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桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 摘要 本文针对桥梁颤振气动导数辨识课题提出非经典线性系统参数辨识方法。 采取理论研究、 数值仿真相结合的方法开展研究， 采用s c a n l a n 的自 激力模型及 和气动导数间关系模型进行计算机仿真数值模拟， 针对非保守的桥梁颤振动力微 分力 一程， 建立一种均匀流风场中颤振导数的实验辨识理论和算法。 分别导出正弦 激励和随机激励时系统频率响应函数模型及物理参数的辨识与重构算法，因此， 对桥梁气动导数的识别就转化为对非经典系统模态参数的辨识。 最后， 以气动导 数有理论解的流线型薄平板和相关文献中己 完成风洞试验研究的柳州红光桥节 段模型作为仿真模型对两种方法进行检验， 说明 通过对非经典线性系统模态参数 的 辨识 ( 矩阵修正量) ，从而辨识出 桥梁模型的气动导数是可行的。 本文的主要创新点有: ( l )将自 激颤振桥梁模型转化为两自由 度的非经典线性系统，从而将桥梁 颤振气动导数的辨识转化为非经典线性系统模态参数的辨识。 ( 2 )基于机械阻抗辨识方法， 提出了桥梁颤振气动导数辨识的正弦激励法 和随机激励法，同时识别出桥梁全部八个颤振气动导数，克服了气动 导数需分批辨识的缺点，同时也克服了“ 物理矩阵识别法” 中，自由 振 动时间历程短、信噪比低等缺点。 ( 3 )进一步，通过模拟不同比例的测量噪声， 针对采集信号叠加了较高的 外界噪声的情况下，通过算例考察，本文提出的两种方法具有很高的 抗噪能力。 关键词:颤振; 气动导数:参数辨识;广义频率响应函数;非经典系统 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申请硕士学位论文 ab s t r a c t i n o r d e r t o i d e n t i f y t h e fl u tt e r d e r i v a t i v e s o f b r i d g e , p a r a m e t e r s i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d s f o r n o n - c l a s s i c a l l i n e a r s y s t e m a r e p r e s e n t e d i n t h e t h e s i s . c o m b i n i n g t h e a v a i la b l e t h e o r i e s a n d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n a n d p e r f o r m i n g t h e c o m p u t e r a i d e d s i m u l a t i o n s b a s e d o n t h e s e l f - e x c i t e d m o d e l a n d t h e m o d e l re l a t i n g w i t h fl u tt e r d e r i v a t i v e s t r a c e d b a c k t o s c a n l a n s r e s e a r c h , a s e t o f t h e o r y a n d a l g o r i t h m f o r e x p e r i m e n t a l i d e n t i f i c a t i o n o f fl u tt e r d e r i v a t i v e s i n t u r b u l e n t f i e l d h a s b e e n e s t a b l i s h e d f o r t h e n o n - c o n s e r v a t i v e b r i d g e fl u tt e r d i ff e re n t i a l e q u a t i o n s . t h e s y s t e m m o d e l o f fr e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n a n d t h e a l g o r i t h m f o r p h y s i c a l p a r a m e t e r i d e n t if i c a t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n a r e d e v e l o p e d u n d e r m u l t i - s i n u s o i d a l e x c i t i n g o r m u l t i - r a n d o m e x c i t i n g . t h e t ask t o i d e n t i f y fl u t t e r d e r i v a t i v e s o f b r i d g e i s t h e re f o re t r a n s m i tt e d i n t o i d e n t i f i c a t i o n o f m o d e l p a r a m e t e r s f o r n o n - c l a s s i c a l d y n a m i c s y s t e m . i n t h e e n d o f t h e t h e s i s , t h e t h e o r i e s a n d a l g o r i t h m s d e a l i n g w i t h t w o k i n d s o f e x t e rn a l e x c i t i n g h a v e b e e n r e s p e c t i v e l y e x p e r i m e n t e d w i t h t h e d a t a fr o m t w o e x a m p l e s , n a m e l y , a s t r e a m l i n e s h a p e d t h i n p l a n e w it h a v a i l a b l e t h e o r e t i c s o l u t i o n f o r fl u tt e r d e r i v a t i v e s a n d t h e l a b o r a t o r i a l s e c t i o n m o d e l o f h o n g - g u a n g b r i d g e i n l i u z h o u , w h i c h h a s b e e n s t u d i e d i n r e f e r e n c e d p a p e r . t h e c a l c u l a t i o n o u t c o m e s h a v e s h o w n t h a t it i s p r a c t i c a b l e t o d i s c e rn t h e fl u tt e r d e r i v a t i v e s o f b r i d g e m o d e l s t h r o u g h t h e i d e n t i fi c a t i o n o f m o d e l p a r a m e t e r s o f n o n - c l a s s i c a l d y n a m i c s y s t e m . t h e m a j o r i n n o v a t i o n s o f t h e t h e s i s a r e a s f o l l o w s : ( 1 ) a s t h e s e l f - e x c i t e d fl u tt e r i n g b r i d g e m o d e l i s t r a n s f o r m e d t o a n o n - c l a s s i c a l l i n e a r s y s t e m w i t h t w o d e g r e e s o f f re e d o m , d i s c e r n o f t h e fl u tt e r d e r i v a t i v e s o f b r i d g e i s t h e n e v o l v e d i n t o t h e i d e n t i fi c a t i o n o f m o d a l p a r a m e t e r o f n o n - c l a s s i c a l l i n e a r s y s t e m. ( 2 ) b a s e d o n t h e t r a d i t i o n a l t h e o ry o f l o a d i d e n t i f i c a t i o n , t h e m e t h o d s o f s i n u s o id a l e x c i t i n g a n d r a n d o m e x c i t i n g d e v e l o p e d i n t h i s t h e s i s s u c c e s s f u l l y a v o i d d i s c u s s i n g t h e s y m m e t r i c a l p r o b l e m o f m o d e l m a t r i x o f n o n - c l a s s i c a l s y s t e m a n d c a n i d e n t i f y a l l e i g h t d e r i v a t iv e s a t o n e t i m e r a t h e r t h a n c a l c u l a t in g d e r i v a t i v e s n 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究 复旦大学申 请硕士学位论文 g r o u p b y g r o u p , w h i c h i s a c o n s p i c u o u s d i s a d v a n t a g e o f t r a d i t i o n a l m e t h o d mo r e o v e r , t h e t w o m e t h o d s a l s o o v e r c o m e d i s a d v a n t a g e s o f t h e i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d o f p h y s i c a l m a t r i x , s u c h as t h e s h o r t v i b r a t i o n t i m e a n d t h e d e f i c i e n t s i g n a l n o i s e r a t i o . ( 3 ) i n a d d i t i o n , t o s i m u l a t e v a r i o u s s i g n a l n o i s e r a t i o s , h i g h n o i s e i s t h e c o l l e c t e d s i g n a l s . e v e n i n t h e c as e w i t h h i g h e r s n r , t h e t w o i m p o s e d me t h o d s o n t o a l s o b e t t e r a n t i - n o i s e a b i l i t y . k e y w o r d s : n o n - c l ass i c a l s y s t e m ; g e n e r a l f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n ; fl u t t e r ; d e r i v a t i v e ; p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n ; ma t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n i i i 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申请硕士学位论文 第一章 概 述 1 . 1 引言 1 9 4 0年秋，美国华盛顿州建成才四个月的t a c o m a 悬索桥在不到 8 级风作 用下发生强烈的振动而坍塌，这一桥梁风毁事故促使了各国桥梁研究人员对桥 梁动力性能的研究，从此也拉开了世界桥梁风工程的序幕。 浸没在气流中的任一物体，都要受到气流的作用，这种作用通常称为空气 力作用。桥梁结构在近地风作用下的结构响应是多 种因素共同 作用的结果【 1 风对桥梁结构的作用是十分复杂的。当风绕过一般为非流线形 ( 钝体) 截面的 桥梁结构时，会产生涡旋和流动的分离，形成复杂的空气作用力。风的动力作 用激发了桥梁风致振动，而振动的桥梁又反过来影响空气的流场，改变空气作 用力，形成风与结构的相互作用机制。桥梁风振理论一般按风致振动的不同形 式分成四种2 ，即桥梁的颤振、驰振、涡振和抖振理论， 本文主要针对桥梁颤 振和抖振的气动导数进行讨论。 颤振和抖动是现代大跨径桥梁抗风研究的主要内 容， 1 9 7 1 年s c a n l a n 3 提出 由气动导数描述的自 激颤振模型， 奠定了桥梁气动弹性研究的理论基础， 随之， 自 激 颤 振模 型的 颤 振导 数 方程 一 直 被 广 泛 应用 ， 多 年来， 国内 4 -8 、 外发 展了 很 多 理 论 和 方 法 9 - 16 。 通过时 域 i t d 1 法 及其 修正 算 法得 到系 统的 完 备 特征 值 和 右 特征向 量， 通过 辨识 物理 参 数 识 别 导出 气动 导 数。 1 9 9 2 年s a r k e r 1 8 和s c a n la n 又提出了基于时域振动模态参数辨识理论的 m i t d ( mo d i f i e d i b r a h i m t i m e d o m a in )方法 ( 或称为自由 振动法) ，将均匀流与紊流场中的气动导数辨识纳 入到统一的数学模型，同时整体辨识所有气动导数，显示出诱人的应用前景。 1 9 9 8 年张若 雪等【 1 9 对该方 法提出 了 改 进算法。 然而， 文 献 1 8 中 所称的 “ 自 由 振 动法” 与振动理论中的“ 自由振动” 概念发生了重大的变化， 导致现有模态分析方 法用于桥梁气动导数辨识时有一个巨大的困难:桥梁风振动力体系的非经典特 性。 s c a n l a n 模型中将自 激力表示为系统速度和位移的函数， 亦即， 气动导数表 示为载荷对系统阻尼矩阵和刚度矩阵的反馈修正。 然而，正是这种修正使结构 动力系统变为非经典系统，从根本上违反了ma x w e l l 互易律的条件。其阻尼和 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦火 学申 请硕士学位论文 刚度矩阵不再保持对称性，对应于同一特征值的左右特征向量不再相等，模态 振型的概念亦不复存在，目 前所有基于实验模态分析原理的时域或频域参数辨 识技术都无法直接应用。 s c a n l a n 在文献 2 ) 中 讨论颤振导数的理论模型与 识别 结果之间始终无法满意的不一致性时指出，颤振导数辨识方法研究仍然是目前 最基本和最迫切的工作。 基于ma x w e l l 互易律，经典系统的模态分析方法，只需测得系统频率响应 函数矩阵的任何一行或一列元素即可辨识得到全部模态参数。 而在非经典系统 中，由于载荷与结构的藕合，这种特性不再保持， 任意两点间不同因果的频响 传 递 特 性 h 1 和h , 不 再 相 等 ， 频 率 响 应 函 数 矩 阵 不 再 保 持 对 称， 更 进 一 步 ， 由 于环境载荷不可测量的特性， 无法由输入输出构造频率响应函数并用于系统识 别。 1 . 2 均匀流中的气动导数识别方法 气动导数的试验识别一般是在风洞模拟均匀流场中进行的。目 前均匀流场 中 的 气动导 数 试验识别方法主 要可以 分 成三类2 q ， 即自 由 振动识别 法， 强迫振 动识别法和物理矩阵识别法。 1 . 2 . 1自由 振动识别法 自 由 振动法2 2 -2 4 1 ( 又称瞬态激励法) 是应用较多的方法。1 9 7 1年 s c a n l a n 首次提出了 机翼或桥梁断面二维气动导数的 分状态自 由 振动识别法3 。 该方法 将节段模型放入风洞均匀流场中， 首先测定零风速条件下的弯曲 和扭转频率以 及阻尼，然后分别锁住一个自由 度，测定在不同 风速条件下另一自由 度的频率 和阻尼，最后测定不同风速条件下的祸合频率和阻尼，通过不同风速条件下分 离和祸合振动时的频率和阻尼可以识别出气动导数。分状态自由振动识别法在 识别祸合项气动导数时，要求模型弯曲自由度和扭转自由度在不同风速下都具 有相同的频率和阻尼，这个要求在风洞试验中很难精确达到。 为了 克 服这一 缺陷， k u m a r a s e n a 和s c a n l a n 又 提出了 一 种祸合 模型 法2 5 1 该方法在离模型弹性中心足够远的地方配置一个可使两个自由 度产生机械祸合 的质量块，通过弯曲和扭转的互相关函数来识别气动导数。这种方法计算公式 桥梁额振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 比较复杂，中间还需引入一些近似假设。 1 .2 .2强迫振动识别法 s h i n o z u k a 将建立在时域分析之上的a r ma模型法引入到振动系统的 参数 识别中来2 6 1 ， 尽管这种方法在自由 振动识别中误差较大， 但是，为强迫 振动识 别法奠定了基础. i m a i 利用s h i n o z u k a 引入的a r ma模型识别法， 建立了己知 激 励力时 程曲 线时的 强 迫振动识别法 2 7 1 ， 该 方 法可以 通过节段模型的 激 励时 程 曲线和响应时程曲线来识别气动导数。 1 .2 .3物理矩阵识别法 在不计抖动力的情况下，二维节段模型的运动方程可以 用矩阵表示为: m i -v ) + tc r i + k x x = (0 ( ( 1 - 1 ) 式 中 少l 和 巨1 是 在 计 入 气 流 和 模 型 相 互 作 用 后 ， 对 模 型 本 身 的 】 和 k 的 修 正结果，称为均匀流下的有效阻尼矩阵和有效刚度矩阵 ( 此时，右端项为零， 表明紊流项为零， 左移的仅仅是均匀流引起的修正项) 。 只需求得不同 风速下的 沙 和 匡l 以 及 零 风 速 时 的 c 和 k 即 可 通 过 矩 阵 运 算 求 得 相 应 的 气 动 阻 尼 和气动刚度， 即气动导数。 因此， 气动导数的识别问题就可转化为运动方程( 1 - 1 ) 的物理矩阵识别问题。 1 .3 紊流对于气动导数的影响 由于气动导数的识别结果一般都是针对均匀流场的，实际桥梁结构不可避 免会受到近地风中紊流成分的影响，因此，分析紊流对气动导数的影响对于准 确描述气动导数是十分重要的。 紊 流对桥梁颤振 稳定 性的 影响是十分复 杂的。 s c a n l a n 曾 经认为 2 5 1紊流的 存在会激发结构的许多振型，这些振型之间具有一定的气动祸合作用，从而起 到耗能作用， 延迟颤振失稳的发生。 l i n , b u c h e r 和h u s t o n 等人通过更深入的 研究发 现2 8 -3 0 1 ， 紊流对桥梁颤振稳定性 起了 两种完 全相反的作 用， 一方面， 紊 流的存在会降低单个振型的稳定性，导致颤振失稳提前发生，从而降低颤振临 界风速;另一方面，紊流的出现有利于多种相对稳定的振型共同参与颤振，使 桥梁颤振气动导 数辨识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 颤振能量从容易失稳的振型转移到其他相对稳定的振型，致使颤振失稳延迟， 从而提高颤振临界风速。 紊流对于颤振稳定性的影响， 也可以 通过气动导数的变化表现出来。 因此， 研究紊流场中的气动导数与均匀流场中的气动导数的差异有利于进一步弄清紊 流对颤振稳定影响的机理。一般意义的气动导数试验识别都是在均匀流场中进 行的，并直接用它来进行实桥颤振稳定分析和抖振响应分析，包括 l i n 等人以 上的研究所采用的气动导数都出自均匀流场中。如果紊流对气动导数有较大的 影响，那么，这样处理显然是不合适的。 紊流对气动导数的最直接分析方法， 应当是在紊流场中进行气动导数识别。 s c a n la n p l 和s a r k e r 3 2 都曾 进行 过 紊 流 场中 的 气动 导 数 试 验 识别， 但都由 于 试验 方法比较复杂和所测数据噪信比较大，结果都不很理想。因此，紊流场中的气 动导数识别以 及均匀流场中的气动导数与紊流场中的气动导数的相关关系，还 有待于更深入的 研究。必须发展出 均匀流和紊流场中同时适用的辨识方法。 1 . 4本文的工作 本文以s c a n l a n 颤振模型为基础， 将自 激力表示为系统速度和位移的函数， 即气动导数表示为载荷对系统阻尼矩阵和刚度矩阵的修正。然后，针对非经典 系统， 提出了基于正弦激励和随机激励的桥梁气动导数辨识方法。因此，对桥 梁气动导数的识别就转化为对非经典系统模态参数的辨识，这也是本文的一个 创新之处。 本文所提出的桥梁颤振气动导数辨识的正弦激励法和随机激励法都是基于 机械阻抗方法展开的，避免了讨论非经典线性系统模态矩阵对称性问题，能够 同时识别出桥梁全部八个颤振气动导数，克服了气动导数需分批辨识的 缺点， 同时也克服了“ 物理矩阵识别法” 中，自由振动时间历程短、信噪比低等缺点。 进一步，通过模拟不同比例的测量噪声，本文提出的两种方法具有很高的抗噪 能力。 本文主要进行了以下几方面的工作: 1 .第一章:概述。 2 、第二章: 首先介绍了由气动导数描述的桥梁自 激颤振模型。 详细导出了非经 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复q 大学申 请硕士学位论文 典系统解的表达式的响应特性。 通过构造两自由度算例， 给出该系统随风速 变化各参数的预设值， 并讨论了随风速变化， 等效系统的动力学特性及变化 趋势。 3 、第三章: 提出颤振气动导数辨识的正弦激励法。 通过对非经典系统施加一组 同源正弦激励， 测取其稳态响应， 并叠加一定比例的测量噪声， 构造特殊的 数值拟合算法， 识别出由气动导数引起的阻尼矩阵和刚度矩阵的修正量。 本 方法即使在叠加了1 0 0 %噪声 ( s n r = o d b )的情况下， 仍能保持很高的辨识 精度。 4 、第四章: 提出基于随机激励的气动导数辨识方法。 通过对节段模型施加随机 激励， 测得稳态响应， 从而对系统进行辨识。 每次施加一组波形相同、 功率 不同的随机激励， 通过构造系统广义频率响应函数来导出矩阵修正量， 进而 识别出气动导数。 5 、 第五 章: 引 用文 献 3 3 中的 两 个成 熟算 例， 分别 对本文发展的 正弦 激励和随 机激励方法进行了考核检验。 算例表明， 在较大的模拟噪声下， 本文提出的 方法具有很高的辨识精度和可靠性。 6 、第六章:总结全文，并展望了可以进一步深入研究的工作。 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 第二章 桥梁颤振的动力学模型 2 . 1 气动导数辨识的数学模型 1 9 6 7 年， 美国 著名气动力 专家r . h . s c a n l a n 3 4 1 认为， 对于非 流线形的 钝体 截面，不可能从基本的流体力学原理推导类似于t h e o d o r s o n函数的气动系数， 但可以通过专门设计的风洞试验来测定小振幅条件下的线性非定常气动力，并 首次提出了用六个气动参数表示的二维节段模型上的颤振自 激升力和升力矩。 9 0 年代， s c a n l a n 3 5 等又 在二维自 激力的 基础上， 计入了 侧向 位移自 由 度以 及三 个自由度之间的祸合作用，提出了用十八个气动参数描述的祸合颤振自 激力模 型。 在 s c a n l a n 颤振模型中，自 激励力可描述如下: ，。一!kh :(u )一 ;b(u )一 h ,。 二 h 0 b 一 ;( pu ) 一 、 蚤 ) ( 2 一 1 ) 会 )一 ;b( d(u )一;一; hb 一 ;u )一 :p b ) ka b u p 一- 那 m ( 2 - 2 ) 。 ，。 = p w b k p.(-o ) + k p2b (-6 ) + k 2 p3* a + k p4* pu u b ( 2 - 3 ) lesesesesjwe. 、illj h一b 了了les吸又 叮 k + 、.了产 - - - . ( h +入代 i-t ， ， l u 其中p = 空气密度;b = 桥面宽 度 ( 图2 - 1 ) ; k= r o b / u= 折算频率; h d 和p = 响 应 速度 项;才， 斌和万( i = l , . . . ,6 ) ， 是 无 量 纲 气 动导 数。 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 图2 - 1 s c a n l a n桥梁自 激颤振模型 二自由度节段模型动力学方程可描述如下: 丽 卜 十 2 氛 、 十 * 十 心 二 = l 二 十 几 i 卜 + 2 4 o , a 十 耐 * 十 耐 a 一 m , 十 城 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 其 中 ， m是 单 位 长 度 的 质 量 ， 了 是 关 于 质 量 中 心 的 单 位 转 动 惯 量 ， oj i 和 氛 ( j 一 “ 或 “ ) 是 频 率 和 阻 尼 比耐一 网咖沁 耐一 屺 仪 碗厂 )/ 伽次十 1 : 是 弹性中 心距质 量中 心的 水平偏移。 在式 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 中，l , , ， m, , 是自 激励力;l , , m。 是抖振力。自 激力 ( 升 力和扭矩) 在( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 式中定义， 可以 进一步表述为如下形式: l .e p( 2 - 6 ) m, - 一 h , ( 4 ) + k ah zbu ) i u )一;。 一;会 一k ,a ; u )一;b( au 一;“ 一; hb lj ( 2 - 7 ) 进一步，桥梁节段模型在风洞中的动力特性，简化为由第一阶弯曲 和第一 阶扭转模态组成的二自由度系统: m 0 0 1j 1$ c 0a + 0 ka1a 一 .r (t/) + w bw ) ( 2 - 8 ) 其中: 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申请硕士学位论文 ( 2 - 9 ) 、leses户esesesj h倪 了.j、eel 口 k 十 、lesl厂ij .h.口 厂.记.月1 a c -一 、1、f月eej ，力a 尹! -leeweeeesj l2儿 kk ，且乍 kk resesl 十 、1厂esse .h.仪 了1，、wees -1卫十 气乙2 l， cc 。 。、 = i l, c lim i = ic 21 式 中 ， c i， 具 有 阻 尼 量 纲 ， k i， 具 有 刚 度 量 纲 。 c ip k , j ( i, j = 1 ,2 ) 之 间 不 存 在简单函数关系，是各自 独立的参数，仅取决与风速及桥梁断面的几何形状。 对于确定几何断面的桥梁( 或节段模型) ， 是风速的函数。 特别的， 一般情况下， c 12 c n ，k 12 # k 2 1 。 综 合 ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 9 ) 可得: p u b k ,h , p u b 2 k n 可 p u b 2 k 成 ,o u b k 0 a 2 p b 2 6) n 可 p b o) h 可 p b o) a h 二 p b 0 w . a ; ( 2 - 1 0 ) l、 -一 a c p u 2 k 2 万 : p u 2 b k ,2, 成 p u b k .2 斌 p u 2 b 2 k a a ; p i n b 2 h a p i e b 3 a 二 p b 3 斌 ,o b 4 武不 ( 2 - 1 1 ) 2了十、 - 、!2 2万.、 一- 企 k 在c ， 、k ; ， 中 含 有 八 个 气 动 导 数， 因 此 识 别 气 动 导 数的 工 作 就 可以 转 化 成 通过识别矩阵修正量来得到气动导数。 l i、_ . _ 由 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 式可以看出， f ( t ) 1 = 为风载中紊流分量，一般简化为各 l mb 1 态历经的高斯随机过程。则动力方程变为: m k z + c - c 0 x + k 一 、 0 x 一 f a (0 1 ( 2 - 1 2 a ) m x + c r i ) + k j x 一 1j e (t)(2 - 1 2 b ) 由 流 体 激 振3 6 1 原 理， 式 ( 2 - 1 2 b ) 阻 尼、 刚 度 矩阵 不 再 对 称， 不再 遵守m a x w e l l 互易律， 这些非称性的力进入动力方程后就超越了l a g r a n g e 理论的范畴， 形成 非经典系统。 本文研究的体系限于非经典线性系统， 尽管有非对称和反馈存在， 但并未同时出现非线性，此时，叠加原理依然适用。 2 . 2 非经典线性系统的响应 由于系统非称，与其转置后的系统不再等同， 广复模态理论。设状态空间微分方程: r j j + s k y = f ( t ) 所对应模态也不同，必须推 ( 2 - 1 3 ) 桥梁额振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 工少 其中: r z )， _ ，r 沙r = i卜阵 = 1 l x ) l 0m 九 了c, s = 0 1k j ， f(t) = 姗 由 于 c , lk e i 非 称 ， 所 以 r , s 也 非 称 。 卜 m l0 此时，由方程 a , r + s 扣， 卜。 ，( 2 - 1 4 a ) (v i a s r + s 一 。 ， a r + s t v , = 0 ( 2 - 1 4 b ) 确 定 的 复 特 征向 量叙 、 v 分 别 称 为 系 统 的 右 、 左 特 征向 量 。 相 应 的 ， 由 之 组成的矩阵: u - 即。 iu 2 n 2 . 2 n ( 2 - 1 5 a ) v 三 ( v . . . lv i j 2 - 2 n ( 2 - 1 5 b ) 分别称为系统的右、左模态矩阵。 伙 r r u , = r 笋 s r 二 二s ( 2 - 1 6 a ) r o ，厂 ， is r u , 一 。 r r 护 , r 二 二s ( 2 - 1 6 b ) 系 统( 2 - 1 3 ) 及 其 转置 系 统具 有公 共的 特 征 值凡，r = 1 , - - ,2 n ， 记为: a 二 d i a g a .r 建立n x 2 n 阶右、左模态矩阵， i- 三 1 . . . . 1-2n - 2 n lv 二 . ) . . . 1 2 n n x l n 分别由下式确定: , . m + d , c + 、 如 r 卜 。 卜 : 。 + ,1,c + 、 r 和 ， 二 0 其关系为: ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 的 ( 2 - 1 8 b ) ( 2 - 1 9 a ) ( 2 - 1 9 b ) ， = ru /1 luj ( 2 - 2 0 a ) 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究 复旦大学申请硕士学位论文 ( 2 - 2 0 b ) 、!1 vav lesj、esesl - 回 可以 证明， 系统的 左特征向 量v与右 特征向 量u , 具有关于m , k “ 的 加权正交 j性。 k 恤 拟 ，= 1 0 ， r # sfil l a u k m r r = s v t k , au , i一 0 ， r # sk, r = s ( 2 - 2 1 的 ( 2 - 2 1 b ) 且有， k , = 一 凡 m , ( 2 - 2 1 c ) 可以得到: m , ，一 v j . (2 , m + c b lu r 文 献 3 7 导出了 系统在各种条件下的响 应表达式 设系统的初始条件为: x ( 0 ) 一 o ， wo) = x o 1 ， t = 0 其解为: ( 2 - 2 2 ) . m k x o + m lx o + (c e jlx o r ( 2 - 2 3 ) 对应于零初始条件任意激励下的解为: 2r , u . 琳_ t， _ ， 、 、; ，_ 、 ， i xi = ， 一.s rt rn e - - ar r = tm，叫 设 系 统的 激 励 为 复 谐 和函 数:仃 (t 一 仃 l e . r 仃 表 示 力 幅 列 阵 ， 得 ( 2 - 2 4 ) 树 一 堂 la, fiy r t f ) (e iv ， 一 的 石a , v口一人 ) ( 2 - 2 5 ) 若仅考虑稳态强迫振动 (x 1 = x 2, ju , )iv , it v i 商 a , uw一a r l ( 2 - 2 6 ) 脉冲响应矩阵 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究 复旦大学申请硕士学位论文 fh ( r ) l = r f. , i f, , i t _ 1=1= 1 m. l4ia g l 冬 iw lr m. i e 凡 s ( 2 - 2 7 ) 传递函数矩阵 一 . p i a g m , ( s 一 a s, y ( 2 - 2 8 ) zn艺r=1 - 一u月 亡廿 防 2 .3 基于响应测量的颤振气动导数辨识 我们的任务是针对上述非经典体系的动力特性，以风洞中的桥梁节段模型 为对象，设计构造合理的试验方案，基于对响应的测量，进行气动导数辨识。 非常明确，特定几何截面的桥梁 ( 节段模型)在均匀流场中，当风速恒定时， 根据气动弹性理论，其动力学体系是一个“ 非经典线性时不变” 系统。也就是说 恒风速下气动弹性载荷对结构的附加修正是一个常量， 只要系统尚未发散失稳， 我们总可以 通过对系统模态参数的识别来辨识气动导数。 首先，零风速下系统的所有动力学和物理参数都可以通过详细的计算和试 验得到，所以在气动导数辨识研究中视为己知。 几乎所有的文献都是基于结构的自由振动试验数据来开始气动导数辨识研 究的。 s a r k e r 1 8 1 的方法就是基于实测得到的自由 振动响应数据展开的。自由 振 动响应的数据基础不好，随着风速增大，模态间和模态内能量分配的差异逐渐 加大;从信号处理的角度看，信噪比渐次减小、数据有效长度缩短。s a r k e r 应 用i t d方法， 而i t d方法关于噪声敏感， 无法有效抑制噪声。 s a r k e r 所谓mi t d 方法只是一种数据拟合算法，通过迭代调整使得拟合曲线与实测曲线的误差达 到最小二乘意义下的极小。特别地，是使拟合曲线与实测曲线之间的拟合误差 最小，并不是设法消除或降低原始测量数据的噪声和误差，这当然是一种本质 区别。 问题的难度显然在于， 第一、 从对非经典系统的分析和具体试验数据可知， 随风速的渐次增大， 系统的稳定性逐渐下降，自由振动数据的信噪比迅速降低， 这种原始数据的不可信度越来越大;第二、自由度间能量差异程度加大，表现 在竖弯运动的时程记录甚至不足两个整周期便衰减殆尽，这种情况严重的影响 了参数辨识的准确性;第三、当系统原有二阶模态的频率逐渐靠近时， 仅从数 桥梁颤振气动导数拼识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 学上的拟合要分清楚数值相近的两个不同本质的波形是不现实、不可能的。这 就是随风速增大，辨识结果越来越差的原因。 这种情况还导致了紊流风场中的气动导数辨识研究实际上无法进行，在信 噪比己经很低和信号有效长度很短的情况下再叠加紊流分量，会使得测量数据 看起来更加恶劣，s a r k e r 对紊流场中的辨识结果就很不理想。在现有的气动弹 性系统动力学模型中，紊流被简化为一个稳态随机过程，与均匀流下的气动导 数之间没有关系，使用这个模型进行仿真研究是无意义的。所以这个问题的研 究必须等待气动导数辨识方法充分成熟、稳定后才能展开。 我们必须突破束缚，寻求新的稳定的试验方式和辨识理论。由此，本文提 出了关于风洞中节段模型振动试验的正弦激励和随机激励两种辨识方法，从辨 识方程的数学原理，仿真计算到结果讨论等，详细的进行了研究。 2 .4 仿真计算模型及相关讨论 2 . 4 . 1 模型初始化 动力学模型如下所示: l 1击f 、任 三三一姗 图2 2动力学 模型 因为本文讨论的 桥梁动力学模型简化为第一阶弯曲 和第一阶扭转模态组成 的两自由 度系统，所以构造两自由 度系统: 回 一 20 00 30 tc a i 1 60 - 30- 30 60 闪 = 3000 - 1500- - 1500 3000 k i - k , k 12k , k 22 ( 2 - 2 9 ) 尸胜卫，11l -一 其 中 m l c 闪为 物 理 系 统 的 模 态 参 数 ; l j ik 为 由 风 引 起 的 修 正 项 桥梁颤振气动导数辨识算法的仿真研究复旦大学申 请硕士学位论文 其中所含的八个未知量( 2 一 10 ) ( 2 一 h ) 就是我们所要识别的八个气动导数。为此可 以 事先给定的矩阵修正量数值随风速变化规律如下38: k i = 1 3 5 ，2 0 5 ， 3 4 2 ，4 6 0 ， 5 3 6 ， 6 3 8 ， 8 1 1 ， 9 4 0 ， 1 1 7 3 ， 1 2 7 0 ， 1 3 9 7 ， 1 5 7 0 ， 1 7 9 0 ， 1 9 5 0 ， 2 1 9 0 ; k l : = 一 1 5 3 ， 一 2 2 0 ， 一 2 9 5 ， 一 4 0 3 ， 一 5 0 7 ， 一 6 1 9 ， 一 7 8 5 ， 一 9 3 0 ， 一 1 1 3 7 ， 一 1 2 6 1 ，一 1 4 1 5 ， 一 1 6 0 5 ， 一 1 8 2 0 ， 一 加1 0 ， 一 2 2 7 0 ; k z i = 1 6 8 ，2 5 5 ，3 8 5 ， 5 0 2 ，5 9 5 ，6 9 8 ， 8 8 4 ， 1 0 2 0 ， 1 2 3 0 ， 1 3 7 0 ， 1 5 2 3 ， 1 7 2 0 ， 1 8 7 0 ，2 0 4 5 ，2 3 1 0 ; k 2 2 二 一 1 5 9 ，一 2 2 5 ，一 3 9 0 ，一 4 9 5 ，一 5 6 1 ，一 6 6 7 ，一 8 6 9 ，一 9 9 0 ，一 1 2 5 0 ，一 1 3 3 3 ，一 1 4 5 5 ， 一 1 6 0 5 ，一 1 7 6 0 ，一 1 9 9 0 ，一 2 2 3 0 ; c l l = 5 刀 ，7 ，9 5 ， 1 3 万 ，2 1 ， 2 3 ，2 5 3 ，2 6 2 ，2 7 名 ，2 8 乡 ， 3 0 . 1 ，3 1 7 ，3 2 ， ，3 4 . 1 ，3 6 3 ; c 1 2 = 一 3 .3 ，一 4 2 ，一 6 名 ，一 9 ， 一 1 1 .3 ，一 1 3 .5 ， 一 1 5 月 ， 一 1 7 ，一 2 0 ， 1 ，一 2 2 刀 ，一 2 4 刀 ，一 6 .2 ， 一 2 9 冲 ，一 3 1 .7 ，一 3 4 名 ; c 2 1 = 一 2 石 ，一 3 3 ，一 4 4