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西南大学硕十学位论文摘要 一类变换半群上的若干研究 基础数学专业硕士研究生张佳 指导老师郭聿琦教授 摘要 令玩f 表示一个有限集合m 上的全变换半群，a 是m 的一个非空子集， 玩= ，l ( a ) a 或者i ，( m ) i = 1 ) 显然罗西是。乡衍的一个子半群并且当a = m 时，莎m = 玩，本文主要研究夕0 上的一些等价关系，并且确定了莎矗的一些半群类全文共分为三章 首先给出半群的一些基本概念，介绍半群上的g r e e n 关系和牢g r e e n 关系，以 及一些特殊半群类的定义和性质其次我们把目光集中在上，讨论其上的 g r e e n 关系，借助g r e e n 关系刻画了它的的正则元和完全正则元并确定了的 正则性和完全正则性然后讨论了罗m 上的丰g r e e n 关系，确定它的的富足性并 借助的正则性确定了它的超富足性从以上讨论中我们也提供了一个是富足 半群但不是正则半群的例子 关键词：变换半群g r e e n 关系宰g r e e n 关系正则半群完全正则半群富足半 群超富足半群 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s o m es t u d i e so nac l a s so f ，n a n s f o r m a t i o n j s e m i g r o u p s m a j o r ：a l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s n a m e ： z h a n gj i a s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u oy u q i a b s t r a c t l e t3 md e n o t et h ef u l lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u po naf i n i t es e tm ，w h e r eai s an o n e m p t ys u b s e to fm ， = ，if ( a ) a o rl ，( m ) i = 1 ) o b v i o u s l y , 多mi sas u b s e m i g r o u po f9 m t h e n 莎m = 3 m i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y o nt h et r a n s f o r m a t i o ns e m i g ：r o u p 莎m ，a n d d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r si na 1 1 a n di ti se a s yt os e et h a ti fa = m ， i n v e s t i g a t es o m ee q u i v a l e n c er e l a t i o n s d e t e r m i n es o m ec l a s s e so f 多m t h i s f i r s t l y , s o m eb a s i sc o n c e p t so ns e m i g r o u pa r ep r o p o s e d t h e n ，w ei n t r o d u c et h e g r e e nr e l a t i o n s 一g r e e nr e l a t i o n sa n ds o m es p e c i a lc l a s s e so fs e m i g r o u p s e c o n d l y , w ef o c u so u ra t t e n t i o no n 多m a f t e rs h o w i n gt h eg r e e nr e l a t i o n so f 多m lw ed e s c r i b e t h er e g u l a re l e m e n t sa n dc o m p l e t e l yr e g u l a re l e m e n t so f 莎m a n d 1w ed e t e r m i n et h e r e g u l a r i t ya n dc o m p l e t e l yr e g u l a r i t yo f 莎m l a s t l y ，w eg i v et h e , - g r e e nr e l a t i o n s a n de n s u r et h ea b u n d a n c eo f 莎m s o 。t h es u p p e r - a b u n d a n c eo f 争mi sc l e a r l yb y m e a n so fi t sr e g u l a r i t y i na d d i t i o n ，f r o mt h ea b o v ed i s c u s s i o n ，w ep r o v i d eh e r ea n e x a m p l eo fa b u n d a n ts e m i g r o u pw h i c hi sn o tr e g u l a r k e y w o r d s ：t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ，g r e e nr e l a t i o n s ，枷- g r e e nr e l a t i o n s ，r e g u l a rs e m i g r o u p ，c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p ，a b u n d a n ts e m i g r o u p ，s u p p e r a b u n d a n t s e m i g o u p 独创性声明 学位论文题目：一类变换半群上的若干研究 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：弹位 签字日期：彳年歹肌夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：留不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：戮g 奠 导师签名：趸石学“， 签字日期：沙。7 年，月沙日 西南大学硕十学位论文前言 l j 刖盂 半群代数理论是一个相对年轻的代数学分支，它的系统研究始于2 0 世纪5 0 年 代经过半个多世纪的发展，半群代数理论已经成为基础代数学的一个活跃的研究 领域同时，半群代数理论在自动机理论，计算机科学，组合数学，代数表示论，算子 代数等方面都有广泛的应用 在半群代数理论的研究当中，变换半群的研究占有独特而重要的地位这是因 为，抽象的看，任何半群都同构于一个变换半群也正是由于这个原因，各类变换半 群的研究一直是半群代数理论研究的一个热点另外，变换半群是一种具体的半群， 关于这类半群的研究也为抽象半群提供思路和方法 众所周知，g r e e n 关系是半群代数理论研究的一个重要工具所谓g r e e n 关系， 是指g r e e nj a 于1 9 5 1 年在f 8 1 中定义的五个等价关系p ，叨，彤，9 以及夕实 践证明，g r e e n 关系对半群特别是正则半群的研究具有重要作用因此，给定一类 半群，刻画它上面的g r e e n 关系就是一件自然而有意义的事情 我们知道，正则半群是目前最受关注的一类半群，而完全正则半群又是研究的 最为充分的正则半群类之一如上所述，g r e e n 关系在这些半群( 如正则半群，完全 正则半群) 的研究中起着重要作用富足半群是一类广义正则半群，它是f o u n t a i n j 于1 9 7 9 年在【2 】中定义并首先研究的同时，在该文中，f o u n t a i nj 也对所谓超 富足半群( 超富足半群是完全正则半群在富足半群类中的推广) 作了讨论自2 0 世 纪8 0 年代以来富足半群受到了半群界的广泛关注，取得了丰富的成果在这类半群 的研究中，起重要作用的是作为g r e e n 关系推广的掌一g r e e n 关系木g r e e n 关系也 包括五个等价关系乡+ ，勿，形，9 以及夕因此，刻画一个半群的木一g r e e n 关 系也就成为一件自然而有意义的事情 令m 是一个有限集合，a 是m 的一个非空子集，。是m 上的全变换半群 1 9 6 6 年，m a g i l lk d 在文 1 0 】中提出并开始研究变换半群 黝= f 。if ( a ) a ) ， 获得了这类变换半群的有趣的性质本文研究比勘更大的一类半群细，这里 = ，if ( a ) a 或者i ，( m ) i = 1 ) 显然是。的一个子半群，勘是的一个子半群我们看到，当a = m 时。孚m = 雪m 本文就上述变换半群展开研究第一章是预备知识在第二章中，我们讨 论了罗m 上的g r e e n 关系，进而刻画了这类半群上的正则元和完全正则元在此基 1 西南大学硕士学位论文前言 础上，我们给出了是正则( 完全正则) 的一个充分必要条件在第三章中，我们 刻画了莎m 上的木g r e e n 关系，刻画了这类半群上的富足元和超富足元事实上， 我们证明了，关于任意a m ，是富足半群，而是超富足半群当且仅当 是完全正则半群 2 西南大学硕士学位论文第1 章预各知识 1预备知识 在本章中，我们给出整篇论文中需要经常使用的概念和记号第1 节给出了半 群代数理论的一些基本概念第2 节对我们研究中涉及的格的有关知识做一个简 单介绍在第3 节中，我们介绍本文主要研究的g r e e n 关系，正则半群和完全正则 半群的有关概念和性质在第4 节中，我们介绍木一g r e e n 关系，富足半群和超富足 半群的有关概念和性质关于半群代数理论的系统介绍可参考h o w i e 的书 7 或者 8 】关于格的知识可参考 2 0 或者 1 】关于正则半群和完全正则半群方面的知识 可参考p e t r i c h 的书1 8 】关于，- c g r e e n 关系，富足半群和超富足半群方面的知识可 参考f o u n t a i n 的文章【2 】本文中没有定义的概念和符号都是标准的，都可以在这 几本书或文章中找到 1 1半群与幺半群 令s 是一个非空集合称二元组( s ，) 为一个半群，如果“”是s 上的一个满 足结合律 ( v a ，b ，c s ) ( a - b ) c = a ( b c ) 的二元运算在不引起混淆时，我们也常常简称s 为半群，将口b 简记为口6 ，其中 a ，b s 1 s 称为s 的幺元( 或单位元) ，若 ( v s s ) l s = s l = 8 0 s 称为s 的零元，若 ( v s s ) 0 s = s o = 0 a s 称为s 的幂等元，若 n 2 ：n 易证，一个半群至多含有一个幺元( 零元) 称三元组( m ，1 ) ( 或简称m ) 为一个 幺半群，如果( m ，) 是一个含有幺元1 的半群若半群s 中仅含有幂等元，则称s 为带 如果s 没有幺元，在su 1 ) 上规定l 1 = 1 ，且 ( v s s ) l s = s l = s 则su 1 ) 成为一个幺半群，1 为其幺元于是，我们总可以用s 1 表示如下幺半群 叠l s s 。一、su 【1 ) 3 若s 含有幺元： 若s 不含幺元 西南大学硕士学位论文1 1 半群与幺半群 类似地，可定义 s 。= 喜u 。，萋喜票喜蒌凳： 令a 与b 是半群s 的两个子集我们用a b 表示 a ba a ，b b 容易验 证 ( v a ，b ，c s ) ( a b ) c = a ( b c ) 通常情况下，我们也写a ”作a b ，写 o 】b 作a b 若s 没有幺元，a s ，则通常 情况下s o 中未必含有a 我们分别用s 1 a ，n s l ，s 1 0 s 1 表示如下三个集合 s n u 【n ) ，a s u o ) ，s a s u s a u a s u l ， x m 若f ( x ) a ，则g ( x ) = h f ( x ) ( a ) 因为h 莎矗，所以h ( a ) a 或者i ( m ) i = 1 若h ( a ) a ，则g ( x ) h ( a ) a ；若i ( m ) l = 1 ，则1 9 ( m ) i = 9 西南大学硕士学位论文2 2 。死j 上的c r e e n 关系 i b y ( m ) l = 1 ，这与1 9 ( m ) i 1 矛盾由此可知g ( x ) a 类似地，我们也可证明若 9 ( x ) a ，则f ( x ) a 因此( 2 ) 成立 ( 2 ) 专( 1 ) 假设( 2 ) 成立，则i 厂( m ) l = i g ( m ) 1 以下我们分两种情况讨论 若i f ( 1 v t ) i = 1 9 ( m ) i = 1 ，则令h = 9 ，可得9 = h y 若i ，( m ) i = l 夕( m ) i 1 ，则定义h ：m _ m 为 ) = 渺1 ”搿 由k e r ，= k e rg 知h 是m 到m 上的一个映射，且显然g = 九，以下我们还 需要证明h 乡k 令f ( m ) na = a 1 由i ，( m ) i 1 知y ( a ) a ，因此 a 1 0 所以由已知条件f ( y - 1 ( a 1 ) ) = a 1 a ，则g ( y - 1 ( a 1 ) ) a 因此 h ( a ) = h ( a 1 ) uh ( a a 1 ) = 9 ( ，- 1 ( a 1 ) ) u ( a a 1 ) a 由此可得h 类似 地，我们也可证明存在后使得厂= k 9 因此( ，g ) 7 口 下面我们考虑刀关系 定理2 4 令，g 莎k 则以下二款等价 ( 1 ) ( ，g ) 留； ( 2 ) y ( m ) = g ( m ) 并且y ( a ) = 9 ( a ) 证明( 1 ) 号( 2 ) 假设( 1 ) 成立，则存在h ，后使得9 = y h ，厂= 9 k 由 引理2 1 显然知f ( m ) = 夕( m ) 因为h ，所以h ( a ) a 或者i 允( m ) i = 1 若h ( a ) a ，则g ( a ) = y h ( a ) ，( a ) ；若i 九( m ) l = 1 ，则存在某个x o m 使得 y ( m ) = g ( m ) = y h ( m ) = f ( x o ) 此时f ( a ) = 9 ( a ) 所以由此可知g ( a ) ，( a ) 类似地，我们也可证明y ( a ) 9 ( a ) 因此( 2 ) 成立 ( 2 ) 兮( 1 ) 假设( 2 ) 成立我们首先构造h 使得9 = 厂 定义h ：m _ m 为 h ，个、一，x l 若9 ( z ) 9 ( a ) ，则令x l y - 1 ( 9 ( z ) ) f l a “4 ，一1z 2 否贝0 ，令z 2 t , - 1 ( 夕( z ) ) 关于任意3 7 m ，若9 ( z ) g ( a ) = 厂( a ) ，则存在某一个n a 使得g ( x ) = ，( o ) 因此f - 1 ( 9 ( z ) ) na d ，所以我们可取3 1 7 1 y - i ( 夕( z ) ) na 若g ( z ) g9 ( a ) ，则由 y ( m ) = 9 ( m ) ，y - 1 ( 9 ( z ) ) d 所以我们可取3 7 2 ：f - 1 ( 9 ( z ) ) 因此h 是m 到m 上的一个映射，并且显然有g = y h 又由h 的定义，h ( a ) a 因此可得h 是我们需要的映射类似地，我们也可证明存在后使得，= 9 k 因此可得 ( ，9 ) 勿 口 因为形= p n 勿，所以由以上两个定理可得 定理2 5 令厂，g 则以下二款等价 ( 1 ) ( ，9 ) 澎j ( 2 ) k e r ，= k e r g ，f ( 1 v t ) = 9 ( m ) ，f ( a ) = g ( a ) 并且若i ，( m ) i = 1 9 ( m ) i l ，则关于任意x m ，( x ) a 当且仅当g ( x ) a 1 0 西南大学硕士学位论文2 3 。死的正则性和完全正则性 对于9 关系，我们知道9 = pv 勿= 20 历= 历0p 则由关系的合成 运算知关于任意，9 ，( ，g ) 9 当且仅当存在h 使得( ，h ) 髟， ( h ，g ) 勿由此我们刻画矿m 上的9 关系为 定理2 6 令，9 则以下二款等价 ( 1 ) ( 厂，9 ) 9 ； ( 2 ) i ，( m ) i = i g ( m ) l ，i ，( a ) i = 1 9 ( a ) i 并且若i ，( m ) i = i 夕( m ) i 1 ，则 i y ( m ) f la i = 1 9 ( m ) na i 证明( 1 ) 兮( 2 ) 假设( 1 ) 成立，则存在h 黝使得( 厂，h ) 乡，( h ，9 ) 勿 由引理2 1 ，显然有i ，( m ) i = i g ( m ) 1 并且由定理2 3 ，i ，( a ) i = i ( a ) l ；由定理 2 4 ，h ( a ) = 9 ( a ) 因此i y ( a ) l = i g ( a ) 1 现在令j l 厂( m ) i = 1 9 ( m ) i 1 则由 ，莎m 的定义知y ( m ) na o ，且y ( m ) na = y ( f 1 ( 厂( m ) na ) ) a 因为 ( 厂，h ) p ，所以h ( y - 1 ( ，( m ) h a ) ) a ，即h ( y - 1 ( ，( m ) h a ) ) h ( m ) n a 因此可 得f - x ( y ( m ) n a ) h - 1 ( h ( m ) n a ) 并且由k e r 厂= k e rh 知i y ( m ) n a l i h ( m ) n a i 又因为h ( m ) = 夕( m ) ，所以我们有i y ( m ) na l i g ( m ) na i 类似地，我们也可证 明i g ( m ) na i i f ( m ) na i 因此( 2 ) 成立 ( 2 ) 兮( 1 ) 假设( 2 ) 成立以下我们分两种情况讨论 若i ，( m ) i = 1 9 ( m ) i = 1 ，则由定理2 3 ，( ，g ) 髟因此( ，g ) 9 若i y ( 1 v t ) l = 1 9 ( m ) i 1 ，则由厂，g 的定义，知y ( a ) a ，g ( a ) a 此时我们需要构造h 使得( ，h ) p ，( h ，g ) 历由已知条件i ，( a ) l = i g ( a ) l ，l y ( m ) f la i = l g ( m ) na i ，且y ( a ) y ( m ) na ，g ( a ) g ( m ) na 可知 i ( ，( m ) na ) 厂( a ) i = i ( g ( a j i ) na ) g ( a ) 1 又由i ，( m ) i = i g ( m ) l ，知i y ( m ) nb i = i g ( m ) nb i - 因此存在三个一一映射h i ：y ( a ) _ 9 ( a ) ，h 2 ：( y ( m ) na ) y ( a ) _ ( g ( 1 v t ) na ) g ( a ) 和h 3 ：y ( m ) nb _ 9 ( m ) nb 借助h 1 ，h 2 和 3 ，我们定义 h ：m _ m 为 fh l ( y ( x ) ) i ( x ) y ( a ) h ( x ) = h 2 ( y ( x ) ) ，( z ) ( y ( m ) na ) y ( a ) i 允3 ( 厂( z ) ) y ( x ) y ( m ) nb 显然，h 是m 到m 上的一个映射且h ( a ) = h 1 ( ，( a ) ) = g ( a ) a 因此 h 以下还需要证明( 厂，h ) 髟，( h ，9 ) 纺根据h 的定义，k e r ，= k e rh 令 1 厂( m ) l = i 九( m ) i 1 ，x m 若y ( x ) a ，则h ( x ) h i ( ，( x ) ) uh 2 ( f ( x ) ) g ( m ) na a 反之，若h ( x ) a ，则x h - 1 ( a ) = y - 1 ( ，( m ) na ) 因此 y ( x ) y ( f _ 1 ( 厂( m ) na ) ) = y ( m ) f la a 所以由定理2 3 ，( 厂，h ) z 又 根据h 的定义，显然有h ( m ) = 9 ( m ) ，h ( a ) = h l ( y ( a ) ) = 夕( a ) 因此由定理2 4 ， ( 九，夕) 勿由此我们可知( ，9 ) 9 口 本文中，我们考虑的m 是一个有限集合因此由命题1 5 ，在上勿= 2 3 的正则性和完全正则性 本小节中，我们借助格林关系讨论细的正则性和完全i t 贝, l j 性首先给出细 上的正则元和完全i t ! 贝u 元的刻画若a = m ，则= 。乡矗，此时的i e i 贝, l l 性和 1 1 西南大学硕士学位论文 2 3 乒、，的正则性和完全t 贝w j 性 完全正则性在本章引言中已经介绍过了因此我们考虑a m ，即b 仍时的情 况 命题2 7 令b o ，f 则厂是正则元当且仅当f ( b ) na 厂( a ) 证明必要性我们只需要证明若f ( b ) c ia 垡，( a ) ，则，不是正则元由引 理1 6 ，此时只需要说明r ，不包含幂等元即可令f ( a ) = a l ，f ( b ) n a = a 2 则 a 2 a 1 o 若存在一个幂等元9 r f ，则由定理2 4 ，g ( a ) = f ( a ) = a 1 并且关 于任意n a 2 a 1 ，由9 的幂等性，9 ( a ) = o 因此n g ( a ) = a 1 这与nga l 矛 盾所以r ，中不包含幂等元必要性可证 充分性假设f ( b ) na ，( a ) 我们需要构造幂等元9 r ，由引理1 6 可知 ，是正则元令f ( a ) = a l ，f ( b ) na = a 2 则a 2 a 1 任取a 1 中的某个元素o ， 定义9 ：m 叶m 为 ，、rz 夕( z ) = t 口 z f ( m 1 否则 显然夕是m 到m 上的一个映射以下我们证明9 是r ，中的一个幂等元关于任 意z m ，若z ，( m ) ，贝u9 ( 9 ( z ) ) = 9 ( z ) ；否贝u 夕( 夕( z ) ) = g ( a ) = n = 9 ( z ) 因此 9 是一个幂等元又由夕的定义知f ( m ) = 9 ( m ) ，且g ( a ) = g ( a 1 ) ug ( a a 1 ) = a lu o ) = a 1 = ，( a ) 因此由定理2 4 ，9 r r 所以r ，中存在幂等元充分性可 证口 命题2 8 令b 0 ，f 则厂是完全正则元当且仅当f 满足以下二款 ( 1 ) f ( b ) f la 厂( a ) j ( 2 ) ( vz m ) 孟f 3f ( m ) d 证明必要性假设，是完全正则元由命题2 7 ，( 1 ) 显然成立又根据引理 1 7 知毋中存在幂等元，设为9 因此由定理2 5 ，k e r f = k e r 9 且f ( m ) = 9 ( m ) 对于( 2 ) 的证明，我们采用反证法若( 2 ) 不成立，则存在某一个z o m 使得 而nf ( m ) = d 因此孟ong ( m ) = 仍但是9 是个幂等元，则9 ( 9 ( 牙o ) ) = 9 ( 孟o ) 因此 9 ( 面o ) ，这与孟on 夕( m ) = 0 矛盾所以( 2 ) 成立 充分性为了证明充分性我们需要证明日，中存在幂等元即可以下我们分两 种情况讨论 。 若i ，( m ) i = 1 ，则f 2 = 厂，就是我们需要的幂等元 若i f ( m ) l 1 ，则f ( a ) a 定义夕：m m 为 。r 个、一n 量若牙na 仍，则令n 孟牙nf ( a ) 叭叫一1 如否则，令如牙n ，( b ) 我们首先证明夕是一个映射关于任意2 1 7 m ，若牙n a 仍，则一定有牙n ( a ) 毋 ( 否则若孟n f ( a ) = 0 ，则由条件( 2 ) 存在某个z o 面n ，( b ) 并且若f - 1 ( z o ) h a d ， 则存在某个n f - 1 ( 黝) na ，使得f ( a ) = z o 这与牙nf ( a ) = o 矛盾因 此j , - 1 ( z o ) b 又由( 2 ) 知，存在b 1 b 使得b l f 。( z o ) n ，( m ) 并且若 j , - 1 ( 6 1 ) na 0 ，则存在某个o f - i ( h a ) na ，使得f ( a ) = b 1 这与f ( a ) a 矛盾 因此f - 1 ( b 1 ) b ；类似地，存在6 2 b 使得b 2 f - i ( 6 1 ) n 厂( m ) ，并且j , - 1 ( b 2 ) b ； 因为b 是有限集合，所以一定存在某一个k b 使得，- 1 ( b 。) nf ( m ) = d 这 】2 西南大学硕士学位论文2 3 死，的i e 则性和完伞正则性 与条件( 2 ) 矛盾因此牙ns ( a ) o ) 所以当牙na 0 时，我们可以取到某个 a 牙牙nf ( a ) 若牙na = d ，则雪nf ( a ) = d 因此我们可以取到某个如b 使得牙n ，( b ) 所以9 是m 到m 上的一个映射其次我们证明( ，g ) e 只 且( ，夕) 贸由夕的定义显然有k e r ，= k e r 夕若i ( x ) a ，则由条件( 1 ) 知 关于任意z x ，牙na 0 因此9 ( x ) s ( a ) a 类似地，我们也可以证明 若g ( x ) a ，则i ( x ) a 所以由定理2 3 ，( ，9 ) 彤并且由9 的定义显然有 f ( m ) = 9 ( m ) ，s ( a ) = 9 ( a ) 所以由定理2 4 ，( ，g ) 勿最后我们证明9 是个幂 等元关于任意x m ，若孟na o ，则由a 孟雪知9 ( 9 ( z ) ) = g ( a 孟) = a 量= 9 ( z ) ； 否则，由培牙知夕( 夕( z ) ) = 9 ) = 如= 9 0 ) 因此夕是个幂等元充分性可 证口 由以上两个命题，我们就可以确定玩订的正则性和完全正则性 定理2 9 是正则的当且仅当是以下两种情况之一 ( 1 ) b = d i ( 2 ) i a i = 1 且b 0 证明充分性为了方便我们首先证明充分性假设( 1 ) 成立，则此时a = m ，= 。因此是正则的现假设( 2 ) 成立令，a = o 此 时由厂的定义知f ( a ) = a 或者存在某个b b 使得f ( m ) = b 若f ( a ) = a ，则 s ( b ) na a = o ) = 厂( a ) 若f ( m ) = b ，则i ( b ) na = d ，( a ) 因此由命题 2 7 ，厂是正则元所以我们有庐m 是正则的 必要性由充分性我们知道有两类正则的，对于必要性我们只需要证明正 则的仅此两类因此我们证明若( 1 ) 不成立，则( 2 ) 一定成立假设是正 则的且b d 若i a l 1 ，则我们可取a 1 ，a 2 a ，a 1 a 2 并且令b b 定义 厂：m _ m 为 ，( z ) = a lx ：= a l a lx ：= a 2 a 2 z = b z 否则 显然，是m 到m 上的一个映射，且，但是y ( b ) na = n 2 】垡，( a ) 因 此由命题2 7 ，t 厂不是个正则元这与的正则性矛盾所以我们有i a i = 1 因此 ( 2 ) 成立必要性可证 口 定理2 1 0 是完全正则的当且仅当是以下两种情况之一 ( 1 ) i a l 2 且b = 仍j ( 2 ) l a i = l b i = 1 证明充分性为了方便我们首先证明充分性假设( 1 ) 成立，则此时a = m ，多= 因此由引理2 2 ，是完全正则的现假设( 2 ) 成立则由。的 定义，此时是由- - - - 个幂等元形成的带因此是完全正则的充分性可证 必要性由充分性我们知道有两类完全正则的莎w ，对于必要性我们只需要 证明完全正则的仅此两类因此我们证明若( 1 ) 不成立，则( 2 ) 一定成立假 1 3 西南大学硕十学位论文 2 3 死，的正则性和完全正则性 m ，= 焉， 1 4 西南大学硕士学位论文第3 章罗、，：的+ g r e e n 关系富足性和超富足性 3 上的冰一g r e e n 关系，富足性和超富足性 在上一章中我们研究了上的g r e e n 一关系，正则性和完全正则性本章我 们研究细上的丰一g r e e n 关系，富足性和超富足性1 9 7 9 年，j o h nf o u n t a i n 提出了 掌一g r e e n 关系，并定义了富足半群和超富足半群从此以后，富足半群也成为大家比 较关注的一类半群，它办括正则半群，是比正则半群更大的一类半群 3 1 上的半g r e e n 关系 根据木一g r e e n 关系的元素刻画，我们来研究莎m 上的木g r e e n 关系首先考虑 p 关系 定理3 1 令，夕则( ，g ) z 当且仅当k e r ，= k e r9 证明必要性假设( ，9 ) 乡+ 令x ，y m 且( x ，y ) k e r ，定义h ：m _ m 为h ( m ) = z ，k ：m m 为k ( m ) = y 显然，h ，k 是m 到m 上的两个恒等映 射且h ，k 因此 s ( x ) = s ( y ) 令f h = 厂七号g h = 9 七( 由命题1 8 ) 号g ( x ) = 9 ( 可) 所以( x ，y ) k e r 9 由此可得k e r ，k e r g 类似地，我们也可以证明k e r g k e r ， 因此k e r _ 厂= k e rg 必要性可证 充分性假设k e r ，= k e r9 由引理2 1 可知，在上( ，g ) p 因此由髟+ 关系的定义，在上( ，g ) 乡4 口 下面我们考虑叨关系 定理3 2 令，g 则( ，9 ) 刀+ 当且仅当f ( m ) = 9 ( m ) 证明必要性假设( 厂，g ) 勿+ 以下我们分两种情况讨论 若i a l = 1 ，则由定理2 9 ，是正则的因此( ，9 ) 历+ 当且仅当( 厂，g ) 勿 所以由定理2 4 ，f ( m ) = 9 ( m ) 若i a i 1 ，则我们可取a l ，a 2 a ，a l a 2 假设s ( m ) 9 ( m ) 我们可取某 一z 9 ( m ) s ( m ) 或者z 7 s ( m ) 9 ( m ) 若z g ( m ) 厂( m ) ，则存在y m 使 得g ( y ) = z 定义h ：m - m 为h ( m ) = a l ，k ：m _ m 为 ) = 竺：葡 显然，h ，k 是m 到m 上的两个映射且h ，k 因此根据命题1 9 ，由h f = k y 可得h g = k g 但是的( ( 秒) ) = a 1 ，七( 9 ( y ) ) = a 2 ，这与a l a 2 矛盾因此不存 在z g ( m ) 厂( m ) 类似地，我们也可以证明不存在z 7 s ( m ) 9 ( m ) 因此 s ( m ) = 夕( m ) 充分性假设f ( m ) = 9 ( m ) 由引理2 1 可知，在上( ，g ) 勿因此由 勿关系的定义，在上( s ，g ) 勿+ 口 】5 西南大学硕士学位论文3 1 死，上的十一c r e e n 关系 因为形+ = 乡+ a 劈，所以由以上两个定理可知 定理3 3 令，9 则( 9 ) 形+ 当且仅当k e r ，= k e r g 并且y ( m ) = 夕( m ) 我们接着讨论9 + 关系 定理3 4 令，9 则( ，9 ) 9 + 当且仅当i ，( m ) i = i g ( m ) 1 证明必要性假设( ，g ) 勿则由推论1 1 0 ，关于某一t , n ，存在 h 1 ，h 2 ，h 2 n l 使得 ( ，h x ) 罗+ ，( h i ，h 2 ) 勿。，( h 2 ，h 3 ) 互夕，( h 2 n 一1 ，9 ) 纺4 因此由定理3 1 和3 2 ， l ，( m ) l = i h l ( m ) l ，h l ( m ) = h 2 ( m ) ，i h 2 ( m ) l = i h 3 ( m ) l ，h 2 n 一1 ( m ) = g ( 1 v t ) 由此可得i ，( m ) i = i g ( m ) 1 充分性假设i ，( m ) l = i g ( m ) 1 以下我们分两种情况讨论 若i ，( m ) i = 1 9 ( m ) i = 1 ，则k e r ，= k e r g 由定理3 1 ，( ，9 ) z 因此 ( ，9 ) 驴 若i 厂( m ) i = i 夕( m ) f 1 ，则y ( a ) a ，y ( m ) na d 且g ( a ) a ，9 ( m ) na 毋我们首先假设l y ( m ) na i 1 9 ( m ) na 1 令x = 牙iz s ，x a = _ 蕾 贾i 厂( 牙) a ) 则由假设i ，( m ) na i i g ( m ) na i ，关于任意孟2 a ，我们取 定某一。牙g ( m ) na 记a x = o 孟l 牙2 a 因为1 厂( m ) i = i g ( m ) l ，所以 i y ( m 2 a ) l = 1 9 ( m ) a x l 因此存在一个双射h i ：，( m 又a ) 一g ( m ) a x ，借 助h 1 ，我们定义h ：m m 为 m ) = 豫h im ) ) 菰 显然，h 是m 到m 上的一个映射并且h 罗m 由h 的定义可知k e r ，= k e rh ， h ( m ) = 9 ( m ) 因此由定理3 1 和3 2 ，( 厂，h ) 髟+ 且( h ，g ) 勿+ 所以( ，9 ) p + o 勿+ 驴类似地，若i y ( m ) na i i 夕( m ) na l ，则我们可以证明( 9 ，) 驴 因此( ，9 ) 勿+ 充分性可证 口 对于夕关系，我们有 定理3 5 令，g 则( ，夕) 驴当且仅当( ，g ) 证明必要性显然成立 充分性假设( f ，g ) 夕+ ，则g 舛由命题1 1 1 ，存在，0 ， ，厶， h i ，h 2 ，h 。；七l ，七2 ，k 使得，= 如，9 = 厶，并且 ( ，h l f k l ) 9 ，( 止，h 2 ) 9 + ，( g ，h 。，n 一1 ) 切 】6 西南大学硕士学位论文3 2 。死，的富足性和超富足性 又由定理3 4 ， i ( m ) i = i h l f k l ( m ) i ，i i s ( m ) i = i h s f l k s ( m ) i ，f 9 ( m ) i = i h n 厶一l k n ( m ) i 因此 i ，( m ) i i h l f k l ( m ) i = i f l ( m ) j j h 2 f l k 2 ( m ) i = i f s ( m ) i ， i h n 厶一l k ( m ) i = 1 9 ( m ) i ， 即i ，( m ) l i g ( m ) 1 类似地，由i 以，我们也可以证明1 9 ( m ) j i f ( m ) i 因此 j ，( m ) i = 1 9 ( m ) | 所以由定理3 4 ，( f ，g ) 9 + 充分性可证 口 3 2 莎以的富足性和超富足性 富足半群和超富足半群的定义，在第一章中已经介绍过了我们知道正则半 群是每一个l 类和皿类中都含有幂等元( 完全正则半群是每一个日一类中含有幂 等元) 而富足半群是每一个p 类和彤类都含有幂等元( 超富足半群是每一个 日+ 一类含有幂等元) 因此在上- - d , 节讨论清