（基础数学专业论文）三维双曲空间中非类光曲线的球面达布像集.pdf

摘要 在本论文中，我们给出了三维双曲空间中非类光曲线的球面达布像集的定义，通 过建立一族高度函数，并对此高度函数应用奇点理论得出了非类光曲线的球面达布像集 的奇点分类 关键词：三维双曲空间；球面达布像集；奇点 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eg i v et h ed e f i r f i t i o no ft h es p h e r i c a ld a r b o u xi m a g eo fn o n l i g h t l i k e c u r v ei nh y p e r b o l i c3 - s p a c e ，a n dg i v et h ec l a s s i f i c a t i o no ft h es i n g u l a r i t i e so ft h es p h e r i c a l d a r b o u xi m a g eo f n o n l i g h t l i k ec u r v ei nh y p e r b o l i c3 - s p a c eb yc o n s t r u c t i n gah e i g h tf u n c t i o n k e yw o r d s ：h y p e r b o l i c3 - s p a c e ；t h es p h e r i c a ld a r b o u xi m a g 岛s i n g u l a r i t y i l 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的结果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 从1 9 5 5 年h w h i t n e y 发表了关于平面到平面的映射奇点开始，奇点理论开始作为 一门独立的数学分支登上了数学舞台。h w h i m e y 奠定了奇点理论的基础，他发现平 面到平面的映射在通有意义下只有两类奇点，一类称为折叠型奇点，一类称为尖点型奇 点。这两类奇点是稳定的，即在微小的扰动下不会消失也不会改变类型，而其它复杂的 奇点经扰动后都能转化为这两种形式的奇点。 在几何学的应用中，j w b r u c e 等人通过建立空间曲线的高度函数和距离平方函数， 对三维欧式空间中曲线和曲面及由曲线生成的曲线和曲面的奇点分类进行了研究在文 献【l 仲，介绍了关于平面曲线的奇点理论的基本方法，为奇点理论的研究提供了更完善 更有效的理论依据在文献 4 ，中给出了n 维双曲空间中的f r e n e t - s e r r e t 标架，这个 标架将在本论文的奇点分类证明中起着重要的作用，在文献 5 中，s i z u m i y a 等人研 究了柱面螺线和贝特朗曲线的通有性质文章证明了柱面螺线可由平面曲线构造，贝特 朗曲线可由球面曲线构造，并且这种构造是一一对应的因此，平面曲线和球面曲线的性 质就分别和柱面螺线和贝特朗曲线的性质联系了起来并且作为有关平面曲线的奇点定 理的应用，文章给出了贝特朗曲线的达布可展曲面的奇点分类前几篇文章都是与曲线 有关的奇点分类，文献 6 中，给出了直纹面的通有奇点在文献 7 、 8 中，主要介绍 了类时曲线和类空曲线性质文献【1 4 】主要研究了高斯映射，微分映射和光滑函数能保 持奇点的稳定性及不变性文献 1 5 主要研究了在n 维空间中高维子流形的局部微分性 质。通过局部性质的研究来确定在欧氏高维空间中的奇点的分类及性质文献 1 6 介绍 了非类光曲线的l o r e n t z i a n 高度函数和l o r e n t z i a n 距离函数，定义了副法线标型和非 类光曲线的焦可展曲面，并且建立了两类曲面的奇点和曲线在l o r e n t z i a n 群作用下的 几何不变量之间的联系在文献 1 7 中，定义了三维m i n k o w s k i 空间中的光锥高斯映射， 光锥垂足曲线和类空曲线的光锥可展曲面，同样，该文也详细描述了光锥可展曲面的奇 点和类空曲线在l o r e n t z 群作用下的几何不变量之间的联系在文献 18 中，主要研究 在m i n k o w s k i - 4 维空间中的空间型曲面的光锥高斯映射的奇点问题并且估计了在 l o r e n t z 群的作用下奇点和此曲面的几何不变量文献 1 9 中，主要是通过建立双曲高度 函数，研究了二维双曲空间中平面曲线的包络的奇点分类，文献【2 0 研究了在双曲几何 中双曲高斯映射下的奇点的分类问题文献 2 l 】主要研究在n 维双曲平面内余维为2 的 子流形的极限，介绍了极限球概念及性质。 在文献 2 中s i z u m i y a 等人给出了三维欧式空间中非类光曲线的从切高斯曲面 n ，。、 r g ( 7 ) = u t ( s ) + b ( s ) ju r ，s i ) 和达布像集d ( s ) = 黑的奇点分类，其中 p 【s ) i | 东北师范大学硕士学位论文 d ( s ) = r ( s ) t ( s ) + k ( s ) b ( s ) 叫做达布向量证明过程的关键是构造和两个曲面分别相关的 两个函数，分别是体积高度函数和体积距离函数而在文献 3 中，车明刚等人研究t - - 维m i n k o w s k i 空间中非类光曲线的达布像集和从切高斯曲面的奇点分类，同样证明过程 的关键是构造了一个光滑函数族，即副法向高度函数族在以上研究的基础上，本篇论 文在三维双曲空间中，给出了非类光曲线的球面达布像集的定义，并且在三维d e s i t t e r 空间中定义了一个二维球面s ；，构造了光向量高度函数，这个二维球面及高度函数的 构造是奇点分类证明过程的关键所在在上述方法的基础上，得出了本文的主要结果如 下： 设y ：j 一日? 是单位速度曲线，k lg ) 1 ，k 2g ) o 则我们有以下结论成立： 曲线7 的球面达布像集在d g 。) 处局部微分同胚于尖点c 当且仅当( 备) = 。 且( 南 o 东北师范大学硕士学位论文 1 预备知识 定义1 1 设r 4 = 戤1 ，x 2 ，而，x 4 ) ix i , x 2 ，x 3 ，z 4 r ) 是四维实向量空间， 工= b 。，而，而，x 。) ，y = 。，儿y 3 y 。) 是r4 中的两个向量，它们的伪内积定义为 ( 石，力= 石l y l + 工2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 儿 则称( r 4 ，( ，) ) 为四维m i n k o w s k i 空间，简记为r 7 对于r ? 中任意的三个向量z ：x 。，x ：，工，以) ，y = i ，y ：y 3 y 4 ) ，z = ( z 。，z 2 , z 3 , z 。) ，x ， y 和z 的伪向量积定义为： x 八y z 2 工4 y 4 z 4 其中 e i ，e 2 ，e 3 ，气) 是r ? 的伪标准正交基容易验证石 y z 伪正交于工，y ，z 中的 任何一个 定义1 2 对于非零向量x r ? ，若 0 ， o ，( 少o ) 尹o = 0 ，( 尹o ) 尹o o 时，曲线7 分别叫做类空曲线，类光曲线 东北师范大学硕士学位论文 若7 是类空曲线或类时曲线，则称7 为非类光曲线 定义1 5 非类光曲线7 以t 。) ，为起点的弧长为s o ) = ：0 触) i b 且 耖g = l ( 其中y g ) = 警g ) ) ，所以当杪g 1 1 = l 时，称非类光曲线的参数s 为弧长 本文中的s 均为弧长参数，肛0 0 ，以下不另作声明 定义1 6 对于r ? 中的向量z ，定义空间日? = 缸r fi ( x ，x ) = - 1 ，x l o ) 称空间 日? 为三维双曲空间 定义1 7 于尺? 中的向量x ，定义空间s j 3 = z 尺i 4i + 幢+ 毛砭一砰恕一砬k 一2 巧 ( 群一3 毛群一3 砭砭h ，哆= 则 当且仅当 赤( - 撬+ 铂母屯一毡乞讯+ ) g v ( s ) = g ：g ) = g ：( s ) = g v m ( s ) = 0 随赫 8 嗡 一o ，嫱卜 东北师范大学硕士学位论文 4 单变量函数的开折 定理2 1 的证明完全类似于文献【2 】，在此省略。f 面我们应用函数芽的奇点理论完 成定理2 2 的证明首先了解一下单变量函数的开折 令，：伍f ，( s o ，而) ) 一尺是一个定义在点( s o ，x o ) 附近的光滑函数，我们称这样的函 数是k ，z 。) 处的一个函数芽对于厂0 ) = f x 0g ，) 来说，我们就称，g f0 0 一r 参数开折 如果对所有l p k 都有厂，( s 。- - - o 髟“10 。) 0 ，则我们称( s ) 在j 。处有a k 类奇点 若对所有的1 p k 都有川s o ) = 0 ，t p g s f ( s ) 在处有彳猷类奇点 设，是的厂参数开折，厂( j ) 在j 。处有4 类奇点，我们记s o 处的偏导数喜l 的 ( 七一1 ) 阶导网为： t q ( 婺 ，x 。) ) 。) ：k - i 哆；s ，f ：1 ， o x ，百 若由( k 一1 ) 导网的系数组成的( k 一1 ) xr 阶矩阵( 口。) 的秩为k l ( k 一1 r ) ，则 ，称为f 的( p ) 通用开折同样的条件下，若七，阶系数矩阵( ，口厅) 的秩为k ( k ，) ， 则称，是厂的通用开折，其中口。，：i o f 一( s o ，x 0 ) 下面介绍一些与开折有关的重要集合： ，的分歧鼽耻p 7 l a 出f ( 蹦，等仅加。 ，的判别式集为：。，= x r 7 i f ( s ，x ) = 誓( s ，工) = 。) 在j w b r u c e 所著的( ( c u r v e sa n ds i n g u l a r i t i e s ) ) 一书中有以下定理，对研究奇点分 类有着不可缺少的作用 定理4 1 设f ：伍尺7 ，s 。，x 。) ) 一r 是厂( s ) 的r 参数开折，在s 。处有彳。类奇点 ( 1 ) 假设，是f 的( p ) 通用开折 ( a ) g ：k - 2 ，n b ，局部微分同胚于 o k r 卜1 东北师范大学硕士学位论文 c o ) 若= 3 ，则最局部微分同胚于c x r 一 ( 2 ) 假设f 是，的通用开折 ( a ) 若k = 1 则珥局部微分同胚于 0 ) r 1 ( b ) 若i = 2 ，则d f 局部微分同胚于c x 月2 ( c ) 若= 3 ，则d ，n n ，微分n n - t - s w x r 7 。 倒2 失棱图3 燕尾 命题4 2 若岛在处有一 ( 七= 2 ，3 ) 类奇点，则g 是民 的通用开折 证明g = ( q 0 ) + “s xv ) 我们将各向量坐标表示如下； y + n ，= 慨一b 也，b 4 ) ，v = ( o ，扛j ；f 万，乃) 则有： 如0 = “+ 埘口；b ：乒两+ b 3 y ：+ 6 幽 g ( s ，v 】对，y ，分别求导得； a g a y2 a g 砂， 1 掣i + 6 3 1 一y ；一y ； 3 嘏y + 6 41 一；一，； + 包( s o ) ) s 2 ( 1 ) 当g 。( 5 ) 在点j o 处有爿类奇点时，我们希望如下1 x 2 阶矩阵a 的秩为 l 燕坞黄地j 够 东北师范大学硕士学位论文 显然有忡1 1 2 = 霹+ 贸+ r 糍砖。，可判定矩阵a 的秩为1 ( 2 ) 当g 峋( s ) 在点处有彳2 类奇点时，我们希望如下2 2 阶矩阵b 的秩为2 ： 口：三 2 而- 露y 0 2 b 磊2 + 6 31 一y 丕一y 五 三型! 丝+ 6 3 7 ( s ) 4 1 - y o 丕- y 0 2 。、。 再- 霸y 0 3 b 2 蚕+ 6 41 一y 毛一y 志 三型磐+b47(s41 - y 毛一y 毛 一 由计算得d e t 陋) 0 ，因此可以判定矩阵b 的秩为2 即g 是鼠的通用开折 对于光向量高度函数g ，由命题3 1 ，我们知道g ( s ，v ) 的判别式集恰为7 的球面达 布像集，则可以根据定理4 1 我们即可得到定理2 1 中的奇点分类 东北师范大学硕士学位论文 结论 本篇论文中，我们定义了二维球面s ；和非类光曲线的球面达布像集，构造了光向 量高度函数族，并对此高度函数应用奇点理论，得出了三维双曲空间中非类光曲线的球 面达布像集的奇点分类但由于时间有限，在最后的命题证明中计算部分尚且有未完善 的地方，在今后的学习中，可沿此方向继续努力，以便得到更完善的结果 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 】j w b r u e ea n dp j g i b l i n ，c u r v e sa n ds i n g u l a r i t i e s ( 2 n d e d ) ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，19 9 2 2 】s i z u m i y a , h k a t s u m ia n dt y a m a s a k i ，t h er e c t i f y i n gd e v e l o p a b l ea n dt h es p h e r i c a ld a r b o u xi m a g eo f as p a c ec u r v e j ，b a n a c hc e n t e rp u b l i c a t i o n , c a u s t i c s 9 8 ，1 9 9 9 ，5 0 ：1 3 7 - 1 4 9 【3 】c h em i n g g a n g ，j i a n gy a n g ，p e id o n g h e ，t h eh y p e r b o l i cd a r b o u xi m a g ea n dr e c t i f y i n gg a u s s i a n s u r f a c eo fn o n g l i g h t l i k ec u r v ei nm i n k o w s k i 3 - s p a c e j ，j o r u n a l o fm a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha n d e x p o s i t i o n , 2 0 0 8 ，2 8 ：6 5 1 - 6 5 8 4 】p e id o n g h e ，s i n g u l a r i t i e so f h o r o s p h e r i c a lh y p e r s u r f a c e so fc u r v e si nh y p e i b o l i c4 - s p a c e p r e p r i n t 5 s i z u m i y a , n t a k e u c h i ，g e n e t i cp r o p e r t i e so f h e l i c e sa n db e r t r a n dc u r v e s j ，g e o m , 2 0 0 2 ，7 4 ：9 7 10 9 【6 】s i z u m i y a ，s i n g u l a r i t i e so f r u l e ds u r f a c ei n 尺【j 】，m a t h p r o e c a m b p h i l s o c ( 2 0 0 1 ) ，1 3 0 1 7 】裴东河，孙伟志，金应龙，三维m i n k o w s k i 空间内的时间曲线 j 】东北师大学报( 自然科学版) ， 2 0 0 0 ，3 2 ：2 5 3 3 8 】裴东河，孙伟志，帕提古丽，三维m i n k o w s k i 空间内的空间型曲线 j 东北师大学报( 自然科学版) ， 2 0 0 4 ，3 6 ：1 - 9 【9 】j w b r u c e ，o ns i n g u l a r i t i e s ，e n v e l o p e sa n de l e m e n t a r yd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y j ，m a t h p r o c c a m b r i d g ep h i l o s s o c 1 9 8 1 ，8 9 ：4 3 - - 4 8 1 0 】j w b r u c ea n dp j g i b l i n , g e n e r i cc l l r v e sa n ds u r f a c e 明，l o n d o nm a t h s o c 1 9 8 1 ，2 4 ：5 5 5 5 6 1 【1l 】v la m o l d , s m g u s e i n - z a d ea n da n v a r c h e n k o ，s i n g u l a r i t i e so fd i f f e r e n t i a b l em a p s m 】， b i r k h a u s e r , 19 8 6 【1 2 】j e h l e r sa n de t n e w m a n ，t h et h e o r yo fc a u s t i c sa n dw a v ef r o n ts i n g u l a r i t i e sw i t hp h y s i c a l a p p l i c a t i o n s 【j 】，j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，2 0 0 0 ，4 1 ：3 3 4 4 3 3 7 8 【l3 】d b l e e c k e ra n dl w i l s o n , s t a b i l i t yo f g a u s sm a p s j 】，i l l i n o i s m a t h 1 9 7 8 ，2 2 ：2 7 9 - 2 8 9 1 4 】j n m a t h e r , s t a b i l i t yo fc ”m a p p i n g s j 】，u m n1 9 7 3 , 2 8 ：1 6 5 1 9 0 15 】j a l i r l e ，o ns i n g u l a r i t i e so fs u b r n a n i f o l d so fh i g hd i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e j ，a n n a l im a t 1 9 6 9 ，8 3 ：2 6 1 - 3 3 6 16 】p e id o n g h ea n dt s a n o ，t h ef o c a ld e v e l o p a b l ea n db i n o r m a li n d i c a t r i xo fan o n l i g h t l i k ec u r v ei n m i n k o w s k i3 - s p a c e ，【j 】t o k y o m a t h 2 0 0 0 ，2 3 ：2 11 - 2 2 5 【17 】s i z u m i y a ，p e id o n g h ea n dt s a n o ，t h el i g h t c o n eg a u s sm a pa n dt h el i g h t e o n ed e v e l o p a b l eo fa s p a c e l i k ec b r v ei nm i n k o w s k i3 - s p a c e j 】, g l a s g o w m a t h 2 0 0 0 ，4 2 ：7 5 - 8 9 【l8 】s i z u m i y a , m k o s s o w s k i ，p e id o n g h ea n dm c r o m e r of u s t e r , s i n g u l a r i t i e so fl i g h t l i k e h y p e r s u r f a c e si nm i n k o w s k i4 - s p a c e 【j ，t o h o k um a t h ，2 0 0 6 ，5 8 ：7 1 - 8 8 - 1 3 - 东北师范大学硕士学位论文 1 9 】s i z u m i y a , p e id o n g h ea n dz s m o ，e v o l u t e so fh y p e r b o l i cp l a n ec u r v e s j 】，a c t am a t h e m a t i c a s i n i c a ，j u n e ，2 0 0 4 , 2 0 ：5 4 3 - 5 5 0