（流体力学专业论文）高超声速稀薄流中化学反应的DSMC数值模拟研究.pdf

摘要 本文从分子气体动力学入手，结合现有直接蒙特卡洛( d s m c ) 的数值方法 理论，对d s m c 模拟高超声速稀薄流中的化学反应进行了研究，发展了一套适 用于带化学反应的高超声速稀薄流动的d s m c 数值模拟程序，并将其用于高空 稀薄流中高超声速飞行器的气动力、气动热等问题的分析。 本文采用l a r s e n - b o r g n a k k e 唯象法来描述碰撞分子的平动能与内能之间的 能量交换，并在此基础上，采用位阻因子法发展了一套d s m c 唯象化学反应模 型。对于离解反应，采用与振动能相结合的l a r s e n - b o r g n a k k e 唯象化学反应模型； 对于其逆反应，引入了平衡碰撞理论来消除混合气体下，不同平衡温度对化学反 应模拟所造成的偏差。另外，还尝试将最大熵方法引入d s m c 中，取消了能量 按当地平衡分布取样的假设限制，更能反映流动中存在的非平衡效应。 本文数值模拟采用了可变硬球( s ) 分子模型，根据d s m c 方法中网格 生成原则，发展了一种基于结构贴体网格下的复合分子运动轨迹跟踪法，有效地 处理了模拟分子的跟踪定位。分子碰撞对的抽样采用非时间计数器( n r c ) 法， 分子与物面的碰撞则采用了漫反射模型进行处理，部分算例加入了壁面有限催化 处理，得到了有意义的结果。 最后，采用本文发展的方法，对热浴化学反应，高空高速圆柱绕流和钝头 锥体绕流进行了数值模拟，对模拟所得的流场参数和物面参数进行了分析，并与 理论、实验数据以及参考文献的数值结果进行比较，论证了本文发展的d s m c 唯象化学反应模型的有效性。 关键字：d s m c ；化学反应；高超声速；稀薄流 a b s t r a c t o nt h eb a s i so fm o l e c u l eg a sd y n a m i c s ，t h ed i r e c ts i m u l a t i o nm o n t e c a r l o s m c ) m e t h o df o rt h es i m u l a t i o no fc h e m i c a lr e a c t i o no fh y p e r s o n i cr a r e f i e dg a s f l o wi ss t u d i e dt h r o u g ht h ec o m b i n a t i o no ft h ee x i s t i n gd s m cn u m e r i c a lt h e o r yi n t h i st h e s i s t h ed s m c p r o g r a mf o rr e a c t i n gr a r e f i e dg a sf l o wi sd e v e l o p e dt oa n a l y z e t h e a e r o d y n a m i ca n da e r o t h e r m d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c sa r o u n dt h e h y p e r s o n i c a e r o - v e h i c l e s t h ep r e s e n tw o r ka p p l e st h el a r s e n - b o r g n a k k ep h c n o m e n o l o g i c a lt h e o r yt o d e s c r i b et h ee n e r g ye x c h a n g eb e t w e f f f lt h ek i n e t i ca n di n t e r n a lm o d e so fc o l l i s i o n m o l e c u l e s o nt h i sb a s i s ，t h ed s m cp h e n o m e n o l o g i c a lc h e m i c a lr e a c t i o nm o d e li s d e v e l o p e du s i n gt h es t e r i cf a c t o rm e t h o d t h i sm o d e le m p l o y sl a r s e n - b o r g n a k k e t h e o r yf o rv i b r a t i o n a le x c i t a t i o nt ot r e a td i s s o c i a t i o n w h i l ef o rc o m b i n a t i o nr e a c t i o n , t h ee q u i l i b r i u mc o l l i s i o nt h e o r yi su s e di no r d e rt oa v o i dt h ee r r o rc a u s e db yt h e d i 丘打e n c ee q u i l i b r i u mt e m p e r a t u r ei nm i x t u r eg a s a d d i t i o n a l l y , an e wm e t h o dt h a t c o m b i n e st h es a x i l n r i ne n t r o p ya n dd s m cm e t h o di s p r e s e n t e dw i t h o u tt h e a s s u m p t i o n o fl o c a l e q n i l i b r i u md i s t r i b u t i o n s ，a n d i sm o r ee f f i c i e n tf o r n o n - e q u i l i b r i u mc o n d i t i o n t h en u m e r i c a lp r o c e d u r eo f t h ep r e s e n tw o r ka d o p t sv h sm o l e c u l a rm o d e l ，a n d a c c o r d i n gt h eg r i dp r i n c i p l e si nd s m c ，ac o m p o s i t em o l e c u l a rk i n e t i ct r a c k i n g m e t h o dw h i c hd e a l sw i t ht h et r a c i n go fs i m u l a t e dm o l e c u l e se f f i c i e n t l yi sd e v e l o p e d b a s e do l lt h es t r u c t u r e db o d y - f i t t e d 鲥d s n t cm e t h o di su s e dt os e l e c tc o l l i s i o n m o l e c u l e sa n dd i f f u s er e t i e c t i o nm o d e li su s e df o rt h ec o l l i s i o nb e l ：w e e nm o l e c u l e s a n db o d ys u r f a c e s o m ec a s e se m p l o yf i n i t e l yc a t a l y z e dm e t h o dt ot h ed i s p o s a lo f w a l lb o u n d a r y , a n du s e f u lr e s u l t sa r eo b t a i n e d f i n a l l yw i t ht h ew o r ka b o v e ，t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fc h e m i c a lr e a c t i o ni n c l o s e dh i g ht e m p e r a t u r ea r e a , a n dh y p e r s o n i cf l o w sw i t hh i g ha l t i t u d ea r o u n dc y l i n d e r a n db l u n t e dc o n ea r ec a r r i e do u t t h ep a r a m e t e r so ff l o wf i e l da n db o d ys u r f a c ea r e a n a l y z e d b yc o m p a r i n gt h ep r e s e n tr e s u l t sw i t ht h et h e o r y , e x p e r i m e n t a ld a t aa n dt h e r e f e r e n c en u m e r i c a lr e s u l t s ，i ti sp r o v e dt h a tt h ep h e n o m e n o l o g i c a lr e a c t i n gm o d e l d e v e l o p e di nt h i st h e s i si sr e l i a b l e k e y w o r d s ：d s m c ；c h e m i c a lr e a c t i o n ；h y p e r s o n i c ；r a r e f i e df l o w 符号表 碰撞参数 分子速度值 相对速度值 分子热运动速度值 最可几热运动速度值 等压比热 等容比热 常数 分子直径 单位质量能量 活化能 离解能 误差函数 分布函数 单粒子分布函数 简并度 p l a n c k 常数，= 6 6 2 6 0 7 5 5 x 1 0 “山 转动惯量 b o l t z m a r m 常数，= 1 3 8 0 6 5 8x1 0 。j x ； 力常数 正向反应速率常数 逆向反应速率常数 努森数( k n u d s e n 数) 流动特征长度 分子质量 折合质量 分子数密度；振动量子数 压力；概率 热流量 i 6 c q c “ o q 嘲j p e易珂厂f & 矗， 七 茸砌工 m 栉p g 配分函数 单位质量气体常数 核间距离 啦l 的随机数 熵 时间 时间间隔 温度 系统势能 松弛碰撞数 热适应系数；v s s 分子模型中散射偏转角余弦的幂次 最可几热运动速度的倒数 g a m m a 函数 壁面催化率 分子能量 分子内自由度 分子平均自由程 碰撞频率 密度 平均碰撞时间 物面粘性应力 波函数 粘性系数 角速度值；粘性系数正比于温度的幂次 天顶角 方位角 粒子在不同能级上的分配方式数 特征温度 碰撞后分子的偏转角 碰撞截面 i v ， q r ， m s ， 址 r 矿z 盯r 行f f a y p f o y 国9 p c = 0 z 盯 b g k 模型 c l l 模型 d s m c 方法 d s m c m e 方法 g h s 模型 姬方法 m e n s n t c 法 t c 法 v h s 模型 v s s 模型 电子的 序号；内 最大值 转动的 参考值 平动的 振动的 来流值 碰撞后的值 口的平均值 口的截断值 上下标 英文缩写词 b h a t n a g a r - g r o s s k r o o k 模型 c e r c i g n a n i - l a m p i s l o r d 模型 d i r e c ts i m u l a t i o nm o n t ec a r l o 方法 d i r e c ts i m u l a t i o nm o n t ec a r l o & m a x i m u me n t r o p y 方法 g e n e r a l i z e dh a r ds p h e r e 模型 m a x i n a u me n 协o p y 方法 m i c r oe l e c t r om e c h a n i c a ls y s t e m n ot i m ec o u n t e r 法，非时间计数器法 t i m ec o u n t e r 法，时间计数器法 v a r i a b l eh a r ds p h e r e 模型 v a r i a b l es o rs p h e r e 模型 v x 。，姗，阿护v。二m 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文上作 的知识产权单位属于两北_ 1 业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅，学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结台学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北l 业 大学。 保密论文待解密斤适用本声明。 学位论文作者签名：兰监 渺7 年；月7 日 指导教师签名：! ! 自i ! 凇 哆年j 月了日 ? 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是 本人在导师的指导下进行研究上作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的 内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研 究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：! 盟边 砷年弓月7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究的背景及意义 随着人类对高空、外太空的日益重视，各国在军事和科学探索领域的竞争 也日趋激烈，各种高超声速飞行器，航天飞行器应运而生。准确把握航天飞行器 在飞行时的气动力和气动热，对于提高航天飞行器的性能显得尤为重要。通常， 航天飞行器在飞行过程中要经历自由分子流区、过渡流区( 包括滑流区) 和连续 流区，所遇气动环境十分复杂。人们在设计新的飞行器型号时常常需要依靠地面 实验、飞行试验和数值模拟三种方法。但对于高速航天飞行器，现在尚没有能完 全模拟这种飞行条件的地面设备可提供地面实验，而飞行试验则因耗资巨大而不 能随意进行，所以在当今计算机技术飞速发展的时代，数值模拟成为了航天飞行 器设计研究中一种非常重要的手段“1 。 通常情况下处理的流动的性质都是连续而光滑的，n a v i e r - s t o k c s 等数值方 法都采用了连续介质的假设。但在高超声速飞行时，随着飞行高度增加稀薄气体 效应增大，气体的间断粒子效应变得显著。此时，描写介质的质量、动量和能量 的守恒方程中的剪切应力和热流不能再由低阶的宏观量( 速度、温度) 表征出来， 即n a v i e r - s t o k e s 方程中输运系数表达式不再正确，连续介质假设已经不再成立。 这发生在宏观量梯度的特征长度变得与分子的平均自由程旯可比的时候。为此， 我们不得不放弃连续介质假设而采取微观模型或分子气体动力学的方法，或稀薄 气体动力学方法。 稀薄气体动力学是一门研究稀薄气体的质量、动量、能量传递及其所发生 的热力学和化学反应的规律的学科。其基本控制方程是b o l t z m a n n 方程： _西4f 罢+ ；善+ 了o f = ff ( ，z 一崩) c ，c r ( g ，z ) d a d - g ( 1 - 1 ) 四 o rd c 二i 它是一个非线性的微分积分方程，包含有控制气体分子分布函数对时间和 空间变化率的微分项以及非线性的碰撞积分项。由于此非线性微分积分方程的 复杂性，解析求解极其困难，时至今日仅得到以m a x w e l l 平衡分布为代表的少数 几个解析解嘲。数值求解不但要借助于非线性微分积分方程的数值方法，还取决 于分子间碰撞、分子与物面碰撞的物理模型，以给出碰撞积分关系和物面条件。 这些都有待于实验和理论研究的结果。 人们相继发展了矩方程方法，离散速度坐标法和模型方程方法等解析方法 第一章绪论 以及直接数值积分b o l t z m a r m 方法、m o n t e c a r l o 方法“”及近年来发展的从稀薄 流到连续流统一算法等数值模拟方法来近似求解b o l t z m a n n 方程嘲。其中，应用 最广泛、发展最迅速的则是d i r e c ts i m u l a t i o nm o n t e c a r l o ( d s m c ) 方法，它也 是目前唯一可以模拟过渡区三维真实气体流动的方法嘲。该方法最早由ga b i r d 于1 9 6 3 年提出，并首次应用于求解气体分子的内能松弛问题”1 。经过4 0 多年的 研究和发展，目前d s m c 方法己在全尺寸复杂外形的稀薄高超声速绕流、羽流 及其污染效应研究、微机电系统( m e n s ) 的微几何流动、等离子体蚀刻和薄膜 生长等方面得到广泛的应用，显示出巨大的优势。 在稀薄高超声速绕流的模拟方面，b i r d 最早于9 0 年代用d s m c 方法模拟了 航天飞机外形从1 6 0 1 2 0l a n 的升阻比，与飞行试验结果非常一致0 1 。r a u l t 【。】、 w i l m o t h “”和b l a n c h a r d 1 等又重新对航天飞机的气动特性进行了计算，并将模拟 高度降低至1 0 0 k m ，计算结果也与飞行测量数据出色的相符。其它飞行器外形如 欧洲h e r m e s 航天飞机、俄“暴风雪”号航天飞机、日本轨道再入飞行器叫1 ( o 砒) 以及“联盟”号飞船返回舱等在稀薄过渡流域气动特性的d s m c 模拟结果也都 得到了试验的验证。d s m c 方法的强有力还从激波结构的细致研究中得到了证 明，即实验所得的激波过渡带的宏观量和速度分布函数均为d s m c 方法所预言， 并于1 9 8 9 年发表在s c i e n c e 上“”，得到学术界的普遍注意。d s m c 方法已被证 明是开拓流体力学前沿的重要工具。 我国“8 6 3 ”计划研制的可重复使用的跨大气层的空天飞行器和神州飞船在 再入返回地面的过程中要在稀薄流动区域飞行较长的时间，期间要经过多次姿态 变化。准确模拟高空高速飞行器在稀薄流动区域的飞行状态，对于我国发展跨大 气层的空天飞行器，具有重要的作用和意义。而d s m c 方法则是求解稀薄流动 的强而有效的方法。目前在国内，对d s m c 方法的研究基本已经成形，但对于 考虑热化学反应的非平衡流动，还属于起步阶段，较国外有一定的差距“”。当航 天器在中等稀薄的过渡区作高超声速飞行时，流场的稀薄气体效应显著，飞行器 前方绕流流场，特别时前方弓形激波附近流场，气体分子状态远离平衡态，不仅 气体分子的平动温度、转动温度和振动温度存在明显差别，而且气体分子之间的 化学反应亦很剧烈。因此，为获得高质量的d s m c 数值模拟结果，需要准确模 拟气体分子内能激发松弛行为，合适地考虑过渡区流场的化学变化。本文正是基 于这一点，分析研究分子微观的内能结构模式，建立适用于d s m c 方法的化学 反应模型的数值框架，并发展带化学反应的d s m c 数值模拟程序，成为本文的 研究重点。 2 第一章绪论 1 2d s m c 发展现状 稀薄气体或分子水平上的气体流动的基本方程是b o l t z m a n n 方程，这是描 述这种流动的众所接受的数学模型。d s m c 则是随着电子计算机的广泛应用所发 展起来的一种直接从流动的物理模拟出发的方法。它要求分子混沌和稀疏气体假 设，并通过与b o l t z m a n n 方程相同的物理机理得到。关于它与b o l t z m a n n 方程的 关系，已有文献“”1 等证明其在数学上收敛于b o l t z m a n n 方程。这种物理仿真的 本质使得在d s m c 中能够较为容易地引入更真实的模型，模拟包括有热化学非 平衡反应以及热辐射等物理化学过程在内的复杂稀薄气体流动问题。 近年来，随着电子计算机的发展，d s m c 方法也获得了长足的发展，经过 几十年的不懈努力，在分子作用势、碰撞对抽样方法、内能激发松弛、化学反应、 电离和辐射等诸多方面的模拟都获得了相当丰硕的成果。 在对分子作用势的模拟上，最先采用的硬球( h a r ds p h e r e ) 分子模型具有 固定的直径，这不符合准确模拟所要求的碰撞截面随分子间相对速度而变化。 b i r d “”引入了可变硬球( v a r i a b l eh a r ds p h e r e ，缩写为v h s ) 模型，它保持了硬 球模型具有的简单的散射规律，又能反映粘性系数与温度的依赖关系，但v h s 模型没有考虑到气体分子结构中大量存在的非对称性所导致的分子散射的非对 称性。k o u r a “”等人又提出了可交软球( v a r i a b l es o f ts p h e r e ，缩写为v s s ) 模型 克服了v h s 的缺陷，使得分子扩散碰撞截面与粘性碰撞界面的比值相等。 i - - 如s a n “”等人在v h s 和v s s 模型的基础上提出的广义硬球( g e n e r a l i z e dh a r d s p h e r e ，缩写为g h s ) 模型，碰撞截面依相对速度的变化，相应于l e n n a r d - - j o n e s 分子作用势，使得分子的碰撞模型更加完善。 在分子碰撞对的选取上，最早使用的是时间计数器( t c ) 方法，这种方法 不利于计算机向量化计算。于是，b i r d 提出了非时间计数器( n t c ) 方法，它 摒弃了时间计数器概念，先计算除时间步长& 内需要在网格中计算的碰撞数， 然后再进行模拟分子碰撞计算。k o u r a 口1 。1 也提出了无效碰撞分子碰撞抽样方法， 大大减少了计算时间。 在描述分子与物体表面相互作用这一复杂过程方面，发展了镜面反射，完 全漫反射以及它们的组合m a x w e l l 类型反射，还有更接近物理实际的c l l 物面 反射模型“。 在气体分子转动和振动自由度激发和松弛的模拟方面，大多数采用与v h s 相适应的l a r s c n b o r g n a k k e ( l b ) 模型1 模拟碰撞过程中平动，转动，振动模 式的能量交换。由于振动自由度为温度的函数，在采用l b 模型单独考察振动能 松弛时存在有奇异性，因此发展了多种形式的碰撞传能模式。化学反应通常是与 第一章绪论 分子内自由度松弛过程耦合在v h s ( 或v s s ，g h s ) 模型以及l b 模型的基础 上加以模拟。基于分子碰撞引起的化学反应的随机性本质，b 矾率先在九十年代 提出了处理化学反应的位阻因子( 或称化学反应几率) 方法嗍，并获得成功。在 该方法中，碰撞分子发生化学反应的几率由化学反应速率推导得到。这种基于化 学反应碰撞理论的位阻因子方法，只能再现连续介质中得到的化学反应速率常数 实验数据，不可能反映所描述现象的更为本质的物理机制。由于热化学非平衡过 程物理机制的复杂性，模型的唯象性以及一些参数的任意性，现有的模拟分子热 化学非弹性碰撞的d s m c 方法还存在不少缺陷，对热辐射的d s m c 模拟的理论 研究还不够完善。因此通过对分子水平上的碰撞物理过程的深入分析，改进已有 的和重新设计一些模拟内松弛、化学反应、电离和热辐射的模型将是d s m c 方 法发展中非常活跃的内容。 另外d s m c 方法在模拟中的非定常性，使之对非定常流动的模拟也发挥着 巨大的作用。对于尾迹中旋涡的产生、运动以及脱落的模拟已经得到比较满意的 结果唧。 在国内，d s m c 的基础相对比较薄弱，起步比较晚，但是发展却很迅速。 在应用方面，几乎国外所做的工作国内都有所研究，而且在理论基础上也提出了 独创性的东西。特别是沈青等人，在b i r d 和国外研究者的基础上对d s m c 方法 进行了深入和发展。在多组分气体的化学反应方面，他发展了一种依赖气体分子 空间取向的化学反应模型嘲，考察了双原子分子在碰撞中作用于化学键的力的平 衡，并导出了化学反应速率常数表达式，在分子碰撞对的抽样技术中也提出了随 机取样频率法w 。 总之，d s m c 方法经过四十多年的发展，在稀薄气体动力学等研究领域获 得了广泛应用与检验，证明了它的可靠性。它也成为数值求解稀薄气体动力学问 题唯一获得巨大成功的方法。 1 3 本文的主要工作 本文通过了解国内外高超声速稀薄流动的研究现状，结合分子气体动力学 和现有d s m c 的数值方法理论，对d s m c 模拟高超声速稀薄流动中的化学反应进 行了研究，发展建立了一套适用于带化学反应的高超声速稀薄流动的d s m c 数 值模拟程序。综合本文的工作，主要有以下几个方面： ( 1 ) 研究分析了高超声速飞行器在稀薄过渡流区域的流动特征，考察了 国内外在d s m c 数值模拟方法的发展现状。 ( 2 ) 通过学习整理分子气体动力学，尤其是与化学反应关系密切的双原 4 第一章绪论 子分子结构与能态方面的内容，推导出了适用于d s m c 模拟化学反应的分子内 能各模式自由度的表达式及内能各模式的平衡分布函数。 ( 3 ) 给出了d s m c 方法中常用的分子作用势模型，分子物面作用模型和 二元碰撞模型，建立了碰撞分子对的抽样方法和d s m c 的数值模拟框架。 ( 4 ) 根据d s m c 方法中网格的生成原则，发展了一种基于结构贴体网格 下的复合分子运动轨迹跟踪法，有效地处理了d s m c 数值模拟程序中分子的跟 踪、定位及与物面碰撞的过程。 ( 5 ) 推导了气体分子内能松弛概率的表达式，建立了基于 l a r s e n - b o r g n a k k e 唯象法的分子平动、转动和振动能量交换模型，并在此基础上 发展了一种d s m c 唯象化学反应模型。通过数值模拟热浴化学反应，将初始反 应速率、达到平衡时的离解度与理论值进行比较，验证了该化学反应模型的可靠 性。 ( 6 ) 将最大熵方法引入到d s m c 方法中，来消除非平衡态下 l a r s e n - b o r g a n k k e 唯象法中碰撞后分子能量按当地平衡分布取值的假设，建立了 一套适用于求解非平衡效应显著的d s m c m e 化学反应数值模拟程序，并与原 方法一起对高超声速稀薄圆柱绕流进行模拟，通过结果比较来验证所建模型的正 确性。 ( 7 ) 建立了高超声速稀薄流动五组元化学反应的模型的d s m c 数值模拟 程序，并将其用于两种几何尺寸的钝头锥体高超声速稀薄绕流。模拟结果与实验 数据和m o s s 数值模拟结果进行比较，验证了该模拟程序的有效性。 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 d s m c 方法处理气体流动问题是以分子气体动力学为基础的，因此本章将 简单介绍与d s m c 模拟技术相关的一些分子气体动力学内容。同时，由于本文 研究的重点是建立在分子内能行为基础上的化学反应模拟，所以侧重介绍了一些 分子微观结构和内能态的相关内容，这也是本文研究的理论基础。 2 1d s m c 方法的综述 d s m c 方法是一种直接从流动的物理模拟出发的方法，在数学上它收敛于 b o l t z m a n n 方程。实际上两者是通过相同的物理推理得到的。两者均要求分子混 沌和稀薄气体的假设，但d s m c 方法不依赖于逆碰撞的存在，因而可以应用于 像三体碰撞化学反应这样的复杂现象。在处理分子模型和与表面相互作用的问题 上，两者都要引入物理近似，由于d s m c 的物理模拟的本质，引入更复杂和更 真实的模型比较容易，而将真实的复杂的模型引入b o l t z m a n n 方程的数学求解则 很困难。对于处理伴随化学反应和辐射的气体流动，还不存在b o l t z m a n n 方程的 公式表达，而d s m c 方程则是较容易实现的。从这些方面看来，曾经根深蒂固 的一种观点，即一个模拟过程应该是严格从b o l t z m a n n 方程数学推导而来才能得 到接受的观点，就显得过时和不切实际了。可以说，流场越复杂，直接数值模拟 方法就越显出其优越性，而对于大多数工程应用的需要来说，求解b o l t z m a n n 方 程的现今进展尚未能代替d s m c 处理方法。 鉴于d s m c 方法物理模拟的本质，在机理上与连续流动中求解流动传热问 题的方法是截然不同的。它是在微观层次上，直接从分子的运动机理着手，以气 体分子运动论为依据，采用有限个模拟分子代替大量真实气体的分子，通过跟踪 模拟分子的运动轨迹，记录每个模拟分子的状态参数，包括模拟分子的位置坐标、 速度分量及内能，这些状态参数会随着分子的运动、碰撞而不断更新，最后将这 些模拟分子做统计平均，从而得到气体宏观的状态参数。整个模拟是一个时间推 进的过程。所有的计算都是非定常的，定常流作为非定常流的长时间渐近状态而 得到。 分子的运动不外乎三种情况，即分子的迁移运动，分子与分子之间的碰撞， 分子与物体壁面的碰撞。在真实气体流动中，气体分子的运动与碰撞总是互相耦 合的，两种情况往往同时发生，要在计算机中真实地再现这一物理现象极为困难。 6 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 d s m c 方法的关键技术在于，在一定的小时间间隔内将分子的迁移运动与分 子间的碰撞进行解耦处理，即将分子的迁移运动视为匀速直线运动，在其迁移过 程中没有和分子碰撞，并计算模拟分子在r 时间间隔内到达的新位置。将分子 的迁移运动计算完之后，记录该位置，得出模拟分子所属的网格。然后对该网格 内的分子抽取碰撞对，进行碰撞计算，在碰撞的过程中不考虑分子的迁移运动。 如果模拟分子与物面碰撞，则先考虑与物面的碰撞，然后用碰撞后的速度计算分 子的迁移运动，这就是解耦方法。正确的碰撞取样，即恰当地选择碰撞分子对并 实现一定数目的碰撞，使t 时间内碰撞与运动匹配，是模拟与真实流动过程相 一致的关键。d s m c 方法采用几率论而不是决定论的方法计算模拟分子间的碰 撞，因而能够大大减少计算时间。 由以上可知，d s m c 方法是基于以下三方面的假设：( 1 ) 二元碰撞假设；( 2 ) 分子的维数小于分子的平均间距，分子间的作用力仅在碰撞瞬间起作用，分子碰 撞前后作匀速直线运动；( 3 ) 在气体分子的碰撞计算中，必须通过随机抽样，比 如散射角等随机量，才能最后确定碰撞后分子的运动状态，这等价于假定分子处 于浑沌状态。 2 2 流动宏观模型与微观模型 研究气体运动可以采用两种模型，即宏观模型和微观模型。宏观模型将气 体看作是一种连续介质，气体在任何时刻都以质点的形式连续地充满气体所占的 空间。气体的宏观物理量是质点内包含的所有气体分子的物理量的统计平均，是 空间变量和时间变量的连续函数。气体运动状态则由气体质点的运动速度、密度、 压力及温度等宏观物理量随位置及时间的变化得到描述。这就是著名的连续介质 假设。将经典牛顿力学定律和经典熟力学定律应用于连续介质假设之上，并认为 气体质点的变形速度张量与应力张量成线性关系，推导得到控制气体宏观运动的 n a v i e r - s t o k e s 方程。理论正是通过解析方法或数值方法求解n a v i e r - s t o k e s 方程， 给出特定条件下气体宏观运动状况并预示运动发展的趋势。 微观模型或分子模型将气体看作是由无数的离散微观粒子组成的，这些粒 子具有空间位置、速度以及内能模态等状态属性，在微观层次的数学模型就是 b o l t z m a n n 方程。每个分子都在无休止地作无规则运动，分子间频繁地发生碰撞 而相互交换着动量和能量。气体的宏观运动状态就是组成这一气体的所有分子微 观运动状态的总和。如果已知组成气体的所有分子的运动状态，那么在观念上也 就认为气体的运动状态是已知的。d s m c 方法正是依据此事实，通过计算机跟踪 真实的或仿真的气体分子运动，然后对多次的数值采样结果进行统计平均得到描 7 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 述气体运动的宏观物理量。 两种研究方法都是通过统计得到的宏观物理量对所考察的气体运动状态进 行描述，因此两者必然是相互联系着的。研究表明能够从分子气体动力学的 b o l t z m a n n 方程导出气体动力学的n a v i c r - s t o k e s 方程，后者仅是前者的二阶近似。 分子气体动力学方法着眼于分子运动的真实物理过程，因此能够更加深刻地揭示 气体运动的物理本质，且不受连续介质假设的限制，与宏观方法相比具有更为广 泛的适用性。对于过渡流区，或存在着较强的稀薄效应的流动，分子气体动力学 方法则显示出更大的优越性。 2 3 分子平均自由程 分子平均自由程是分子在两次相继碰撞间走过的平均距离，它是分子运动 论的基础性的重要概念，也是划分稀薄流动的重要概念。对于一般分子模型，分 子作用力影响范围很大，要靠规定分子偏转角度大于一定值来界定碰撞的发生， 所以采用分子的硬球模型来阐明分子平均自由程的概念。 设分子直径为d 的硬球，首先计算单位时间内发生的碰撞次数，即所谓的 碰撞频率p 。考察一个试验分子与其它场分子的碰撞。当场分子的中心位于试验 分子中心为球心，以d 为半径的球内时，即发生碰撞。显然，试验分子周围以d 为半径的球在单位时间内扫过的体积乘以场分子的数密度行，即所谓的碰撞频率 y 。为了求得正确的平均值，假设试验分子以平均相对速度。运动。这时，以d 为半径的球单位扫过的体积为；：翮2 ，而碰撞频率v 为 y = c r n d 2 栉 ( 2 - 1 ) 由于一个分子单位时间走过的距离为分子的平均热运动速度c ，显然平均自 由程a 为 2 - 旦= 三 ( 2 2 ) y 巳磁r 因为o = 2 c ，得到平均自由程五的表达式为 旯2 忑纛2 丽m ( 2 - 3 )舾丽2 丽 根据上式可知，在气体中彳p = c o n 3 t ，分子的平均自由程与气体的密度成反 比。 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 2 4 流动分区与努森数 人们在研究流动的过程中，发现流动中某些特征的变化，会引起计算的巨 大偏差。因此，需要根据某些特征，对流动进行分区，然后对不同的流动区域采 取不同的解决方法，以便得出精确的结果。目前，学术界对流动的分区普遍采用 引入努森数k n 的方法。努森数k n 定义为分子的平均自由程五与流动特征长度三 的比值 k n = 2 1 l ( 2 - 4 ) 清楚流动的特征尺寸三，即宏观量梯度的标尺长度为： l = p ( d p o k )( 2 5 ) 按照k n 数的大小，可以将气体的流动问题分为以下几个区域： ( 1 ) k n 1 0 - 2 ，连续流区，此时气体分子之间碰撞频率远比气体分子与物 体之间的碰撞频率高的多，n s 方程适用，并且在气体与固体的交界面处不存在 速度滑移和温度跳跃。通常的传热学与流体力学研究的就是这种情形。 ( 2 ) 1 0 - 2 k n 1 0 ，滑流区，此时气体的流动会显现出与一般流动稍有 不同的现象，这主要表现在边界附近，出现速度在边界的滑移和温度跳跃。滑流 区气体分子之间的碰撞频率仍然比气体分子与物体表面之间的碰撞频率高很多， 但是稀薄气体效应己不能忽略，当前一般的处理方法就是在广大的气体区域仍采 用n s 方程，而边界条件需考虑气体与固体交界处的速度滑移与温度跳跃，其表 达式由k n u d s e n 层内动量能量通量的守恒方程 f = f + ( 1 - o r ) + a t ( 2 6 ) 导出。其中f 为物体表面法线方向的总通量，e 为入射通量，k 为镜面反射通 量，f w 为漫反射通量。此外，d s m c 方法也能够对该区域进行模拟。 ( 3 ) 1 0 。 k n 1 0 ，自由分子流区，此时气体分子间碰撞频率比气体分子和物面 之间的碰撞频率小的多，可以忽略不计，问题的处理较过渡流区容易，该区域内 流动与传热问题的求解依靠分子运动学方法或者d s m c 方法。 钱学森将滑流区、过渡流区和自由分子流区认为是稀薄气体流动区域。从 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 分区中可以看出，不能用连续介质的假设去研究过渡领域问题，必须考虑稀薄效 应的影响。 2 5 分子的结构与能态 2 5 1 分子的内能模态 标准状态下空气是由7 6 3 ( 摩尔比) 的，和2 3 7 的d ，组成的混合气体。 这两种气体分子都是双原子分子，因此本节以双原子分子为主来介绍分子的结构 与能态。 描述原子分子系统的结构和内能能态的出发点是量子力学或波动力学。对 于质量为m 的质点，波函数y 依赖于坐标x ，y ，z 。s c h r o d i n g e r 。”提出假说，y 满足如下方程 害+ 害0 y + 害+ 乎h c e 川妒= 。， 缸2 。2 瑟2 。 2 、“7 。 ”。7 式中v 为系统势能；e 为质点的能量；h 为p l a n c k 常数= 6 6 2 6 x 1 0 - 3 4 出。 该方程的解自然应满足单值、有限、连续并在无穷远处为零的条件。这只有在特 定的能量值e 下才有可能，这样的e 值称为本征值，即稳定态的能量值。这样的 能量值通常是间断的，即能量是量子化的。相应的方程的解( 或甲= 勘i ( e h ) t ) 称为本征函数。 双原子分子的核，由于质子的存在本身是相互排斥的，是外层电子的相互 作用使原子保持在一个分子中。设圪为分子的电子势能，为核的c o u l o m b 势 能，则分子系统的势能v v = 圪+ 圪 ( 2 8 ) 求解控制双原子分子的s c h r o d i n g e r 方程，可得到解，写为 y = ( 2 9 ) 由此，通常将分子的内能分成为电子能、振动能和转动能三种模式。 双原子分子的两个核可能做两种模式的运动，即围绕通过两个核的质心并 与两个核的连线垂直的轴进行的转动，和沿着核的连线的振动。与此对应，在一 级近似下，本征函数可以表达为 1 0 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 ：! 虮” ( 2 1 0 ) 妒。= 一虮” l 厶l w 式中帆是线性谐振子的本征函数，只依赖于( ，一) ；，是瞬时核间距离；名 是平衡时的值；是刚性转子的本征函数，这时的核间距保持平衡时的数值， 仅依赖于分子在空间的方位，= ( p ，妒) ，日，妒为天项角与方位角。以下分 别讨论谐振子与刚性转子。 谐振子是指一个质点其所受力f 正比于其偏离平衡的距离x 并指向平衡位 置 f = 一h ( 2 1 1 ) 其中七为力常数，等价地，势能可表达为 矿= 当h 2 ( 2 1 2 ) 也就是说，谐振子模型用抛物线来近似分子的势能曲线。两个原子质量分 别为m i 、m 2 的双原子分子的简谐振动可以归纳为质量为折合质量肌。 m e2 瓦- - i 1 - - 酉z m m ， 的一个粒子偏离平衡位置x 的运动。经典力学给出 埘。粤：一缸( 2 - 1 3 ) 埘c 孑一舡 从而得到振动频率为 归去赝 叫 这样，通过分析求解s c h r o d i n g e r 方程，即可得到谐振子的量子化( 间断的) 能级 气。= ( 疗+ 委) 伽，n = o ，1 ，2 ，3 ( 2 - 1 5 ) 为振子量子数，给出量子能级的序数。 刚性转子或“哑铃”模型是表征双原子分子转动的最简单的模型：质量分 别为m i 与鸩的两个质点固定在一无重量刚性棒的两端( 长度，保持不变) 系 统的转动惯量为 i = m l r l 2 + m 2 r 2 2 ( 2 1 6 ) 式中 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 厶 ，i 2 m t + l m 2 7 ， 根据折合质量= 名鲁兰云，可变为 m i 眨2 m 1 + m 2 ， i = m 。r 2( 2 1 7 ) 经典力学转子的能量e ：三砌2 ，与角动量p ：砌之间有关系式 肚等 因转子为刚性，矿= 0 ，s e h r o d i n g e r 方程为 誓+ 等+ 等+ 字地= 。 量子力学给出，上式的单值、有限、连续且在o o 处为0 的悱，仅当转子的 能量e 取如下的间断的本征值时才有可能 = 岳叫+ 1 ) - 0 ，1 ，2 ， ( 2 - 2 。) 这就是转子的能级表达式，它以平方规律增长( 能级间距以等差级数增长) ， ，为转动量子数。 在上面的讨论中我们已将分子的能量分成为电子能、振动能和转动能三种 模式，对振动能和转动能已简要的给出了表达，但对电子能级还没有给出准确的 定义。一般将给定稳定电子态的势能函数的最小值定义为该电子态的电子能并用 巳来标记。用d 标记分子的线性尺度，电子能乞与质量为m 的电子在分子尺度d 内的运动相联系，其线速度v 的量级，根据h e i s e n b u r g 测不准原理可以估计为 h 埘d 岛的量级为m v 2 ，即 毛子 ( 2 2 t ) 振动能量氏根据式( 2 1 5 ) ，可知其量级为h ( k m ) “2 ，这里m 为核的质量。 力常数k 的量级可以这样得到，将核间距离改变d 会引起电子波形的畸变，相应 势能变化材2 ，其量级应相当于电子能，故有 第二章分子气体动力学与d s m c 描述 k ，l d l 从而得到氏的估值 和( k 胪箍居巳 ( 2 - 2 2 ) 转动能。的量级根据式( 2 - 2 0 ) 为 印上三( 2 - 2 3 ) m d 2r 面e