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乍 、 摘要 无网格法在分析钢筋混凝土板中的应用 摘要 无网格伽辽金法是近年发展起来的与有限元相似的一种数值方法。它采用移动 最小二乘法构造形函数，从能量泛函的弱变分形式中得到控制方程，并用罚函数法 施加本质边界条件，从而得到偏微分方程的数值解。该法只需节点信息，不需将节 点连成单元；此外，还有精度高、后处理方便等优点。 无网格伽辽金法的数学基础是移动最小二乘法。用移动最小二乘法构造形函数 时，只需在求解的区域内布置一系列的节点。因此，无网格伽辽金法可以不需单元。 但是，移动最小二乘法的近似函数不一定精确地通过计算点，除非使用奇异的权函 数。因此，本质边界条件的施加和集中载荷的处理变的复杂；但与这种方法带来的 优势相比，是微不足道的。 本文系统介绍了无网格法发展现状及无网格伽辽金( e f g m ) 的基本理论，着重阐 述了基于移动最小二乘法的无网格伽辽金法的基本方程。并从经典板弯曲理论出发 推导了无网格法板弯曲刚度方程。算例表明，该法解决实际问题是有效的。 目前无网格伽辽金法研究都集中在线弹性材料上，本文首次将有限元中应用成 熟的板的分层计算法引入无网格法中并且首次将o t t o s e n 本构模型并h k u p f e r 强度破 坏准则应用到无网格法中，对钢筋混凝土板进行了非线性无网格分析，并与t a y l o r 实验结果进行了对比，表明采用无网格法解决混凝土非线性问题是可行的。 关键词：移动最小二乘法，无网格伽辽金法，o t t o s e n 本构模型，分层法， ， 鼻 、 摘要 a p p l i c a t i o no fm e s h l e s sm e t h o dt o c a l c u l a t i o no fr e i n f o r c e dc o n c r e t ep l a t e s a b s t r a c t e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f g m ) ，s i m il a rt of i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， i san e wn u m e r i c a lm e t h o dd e v e l o p e dr e c e n t l y i ne f g m ，i no r d e rt og e ta n u m e r i c a ls o l u t i o nf o rap a r t i a ld i f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h es h a p ef u n c t i o n i sc o n s t r u c t e db ym o v i n gl e a s ts q u a r e s ( m l s ) ，t h ec o n t r o le q u a t i o ni sd e r i v e d f r o mt h ew e a kf o r mo fv a r i a t i o n a le q u a t i o na n de s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s a r ei m p o s e db yp e n a l t yf u n c t i o nm e t h o d t h ea d v a n t a g e so fe f g ma r e ：( 1 ) o n l y n o d a ld a t a sa r en e c e s s a r y ，i e t h e r eisn on e e dt oj o i nn o d e si n t oe l e m e n t s ( 2 ) h i g ha c c u r a c yc a nb ea c h i e v e d ：( 3 ) p o s t p r o c e s si se a s y ，e t c t h em a t h e m a t i c a lb a s i so fe f g mi sm o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d t ou s e m l si ti so n l yn e c e s s a r yt oc o n s t r u c ta na r r a yo fn o d e si nt h ed o m a i nu n d e r c o n s i d e r a t i o nj u s tb e c a u s eo ft h i s ，e f g mi sc o m p l e t e l yf r e e m o v i n gl e a s t s q u a r e si n t e r p o l a n t sd on o tp a s st h r o u g ht h ed a t ab e c a u s et h ei n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n sa r en o te q u a lt ou n i t yt h en o d e su n l e s st h ew e i g h tf u n c t i o n sa r e s i n g u l a r t h i si so fd i s a d v a n t a g ei ne f g mf o ri tc o m p l i c a t e st h ei m p o s i t i o n o fe s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h ea p p li c a t i o no fp o i n tl o a d s h o w e v e r ， t h e s ed i s a d v a n t a g e sa r eh e a v il yo u t w e i g h t e db yi t sa d v a n t a g e s t h ep a p e rs y s t e m a t i c a ll yi n t r o d u c e sp r e s e n td e v e l o p m e n to fe l e m e n tf r e e m e t h o da n dt h eb a s i ct h e o r yo fe f g m ，a n dm a i n l y d e s c r i b e st h ee q u a t i o nb y w h i c ht h em o v i n gl e a s ts q u a r e ( m l s ) i sa p p r o x i m a t e l yu s e dt od e d u c ee f g m ， m e a n w h il e ，d e d u c e st h ee f g ms t i f f n e s sm a t r i xo fb e n d i n gp l a t e s t h e c a l c u l a t i o ns h o w st h a tt h i sm e t h o di sf e a s i b l ei np r a c t i c e i i l y 鲞 、i 摘要 i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h el a y e r e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o dt ot h ee f g m ， a n do t t o s e nc o n s t i t u t i v em o d e li sa d o p t e d ，a n dk u p f e rs t r e n g t hp r i n c i p l ei s s e l e c t e da sd e s t r u c t i v ep r i n c i p l e ，t h ec o n c r e t ep l a t e si sa n a l y z e db yu s i n g n o n l i n e a re f g m ，t h ec a l c u l a t i o nr e s u l tb yn o n l i n e a re f g mi sc o m p a r e dw i t h t h et a y l o re x p e r i m e n t a t i o n ，t h ec o m p a r i n gp r o v e st h a te f g mu s e dt od i s s o l v e t h ec o n c r e t en o n l i n e a rp r o b l e mi sf e a s i b l e a u t h o r ：f a ny o n gl i ( e n g i n e e r i n gm e c h a n i c ss p e c i a l t y ) d i r e c t e d ：v i c ep r o f e s s o rd i n gc h e n g h u i k e yw o r d s ：m o v i n gl e a s ts q u a r e s ，e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ， o t t o s e n c o n s t i t u t i v em o d e l 。l a y e r e d f i n ii t ee l e m e n tm e t h o d i i i l 厂y 独创性声明 y 9 2 8 7 6 6 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南昌土学或其他教育机 _ _ 。_ _ _ _ - _ - _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 一 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：戈自( 坝 签字目期：矿多年反臼g 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌土学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留差向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权南昌土学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 戈虱纠 导师签名： 了坊参争 签字日期：年口f 月，f 日签字日期：，多年矿妇 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 工程实际中许多力学问题都可以归结为在给定的边界条件下，求解一组偏微分 方程组。在理论上，这种边值问题有唯一确定的解，但一般难以求得解析解。这是 由于边界的几何形状或问题本身的一些特性很复杂。克服这些困难的补救办法是对 问题作较多的简化假设，使问题能够求解，但是这样做的结果往往导致精度太差， 有时甚至得出错误的解答。 以前，在得不到解析解的时候，人们或者采用差分法，按差分格式离散以获得 数值解：或者按问题的特点，选取试函数，采用里兹法或伽辽金法等近似方法来获得 近似解。这些近似法总有这样或那样的缺点而不能令人满意。现在由于电子计算机 的迅速发展和计算方法的新进展，可以在保留问题复杂性的前提下设法去寻找它的 近似解。 有限元法的思想最早出现在c o u r a n t1 9 4 3 年所发表的一篇文章中。当时由于受 到一些客观条件的限制而未能得到很快的发展。n 5 0 年代，由于工程分析的需要， 计算工具和计算方法都已具备了一定的条件，有限元法在分析复杂的航空结构中最 先得到应用，并且逐步显示出了巨大的优越性，迅速被众多的科学家和工程师所接 受。有限元法把差分法的离散改造成更为灵活的有限元离散，把里兹法全域内的试 函数近似换成局部区域( 即单元) 内的插值函数近似，以变分原理作为推导的根据， 充分利用电子计算机的计算能力，从而开拓了现代数值方法的广阔领域。 有限单元法是对某些工程问题求得近似解的一种数值分析方法。这种方法是将 所要分析的连续物体或工程结构分割为很多较小的区域( 称为单元或元素) ，这些单 元的集合体就代表原来的物体或工程结构，然后建立每个单元的有关特性的关系式， 再组合起来就能求得相应物体或工程结构问题的解答。这是一种从部分到整体的方 法，分析过程大为简化。从数学角度来说，有限单元法是从变分原理或加权残数法 ， 第一章绪论 出发，通过区域剖分和分片插值，把微分方程的边值问题化为等价的一组线性代数 方程来求解。 在有限元法中，最终求解的是线性代数方程组，它的系数矩阵总是对称的，对 于正定的变分问题，有限元离散化后保持了正定性，而且有限元法的系数矩阵是稀 疏的。有限元法不仅适应复杂的几何形状和边界条件，而且很容易通过对不同的单 元规定不同的性质，成功地用于多种介质和非均匀连续介质的问题。这是其它数值 方法最难于处理的问题。人们已用它来求解各种力学和非力学问题，线性和非线性 问题，均取得很好的成效。有限元法特别适合于求解大型复杂结构的静力学和动力 学问题。有限元法还允许把求出各种问题的程序纳入到一个程序系统以形成通用程 序包。现在功能齐全的大型通用程序包己经商品化，在科学研究和工程应用中起到 了愈来愈大的作用。 尽管有限元法所取得的成就与日俱增，但有限元法还不是十全十美的，改进有 限元法的努力一直进行着。但有限元法的某些不足是有限元法固有的，是无法克服 的。例如：有限元法不大适合求解无限边界场域边值问题，而只能求解有界问题，因 为用有限个单元离散无限域显然是不可能的。因此对无限域问题只能人为地截取有 限域。用有限元法难于处理的另一类问题是域内具有应力奇异的问题。在固体力学 问题中，这类应力奇异通常发生在不规则的凹角或孔洞附近。由于应力奇异可能引 起断裂扩展，因此在奇异点附近能否得到一个较为精确的解答，有时就显得十分重 要。但是在奇异点处，理论上应力为无限大，用有限元法可能产生毫无意义的分析 结果。类似的情况也可能发生在有集中载荷处，如在势论问题中有点源存在处。在 这些情况下，不论单元划分得多么细小，用有限元法得到的结果通常不可能反映出 它们在奇异点附近的迅速变化。有限元法需要在整个求解域上进行离散，虽然目前 有一些网格生成器，但要对形状复杂的三维体进行网格剖分，仍然不是一件轻松的 事，而且导致问题的自由度和原始信息量大。有限元法的离散技术本身也存在着缺 陷，它把本来是连续的介质用仅在节点处连接的有限个单元的集合来模拟，这样不 仅带来了离散的误差，而且在单元间的连续性要求较高时，单元的构造很困难。另 外，用位移型有限元法求解出的应力精度低于位移的精度以及对于不可压缩物体存 在体积闭锁现象等。 ， 第一章绪论 为了弥补有限元法的不足，许多科学工作者不断地致力于研究新的数值方法。 边界元法是继有限元法之后的一种别具特色的新的数值方法，它是将描述弹性力学 问题的偏微分方程边值问题化为边界积分方程并吸收有限元的离散化技术而发展起 来的。将弹性力学问题归结为求解一组边界积分方程，若在边界上已知了三个位移 分量和三个面力分量中的三个分量，则由边界积分方程可以确定其余三个未知分量， 而任意内点的位移和应力可由6 个边界分量通过边界积分来确定，这就是边界积分方 程方法。边界积分方程有奇异性，解析求解非常困难。有限元法所取得的成就吸引 人们对边界积分方程在边界上划分单元进行离散，然后由全部边界节点的三个已知 边界分量求出全部边界节点的另外三个边界分量，这就是边界元法的由来。边界元 法中包含有限元法的思想，它把有限元法的按求解域划分单元离散的概念移植到边 界积分方程方法中，但边界元法不是有限元法的改进或发展，边界元法与有限元法 存在着本质的差异。 边界元法具有有限元法所没有的优点。由于边界元法的离散处理仅涉及边界， 整个域内不再出现待求参数，因此，其待求参数的数目可以比有限元法( 需同时将全 域和边界离散) 所用的少很多，使方程规模缩小，故边界元法可以用较少数量的未知 数分析有限元法同样的问题。边界元法的这个特性使得它在三维问题中特别具有吸 引力，因为在三维问题中，求解区域的外表面对体积的比值是很小的。由于边界元 法能使问题降一维，并且分析同样一个问题比有限元法简化了输入数据的准备工作， 因此，边界元法一般能节省计算机内存、机时和人的数据准备工作量，使解题较为 经济。边界元法在得出边界近似解之后，虽得不到解析显式，但可以逐点计算域内 点的近似解，而有限元法则必须同时对所有域内的结点联立求解。因此，当只需对 个别点求解时，边界元法较简便。 由于边界元法采用无限域的基本解自然满足场域无限远处的条件，用边界元来 求解有限元难以求解的无限域问题是非常合适的。另外，对应力奇异问题也特别适 用，易于处理，边界元法在理论上能够计算任意点处的解答，不论这些点在非常遥 远处或是在离奇异点为任意小的距离处，因为边界元实际上摆脱了有限元法中存在 的这样一个约束，即必须在一个给定的网格各点上寻求问题的解答。 实际上，任何一种方法都不是十全十美的，边界元法也有其自身难以克服的缺 ， 第一章绪论 点。用边界元法求解边值问题需要找到控制微分方程的一个基本解或控制微分方程 在无限空间上的格林函数，这对于某些问题是十分困难的。为了保证边界元法求解 的控制方程为常系数偏微分方程，一般还要求求解区域是均匀介质的。因此，边界 元法比较难于求解控制微分方程为非线性的问题和含有非均匀介质的问题：虽然边 界元法可以把问题的维数减少一维，但所得的系数矩阵是一个非对称、非带状和非 稀疏的满秩矩阵。特别是在求解非线性问题时，不可避免地包含非线性项的域积分， 因而就必须在域内划分单元或网格用以计算非线性项的域积分，而这些积分的精度 在非线性问题的收敛性中起支配作用，因此域内单元或网格的划分就不能太粗糙。 这样边界元法可以把问题的维数减少一维的优越性就不显著了。 有限元、边界元等方法是求解边值问题强有力的数值方法【1 】。这类方法都是以 单元为基础的，因此存在一个共同的缺点是，每次计算前都要剖分网格，数据准备 工作量大，尤其是对三维问题。当这类方法用于自适应计算或模拟裂纹扩展时，一 般要不断更新网格( r e m e s h i n g ) 。虽然目前已有一些网格生成器，但人们还是觉得准 备数据占用机时多，不方便1 2 , 3 。因此，人们呼唤一种不划网格的数值方法，即无网 格法( m e s h l e s sm e t h o do rg r i d l e s sm e t h o d ) 1 2 无网格法的研究现状 无网格法就是采用对所考虑问题域内随机分布点的变量的值( 或名义节点值) 的 局部插值函数作为试函数，来满足数值求解的局部性要求。无网格方法具有灵活， 容易实施数值计算，求解精度高，在离散模型中不需要划分单元( 在边界上) 和网格 ( 在域内) ，在未知变量急剧变化的地方，只需增加节点，对求解复杂边界问题极具 灵活性，特别在工程应用中容易实现智能和自适应算法等优点，所以近些年来，这 种方法已被广为推广和应用 i - 4 5 。 追溯起来，无网格数值方法的研究已有2 0 多年的历史。1 9 7 7 年，l u c y 4 1 提出了 一种新的数值方法一光滑粒子水动力学方法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ： s p h ) ，s p h 是一种纯拉格朗日方法，不需网格，在天体物理领域里得到了成功应用。 ， 第一章绪论 近几年，s w e g l e 【1 2 】，d y k a 1 3 1 等人提出ts p h 方法不稳定的起因及稳定化方法： j o n h s o n 和b e i s s e l 1 4 1 等人提出了一些改善应变计算的方法：l i u 1 5 1 等人提出了对核 函数的修正方案。 另外一条构造无网格方法的途径是采用移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e s m e t h o d ，简记为m l s ) 进行近似。m l s 最早由l a n c a s t e rp 等【1 6 1 提出，用于构造插值函 数来拟合曲线和曲面，n a y r o l e s 等【5 】在研究有限元法的过程中，提出使用一种被称 为“弥散单元”( d i f f u s ee l e m e n t ) 的新的单元类型。事实上，他们是将移动最d - - 乘法近似用于g a l e r k i n 方法中，并将之称为弥散单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d s ， 简称d e m ) 。在这种方法中位移函数的形成和区域积分的实现都可以脱离单元的概念。 b e l y t s c h k o 等( 1 9 9 4 ) 对此做了进一步改进，这些改进包括 1 , 2 , 3 , 1 9 1 ：( 1 ) 对形函数导数 考虑得更全面；( 2 ) 采用高阶高斯积分完成区域积分；( 3 ) 引入l a g r a n g e 乘子法施加 本质边界条件。这些改进使得d e m 求解精度更高，更具发展前途 1 , 3 1 。 b e l y t s c h k o 等称改进后的d e m 为无单元伽辽金法( e f g m ) ，也有的学者将之简称为无单元法。无网 格伽辽金法与有限元法极为相似，都是基于伽辽金公式，采用局部插值函数作为试 函数来求得近似解。它们之间关键的不同之处在于插值方法、积分方式及本质边界 条件的施加方法。 无网格伽辽金法就是无网格法的一种，但它不是真正的无网格法，因为积分时 仍需背景网格。所幸的是这种网格与节点无关，可以非常粗糙地划分。鉴于无网格 伽辽金法的众多优点，近年来它吸引了大量研究人员的注意，做了大量深入的研究。 1 9 9 8 年，周维垣等 1 7 , 1 s 对其在平面弹性连续体问题中的应用做了探讨。他在前 人工作的基础上，做了些改进：( 1 ) 对高斯权函数、样条权函数作了研究，提出了一 种新的权函数；( 2 ) 采用罚函数法引入边界条件，对面约束、点约束以及各种面力的 处理都提出了解决方案；( 3 ) 对积分方法、支持域、高斯点等一些关键问题进行了探 讨，并用更丰富的工程实例说明了无网格伽辽金法( e f g m ) 的应用。 周小平、周瑞忠等【2 0 】对无网格法的插值函数进行了专门的论述，提出使用动态 单元法( d y n a m i c e l e m e n tm e t h o d ) 来理解无网格法，并着重讨论了移动最小二乘函 数中的矩阵a ( x ) 的相关问题，给出了无网格法比有限元法具有更高的精度、更高次 ， 第一章绪论 连续性的直观解释。 庞作会等瞄1 讨论如何用无网格伽辽金法求解集中力问题，同时在前人工作陇1 9 1 的基础上，提出了无网格伽辽金法的一种点积分形式，并给出了相关算例。但是， 点积分实现e f g m 时，积分点多少个合适，没有给出理论上的证明。从算例来看，点 积分的总积分点数与高斯积分的总积分点数大致相当即可。 由于无网格伽辽金法的近似函数不通过结点变量，即妒， ，) 磊，无网格伽辽 金法的一个难点是本质边界条件的引入。在目前的发展状况下，通常使用的方法有 ( 1 ) l a g r a n g e 乘子法【3 ，2 1 1 。这种方法是通过l a g r a n g e 乘子引入本质边界条件，因此不 要求近似函数满足本质边界条件。l a g r a n g e 乘子法最大的缺点是它引入了新的未知 量，并且使离散方程的系数矩阵不再具有正定、带状的特点。但是，l a g r a n g e 乘子 法是引入本质边界条件最精确的方法，因此对于规模较小的问题，这种方法是非常 适用的；( 2 ) 修正的变分原理方法【2 6 1 。这种方法是将l a g r a n g e 乘子用相应的物理量 代替，这样就可以避免由乘子未知量产生的不良影响，还可以保持方程的带状特性， 从而求解工作量e l l l a g r a n g e 乘子法要减小许多；( 3 ) 罚函数法 1 7 , 1 8 , 2 8 , 3 6 。这种方法具 有实施简单，不引入新的未知量等优点。但是，本质边界条件只能近似地得到满足， 罚数口越大，本质边界条件的满足就越好。实际计算中罚数。不可能取得无穷大， 而只能取为较大的有限值；( 4 ) 与有限元藕合法 2 7 】。将有限元法和无网格伽辽金法 耦合起来使用的方法具有很大的优点 2 7 , 2 9 1 。通过与有限元法的耦合，我们可以将本 质边界条件区域用有限元法近似，这样就可以方便地施加本质边界条件了。 k r y l 等3 3 i 对无网格伽辽金法在薄板弯曲问题中的应用做了探讨，张伟星等 3 4 】 对其在钢筋混凝土筏板中的应用作了研究，张建辉等 3 5 1 又对其在筏板基础中的应用 作了研究，所有算例均表明无网格伽辽金法在解决要求插值函数c 1 连续的板弯曲问 题是合理可行的，其优势是明显的。 n a g a s h i m a 和0 u a t o u a t i 等 3 0 3 2 1 对无网格伽辽金法做了些改进，然后将其推广应 用于结构的模态分析，得到了很好的结果。这表明无网格伽辽金法在动力学分析中 的应用也是合理可行的，值得深入研究。 陈建、吴林志等【3 6 1 对无网格伽辽金法在功能梯度材料( f g m ) 断裂行为方面的应 第一章绪论 用进行了一定的尝试。算例计算结果表明，该方法具有较高的计算精度，其分析f g m 材料断裂行为的有效性、灵活性且不受材料特性参数随坐标连续变化的影响，可以 方便、准确地得到弹性模量梯度变化对应力强度因子的影响规律。而通常有限元法 在分析该类问题时，往往需要大量节点和单元，处理困难，难以得到满意的结果。 可以预计，无网格伽辽金法在f g m 之类的非均匀材料的力学行为分析方面是非常合适 的，还可以得到更为广泛的应用。 刘欣、朱德憋等【3 刀针对平面弹性问题发展和推导一种显式后验误差指示公式， 对平面裂纹实例进行了h 型，p 型，h p 型三种不同类型的的无网格自适应分析。 庞作会、朱岳明等【2 5 1 探求采用无网格伽辽金法求解接触问题。该文采用的方法 是将k a t o n a 界面单元引入无网格伽辽金法。在无网格伽辽金法中引入界面单元，总 的原则与有限元( f e m ) 中引入界面单元一样，具体过程有些不同。即，根据点对状态 修改总刚及荷载矩阵时，点对支持域内其它节点上的数据也要修改。造成这些不同 的原因在于无网格伽辽金法是通过移动最小二乘法构造出位移函数。这是无网格伽 辽金法在求解非线性问题应用中的尝试。 a t l u r l 等人 4 4 , 4 6 提出了另外一种无网格法一无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 方 法。这种无网格法在积分时也不再需要背景网格，是一种真正的无网格方法。a t l u r i 等人首先将这种方法应用于求解调和算子的拉普拉斯方程和泊松方程。龙述尧【4 5 1 又 将这种无网格法推广应用于求解弹性力学平面问题。这种方法采用移动最小二乘近 似函数作为试函数，并且采用移动最小二乘近似函数的权函数作为加权残值法的加 权函数：同时这种方法只包含中心在所考虑点处的规则局部区域及其边界上的积分， 所得系统矩阵是一个带状稀疏矩阵。算例结果证明：该方法具有收敛快，精度高等 优点。 但是，无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 方法的积分是在包含中心在所考虑点处半径 为r 。的圆域q 。及其边界上进行的，这种圆域q 。就相当于无网格伽辽金法中的背景 网格，而且影响求解结果的局部域半径r 。的选取又没有具体的公式可遵循。从理论 上讲，只有所有子域并集覆盖了整体域q ，即uq 。cq ，求解的结果才能满足整体 域及其边界上的平衡方程和边界条件。这样，计算量显然比无网格伽辽金法要大， 第一章绪论 计算效率比无网格伽辽金法要低。 我们可以看出，无网格伽辽金法与无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 方法都是与有限 元相似的数值方法。无网格局部边界积分方程方法 3 8 4 4 1 则是从边界元的基础上发展 起来的。z h u 和z h a n g 等 3 8 1 首先将无网格局部边界积分方程方法应用于求解调和算子 n 0 拉普拉斯方程和泊松方程，z h u 署l z h a n g 等 4 0 1 用其求解位势非线性问题，龙述尧等 4 3 1 又将该方法推广应用于求解弹性力学平面问题，s l a d e k 和a t l u r i 等 4 2 1 进一步用 该方法求解各向异性材料的弹性力学平面问题。这种方法采用局部边界积分方程来 表示所考虑点的未知函数值，并包含该点的支持域内其它点的值。在局部边界积分 方程中，用于近似函数的试函数的连续性要求可以大大降低，在构造系统刚度矩阵 时，通常不需要形函数的导数：当采用非插值型的移动最小二乘函数用作试函数时， 本质边界条件也可以直接施加进去，这比无网格伽辽金法及无网格局部 p e t r o v - g a l e r k i n 方法都有优势。而且，这种方法积分时也不再需要背景网格，同样 是一种真正的无网格法。 但是，无网格局部边界积分方程方法也有其固有的缺点。在用无网格局部边界 积分方程方法求解由微分算子所控制的边值问题时，除了需要所求问题微分算子在 无限空间中的基本解外，还需要所求问题微分算子在球域上( 对三维问题) 或圆域上 ( 对二维问题) 的“友解 ( c o m p a n i o ns o l u t i o n ) 。但是有些问题的友解不容易求得， 这就给无网格局部边界积分方程方法的应用带来了局限性。无网格局部边界积分方 程方法的积分是在所考虑点处半径为r 。的圆周a q ，上( 有些问题包含域积分) ，这种 圆域q ，就相当于无网格伽辽金法的背景网格，而且影响求解结果的局部域半径r 。的 选取同样没有具体的公式可遵循。另一个令人感到棘手的是奇异性问题。虽然a t l u r i 和s l a d e k 等 3 9 , 4 1 1 对奇异性问题进行了讨论，但所得的计算公式不够简便。 此外，参照无网格伽辽金法的理论形成了一种被称为“流形元法”的新的数值 方法【4 7 5 0 1 ，这也是一种无网格方法，有些研究人员正在致力于研究。 1 3 钢筋混凝土板的非线性分析基本方法 钢筋混凝土板的非线性分析基本方法一般有两种，即极限分析和有限元分析。 ， 第一章绪论 1 3 1 极限分析 极限分析理论假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构达到塑性极限状态 时的行为，在分析中忽略弹性变形的影响。长期以来，各国学者在钢筋混凝土板的 极限分析方面进行了系统而广泛的研究，发展了不同的实用分析方法，如塑性铰线 理论( 又称屈服线法) 、机动法、平衡法、条带法 5 4 1 5 5 l 等，解决了大量的实际工程 设计问题，取得了很大的进展。 屈服线理论【5 4 】是最常用到的极限分析方法。它研究板可能出现的各种破坏图 形，确定可能的机动容许的位移场。根据结构极限分析方法的上限定理，穷举所有 可能的破坏模式，根据虚位移下屈服线截面内功之和等于外力虚功，分别计算其极 限荷载，其最小值就是钢筋混凝土板的极限荷载值。它十分明了且简单实用，使问 题求解大为简化。一些学者还基于该方法给出了按塑性设计的双向板的计算表格， 如蔡绍怀 5 6 1 的b w d 法，以及易伟建 5 7 1 发展了b w d 法，提出的钢筋混凝土周边支承板 的塑性调幅设计法。但由于屈服线理论只能给出结构的极限荷载及破坏图形，不能 给出结构的内力以及变形发展全过程，也不能描述裂缝的形成和扩展以及结构破坏 过程和形态，因此不利于揭示结构的薄弱部位和环节以利于结构的优化设计。遇到 复杂情况不易判断和确定正确的破坏机构图形，而且板中内力除屈服线截面外都不 清楚，给合理配筋及确定钢筋截断点等都带来较多困难。 h i l l e r b o r g 提出的条带法1 5 8 则恰恰相反，它根据极限分析的下限定理建立， 即选择一个满足平衡条件的内力场，然后按照各点内力大小确定板的截面尺寸及板 内配筋，以满足屈服条件。条带法的基本思想是将板分解成单独在x 方向和y 方向工 作的一系列梁，同时将作用在板上的荷载也分解成沿x 方向上的荷载和沿y 方向上的 荷载。这样就将双向工作的板的分析变换为沿x 和y 方向的两组梁的计算问题。这种 方法永远是偏于安全的，但是只适用于己知荷载下板的设计问题，不能用于已知板 的截面强度求极限荷载问题。 极限分析方法用于分析钢筋混凝土板，还存在两个主要的不足之处 5 8 1 ： ( 1 ) 钢筋混凝土板中存在的薄膜效应对板的承载力有较大的影响。在支承边界 受到水平约束条件下，板的极限承载力可以数倍于边界未受水平约束的板的极限 ， 第一章绪论 承载力。它主要与下列因素有关：板边界约束程度、板内配筋率、跨度比。用极限分 析方法从理论上难以得到满意的结果，往往不得不根据试验加以修正。 ( 2 ) 2 0 世纪7 0 年代n i e l s e n 等曾试图用极限分析理论求解混凝土和钢筋混凝土的抗 剪问题。但是由于极限分析原理主要是针对金属类塑性材料发展起来的，因此对于 混凝土这类脆性材料特别是素混凝土和由混凝土对承载力起控制作用的问题，求解 时遇到较大的理论困难。 1 3 2 有限元分析 钢筋混凝土板的非线性有限元分析可以归类为以下三种模型【5 9 】 ( 1 ) 修正刚度模型( m o d i f i e ds t i f f n e s sm o d e l s ) ：最 早由j o f r i e t 和m c n i e c e 【6 0 1 ，其后v e b o 6 1 1 ，b a s h u r 6 2 1 、 胡成【6 3 1 等采用的修正刚度模型，考虑了开裂并采用正 交异性弯曲刚度来改变每个单元的材料性质。这些刚 度可以由试验，根据简化的双折线弯矩一曲率关系的 理论确定，或者由开裂截面的分析计算求出j 分析时 圈l 1 修正刚度横跫 可把正交钢筋( 穿过与主弯矩相垂直的裂缝) 的有效贡 献考虑进去。但这种方法不能够考虑沿板厚的逐步开裂以及平面内应力的作用。如 图1 1 ，可利用板条梁的三折线的m 一矽关系来模拟板在受荷全过程中弯曲刚度的变 化，图中，m r 、m ，、m 。和r 、矽，、吮和b 彤、b 咖、b 幽分别为混凝土开裂、钢 筋初始屈服和极限破坏时的弯矩、曲率和抗弯刚度。这类模型，没有从材料本构层 面对刚度进行的判断，而直接用一个公式综合考虑混凝土受压非线性，截面开裂， 以及粘结滑移等所有的非线性问题。 ( 2 ) 分层模型( l a y e r e dm o d e l s ) ：在分层模型中，( 见图1 2 ) ，板单元是由许多平 行的一层层材料组成，钢筋层被夹在混凝土层之间如同三明治。早期的层状单元 法建立在k i r c h h o f f 假设之上，女h h a n d 【6 4 1 ，l i na n ds c o r d e l i s 【6 5 1 ， w a n c h o o f 6 6 1 ， 使得问题基本上作为二维情况来对待，每层混凝土假定处于平面应力状态，它的性 质是由二向应力一应变关系和二维破坏准则来定义的。而钢筋则作为一层正交异 性材料来看待。国内学者对于钢筋混凝土板的非线性有限元研究主要也是采用分 第一章绪论 层模型，如董振祥6 7 1 、胡再龙郴】，采用薄板理论，不计横向剪切变形影响，破坏 准则采用常用的二维破坏准则，所得的荷载一挠度曲线与试验结果比较吻合。 b a r z e g a r 【6 9 】对早期层状单元作了改进，在r e i s s n e r m i n d l i n 假设基础上考虑剪切变 形的影响，但对混凝土仍采用二维本构模型和二维破坏准则。因此上述模型只能 描述垂直裂缝，不能判断板的剪切破坏。 钢筋层 图1 2 分屡横型 ( 3 ) 空间单元模型( s p a c ee l e m e n tm o d e li n g ) ：空间单元模型将板视作三维实体， 可通过在厚度方向上取一定数量的高斯积分点来计算沿厚度方向的积分。这种方 法最早e 自b e r g 等提出，由于板壳单元沿厚度方向应力和应变是变化的，文献】 认为空间单元模型的缺点是不能很好地模拟沿厚度方向非线性过程( 开裂等) 的逐 步开展情况。 钢筋混凝土板有可能发生多种破坏情况，如弯曲破坏、剪切破坏、弯剪破坏， 用有限元方法可以很好的进行分析判断。钢筋混凝土板的非线性有限元分析首要 的问题就是在众多模型的选取最为合适的模型。 1 3 3 混凝土本构模型 许多学者从不同的角度，以不同的方法建立了混凝土的本构模型，文献 【7 0 】 7 1 1 【7 2 】 7 3 1 对其进行了详尽的介绍。 文献7 3 1 将混凝土的本构模型分为六类： ， 第一章绪论 ( 1 ) 线弹性匀质本构关系 线弹性本构关系假定应力应变在加载或卸载时呈线性关系，是最为简单的本构 关系。早期的结构分析一般采用线弹性模型，当混凝土处于较低应力状态时比较适 合，其余情况误差较大。随着混凝土在复杂结构中的广泛使用，需要对结构进行比 较精确的分析，这种简单而粗糙的线弹性本构关系韵己远不能满足要求了。 ( 2 ) 非线弹性的本构关系m 1 非线性弹性本构关系假定应力和应变不成正比，但有一对应关系。卸载后 没有残余变形，应力状态完全由应变状态决定，而与加载历史无关。这种关系对一 次加载到破坏的分析是很实用的，因此在实际的结构分析中应用很广，如大型非线 性有限元分析程序a d i n a ，z i e n k i e w i c z 7 5 1 ，o t t o s e n 【7 6 1 以及江见鲸【7 6 1 工作。这种本 构模型中，关键是如何定义物理矩阵 d 的变化规律。目前较常用的是采用一维盯一s 关系推广到三维当中去。其要点是： 定义混凝土的破坏准则，相当于一维应力状态中混凝土的强度； 定义一种非线性指标，它可以反映某一应力状态与破坏时应力状态相比所 处的应力水平，显然有0 1 。 选定一种盯一占一维表达式，由确定该应力状态在一维曲线上相当位置， 从而可以求得相应的弹性常数。 ( 3 ) 经典塑性力学为基础的模型 弹塑性本构关系假定变形体材料加载后卸载时产生不可恢复的变形，即塑性变 形。材料的变形由卸载时可以恢复的弹性变形和卸载时不可恢复的变形塑性变形两 部分组成。根据材料的不同条件又可以作出不同的简化，如理想弹塑性模型、线性 强化弹塑性模型、刚塑性模型等。在弹塑性本构关系中，有几个条件要明确7 7 】 7 8 】： 定义屈服准则，应力状态达到这一准则时，材料屈服： 定义流动法则： 定义硬化( 软化) 法则： 确定卸载时的应力应变关系，一般常取卸载时服从弹性本构关系： 弹塑性理论在数学上讲是比较严格的，但该基本假设的实验验证是困难的。尤 第一章绪论 其对于混凝上这种多相材料来说，并没有严格的屈服面，于是有的学者提出就以初 始不连续面作为初始屈服面，而研究又表明该不连续面根本就观察不到。而且，塑 性理论本来是描述金属行为的，其变形机理是晶格的错位，而混凝土的变形是由于 微裂缝的发生和发展，两者的微机理不同 7 9 1 因此，弹塑性理论运用到混凝土结构中， 有很多学者提出怀疑。 ( 4 ) 塑性断裂模型1 8 0 断裂力学模型，摒弃经典力学方法中单纯以强度准则判断裂缝的准则，引入断 裂韧度判断构件是否安全。 ( 5 ) 内时理论( ( e n d o c h o r o nict h e o r y ) 的本构模型【8 1 1 内时理论最初由v a l a n i s 于1 9 7 1 年提出，其基本概念是：塑性和粘塑性等耗散材 料内任一点的现时应力状态是该点整个领域内变形和温度历史的泛函，而特别重要 的是该历史是用一个取决于变形中的材料特性和变形程度的内蕴时间( i n t r i n s i c t i m e ) 标度来衡量的。这种模型采用了非弹性变形变形能逐渐积累的方法而不考虑塑 性理论中的屈服面和流动法则，所以该理论尤其适合没有屈服面的混凝土材料。由 于内时理论能描述混凝土的复杂变形的历史，因而为各国学者所重视。但由于表达 式过多，确定参数不太容易，所以对其推广和应用仍需做许多工作 8 2 】。 ( 6 ) 连续损伤理论的本构模型。 损伤力学模型基于损伤因子和有效应力等参数，建立混凝土材料的本构关系。 既可以考虑混凝土材料在未受力时初始裂缝的存在，也可反映在受力过程中由于损 伤积累而产生的裂缝扩展。但是该理论建立的本构关系为非对称本构关系，且不是 无条件稳定的，故很难在实际中使用【8 2 1 。 严格地从理论上来讲，各类模型都不尽完善。目前尚无普遍适用的混凝土本构 模型。从工程应用来讲，各类模型在一定范围内都能得到比较满意的结果。鉴于实 验室精心准备的混凝土试件尚由于试验方法等的差异而存在比较大的离散性，因此 非线性分析中采用的混凝土本构关系模型并非越复杂越好，而是采用与所进行分析 的具体要求相当本构模型为宜【8 3 1 。 第一章绪论 1 3 4 钢筋本构模型 在有限元模型中，钢筋的表示方式分为离散式、分布式和嵌入式三种。 离散式将将钢筋单独定义为单元，与混凝土单元同时出现在有限元模型中。通 常还考虑它们之间的粘结滑移等作用。 分布式假定钢筋是弥散于整个混凝土结构当中，整个结构是匀质的材料组成， 因此，在处理时，将钢筋的影响加入物理矩阵d 后，与处理一般匀质材料无异。整体 分析很方便，但是却不能计算出钢筋的应力。 嵌入式则在一个单元中同时有混凝土材料和钢筋。一般用于等参元，可以求 得钢筋的应力。钢筋由于比较细长，一般只考虑其承受轴力的能力，可假设为理想 弹塑性材料，也可进一步考虑应变硬化和b a u s c