地震资料处理的每个 环节都有重要的影响，这些影响又不能被忽略。理论的逐步完善和高速发展的计算机 技术为解决各向异性问题提供了必备的条件。我国东西部油田都存在着大量的裂缝型 和溶洞型油气储层，裂缝和溶洞储层般都表现为各向异性介质，所以研究各向异性 资料的处理问题，既是追踪世界技术前沿，也是为解决我国东西部勘探问题提供理论 和技术支持。本文主要研究内容如下： 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 一、基于t t i 介质的高阶交错网格有限差分算法。基于一阶速度应力方程的交 错网格有限差分算法是目前应用比较多，发展比较成熟，备受研究者青睐的一种正演 模拟算法。它从稳定性和适应性上要远远优于传统的规则网格。本文基于t t l 介质， 研究了高精度的有限差分数值算法，用来对t t i 介质进行数值模拟，在数值模拟过程 中还要完成相关的公式推导。 二、算法程序的并行化。本文还将基于丌i 介质的交错网格有限差分算法去实现 程序的并行化。对于复杂的大型地震地质模型，模拟时间耗时很长，效率低下，从经 济效益上讲可接受度非常低。对有限差分算法进行改进用去实现算法并行化，寄希望 于提高对大型速度场的多炮正演模拟的计算效率。 三、边界条件研究。对于各向异性介质来说，由于方程更复杂，独立弹性参数更 多，所以边界反射也更难处理。为了不增加方程计算的复杂程度，本文对衰减边界条 件的衰减系数进行了多次修改调整，希望实现参数的最优化，在保持高效运算的前提 下，对边界反射实现了较好的衰减效果。 四、t t l 介质等效模型的建立及弹性波的传播规律的研究。本文对前人提出的三 种经典的等效理论进行了阐述和公式推导。通过对一系列模型的等效，对t t i 介质中 的弹性波进行正演模拟，并将对结果进行研究分析。 1 3 2 论文采用的技术路线 技术路线采用理论研究、方法优选、算法优化、和模型试算相结合的思路： 第一，深入阅读理解文献，继承前人提出的好的可行的方法，对概念，方法以及 公式推导等有自己的深入理解； 第二，基于研究内容，从理论上分析各向异性条件下地震波方程的公式推导，优 化的差分算子，边界条件的处理等，通过模型试算优选方法，并实现程序的并行化， 优化算法； 第三，把1 v r i 介质条件下地震波数值模拟的研究方法用程序进行实现； 第四，对简单模型和复杂模型进行试算，验证方法和算法，确定处理流程；优化 算法，反复验证； 第五，对模型试算的结果进行分析，得出结论。 第二章各向异性的基本概念 第二章各向异性的基本概念 地球介质实际上是一种复杂的介质，研究起来也比较复杂，其介质具有非均匀、 非完全弹性、各向异性的、多相态的特点。地震学理论利用地震波的正反演技术来深 入的研究地球介质内部的结构和组分，由此知道它的研究对象是地球介质，常说地球 介质模型对地震学理论的发展起了极大的推动作用，有了模型才能去研究其理论，因 此可以说地震理论的发展是和地球介质模型的发展相互促进的关系【3 0 1 。由最初简单一 些的地震波动理论逐步去向实际的地球介质波动理论靠近，这就是所说的地震学理论， 通过建立的理论上的模型来模拟真实的地球介质，二者的相似度愈高，建立在此基础 上的地震学理论也就能使用于更多的地方，那么也能全面的说明清楚问题，但是这也 造成定解问题带来了复杂性，让求解变得更加困难。地震上的弹性波动理论是属于地 震学的范围，因此，地震波理论和弹性波理论可以认为实际上是相同的。本章内容主 要介绍各向异性弹性波的波动方程推导过程，以及各向异性介质情况下的波动方程； 同时介绍了各向异性介质的分来，并对实际的地球各向异性介质进行了简单介绍；最 后介绍了各向异性介质弹性波的c h r i s t o f f e l 方程，并给出了t t i 介质的弹性矩阵。 2 。1各向异性弹性波波动方程 通过前人研究的结果知道，弹性波动力学问题研究的物体都该是具有弹性性质的 物质，即物质在外力的作用下发生的形变是弹性形变，弹性的形变会随着这个外力消 失而消失。地震波在地球介质中的传播引起的形变就可认为是弹性形变，应该是在弹 性波动力学的研究范围内。各向异性弹性波波动方程是研究地震各向异性的基础，是 研究地震波传播规律的出发点。弹性波波动方程是以弹性波动力学提供的三个最基本 方程为基础，三个方程分别是，第一个是本构方程即广义虎克定律，第二个是运动微 分方程即n a v i e r 方程，第三个是几何方程即c a u c h y 方程 3 1 - 3 5 1 。弹性物体内部各质 点的应变、应力及位移三者之间的关系就被上述三个方程准确的描述出来了，在此三 个方程基础上就可以建立各向异性弹性波波动方程。 2 1 1 本构方程 本构方程是物体所固有的物理性质的反应，本构方程也被称为广义虎克定律，它 是用来描述物体各质点的应力和应变之间它们之间的相互关系，它建立的基础是基于 c a u c h y 弹性性质与g r e e n 弹性性质。下式即是本构方程的通用表达式为： = ( 2 一1 ) 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 它描述的是在弹性形变范围内应力和应变之间的关系，根据广义胡克定律，基于 弹性形变为基础，应力和应变就是数学上定义的线性的关系。虎克定律公式中，其公 式参数的下标( f ，歹，k ， ) 的取值范围也是l 到3 ，分别代表纵向、横向和垂向的坐标轴。 e k l 代表应变张量，吼，代表应力张量，c i j k l 就是代表刚度张量( 又被称为弹性矩阵) ， 通常所说的弹性常数就是矩阵中的元素的简称，全称称为弹性刚度常数。应力与应变 张量分别有9 个分量，下标( f j ，艮，z ) 的值可取为l 到3 ，因此可以得出刚度张量共有 8 1 个弹性常数。应力可以理解为每平方米面积上所受到的压力，它的单位是n m 2 ， 但是实际上它并不是一种压力，而可以认为是压强。之所以把刚度张量分量的单位定 义为n m 2 是由于应变是没有量纲的一个量。弹性波在地球介质中传播，除了在震源 附近不发生线性形变，震源周围其它的地方都被认为发生了弹性形变，所以可使用描 述弹性形变的线性微分方程来进行描述。 基于应变张量的对称性，可以知道只有六个分量是相互独立的。 p 。：e ，。：三( 堕+ 抛- - - , 。) n v - - 一1 z - 、 2 2 j 蔷+ 觑。 由于应力是相对于内力与单位截面积相垂直的平衡的力，是只与平衡物体的内部 的力相联而和其它的非平衡力与扭转力是没有一点关系的。相应的，应力的张量也具 有了对称的性质，和应变一样仅有六个相互独立的分量。 = 劬 ( 2 3 ) 由上面的说明，可知应力、应变张量分别都具有对称性，因而可得出刚度张量。删 也有下式表述的对称性质。 c o - , , = c ( 2 - 4 ) c o k l = c j i k i ( 2 - 5 ) 根据以上两种对称性对方程进行简化，还有，根据弹性固体的应变能函数对方程 进行简化，弹性刚度张量中的分量由原来的8 1 个缩减到3 6 个分量，然后c 删的独立 弹性常数再由原来的3 6 个减到比较少的2 1 个。 e 2 f p l ，p 肼 ( 2 6 ) 如果介质的对称性更多，当介质存在对称轴或者对称面时，将会使用更少的弹性 常数来描述弹性介质。极端各向异性介质的弹性刚度张量中的弹性常数个数就是2 1 个。 常常，广义虎克定律也可以表述成成矩阵方程的形式，它描述的是应力和应变之 7 第二章各向异性的基本概念 间的线性关系，且弹性刚度系数矩阵是每个元素都是带有4 个下标的一个6 * 6 的对称 矩阵。 0 - 1 1 吒2 吧3 昵3 c r 3 j o 1 2 ( 2 - 7 ) 如果把弹性刚度矩阵元素下标分别简化，此矩阵也可以写成v o i g t 矩阵形式，使 其4 个下标变为2 个下标，即：c i j v a = c m n ( m ，n = 1 , 2 一6 ) 。简化的方式如下：把1 1 用l 来表示，2 2 用2 来表示，3 3 用3 来表示，2 3 和3 2 用4 来表示，1 3 和3 l 用5 来表示，1 2 和2 1 用6 来表示。 0 - 1 1 0 2 2 0 3 3 0 2 3 0 3 1 0 1 2 式( 2 8 ) 又可写成简化为 式中 c = 仃= c s 仃= ( q l ，吒2 ，q 3 ，吒3 ，l ，o - 1 2 ) r 6 = ( 8 1 l ，乞2 ，毛3 ，& 3 ，岛l ，毛2 ) r c l lg 2c 1 3c 1 4c 1 5c 1 6 c 2 lc 2 2c 2 3c 2 4c 2 5c 2 6 c 3 lc 3 2c 3 3c 3 4c 3 5c 3 6 c 4 lc 4 2c 4 3c 4 4c 4 5c 4 6 c 5 lc 5 2c 5 3c 5 4c 5 5c 5 6 c 6 lc 6 2c 6 3c 6 4g 5c 6 6 ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) 可以看出矩阵c 也是一个具有对称性质的矩阵，它的逆矩阵a = c - 1 被认为是柔 度矩阵。上面的公式( 2 - 1 2 ) 就是常用的物理方程( 即本构方程) 。 2 1 2 运动微分方程 8 2 3 ” ” 他 q乞巳瑟幻加 矿ooooooo。ooooo且 2 2 2 2 2 2 i 2 3 3 3 2 q q g q q g 婚 b b b b b l 2 3 3 3 2 g q g q q g 3 3 3 3 3 3 比 控 弛 弛 弛 n q q q q q q 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 l 2 3 3 3 2 g q g q g g 2 2 2 2 2 2 心 船 弛 弛 舱 g g g q g g 2 3 3 3 2 q q q q q q 历如彩如如历 丌oojoiioiioji韭 g 己厶d 以已 厶如厶d 以厶a 凸以d & 己凸厶d 巴西 z 2 2 2 2 2 厶凸厶d 厶& l 2 3 4 5 6 c c c c c c 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 弹性介质的位移、应变和应力以及能量变化均是一个动态的变化过程【3 6 1 。当弹性 物体受到外力作用时，该外力要转化为物体内部的应力，并使弹性介质内部发生应变 及位移，即形成了弹性波场。上述弹性波场的动态变化过程可以通过牛顿第二定律进 行表述前提是介质的尺度为微体积元，在此基础上可以得到运动微分方程( 即n a v i e r 方程1 【3 7 】： p 备u - - - l a r + p f ( 2 - 1 3 ) 公式中，p 表示介质的密度；亡是时间的变量；f = 妖，元，z ) r 表示单位体积质量 每个元素上的体力向量；u = ( ，) 7 表示位移的矢量；表示偏导数算子的矩 阵；o - 表示应力的向量： l = = 旦ooo 旦旦 。旦。旦旦o oo 旦旦旦o ( 2 - 1 4 ) 2 1 3 几何方程 位移和应变之间的关系可以用几何方程来进行描述，其表达式为： = l r u ( 2 15 ) 在这个公式中，u 表示位移的矢量，应变向量用来表示，r 就是偏导数算子的矩 阵l 转置后得来的，如果使用下标形式可以表示为： 勖：丢( 挈+ 挈) ( 2 1 6 ) 勖2 j 葛+ 磊 u 2 1 4 各向异性介质波动方程 一般形式下的运动学的微分方程、本构方程和几何方程都是基于上述的弹性波动 力学原理推导出来的。然后再由三个方程推导出常用的各向异性波动方程组，其方程 式如下式所示： p 鲁u = l ( c l r u 、七莎( 2 - 1 7 ) 式( 2 1 7 ) 写成具有下标形式的形式为： p 矿0 u , 一丽0 u , = 彦 ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 7 ) 和( 2 一1 8 ) 式都极其详尽的描述出了各向异性弹性介质中弹性波在此介质中 第二章各向异性的基本概念 的传播规律和不同质点在各个时刻的位移，都是用位移描述的一般情况下各向异性介 质中弹性波的波动方程。如果再把初始条件和边界条件给定后，就可构成既定的弹性 波动力学问题。几何方程、本构方程和运动微分方程三者都具有具体的物理意义，根 据几何方程、本构方程和运动微分方程它们之间的联系，把三者之间相互进行代换后 就可以导出常用的弹性波波动方程。 2 2 各向异性介质的分类 2 2 1 各向异性介质的分类 各向异性在地球介质中是广泛存在的。地震学家( c r a m p i n ，1 9 8 1 ) 根据各向异性 介质的对称性，将各向异性介质分为十类3 0 1 。 1 三斜对称各向异性介质2 单斜对称各向异性介质 c = c = ： 3 正交对称各向异性介质 5 四方对称各向异性介质i i c = 0 0 0 0 0 c 6 6 0 0 0 0 0 c 6 6 c = c = 1 0 c = c l lc 1 2c 1 3 0 c 1 5 0 c 1 2c 2 2 c 2 3 0 c 2 5 0 c 1 3c 2 3 c 3 3 0 c 3 5 0 000 c 4 4 0 c 4 6 c 1 5c 2 5 c 3 5 0 c 5 5 0 000 c 4 6 0 c 4 四方对称各向异性介质i c 1 2c 】3 0 c 2 2c 2 3 0 c 2 3c 3 3 0 0 0 c 4 4 oo0 一c 1 6 00 0 c 1 6 0 一c l 。 o0 oo g 5 0 0 c 6 6 6 三角对称各向异性介质i o o c 1 3c 1 4一c 2 ， c 1 3 一c c 2 5 c ，3 0 0 0 c “0 0 0 c “ 0 c 2 5g 厶凸以d 厶已厶凸& d 以& q q q q g g q q q g g g g g g q g g g e q q g g l 2 3 6 g q g 0 o g o o o o g o o o o q o o g q q o o o g q q 0 o 0 q q q o o o g o o c 一2 吒t o o 0 o g o 0 0 o a o o g g g o o o q q q 0 o o q q g o o 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 7 三角对称各向异性介质i i8 六方对称各向异性介质 c ：障 c = g ：g ，c j 0 0 c l lc 1 3 一c 1 4 0 0 g 3 c 3 3 000 一c 1 4 0 c “0 0 000 气c i oooo c i 三( c i i c 1 2 ) 9 立方对称各向异性介质 c l 。g ：q ： c 1 2g 1c 1 2 c l ：g ：g 。 0o0 0o0 0oo 其中，c 1 2 = q l 一2 ooo 0oo oo0 c 4 0 0 0 c 4 4 0 00 c 4 。 c = c = oooo o 三( c i 。一c 1 2 ) 1 0 各向同性介质 c l 。c l ：q ： c 1 2c l lc 1 2 g ：g ：g ， ooo o0o ooo ooo 0o o ooo c 4 4 00