（工程力学专业论文）薄壁箱形梁剪力滞效应分析.pdf

薄壁箱形梁剪力滞效应分析 摘要 箱形薄壁梁是桥梁工程中经常采用的结构。然而，箱形薄壁梁在纵向弯曲 时，存在剪力滞效应。在对箱形薄壁梁进行受力分析时必须考虑剪力滞效应。 本文结合应力杂交元法和广义有限条法导出一种用来分析箱梁剪力滞效应的广 义应力杂交有限条法，它兼有应力杂交元和有限条法的优点。运用这种方法对 薄壁箱形梁的剪力滞效应进行了分析，推导出广义应力杂交有限条元的单元刚 度矩阵，用f o r t r a n 一7 7 语言编写薄壁箱形梁广义杂交有限条法程序 ( h f s b g f o r ) 在v i s u a lf o r t r a n 环境下运行。具体算例的数值结果表明：广义 应力杂交有限条法用于计算箱形梁的应力分析具有很好的精度和效率，适合于 分析箱形梁的剪力滞效应。 关键词：箱形薄壁梁；剪力滞效应；有限条；应力杂交元 a n a l y s i so f s h e a r l a g e f f e c ti nt h i n - w a l l e db o xg i r d e r a b s t r a c t t h i n w a ll e db o xg i r d e ri so f t e nu s e di nh r i d g ee n g i n e e r i n g h o w e v e r t h e r ei ss h e a rl a ge f f e c ti nt h i n w a l l e db o xg i r d e rw h e nt h i n w a l l e db o x g i r d e ri sb e n ti nt h el o n g i t u d i n a ld i r e c t i o n i nt h i sp a p e r ，ag e n e r a l i z e d h y b r i d f i n i t e s t r i p m e t h o di sd e d u d e df o r a n a l y z i n gt h es h e a rl a ge f f e c t i nb o x g i r d e r s i t h a st h e a d v a n t a g eo f t h e g e n e r a l i z e d f i n i t e s t r i p m e t h o da n dh y b r i d s t r e s se l e m e n t s h e a r l a g e f f e c ti nt h i n w a l l e db o x g i r d e r i s a n a l y z e d w i t ht h i s m e t h o da n ds t i f f n e s sm a t r i xo f g e n e r a l i z e dh y b r i df i n i t es t r i pe l e m e n ti sd e d u c e d a c a l c u l a t i n gp r o g r a mf o rt h i n w a l l e d b o xg i r d e r s g e n e r a l i z e dh y b r i df i n i t es t r i p m e t h o di s c o m p i l e dw i t hf o r t r a nl a n g u a g ea n dp e r f o r m e di nv i s u a lf o r t r a n e n v i r o n m e n to fp cc o m p u t e r at y p i c a l e x a m p l ed e m o n s t r a t e st h a t t h e p r o p o s e d m e t h o dh a sh i g h e ra c c u r a c ya n de f f i c i e n c y ，i ss u i t a b l ef o r a n a l y s i so fs h e a rl a g e f f e c ti nb o xg i r d e r s k e y w o r d s ：t h i n w a l l e db o xg i r d e r ；s h e a rl a ge f f e c t ；f i n i t es t r i p h y b r i ds t r e s se l e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已仪发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得 盒蟹王、业太生或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名 j 灸荔 签字日期： _ 年6 月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒迫工、业态堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 佥妲王些本堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 凌云聊魏绷 签字日期：舯年6 月 6 日 签字日期：垆嚼缉月 目 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 致谢 首先感谢我的导师王建国教授。在三年研究生阶段的学习和生活中，王老 师给予了我无微不至的关怀和毫无保留的指导。本文从选题、资料收集、试验 到分析写作，都凝聚着导师的心血。导师渊博的学识、严谨的科研态度、诲人 不倦的治学精神在潜移默化的感染着我，使我受益匪浅。值此论文完成之际， 向我的导师表示衷心的感谢和诚挚的敬意。 感谢合肥工业大学土建学院对我的教育和培养帮助。感谢土建学院的领导 和老师们在各方面对我的指导和帮助。 感谢所有给予我帮助的老师和同学们，特别是我的同学于磊对我的帮助。 最后，感谢我的父母，是他们含辛茹苦地养育了我，他们的支持和鼓励催 我奋进。感谢我的妻儿，是他们的理解和付出才使我顺利完成学业。 谨以此文献给我的父母妻儿，献给我在合肥工业大学的难忘岁月。 第一童绪 论 1 1箱形梁剪力滞概述 近年来预应力混凝土箱梁桥在我国得到迅速发展，表现在跨度的增大和横 截面构造的先进性，即大量结构采用单箱单室大挑臂的薄壁结构。由于其截面 抗扭刚度较大，当箱型梁的顶板和底板面积较大时又能有效地抵抗正负弯矩。 然而对于腹板间距较大和悬壁翼缘板较长的箱型薄壁梁，在纵向弯曲时会发生 “剪力滞后”现象川。 为了解释这种现象，取固端悬臂箱梁在自由端的梁肋处作用一对集中力p ， 如图1 1 所示。在平行于a d 截面上，应用初等粱弯曲理论，在上板得到均匀 分布的弯曲拉应力。实际上，并非如此。 由于腹板传递的剪力流在边缘上受拉要 大些，而向板内传递过程中，由于上下实际应 板均会发生剪切变形，拉应力会逐渐变 小，故实际上上板的拉应力在横截面分 布是不均匀的，呈现板的中间小而两边 大的应力状态。剪力流在横向传递过程 有滞后现象，故称之为“剪力滞后现象” 或称“剪力滞效应”。如果初等梁理论算 出的应力为万，而实际截面上发生的应p p 力为盯，则：图1 一! 悬臂箱梁剪力流分布 五：旦 ( 1 一1 ) 于 式中：五一剪力滞系数。 如果翼缘板与腹板交界处的法向应力大于初等粱理论的计算值，称为“正 剪力滞”，如果翼缘板与腹板交界处的法向应力小于初等梁理论的计算值，则称 之为“负剪力滞”1 2 j 。这种弯曲应力分布不均匀的现象，足以使箱梁局部位置 产生应力集中，甚至开裂。目前在一些连续箱梁结构的内支点附近的箱梁内顶 板和悬臂板表面上，已经发现有许多横向裂缝，个别情况甚至在施工阶段就出 现横向裂缝pj ，据调查分析，这些裂缝的产生在很大程度上与剪力滞效应有关。 在桥梁设计中，恒载、二期恒载、活载、预加力均在横截面上产生剪力滞效应。 其中恒载占主导地位，因此，要将恒载弯矩值抛高设计，但抛高多少要通过兄值 计算才能确定。在斜拉桥中，活载占主导地位，弯矩值抛高也应通过五值方能 确定。 最早涉及剪力滞问题的理论推导是弗卡门。他利用最小势能原理与梁的 应力对等原则得到解答。在航空工程上，发展全金属飞机外壳，而外壳由板与 肋组成，剪力滞效应的分布显得格外突出。在美国工程界将这种弯曲应力分布 的不均匀现象称之为“剪力滞后效应”，在英国取名为“应力离散现象”，虽然 两者取名不同，但实质相同。过去对这种应力集中状态漠然视之，但从1 9 6 9 年 1 1 月到1 9 7 1 年1 1 月分别在奥地利、英国、澳大利亚与前联邦德国相继发生四 起钢箱梁失效或破坏事故，引起工程结构人员的关注。事故发生后，根据计算 分析，发现四座桥计算方法存在严重缺陷，其中一项是剪力滞效应没有考虑。 特别是跨宽比小，上下板的惯矩与整个箱截面惯矩之比较大的连续箱梁支点处 剪力滞效应颇为严重，不容忽视。如果采用预应力力筋，上下板的布筋间距更 要妥善处理，不能用等间距。在应力集中区力筋间距要密一些。否则混凝土容 易开裂。另外，在高层建筑中，箱梁属于悬臂的筒中筒结构，其壁上的应力分 布是不均匀的。特别在风力作用下，正负剪力滞效应均存在，必须认真对待才 能万无一失。因此，箱粱结构的剪力滞效应问题应引起高度重视，深入研究并 在工程实践中给予充分考虑。 1 2 常用的研究理论和方法。1 1 2 1 解析理论 1 弹性理论解法 ( 1 ) 调谐函数法 调谐函数法是以肋板结构为基础，取肋板和翼板为隔离体，肋板由初等梁 理论分析，而翼板由平面应力分析，用逆解法求解应力函数，然后根据肋扳和 翼板之间的静力平衡条件和变形条件，建立方程组，求出未知数，从而导得翼 板的应力和挠度解。早在1 9 2 4 年，弗卡门【4 l 就利用该方法解决了无限宽翼缘 板的应力分布及其有效分布宽度问决了带悬臂翼板等截面矩形箱形结构及t 形 梁剪力滞的计算问题。l e ej a n e 5 】在卡门的基础上分析了无限宽翼缘简支t 梁 的有效分布宽度问题。s o n g qi - g e n 【6 】根据一些合理的假定，用平面弹性应力 为i 型、t 型以及箱形横截面梁在翼缘中应力发展了一种调谐剪滞分析，并导出 了简化的计算公式。e v a n s h r 等【7 l 采用调谐函数法分析了单箱多室截面的剪 力滞问题，并与有限元法和试验作了比较。v l a d i m i nk r i s t e k 等【8 佣此法求解了 无加劲肋的、有加劲肋的和组合截面的三种钢悬臂梁翼板的负剪力滞。 ( 2 ) 正交异性板法 正交异性板法是把肋板结构比拟成正交异性板，其肋的面积假定均摊在整 个板上，然后应用弹性薄板理论，从边界条件出发，导出肋板结构的应力和挠 度公式，获得剪滞问题的解。er e i s s n e r 早在1 9 3 8 年【9 】把上下板为波纹状的悬 臂矩形箱梁截面的剪力滞问题比拟成一正交异性板进行了分析和研究，并作了 一些近似简化处理。h i l d b r a n d 【l 川假定板的横向伸长量忽略不计，从弹性板理论 2 中的边值问题出发，将箱梁比拟成正交异性板，导出了箱梁剪力滞问题的解答。 s c or d e l i s “】曾在1 9 6 9 年把正交异性板法应用于钢箱梁的桥道板的剪力滞分析， 称之为“赛德微分方程”，后来ma l c o l m 等人b 2 迸一步用它来分析加劲箱粱的 剪力滞问题。 ( 3 ) 折板理论法 折板理论法是将箱梁离散为若干矩形板，以弹性平面应力理论和板的弯曲 理论为基础，利用各板接合处的变形和静力平衡条件，建立方程组，可用矩阵形 式进行计算。弹性折板理论首先是由g o l d b e r g 和l e v e 【l 副等提出，并由 d e f r i e ss k e m e 和s c o r d e l i s 1 4 】写成矩阵形式而适用于计算机的分析。c h u 和 p i n j a r l c 0 1 5 , 1 6 】则把此法用于复式折板结构，并进一步扩展应用于箱梁桥的分析。 va i ld a l e n 和na r a s i m h a m 1 17 】用折板理论对宽矮箱梁的剪力滞问题进行了研究， 并指出翼板的宽跨比和梁的边界条件是影响剪滞效应的主要因素。y o s h i m u r d 将折板理论推广应用于曲线梁桥的剪力滞分析，并研究了曲率对剪滞效应的影 响。文献i 1 8 1 将带悬臂翼缘的箱形梁离散成若干块平板，对各板按弹性力学的平 面应力问题进行处理，利用各板之间的变形谐调条件求得箱梁的应力和位移的 解析解。 弹性理论解法是解决简单力学模型的有效方法，多数局限于等截面简支梁。 该法以经典的弹性理论为基础，能获得较精确的解答，但弹性力学方程的求解 体系并未发生根本性的变革，引起分析和计算公式繁琐，使其在工程实际问题中 的应用受到了一定的限制。因此，弹性理论解法只能解决很少一部分问题，早已 无法适应复杂的结构分析的要求。 2 比拟杆法 比拟杆法是将处于受弯状态的箱梁结构比拟为只承受轴向力的杆件与只承 受剪力的板的组合体，然后根据杆与板之间的平衡条件和变形协调条件建立起 一组微分方程，每块翼板中所产生的剪力滞特性，可以通过理想化加劲杆的内 力来确定。比拟杆法最早探讨这个问题的是y o u n g er ，他提出了“加劲薄板理论” 即用等厚连续薄板来代替离散的纵向加劲肋，并假设由它承受所有的轴向荷载。 h a d j i a r g y f i s 在此基础上，提出了“有限加劲肋理论”，即把纵向加劲肋视为离 散的仅承受轴向荷载的杆件，杆件之间用仅承受剪力的系板连接，板本身的承 载能力可以简单地确定为是一块附加在离散纵向加劲杆件上的面积。后来k u h n 等提出种简单加劲肋代换法，考虑了肋板剪力流的影响，解决了在轴向力作 用下具有三根加劲肋的板和悬臂箱梁受弯时的剪滞效应分析。英国学者e v a n s 和t a h e r i a n l l 9 作了进一步改进，提出了“三杆法”理论，使之更适用于一般受 弯矩形箱梁结构的剪力滞分析。其基本思路是基于如下的3 项假定： ( 1 ) 箱梁看作理想化的加劲杆与等效薄板的组合体系进行受力分析： ( 2 ) 理想化的加劲杆承受轴力，而等效的薄板承受水平剪力； ( 3 ) 理想化的加劲杆等于实际加劲杆面积加上邻近薄板所提供的面积。 国内学者程翔云教授等【2 州在上述研究的基础上，提出了用样条函数逼近法 求解高阶微分方程组，解决了带悬臂翼板等截面矩形箱形结构及丁形粱剪力滞 的计算问题。 比拟杆法通过一些基本假设，简化了力学模型，但它一般适合于等截面箱 粱，对于一些复杂力系和复杂结构的剪力滞分析仍然有一定的困难。 3 能量变分法 能量变分法是从假定箱梁翼板的纵向位移模式出发，以梁的竖向位移和描 述翼板剪力滞的纵向位移差的广义位移函数为未知数，应用最小势能原理，建 立微分方程，从而获得应力和挠度的闭合解。能量变分法最早由r e i s s e r l 2 l j 提出， 他假设翼板的纵向位移沿横向按二次抛物线分布，即： 吣- + 叫掣+ ( 卜菩l 1 ， 式中：“伍，y ) 翼板的纵向位移； w ( x ) 梁的竖向挠度； u ( x ) 翼板纵向位移差函数； b 翼缘板宽度的一半； 矗f 上、下翼板中面至梁中性轴的距离。 然后根据最小势能原理，导出了梁的微分方程，第一次成功地应用能量变 分法分析了双轴对称矩形箱梁剪力滞问题。2 0 世纪8 0 年代，k u z m a n o v i c 等列 采用r e i s s e r 方法分析了带对称伸臂的矩形箱梁的剪力滞。国内学者郭金琼教授 等1 2 3 】在r e i s s e r 微分方程的基础上，将翼板纵向位移沿横向分布函数修改为三 次抛物线，并用模型试验和数值分析加以验证。文献【2 4 】采用余弦函数作为翼板 剪滞翘曲位移函数，并考虑了轴力自身平衡条件，分析了槽型宽梁和箱形粱的 剪力滞。文献【2 5 】应用能量变分法进步研究了压弯箱形结构的剪力滞，并探讨 了轴向力对剪力滞的影响；文献【2 6 】利用叠加原理，计算了布置预应力力筋与自 重组合后的剪力滞效应。通过能量变分法分析，文献【2 7 】发现了一种异常现象， 所谓的负剪力滞；文献2 8 1 对负剪力滞作了解释；文献【2 9 1 从物理概念上澄清了负 剪力滞现象；文献【3 0 ，3 11 分别研究了常截面和变截面悬臂箱梁的负剪力滞变化规 律。近年来，能量变分法又被推广应用于曲线箱粱【3 2 3 4 1 和复合材料箱粱 3 5 1 的剪 滞效应分析，并获得了良好结果。文献 3 6 1 将此法推广应用于高层建筑中框筒结 构的剪力滞分析。 能量变分法可以获得闭合解，不仅能描绘出任意截面剪滞效应的函数图像， 而且还可以定性地分析每种不同参数的影响情况，这种方法在桥梁初步设计中， 颇受工程师的欢迎，但该法般也只适合于等截面箱梁，目前仍无法获得变截 4 面箱梁的闭合解。另外，该法将翼板作了平面应力假设，尽管所获得的最大应 力与实际应力相接近，但在翼板的自由端仍存在较大的误差。 1 2 2 数值方法 1 有限单元法 有限单元法是解决各种复杂工程问题的一种行之有效的数值分析法，它能 用来分析等截面或变截面梁桥的剪力滞问题。mo f f a t t 和d o wl i n g 3 7j 通过有限 单元法对影响箱形梁剪力滞效应的各种参数作了系统的分析与研究，提出了各 种荷载下的不同宽跨比、支承形式、截面加劲情况的有效宽度比。黄剑源教授【3 8 】 用有法计算了变截面箱形连续梁桥的剪滞效应；文献【3 9 】在有限单元分析基础上， 提出采用当量截面法的剪力滞近似计算方法。 2 有限条法 有限条法是从有限单元法发展出来的一种半解析方法，它综合了弹性力学 解法与有限单元法两者的优点，它具有简单、计算量小的优点。有限条法是假 定结构由称之为“条”的有限单元组成，条间由节缝连接，条和节缝均在跨内 由一端延续到另一端，有限条的位移函数通常是由横向的内插多项式和纵向的 付立叶级数或样条函数组成。与有限元法相比，有限条法使用方便，精度高， 节省大量计算机内存，机时和费用。此法是分析等截面简支梁桥的有效方法。 目前国内外许多学者采用了这种方法分析箱形梁的剪力滞p 。 3 有限差分法 有限差分法是一种传统的方法，此法是在能量变分法所求得的剪滞微分方 程组基础上，给出相应的有限差分格式，进行变截面箱梁桥的剪滞分析。张士 铎教授【4 l 】用此法对直线变截面悬臂梁的剪力滞进行了分析，并探讨了负剪力滞 规律：文献 4 2 】用差分法计算了变截面多跨梯形箱梁的剪力滞，并与模型试验作 了比较。 4 有限段法 有限段法也是从有限单元法发展出来的一种半解析法【4 3 】。该法以剪力滞微 分方程的齐次解为位移模式，建立了平面梁单元的半解析有限段模型，将三维 空间问题简化为一维空间，实现了在结构分析中自动计入剪滞效应的功能。该 法又被推广应用于斜拉桥、变截面箱梁桥【“1 及曲线箱梁桥1 4 5 1 的剪力滞分析。 有限单元法尽管能获得较全面而准确的应力分布图像，可作为一种数值验 证比较的好方法，亦可以检验解析理论中所作的各种假设和近似的敏感性、合 理性，同时又可以使试验中无法模拟、无法控制的要素通过数值模拟实现。但 它所花的机时和贮存量太大，一般难以满足实用要求，尤其在初步设计阶段， 工程中一般采用简捷方法。 有限差分法和有限段法目前用来计算变高度箱梁的剪力滞问题。有限差分 法是一种传统的数值计算方法，它的计算时间和贮存量比有限单元法小，但比 有限段法大。有限段法是以薄壁理论为基础，采用半解析方法，可以减少计算 工作量，但由于目前采用等截面单元，在相邻单元的边界上仍然存在着高阶位 移函数不连续问题，有待进一步改进。 1 2 3 模型试验 科学试验是重大工程建设中必不可缺的一环，是为结构分析提供数据和结 论的主要手段之一，也是检验数值理论和解析理论正确性的主要依据。郭金琼 等吲完成了有机玻璃制作的梁式桥模型，测试了1 3 个方案3 1 个截面的剪滞效 应，验证了简支矩形箱梁的剪力滞理论。文献 4 1 完成了直线变截面悬臂梁的负 剪力滞试验研究。文献【2 5 】制作了两个不同横截面尺寸的箱梁有机玻璃模型，针 对箱梁在轴向和横向荷载共同作用下的剪力滞问题进行试验研究，获得了一些 重要结论。文献 7 怫4 作了5 个不同钢箱梁模型，分别对单箱单室、单箱双室及 组合箱梁的剪力滞进行试验研究，为制定英国桥梁规范提供了参考。近几年来， 随着大跨径桥梁的迅速发展，为确保工程的安全性和可靠性，设计人员常采用 实桥模型进行试验研究。我国钱塘江公路二桥进行了1 ：4 0 的桥梁结构模型试 验研究了变截面多跨连续梁的剪滞效应，并提出了简化的计算方法。铜陵长江 公路大桥进行了1 ：5 0 的桥梁整体模型试验，对斜拉桥的剪力滞计算提供了重 要的依据。文献1 4 6 对比例尺为l ：6 的钢筋混凝土单箱单室连续粱模型进行试 验；文献 4 7 对比例尺为1 ：7 的部分预应力混凝土连续梁0 号块节模型进行 试验研究：它们分别验证了现有的剪力滞理论。 模型试验是一门古老的技术，对结构工程的技术的发展仍起到了应有的作 用。但是桥梁模型试验一方面要花费大量的人力和物力；另一方面诸多因素在 实验中仍不可模拟性和不可控制性，所以单纯依赖实验手段将不可避免地有很 大的局限性。 1 3 本文的目的、任务及研究方法 综上所述，国内外学者对薄壁箱粱剪力滞问题已做了许多工作，各种理论 和方法各有特点。但是所有研究的理论和方法也都受到一定的限制。 本文结合应力杂交元和位移元推导出一种用来分析箱梁剪力滞效应的广义 应力杂交有限条板壳单元，它兼有应力杂交元和有限条法的优点。首先，由于 它是一种半解析方法，计算的自由度少，且所取的单元数目很少，调和项数目 也不高，就能够得到令人满意的结果，因而有很高的计算效率。其次，它采用 了应力杂交模型，这使得在计算时，很容易实现单元之间的位移协调性要求， 克服了板壳元中要求挠度一阶导数连续的困难。另外使用应力杂交元可以明显 地改善位移协调元数值过刚的现象。刚度适中，更接近实际情况。 箱形结构可视为矩形板的组合，这种矩形板可以承受弯曲和平面内两种变 形。在线性弹性分析中，假设这两个系统之间互无影响。所以在分析箱形结构 时，可把弯曲分析与平面分析结合起来求得有限条的刚度矩阵和力矩阵。本文 就是把组成箱梁的各个板块看成一个大单元，利用有限条法来推导其平面内的 单元刚度矩阵。同时，利用杂交有限条法来推导板单元承受弯曲的单元刚度矩 阵。这样就推导出分析箱梁的剪力滞效应的广义杂交有限条单元刚度矩阵。 第二章受弯板的杂交有限条法 由于箱型结构可视为矩形板的组合，这种矩形板可以承受弯曲的和平面的 两种变形。在线性弹性分析中，假设这两个系统之间互无影响。在分析箱型结 构时，可以对矩形板分别进行弯曲分析与平面分析，然后再结合起来a 所以首 先来允绍受弯板的杂交有限条法。 2 1 受弯板的有限条法分析 进行结构分析时，有限单元法把工程对象离散化，分割成许多很小的单元。 一般地说，分割得愈细，则精确度愈高。但是对于某些工程结构物来说，由于 其几何形状、荷载情况及边界条件等往往具有一些规则性，因而不必在各个方 向都离散成十分细小的单元，以免增加电子计算机所需的容量、机时及计算费 用。因此，随着生产发展的需要，又出现了部分连续和部分离散的有限条法， 也可称为有限单元的半分法。 有限条法是由张佑启( c h e n g y k ) 创始( 1 9 6 9 ) ，并经p o w e l l 、o g d e n 和 s c o r d e l i s 等人的研究和发展，已成为等截面梁上部结构简单而又经济的有限元 法。 有限条法是一种混合法，它具有正交各向异性板分析法与有限元法的优点。 此法对板式和箱型梁桥的桥面都是适用的。如图2 1 所示，有限条单元结构的 组合单元是沿结构纵向分布的“条”，条间纵向用接缝连接，由于正交各向异性 板的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法分析时十分有效。 结线 己l 丑 3己 丑 卫 ii口1 ：i + 10 。 nn 。 图2 1 板划分为有限条 简支 2 1 1位移函数的选择”3 有限条法选用条带节线中点的挠度( w ) 及x 向( 横桥向) 的转角( 尝) d r l一 一 作为位移函数。图2 2 所示为一简支板式桥的有限条图示。 y 图2 - 2 简支板式桥的有限条图示 该板条的纵向挠曲形状可用正弦曲线模拟，而挠曲面的横向截面可用多项 式函数来模拟。可将位移函数取为 w ( ) = 窆l ( x ) s i n 华( 2 - - 1 ) 式中： m 一正弦半波数； r 一求解时所取正弦级数的项数。 位移参数：取节线i 和歹处的挠度幅w 删，w ，以及横向转角曰。，目。 w ，= w i n 孚 m = 1 “ w ，= e 。w j ms i n 等 吲蒜m = ln 等 他q q = ( 争，= 耋 n 等 ( 2 一1 ) 式中的 ( x ) 可用三次多项式表示： 厶( x ) = a + b x + c x 2 + d x 3 由变形协调条件 卜- o ，胂) w i r e ，掣：气 k 坛( 6 ) = ，掣= ( 2 3 ) ( 2 4 ) 得出： f a 2 w i m j，? 2 只m( 2 5 ) f a + b b + c b2 + d b 3 = w ，。 7 ib + 2 c b + 3 d b 2 = o j m 解方程( 2 5 ) 得出a 、b 、c 、d ，并将它们代入( 2 3 ) 式，从而得出位 移函数( 2 1 ) 式的矩阵表达式。 w i ( w ) = 陋m 。 s i l l 孚 ( 2 _ 6 ) 式中： iqi 一位移函数的系数矩阵； 咄 一位移幅； i 一板条( 有限条) 第i 条： b 一板条宽度。 2 1 2 刚度矩阵的建立 设第i 板条在受弯时的总势能为： u j = u ：+ u ：( 2 7 ) 式中u ：、u ：一分别为应变能和荷载的势能。 ( 2 7 ) 式可写成 卟i 1r r c m ，害出等一，急脚 一jj 口( 墨y ) w ( x ，y ) d x d y ( 2 - - 8 ) 式中m ，、m 。、m 。一分别为横向弯矩、纵向弯矩和扭矩； q 一板条上的任意荷载函数。 ( 2 8 ) 式中的应变能u ：可写成矩阵形式 联= 吾r 肛坂，m y ， a 2 w 叙2 a 2 w 西2 a 2 w c 冀 蚴= 导rr 7 蚴( z 一9 ) 式中 m 、 k 一分别为弯矩和曲率( 或应变) 向量。 y i 天i k = a 。w 次2 a 2 w 砂2 a 2 w 溉 = 耳。 w 。i ，、i 墨rs i n k j s i n 船s h a ky 屯s i n k ， 毯m 2 砖c i s i n k y磙g ，s i n k 。y s i n k y碍! is i l l y ( 2 1 1 ) 【2 吒- 。0 8 吒y2 吒c ：。e o s k , 。y 2 k o c o , c o s k y2 k c i ，c o s k y f 小： 条上任葸一点的弯矩为： 鸠一( q 窘+ d l 萨0 2 w ) 呜_ ( q 矿0 2 w + 日 ：2 0 + 宴 。毫c y 据此。弯矩m 可表示为 ，= 眺 把式( 2 - - 1 0 ) 代入式 m 。 二 m7 ) 的转置为 j 7 = 窆 d i 0 b 0 陋 = 陋渺 0 j ( 2 - - 1 4 ) 中得： q 陇 吆) 吆) 7 7 q ( 2 1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 把式( 2 1 0 ) 和式( 2 1 6 ) 代入式( 2 9 ) z i ： e = 三薹喜 吃 7rr 7 珥 彰。 蚴 吒) ( 。一。，) 、，li，j 肛等s i n 等加t g ：m 揶 4d玎) 10 ( m n ) p 等c o s 等砂2 圳 ( 2 _ 1 8 ) 故式( 2 - - 1 7 ) 可表示为： 哦= 了1 厶ri j 。 7rr 鹾。 7 叫 p 砂 吆 ( 2 1 9 ) 同时，运用式( 2 6 ) 势能项u 可表示为( 将位移函数代入) ： u ：2 一善r 7r 衅弘w ) s i n 等哟( 2 - - 2 0 ) 由此可导出板条的总势能： w = q ( 2 2 1 ) 式中：一板条划分数。 由最小势能原理有； 耘_ o ) ( 2 - - 2 2 ) 式中： 坛) 一系统全部未知位移幅( 钆) 向量。 于是，上式变成： 器2 善葙邛，( 2 - - 2 3 ) 把式( 2 - - 9 ) 和( 2 - - 1 0 ) 代入式( 2 - 8 ) ，得 喜r n 尾。 7 磁 耳。 出砂 嵋。) = rr q 7 a ( 力s i n 孚出砂( 2 2 4 ) 积分后，上式变为： 蟛。 ) = ( 2 - - 2 5 ) 式中4 x 4 的矩阵 蟛。 和4 i 的矩阵 分别为三阶有限条受弯分析的刚度 矩阵和荷载矩阵( 力矩阵) ，典型条的 弼， 的显式列在表2 一i 中。 式( 2 2 5 ) 是总矩阵方程式，它是表示全部未知参数与外荷载关系的线性 c 蟛。，2 f 兰 乏主 = f 至芝兰拳岛1 岛_ 6 a 6 d ，j + 而1 3 口嘁b + 1 5 2 6 a k 。2 d ，+ 6 ) 。a k 2 d , k 2 = 2 a d 。x + 击曲3 b + 4 口6 + 素d 6 d l k 3 - 耐7 + 面1 1 碟b + ；碱+ 詈碱d 】 颤= 巧等+ 斋幻碟b 一1 ；2 。ak 。2 d ，一等皖q 屯- - 3 a 6 d ：j 一+ 而1 3 口6 2 碟b 一；1a 砖p ，一而2 d l 2 詈q 一去4 矿碟d ，一去a 6 一丽1 盘b k ：d , 2 1 3 荷载列阵 为方便求解平衡方程组中的各单元节点未知位移，可将各单元的节点荷载 用正弦级数展开。该正弦级数应在板条的y 方向上展开并和位移函数相似： l s n 等s i n 孚p 一 i n _ m n yo 口 m 笺， 口 现有以下几种情况： ( 1 ) 对于均布荷载g 。 誊2 , 3 4 q o m r 咖1 m = 1 “ l g 。： j ( 2 ) 荷载从y = c 到y = d ( 3 ) 集中荷载p 作用在y = c 点 3 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 垫 小面 口：= qs i n m z 垡y _ d y ：s i n m z c q d y ：! 坚 。：。， p 等方p 警咖p 警方 根据式( 2 2 0 ) ，单元的荷载列阵为： = rr ( q 弘w ) s i n m 口z y ) d x d y ( 2 3 0 ) 如要求结构整体刚度方程式的结构荷载列阵 ，只需将相邻两板条的相 应荷载相加即可。其余步骤与一般的有限元法一样，即：组集结构刚度矩阵、 消元、化简、求解节点位移参数w 、舅( i = l ，2 ，3 ) 及求出板条的内力及 挠度等。 2 2 杂交应力元 2 2 1 杂交应力元的定义 协调元和非协调元都是以位移为基本场变量的单变量有限元。相反地，如 果有限元的基本场变量除了位移外，还包含应力、应变或其它相互独立的未知 函数，则称这类有限元为多变量有限元。杂交元就是一种非常流行的多变量元。 1 9 8 1 年在美国a t l a n t a 城举行的一个国际会议上，曾给杂交元下了一个定 义：凡是用多变量方法来建立，但最后的矩阵方程的未知量只有节点位移的有限 元法都应该称为杂交元。这是杂交元最一般的定义1 。 杂交元中发展最早、应用最广的一类是杂交应力元，它以假定单元应力试 解为基本特色。早期的杂交应力元是基于修正的余能原理建立的。对一规定了 单元边界上韵位移“的典型单元e 有余能泛函 ，y l 墨j 矿一l r 7 孤 ( 2 _ 3 1 ) 相应的最小余能原理丌：= m i n 的使用条件是单元应力盯满足下面平衡关系 d 7 盯+ 户= 0 在v c 内( 2 3 2 ) t ( - - 聆仃) = f在髭上 ( 2 3 3 ) 其中f 和f 分别为v 8 内、上的己知分布荷载，另一方面，对一离散体系而 、，ll，fj p m 弓呜 ，：，、，l j i 言，系统余能兀。= h ：，相应的最小余能原理的使用条件除了( 2 3 2 ) 式和( 2 3 3 ) 式外，还要求相邻单元( a ) 和( b ) 间的表面力平衡，即 7 1 。+ 丁6 = o 在6 ( = f 4 n 矿6 ) 上 ( 2 3 4 ) 为了放松单元表面力的平衡约束( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 定义单元边界位移打为 l a g r a n g e 乘子，并规定在上：玎= ，由此可把n ：修改为 丌：。= n ：一( 丁一于) 7 女出一l r 7 汹 。l 三一量d 矿一l v t t u d s + e 尹i 凼 ( 2 3 5 ) 其中单元表面积分域a y 。= n n 屯。上式即是卞学蟥1 9 6 4 年建立杂交应 力元时最初采用的修正余能公式。 兀。= 兀。( 盯，) 是一个二类变量泛函，该泛函取驻值的必要条件是： ( 1 ) 盯满足平衡方程( 2 3 2 ) ；如果把已知分布荷载户的影响直接并入 单元等效节点荷载向量，更j j 只要求盯满足齐次平衡方程三，盯= 0 。 ( 2 ) 厅c o ，由于厅定义在单元边界a y 。上，其连续性很容易实现。 2 2 2 基于丌：。的杂交元列式 定义单元内的平衡应力试解： 万= 在内( 2 3 6 ) 其中为单元应力参数，是与单元一一对应的局部参数。 对应( 2 3 5 ) 式的单元表面力可表示为 t = 行盯= 在a 矿。上( 2 3 7 ) 定义单元表面上的位移试解： i = 奶在a 矿。上( 2 3 8 ) 这是以节点位移q 为参数的插值函数。 将以上试解代入泛函( 2 3 5 ) 式，得 兀：。= 去7 一7 g q + 9 7 q ( 2 - - 3 9 ) 其中 h ：io r s 由d y j ， g ：f 西r n d s j ， q = f 扩t 7 d s q 为对应g 的等效节点荷载向量。 利用泛函驻值条件a 兀：。p p = o ( 这是在单元一级上使用最小余能原理) 得 口= h 一g q ( 2 4 1 ) 代回至( 2 3 9 ) 式得到 兀：。= 一寺，k 。g + 9 7 q 其中 k 。= g 7 h 一1 g( 2 4 2 ) 即为要求的杂交元单元刚度矩阵。 2 2 3 基于( 2 3 5 ) 式的应力杂交元的特点 ( 1 ) 矗只出现在单元边界o v 。上，所以很容易实现单元之间的位移协调性 要求，这对于克服板壳元中要求挠度一阶导数连续( 即厅c 1 ) 的困难十分有 意义。 ( 2 ) 为了事先满足平衡方程，单元应力试解总是用卡氏直角坐标来定义， 即取盯= 盯( z ，y ，z ) ，在这种情况下，如果盯多项式含有不完备的成分，则会导 致单元的方向性，即单元的性能会根据它在系统坐标系中的方位变化。 ( 3 ) 在单元级使用最小余能原理是这类杂交元的最大特点，记由此导得 的杂交元单剐为，同时记由最小势能原理导得的位移协调元的单刚为k ；， 则对应确定的单元节点位移q 存在下列能量不等式， l q 7 群q 吾9 7 眉g s 了19 7巧g(2-43) 其中k ? 为对应精确解的单元真实刚度矩阵。 上式可以简单地表示为 群联鲜e( 2 4 4 ) 就是说，群和k ：分别是单元真实刚度矩阵的下限和上限。因此使用基于( 2 3 5 ) 式的杂交元可以明显地改善位移协调元解数值过度的现象。 2 。3 受弯扳的杂交有限条法分析 本节将位移型的有限条法与杂交应力元法结合起来，将它应用于正交异性 板。在混合杂交有限条的列式过程中，在条内假设应力场，沿条的边界假设位 移场。在应用第二节讲述的修正余能原理时，余能泛函分别对条内应力和边界 位移进行变分计算，并在条一级水平消去应力。从而得到单元刚度矩阵，其余 可按有限条法步骤求解。 2 3 1 基本原理 根据第二节叙述的余能原理知，余能原理应用于有限条时，余能具有下面 形式，即： 兀。2 喜( l 。j 1 盯) 7 i s 盯 d r - 丁 7 玎) 豳) ( 2 4 5 ) 式中：s 1 一柔度矩阵； 仃1 一条内假设的应力场； f 丁 一表面力； 函一给定的边界位移值； y 5 一条的面积； 一条的给定位移的边界。 假设的应力场在每一条内满足平衡方程。为了能应用余能原理，由假设的 应力场所构成的表面力f7 1 1 应满足 m 一 于) = o ( 2 4 6 ) 式中： 霸一给定力的边界髟上的表面力。 在条之间的交界面岛上应满足 + 盯= 0 ( 2 - - 4 7 ) 式中 r + 、 丁 一为沿相邻的条之间的公共边界两侧的表面力。 在引入拉格朗日乘子f 五 后，可以把上述变分的约束条件转换成新泛函的 自然条件。这样便放松了边界上的平衡约束，从而得到修正的余能泛函 i - i 。，2 善( f 。i 1 盯) 7 i s 】 盯) d 矿一 丁 7 百 豳+ 丘 五) 7 ( r _ 刁) 舔 + 萎7 ( m 凼( ：川， 式中：一条边界中给定表面力的部分。 令a 矿6 表示一个条的整个边界，霹为个条与其他条的交界边( 见图2 3 、 图2 4 ) ，则对一个条有 a v 。s + + ( 2 叫9 ) 从而，( 2 - - 4 8 ) 式的最后一项会计算得 芸l 兄) 7 ( r ) + 十 丁) 一) 淞= 羹( e 丑) 7 7 1 + 嬲+ l 五) 7 丁 一嬲= l r d s 拉格朗曰乘子 五 可以证明为边界条件，但符号相反。 = 一 综上所述，修正余能泛函最后可表示为 兀。5 善( 圭。 a ) 7 p 盯) d y l ， 7 7 i 峦+ e 于 7 西) 舔) ( 2 5 2 ) 式就是混合杂交有限条法的理论依据。 应用( 2 5 2 ) 式的条件为： ( 1 ) 假设的应力场f 盯 在条内满足平衡条件； ( 2 ) 假发的位移场满足给定的位移边界条件。 即在瓯上有 i = 万 。 2 3 2 混合杂交有限条列式的推导 将上述修正余能原理应用于有限条时，应力场可表示为 ( 2 5 0 ) ( 2 5 2 ) 一 盯) = m ，m ，m 。 对厚度为h 的正交异性板，柔度矩阵 s 为 ll ie 1 ：堡l 一旦 1 l巨 l0 一旦o f 土。 上 o 土 g ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 本文公式推导仅以简支矩形板为例，将它离散为许多有限条。板和条的简图 见图2 5 、图2 6 。并且假设条内无荷载作用，荷载全部被近似地用等效功的 概念移到节线上。 l2 l o 刮 图2 - 5 有限条图示 圈2 - 6 简支板图不 此时，该板的基本方程为齐次的，即 等铊等+ 等= 。c z 一 根据式( 2 3 5 ) 知，建立杂交应力元列式的第一步是定义单元内的平衡应 力试解，其实质是在给定边界位移条件下选择最小余能原理的试探函数。 具体地，针对正交异性板，即用应力参数 科来表示弯矩。 1 9 哟残 x 结 一 、 卜一 下_ 上 p 。 ( 2 5 6 ) 其中：肘为近似式的项数。 应力参数的数目( 设为s ) 的选取，应保证给定矩阵k 的非奇异性。从文 献可知，保证系统刚度矩阵k 的非奇异性的必要条件是”“： ms n ( 2 5 7 ) 式中m 一系统的单元数； 系统的独立自由度数。 如果只有一个单元，则 s ”一3 ( 为单元节点个数)( 2 5 8 ) 依照杂交元与有限条法的基本思想，应力函数沿y 轴可假设为三角函数， 沿x 轴假设为多项式。 在m 。，m 。，吖，。满足平衡微分方程的条件下，可假设： m ，2 c o s m , b , , o , 。+ c o s m a 。+ xc o s m p 3 。， m ，= 矿2c 。s m 妙屈。+ 昙