（运筹学与控制论专业论文）带有马尔可夫开关的lévy模型下的期权定价.pdf

摘要 摘要 本文研究了带有马尔可夫开关的l d v y 模型下的期权定价问 题我们假定资产价格过程为 f ja t = e 印( 片如) i 岛= 岛e 印( 石t ( 伽一壶蠢) 如+ 后d 岛+ 氏l o g ( 1 + 尼( 留) ) ( 孟，如) ) 其中( 鼠，0 t t ) 是标准b r o w n 运动，n c t ，) 是- - p o s s i o n 随机测 度，( k ，ost t ) 是开关马尔可夫过程，且它们三者相互独 立似= ，c r s = ，= 均受开关马尔 可夫过程的影响在第三章中我们假定上述模型中p o s s i o n 随机测 度n ( t ，) 的l e v y 澳j j 度( ) 不受开关马氏过程的影响，对此模型我们 首先作了e s s c h e r n l 度变换，由此得到了一个等价鞅测度，并证明了 此测度可以使定义的相关熵达到最小，并在这个测度下给出了欧 式期权定价的一般方法在第四章中我们讨论t l d v y 澳 j 度也受到 开关马尔可夫过程影响的l d v y 模型下的期权定价问题，得到了与 第三章类似的结论它们分别推广了文【1 6 】和【1 7 】的结论 关键词：l d v y 模型；开关马氏过程；e s s c h e r 变换；最小熵鞅测 度；期权定价 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e so p t i o np r i c i n gu n d e rl d v ym o d e lw i t h m a r k o vr e g i m es w i t c h i n g w es u p p o s et h a tt h ep r i c eo fa s s e t sf o l l o w t h ep r o c e s s j a 严e x p ( f tr s d s ) l & = 岛e 印( 后( 地一三一) 如+ f 苫a s d b s + 氏l o g ( 1 + 忌 ) ) ( t ，如) ) w h e r e ( b t ，0 t t ) i ss t a n d a r db r o w nm o t i o n ，n ( t ，) i ss t o c h a s t i c m e a s u r e ，( 五，0 t t ) i sm a r k o vp r o c e s s ，a n da l l o ft h e ma r ei n d e p e n d e n tw i t he a c ho t h e r , z s - - ，几- - ，r s - - a r ea l la f f e c t e db ym a r k o vr e g i m es w i t c h i n g i nc h a p t e r3 , w e s u p p o s et h el d v ym e a s u r eo fp o s s i o ns t o c h a s t i cm e a s u r e ( ) i sn o ta f - f e c t e db yt h em a r k o vr e g i m es w i t c h i n g f i r s t l y , w eu s ee s s c h e rt r a n s f o r mt og e tae q u a lm a r t i n g a lm e a s u r e ，a n dt h e np r o v et h i sm e a s u r e 。t h er e l a t i v e f i n a l l yg e tt h e m t h o dofmlnmlses t h ea a v ee n t r o p y 1 - m a l t yw eg e tt h ec o m m o nm e m o oo i e u r o p e a no p t i o np r i c i n gu n d e rt h em e a s u r ew h i c h h a v eg o t i nc h a p t e r 4 , w es u p p o s et h a tt h e l d v y m e a s u r eo fp o s s i o ns t o c h a s t i cm e a s u r e z ，( ) i s a f f e c t e db yt h em a r k o v - r e g i m es w i t c h i n g w eg e tt h es i m i l a rr e s u l tw i t h c h a p t e r3 w ee x t e n dt h er e s u l ti n 【1 6 a n d 1 7 ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：l d v ym o d e l ；m a r k o vr e g i m es w i t c h i n g ；e s s c h e rt r a n s f o r m ； t h em i n i m u me n t r o p ym e a s u r e ；o p t i o np r i c i n g 一l v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：歪鱼 日 期： 一立笸：坠 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名： 日期：佥壁：竺 第1 章引言 第1 章引言 1 1 期权的概念 期权是指一种能够在未来某特定的时间以特定的价格买入( 或卖出) 一定 数量的某种特定资产的合约，在支付一定的权利金之后，期权的购买者有权在 该期权规定的时间内以规定的价格购买( 或出售) 规定的该资产他可以实施该 权利。也可以放弃该权利而期权的出售者则只负有期权合约规定的义务期权 合约中规定的日期称为到期日或者期满日规定的价格称为执行价或者敲定 价，规定的资产称为标的资产期权起始于十八世纪后期的欧美市场，由于制度 不健全等因素，期权交易的发展一直受到抑制，直到1 9 7 3 年芝加哥期权交易所 开始进行统一化和标准化的期权合约买卖，期权交易才得到迅猛发展现在在 世界各地的不同交易所内都有期权交易，银行和其他金融机构同时也进行巨额 的期权合约的场外交易期权的标的资产包括股票，股票指数。外汇，债务工具，各 种商品和期货合约等 期权有看涨和看跌两种基本类型，看涨期权的持有者有权在到期日以执 行价购买标的资产，看跌期权的持有者有权在在到期日以执行价出售标的资 产市场上最常见的期权有美式期权和欧式期权，美式期权可以在期权有效期 内任何时候执行。欧式期权只能在到期日执行在交易所内交易的大多数期权 为美式期权然而欧式期权通常比美式期权更容易分析，并且美式期权的性质 总是可以由欧式期权的性质推导出来，所以研究者以研究欧式期权为多数 前面所说的欧式期权和美式期权有时称为标准化衍生证券近几年，为满 足顾客的需要，银行和其他金融机构开创性地设计了许多非标准化的衍生证 券有时。金融机构直接向其客户出售这些产品在其他情况下。他们将这些衍生 证券加入到发行的债券和股票中，以便增加投资者对所发行的债券或股票的兴 趣非标准化的衍生证券有时称为新型期权，如亚式期权，障碍期权，篮子期权等 1 2 资产价格模型 期权定价的核心是选择一个合适的数学模型来刻画标的资产的价格过 程在金融市场的发展进程中，人们提出了很多的数学模型最初是l b a e h e l i e r 第1 章引言 于1 9 0 0 年提出的用b r o w n 运动来描述股票价格，但b r o w n 运动可取负值，而股 票价格只能取正值为此p s a m u e l s o n 1 4 于1 9 6 5 年提出了用几何b r o w n 运动作 为股票价格模型，这是一个较好的模型。e b l a c k 和m s c h o l e s 5 在1 9 7 3 年运用此 模型得到了欧式期权定价的精确公式，这是一个划时代的成果但这个模型 的主要缺点是假设股票价格只能是连续变化的，而实际情况是股票价格受 到许多外界的干扰，呈现出跳跃式的变化，且这种外界的干扰不可预料所以 后来许多学者都用b r o w n 运动和p o s s i o n 过程叠加在一起来刻画股票价格过 程1 9 6 7 年s j p r e s s 1 9 首先将b r o w n 运动和p o s s i o n 过程放在一起作为指数来表 达价格过程，这一模型反映了现实市场中的扩散部分与跳部分，但p o s s i o n 过程 固定的跳部分不能很好的刻画现实市场中存在的不同跳的跃度于是人们开始 研究更一般的情况，而l e v y 过程的跳部分具有不同的跃度，这引起了人们的特 别注意许多的研究者用几何k v y 过程来表达股票价格如1 9 7 6 年m e r t o n 1 l 】研 究了此模型下的期权定价问题 近些年来，有些学者注意到用几何l e v y 模型描述股票价格仍有其不 足之处；因为其中的参数，如收益率肛和波动率口均是常数，而实际上市场 中会存在一些例外的事件，如政策的调整，供求关系的变化，都会使参数 发生变化于是人们开始对几何l e v y 模型进行修正，主要是将常数波动率 变成随机波动率，例如h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) 假设波动率是随机的且为扩散过 程。1 9 9 6 年b a t e 2 和1 9 9 7 年b a k s h i 1 】等人分析了此模型另外由于控制资产价 格的主要因素是市场，所以允许资产价格的一些关键参数在有限个位置 上变动来反映市场是非常必要的为了能够更好的反映市场环境。人们 将很大的兴趣放在受开关马氏过程影响下的价格模型上，因为这种模型 能够很好的反映这种情况开关马氏过程首先在1 9 8 9 年被i - i i m u l t o n 1 5 i j i 入用来描述开关时间序列；d i m a s i c t a l 6 在1 9 9 4 年用均方误差的方法对有 开关马氏过程影响下的欧式期权模型进行套期保值；为了对有开关马氏 过程影响下的美式和欧式期权进行定价，1 9 9 8 年b o l o n 1 3 运用了l a t t i s e 的方 法b u f f m g t o n 和e l l i o t t 3 利用风险中性价格，得到了期权价格满足的一组偏微 分方程g u o 2 4 ( 1 9 9 9 ) 和s h e p p 1 0 ( 2 0 0 2 ) 对含有内部信息的开关马氏过程影响 下的期权进行了定价 1 3 开关马氏过程 设( 五) r 是完各概率空间( q ，莎，p ) 上的连续时间的开关马氏 一2 一 第1 章引言 过程，其中丁表示集合【o 刀( 五) t r 的取值空间为t e l ，e 2 ，e ) ，e i = ( 0 ，0 ，1 ，0 ，0 ) 7 冗，则由文【1 6 】知托可表为 五= + z 凡五d s + 尬。 ( 1 1 ) 其中a = ( 叼) t j - 1 ，2 ，- 是( 咒) t r 的无穷小生成元，( 舰) t r 是关 于( 。缆x ) t ，的r 值鞅，这里。多= 口( x 。0 s t ) 对给定的t = l ，2 ，n 令g = ：? = e i歹钡l j z = i i u 。= 勺 片t d s 表示【o ，司时间间隔内( 咒) t ，在状态e 停留的时间【1 7 】给出了以= ( 露，j ； ”，) 的特征函数，即 丸( u ) = ，( 1 2 ) 其中主= 凡1 ；( 1 ，1 ，1 ) 冗，d = d i a g ( u l ，t 2 ，u m ) ，魄r 由此可以 确定以的分布 1 4 研究现状及本文所做的工作 设( q ，箩，尸) 是一完备的概率空间，7 - 表示时间区间【0 ，卵，市场上有风险资产 和无风险资产两种资产 在著名的b s 模型中，无风险资产的价格a 可表示为 a t = e z p ( r t ) ， 其中r 0 为常数，称之为无风险利率风险资产价格& 满足微分方程 d & = & ( u c u + a d b t ) ， t r ( 1 3 ) 其中弘r ，矿 0 为常数，( b t ) t r 为( q ，穸，尸) 上的标准b r 0 、陋运动 这个模型的缺点是风险资产价格是连续变化的，与实际不符，于是一些学 一3 一 第1 章引言 者提出以l 赠过程代替( 1 3 ) 中的标准b r o w n 运动，即( & ) t 钉满足微分方程 d & = & 一( 1 , d t + u d b t + 七( z ) ( 亡，如) ) ，t 1 ( 1 4 ) ，粕 其中冗0 = r 一( o ，k ( x ) 为确定性函数i 了k ( z ) - 1 ，n ( t ，) 是与最相 互独立的p o s s i o n 随机测度，它的l 秒测度为l ，( ) ，且满足条t c u ( 凰) o o ，氏e 诎( z ) ( 如) ，讹r 利用凡6 公式( 1 4 ) 可表示为 & = 岛e 印 ( p 一互1 盯2 ) 亡+ 仃最+ 厶忉( 1 + 七( z ) ) ( t ，如) ) ， t 丁 ( 1 - 5 ) 模型( 1 5 ) 假设0 1 p ，r 均为常数，这仍与实际不符，于是有人提出用动态过程 来约束盯，p ，在本文中，我们采用1 3 部分中的连续时间开关马氏过程( x 4 t r 来 约束吒p ，其中x 的取值空间为 e l ，e 2 ”，e ) ，e i = ( 0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，o ) 。 r n 记 r t - - ，触= ，c r t - - ， 这里r = ( r l ，r ) ，p = 扯l ，弘n ) ly 仃= ( 矿l ，叫) 。均为已知向 量，且n 0 ，吼0 ，i 二1 ，记号 表示内积并假设姒 留( 局) ，( 五) 细与( ( t ，a ) ) 衙，( 鼠) 衙均独立 文【1 6 】研究了带有马尔可夫开关的连续模型 2 三裂淤t 叫1 淞2 + 露吼旭) k w 、 i & = 岛e 印( 石( 儿一互u 。) 如+ 露吼旭) 下的期权定价问题 文【1 7 】研究了带有马尔可夫开关的纯跳模型 鲁三魏盆+ 氏z n ( t 删) q d 、& = 岛e 印( 菇加d s + 氏 ，如) ) 卜“7 下的期权定价问题然而文【1 6 】中讨论的模型只是反映了市场中存在的连续情 况，文【1 7 】中讨论的模型只反映了市场中的存在的跳跃情况本文研究一般的 一4 一 第1 章引言 带有马尔可夫开关的l 咖模型 0 ，e 留( r ) ，( 舅) o t r 是穸的单增盯域流，例如可取由( 1 8 ) 式 定义的& 自然盯域流考虑乘积测度空间( f o ，t j exq ，留( 【o ，刀) o 留( e ) o 莎，l | ，xp ) ，汐是映射f 全体生成i 均l d , o - 域，其中f 是从【0 ，卅xe q 到r 的 映射，且满足如下条件： ( 1 ) 对于每个t 【0 ，t 】，映射( 。， t o ) _ f ( t ，z ，t l ，) 是留( e ) o 。统一可测的； ( 2 ) 对于每个z e ，_ t q ，映射t f ( t ，z ，协) 是左连续的称汐为可 料矿域，汐可测映射称为可料映射 简记f ( t ，z ) 全f ( t ，z ，) 对给定的t 【0 ，司，。e ，f ( t ，z ) 是一个随机 变量：对给定的z e ，( f ( t ，z ) ) o t t 是一个随机过程若f 是可料映射，则 称( f ( t ，z ) ) o t t 是可料过程 记。弼( t ，e ) 为所有满足下列条件的映射f 组成的集合： ( 1 ) f 是可料映射： ( 2 ) e ( f o t 厶l f ( t ，x ) 1 2 ( 出) 出) 特别地，若e = o ) ，则记澎( q = 粥( z e ) 2 2 随机积分与i t 5 公式 设b = ( 鼠) o s t s t 为( q ，箩，尸) 上的标准b 砌n 运动，n ( t ，) 是定义 在( e ，留( e ) ) 上的p 0 s s i o n 随机测度，且与b 独立，其中e 留( 动令( t ，) = ( 亡，) 一咖( ) ，称霄( t ，) 为补偿泊松随机测度，称咖( e ) 为( t ，e ) 的补偿又 - 设i g i ，f 粥( 砷，h 嬲( 正e ) ，翰为一随机变量，记 k = 碥+ rg ( s ) 如+ z f ( s ) d 玩+ o 上日( s ，。) 霄，窖) ，( 2 1 ) 一6 一 第2 章随机积分与测度变换 称y = ( y t ) o s t _ t 为l d v y 型随机积分( 2 1 ) 式可简记为 d y t = g c t ) d t + f ( t ) d b t + ( h c t ，z ) ( 如，如) je 定理2 1 ( 亡6 公式1 ) 设厂俨( 冗) ，y 是一个形如( 2 1 ) 式的l 白y 型随机积 分，则【0 ，卅，依概率1 有 ，t f ( y t ) 。f ( y o ) 2 z ，( k 一) g ( s ) 如+ z ，( 匕一) f ( 5 ) 崛，0，o + 丢z ，( k 一) f 2 ( s ) 如+ z f f ( y s + 日( s ，z ) ) 一，( k 一) 】霄( d s ，如) + (【，( e 一+ 日( s ，z ) ) 一f c y a 一) 一日( s ，z ) ( k 一) 】( 如) d s 定理2 2 ( n 占公式2 ) 设，0 1 , 2 ( r 卜x 兄) ，y 是一个形如( 2 1 ) 式的二面y 型随 机积分，则对于觇【0 ，卵，依概率1 有 t，k)一f(o，yo)f(tf ( oy o = 厂z ( 3 ，k 一) d s + 厂( s ，k 一) g ( s ) 如 ，k ) 一， = z ( 3 ，k 一) d s + ( s ，k 一) g ( s ) 如 j o，0 十以丘( s ，k 一 十云1 ) f ( s ) d b 8 厂e ( s ，k 一) f 2 ( s ) d s j o j 0 十五( s ，k 一 十石e ( s ，k 一 + 上上【，( s ，k 一+ 日( s ，z ) ) _ ，( s ，e 一) 】( 出，如) + z 。上f ，( ：，k 一+ 日( s ，z ) ) 一，( s ，k 一) 一日( s ，z ) 五( s ，k ) 】( 出) 出 2 3 指数鞅与测度变换 如果随机指数过程e y = ( e k ) t o 为鞅，则称e y 为指数鞅，在随机积分中经常 用到下面几种形式的指数鞅 命题2 1 设( ) o t r 为一标准b r o w i 运动，n ( t ，) 是一泊松随机测度，其对 第2 章随机积分与测度变换 应的己g 叼测度为扩加留( 凰) ，( 鼠) o s t s t 与( ( t ，e ) ) o t s t 相互独立，如果m 有 下述三种情形之一 ( 1 ) f ( t ) 嬲( ，且满足条件e ( e 印( 丕ff 2 ( t ) 也) ) o o ， k = t f ( u ) d 风一丢z f 2 ( u ) 也； ( 2 2 ) ( 2 ) e 留( 凰) ，h ( t ，z ) 。嬲e ) 且满足条件e 【e 印( 露厶( e 日【u 力一1 一 日( u ，z ) ) l ，( 如) 咖) 】 0 0 ， k = z 。上日( t ，z ) 霄( 砒，如) 一z 上( e j 5 r ) - 1 - 日( t ，z ) ) ( 如) 如； ( 2 3 ) ( 3 ) f ( t ) 和日( t ，z ) 分别满足( 1 ) 和( 2 ) 中的条件， k = o 。r d 玩一j 1 o f 2 ( 牡) 如+ z 上日( 缸，z ) 霄( 砒，如) 一( e l l ( 矗，) 一1 一h ( u ，z ) ) ( 如) 砒， ( 2 4 ) j oje 则( e k ) o t s t 是指数鞅，i ! iv t f o ，t i 有e ( e k ) = 1 在随机积分中测度变换经常与指数鞅联系在一起，设( e y t ) o t 为一指数 鞅，作测度变换d q = e y t d p ，则测度q 与测度p 等价，简记为q p ，且有如下定理 定理2 3 ( g i 璐蛆0 v ) 设( e k ) o t s t 是一指数鞅。其中( k ) 呸t t 由( 2 4 ) 式所定 义，作测度变换d q = e y r d p ，记m 譬鼠一名f ( u ) d u ，则( 肌) o s t t 在测度q 下 是标准b r o w n 运动 由文【4 】知，设e 留( 硒) ，记 ，t 如( t ，e ) = ( t ，e ) 一( e h ( 功一1 ) i ，( d z ) 如 彳( t ，e ) 一z 。，e e t t o a ) v ( 出) 如， 一8 一 第2 章随机积分与测度变换 则( 幔( t ，e ) ) o 0 ，因此，( 口t ) 是吼的单调递增函数，从而( 3 4 ) 存在关于巩的唯一 解 选择满足方程( 3 4 ) 的巩作由( 3 3 ) 式定义的测度变换，则在测 度p 下( & ) t r 关于( 娩) 。r 是鞅称p 为p 的等价鞅测度，此时& 可表示为 & = 岛e 印 r d 巩一j 1 o 霹如 + 厂t o g ( 1 + k ( z ) ) ，( b ) 一r 。厂七( z ) e 以七如) ( d x ) d s ) ( 3 5 ) j r o j 0j r o 3 3 最小熵鞅测度 设( q ，莎) 是一可测空间，( 。级) 下是莎的单增盯域流，以p ( f l ，莎) 表示( q ，莎) 上的一切概率测度组成的集合，对给定的p p c n ，莎) ，记测度集合 a l m m ( p ) = q p ( r t ，箩) ，q p ，( & ) t r 在q 下关于( 。线) t 钉是局部鞅， 且( 五) t ，在q 下和吓分布相同) ， e m m ( p ) = q p ( n ，矿) ，q 一只( 袅) t r 在q 下关于( 。线) t r 是鞅， 且( 五) t r 在q 下和p 下分布相同 ， 其中( 五) t ，为开关马氏过程 定义3 1 设够是莎的子盯域，即箩c 矿对每个q p ( n ，穸) 定义 啪l p ) = ) l 豌】 ( 3 1 1 ) 由3 1 部分内容知，在已知x 的信息。野的条件下，( t ，t ) - 与t i ( t ，t ) 条件独立 目它们均与。独立而在测度p 下，e 限t ) i $ x n ( 0 ，r a 2 d s ) ，钉( t ，n i 群的 第3 章最小熵鞅测度及期权定价 特征函数为 妒时( t ，d ( 牡) = 曰p 【e z p ( 们7 ( t ，t ) ) i 。9 嗲】 = e p 【幻e 印( t 叼( t ，t ) ) i 璐】 譬e p 瓦l t 唧( t 唧( t ，t ) ) i s t x = e p 【e 昂( z r w 风一三r 砖蠢出+ 厂厶州删 一厂厶( e 啪如) 一1 ) z ，( 如) d s ) e 印( 主聊( t ，t ) ) l s r x 在测度尸下，由于在已知x 的信息璐前提下，( 鼠) t ，- 与( n c t ，凰) ) 圯r 独 立，g e x p c f 0o s a s d b s 一；后锷砖d s ) 是指数鞅故有 如( t ，力( u ) = e p 【e z p c f rf ( o 。七( z ) + 缸2 d 9 ( 1 + 七。) ) ) ( d s ，出) 一厂厶( 毋h 甸一l m d s ) | 节】 = e ：l p z t r a c e o s 七( 2 ) 删l + 七) 一1 ) ( 如) 幽 一t ( e a , k ( x ) _ 1 ) 矽( 如) d s ) 】 = e 印嘭r 厶( 舭( 1 + ) - 1 ) e o o k ( z ) v ( 酬s 】 = e 印f 厶，( 一砷竹) - 1 ) ，z 咖恤) 】 第3 章最小熵鞅测度及期权定价 令矽= l o g ( 1 + 七( z ) ) ，贝i j 秒r ，故 如( t ( t ) = e ：r p 【! ( e 蛔一二1 ) 6 ( t ，z 可- i ) r oy _ 1 ( 由) 】 ，r 其中y _ 1 ( ) 为l n ( 1 + 七扛) ) 的反函数，矿oy - 1 ( ) 为由( ) 和暑。( ) 复合而成的复合 函数再令a = 厶o c t ，t , y - 1 ) oy _ 1 ( 匆) ，矿( 咖) = o ( t ，t , y - 1 ) r oy 一( d v ) x 则 如( t 。刃( 功= e x p ( f r ( e i 螂一1 ) 舫( 匆) ) 这是一个p o s s i o n 分布的强度为a ，i i 井列( 磊) 的共同分布为矿( ) 的 复合p 0 s s i o n 分布的特征函数，因此? 7 ( t ，t ) i 多服从参数为( 入，l ，+ ( ) ) 的复 合p o s s i o n 分布，简记? 7 ( t ，即1 蹿 一( a ，矿( ) ) 于是f l a ( 3 1 1 ) 式可计算岛 以五( t ，t ) 表示在时间区间【t t 】内( 五) t r 处于状态i 的时间，则 r c t = 厂一z tq 五 如= 扣他巩 = 厂蠢如= 厂 2 如= 若v 砖踯， 口c t ，2 - z ，= f t t e o , k ( x ) d s = f , t e 七c 。，d = 砉e 瓯七c z ，五c 亡，2 1 记，( ，t ) = ( 五( 亡，t ) ，r 2 c t ，t ) ，j | i v ( t ，t ) ) ，缸= ( u l ，t 2 ，t ) r n , 由( 1 2 ) 式 可德，“t 、的特彳i i ：函觜 e 尸【e 印g ) 】= ，( 3 1 2 ) 其中记号a ，d ，l 均同( 1 2 ) 式由上式可以确定j ( t ，t ) 的联合分布。从而 由( 3 9 ) 和( 3 1 1 ) 式可确定欧式期权的价格 由以上的讨论可知，若价格过程没有跳跃部分，我们得到的结论与文 1 6 】中 的完全一致，即本文推广了文【1 6 】 特别地，对于欧式看涨期权，契约函数，( z ) = 0 一k ) + ，于是( 3 1 1 ) 式可 第3 章最小熵鞅测度及期权定价 化为 反= e x p ( 一r ( t ，t ) ) e p 【( & e 印 ( t ，t ) + , t c t ，t ) + r ( t ，t ) 一去仃 ，刃一o c t ，一k ) + i 豌l 竺e x p ( 一r ( t ，t ) ) e f f , * ( s t e x p ( t ，t ) + ，7 ( t ，砷+ 7 ( t ，t ) 一去盯( t ，q o ( t ，t ) ) 一k ) + i 多】 = e z p ( 一r ，t ) ) e 互叩( t ，”【( & e 印 ( t ，t ) + t 7 ( t ，t ) + 7 p ，t ) 一去盯( t ，t ) 一a ( t ，t ) ) 一k ) + i 。群】l 莎笋 其中置表示在已知数值& 的条件下求期望， ，( t 。q 表示在已知& 和7 7 ( t ，t ) 数 值的条件下求期望令 a = 雠，t ) z 卵瓦k 一讹t ) 一r ( 调+ 虿1 盯( 旧+ 讹吼 a = 磙叶( ，刁【( & e 印 ( t ，幻+ 叼( t ，t ) + 7 ( t ，t ) 一三仃( 芒，t ) 一目( 亡，t ) ) 一k ) 厶i 璐】 = f 叼( t 。习吼e 印代( t ，t ) + r ( t ，t ) + ，( 亡，即一三盯( t ，t ) 一p ( t ，t ) 厶i 璐1 一k 蹋( t 刃【“i 舛】 则 ， & = = p ( - , - c t ，t ) ) 磺【& l 。硝】 ( 3 1 3 ) 由前面讨论可知。在已知x 的信息。鲜的条件下，( t ，t ) 与r l ( t ，t ) 条件独立，且在 第3 章最小熵鞅测度及期权定价 测度p 下，专( t ，t ) l 舛一n ( o ，f 砖d s ) ，令 d ：- l o g 簧t + r l ( t , t ) + r ：( ：t , ：t = = ) = - = 壶c r ( t , t ) - o ( t , 一t ) 仃( t ，t ) 则可以得到 反= & e 印 7 ，t ) + e ( t ，t ) + ，7 ( t ，印) 圣( d + v f a ( t , t ) ) 一k 西( d ) 其中圣( ) 表示标准正态分布的分布函数故有 & = e 【& e 印 r ( t ，t ) + p ( t ，t ) + 7 ( t ，t ) ) 圣犯+ 、石万了_ ) 一k 圣( d ) l s x 由前面的讨论可以知道7 7 ( t ，t ) i 莎x = 氏l o g ( z + 七( 。) ) ( d s ，如) 篁 ：等l o g ( 1 + 凫( 五) ) 一( 入，2 ( ) ) ，所以由全数学期望公式可得 & = e p s , e x p r ( t ，t ) + 口( t ，印+ l o g ( 1 + 后( z ；) ) 圣( 二! 竺釜坠! ! 型! 生粤! ：尘塑塑二堕旦) 、 、盯( t ，t ) 一k 西( 二! 翌耋娶! ! 翌! ! 生! 辱坚垒! ：旦墨! 生：三! 二! ! ! ：三! 、 、仃( t ，t ) 其中墨li n ( 1 + 七( 磊) ) = 0 由( 3 9 ) 式可以计算期权价格q 类似地，对于欧式看跌期权，契约函数， ) = ( k 一。) + ，于是 反= e 印( 一r ( t ，t ) ) e p 【( k s , e x p ( t ，卵+ o c t ，t ) + ，( t ，t ) 一三盯( t ，t ) 一口( 芒，t ) 州鳓 = 皇【k 西( 一回一& e 印 7 ( t ，t ) + 口 ，卵+ 7 ，t ) ) 圣( 一d 一、石l 万) l 舛】 = 薹矿酬竖墨坐等锗型螋) 第3 章最小熵鞅测度及期权定价 _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n s , e 印 r c t ，t ) + 口o ，t ) + l o g ( 1 + 七( 磊) ) ) = l 圣( 堕墨丝邕籽产幽 、仃l ，_ j 同样由( 3 9 ) 式可以计算期权价格g 一2 2 第4 章占咄测度带有马尔可夫开关的l 芭w 模型下的期权定价 第4 章l d v y 测度带有马尔可夫开关的l d v y 模型 下的期权定价 在本章中我们考虑7 ，p ，仃，( ) 均带有马尔可夫开关的l 嘶模型( 1 8 ) h p ja = e 印( 后r | d s ) & = 岛e 印( 露( 地一；砖) 如+ 后吼d 玩+ 氏l o g ( 1 + 七 ) ) ( t ，如) ) 下的期权定价问题，其中p o s s i o n 随机测度n ( t ，) 的l g 口秒测度墩( 如) = 翠l 吻( 出) ，吩( ) ，j = 1 ，2 ，是个l 嘶测度，且满足吩( 凰) o o ，氏矿奄( 霉吻( 如) c o ，帆冗 令忍= 后寿琥，由n 6 公式得 r = 肛_ r i ) 如+ z 。讽+ 厶m 腓” ( 4 1 ) 记巩- - 。其中口= ( 口l ，o n ) r ，令 一e z p ( f o 0 3 d r s ) l t 2 两鬲丽面丽 = e 印( z 以d 兄- - l n e p ( e 印( z 。以d 兄) i 。节) ) = e 印( z w 玩+ o 小地m 删 毛小蠢如一薹n 上t 厶c 舭- ， 啦，他2 ， 其中e p ( ) 表示在测度p 下求期望，。祥及以后所涉及的口域和盯域流均同前 述定义显然在测度p 下( 厶) t r 关于( 鳓。r 是一指数鞅，r e p ( 厶l 影) = 1 另 一2 3 第4 章l 嘶测度带有马尔可夫开关的l d v y 模型下的期权定价 外，v o sst ， e p ( 厶l 瓯) = e p ( e p ( 厶i 晚) 瓯) = e p ( 厶l 鲵) = 厶， 故可以得到( 厶) t t 在测度p 下关于( 鲵) t 耵也是指数鞅 在可测空间( q ，娩) 上作e s s c h e r 测度变换，令 丽d p * k = l t ，下 面i 姨= ，丁 ( 4 3 ) 则觇下，在( q ，鲵) 上耳与最等价，我们同样约定片= p 碍= p 令胍盏鼠一启以如，由g 酶觚0 v 定理知，在测度p 下( 肌) t 钉l 。掣是 标准b r o w n 运动；在测度p 下，对于给定的( 恐) 灯，n ( t ，风) 与矾条件独立， j i n ( t ，凰) 的补偿为篓le 氏毋七伽) v i ( d x ) d s 令 矾( t ，硒) = ( t ，凰) 一妻z 。厶一制霉) v j 矾( t ，硒) = ( t ，凰) 一z 厶毋q 啦埘 一2 4 第4 章l d v y 测度带有马尔可夫开关的l d v y 模型下