（基础数学专业论文）关于完全正则半群上的同余y.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 关于完全正则半群上的同余纱术 基础数学专业硕士研究生郭彩莲 指导老师郭聿琦教授 摘要 1 9 9 9 年p e t r i c h 和r e i l l y 在文 2 1 中提出了这样一个公开问题：“w h a tc a nb e s a i da b o u t 纱+ ? 本文讨论这一问题全文共分四章 第二章给出一般半群及完全正则半群的一些基本概念和性质，同时固定了本 文经常使用的符号 第二章利用群的正规子群的性质给出了完全单半群上最小群同余的一个 元素刻画：利用完全单半群的结构定理证明了在完全正则半群上纱4 包含于最 小c o l i 行o r d 同余；证明了纱是完全单半群上最大的幂等元纯同余；给出了在完全 正则半群上纱+ 是相等同余的充要条件；通过例证说明了在完全正则半群上纱+ 确 实可以取到相等同余；确定了纱在完全正则半群上的同余区间 第三章利用前一章得到的有关结论证明了在完全单半群上纱+ = 纱 第四章利用正规密群的结构定理构造了正规密群上的一个关系，并且证明了 这一关系的传递闭包就是我们所要刻画的纱+ 关键词：完全正则半群最小c 1 i 舫r d 同余正规子群正规密群 西南大学硕士学位论文 a b s t r 4 c t s t u d i e so nt h ec o n g r u e n c e 纱术o nc o m p l e t e l y r e g u l a rse m i g r o u p s m a j o r ： a l g e b r a i ct h e o r ) ro fs e m i g r o u p s n a m e ：g u oc a i l i a n s u p e r v i s o r ： p r o f e s s o rg u oy u q i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，r ei 1 1 、髑t i g a t es u c hap r o b l e mw h i c hw a u sp r o p o s e db yp e t r i c h a n df 沁i l l yi n 【z 】i n1 9 9 9 ：w h a tc a nb es a i da b o u t 纱+ ? t l l i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so f f o u rc h a p t e r si na u s o m ed e 右n i t i o n sa n dp r o p e r t i e sf 6 rs e m i 伊o u p sa n dc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i 一 日o u p sa r ep r o p o s e di nc h a p t e r1 a n dt h e n ，w ef i xs o m en o t a t i o nw h i c hi su s e d l a t e r t h ea i mo fc h a p t e r2i st o 百v et h ec o n g r u e n c ei n t e r n a lo f 纱o nc o m p l e t e l y r e g u l a rs e m i g r o u p s u s i n gp r o p e r t i e so fn o r m a ls u b g r o u p s ，w ed e s e r i b et h el e a s t 铲o u pc o n g r u e n c eo nc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s w bp r o v e 纱z ，b yt h ec o n - s t r u c t i o n 。o f c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s w bp r o v e 纱i st h em o s ti d e m p o t e n tp u r e c o n g r u e n c eo nc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s w a 百v et h es u 伍c i e i l c ya n dn e c e s s i t y o f 纱= e c h a p t e r3i sd e v o t e dt o 出a r a c t e r + o nc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s w e f i n dt h a t 纱= 纱i nt h i sc a u s e w bi i l 、髑t i g a t e d + o nn o r m a lc r y p t o g r o u p si nt h ef i l l a l lc h a p t e r u s i l l gt h e c o n s t r u c t i o no fn o r m a lc r y p t o g r o u p s ，、ec o l l s t r u c ta b i n a 可r e l a t i o no nn o r m a lc r y p t o 口o u p s a n dt h e n ，ep r o v et h a tt h et r a n s i t i v ec l o s u r eo ft h er e l a t i o ni sj u s t 纱+ k e y w o r d s ：c o m p l e t e l yr e g u l 盯s e m i 留o u p ，l e a s tc 1 i 行o r dc o n g r u e n c e ，n o r m a l l s u b g r o u p ，n o r m a lc r y p t o g r o u p 独创性声明 学位论文题目： 苤王室全垂堡主登土鲍旦金芝： 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：舒籀莲签字日期：切多年 r 月 纱日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：童户粥蓬 签字日期：劬g 年节月劢日扩h 蝴 1 丸，年，澎 名 期 签 日 师 字 导 签 西南大学硕士学位论文刖舌 上- - j 刖吾 半群代数理论是本世纪5 0 到6 0 年代发展起来的一个崭新的代数学分支它在 自动机理论、计算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数和概率论等方面都 有广泛的应用，因此引起了越来越多的数学家的重视对半群的研究方法大体上 可分为两种，其一为从半群的内部构件如理想、同余以及特殊元素等出发研究半 群的结构与特征；其二为从半群的外部环境如同余格、s 系范畴等出发研究半群 的内部特征至今，半群代数理论已成为基础代数学的一个重要的分支学科 半群同余理论，作为半群代数理论的一个重要研究课题之一，它的研究对半群 理论的发展有很大的推动作用到目前为止，国内外研究半群的很多学者已经就半 群上的同余作了大量工作，也得到了很多很好的结论但美中不足的是，很多结论 都还缺乏应用功能因此我们希望能够给出同余的一些具体的元素刻画来弥补这 一不足 1 9 9 9 年，p e t r i c h 和r 启i l l y 在专著c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s 一书中系统 地介绍了完全正则半群上同余的核、迹刻画，以及完全正则半群上的同余格及同 余网理论，其中还介绍了一些具体同余的刻画及其性质但与此同时，他们也提出 了很多跟完全正则半群上的同余有关的公开问题本文取定这些问题中的一个，就 一类特殊半群一完全正则半群上的一个具体同余纱+ 展开讨论 1 9 4 1 年，c l i 肋r da h 在文嘲中提出了完全正则半群的概念称半群s 是一 个完全正则半群，如果它的每个元素都属于s 的某个极大子群所以完全正则半 群有时也被称作群并这是一类重要的正则半群同余，作为完全正则半群的主 要研究对象之一，在完全正则半群的分类以及确定其结构方面扮演着重要的角色 1 9 9 9 年，p e t r i c h 和胁1 1 y 在文 2 】中定义了完全正则半群s 上的关系纱如下： 口纱b 如果y ( n ) = y ( 6 ) ，( o ，6 s ) 同时，他们提出了这样一个公开问题：。w h a tc a nb es a i da b o u t 纱+ ? 一本文就此 问题展开讨论 若限制在纯正群上，此问题在文 2 】中已有了很好的解答首先，关于纯正群上 的关系纱有如下等价刻画( 参看 2 】l e m m ai i 5 5 ) ： 令s 是一个纯正群，且口，6 s 则以下命题是等价的 ( 1 ) n 纱6 ； ( 2 ) 存在e ，夕，危s ，使得n = e 6 ，6 = 9 a 危； 1 西南大学硕士学位论文日u舌 ( 3 ) o = 口0 6 0 0 ，6 = 泸n 泸 进而，关于纯正群上的同余+ ，在文 ? 】中已有如下结论 令s 是一个纯正群则= 纱，是幂等元纯的，且勿= 形( 参看【? 】p r o p 0 - s i t i o ni i 5 6 ) 本文接着上面的结论进行讨论首先，利用群的正规子群的性质给出了完全 单半群上最小群同余的元素刻画；利用完全单半群的结构定理证明了在完全正则 半群上包含于最小c o l i 助r d 同余；证明了纱是完全单半群上最大的幂等元纯 同余；给出了在完全正则半群上+ 是相等同余的充要条件；通过例证说明了在完 全正则半群上纱+ 确实可以取到相等同余；确定了纱在完全正则半群上的同余区 间其次，我们分别给出了完全单半群上和正规密群上+ 的一个刻画利用前一 部分得到的有关结论证明了在完全单半群上纱+ = 纱；利用正规密群的结构定理 构造了正规密群上的一个关系，并且证明了这一关系的传递闭包即是我们所要刻 画的纱 2 西南大学硕士学位论文 第l 章基本概念和性质 第1 章基本概念和性质 本文所用符号，如果没有特别指出，都是 2 中的标准符号本章首先给出一般 半群上的一些基本概念然后介绍完全正则半群的概念以及一些基本性质，包括本 文所涉及的一些重要的完全正则半群类，如纯正群和正规密群 1 1 基本概念和符号 称二元组( s ，) 为一个半群，若s 是一个非空集，“”是s 上的一个满足结合律 的二元运算通常称此二元运算为这个半群的乘法运算在不引起混淆时，我们也 简称s 为半群将乘法q 6 简记为n 6 ，其中n ，6 s 令s 是一个半群，1 s 称为s 的幺元，若 ( v s s ) 1 s = s 1 = s o s 称为s 的零元，若 ( v s s ) 0 s = s 0 = 0 ， 称三元组( m ，1 ) ( 或简称m ) 为一个幺半群，若( m ，) 是一个含有幺元1 的半群 我们总可以用以下方式给个半群s 添加个幺元使其成为一个幺半群 令王萑s ，将s 的半群运算延拓到s u 1 】l 上： ( v s s ) 1 s = s 1 = s ，1 1 = l ， 则su 【1 ) 成为一个幺半群，1 为其幺元定义 s 1 = p & = ( 厶，瓯，a 。；只) 和昂= ( 如，g p ，人p ；昂) 分别是群g 口和g 卢上的r e e s 矩阵半群，其中厶= 1 。，i ) ，g 。= e 1 ) ，a 口= 1 ：) ，p 口= ( e 1e 1 ) ；易= 1 口，j ) ，g 卢= e 2 ，仍) ，a p = _ ( 1 名，入，肛) ， 厂e 2 e 2 、 昂= ie 2 e 2 i ，e 1 和e 2 分别是g a 和郇的单位元令妒n ，p 是一个从& 到昂的 e 2 9 2 映射，且妒q ，p ( n 1 1 ) = 0 2 2 ，p ( 口1 2 ) = n 2 3 其中n 1 1 = ( 1 。，e 1 ，1 ：) ，0 1 2 = ( i ，e 1 ，1 ：) & ，口2 2 = ( 1 口，e 2 ，a ) ，n 2 3 = ( 歹，e 2 ，入) $ 容易看到妒a 卢是从& 到昂的一个同态 令，q 和妒p ，卢分别是从s n 到& 和从昂到昂的恒等映射定义s 上的乘法术如 下：比如说，若n & ，6 & ，则 n 宰b = a 妒。，卢b 咿反卢 我们容易发现，在给定的乘法母下，s 作成一正规密群注意到1 口= 1 0 1 口，歹= i l p ；1 名1 ：= 入事实上，比如，令口2 1 = ( 1 p ，e 2 ，1 名) 则由定理4 1 ，有0 2 1 丰n 1 1 = ( 1 口，e 2 ，1 名) ( 1 。，e l ，1 ：) = ( ，1 台1 ：) ，而n 2 1 ( p p ，卢0 1 1 妒q ，p = 口2 1 0 2 2 = ( 1 卢，e 2 ，1 名) ( 1 卢，e 2 ，a ) = ( ，久) 因此，1 乞1 ：= 久 霎；蓁型薹鬟耄一：薹雪耋雩i 奏叁；! 曩錾垦；囊藿i l 耄羹，薹m ；雾荤舀一。薹薹l 薹鼍霎蓁i i 爹蓁垦一羹主冀。i 冀蓁l 芝 盯( 1 p l a ，。q ，1 ：) ，如果a ，p 7 a p ，a 7 即p 7 证明( 1 ) 令8 = ( i 7 ，哆，1 名) ( 1 a ， 坛，1 ：) ( i ，印，1 名) ，6 = d ，印，1 多) ( 1 口，b ，1 ：) 0 7 ，啊，1 名) 由定理3 1 ，我们有( i 7 ，印 x 是n 一1 盯6 由定理4 1 ， q 2( i 7 ，印，1 j ) ( 1 。，k ，1 ：) ( 2 ，。p ，1 ；) ( i 7 1 n ，坳，。口( i m p 钻，q p 即，。口( 1 ；) p 1 ：3 1 ：，1 。1 。p “口，口p ( 1 口) k 以，q p ，a p ( 1 ：) ，l ；1 ：) ( i 7 ，印，1 台) ( i 7 1 a ，u 口，。( 7 ) 。口口p ，。 口，n ( 1 名) p 1 0 1 台，1 。1 。u n ，。( 1 a ) 。p a ，口口。q ( 1 2 ) ，1 各1 ：) ( i 7 ，。卢，1 ；) ( 因口p ) ( i 1 口，p 0 台，n 。p 1 乞1 ；| ，1 卢1 。p 乏1 台，1 卢1 。p 1 台l ；，1 。1 。p 乏1 台山1 。肌乞1 台1 a 1 。p 乏1 台，1 。l 。，1 名1 乞) ( t 7 ，印，1 么) ( i 1 。，p 0 棚。，1 台1 ：) ( 如卢，1 多) ( 因p q 在( 1 。，1 ：) 厶a 口处正规化) ( i 1 a ，钍叩p ( ) 晶扪。) 气，q p 筇( 1 名1 0 ) p 1 ：口 x 西南大学硕士学位论文，1 3 在正规密群 ：纱+ = 类似地，我们可以证明 6 ，= 。( 歹7 1 口，p 晶1 。忉西，。1 口1 ：肛，) 令c = ( i 7 1 q ，k ，1 ：1 ：) ，d = ( j ；7 1 口，q ，1 ：1 ；) ，e = ( 1 叩1 。，b ，1 ：入) 且，= ( 1 叩1 n ，。q ，1 ：p ，) 由引理4 4 ，有c 盯d 且e 盯，因此( 7 e ) 口( d 6 ，) 而 且 7 e = ( i 7 1 q ，l n ，1 ：1 ；) ( i 7 1 q ，p 芝1 1 。z 妇一1 却办，1 叶1 。，1 ：a ，) ( 1 叩1 q ，口，1 乞入7 ) = ( i 7 1 口，。n p l 台1 勺，仉。p 乏1 。，n 。z 七z 一1 幼乏，1 。1 。p 1 ：a ，1 。l 。k ，1 ：入7 ) =( i 7 1 口，z 后z 一1 九，1 ：入) = 口1 d 6 ， ( j 7 1 a ，。a ，1 ：1 ；) ( 歹7 1 a ，p 乏1 。j ，1 口幼0 ，1 叶1 。，1 ：p ，) ( 1 叩1 p ，二，1 ：p 7 ) ( 歹7 1 口，c 口p 1 ：1 桫1 。p 晶。1 。卸0 ，l 。1 。p 1 台p ，l 。1 。c 。，1 ：p 7 ) ( j 7 1 q ， ，1 ：) = 6 ， 故n 1 础类似地，令口2 = ( i 7 1 q ，z 七7 z 一1 ，1 ：a ，) 其中z g 。，4 q 我们有0 2 砷 又 n2 6= ( i 7 1 口，z 1 七i z f l z 2 乜z i l z n z 二1 九，1 ：a 7 ) ( i 7 1 。，z 1 七1 z f l ，1 2 入7 ) ( 1 a ，h 一1 ，1 ：) ( t 7 1 口，z 2 2 z ；1 h ，1 ：) ( 1 口， 一1 ，1 ：) ( i 7 1 n ，z n k z 二1 ，1 ：a 7 ) ， ( j 7 1 q ，九，1 ：f 1 7 ) 0 7 1 a ，九，1 ：p 7 ) ( 1 n ，九一1 ，1 ：) ( 歹7 1 a ，允，1 ：p 7 ) ( 1 q ，九一1 ，1 ：) ( 歹7 1 q