（基础数学专业论文）minkowski平面闭曲线几何扩张问题的研究.pdf

中文摘要 中文摘要 始于上个世纪七十年代的几何扩张问题源于计算几何的个简单问题，如今已 在计算机科学与数学的各个领域取得了深入发展和广泛应用如机器人行为设计、 微分与积分几何、结点理论、数字理论、凸分析等它的研究开始于欧几里德平面， 并得到了相对丰富的理论成果，包括图形扩张、点集扩张、闭曲线的几何扩张等 当前相关研究逐步推向了赋范平面( 即m i n k o w s k i 平面) 平面闭曲线几何扩 张问题研究的中心任务之是对其下界进行探讨，本文着重研究m i n k o w s k i 平面闭 曲线的几何扩张 本文首先对前人在m i n k o w s k i 平面闭曲线几何扩张问题的研究方法及成果作 了系统分析与总结，本文的中心任务是对m i n k o w s k i 平面简单可求长闭曲线几何扩 张的下确界给出了量化结论利用m i n k o w s k i 平面单位圆周的下界是6 给出闭曲线 几何扩张奴( c ) 1 5 这一量化结果，利用平分对变换等手段给出了取。不等号” 的充分条件及取“等号”的必要条件，并证明了正相似扩大是一种保持扩张的变换 最后，对欧氏平面与m i n k o w s k i 平面闭曲线几何扩张问题做了简单比较和总 结 关键词： 凸曲线；m i n k o w s k i 平面；几何扩张；平分对；相似扩大 ab s t r a c t t h eg e o m e t r i cd i l a t i o np r o b l e m ，as i m p l eq u e s t i o nf r o mc o m p u t a t i o n a lg e o m e - t r yb e g i n si nt h e1 9 7 0 s ，b u ti td e v e l o p si n t ov a r i o u sf i e l d so fc o m p u t e r s c i e n c ea n d m a t h e m a t i c s ，l i k er o b o tm o t i o nd e s i g n ，d i f f e r e n t i a la n di n t e g r a lg e o m e t r y , k n o t t h e - o r y , n u m b e rt h e o r ya n dc o n v e xg e o m e t r y t h er e a s e r c hb e g i n sw i t ht h ee u c l i d e a n p l a n e ，a n dl o t so fr e s u l t sa l eo b t a i n e d t h ep r o b l e m si n c l u d eg r a p hd i l a t i o n ，p o i n t s e td i l a t i o n ，t h eg e o m e t r i cd i l a t i o nc l o s e dc u r v e sa n ds oo n t h e s ed a y s ，t h er e l a t e ds t u d ya r eg r a d u a l l ys p r e a dt o ( n o r m e do r ) m i n k o w s k i p l a n e sf r o me u c l i d e a np l a n e s t h et h e s i ss t u d i e st h eg e o m e t r i cd i l a t i o no f r e c t i f i a b l e s i m p l ed o s e dc u l e si nm i n k o w s k ip l a n e sa n di t sf u n d a m e n t a lt a s ki st os t u d yt h e l o w e rb o u n do fg e o m e t r i cd i l a t i o no fc l o s e da u r v e si nm i n k o w s k ip l a n e t h et h e s i ss u m m a r i z e sa n da n a l y z e ss y s t e m a t i c a l l yt h er e s u l t st h a tw eh a v e k n o w na n df o c u so ns p e c i f y i n gt h el o w e rb o u n do ft h eg e o m e t r i cd i l a t i o no fr e c t i f i a b l e s i m p l ed o s e dc u r v e si nm i n k o w s k ip l a n e s i nt h i sp a p e r ，o u rm a i nw o r ki st og i v et h el o w e rb o u n df o rt h eg e o m e t r i cd i l l - t i o no fc l o s e dc u r v e si nm i n k o w s k ip l a n e saq u a n t i t a t i v er e s u l t ，奴( e ) 1 5 ，w h i c h i si n d u c e db yt h er e s u l tt h a tt h ec i r c u m f e r e n c eo ft h eu n i tc i r c l esx i nm i n k o w s k i s x o f xi se q u a lt o6 b ym a k i n gu s eo ft h e s er e s u l t sa n d t h eh a l v i n gp a i rt r a m s - f o r m a t i o n ，w ed r a w st h es u f f i c i e n tf o rt h ei n e q u a l i t ya n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n f o rt h e e q u a l i t ya n dw es p e c i f i e st h a th o m o t h e ti s at r a n s f o r m a t i o np r e s e r v i n gg e o m e t r i c d i l a t i o n f i n a l l y , t h et h e s i sc o n t r a s t sa n da n a l y z e st h es i m i l a r i t ya n d d i f f e r e n c ei ng e o - m e t r i cd i l a t i o no fc l o s e dc u r v e so fe u c l i d e a np l a n e sa n dm i n k o w s k ip l a n e s k e y w o r d s ：c o n v e xc u r v e ；m i n k o w s k ip l a n e ；g e o m e t r i cd i l a t i o n ；h a l v i n gp a i r ； h o m o t h e t 一一 黑龙江大学硕士学位论文 如果没有特殊说明， ( x ，i i i i ) ； b = z ：1 ) ： o ( b ) ： i c l ： o c o n v ( c ) ： c i p q ： i i p q l i ： 如，q 加，g 】： 符号说明 本篇论文将使用下面的符号和缩写 赋以范数”0 的m i n k o w s k i 平面 x 的单位圆面 b 的边界，亦记作l s 支1 曲线c 的长度 曲线c 凸包的边界 曲线c 的中心对称化曲线 p ，q 两点闻的欧几里德距离 p ，q 两点间的m i n k o w s k i 距离 曲线c 上连接p ，q 两点的最短弧长 以p ，q 为端点的线段 m i n k o w s k i 平面x 上任一向量 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料 论文作者签名： 签字日期t年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构交送论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本 人授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 学位论文作者签名；f 司派钥b 导师签名秆翟铰 签字日期国f d 年f 月够日签字日期；洲护年j 月玷日 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 通讯地址。 电话： 邮编： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 m i n k o w s k i 几何简介 m i n k o w s k i 空间是有限维的实赋范线性空间m i n k o w s k i 空间的公理是由m i n k o w s k i 在文献【1 5 】中给出的，m i n k o w s k i 空间上的几何理论被称为m i n k o w s k i 几何它起 源于十九世纪晚期b r u n n 对凸体理论的研究和意大利学派关于抽象的线性空间的 理论研究，相关分支是由m i n k o w s k i 把它们整合在一起的此外，m i n k o w s k i 几何 区分了无限维赋范线性空间而独立地发展起来，关于一般凸体的理论是m i n k o w s k i 几何最为丰富的内容之一 似乎最早涉及m i n k o w s k i 几何意义下的非欧几何是由黎曼在文献【16 】中开始 的，文献【1 6 】中黎曼提到了j 4 范数此外，希尔伯特在1 9 0 0 年的著名演讲中也给出 了m i n k o w s k i 几何个描述关于实二维m i n k o w s k 空间即m i n k o w s k 平面有许多 基本的、简单的结果，这些结果经常被用在m i n k o w s k i 几何的研究中m i n k o w s k i 几何理论已渗透到数学的不同领域，如离散几何和数字几何、凸几何、泛函分析、 最优化问题、计算机科学与组合理论等 m i n k o w s k i ，l 舸是类非欧几何正如t h o m p s o n 在【2 】在中所说。“相对于欧 几里德来说m i n k o w s k i 空间不具有各向同性”，即存在。优先”方向再如m i n k o w s k i 空间的“圆”，“球面”是一些凸的图形，并不是欧氏空间中的圆形，欧氏平面中单 位圆的周长是吾，而在m i n k o w s k i 平面中，单位圆的周长可能是6 , - 一8 之间的任何 个数m i n k o w s k i 空间与欧几里德空间最大的区别是m i n k o w s k i 空间里没有垂 直的概念，因此，m i n k o w s k i 空间中许多问题的都要采取新的研究方式 1 2 课题研究现状 1 2 1 欧几里德平面情况 我们首先来简要地介绍欧氏平面闭曲线的几何扩张的研究现状欧氏平面的研 究较早，现已有相当丰富的理论成果( 包括图形扩张，点集扩张、开曲线的几何扩 张等) m i n k o w s k i 平面闭曲线几何扩张问题的研究是由h o r s tm a r t i n i 与吴森林 开始的，他们将该领域欧氏平面的许多理论及研究方法推广到m i n k o w s k i 平面，并 取得了许多新的理论成果 我们首先来介绍 黑龙江大学硕士学位论文 定义1 1 1 5 1 欧几里德平面e 上任意可求长简单闭曲线c 的几何扩张定义为； 5 e ( g ) ：s u p d c 百( p , q ) p ，q a ci p q i 其中，p ，q 为闭曲线c 上的任意两点，如，g ) 表示曲线c 上连接p ，q 两点的最 短弧长，i p 口i 表示p ，q 两点间的欧几里德距离 注：简单曲线：是指曲线没有自身相交的部分 i c i = s u p 挪t ) 一m 一。) i ：( t o , t l t n ) ) i = o ( t o ，t l ，t n ) 是【q ，p 】的个划分若这一上确界存在则称c 是可求长的 注；尽管曲线c 的长度取决于其平面上单位圆的度量单位，但是否可求长却与 其无关 从定义中我们可以看出刿i p q l 是闭曲线c 上点对0 ，q ) 的泛函，而闭曲线c 的几何扩张5 s ( c ) 正是该泛函的上确界 从我们在前一节中的介绍可知，平面闭曲线几何扩张问题研究的中心任务之一 是寻求扩张的下确界e b b e r s - b a u m a n n 等人在文献【7 】中证明了欧几里德平面闭 曲线几何扩张的下确界是詈( 见【9 】和【10 】) ，并证明了在欧几里德平面内圆是唯 一可达这一下确界的闭曲线欧氏平面研究取得了相对丰富的理论成果，本文不做 过多介绍( 见文献【8 】，【1 1 ，1 1 2 ) 1 2 2 赋范平面情况 随着科学的发展，仅欧氏空间的理论已不能满足理论和实际应用的需要，有必 要在更加广泛的领域里去研究几何扩张问题，在很多情况下取代欧氏平面定义是更 有意义的为此，h o r s tm a r t i n i 与吴森林开创了赋范平面闭曲线几何扩张问题的 研究，把欧几里德平面闭曲线几何扩张的研究引向赋范平面，即向m i n k o w s k i 平面 推广 文献【1 】1 中给出了与欧氏平面完全一致的 定义1 2 【1 】m i n k o w s k i 平面x 上任意可求长简单闭曲线c 的几何扩张定义为 奴( 啦船背p ，q e o，y 其中，p ，q 是闭曲线c 上任意两点，如( p ，口) 表示曲线上连接p ，q 两点的最短弧 长， i i p q l l 表示p ，g 两点的m i n k o w s k i 距离 文献f 1 1 系统地论证了m i n k o w s k i 平面内可求长简单闭曲线下界问题。给出并 证明了下面两个重要结论： 第1 章绪论 定理1 3 i lm i n k o w s k i 平面x 内任意可求长简单闭曲线c 的几何扩张的下 确界是其单位圆周长的四分之一即奴( c ) 掣 文献【l 】利用曲线的弧长参数化、平分对变换等方法对下界是否可达进行了充 分讨论( 我们将在2 2 、2 3 节给出平分对定义并将系统论述) 文献【1 】中还给出了 如下重要结论 定理1 4 【1 l 设x 是个严格凸的m i n k o w s k i 平面，那么它的圆是唯一的几 何扩张可达生型4 的简单可求长闭曲线，即以它的单位圆圆周的四分之一作为它们的 几何扩张 而对非严格凸的m i n k o w s k i 平面闭曲线几何扩张下界也给出了相应的分析和 论证 注；如果取是严格凸( 即s x 不包含非退化的直线段) 的则称x 是严格凸 的 m i n k o w s k 平面x 上的圆是s x 的相似扩大，亦称m i n k o w s k 圆 为了更好地介绍本文的内容，现将m i n k o w s l 【i 平面x 内闭曲线几何扩张方面 的主要成果和论证过程作以基本回顾文献【1 】中首先以引理形式给出平面闭曲线 个重要性质： 定理1 5 i 】设c 是m i n k o w s k i 平面x 内任意可求长简单闭曲线，那么 i g l i & o n v ( c ) 1 这个定理是对欧氏平面内性质的一个推广( 见文献【2 0 】) 推论 1 6 【1 】设p ，q 是m i n k o w s k i 平面内可求长简单闭曲线c 上两点，满足 p ，g ) c ( cn & o n v ( c ) ) ，那么有幻( p ，q ) d a 渊v ( 回( p ，g ) 由推论1 6 进而证明了 定理1 7 1 l 设g 是m i n k o w s l ( i 平面x 内任意可求长简单闭曲线，那么 如0 ，q ) 西。一( c ) 0 ，q ) 为了寻求x 上闭曲线几何扩张的下界，文献【1 】给出了m i n k o w s k i 平面x 内 可求长简单闭曲线c 平分对的定义：设p 是可求长简单闭曲线c 上的一点，我们 称，g ) 是曲线c 的平分对，点g 是曲线c 上满足d c 0 ，q ) = 掣的点 然后给出了闭凸曲线的一个重要性质 定理1 8 1 1 l 设g 是m i n k o w s l ( i 平面内简单闭凸曲线，那么对于每一个方向 u s x ，都存在唯一的平分对v ，) ，即佃一口= 恼一口i i u ) 注：闭凸曲线：内部非空的平面有界闭凸集的边界 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 有了上述准备进一步利用平分给出了重要结论 定理1 9 【1 】设c 是简单闭凸曲线，那么c 的几何扩张在平分对处达到，即 奴( g ) = 揣 真正建立m i n k o w s l 【i 平面闭曲线g 几何扩张的下界与其平面单位圆周长联系 的是 定理1 1 0 【1 】设c 是m i n k o w s k 平面内简单闭凸曲线，那么 i c l 掣 ( c ) 其中，h ( c ) 是曲线的最小平分距离，我们将在第二章给予系统地介绍 定理1 1 0 恰恰是联系一般曲线与平面上单位圆的几何扩张的桥梁，使我们关 心的几何扩张下界的研究有了突破性的结果由上述准备得出m i n k o w s k 平面简单 闭曲线几何扩张下确界定性的表示结论s 即定理1 3 对于m i n k o w s k i 平面内任何 可求长简单闭曲线c ，有奴( g ) 掣，我们给出文献【1 】1 中关于1 3 的证明过程 证明由定理1 7 定理1 9 定理1 1 0 得： 泖) 泖一( c 炉鹄掣 这一结论显然是重要的成果，它说明了m i n k o w s k i 平面内任何可求长简单闭曲 线的几何扩张不小于其平面上单位圆周的四分之一我们知道欧几里德平面内简单 可求长闭曲线的几何扩张下界是吾，而这一数值也正是其单位圆周长的四分之一， 且圆是唯一的可达这一下确界的简单可求长闭曲线而对m i n k o w s k i 平面是否只有 圆才能达到下确界呢2 定理1 。4 中给出了回答，即严格凸的m i n k o w s k i 平面x 上， 圆是唯一的几何扩张可达掣的简单可求长闭曲线在文献( 2 】中还给出了掣这 一下界不可达的个充分条件 定理i i i 1 】设c 是闭凸曲线，且譬 2 那么奴( c ) 掣 以上就是目前m i n k o w s k 平面简单可求长闭曲线几何扩张问题研究成果的集 中体现 1 3 本文的主要内容 1 对几何扩张问题的背景及研究现状给出介绍和总结，特别是对刚刚起步的 赋范平面上闭曲线的几何扩张问题做了详尽的分析和总结 2 。e b b e r s - b a u m a n n 等人在文献f 4 】中用两种不同方法证明了欧氏平面简单闭 曲线几何扩张的下界是专，且g r o m o v 在文献【5 】5 证明了圆是唯一的下确界可达爰 一4 一 第1 章绪论 的闭曲线那么在赋范平面寻求一下确界的量化表示自然就成了我们的任务之一 尽管我们有定理1 3 ，但由于m i n k o w s k i 平面的单位圆并不同于欧氏平面的单位 圆，m i n k o w s k i 平面的单位圆是一些凸的图形，其周长也不是一固定的常数，鉴于 此，我们先对m i n k o w s k i 平面单位圆给了简要的介绍并在定理1 3 和定理1 4 的基 础上给出m i n k o w s k i 平面可求长简单闭曲线几何扩张下确界的量化结论即 奴( c ) 1 5 并对此不等式进行了详细论证，给出了定理3 8 和定理3 9 3 利用平分对变换进一步给出曲线c 的中心对称化曲线驴的一些重要性 质，有些给出了不同于原始文献上的证明 4 对保持几何扩张映射及其共轭空间曲线的几何扩张的问题给出了定理3 6 和定理3 1 3 等一些结论 5 就欧氏平面与m i n k o w s k i 平面闭曲线几何扩张问题进行了对比研究和总 结 我们整篇文章主要是讨论m i n k o w s k i 平面上任意简单可求长闭曲线的几何扩 张问题 黑龙江大学硕士学位论文 2 1 引言 第2 章平分闭曲线与几何扩张 通过前面的介绍我们可以看出，正如欧氏平面内简单可求长闭曲线的几何扩张 的下确界是通过平分对获得一样，m i n k o w s k i 平面上简单可求长闭曲线的平分对在 曲线的几何扩张问题的研究中同样扮演着重要角色为此，这一章里我们重点介绍 平分对，平分闭曲线及平分对变换等在研究几何扩张问题中不可或缺的内容本章 我们首先给出平分对的概念，并就平分距离与其相关几何常数的关系给出概述，然 后对曲线c 在平分对变换下的像矿进行了较详尽的论述，并证明了一些结论 2 2 曲线的平分对 2 2 1 平分对 为了更好地研究闭曲线的几何扩张我们在这一节里系统介绍平分对概念这里 平分对的定义与欧氏平面是完全一致的，它们的几何意义也完全相同，直接引自文 献 1 】 定义2 1 【1 l 设曲线g 是平面内任意简单可求长闭曲线。点对0 ，g ) 称为曲线g 的平分对，如果连接p ，q 两点的c 的每部分弧长都是曲线c 长度的一半，即 i i d c ，q ) - 等 线段忉，口】称为曲线的平分弦，p ，q 两点间的直线距离0 pg l l 称为曲线c 的平分距 离 不论是在欧氏平面还是在m i n k o w s k i 平面，平分距离与曲线的一些其它相关几 何常数之间关系都有很多有趣的结果 曲线c 上p = c ( 亡) ，口= c ( t + 掣) ( t 表示弧长) 两点分曲线c 为相等的两 部分，( c ( t ) ，c 0 + 粤) ) 是平分对的参数化表示 一般来说，某闭曲线的平分弦可能有无穷多条 任意u s 支，我们用k ( c ) 来表示曲线g 的 方向的平分距离的长度，对于 闭凸曲线c 来讲，u 方向的平分距离是唯一的，但一般说来，某曲线在给定方向 上可能有多条平分弦及不同的平分距离 我们用 ( c ) 。l 】i i c ( t ) 一c ( 亡+ 譬) o 来表示曲线c 的最小平分距离； 一6 一 第2 章平分闭曲线与几何扩张 用日( c ) 2 t m 【0 ，a x 俐i i c ( t ) 一c ( + 掣) 0 曲线c 的最大平分距离 并非对于任何简单闭曲线c 任何方向上都有平分对，定理1 8 告诉我们闭凸 曲线在每个方向u 上都有平分对，且每一个方向上的平对是唯一的 当h ( c ) = h ( c ) 时，我们称曲线g 为m i n k o w s k i 平面上的z i n d l e r 曲线，即 有常值平分距离的简单闭曲线 显然，欧几里德平面和m i n k o w s k i 平面上的圆就是典型的z i n d l e r 曲线，它们 的每一条直径都是其平分弦z i n d l e r 曲线在欧氏平面闭曲线的几何扩张问题的研 究中起有着重要的应用，本文不作过多的说明 2 2 2 平分距离与曲线相关几何常数的关系 本小节将简要介绍一下曲线的平分距离与相关几何常数的关系 文献f 2 】中总结了很多有价值的结果，如最小、最大平分距离与凸体的一些重 要的几何常数的一些不等式我们先给出一组定义 我们用k ( c ) 表示曲线c 在u 方向的平分距离；乙( c ) 表示曲线在 方向上 任意两点之间的最大距离；u 表示曲线的凸包的两平行支撑之间的最小距离；r ，r 分别表示曲线c 的外切圆和内接圆的半径 在这里我们给出文献【2 】中关于闭凸曲线的一组不等式( 文献【2 】定理6 2 7 ) 1 ，h u 2 h e l y ，_ 2 3 2 r 0 3 4 h h d 5 h 2 r 文献【2 】中定理【6 2 9 】还给出h u ，h 2 r ，h 詈； 定理6 2 1 6 给 出h 3 r 等 值得一提的是，这些不等式在欧氏平面一般都成立，欧式平面等边三角形的中 线长正是其内切圆半径的三倍就适合h 3 r 取等号的情况 另个重要的结论便是我们在前面介绍的定理1 1 1 ：设c 是闭凸曲线，且鲁 2 那么奴( c ) 掣，这些结论都表明了平面闭凸曲线的一些几何常数之间及其与 曲线c 的几何扩张的关系，还有许多相关不等式，本文不作详细介绍 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 2 3平分对变换与曲线中心对称化 我们先介绍特殊而重要的一种线，即以原点d 为对称中心的中心对称闭曲线， 其平分对一定是( 一p ，p ) ，这里p 是曲线c 上任意一点 不论是在欧几里德平面还是m i n k o w s l c i 平面中心对称闭曲线特别是闭凸曲线 在几何扩张问题的研究中都有着非常重要的理论地位，在证明相关问题时都有重要 的应用由于圆是我们认为最理想最优美的曲线之一，它的相关性质也容易得出， 而平面内曲线形状是千姿百态的，在这中间最接近于圆的曲线就是中心对称闭凸曲 线了，为此我们需要对一般的曲线c 的中心对称化作进一步研究 定义2 2 1 2 】 设c ：【0 ，i c i 】_ c 是简单可求长闭曲线c 的弧长参数化( 即每 一点表示为弧长的函数) ，我们称俨为曲线g 的平分对变换的像，伊参数化表 示为； 1i 门i g + ： c + ( t ) = 去( c ( 亡) 一c ( t + 掣) ) 下文我们将证明平分对变换将简单闭曲线变成了以原点为对称中心的曲线，它 是保持平分距离的，但并不保持曲线长度，宽度等几何常数的数量 这里我们顺便给出中点弦曲线的概念 定义2 3 1 2 中点弦曲线；曲线c 的中点弦曲线m 是由曲线c 的平分弦中 点构成的，即m 的参数化表示形式如下。 m ： m + ( t ) = 去( c ( 亡) + c + 掣) ) 对于中心对称闭曲线c 来说它的中点弦曲线m 就退化成一点，即c 的对称 中心曲线的中点弦曲线在欧氏平面上有着重要的理论应用，而在m i n k o w s k i 平面 上它的理论价值还有待于进一步研究和挖掘我们首先总结出 性质2 4 m ( 亡+ 晕) = m ( t ) 证明 由m ( t ) 定义m 0 + 掣) = c ( 亡+ 譬) + c ( t + 粤+ 掣) 1 = 扣+ 粤) + c ( 纠= 呻) 因此当点p 在曲线c 上“行走”一周时，则p 所对应的曲线m 上的点则相 应“行走”两周，因此我们在求i m i 时，对应周的参数化区间t 【o ，孕】从俨 与m 的参数化表示形式我们显然有 c ( t ) = t 3 * ( t ) + m ( t ) - 8 第2 章平分闭曲线与几何扩张 c ( t + 婴) ：m ( t ) 一矿( t ) 从函数角度来看，上式表明的是一个函数被分解成一个偶函数与奇函数的组 合，或者说是表示成一中心对称函数与非中心对称函数之和欧氏平面同样有类似 结论见文献【3 】这里的平分对变换实质是对曲线c 的中心对称化，c 的中心对称 化曲线驴具有如下性质： 性质2 5 ( 1 ) c + 是关于原点中心对称的。c + ( t ) = 一c + ( t + 粤) ( 2 ) 平分对儿变换是保持最小与最大平分距离的即 h ( c ) = h ( c ) = h ，h ( c ) = h ( c ) = h ( 3 ) 如果c 是凸的，那么伊也是凸的 ( 4 ) 若x 是严格凸的，则l c i i c i ，取“等号”时当且仅当c 是中心对称 的 ( 5 ) 驴的几何扩张不大于c 的几何扩张即奴( c + ) 政( c ) ，且当x 是严 格凸时取等号时c 是中心对称的 注：以上性质均在文献【1 】与文献【2 】的不同地方出现，其中性质( 1 ) ，( 2 ) 在原 文献中并未见其证明性质( 3 ) ，( 4 ) 、( 5 ) 均以不同形式给出了证明，我们补充 性质( 1 ) 和( 2 ) 的证明 证明性质( 1 ) 由c + 的定义得 - c ( t + 掣) = 一丢【c ( 汁粤) 一( c ( t + 掣) + 掣) 】 ：知+ 一c ( 掣) 】 ：知) 一c ( 汁铷 = c ( t ) 所以泸是以原点为对称中，l - 的中心对称曲线 我们由性质( 1 ) 得。 + 訾) + c 沁) = o 即平分对儿变换将简单闭曲线c 映射成中心对称曲线伊，从而c 的平分弦的中 点为原点 一9 一 性质( 2 ) 由h ( c + ) 的定义及性质1 有 郴) = t 【r a o i i n c i 】 l l 邢) - c 沁+ 锄 。酽 1 1 c ( t ) 一( 一矿( t ) ) l i ) = m i n 1 1 2 c + ( t ) | l t e o ，l c l l ” 一” = 。p 1 1 1 2 互1 ( c ( 旷印+ 譬) ) l i = t 【l o i | l l i n 硎i i c ( t ) _ c ( t + 铷 同理口j 让 u c c 。) = h ( c ) = h 性质( 3 ) 的证明见文献 2 1 中定理6 2 6 我们来介绍性质( 4 ) 在文献【1 】中的 证明过程 证明： i c l = ，。o i c l 扣川( 抖黝出 庶峪( 州抖i - - - c 2 i ) l l d t = 互1j f 。l c l2 ) 1 1 出 文献【1 1 还证明了上式取等号的充要条件是g 是中心对称的事实上，当c 中 心对称时，其中点弦曲线m 退化成为一点，即i m l = 0 为了本文后续问题讨论的方便我们给出文献 i i 中对性质5 的证明过程由定 理1 9 及伊性质( 3 ) ，性质( 4 ) 有 泖) = 丽i c l 器= 泖) 又因为 h ( c ) = h ( c + ) 第2 章平分闭曲线与几何扩张 所以 ( g ) = 奴( c ) 当且仅当i c i = i c + i ，再由性质( 4 ) 知，c 是中- l 、- 对称的 再由c + 性质( 5 ) 我们可立即得 推论2 6 黑( o 1 】 奴( c ) 。r p 注：关于i g i ，i 驴i ，i m i 有很多有趣的结论，d u m i t r e s c u 等人在文献【3 】中证明 了欧几里德平面中i c l ，l c l ：i m i 满足l c l i c i + 4 1 m 1 2 , h o r s tm a r t i n 等人给出 了i c i m a x i c + i ，2 i m i ) 的结论 2 4本章小结 在这章里我们主要介绍了闭曲线c 的平分对、平对变换的基本概念及意义， 总结了中心对称闭曲线俨及中点弦曲线的一些重要性质 同时对平分距离与凸曲线的一些几何常数的关系给予了简单的介绍和总结，这 些内容本身有着相当的理论意义和实际应用价值，同时对本文后面的论述是十分必 要的 黑龙江大学硕士学位论文 3 1 引言 第3 章扩张的下界与保持扩张变换 本章所要陈述和探讨的是本文的中心内容我们知道在欧氏平面内简单可求 长闭曲线几何扩张的下确界是吾，且圆是唯一的下确界可达吾的闭曲线那么在 m i n k o w s k i 平面是否也能给出闭醢线几何扩张的下界给予量化结果呢? 在这一章里 我们着重研究和讨论这个问题尽管我们已经有了m i n k o w s k i 平面上定性的结论 奴( c ) 芷，但由于m i n k o w s k i 平面上的单位圆有多种曲线表现形式，从而周长 也不是一固定的常数，为此，寻求下界量化结果的前提是要对m i n k o w s k i 平面上的 单位圆圆周进行必要的探讨本章首先给出了m i n k o w s k i 平面上单位圆周长的范 围，进而利用定理1 3 及曲线俨等相关性质对奴( c ) 等进行探讨分析，同时对保 持扩张值变换给出定理3 1 3 的证明最后，对欧氏平面与m i n k o w s k i 平面就曲线 的几何扩张的异同给予了简单的对比和总结 3 2m i n k o w s k i 平面单位圆介绍 m i n k o w s k i 平面单位圆包括各种各样凸的图形，而并非都是欧氏平面的圆形 对于欧氏平面的单位圆来说，其周长取决于其半径，这是因欧氏平面的圆周率是一 固定的无理数7 r ，而对于m i n k o w s k i 平面上的圆来说，这个。7 r ”却可能是区间【3 ， 4 】之间的任何个数首先我们介绍来自m i n k o w s k i 几何最原始的定理之一 引理3 1 ( 【3 1 r m & 6 ) 如果b 是二维m i n k o w s k i 空间x 上的单位球，那么6 l o b l 8 我们知道个空间的几何性质，在很大程度上决定于其单位圆的性质m i n k o w s k i 平面单位圆周长的范围是闭区间【6 ，8 】，这就使得m i n k o w s k i 平面上的“圆周率” 不可能为一固定常数 引理3 2 ( 【3 1 肼。7 ) 如果( x ，j e i ) 是二维m i n k o w s k i 空间，那么 ( i ) i a b l = 6 当且仅当b 是个仿射正六边形 ( i i ) l a b i = 8 当且仅当b 是个平行四边形 上述两个引理在文献【3 】中均给出了详尽的证明，本文从略我们从下面这个 例子来解读这两个引理 例3 3 设二维m i n k o w s k i 平面( r ，i | - i l ) 上单位球由下列6 个点张成的凸包， 第3 章扩张的下界与保持扩张变换 b _ - - c o n y ( 1 ，1 ) ，( 一f ，1 ) ，( - i ，) ：( - i ，一1 ) ( 毒，- i ) ：( 1 ，- 0 ) ，那么l a b l = 6 + 2 ( o 1 ) ，因此由0 1 可知单位圆的周长可能是闭区间【6 ，8 】的所有可能值， 于是，对于m i n k o w s k i 平面上的圆来说，“7 r ”却可能是区间 3 ，4 】之间的任何 个数，我们再来介绍s c h s f f e r 的个新的成果， 引理3 4 ( 3 t m a 8 ) x 是个二维赋范线性空间，如果x 赋以单位圆b 1 和单 位圆b 2 则l o b i i s ：= i o b ；i b r 即单位圆b 1 周长以岛度量计算等于单位圆b 1 的对偶空间的单位圆研以 岛的对偶空间的单位圆磁度量计算所得周长 注：这里b 。是x 的对偶空间的单位圆 在定理中令b 1 = 岛便得 推论3 5 ( 3 j 如果( x ，b ) 是个二维赋范线性空间，其对偶空间为( x + ，b 。) ，那 么i o b i b = i o b 。i 口。 于是我们由推论3 4 和定理1 3 及定理1 4 容易得到 定理3 6设( x ，b ) 是一个二维m i n k o w s k i 空间，若( x + ，b 。) 是其共轭空 间，则两空间闭曲线的几何扩张有相同的下确界 证明由定理1 3 知任意的ccx ，有 奴( 啦掣= 丁t o b i b 因为x 是严格凸的，那么由定理1 4 知下确界可达，即当c 是x 上的m i n k o w s k i 圆时有 奴( c ) ： o b r l s 所以 i n f ccx ：奴( c ) ：毕 同理：对任意的cx ，有 州掣= t 1 0 b 。i b o 即当俨是x 上的m i n k o w s k i 圆时有； 州c p 学 所以 i n f c cx ：6 x ( c ) ) ： a b 广。l s o 黑龙江大学硕士学位论文 再由推论3 5 得 i n f ccx ：奴( c ) ) = i n f c + cx + ：奴- ( c + ) ) 证毕 3 3几何扩张下界的量化分析 欧几里德平面上简单可求长闭曲线的几何扩张下确界是萼，那么对于m i n k o w s k i 平面可求长简单闭曲线几何扩张下界能否给出具体量化结果呢? 有了前面的准备我 们在这- - z j , 节里就此给予详尽的分析、给出量化结论并加以证明，这也是本文的中 心内容之一 定理3 7 设c 是m i n k o w s l 【i 平面x 上任意可求长简单闭曲线，则其几何扩张 奴( c ) 1 5 证明对于任意的ccx ，由定理1 3 有： 奴( c ) 掣 再由引理3 1 & ( c ) 掣芸乩5 下面我们给出组奴( c ) 1 5 的充分条件，以此就定理3 6 中取等号及不等 号情况作以详尽分析 定理3 8 设c 是m i n k o w s k i 平面x 上任意可求长简单闭曲线， ( 1 ) 若x 是严格凸的，则h ( c ) 1 5 ( 2 ) 若h 2 h 则奴( c ) 1 5 证明( 1 ) 由x 严格凸的定义知，x 上的单位圆s x 是严格凸的，则s x 不 可能是仿射正六边形，由引理3 2 可得 s x i 6 故对任意的简单闭曲线ccx ，有6 x ( c ) 学 2 = 1 5 成立 ( 2 ) 由定理1 1 1 知当日 2 h 时有奴( c ) 掣2 = 1 5 证毕 事实上，当x 是严格凸的时我们还可以从曲线c 非中心对称的角度来说明 奴( c ) 1 5 第3 章扩张的下界与保持扩张变换 因为若c 不是中心对称的，则由性质2 5 ( 4 ) 必有l c l i c l ，由性质2 5 ( 3 ) h ( c + ) = h ( c ) = h 及定理1 9 得 a x ( c ) = 丽i c l 龋端= 5 x ( 0 c o n 俐掣差乩5 成立，即 奴( g ) 1 5 下面我们给出取( c ) = 1 5 的件必要条件 定理3 9 设c 是m i n k o w s l d 平面x 上任意可求长简单闭曲线，则奴( c ) = 1 5 的必要条件是x 的单位圆& 为仿射正六边形 证明 因为6 x ( c ) 掣若 奴( c ) = 1 5 则 i s x i = 6 那么由定理3 2 知s x 是仿射正六边形 事实上从曲线几何扩张下确界是否可达这一点可以对m i n k o w s k i 平面闭曲线 进行一个简单的划分，我们还可以从很多角度对简单闭曲线进行分类如严格凸的 m i n k o w s k i 平面里的曲线可划分为中心对称与非中心对称两种，中心对称曲线自然 可能包含凸与非凸情况等等 特例当曲线c 是仿射正六边形即c = s x 时有 奴( g ) = a x ( s x ) = 丽i s 两x l = 熹= 1 5 事实上，我们将在下一节证明同一平面上的所有圆的几何扩张是相等的 综上，对任意的简单闭曲线c ，有奴( c ) 1 5 ，而且m i n k o w s k i 平面内简单 闭曲线c 的几何扩张在绝大多数情况下有奴( c ) 1 5 成立，只有极少数曲线的 几何扩张可达1 5 3 4保持扩张的变换 由前面的讨论我们看出，曲线在一般变换下并不保持其几何扩张值，本节给出 一种保持扩张值的变换 定义3 1 0 n 设任意集合acx ，称入a + u ( a 0 ) 是集a 的正相似扩大 黑龙江大学硕士学位论文 类似地，称入c + u ( 入 0 ) 是曲线c 的正相似扩大显然当入= 1 时，曲线c 的正相似扩大就是c 沿向量u 的一个平移 引理3 1 1 3 如果( x ，”1 1 ) 是m i n k o w s k i 空间，那么每一个平移是等距变换 由此我们立即可得 性质3 1 2 设曲线c 的个相似扩大为6 = 入c + u ，( 入 o ，u x ) ，那么 对任意的孟，雪6 ，存在z ，y c ，使得 0 孟一1 7 0 = 入i i z 一掣0 证明任意的孟，哲6 ，由6 的定义知存在z ；y c ，使得 孟= a z + u 入c + u 哲= a 暑，+ u a c + u 由引理3 1 1 及范数的齐次性得： l i 圣一哲i i = i i ( 入z + ) 一( 入掣+ u ) j | = i i ( a z 一入暑，0 = 0 ( 入z ) 一( 入可) i i = 0 a ( z 一秒) i i = a i l z 一可i i 证毕 下面我们给出 定理3 1 3 设x 上任意简单可求长闭曲线c 的正相似扩大是6 ，则有 奴( c ) = 奴( c ) 证明设矽= 入c + ( 又 o ： x ) t ：c _ 6 是曲线g 的正相似扩大映射，显然t 是可逆的 i c l = s u p 忡 ) 一c ( 如一1 ) 1 1 ：( o