（应用数学专业论文）若干流体力学模型解的性态研究.pdf

若干流体力学模型解的性态研究 学科专业： 博士研究生： 导师： 应用数学 刘炎 姚正安教授 摘要 本文将研究若干流体力学模型解的性态，共分四章 在第一章中，我们主要研究下面的三维不可压磁流体力学方程组： 象+ ( u v ) u 一弘珏+ v p + v l b l 2 = ( b v ) b ， 筹+ u v ) b 一( b v ) u r a b = 0 ， ( 1 ) v u = v b = 0 由于三维磁流体力学方程组整体经典解的存在性目前仍然是一个公开问题， 已有大量的研究工作讨论其局部解满足b l o w - u p 准则( 即在什么条件下此局部 解可延拓到整体解) 在该章中我们对部分已有t t g b l o w - u p 准则作对数改进 在第二章中，我们在一半无界管型区域内讨论b o u s s i n e s q 方程组b o u s s i n e s q 系, 统与大气和海洋湍流研究以及 - 3 旋转和分层发挥主导作用的情况下的天体物理学 的研究是紧密相关的我们所讨论的是以下常系数齐次b o u s s i n e s q 方程组： 三三兰蓦二：嚣二孑9 + v = 在流体力学中，系统( 2 ) 被用于浮力驱动的流场中，它描述了在重力作用下的 不可压缩齐次粘性流体的运动 由于流体方程解的空问衰减性属于偏微分方程解的稳定性的一个重要方面 对于n a v i e r - s t o k e s 方程已经有很多结果该章主要将n a v i e r - s t o k e s 方程组的结果 推广到b o u 8 s i n e s q 方程组上来，得到解的空间衰减估计 在第三章中，我们继续研b o u s s i n e s q 方程组，我们所要考虑的是如下非齐次 的运动粘性l ，是与温度p 相关而热电导率k = o 的情况( 半粘性) 荔u,：-jdiv3(l9,(8：)v。u)+让vu+a的+唧 o 0 对于常系数的b o u s s i n e 8 q 方程组，其适定性已在很多文献中讨论，但对于变系 数的情况相关结果很少在该章中我们在临界的b e s o v 空间中将常系数b o u s s i n e s q 方 程组的存在性与唯一性的结果推广到变系数的情况 在第四章中，我们讨论的是下面的多孔介质中f o r c h h e i m e r 方程： 讹一ci 札2 让i p 。t + 仇瓦 由于结构稳定性是对方程或者模型本身稳定性的研究，所以能够很好的反映 流体在介质中的流动情况，在该章中，我们通过构造出一个微分不等式从而得到 解对系数的收敛性 关键词：磁流体力学方程组，b o u s s i n e s q 方程组，f o r c h h e i m e r 方程组，适定 性，结构稳定性 h l 6 一 l l j m 塑 一吼馐 = = 十 丝巩丝觚卯一挑 ，-l-_-，、lll【 t h es t u d i e so fp r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o rs o m e f l u i dm e c h a n i c sm o d e l s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e ： y a nl i u s u p e r v i s o r ：p r o f z h e n g a ay a o a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ew i l ls t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n so ft h ef l u i d m e c h a n i c sm o d e l l i n g s t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gt h r e ed i m e n s i o n a lm a g n e t o - h y d r o d y n a m i c se q u a t i o n s ： ( 5 ) t h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h et h r e ed i m e n s i o n a lm a g n e t o h y d r o d y n a m i c se q u a - t i o n sr e m a i n so p e n t h e r ea r ee x t e n s i v es t u d i e so nt h eb l o w - u pc r i t e r i a ( w h e nt h e l o c a ls o l u t i o nc a ne x t e n dt ot h eg l o b a ls o l u t i o n ) t ot h et h r e ed i m e n s i o n a lm a g - n e t o h y d r o d y n a m i c se q u a t i o n s w el o g a r i t h m i c a l l yi m p r o v es o m eo ft h eb l o w - u p c r i t e r i a i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h eb o u s s i n e s qe q u a t i o n si nas e m i i n f i n i t e p i p e t h eb o u s s i n e s qs y s t e mi sp o t e n t i a l l yr e l e v a n tt ot h es t u d yo fa t m o s p h e r i c a n do c e a n o g r a p h i ct u r b u l e n c e 8 sw e l la so t h e ra s t r o p h y s i c a ls i t u a t i o n sw h e r er m r a t i o na n ds t r a t i f i c a t i o np l a yad o m i n a n tr o l e 。w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gh o m o - g e n e o u sb o u s s i n e s qe q u a t i o n s ： 瞄z 并咖_ 0 ， ( 6 ) i nf l u i dm e c h a n i c s ，s y s t e m ( 6 ) i su s e di nt h ef i e l do fb u o y a n c y - d r i v e nf l o w i td e - s c r i b e st h em o t i o no fi n c o m p r e s s i b l eh o m o g e n e o u sv i s c o u sf l u i du n d e rt h ei n f l u e n c e o fg r a v i t a t i o n a lf o r c e 反vb = ， 驯= v b 十 叩 p v m + v 山旧n j 严 一 = 卜 b 罗m 嚣 = + + 缸钆一巩镏一况v t h es p a t i a ld e c a ye s t i m a t e sf o rt h ef l u i dm e c h a n i c si sa n a ni m p o r t a n ta s p e c t o ft h es t u d yo fs t a b i l i t y f o rt h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ，t h e r ea r em a n yr e s u l t s a b o u tt h es p a t i a ld e c a ye s t i m a t e s i nt h i sc h a p t e r ，w ed e r i v et h es p a t i a ld e c a y r e s u l t sf o rt h eb o u s s i n e s qe q u a t i o n sa sw e l la st h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ea l s oc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n h o m o g e n e o u sb o u s s i n e s qe q u a t i o n s w bi n v e s t i g a t et h ec a s ew h e nt h ek i n e m a t i cv i s c o s i t yi st e m p e r a - t u r ed e p e n d e n tw h i l et h et h e r m a lc o n d u c t i v i t y 尼= o ( p a r t i a lv i s c o s i t y ) f 乱t d i v ( u ( o ) v u ) + 乱v u + a 口夕+ v p = 0 ， d i u “：，(7di 0) u “= ， 【j lo t + u v o = 0 f o rt h ec a s ew h e nt h ek i n e m a t i cv i s c o s i t yi sc o n s t a n t ( w ec a l li tt h eh o m o g e - n e o u sb o u s s i n e s qe q u a t i o n s ) ，t h ew e l l - p o s e d n e s si sd i s c u s s e di nm a n yp a p e r s b u t f o rt h en o n h o m o g e n e o u sc a s e ，t h er e s u l t sa r er a r e i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i nt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t sf o rt h en o n h o m o g e n e o u sb o u s s i n e s qe q u a t i o n si n b e s o vs p a c e i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gf o r c h h e i m e re q u a t i o n s ： i 警= - - a u i bl 札lu t c lu1 2 让 一p ，t + 吼t ， 罄= o ， ( 8 ) 【筹+ 仳t 器= z s i n c es t r u c t u r a ls t a b i h t ys t u d i e st h es t a b i l i t yo ft h ee q u a t i o n so rt h em o d e l s t h e m s e l v e s ，i tc a nb eag o o dv e h i c l et od e s c r i b ef l o wi np o r o u sm e d i a i nt h i s c h a p t e r ，w ec o n s t r u c tad i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yf r o mw h i c hn e wc o n v e r g e n c er e s u l t s a b o u tc o e 儡c i e n t so b t a i n e d k e y w o r d s ：m a g n e t o h y d r o d y n a m i c se q u a t i o n s ，b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ， f o r c h h e i m e re q u a t i o n s ，w e l l p o s e d n e s s ，s t r u c t u r a ls t a b i l i t y u t a “，u 飘 v u u 1 1 1 d i v u v u u u 驴( q ) 1 日1 ( q ) p ( o ，t ；义) 符号禾n - i e 号 r 内具有光滑边界a q 或者r 的有界区域 o u 瓦 o u 如t ( 0 1 u ，岛u ，巩乱) 洁l ”0 4 2 u t ， u = ( u l ，? 2 2 ，u n ) ( u i u j ) n t l q 可测且p0 1 ) 次可积的函数空间，其范数定义 如下： ulpcn，：=e(s厶ssiuup(zn)|lupdl,z)； 乱0 l 2 ( q ) 当p 0 常数表示磁扩散下面介绍关于方程( 0 1 1 ) 的研究情况： d u r a u t 和l i o n sf 4 0 】在有限能量的条件下得到整体弱解的存在性在【9 3 】中，作 者考虑了二维的m h d 方程，得到古典解的光滑性与唯一性的结果尽管如此，对 于三维的m h d 方程还没有类似的结果事实上，对于三维m h d 方程的整体经典 解的存在性，目前还是公开问题，因此大量的研究工作集中在讨论其局部解满足 的b l o w - u p 准则( 见【13 】， 4 6 】，【4 7 】，【4 s ，【1 0 7 ， z o s ) 在【4 2 】中，当( 让，b ) 属于l ( o ，丁；1 ( r 3 ) ) 的条件下，得到三维m h d 方程弱 解的一些正则性结果后来c a f l i s c h ，k l a p p e r 和s t e e l e 【1 3 】将著名i 拘b e a l e - k a t o - m a j d a 1 1 】关于欧拉方程的结果推广到三维的m h d 方程他们得到的结果是：光 滑解( 钍，b ) 如果满足条件 ( i i v 乱i i l 一+ i l v b ( t ) j i l * ) d t ， ( o 1 2 ) 则解( u ，b ) 能够扩展到z = t 后来( o 1 2 ) 的结果被推广至u b e s o v 空间中( 见【1 4 】， 【2 9 ， 1 0 6 ，【1 0 7 ) 对于三维理想m h d 方程，w u 【1 0 5 】得到当速度和磁场( u ，b ) 满 足 ( i l v u l l 羔2 + i i v b ( t ) h 羔z ) d t 0 0 ， ( o 1 3 ) 或者 ( 1 l u l l 至。+ l i b ( o i i 至。) d t o 。， ( o 1 4 ) 条件下，解仍保持光滑h e 和n 4 6 】得到了仅仅关于u 的可积条件，得到解( u ，日) 保持光滑，只要满足下面的条件 o 2 i l u ( ) i i l o 。，瓣乳3 p 鲰 ( 0 1 5 ) 接下来，准则( o 1 5 ) 被h e - w a n g 【4 8 】将1 2 空间用l o r e n t z 空间l 一代替对于其他 准则，可见( 【4 7 】，【1 0 4 ，【1 0 8 ) 以及他们所参考的文献 0 2 齐次b o u s s i n e s q 方程 3 事实上，上述讨论关于m h d 方程组的结果与相应的不可压n a v i e r - s t o k e s 方 程组的结果相似主要是因为m h d 方程组与不可压n a v i e r - s t o k e s 方程组具有相 同的对流结构 最近，在c h a n - v a s s e u r 【2 6 】以及z h o u l e i 【1 0 9 】的文章中，作者得到一些关于 三维n a v i e r - s t o k e s 方程b l o w - u p 的对数准则我们将这些结果推广到3 维m h d 中 来下面给出本章的主要结果 本章第一个结果是证明关于三维m h d 方程组的对数准则，该准则改进了c a f l i s c h k l a p p e r - s t e e l e 准则( 见 1 3 】) 定理0 1 1 设让o ，b o h 3 ( r 3 ) ，以及( u ，b ) 是磁流体力学方程组( 0 1 1 ) 初始 条件为( u 0 ，b o ) 对于o t t 的解那么( u , b ) 在时间t _ t 时仍然光滑，只要满 足下面条件 厂t ( 垒些等一+ 1 竺墼些坚一) d t 。( 0 1 6 ) 厶、印飘再币万习瓦两卵面再币万巧砑瓦两严一 _ w 我们仍然可以建立一个相关的准则改进h e - x i n 的准则( 见参考文献 4 6 1 ) 定理o 1 2 设u o ，b o h 1 ( r 3 ) ，以及( u ，b ) 是磁流体方程组( o 1 1 ) 当0 t t 时在初始值( u o ，b o ) 下的弱解则( u , b ) 在时间t = t 时仍然光滑，只要满足 z 丁刮黜 。，瓣乳3 0 时的解的适定性结果已在参考文献 1 5 】中 有详细介绍但是对于= 0 且k = 0 时，( o 2 1 ) 的解是否整体存在目前还是数学 流体力学中的一个公开问题，有关这个问题可见参考文献【2 4 ，2 5 ，9 9 】最近，很多 人开始研究( 0 2 1 ) 的部分粘性问题，也就是说k = 0 而 0 或者k 0 而= 0 的情况( 见参考文献【2 ，2 2 ，3 7 ，3 8 ，5 8 ，6 9 ，9 9 】) 在第二章中，我们将在r 2 上的半无限管型区域内考虑b o u s s i n e s q 方程解的空 间性质管的内部区域记作冗，在笛卡儿坐标系下用这样的点 1 ，z 2 ) 满足x 1 0 以及0 z 2 z 以 及0 x 2 0 ，我们用厶来表示咒中 过点( 名，x 2 ) 的直线 速度分量t t d ，( a = 1 ，2 ) 满足下面的b o u s s i n e s q 方程 u a 。t 一仳a ，卯+ u a u a ，口一7 8 9 , 。+ 尸a = 0 ，( z ，t ) r 【0 ，t 】， p ，t k p ，口a + u a 目，n = 0 ， ，t ) r 【0 ，丁】， ( 0 2 2 ) u a ，a = 0 ，( z ，t ) r 【0 ，卅 我们所研究的解的空间衰减性是属于偏微分方程的稳定性研究的一个重要内 容对流体力学来说，解的空间衰减估计研究已经有了很长的历史h o r g a n 5 0 】 ，h o r g a n 和w h e e l e rf 5 7 ，a m e s 和p a y n ef 5 1 首先对稳态的n a v i e r s t o k e s 方程 进行空间衰减性研究对于与时间相关的扩散方程的空间衰减性研究可见h o r g a n 等【5 6 ，l i n 和p a y n ef 6 5 】以及p a y n e 和p h i l i p p i nf 7 s 对于s t o k e s 方程的衰减性 研究可见a m e s 等f 7 1 ，c h i r i t a 等f 3 2 1 ，c h i r i t a 和c i a r l e t t a 3 1 】以及s o n g 【9 5 很 多文章在半无限管或者通道上研究不可压瞬时粘性流的空间衰减估计我们需要 特意提及的是k n o w l e s 6 2 】在一个三维圆柱形区域上讨论了热方程的空间衰减性， 得到了对于瞬时方程解的空间衰减速度至少和稳态的情况一样快后来，h o r g a n 等【5 6 】证实了在瞬时情况下解的衰减速度远比稳态时快特别的，l i n 和p a y n e 【6 6 ，6 7 1 研究了下面的不可压粘性流 仁= 协 2 劫 他们得到了在适当条件下，方程( o 2 3 ) 解是按照指数衰减的在第二章中，我们 将【6 6 ，6 7 的结果推广到b o u s s i n e s q 方程( o 2 2 ) 上我们的主要结果如下： 0 3 非齐次b o u s s i n e s q 方程 5 定理0 2 1 假定满足方程( o 2 2 ) 的解是存在的，则在适当的条件下能量e ( z ，t ) ( 见( 2 3 8 ) 的定义) 是沿着z 叶。o 而指数衰减的，即 e ( z ，t ) m l e ( o ，) e 卅n 弘， z 0 ，0 t t ， 其中m 1 和m 2 都是正常数并且在衰减的情况下，全能量e ( 0 ，) 是有界的 o 3 非齐次b o u s s i n e s q 方程 在第三章中，我们将继续考虑b o u 8 s i n e s q 方程，与( o 2 1 ) 不同，我们所考虑 的是运动粘度以及热电导率k 均是与温度0 相关的情况我们考虑如下的非齐 次b o u s s i n e s q 方程： 的+ v p = 0 ， ( 0 3 1 ) 其中仳( 六z ) 代表流体的速度，( z ，t ) r r + ，n 2 是解的存在空间；p ( t ，z ) 是 静水压力；o ( t ，z ) 是温度；g ( t ，z ) 是按单位质量计算的外力；( 口) 以及k ( 口) 分别 是运动粘度以及热电导率；q 是一个与体积膨胀系数相关联的常数 方程( 0 3 1 ) 与方程( 0 2 1 ) 的区别在于我们必须考虑温度变化对运动粘度以 及热电导率k 的影响在t i p p e l k i r c h 【1 0 1 】的实验中就证实了该观点但是对于 这种非齐次b o u s s i n e s q 方程目前的研究结果比较少在 7 1 】中，l o r c a 和b o l d r i n i 研究了( o 3 1 ) 的初边值问题，运用g a l e r k i n 方法得到了弱解的整体存在性以及 强解的局部存在性我们所考虑的是当k ( 口) 三0 时的方程( o 3 1 ) 的c a u c h y 问题 在b e s o v 空间中的解的适定性鉴于所研究的方程与n s 方程有着类似的结构，在 介绍本章结构之前我们先回顾一下关于n s 方程的相关研究结果 lo t p + v ( p u ) = 0 ， a ( 肚) + v ( p u u ) 一# a u = p f ， ( o 3 2 ) l v u ：o 在f 4 4 中，f u j i t a 和k a t oi 正阴t ( o 3 2 ) 在临界s o b 0 1 e v 空间疗譬x ( 疗譬一1 ) 中 解的整体存在以及唯一性确切地说，如果( j d ，也) 是( o 3 2 ) 在初始条件( 舶 ) ，咖( z ) ) 条件下的解，则 p a ( t ，z ) = p ( a 2 t ，入z ) ，u a ( t ，z ) = a ( 入2 t ，a z ) q n + = u a 、 矶 w 让 u + + 曲 v v p以0 “ 掀 = 执 一 讹 一 毗以 巩 6前言 仍然是( o 3 2 ) 初始条件( p o ， ( 。) ，i , 0 ，a ( z ) ) = ( j d o ( 入z ) ，入u o ( 地) ) 下的解 后来，在【3 3 】中，d a n c h i n 将f u j i t a k a t 。【4 4 】的结果推到b e 8 0 v 空间( 台箸1 ) 中也可参见【3 ，3 0 ，3 4 3 6 第三章的部分思路来自【3 ，3 3 下面叙述一下我们的主要结果： 定理0 3 1 设l 0 为常数表示磁扩散 对于三维m h d 方程的整体经典解的存在性，目前还是公开问题，因此大量的 研究工作集中在讨论其局部解满足的b l o w u p 准则( 见【i 3 ， 4 6 ，【4 7 】， 4 8 ，【1 0 7 ， 【1 0 8 】) 本章中，我们将c h a n - v a s s e u r 2 6 】以及z h o u - l e i 【1 0 9 1 关于三维n a v i e r - s t o k e s 方程b l o w - u p 的对数准则推广到三维m h d 中来本章第一个结果是证明 关于三维m h d 方程的对数准则，该准则改进了c a 丑i s c h k l a p p e r - s t e e l e 准则( 见 【1 3 】) 本章的第二个结果我们建立一个相关的准则改进h e x i n 的准则( 见参考文 献 4 6 】) 1 2问题的转化和主要结果 定理1 2 1 设u o ，b o h 3 ( 冗3 ) ，i ( u ，b ) 是磁流体方程组( 1 1 1 ) 当o t 丁时在初始值( 仳o ，b 0 ) 下的弱解那么( u , b ) 在时间t = t 时仍然光滑，只要满足下 面条件 厅而黯糕南+ 而黯础 o 。刈2 1 ，儿、诳砜再丽百碉川承再下灭可稠严 卜石 7 我们仍然可以建立一个相关的准则改进h e _ x i n 的准则( 见参考文献【4 6 】) 首 先，我们给出弱解的定义 9 及， vb i i ， p o 口 i i v b三2 p v m + 矿， 血q 睢叫一划b m 嚣 = 一 十 + u o 轧巩蹭一巩玑 江 1 0 第一章三维理想磁流体力学方程组 b l o w - u p 准则 定义1 2 1：在r 3x ( 0 ，t ) 上的( u ，b ) 被称为磁流体方程组( 1 1 1 ) 的弱解 只要满足下面的条件 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 让，b l 。0 ( o ，t ；l 2 ( r 3 ) ) nl 2 ( o ，t ；h 1 ( r 3 ) ) ， v u = v b = 0 在测度意义下， 对任意，矽四( r 3 ( o ，t ) ) 满足v 咖= v 妒= 0 ，成立 r 厶 侥- v u v 删( u 。u - b 。b ) 捌川， f o rf r 3 b a 妒- v b - v 矽+ v 妒( u 。b - b 。u ) ) 如砒= 。 另外一个主要结果如下 定理1 2 2 设u o ，b o h 1 ( r 3 ) ，以及( u ，b ) 是磁流体方程组( 1 1 1 ) 当o t t 时在初始值( u o ，b o ) 下的弱解则( u ，b ) 在时间t = t 时仍然光滑，只要满足 j ( t 刊觥 o 。，瓣3 “3 p 细 2 或者 z t 高狄o 。 2 渤 以而孑丽两” 卜“7 注1 2 1 准则( 1 2 2 ) 改进了h e - x i n 【4 6 】的准则而( 1 2 3 ) 则改进了w u 1 0 5 】 的结果，我们仅仅对速度u 加限制就可以得到这些结果表明在磁流体力学方程 组的正则性研究中速度所起的作用比磁场的作用要大 以下两节我们分别给出定理1 2 】和宦理1 2 2 的证明 记 1 3 定理1 2 1 的证明 为了得到定理1 2 1 的证明，我们首先给出如下的准备知识 设矽c ( r 3 ) 定义在f = 毒r 3 ，3 1 4 8 3 ，满足 咖( ) = 1 ，奶= 妒( 2 一j ) ，比彤 ( 1 3 1 ) j e z 如牡= f - 1 缈( 2 一- ) 砬( ) ) = 2 巧，( 2 j ) u ( z 一) 咖， 对任意歹z ， ，r “ 】3 定理】2 1 的证明 其中也= s ( u ) 代表u 的f o u r i e r 变换，f = 厂。( 妒( ) ) 就有下面分解 u = f 如仳， 一一。 j z 而这个分解被叫做齐次l i t t l e w o o d p a l e y 分解 我们给出下面一个事实( 详细介绍见【1 0 2 ) i i f l i b m o i i ( i 毛外) ；il l - j e z 下面的引理在z h o u - l e i 1 0 9 】中有证明 引理1 3 1存在一个一致的常数c ，使得 i i v f l i l - c ( 1 + i i f i l l + i i vx 厂| i 口m o l 佗( e + i i f l l h 3 ) ) ， 对于任意的厂h 3 ( r 3 ) 当v f = 0 时都成立 我们还需要介绍著名的g a l i a v d o - n i r e n b e r g 不等式 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 引理1 3 2对于，驴，d m f l q ，1 p ，q + o 。，则对于任意的i ( 0 tsm ) 郝有 i i v l l l ，c i l ，i i 苫素 i v m ，i i 秦，( 1 3 5 ) 其中 吾= ( 1 - 磊i ；1 + 磊i ；1 定理1 2 1 的证明接下来，我们将证明定理1 2 1 首先，对于磁流体力学方 程组( 1 1 1 ) 的任意的孔，b h 1 ( r 3 ) ，我们有下面的能量等式 三翱此+ i i b i l 2 。) + 圳v u | | 羔：+ u l i v b i i i , ：= o ( 1 3 6 ) 对( 1 1 1 ) 1 两边作用v 3 ，然后乘以v 3 u 并积分，通过分部积分可得 三知v 3 u i l 羔。+ 圳v 4 训乞 盎一fv 3 u v 3 v 尸d z f v 3 u , v 3 【 v ) 札】如( 1 3 7 ) + fv - v 3 ( b v ) b 1 如一互1 v 3 u v 3 ( v l 即) 出， 1 2 第一章三维理想磁流体力学方程组的b l o w - u p 准则 对( 1 1 1 ) 2 两边作用v 3 ，然后乘以v 3 b 并积分，通过分部积分可得 三翱v 3 毗+ 叩i i v 4 毗= f v 3 b v 3 ( b v ) u 】如一v 3 b v 3 【( u v ) b 肚 ( 1 3 8 ) v 3 u v 3 v 础= 。 相似的，我们同样可以得到 i v 3 u , 护 ( 价v ) 川 = i v 3 仳巾3 ( u v ) 啦+ 3 v 3 缸书2 ( “v ) 胁如 十3 v 3 u 瞅u v ) 妒“如+ v 3 让 ( u v ) 胪u 吼 ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) f v 3 “v 3 ：( b v 1 b d x l = l v 3 u 啊3 ( b v ) b d x + 3 f v 3 仳巾2 【( b v ) 阳如 ( 1 3 1 1 ) + 3 v 3 让【v ( b v ) v 2 b d x + v 3 珏【( b v ) 】v 3 b d 。i i 主1 ( 1 3 7 ) ，( 1 3 9 ) 一( 1 3 1 1 ) 以及h s l d e r 不等式，我们有 三知v 3 训至。+ p l l v 4 训羔。 c ( 1 l v u l l pi i v 3 牡慨+ i i v 3 u l l l ：| i v 2 孔嵫 ( 1 3 1 2 ) + i i v b i i l = i i v 3 b i l l z i i v 3 u l k 。+ i i v 3 u i l l ：i i v 2 b i i 羔t ) g a l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式，选取r = 4 ，p = o 。，q = 2 ，i = 1 ，m = 2 ，以 及，= v u ，我们可得 即 v 2 也l l 弘c l l v 训至。i l v 3 u 嵫1 v 2 u 慨2 c i i v u l l pi i v 3 u l l l z 工3 定理1 2 1 的证明 1 3 同理我们也有 v 2 b i l l t c 1 1 v 8 1 1 l * l v 3 b i 胁 h s l d e r 不等式，我们有 丢翱v 3 u 嵫+ , i i v 4 u i l 。c ( 1 l v 札1 1 p + i i v b l i p ) ( i i v 3 让怯+ 胪b l i p , 。) ( 1 3 1 3 ) 下面开始处理( 1 3 1 0 ) 我们同样可以得到 l v 3 b v 3 【( b v ) u d x i = i v 3 b 【v 3 ( b v ) u d x + 3 v 3 b 【v 2 ( b v ) v u d x ( 1 3 1 4 ) + 3 v 3 b 【v ( b v ) 】v 2 u d x + v 3 b 【( b v ) 】v 3 u d x i ， 以及 l v 3 b v 3 ( “v ) b d x = v 3 b 【v 3u v ) b d x + 3 v 3 b 【v 2 v ) v b d x ( 1 3 31 5 ) + 3 v 3 b 【v ( 札v ) 】v 2 b d x + v 3 b v ) 】v 3 b d x l 结合( 1 3 8 ) ，( 1 3 1 4 ) 以及( 1 3 1 5 ) ，我们可得 主d l l v 3 b i | 2 。+ 叩o v 4 b i l 。c ( i i v 札i t l * + i l v b i i 工一) ( 1 l v 3 钍i l 羔z + i i v 3 b l l l 2 。) ( 1 3 1 6 ) 结合( 1 3 1 3 ) ，( 1 3 1 6 ) ，并回顾( 1 3 6 ) 以及引理1 3 1 ，我们得 壶d l 佗( i i v 3 b | i 至：+ l i v 3 乱l i l 。) c ( 1 i v b i l * + l i v 乱i | l 一) c ( 1 + i i v l l b m d l 几( e + i l u i i , ) + i l v b i l 引w d 、l n ( e + f i b l i , ) ) g c l + 了芝筠+ 了是糯) ( 1 3 1 r ， ( 1 + l n ( e + l f v 3 u l i l z + i i v 3 b i i z ) ) c c l + 了趸爿誉每器+ 了乏荔訾鼍与， ( 1 + l n ( e + i i v 3 u l f 2 。+ l l v 3 b i l 2 。) ) 1 4第一章三维理想磁流体力学方程组的b l o w - u p 准则 ；i 王葸剑 出d _ l n ( e + | i v 3 b l i 乏：+ i i v 3 u l | 羔。) d d _ l 礼( 1 l v 3 b l i 羔：+ i i v 3 乱i l 羔。) i 扫g r o n w a l l 不等式，我们有 l n ( e + l i v 3 b | | 羔z + i i v 3 u l l 羔：) 【c t + l n ( i i u o i l 务4 - l i s o l l 备s ) 】 唧o t 涮+ 爿瑞黼萧砒。肌8 这就给出了i l u l l h 3 + i i b i i 3 的界，只要 厂t 坚兰些坠+ 坚型坐坠d t j o v l n ( e + l i vxu l i b m o ) v l n ( e + l i vxb i i b m o ) 县有界的我们就证明完了定理1 2 1 1 4 定理1 2 2 的证明 证明定理1 2 2 ，我们将改进h e x i n 【4 6 】的结果以及w r u 【1 0 5 】的结果 定理1 2 2 的证明首先我们想得到一些能量估计对( 1 1 1 ) 1 两边同时作用v 并乘以v u 积分得 ：l 丢l l v u l l 乞+ p | i u o 乏z = 一。( 反仳七仇呦侥u j 如+ 反岛b 南仇b 如( 1 4 1 ) + lb k o t o k b j 叭j a z ， 互l 小d ”bi f 勃+ p j j b i i 至。= - f ，o t u k & 岛o i b j d z + a b 七巩侥b 如( 1 4 2 ) + b k o i o k u j o i b j d x ， 三翱v 刚羔。+ i i v 吡) + p i i a b i i 羔。+ , i l l a u | l 至。 = 一ja 氍k o k b j o i b j d x + j8 t b k 8 ，8 t b j d z b 色 一l8 o k u j o i u i d x + 卜邮k 巩b j d x l i 4 定理i 2 2 的证明 1 5 应用分部积分以及h s l d e r 不等式，我们有 1 c b j o i b j d x l c , u i i v b i i v 2 b i 如c l l 让i i l ，i i v b i i l 划v 2 b i i 胁 ( 1 4 4 ) 其中我们选取3 p 。相似的，我们一样可得 l 侥b 七o k u j o i b j d z lsc l l 让o l ，i i v b i i l 为l l v 2 b | l 工。， ( 1 4 5 ) i 膨u 七o k u j o i u j d x l e l i “i l l ，i l v u l l 工是咿u ( 1 4 6 ) i 反统b 七o k b j d x e l i 乱i i 驴i i v b i i l 冬i i v 2 b i l l 。 ( 1 4 7 ) 由( 1 4 3 ) 一( 1 4 7 ) ，脚h s l d e r 不等式，我们得 丢丢( 1 | v b j l 羔。+ i i v 让| | 至：) + p i