（基础数学专业论文）分担值与正规族.pdf

d i s se r r 【a n o nf o r m a s 田巳rd e g r e e 2 0 l l j i i i | mj i j i 咖f f f f f 舢| | j i f i | | | i y 19 0 3 0 5 8 i v e r s n yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n t ) ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 2 1 s h a r e dv 酊u e sa n dn o n n a le a r m l i e s im j v e r s i 哆：e 笛tc h i n an 伽l a lu n i v e r s i 哆 d 印a m e n t ： ma _ t l l e m a t i c s m 萄嘶哆：p u 他m a 吐蛇m 撕c s d h e 撕o n ： s 岬i s o r ：p m f e s s o rx u e c h e n gp 粗g c a n d i d a t e ：1 龟【l gl u a n g m a y 2 0 1 1s h 锄g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文联分担值与正规族。是在华东师范大学攻读 ( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中已经注明 引用的内容外。本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意 作者勰鹊 臁硼1 年f 月刁日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 毹分担值与正规族捧系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕击膊士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相 关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网” 送交学位论文的印刷版和电子版：允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、 借阅：同意学校将学位论文加入全国博士，硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位 论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的”内部”或”涉密”学位论文，于年月日解 密，解密后适用上述授权 f 啦不保密，适用上述授权 导师签名：高露厶，译人签名：童碑日期：加7 1 年门中 。涉密。学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员g 办公室或保密委员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生 r 蕉薅舭烤1 五勉良答辩委员会成员名单 2 0 1 1 年0 5 月2 6 日 姓名职称单位备注 李文侠教授华东师范大学数学系主席 粱金荣教授华东师范大学数学系 程涛副教授华东师范大学数学系 摘要 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，v ，厂，= 0 营，( 量) = 1 ，的零点重级为七，七为一 正整数，极点都是重级的且对于五，五c 厂，町五，为五，= 0 营g = 0 若五正规， 则五正规 关键词：亚纯函数， 正规，零点，重级， 分担值 i 一 a b s t r a c t a b s t 随c t ：队厂b ca 蛐0 fm 啪m 呲f h 眦d s ad 锄i nd ，a l l0 fw h o z c r o sh a v em l l l d 曲c 时k 卸dp o l e sh a v cm m 卸l i d 哆a tk 域2 ，w h e 他后1 i s 缸i n t c g 既衙e v - e r y ，厂，= o 铮，( 七) = 1 i f 五，五c 只a n d 斯跚既y ，五，t h 淝函啦夕五s l l c h 衄，( z ) 锄d 夕( z ) s h a 把血cv a l 鹏0 ，五i sn o 咖a l ，血印五i sn 咖a l 叽d k e y 哪! k ：m e 础唧帖cf i l n c 吐蛆，n i m 衄l ，z e p 砒吒m u i 廿p l i c i 哦 s h a r e dv a l u e 目录 第一章引言l 1 1 研究背景及意义l 1 2 本文的研究内容和论文框架2 1 3 几个关键的定义3 第二章有关引理和定理5 2 1 相关引理5 2 2 相关定理1 3 第三章定理a 的证明1 8 参考文献2 1 致谢2 4 第一章引言 第一章引言弟一早 ji置 1 1 研究背景及意义 一些理论和实际问题的研究往往需要寻求某些整函数和亚纯函数的根，这就是说，对于 一个整函数或亚纯函数，( z ) 与任意复数口，要研究方程，( 名) = d 是否有根以及根的多少与 分布等问题1 9 世纪末，著名数学家色r o 凹d 和雹b d r 文先后获得了突出的成果，以后又经 过很多学者的不懈努力，最终形成了整函数与亚纯函数值分布理论 在2 0 世纪初，p m d 耐e z 引入了正规族的概念，他把具有某种列紧性的函数族称为正规 族，他首次成功地把函数族的正规性与函数的取值问题联系起来，这就是经典的m d n 亡e z 正 规定则在值分布论的发展过程中，冗即肌z 讥舭有着巨大的贡献，2 0 世纪2 0 年代他引进 了亚纯函数的特征函数，并建立了倒彻屁n n 口第一、二基本定理，以往只r d 和b d r d 的 定理都成为它的简单推论e t ，n 礼托n 舭定理不仅使函数族的正规性与函数导数的取值问题 联系起来成为可能，也使上述m d 仳e z 正规定则的证明变得初等和简单在二十世纪三十年 代，应用e t 7 肌托肌口理论使正规族理论的研究达到了高峰：涉及亚纯函数族情形出现了著 名的m 叭y 正规定则；涉及全纯函数族情形相继出现了m 打口n 如，y n z 静m 以及庄圻泰正规 定则 随后，m 硼d 懈建立m 饿d 蚴不等式，首次涉及了导函数的取值1 9 5 9 年，形k 日叼m 佣 建立日叼m n 佗不等式，首次用函数的零点密指量和导函数的1 一值点密指量来界囿特征函 数在上述阶段中，人们对正规定则的研究大部分采用的是d m i r 彻如的方法，即消去原始 值法，它根据e t ，肌z i 付眦值分布理论首先建立关于特征函数的界囿不等式，再设法消去原 始值而在消去原始值时，往往由于需要高度的技巧而使某些正规定则的证明变得相当复杂 开创性的成果来自以色列数学家工z 口z 肌彻，提出z 以c m 帆引理，他从m a r 冶正规定 则出发给出了一族全纯函数不正规的充要条件，由此导出了一个有趣的正规定则随后，庞学 诫和三z 口z c m 肌等人把z n z c m 帆引理和函数导数联系起来，推广了z o z c m a n 引理，被称为 z n z c m 肌一p 口n 夕方法这种方法不仅使以往许多使用消去原始值的方法所得到的正规定则 的证明变得相当简单，而且又建立了一系列新的正规定则 第一章引言 1 9 9 2 年，形s c 胁t c 七率先提出把亚纯函数的正规性和唯一性联系起来考虑，证明了 s 曲伽i 吐定理随后，相继出现与分担值相关的正规定则，主要有庞学诚和l z 以c m n 礼获 得的亚纯函数族中任意函数与其导函数分担两个有穷值的正规定则，方明亮和l z n z c m 肌 等人获得的几个与分担值相关的正规定则本文就是从s 曲加t c 七定理以及庞学诚、 l z d z 舢和方明亮获得的与分担值相关的正规定则出发，提出两个亚纯函数族之间的分 担值的问题，从而也得出相应的正规定则 1 2 本文的研究内容和论文框架 本论文主要介绍两族亚纯函数之间关于分担值的正规定则。它来源于一个一般性的问 题： ”寻求某一性质p ，给定只v ，9 兀，与夕都有性质p ，使得，正规。 本论文主要做了以下工作： ( 1 ) 通过引入一些重要的定理和引理以及和本论文相关的结果，在此基础上总结归纳本 论文所要证明的结论 ( 2 ) 把亚纯函数正规族和分担值结合起来考虑是亚纯函数正规族理论研究的重要课题， 之前所作的研究基本上都是限制在一族函数族上，本文研究了两族亚纯函数之间的正规关 系 本论文的框架如下： 第一章的最后介绍了本文中可能出现的重要定义；第二章介绍了相关的定理和引理，并 重点证明了本文的主要定理证明中用到的引理，分别给出了特殊形式和一般情况的证明；第 三章介绍了主要定理的证明，其中条件”极点是重级的”是在证明的最后遇到困难时添上的 额外条件。这才使证明顺利进行 2 第一章引言 1 3 几个关键的定义 定义1 设口，6 - 我们称一非负实数为口与6 之间的球面距离，记作l 口，6 i ： k 仆j l 当口o o ，6 时； 当a o o ，6 = 时； 当口= ，6 = 时 足义2 设，( z ) 征区域d 上解析，则，【z ) 征点勾d 的球囱导效为： 尥) = 舰警掣 其中i ，( z ) ，( 翔) i 为，( z ) 与，( 徇) 的球面距离因此 舳，= 舰警掣= 尚淼 且有 ，= ( ；) 。 定义3 设【厶( z ) ) 为区域d 内的一亚纯函数序列，我们称 厶( z ) ) 在该区域d 上按球 面距离内闭一致收敛，如果 厶( z ) 在区域d 内任一有界闭域上按球面距离一致收敛 定义4t ，) = m ( r ，) + ( r ，) r ( ，) 称为，( z ) 的特征函数显然它是非负函数 特别地，当，( z ) 是有理函数时，即设 北) = 若鼍篇，。 当r 充分大时， 嘶，) _ ”g ) l o g r + d ( 1 ) p 口 lo ( 1 ) p 口 3 丽 雾。 第一章引言 于是 ( r ，) = 口1 0 9 r t ( r ，) = 姗( ( p ，g ) 1 0 9 r + d ( 1 ) 定义5 设，为区域d 内的一族亚纯函数我们称厂在区域d 内正规，如果从厂中任 一函数序列 ，n ( z ) ) 均可选出它的一子序列 k ( z ) ) 在该区域d 上按球面距离内闭一致收 敛 定义6 设厂为区域d 内的一族亚纯函数，p 是d 内任意一点我们称厂在点p 是正规 的，如果存在p 的一个领域( p ) ，使得，在( 力是正规的 定义7 设，和9 为区域d 两个亚纯函数，设口和6 是两个复数若当，( z ) = 口，有 9 ( z ) = 6 我们记为，( 名) = 口号夕( z ) = 6 若，( z ) = 口净夕( z ) = 6 和夕( z ) = 6 令，( z ) = 口，我 们记为，( z ) = a 夕( z ) = 6 若，( z ) = 口营夕( 名) = 口，则我们称为，和夕在区域d 上分担口 进一步，若，( z ) 一口与夕( z ) 一口在d 内有相同的零点并且所有的零点重级也相同，则我们称 ，和夕是区域d 内c m 分担口，记为，( z ) = 口掌夕( z ) = a 4 第二章有关引理和定理 第二章有关引理和定理 2 1 相关引理 引理1 ( z 以c l 伽一p 咖引理) ( 【l 】) 设，是单位圆内的一族亚( 全) 纯函数族，七是一正 整数户中每个函数的零点重级至少七，并且 ( 1 ) 若，仁) = o ，必有l ，( 七) i a ： ( 2 ) 厂在单位圆内不正规，那么对于每一个q ，0 口s 七，存在 ( a ) 实数r ，0 f 1 ； ( ”点列磊，i i r ； ( c ) 一列函数厶只 ( d ) 一列正数队一0 + 使得 丛譬盟：鲰( e ) _ 夕( ( ) 一= l l i l - 哼f ，i 【- 鹏 7 在复平面上关于球面距离内闭一致收敛，其中9 为c 上的亚( 全) 纯函数且满足扩( e ) 9 孝( 0 ) = 七a + 1 注以色列数学家l z o z c m 肌【5 】证明了口= o 的情形；庞学诚【6 】证明了一1 q 1 的情形这两种情形对零点不做任何要求陈怀惠，顾永兴【7 】在零点重级七的情况下，证 明了一1 q 七的情形这里指出条件a 1 不是本质的，只是为了叙述上的方便 其中q = 0 时定理充分性的证明： 假设，在d 上正规，则存在： r ( o r o ，劈( 名) m 而由必要性的证明可知 谚( ) = 风臂( 磊+ 加) 矿( ) = ，觇加劈( + 风f ) = o 5 第二章有关引理和定理 从而夕 ) 为常数，矛盾 又 鳝( o ) = 群( ) 加= 1 9 孝( o ) = ，鲰旃( o ) = l 9 襻( f ) 夕襻( o ) = 1 引理2 ( 【8 】) 设，( z ) 为c 上的亚纯函数，若，( z ) 的球面导数，襻( z ) 在c 有界，则，( 名) 的级至多为2 若，( z ) 是整函数，则，( z ) 的级至多为1 引理3 ( 【9 】) 设，为区域d 上的亚纯函数族，则，在d 内正规的充分必要条件是， 在区域d 内每一点正规 引理4 ( m n r 切定理) ( 【9 】) 设，为区域d 上的一族解析函数，那么，在区域d 上正 规的充要条件是：对区域d 内的任意一个闭子集e 都存在一个正数m ，使得 ，( z ) m 对于任意的z e 和，都成立 引理5 ( 幅角原理) ( 【1 0 】) d 是围线c 所围成的有界区域，( z ) 除了d 内有有限个极点 外在西= d + c 上解析，并且在c 上，( z ) o ，则 熹二铬出- ( 鲫- p ( 鲫 其中( g ，) 表示，( z ) 在( 复) 围线c 所围成的区域d 内的零点总数( 七级零点按七次计算) p ( c ，) 表示d 内的极点总数( z 级极点按z 次计算) 6 第二章有关引理和定理 引理6 ( m 饥e f 定则) ( 【1 l 】) 设，是区域d 上的一族一致有界的解析函数，则厂在区 域d 内是正规的 引理7 ( 日t r t t ，甜名定理) ( 【1 l 】) 设 厶( z ) ) 是区域d 上的一个解析函数列， 厶( z ) 在 d 上内闭一致收敛于一个非常数的解析函数，( z ) ，若方程 在d 内有解，则当n 充分大时，方程 在d 内也有解 ，( z ) = 口 厶( z ) = 口 引理8 ( 倒口佗z 讥讹第二基本定理) ( 【1 2 】) 设，( 名) 在h r ( ) 内亚纯若 ，( o ) o ，1 ，o 。；厂，( o ) o ，则对于o ， 冗有， 其中 以及 州，洲硼+ ( r ，；) + ，古) 圳卅跳n 1 ( r ) = ( 2 ( r ，舻肌，) ) + ( r ，乡) ， 洲胁( n 手) + m ( n 南) + 崦i 紫i + 1 0 9 2 引理9 ( m 砌伽。不等式) ( 【3 l 】) 设，( 名) 为1 2 1 r ( o 冗。o ) 内非多项式的亚纯函 数，若，( o ) o ，( 七) ( o ) 1 ，( 詹+ 1 ) ( o ) o ，则当o r r 时有， 其中 州， 研+ + ( r ，南) 一( r ，南) 懈力 7 第二章有关引理和定理 跳肛m ( r 等) + mg 竽) + m ( r 筹) - 0 9 l 掣卜2 这里丙( ，= 口) 称为，( 名) 一口的精简密指量，或记为丙( ，_ ，7 笔) 其中 丙( r ，= 口) =r 煎皇掣m + 瓦( 0 ，= 口) l o g r 瓦( o ，= 口) 表示在msr 内，( 名) 一n 的零点数，每个零点仅计一次 在鲫口n z 讥n 口的第二基本定理中，必须用三个值点的密指量( 即三个才能界囿特征 函数t ( t ，) 在m 饥眦不等式中，我们看到这三个密指量中可以有一个或两个用其导数 的密指量来代替而形k 日倒m 肌于1 9 5 9 年获得了一个十分深刻的结果，他指出对于亚 纯函数，( 名) ，只需，( z ) 取值的一个幂指量与，( 七) ( z ) 取值的一个幂指量便可界囿特征函数 t ( r ，) 而这在没有引入导数时显然是不可能的 引埋l o 【爿舭n 个寺瓦) 【l o 】) 议八名j 刀1 名i 咒【s j 冈非多坝瓦明业巩幽双七 是一正整数若，( o ) o ，o 。；，( 七) ( o ) 1 ，( 知+ 1 ( o ) o 及 ( 七+ 1 ) ，七+ 2 ( o ) ( ，七( o ) 一1 ) 一( 七+ 2 ) ，七+ 2 ( o ) 2 o ， 则当0 r r 时 州， ( 2 + 丢) + ( 2 + 昙) 丙( r ，南) 删删， 其中 跳肛( 2 + 昙) m ( r ，器) + ( 2 + 昙) m 竽) + m ( r ，等) + * 筹) 卅( 2 + 测掣l 1 ，f产+ 1 ( o ) ( 产) ( o ) 一1 )i + 石崦l 两两万呵斫丽访j f 丽毛泸呵酽i 8 第二章有关引理和定理 由日叼仇们不等式得 引理1 1 ( 【l o 】) 设，( 名) 为复平面上的非常数亚纯函数，6 为非零复数，七为一正整数，则 ，( z ) 或者，( 七( z ) 一6 有零点若，( 名) 为超越亚纯函数，则，( z ) 或者，( 七) ( z ) 一6 有无穷多个零 点 引理1 2 不存在这样的有理函数，( z ) ，其中。是，( z ) 的唯一零点，且重级为l ，极点都是 重级的，满足，= o 营= 1 证明：因为，( 名) 只有唯一的零点o ，重级为1 ，且极点都是重级的则可设 化) 2f 葡i 赤， m = 1 + f 而南， 这里的啦2 = 1 ，2 ，n ) 对( 1 ) 求导并联系( 2 ) 其中 m = 券熹帮= 1 + f 而害南， p ( z ) = 口l ( z 一口2 ) ( z 一) + + ( 名一口1 ) 0 一一1 ) ， d e 卵( z ) t l 一1 因为，= o ，7 = l ，则，( z ) 一1 = o 仅有一个零点，且 ，( z ) 1 = 虹业兰等等等鲁螳 可知m = q 1 + + 佗 9 第二章有关引理和定理 可知 由n 贼m l i 朋a 不等式： t ( r ，) ( r 多) + 丙( r ) + 丙( r ，7 与) + d ( 1 ) ， 又因为，是有理函数，则 t ( n ) 礼1 0 9 r + n l o g r + l o g ，- + d ( 1 ) = ( 2 n + 1 ) l o g r + d ( 1 ) t ( r ，。) = ( q l + + + n ) l o g ，+ 0 ( 1 ) =( ( q 1 一1 ) + ( a 2 一1 ) + + ( 一1 ) + 2 礼) 1 0 9 r + o ( 1 ) 从而 ( ( a 1 1 ) + ( q 2 1 ) + + ( 一1 ) + 2 n ) l o g r + d ( 1 ) ( 2 n + 1 ) l o g r + 0 ( 1 ) 则，( z ) 至多只有一个极点的重级2 ，且这个极点的重级恰为2 而由已知，( 名) 的所有 极点都是重级的，则可得啦2 ，故n = 1 由此 若 若口= 1 ，则 即 第二章有关引理和定理 得到 。 一3 士 仡 名l 。u ，勿，32 1 一 即除了。之外，( z ) = 1 还有其它解矛盾 同理可证n = 一1 的情况 引理证毕 一般的。我们可以得到： 不存在这样的有理函数，( z ) ，其中，( 孑) 只有一个七重零点，极点都是重级的，满 足，= 0 兮，( 叼= 1 证明：不妨假设动为，( z ) 的零点则可设 他) = f 杀， 产k ) _ l + f 杀害知， 这里的啦2g = 1 ，2 ，佗) 对( 3 ) 求导并联系( 4 ) 其中 产k ) = f 币尝斋= 1 + f 采桀知， 如9 _ m ( 名) 衙1 因为，= o ，( 知) = 1 ，则，( z ) 一1 = o 仅有一个七重零点，且 产k h = 鼍兰等蔫警， 1 l 第二章有关引理和定理 可知m = 仅1 + + n 七 可知 t ( r ，伪) ( r ，南) + 丙( r ，伪) ) + 丙7 i j ) + 。( 1 ) ， t ( r ，( 七) )n 七1 0 9 r + n 1 0 9 r + l o g ，+ d ( 1 ) = ( ( 七+ 1 ) n + 1 ) l o g r + d ( 1 ) 又因为，是有理函数，则 从而 t ( r ，( 七) )= ( q l + + + n 七) l o g ，- + d ( 1 ) =( ( q l 一1 ) + ( q 2 1 ) + + ( 一1 ) + ( 七+ 1 ) 几) 1 0 9 ，- + d ( 1 ) ， ( ( q l 一1 ) + ( q 2 1 ) + + ( q n 一1 ) + ( 七十1 ) n ) 1 0 9 r + 0 ( 1 ) ( ( 七+ 1 ) n + 1 ) l o g ，+ d ( 1 ) 则，( z ) 至多只有一个极点的重级2 ，且这个极点的重级恰为2 而由己知，( z ) 的所有 极点都是重级的，则可得戗2 故n = 1 由此 化) = 锑， ，( 七( 名) ：查碳( c 矿_ ( 南) “ = 碳( ( z 一徇) 七) 怛1 1 志) 瑚 、。一- ， ：点+ o 一翔) 9 ( z ) ， 2 丽+ ( z 一翔) 9 ( z ) 其中9 ( z ) 是多项式 这与，= 0 营，( 砷= 1 矛盾 1 2 第二章有关引理和定理 2 2 相关定理 定理1 ( 【2 7 】) 设，为区域d 上的一族亚纯函数，七1 为一个正整数，若对于任意 ，尸，0 ，( 七) 1 ，那么厂在区域d 内正规 定理2 ( 【2 l 】) ( b l o c h 原理) 设p 是一个亚纯函数的性质若复平面上的亚纯函数，在 复平面上满足性质p 即 p ，则必有，兰常数那么对于区域上d 上的亚纯函数 族只它的每一个元素，在区域上d 上满足性质p ，即 p 则必在区域上d 上正 规 注：b 1 0 c h 原理不是很精确，但它对正规族理论的发展起了重要的推进作用 这里的性质p 主要是： ( 1 ) ，0 ，伪) a ( 口o ，) ( 七1 ) ， ( 2 ) 广6 ( 6 o ，) 1 ) ， ( 3 ) 厂一口，i 6 ( 口o ，6 o 。) m 5 ) 定理3 ( 【l 】) 设，为区域d 上的一族亚纯函数，庇为一个正整数，6 ( 0 ) 为有限复数，九 为有穷正数如果对于任意的，只，零点重级七，且满足： ( 1 ) 己( o ) = 己( ”( 6 ) ； ( 2 ) 对任意，的零点，o i ，( 七+ 1 ) ( z ) i ，l ，那么，在区域d 上正规 这里，西( 口) = z d ：，( 名) = 口) 注当己( n ) = d 时，有，( z ) o ，( 七) 6 这就表明定理1 是该定理的推论 下面的一个例子说明条件( 2 ) o i ，( 七+ 1 ) ( z ) i 屯是不能省略的 例：设 厶( 名) = 嘉( e 眦+ e 一一2 ) = 嘉e 一( 一1 ) 2 ， 1 3 第二章有关引理和定理 则厶的零点均是重级，且 厶( 名) = 去( 俨一e 一) ， ( z ) = e 一眦+ e 砧， 筹( z ) = 僦一似( e 挑一1 ) 则有己( o ) = 劲( 2 ) c 可”( o ) ，而 厶( z ) ) 在单位圆盘上不正规，事实上只需证明 厶( z ) ) 在0 的领域不是等度连续的即可。 取忽= 。，勿= 击，则l 魂一勿l = i 。一击i _ o _ o o ) 但是i 厶( z - ) 一厶( 勿) i = l 厶( 勿) i = f 去( e 西+ e 一伽一2 ) l o 所以f 厶( z ) ) 在0 的领域不等度连续 定理4 ( 【3 0 】) 设厂为单位圆盘上的一族全纯函数，6 ( o ) 为有限复数，且满足： ( 1 ) 町五已( 0 ) c 弓( 6 ) ； ( 2 ) 对任意z 哥( 6 ) ，i 厂，( z ) i i l ，那么，在上正规 注比较前面的定理，可以举例说明七= l 时对于亚纯函数来说”o l ，”( z ) l ”( 大于零的 条件) 是不能去掉的，事实上：设厶( 名) = 驾予，则 厶( z ) = o 兮t 缸死z = o 兮他名= 七死 ( 名) = 8 e c 2n 名= 1 争n z = 七7 r 则瓦( o ) = 瓢( 1 ) 而当n z = h 时，( z ) = 2 s e c 2n z t 趾，i z = o ，不满足条件o o ，( 细，r ) = 名： k 一徇l 1 和( 硒，r ) = z ：o i z 一纫i 1 ，单位圆记为记在d 上有厶( z ) 每，( 名) 表示函数列 厶( 名) ) 在d 中任意紧子集里按球面距离一致收敛于，( z ) 而厶( z ) _ ，( 名) 表 示函数列 厶( z ) ) 在d 中任意紧子集里按欧氏距离一致收敛于，0 ) 1 7 第三章定理a 的证明 第三章定理a 的证明 证明：不失一般性，不妨设d = 若存在点徇，使得 在点徇处不正规由引理 1 可知，存在点列 磊) ，_ 匈，函数列厶五，正数列肪_ o + ，使得 r ( ) = 筒七厶( 磊+ 肌) 每f ( 专) ， 其中f ( f ) 是复平面上的非常数的亚纯函数，且f i i ( f ) f l i ( o ) = 七+ 1 我们证明： ( 1 ) f 的零点重级为七； ( 2 ) f = 0 营f ( 七) = 1 事实上：设f ) = o ，则由肌r 埘纪定理，存在矗：矗_ 岛，当n 充分大以后，有 眦) = 半= o 可得厶( 磊+ 加厶) = o 由已知： 鹳( + 加矗) = od = 1 ，2 ，七一1 ) ； 臂( + 加矗) = 1 从而 取& ) = 掣= 。d = 1 2 ，) ， 世( 矗) = 臂( + 加矗) = 1 因为f ( f ) = 0 在岛的领域内解析，则在岛的领域内有 则 第三章定理a 的证明 所以f 的零点重级为七，且f = 0 号f ( 奄) = 1 反之，设f ( 七( 如) = 1 ，则f ( 七( ) 1 若不然：由f ( f ) 的零点重级为七，可知f ( f ) = 堡 学，由简单计算可得 椰恢豁： 从而有剧( 0 ) o 。当n 充分大以后，r ( ) 在i 一岛i 6 有k 个零点 若不然，r ( ) 在l 专一如i o 使得f ( ) 在i 一岛l 6 内除岛外没有其它零点，则 由f ( f ) 在l f 一岛l 6 解析， 每， 由幅角原理： j = 去k ；。勰畦兮熹k 鬻世以 所以r ( ) 在i 专一矗l 6 有k 个零点 而r ( ) = 万七厶( 钿+ 加f ) ，则厶( + 风f ) 在i 一岛i 6 有k 个零点 1 9 第三章定理a 的证明 又因为厶的零点重级为1 【 则厶( + 陬f ) 在陪一岛i 0 。当o i z 一勾l ，9 ( z ) 0 ，所以当n 充分大 以后，由日w t l ，乱名定理，鲰( z ) 在1 名一询i 2 有k 个零点，而鲰( 名) 的零点重级为l 【则 鲰( 名) 在i z z d i 2 仅有一个k 级零点 由于k ，蚓 o ) ，厶，当n 充分大以后， 有+ f u ( 匈，2 ) ，厶( + 加f ) o 事实上，若厶( 磊+ 风f ) = o ，则厶( z ) 在i z 一徇i 2 有两个k 级零点，与鲰( z ) 在i z 一 翔i 2 仅有一个k 级零点，矛盾 可得f ( ) 在蚓 r 上只有1 个零点( k 重) ，由r 的任意性，知f ( f ) 在c 上只有1 个 零点( k 重) 因为f = 0 铮f ( = l 。即f 及f ( 蠹) 一1 在复平面上都只有一个零点，由引理l l 说 明f 不是超越亚纯函数，则f 是有理函数但由引理1 2 说明这样的有理函数是不存在的，从 而推出矛盾，定理证毕 2 0 参考文献 【l 】x u e c h e n gp ! a n g ，l z a 岫咖l i l n m m l 细n i l i 懿锄ds h a 嘲v a l 嶙，b l l l l l 舳d m a l h s 0 c 3 2 ( 2 0 0 0 ) ， 3 2 5 3 3 1 【2 】ws c h w i c ks h 痂g 咖粕dn 伽m 慨舢电m a t l i 5 9 ( 1 9 9 2 ) ，5 m 5 4 【3 】x u 仪：l l e n gp a n g ，l 捌a 啪，s h 缸i n g i l u e s 锄dn 蛐a n 哆d f i l d vf 研m 硼h 既n a t i l 【 3 8 ：l ( 2 0 0 0 ) 1 7 l - 【4 】w 撕l j n h o n 弘岫y i v a l u e 鼬t i o fm 锄m o r p i h i cf i l i i c 吐倒嘲m i n gs l l a 删v 山伪， h l d i 柚j p u 璋a p p l m a m3 4 ( 2 0 0 3 ) 。5 3 5 - 5 4 1 【5 】l z a l j 咖衄，ah e i l i i 始c 删蹴i nc 1 p l 甑f i l i - 嘶锄血吼a m 既m a t h m 彻伽y 8 2 ( 1 9 7 5 ) ，8 1 3 - 8 1 7 【qx 哦懒gp 乏m g b l o c h s 弘i n c i p l ca n dn 饥m a la 拍嘶，s d c h i 甄s e ca3 2 ( 1 9 8 9 ) ，7 8 2 7 9 1 【7 】h l 枷眠n l 函n g 瓯h l p i 硎锄瑚t o f m 哪s 嘶t 商锄di t sa p p c a l i ，s d q i i l l s 既a 【8 】j c l u n i c 。w kh a 脚n n cs p l 谢c a ld e i 喧垤6 他0 f 删锄d 涨删n 呵腼cf i l i 圮6 0 璐，c c 衄m 饥t m a l h h e l 、，e t 4 0 ( 1 9 6 6 ) ，1 1 7 - 1 4 8 【9 】l e 硒w 抽g m 砸g a n g 陆g ，嘲岫懿柚d 舯m l a l 舢c s o f m 即叩l 呲删s 丽t h 删小 卸l e 姗s ，a c 组m a l h s i n i 龃1 4 ( 1 9 9 8 ) ，1 7 2 6 【1 0 】钟玉泉复变函数论北京：高等教育出版社，1 9 7 9 ，1 6 9 1 7 0 【l l 】庞学诚，梁金荣，柴俊复变函数北京：科学出版社。2 0 0 3 ，7 7 7 8 【1 2 】p j 融p p o n g m s t a l l a 吐i 胁吐o fac k 0 fh y p e r b o l i c 珊饿忸。删血f i l n c t i o 璐，p r oa 曲筋m a 也 s ，1 2 7 ( 1 9 9 9 ) ，3 2 5 1 3 2 5 8 【1 3 】杨乐，值分布论及其新研究北京：科学出版社1 9 8 2 ，4 “7 【1 4 】赵彦达译，c 扰曲d o 啦c 复变函数论( 1 ) 北京：高等教育出版社，1 9 8 5 7 2 1 参考文献 【1 5 】p 枷m 叫毗卜k 脚：l a lf a m i l i 骼s p l i n g * v 矾a g 1 9 9 3 ，3 5 3 6 【1 6 】) ( i a o j 衄l j i i x l i h e n gp a n g ，s h 痂gv 山瞄锄dn 锄a lf i m c t i o 腿，知1 1 1 s i n i c 乱e l l g l i s hs 既5 0 【l 刀x 1 l h e n gp 锄g ，d e g l l iy a n g ，z a l 咖l ，n 姗唿l 伽n i l i 器o fm 蹦1 0 r p h i cf 1 1 t i o 邶w h o d e r i v a - 在v 豁伽血a f i l i l c 曲虹c 脚p u l m e t h o d s 2 ( 2 0 0 ，2 5 7 - 2 6 5 【1 8 】x l l h 肌gp a n g ，l z a l 锄锄，n l 玳n a i 细山锶o f m 即叩删1 p l 血f i l ：曲璐丽t hm l l l 在p l e 踟s 柚dp o l c s ， i 锄e lj 1 3 6 ( 2 3 ) ，1 9 【1 9 】x uyn 咖a i i 哆锄d 懿p t i a lf i l n c 硒璐o fd e 啪蜘，j 觚t s 7 6 ( 2 0 0 4 ) ，4 0 3 4 1 3 【2 0 】x l l h 锄gp ：a n g ，l z a l c ：m 趾，n 舳a lf 抽i l i 骼锄d 翊l 锄dv a l u 骼，们b u k m d m a t l l s 3 2 【2 l 】顾永兴，庞学诚，方明亮正规族理论及其应用北京：科学出版社 【2 2 】w i i i 巧仰a n m 锄吼p h i cf h n c t i s ，o 】【f b 础c h 嘲1 d 册p r 懿s 1 9 “ 【2 3 】王跃飞，乔建永，张广远关于亏值、正规族和奇异方向的若干现代研宄科学通报，4 4 ( 1 9 9 9 ) ， 2 5 7 7 2 5 8 6 【2 4 】l 剧c m a n n m n a lf 缸i i l i 懿：n e wp 佗s p e c 6 v 骼，b l l l la 曲既m a l h s 3 5 ( 1 9 9 8 ) ，2 1 5 - 2 3 0 【2 5 】w l 【i ) 咖，瞰矾h 圮s0 f 删淑粕0 q 蛳c 如d s 趾dt l l 由d e 哦呲i v 豁，a n n o fm a t h c 2 ) 7 0 ( 1 9 5 9 ) 9 - 1 2 【2 6 】x u h c n gp a n g ，d 昭：l l i g ，z a l 锄l ，n i 砌a l 伽词i 璐柚do i n i t 吣df i l n c 妇s h d i 锄i m i v e f s i 锣 【2 7 】y 0 n g ) ( i n g ( ho nn 砌a lf j 姗i i l i 船o fm 呱i 讲p h i cf l l n c t i o m ，s d d as i i i i a 4 ( 1 9 7 8 ) ，3 7 3 3 8 4 【2 8 】ky 锄g ，n ( 肋1 a k 哆0 f 胁i l i c s0 f 删粕n 1 0 f p l l i cf i l i l c 吐。璐，s c i 朗虹as i n i c a 八9 ( 1 9 8 6 ) ，8 9 8 9 0 8 参考文献 【2 9 】w b e 则甜盯，a 慨n k o ，o n 圮s i n g u l 耐血s0 fn ”劬嘲t 0a 珊翻m o r p h i cf u n c t i 0 f 丘n b o r d 瓯r e 、rm 融i b 瓯1 1 ( 1 9 9 5 ) ，3 5 5 - 3 7 3 【3 0 】x i 脱h e n gp a n g ，删咖柚dn l m n a l 细幽，a n a l y s i s2 2 ( 2 0 0 2 ) ，1 7 5 l8 2 【3 l 】w be r 3 酊r 酣x l l h e n gp 锄g ，0 nn 圮d 甜v a 6 v c0 fm 啪珊唧腼cf i l i l c 6 叽sw i 也硼l 峋) l e 姗s ，j m a l h a n a l a p p l 2 7 8 ( 2 0 0 3 ) ，2 8 4 2 9 2 【3 2 】j i 锄m i n gq i a n g m m g l i 锄gf a n g ，l z a l 锄柚，n 舢l 细础o fh o l 伽砌q p l 血f i l n c 6 s ，m i n o i s 【3 3 】m 砸曲柚gf 细g ，i z a l 伽锄，n m 尬lf 觚1 i l i 骼柚ds h m dv 山骼o f m 啪m o 印h i cf i l