（工程力学专业论文）基于小波分析的疲劳应力历程模拟和疲劳损伤研究.pdf

摘要 结构疲劳问题中最核心的数据是疲劳破坏点处的应力历程。在很多情况 下，结构所受的载荷是随机载荷，疲劳破坏点处的应力历程也是一个随机信号， 事先无法知道。因此，如何准确有效地模拟疲劳破坏点处的应力历程就成为疲 劳问题中的一个研究热点。 传统的模拟手段是采用f o u r i e r 变换，但f o u r i e r 变换在处理宽带载荷时有 很大缺陷。小波作为f o u r i e r 变换发展的产物，除了具备f o u r i e r 变换的优点外， 还克服了其很多缺点，特别适合于分析宽带信号。，本论文的主要任务，就是研 究如何以小波为手段，从载荷功率谱出发来模拟结构的实际应力历程，最终建 立载荷谱与造成疲劳损伤的应力范围分布之间的关系。 本论文首先叙述了传统的比较常用的以f o u r i e r 分析为手段的模拟方法。 在传统的f o u r i e r 模拟方法的基础上，提出了一些改进，增加了谱分割的数目， 并对具体模拟时一些需要注意的地方进行了着重讨论。本文的重点是提出了基 于小波变换的模拟应力历程的方法。文中详细介绍了有关小波的基本知识和概 念，包括连续小波变换、离散小波变换、多分辨分析、m a l l a t 算法和小波包变 换等等。然后用小波工具对应力历程进行了分解，建立了分解结果和应力功率 谱之间的关系。在此基础上，提出了基于小波分析的模拟疲劳应力历程的方法， 并讨论了具体模拟时需要注意的问题。本文还采用雨流计数法以及两参数 w e i b u l l 分布拟合，研究了包含在应力历程中的造成疲劳损伤的应力循环的识 别和应力范围的分布拟合问题。最后通过对若干实例的分析，研究了采样频率 对模拟结果的影响。确定了合适的采样频率后，对同一个应力谱分别用f o u r i e r 方法和小波方法模拟了若干个样本，用雨流计数法提取了应力历程中包含的造 成疲劳损伤的应力循环，对对疲劳损伤影响最大的应力循环范围的分布进行了 w e i b u u 拟合，确定了应力范围分布的概率模型。最后对两种模拟方法下各自 得到的应力循环范围分布的概率模型进行了比较。 小波的优点是具有良好的局部性。本文只是对用小波模拟正态平稳信号做 了一些研究，因此小波的优点还没有得到充分利用。实际上，波浪载荷和由波 浪引起的应力响应都是非平稳过程，而且也不一定具有正态特性。用小波变换 有望模拟出非平稳、非正态应力过程，从而使疲劳分析的结果更加可信，这将 是今后值得研究的一个方向。 7 关键词：疲劳损伤，应力历程模拟，f o u r i e r 变换，小波变换，雨流计数法，应 力范围 a b s t r a c t t h es t r e s sh i s t o r ya tt h ec h e c k i n gp o i n ti st h ek e yd a t ai nt h ef a t i g u ea n a l y s i so f s t r u c t u r e s i nm a n yc i r c u m s t a n c e s ，t h el o a da p p l i e do nt h es t r u c t u r ei sar a n d o m s i g n a l ，a n dt h es t r e s s a tt h ec h e c k i n gp o i n ti sa l s oar a n d o ms i g n a lt h a tc a n tb e d e t e r m i n e db e f o r e h a n d t h e r e f o r e ，h o wt os i m u l a t et h es t r e s sh i s t o r ya tt h ec h e c k i n g p o i n th a s d r a w nag r e a ta t t e n t i o ni nr e s e a r c ho nf a t i g u eo f s t r u c t u r e s t h eb a s i so fs i m u l a t i o nb yt h et r a d i t i o n a lm e t h o di st h ef o u r i e rt r a n s f o r m b u tt h e f o u r i e rt r a n s f o r mh a sm a n yd e f i c i e n c i e si nd e a l i n gw i t ht h ew i d e b a n d1 0 a d a sa d e v e l o p m e n to f t h ef o u r i e rt r a n s f o f i n ，t h ew a v e l e tt r a n s f o f i ni n h e r i t st h em e r i t sb u t o v e r c o m e sm a n ys h o r t c o m i n g so ft h ef o u r i e rt r a n s f o r m t h e r e f o r et h ew a v e l e t t r a n s f o r mi sap o w e r f u lt o o ii nt h ea n a l y s i so fw i d e b a n ds i g n a l s t h em a i nt a s ko f t h i sp a p e ri st os i m u l a t et h ep r a c t i c a ls t r e s sa tt h ec h e c k i n gp o i n t so fs t r u c t u r e su s i n g t h ew a v e l e tt r a n s f o r r ns t a r t i n gf r o mt h el o a dp o w e rs p e c t r u m ，a n dt oc o n s t r u c tt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e1 0 a dp o w e rs p e c t r u ma n dt h ed i s t r i b u t i o no f t h es t r e s sr a n g e t h a tc a u s i n g f a t i g u ed a m a g e t h et r a d i t i o n a lm e t h o do fs i m u l a t i o nb a s e do nf o u r i e rt r a n s f o r mi si n t r o d u c e di nt h i s p a p e rf i r s t l y s o m ei m p r o v e m e n t sa r em a d eo ni t ，i n c l u d i n ga d d i n gt h en u m b e ro f s p e c t r u md i v i s i o n s a tt h es a m et i m e ，m a n yn o t i c e a b l ep r o b l e m sa r ea l s od i s c u s s e d w h e nd o i n g p r a c t i c a ls i m u l a t i o n t h ee m p h a s i so f t h i sp a p e ri so nd e v e l o p i n gt h e n e wm e t h o do f s i m u l a t i o no f s c r e s sh i s t o r yb a s e do nt h ew a v e l e tt r a n s f o f i n t h eb a s i c c o n c e p t i o n s a b o u tw a v e l e ta r ep a r t i c u l a r l yi n t r o d u c e d ，i n c l u d i n gt h ec o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o t i n ，t h ed i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，t h em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ， t h em a l l a ta l g o r i t h ma n dt h ew a v e l e tp a c k e tt r a n s f o n n t h e nas t r e s sp r o c e s si s d e c o m p o s e du s i n gt h ew a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e d e c o m p o s i t i o nr e s u l t s a n dt h es t r e s sp o w e rs p e c t r u mi s c o n s t r u c t e d s t a r t i n gf r o m t h i s ，t h em e t h o do fs i m u l a t i o n o ff a t i g u es t r e s sb a s e do nw a v e l e t a n a l y s i s i s d e v e l o p e d ，a n ds o m en o t i c e a b l ep r o b l e m si np r a c t i c a ls i m u l a t i o na r ed i s c u s s e d i n a d d i t i o n t h ei d e n t i f i c a t i o no ft h es t r e s sc y c l e st h a tc a u s i n gf a t i g u ed a m a g ei sa l s o r e s e a r c h e di nt h i s p a p e ru s i n gt h es o c a l l e d r a i n f l o wc o u n t i n gm e t h o d a n dt h e d i s t r i b u t i o no ft h es t r e s sr a n g e si sf i t t e du s i n gm e b i p a r a m e t e rw e i b u l ld i s t r i b u t i o n t h ee f f e c to ft h es a m p l i n gf r e q u e n c yi sd i s c u s s e db ys o m en u m e r i c a le x a m p l e s a f t e rt h es a m p l i n gf r e q u e n c yi sc h o s e n ，s e v e r a ls a m p l e sa r es i m u l a t e du s i n gf o u r i e r m e t h o da n dw a v e l e tm e t h o d r e s p e c t i v e l yf r o mt h es a m e s t r e s sp o w e r s p e c t r u m t h e n t h es t r e s sc y c l e sc a u s i n gf a t i g u ed a m a g ea r ee x t r a c t e df r o mt h es t r e s sh i s t o r yu s i n g t h er a i n f l o wc o u n t i n gm e t h o d t h ep r o b a b i l i t ym o d e lo fs t r e s sr a n g e si so b t a i n e db v w e i b u l l d i s t r i b u t i o n f i t t i n gt ot h es t r e s sr a n g e st h a ta f r e c tt h ef a t i g u ed a m a g em o s t f i n a l l y ，t h et w op r o b a b i l i t ym o d e l so b t a i n e db yu s i n gt h et w od i f f e r e n ts i m u t a t i o n m e t h o d sa r ec o m p a r e d i i w a 、，e l e th a se x c e l l e n tl o c a lp r o p e r t y t h i si st h eb i g g e s ta d v a n t a g eo ft h ew a v e l e t h o w e v e r , o n l yt h e s i m u l a t i o no fn o r m a ls t a t i o n a r ys i g n a lb a s e do nt h ew a v e l e t a n a l y s i s i sc o n c e r n e di nt h i s p a p e r t h ea d v a n t a g e o fw a v e l e ti sn o tu t i l i z e d a d e q u a t e l y i nf a c t b o t ht h ew a v e 1 0 a da n di h es t r e s sc a u s e db yi ta r en o n s t a t i o n a r y p r o c e s s e s i na d d i t i o n ，t h e y a r en o tn e c e s s a r i l yn o r m a lp r o c e s s e s i nt h e o r y ，t h e w a y e l e tt r a n s f o r r nc a nh o p e f u l l yb eu s e dt os i m u l a t en o n s t a t i o n a r ya n dn o l i - n o r m a l p r o c e s s e s ，a n db yd o i n g s om o r er e a s o n a b l er e s u l t sc a r lb ee x p e c t e di n f a t i g u e a n a l y s i s t h i si sa ni n t e r e s t i n gs u b j e c tw o r t hf u r t h e r r e s e a r c h k e y w o r d s ：f a t i g u ed a m a g e ，s i m u l a t i o no fs t r e s sh i s t o r y , r a n d o mp r o c e s s ，f o u r i e r t r a n s f o r m ，w a v e l e tt r a n s f o r n a ，r a i n f l o wc o u n t i n g ，s t r e s sr a n g e 第一章前言 1 - 1 概述 第一章前言 对许多大型工程结构而言，由于在服役期间受到各种不同变化的载荷作 用，使得结构内部产生了交变应力，从而造成结构的疲劳损伤。统计数据表明， 疲劳破坏是一些大型结构物，如飞机、船舶、海洋平台等破坏的主要形式之一。 根据我国对飞机使用情况的统计，在与结构强度有关的事故中，8 0 以上是由 于结构疲劳引起的。国外的资料也显示，飞机事故中由于疲劳引起的事故数量 最多。在船舶与海洋工程领域，美国海岸警卫队船舶结构委员会( s h i p s t r u c t u r e c o m m i t t e e ，u s c o a s tg u a r d ) 曾组织力量对六种类型的各一艘民用船舶及九艘 军舰中共六十多万个结构细部进行调查研究和统计分析，结果表明约有1 9 的 破坏与疲劳有关。历史上几次海洋平台的重大事故，如1 9 6 5 年s e d c o 型半潜 平台的破损沉没，1 9 8 0 年a l e x a n d e rk e y l a n d 号半潜平台在北海翻沉，疲劳损 伤都是重要原因之一。 疲劳问题是如此的重要，使得自从1 8 6 7 年德国工程师沃勒在巴黎博览会 上展出车轴疲劳试验结果，提出疲劳极限概念，从而奠定了疲劳强度设计的基 础后，工程界对疲劳问题的研究一直方兴未艾。随着对疲劳问题研究的深入， 特别是在s n 曲线和m i n e r 准则出现后，人们意识到应力历程是疲劳问题中的 核心数据。如果不能知道结构可能发生疲劳破坏的危险点处的应力历程，就很 难对结构进行疲劳分析。应力是结构对于输入载荷的响应，因此知道了结构所 受的载荷和结构的特性，就可以知道结构的疲劳应力历程。但疲劳损伤和破坏 是个不可恢复的过程，结构发生疲劳破坏的时候已经失效，所以结构所受的载 荷历程在结构发生疲劳破坏前是无法准确知道的，相应的应力历程也无法准确 知道。许多工程结构所受的载荷是一个随机过程，由此引起的应力输出响应也 是个随机过程。如果能建立载荷过程或应力过程的数学模型，就可以用此模型 对结构做疲劳分析，得到具有统计意义的结论。对一些批量生产而且工作状况 类似的结构，如飞机、汽车等等，可以采用做试验的方法，得到一组疲劳载荷 和疲劳应力的样本，然后用统计方法确定载荷过程和应力过程的数学模型。 试验方法虽然准确，但耗费时间长，费用高昂，能得到的样本容量也有限。 而且对于某些结构物而言，比如船舶和海洋平台，疲劳实验根本无法进行，因 为这些结构物生产批量小，尺寸大且结构复杂，做疲劳实验既不经济又不现实。 近年来随着计算机技术的迅猛发展，数值仿真技术在许多领域得到了广泛应 用，并显示了强大的生命力。如果能用仿真技术完整地模拟疲劳损伤的全过程， 第一章前占 并进行多次重复仿真计算，就可以获得具有统计意义的结论，最后建立载荷过 程和应力过程的数学模型。和实验方法相比，这种方法需要的时间短，成本低， 节省了大规模随机疲劳试验所需要的时问和开支。现阶段疲劳研究的一个热 点，就是数值仿真技术在疲劳载荷模拟和疲劳应力模拟中的应用。 1 - 2 国内外研究现状 早在1 9 7 2 年，美国加州喷气推进实验室的j n y a n g l 7 1 就研究了平稳包络过 程和非平稳包络过程的模拟，提出了用快速傅立叶变换模拟平稳包络过程以及 用一系列具有随机相位角的正余弦函数和的均方根模拟非平稳包络过程的方 法，并给出了模拟公式。在船舶与海洋工程领域，w i r s c h i n g l 4 。5 吲入了j n y a n g 的思想，提出了宽带谱下疲劳应力的模拟方法。j c a c k o f “1 曾就随机过程的计算 机实时模拟做过研究和探讨，n k l i n 和w h h a r t t t ”1 也研究过近海结构宽带谱 疲劳应力的时间序列模拟方法。国内方面，台湾学者在九十年代初报告了在“国 科会”资助下在计算机数值仿真计算随机载荷作用下疲劳损伤方面所做的工 作，上海交通大学力学系结合海洋平台结构的模型试验，在海洋平台结构疲劳 寿命估算中部分地采用了计算机数值仿真技术。 1 9 8 6 年以后，由于y m e y e r 、s m a l l a t 及i d a u b e c h i e s 等人的奠基工作， 小波分析作为一门新兴的学科得到了迅速的发展。作为f o u r i e r 分析的发展， 小波分析除继承了f o u r i e r 分析的优点之外，还具有很多f o u r i e r 分析不具备的， 但又是十分重要的优点。特别是在分析非平稳过程上，由于小波良好的局部特 性，使得它相比f o u r i e r 分析有相当明显的优势。而很多疲劳载荷过程都是非 平稳过程。j n y a n g 和w i r s c h i n g 等人基本上都是将疲劳载荷转化为平稳过程 来研究的；即使是提出了非平稳过程的模拟，实质上模拟的也只是近似的非平 稳过程。小波分析的出现，使模拟真正的非平稳过程变得可能。但由于不象 f o u r i e r 分析那样发展得比较完备，小波分析作为一门比较新兴的学科，自身有 许多问题还没有得到很好的解决，因此在用小波模拟载荷过程和应力过程方面 开展的研究很少。k g u r l e y 和a k a r e e m i “”3 在这方面做过一些研究，不过并 不很深入。 1 - 3 本论文的研究工作 本论文的主要任务，就是研究如何以小波为手段，从载荷功率谱出发来模 拟结构的实际应力历程，最终建立载荷谱下造成疲劳损伤的应力范围分布的模 2 第一章前言 型。 本论文提出了用小波分析工具模拟平稳应力历程的方法，并就确定的载荷 功率谱和系统传递函数分别用f o u r i e r 分析和小波分析模拟出了平稳应力历程。 然后用雨流计数法计出了应力历程中包含的应力循环，对应力范围的分布做了 拟合，提出了应力范围的概率模型。最后对两种方法下得到的两个概率模型做 了分析和比较。 需要指出的是，由于小波本身的发展还不是很完备，因此本论文中关于用 小波分析模拟平稳应力历程的工作只是种探讨。而且就小波的性质而言，它 在模拟非平稳过程上比模拟平稳过程更具有优势：但限于水平和时间，在这方 面未做深入研究，相信这将是今后的一个研究热点。 辩二章模拟应力，时间历程的f o u r i e r 方法 第二章模拟应力时间历程的f o u r i e r 方法 研究结构的疲劳问题时，所关心的是可能发生疲劳破坏的危险点处的应力 历程；而直接能够得到的资料，通常是加在结构上的波浪载荷谱和结构的组成 情况。这样在波浪载荷谱和由波浪载荷引起的应力的功率谱之间就存在一个转 换关系，模拟应力一时间历程前要先明确这个关系。具体到如何模拟应力一时间 历程，j n y a n g l l 给出了一般情况下模拟平稳随机过程的理论公式，w i r s c h i n g t 4 q 针对船舶与海洋工程中的疲劳问题对疲劳应力一时间历程的模拟做了研究。这 些模拟方法的基础都是f o u r i e r 变换。 2 - 1 线性变换法 要对船舶或海洋结构物进行疲劳分析，一项必不可少的数据就是可能发生 疲劳破坏的点，即危险点处的应力历程。获取这项数据的途径很多，大致可分 为两类：时域方法和频域方法。时域方法是先确定结构的外加载荷，然后求出 结构在不同时刻的应力响应值，最终得到需要的应力历程。船舶和海洋结构物 尺寸大、结构复杂，且疲劳应力历程持续时间相当长，通常可达到2 0 年以上， 如果用时域方法计算，计算量将非常惊人，几乎是不可能的。要确定疲劳应力 历程，一个简便可行的方法是线性变换法”】。由于这种方法涉及到了载荷与应 力在频域方面的信息，所以也被称为频域方法。 线性变换法的基本思想如下：将船舶或海洋结构物看作一个线性时不变 ( l t i ) 系统，系统输入为海洋波浪历程x ( f ) ，输出为疲劳破坏点处的应力历 程y ( t ) 。如图2 1 所示【l 】： x ( f ) 吐亘巫 _ 一y ( f ) a ”掣巧d u - 1 x ( t ) ? q 觏础) 协， 吨掣。掣+ 一，掣地州 “ 其中，b 0b l 一，b 。不全为0 。 4 第二章模拟应力时间历程的f o u r i e r 方法 设x ( o n y ( t ) 的傅立叶变换分别为x ( ) 和y o 吐) ) ，对上式两边做傅立叶 变换得： a n ( ) ”爿( ，甜) + a 。，( c o ) “1 ( ) + + q 0 出弦( ，) + o ) = ( ，) y ( j g o ) + b m 一。o 广。) ，( ) + + 岛o d ) y o ) 十6 0 y o ) ( 2 2 ) nm = ，a k o 珊) 。d ) = z b 。( ) y o ) 女= 0 = o ，( f 国) j 崩2 e o 。( y 6 。o 缈y ( 2 3 ) 如果由式( 2 1 ) 描述的l t i 系统的频率响应为h ( j c o ) ，那么根据l t i 系 统的卷积性质有： ，o ) = h ( j c o ) x ( j c o ) j 咖) = 黜 弦。， 从式( 2 4 ) 可以看出；系统的频率响应h 0 o ) ) 正好等于系统输出的f o u r i e r 变换和系统输入的f o u r i e r 变换之比，因此日0 ) 描述了输入和输出在频域的 关系。 联立式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 即可求出h ( j c o ) ，然后求得此l t i 系统的单位 脉冲响应【目： o ) = 日o 国如d 埘 根据卷积性质，对l t i 系统有 y ( f ) = x ( f r 弦r ( 2 5 ) ( 2 6 ) 从式( 2 6 ) 可以看出：对于l t i 系统而言，如果知道了系统的单位脉冲 响应 o ) 和系统的输入z o ) ，就很容易求得系统的输出响应y o ) 。 2 - 2 单位脉冲响应 0 ) 的确定 对船舶和海洋工程结构物这样的复杂系统，方程式( 2 1 ) 中的参数a 。和 瓯是很难知道的。也就是说很难象上面那样由式( 2 1 ) 先求h d ) ，进而确 定 ( f ) 。式( 2 1 ) 的意义仅在于从理论上提供了一种求 0 ) 的方法，实践中几 第二章模拟应力时间历程的f o u r i e r 方法 乎不可能这样做。实际上，对l t i 系统有另外一种非常简单的方法求 ( ，) 。 令x ( t ) = 占( f ) ，则根据式( 2 - 6 ) 可得： y o ) = 广占( f m 0 一r ) d v = ( ，) ( 2 7 ) 所以，在求 o ) 的时候并不需要知道微分方程( 2 - 1 ) 中的系数值。只需要 给系统加一个单位冲激j o ) ，测出的系统输出就是 ( f ) 。这也是把 o ) 称为系 统单位脉冲响应的原因。 2 - 3 载荷功率谱转化为应力功率谱 首先介绍一下功率谱的概念。对随机过程x o ) ，定义其自相关函数为3 r x ( f l f ：) = e x o ，) x o ：) 】 = x 。x ：厂g ，x ：；f ， f 2 ) 出，d x ： ( 2 ，8 ) 其中e 【】表示求期望，s ( x 。，x 。；f 。，t ：) 为x ( f ) 的二维分布密度【3 1 。 如果o ) 是一个平稳随机过程，则有【3 】：1 厂g 。，x ：；f 。，t ：) = 厂g 。，j 2 ；f ，+ r ，t 2 + f ) ( 2 9 ) 很容易证明： r x o 。，f 2 ) = r x ( f l + r ，t 2 + r ) ( 2 1 0 ) 因此对平稳随机过程而言，自相关函数r x ( f 。t ：) 仅和t ：一t ，有关。如果令 r = ，：一r ，通常将自相关函数写为： r x ( r ) = r x ( f + r ) 对尺( ) 做f o u r i e r 变换，得： s x 如) = l r 。( ) e 咖d r ( 2 1 1 ) ( 2 一1 2 ) 曲妇) 就称为平稳随机过程z ( f ) 的功率谱，简称谱。虽然它是在数学上用 随机过程理论和f o u r i e r 变换得来，但对信号而言，它具有明确的物理意义。 平稳随机过程x ( f ) 的功率谱以0 ) 的含义是x ( f ) 在频率国处的功率谱密度。如 果对s ，妇) 做全段积分，得到的就是( f ) 在整个时段和频段上的平均功率。后 面如果没有特别说明，谱指的都是功率谱。 要模拟的是应力历程盯( f ) ，而已知的是波浪载荷谱g 。) 。知道了h ( j c o ) 和 ( ”后，如果先直接模拟出波浪载荷历程x ( f ) ，再用式( 2 6 ) 来求盯“) ，计 算将比较繁琐。换一种思路，可以先推导出波浪载荷谱g 。) 和应力谱 g 。c o ) 之间的关系，根据q 。如) 求得g 。白) ，再用g 。) 直接模拟仃o ) 。这 白，丁) = f ，疋t p “曲 ( 2 - 1 3 ) c ，7 1 ) = e 仃o 1 “出 ( 2 一1 4 ) g 。扫) = ；鳃寺e 6 乓，r 】2 j ( 2 一j 5 ) g 。如) = ，l i + m 。1 ，7 6 如，r 】2 】( 2 - 1 6 5 盯m ( r 如o r ) 如 ( 2 1 7 ) c 如，7 1 ) = e e l “ o x ( o h ( t r 弦础 ( 2 1 8 ) 2 ( r 炒7 f ( r r 砂。一r ，d ( f 一，她 - g o o ( o , ) = ，l i 川m _ j 丁_ 1f k 白，7 1 2 】( 2 - 2 0 ) 2 憋寺e i - v 缈岐白，1 2 j = f 胃( ，国】2 嬲寺e k o ，r 剃 = 】日d 国】2 ) ( 2 2 1 ) 。在磐兰了璺? 竺) 辛口日( 。) 后，即可由式( 2 2 1 ) 求得g 。) ，接着就要 2 鼍一如) 毫模竺应力历程。船舶与海洋工程中常用的菇簸毒有“；三二： ? 。5 k ：奠 2 ，谱( 简称p m 谱) 和北海波浪联合研究计划谱( 简称j o n s w a p 谱；。 p 。m 谱是由p i e r s o n 和m 。s k 。w j t z 给出的适用于无限风区充分发展波浪的蕞磊 7 笫二章模拟应力时间历程的f o u r i e r 方法 谱，其数学形式如下( 1 1 ： 陆和m 圳 式中：g = 9 8 l m s2 ，口= 0 0 0 8 1 ，= o 7 4 速，单位，7 2 s 。 0 甜 c o ， g = 9 8 1 m s2 为重力加速度；“为静海平面上空1 0 米处的风速，单位叫j ；x 为风区长度； y 、盯。和o 。是j o n s w a p 谱n _ - 个形状参数。图2 - 3 给出了 y = 3 3 ，盯。= 0 0 7 ，吼= 0 0 9 ，x = 6 0 0 k i n 时几种不同u 下的j o n s w a p 谱的形状： g 。) 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 0 0 l t l 系统的频率响应u ( j , o ) 也称系统的传递函数，因为它表征了系统的输 入输出在频域上的关系。具体求h ( j c o ) 的方法不是本论文所关心的内容，这里 假定4 ( j o ) ) 已知，而且已经根据h o ) 和波浪载荷谱g 。如) 求得了应力谱 ) 。 本论文采用的是p m 谱。p m 谱的n 次矩为【1 i ： = ”等唧m 圳如 厅 弘缈 0厅30厅5 20 厅2 0 3 2 石 图 510厅0万50o 第二章模拟应力时间历程的f o u r i e r 方法 = 诮聊r 删 z ， z ， 式中f 为伽马函数，根据式( 2 2 7 ) 可求得有义波高h 。为： 驴。舯1 i 耳a g 2 i j 丽g ) 4 t 型：o j 和m 跏。树勘4 - o 解得主频率为： 甜。= ( o 8 卢) 星 波浪主波周期： = 薏= 南4 r 需要指出的是，有时候使用的是关于频率，的应力谱矽驴) 关于圆频率的谱，所以进行谱转换前应该先将单位换算统一。 2 4 用f o u r i e r 工具模拟应力时间历程： ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 而p m 谱是 结构的应力一时间历程是一定程度上的平稳随机过程。根据随机过程理论， 任何一个平稳随机过程工( r ) ，可由具有确定量值的幅值a 、圆频率和相位角 0 的谐波函数的和来表示嘲： x ( r ) = 口。c o s ( ( o ，t 一0 ，) ( 2 3 3 ) i = 1 其中0 ，是在( o ，2 万) 范围内服从均匀分布的独立随机变量，因此z o ) 是平稳随机 过程。根据相位角的概率密度函数和z o ) 的均值均方值等运算可得： x ( f ) ：窆 2 g 。c o 。) ，】c 。s 白，f 一0 。) ( 2 3 4 ) g 。) 为鼻寸应的应力功率谱密度值，a c o 为选择频带宽度。需要注意的是 第二章模拟应力一时间历程的f o u r i e r 方法 此处的g 。( c o ) 为单边应力谱。 关于单边谱和双边谱，这里简要做一下解释。对于根据式( 2 1 2 ) 定义的 功率谱s ，c o ) ，可以很明显的看出是个偶函数。即有： 妇) = ( _ ) ( 2 3 5 ) 因此这个谱也称为双边谱。但在工程实际中，圆频率没有负值，双边谱在 c o ( 一o 。，0 ) 内没有意义。在工程上用到的是单边谱，单边谱的定义为： g 知) = 糍 协，s ， 单边谱和双边谱的示意图见图2 4 ： o8 06 04 02 0 【 1 5- 4- 3- 210123 图2 - 4 如果用( 厂) 来模拟，因为： 0 9 = 2 巧 所以式( 2 - 3 1 ) 变为： x o ) ：窆【4 石矽) 甑 c o s ( 2 矾r 一只) i = 1 一- 45 c o ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 在计算机上只能计算有限长序列，因此必须先对f 进行截断，只取f 在某 一范围内的值进行计算。虽然c 厂) 是定义在f o ，+ m ) 上的，但汐) 总有一 个带宽范围，在高频和低频部分，w ) 都会衰减。就是说，应力历程的能量 第二章模拟应力一时问历程的f o u r i e r 方法 主要集中在主频率厶，也就是使w 驴) 取最大值的频率附近。所以我们可以定 义一个最低频：1 。和一个最高频l 。、，使得在区间k 。，毛、 上集中应力绝大部 分的能量，而高于- ，二。和低于l 。的频率成分可以忽略不计。 至于l 。、和工。的选取，有很多方法。这里取工。和厶。使得： w 帆。) = w 。) = s ) 为一足够小的数，如可取0 0 1 。 待确定s ，求出l 和w ，) 后， 令厂= 厂眦。一厶n ，则有： _ = l 。，v = m ； f = i ，= _ + m r 2 ( 2 3 9 ) 就可由式( 2 3 9 ) 求出工。和兀。 ( 2 4 0 ) 关于频率分割段数”的选取，w i r s c h i n g 认为应取2 0 ”1 2 0 ，且取 ，一2 0 已经足够。虽然n 越大计算量也越大，但由于现在计算机运算速度的 提高，z 的大小与否对计算量问题的影响可以不考虑。而且n 取得越大，谱分 割得越细，有助于提高精度，所以，? 可以适当取大一些。在实际模拟的时候， 可以取不同的”值分别进行模拟，比较得到的结果，最终确定合适的”。 方便起见，取颤= 瓠一= 蜕，这时候： m = ( 厂n 。、一兀。) ” i = 1 , 2 ，” ( 2 - 4 2 ) 还有一个重要的问题是采样频率f 的选取。单纯从信号分解重构的要求出 发，f 不一定需要取得很大。按照采样定理【2 】，f 需满足以下关系： 六 2 脾、 ( 2 4 3 ) 但现在的情况有所不同。疲劳分析中关心的是应力历程中包含的应力循 环，希望得到的是应力历程包含的峰谷值。不管f 如何选取，总不能保证将所 有的峰谷值都采到，因此必然存在采样误差；然而如果采样值与峰谷值的差小 于某个值，也就是说采样误差足够小，采样值就可以被接受。要做到这点，采 样频率就要尽可能的大，以便能采到尽可能多的值，从中选择最接近峰谷值的 值。实际模拟的时候，先用几个不同的厂| 分别模拟，计出各自包含的应力循环 并比较结果，从中选择合适的f 。 需要指出的是：采用式( 2 - 3 8 ) 模拟出来的应力历程z f ，) 是一个周期函数! 很容易证明，其周期丁是各谐波分量周期z = 1 f 的最小公倍数。因此从严格 意义上来说，这样模拟出的并不是一个真正的平稳随机过程；但如果厂m 。和 颤取得适当，周期丁会相当大，可近似认为x ( ，) 是一个平稳随机过程。 第三章小波理论的基本概念 第三章小波理论的基本概念 用f o u r i e r 方法模拟应力一时间历程在理论和实践上都已经发展得比较成 熟。这种方法的优点是简单易行；缺点之一正如前面已经指出的，模拟出的并 不是一个真正的平稳过程。小波作为f o u r i e r 分析发展的结果，除继承了f o u r i e r 分析的优点之外，还在许多方面有了重要突破。 本章部分数学符号说明： 妒妒o ) n d x p 小波母函数 尺度参数 位置参数 函数定义域 函数集 z 2 ( r ) ，矿，u 0 ) p g l 9 0 ) a k ，钆 平方可积空间 r 伍) 的子空间 尺度函数 两尺度序列 正交镜象滤波器 3 - 1 小波分析 小波的起源可追溯到1 9 0 9 年h a a r 的工作，但直到1 9 8 6 年，由于y m e y e r 、 s m a l l a t 和i d a u b e c n e s 等人的奠基工作，小波才得到了迅速的发展。小波分 析和f o u r i e r 分析有着不可分割的联系，它是f o u r i e r 分析发展的划时代的结果。 “什么是小波”? 广义的讲，小波妒；( 工) 是一个函数序列，其中x 属于域， 吼属于一个函数类p ，2 属于一个指标集a ；小波族和 g ) 是函数类舻的一 个基底u 3 】。好比符合d i f i c h l e t 收敛条件的函数都可以用f o u r i e r 级数来表示， 任何属于p 类的函数也可以用小波函数序列妒，( x ) 表示。通俗的讲，小波是一 种函数的分解重构工具。 小波分析是由f o u r i e r 分析发展而来的，因此它和f o u r i e r 分析有很多相似 之处，比如说它们都是函数的分解重构工具，可用于对符合某种条件的函数进 行分解，然后再按一定的方式进行重构。但小波分析和f o u r i e r 分析也有着相 当大的不同，而且也正是这种不同导致了小波分析和f o u r i e r 分析本质上的差 异。比如两者的基函数：f o u r i e r 分析的基函数是正弦函数，小波分析的基函数 则有有很多种形式，分析信号时可以有针对性地选择合适的基函数，甚至可以 自己设计基函数；f o u r i e r 分析的基函数具有单一频率，且在时域上无限延伸， 小波分析的基函数的频域具有一定的带宽，在时域上可以是紧支的。小波分析 不同于f o u r i e r 分析的这些特征使得小波分析更具有灵活性，应用更广泛。 第三章小波理论的基本概念 小波的基函数序列仍x ) 中有一个母函数妒g ) ，基函数序列中所有其它的 函数称为子小波，它们都由这个母函数经过伸缩和平移而来呷1 ： 小) 蝌妒( 孚) ( 3 1 ) 母小波函数p g ) 必须满足一定的条件，称为容许性条件。设妒g ) 的f o u r i e r 变换为驴) ，容许性条件为m 1 ： ：r m 鲢盟d 1 ( 或1 a 。 0 ) 。当j 7 2 = 0 时，取固定 b 。( b 。 0 ) 的整倍数离散化b 是很自然的选择。当然，在选择b 。的时候，要 保证妒b n b 。) 能覆盖整个实轴。所以，我们选取d = a o ，b = n b 。d ? ( m ，n z ) 。 这时相应的离散族为： 。g ) ：n 妒f 掣1 ：矿”妒如i x - n b o ) ( 3 - 2 4 ) l“o 相应的离散小波变换为： d p w t ( m , n ) = a o e 几地b o k ( 3 - 2 5 ) 离散小波变换中，作为一种方便的形式是采用二进制离散，得到的小波和 小波变换称为二进小波和二进小波变换。这就是取a 。= 2 、b 。= 1 ，相应的二 进离散小波变换为： d p w t ( m , n ) = 2 一e 厂( 2 一一”皿 ( 3 2 6 ) 工程实际中经常用到的是这种二进离散小波变换形式。后面如果没有说 明，所说的小波都是指的这种二进离散小波，相应的小波变换也指的是二进离 散小波变换。 3 - 2 多分辨分析 3 - 2 1 多分辨分析的定义1 1 3 小波族妇。j 生成三2 忙) 上的r i e