（工程力学专业论文）神经系统轴突生长运动学研究.pdf

摘要 神经系统在发育过程中，神经元发出轴突向其靶细胞生长延伸，轴突到达靶位后形成突 触，将神经元连成网络。其中，轴突怎样识别靶细胞并确定正确的生长路径是迄今为止远未 完全解开的谜团之一，也是近年来众多的神经科学家、物理学家和计算科学家等研究的热点 问题之一。有关研究表明，轴突端部的生长锥所表达的受体和靶细胞的配体之间的相互作用 是引导轴突向正确方向生长的关键因素，并且，配体分子的浓度梯度、细胞和基质的黏性等 物理量和力学量也是重要的影响因素。加强对神经生长的理解不仅有助于揭示神经发育的奥 秘，而且能够对神经损伤再生的研究提供理论基础。 本文主要从运动学角度，对轴突生长的运动方程、路径和转向等问题加以研究，丰富对 轴突生长的趋化学性、成束和解束等生理现象的认识，探索调控神经生长的力学途径。 论文根据神经生物学原理并借鉴有关最新研究成果，建立了数学模型，运用解析法和数 值法，在计算机上模拟了轴突定向生长的过程、以及生长过程中出现的成束和解束现象。部 分结果与实验进行了比较，吻合程度较好。其创新点和主要结果如下： 第一、分别给出了带点源的浓度扩散方程在方域和圆域中的解析解。尤其是圆域中的解 析解，目前所查阅到的文献均是讨论方域问题，但是真实的神经细胞离体实验中所采用的多 是圆形器皿，因此本文特别讨论了圆域问题。 第二、采用解析解分析了靶源的影响区域。无论是方域还是圆域，靶源的影响区域随扩 散系数或源强的增大而扩大。 第三、采用a d i 差分格式和改进的欧拉法作数值分析，分别计算了三种情况下神经生 长过程：( 1 ) 在一个正方形平面区域内有1 0 个轴突以相等的间距围成圆形，中心有一个靶 细胞，轴突生长路径的数值模拟结果与采用解析解计算的结果基本一致；( 2 ) 轴突的初始位 置同( 1 ) ，中央有4 个两两上下并排分布的靶细胞，数值模拟结果反映了轴突生长的趋化性： ( 3 ) 在区域的近上、下边界分别有一串靶细胞和一串轴突，数值模拟结果较好地反映了轴 突结集生长时的成束和解束现象。 第四、采用半解析和半数值的方法，模拟了轴突生长锥的转向调控问题。其结果与2 0 0 2 年发表在n a t u r e n e u r o s c i e n c e ，5 ( 9 ) ，2 0 0 2 上的相应实验进行了对比，吻合程度较好。 关键词：神经发育；轴突生长；运动学；数学模型；解析解；数值模拟 e u l e r sm e t h o d ，w h i c hb a s e do no u ri m p r o v e dm a t h e m a t i c a lm o d e l ( 1 ) i nt h ef i r s tc a s et h a t o n et a r g e tw a su n i f o r m l ys u r r o u n d e db yt e na x o n si nas q u a r ea r e a ，t h ep a t h w a yo f t h eg r o w i n g a x o n sw es i m u l a t e dc o i n c i d ew i t ht h o s eo b t a i n e db yt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n ( 2 ) i nt h es e c o n d c a s et h a tag r o u po f t w o b y t w o p l a c e dt a r g e t sw e r es u r r o u n d e db yt h es a m ea x o n sa si n ( 1 ) ， t h er e s u k sc o r r e c t l yr e f l e c t e dt h ec h e m o t a x i so ft h eg r o w i n ga x o n s ( 3 ) i nt h ef i n a lc a s et h a ta s t r e a mo ft a r g e t sl i n e dn e a rt h eu p p e re d g eo ft h es q u a r ea r e aa n das t r e a mo fa x o n sl i n e dn e a r t h el o w e re d g e ，t h er e s u l t sa p p r o x i m a t e l yd i s p l a y e dt h eb u n d l i n ga n dd e b o n d i n gc o u r s e so ft h e g r o w i n ga x o n s 4 t h eg r o w t hc o n et u r n i n gp h e n o m e n o no b s e r v e di nt h ea s s a yw a ss i m u l a t e db yt h ea n a l y t i c a l s o l u t i o na n dt h en u m e r i c a lm e t h o d i tg o tag o o da g r e e m e n tb e t w e e nt h e p r e s e n tr e s u l t sa n dt h e e x p e r i m e n to n er e p o r t e do nn a t u r e n e u r o s c i e n c e ，5 ( 9 ) ，2 0 0 2 k e yw o r d s ：n e r v o u ss y s t e md e v e l o p m e n t ；a x o ng r o w t h ；k i n e m a t i c s ；m a t h m a t i c a lm o d e l ； a n a l y t i c a ls o l u t i o n ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 人之所以成为万物之灵，有别于其他物种，是因为人类极其复杂的大脑有着高级发达 的认知功能，它是千百万年进化的结晶。在过去的六亿年中，生物体通过进化产生出由大量 神经元相互联结而形成的神经网络，解决了在不断变化的复杂环境中人脑如何处理各种复杂 信息的问题。脑内有上千亿个神经细胞，超过1 0 1 4 个神经突触，是生物体内结构和功能最复 杂的组织。动物的各种基本生理活动如呼吸、心跳、分泌、感觉、反射、运动、乃至高等心 理活动如情感、学习、记忆、思维等都有赖于各条设计精确的神经回路的参与及调控。这些 复杂的回路由动物的遗传信息编码，在发育过程中逐渐建立起来，并在后天的使用中进一步 得到优化。世界各国投入了大量的人力和财力进行专门研究，以“认识脑，保护脑，仿照脑， 开发脑”为目标的脑科学研究将成为2 1 世纪科学面临的最大挑战。2 0 世纪9 0 年代被国际 上命名为“脑的十年”后，取得了许多重大的进展。但脑是人体中结构和功能最复杂且对它 了解最不透彻的器官，仍有许多诱人的奥秘等待着人们去探索和发掘。 神经科学研究需要多学科联合，进行多层次( 不同水平的) 的综合研究。按照国际脑 研究组织于1 9 9 5 年7 月在日本京都召开的第4 届国际神经科学大会对有关投稿内容的划分， 当今神经科学的研究内容有7 个不同水平的重大研究领域：分子神经科学，细胞神经科学， 发生神经科学，系统和行为神经科学，认知神经科学，计算神经科学和临床神经科学。本文 主要涉足的是发生神经科学。神经发生、分化和细胞死亡从属于这一领域，而发育中的神经 生长导向过程与神经损伤后的再生及功能性神经回路重建过程有许多相似之处。因此，增加 对神经生长导向机制的理解不仅有助于揭示神经发育的奥秘，而且能够对神经损伤再生的研 究提供理论借鉴，为克服成年人神经损伤后的再生障碍提供新方法，为开发设计有利于神经 再生的药物提供新思路。 本章中，首先介绍神经生物学家们目前的研究现状。其次，介绍与神经系统相关的基本 概念以及已知的生长导向机制。最后，介绍我们感兴趣的三类数学模型及本论文的主要工作 内容。 1 1 研究现状 神经科学三十余年来的发展，在细胞和分子水平有重大发现和成果。几十年前，人们 研究比较多的是电频脉冲和脑电的解读，以及神经动力学模型和人工神经网络。几十年来， 上海大学硕士学位论文 虽然分子生物学实验累积了巨大的关于神经细胞生物化学方面的知识和数据，但是迄今为止 单个神经元的信息工作机制仍未搞清楚，这是一个非常复杂且难度很大的问题。 近二十多年来神经科学的快速崛起令人瞩目。其间获得诺贝尔医学和生理学奖的神经 科学家将近2 0 位。与本文工作密切相关的发表在c e l l 、n a t u r e ，s c i e n c e 上的论文限于我们 能拿到的就有3 0 余篇。改革开放2 5 年来我国内地学者最近首次在c e l l 上发表的论文也是关 于神经元突起和轴突生长抑制的研究。2 0 0 5 年3 月1 0 日，国际权威期刊( n a t u r e ) ) 刊登了 我国科学家关于发现引导神经生长方向新机制的研究成果。这些事实充分显示了国际上在神 经科学包括发育神经生物学方向的迅猛发展态势。但是，我国在该领域总体水平上与国外仍 然存在巨大落差。 目前对轴突的拓扑结构、生长过程及其影响因素已有相当的了解。轴突末端有高度运动 的生长锥，锥上有丝状伪足，上面存在特定的化学标记( 受体) ，在其对应的靶细胞中也有 相应的化学标记( 配体) 。由于一开始轴突和其靶细胞之间尚有一段距离，虽有受体和配体 但仍不足以自动对号入座，轴突必须经过生长延伸、若干中间环节的引导以及适当的竞争才 能与其靶细胞连接成功。有关生长问题，可用微管蛋白与肌动蛋白的动力学等理论加以解释 和模拟( a l b e ae ta l ，2 0 0 2 ；m c l e a n ，v a i lo o y e n g r a h a m ，2 0 0 4 ) ，本文关心的是轴突生长的 导向问题，并且着眼于其运动学特性。 轴突导向的关键因素之一是细胞外信号分子的梯度( m u e l l e r , 1 9 9 9 ；s o n g & p o o ，2 0 0 1 ； y u & b a r g m a n n ，2 0 0 1 ；d i c k s o n ，2 0 0 2 ；h u b e r ，k o l o d l d n ，o i n t y & c l o u f i e r2 0 0 3 ；g u a n & r a o ， 2 0 0 3 ) 。靶细胞在细胞外空间分泌可扩散化学吸引分子( 如n e t r i n s ，n e u r o t r o p h i n s ) ，并形成 长程的、平缓的梯度，轴突前端的生长锥能够感知梯度的方向并跟着运动( g o r d o n w e e k s ， 2 0 0 0 ) 。轴突同时受到可扩散分子的排斥，如n e t r i n s 和s e m a p h o r i n s ，它们由轴突周围的组织 分泌，并形成短程的、陡峭的梯度。此外，细胞外基质上的分子和细胞表面的粘附分子( c a m s ) 也能够吸引或排斥轴突( v a i lo o y e n1 9 9 4 ) ，即所谓的接触吸引和接触排斥，但亦可理解为与 短程的、陡峭的分子梯度有关( h e n t s c h e l & v a i lo o y e n ，1 9 9 9 ；g o o d h i l l ，g u & u r b a c h2 0 0 4 ) 。 轴突表面的细胞黏附分子( c a m s ) 还对轴突的成束过程起作用，使得集聚的同类细胞的轴 突跟着其先行者协同行驶。 还发现，通过调节生长锥内循环核苷的水平( s o n ge ta l1 9 9 7 ，1 9 9 8 ；s o n g & p o o ，2 0 0 1 ； n i s h i y a m a e ta l ，2 0 0 3 ) ：调节细胞外钙离子浓度( k y o n s o o h o n g e t a l ，2 0 0 0 ) ；( m i n g ，h e n l e y ， t e s s i e r l a v i g n e ，s o n g ，& p o o ，2 0 0 1 ) ；改变基质( h o p k e r ，s h e w a n ，t e s s i e r l a v i g n e ，p o o ，& h o l t ， 上海大学硕士学位论文 1 9 9 9 ) 等途径，有些分子的吸引功能能转变成排斥功能，反之亦然。 在研究神经系统的高级功能时，模型变得比较重要。这些模型既基于神经生物学研究所 取得的有关资料，又具有数学和物理上的分析，一旦它们与对脑的高级功能的实验分析密切 结合，将有可能在神经科学研究中形成较大的突破。 1 2 神经科学背景知识及基本概念 在脊椎动物胚胎发育早期，存在三层细胞( 神经元：细胞和分子生物学，科学出版社) 。 将来决定要成为神经元的细胞位于最外层，称为外胚层。紧靠外胚层下面的一层细胞称为中 胚层。神经元发育的第一步是外胚层中的细胞决定成为神经元前体。这个过程通常称为神经 诱导( 图1 1 ) 。在脊椎动物神经系统中，这可能是中胚层内l 临近细胞释放的某些因子( 可扩 散的分子) 作用的结果。经过该阶段后的外胚层细胞，只能发育成为神经元、胶质细胞、或 少数其他类型的细胞。在决定神经元前体各个细胞群发育命运的因子起作用的时期及以后， 细胞开始分 蔷莓凸曰山 迁移 墨_ 嚣 图i1 神经元发育的过程 裂( 图1 1 中的增生) 。少数细胞在最终分裂后可能已经位于紧靠它们在神经系统的最终位 置，但大部分细胞要迁移适当距离后才能到达它们的最终目的地( 图1 1 ) 。神经元到达目的 地后形成突触，使神经元连成具有一定功能的神经回路。 1 2 1 神经元 神经元为神经系统的发生、形态、营养与功能的基本单位( 神经科学基础，清华大 学出版社) 。神经元数量庞大，人类中枢神经系统大约有3 1 0 ”5 1 0 “个神经元。每个神 上海大学硕士学位论文 经元由胞体( p e r i k a r y o n ) 及其突起( n e u r i t e s ) 构成，突起包括树突( d e n d r i t e ) 和轴突( a x o n ) 两部分。 树突能接受其他神经元的神经末梢，形成突触( s y n a p s e ) 。 h e r v ea 鞠h 图1 2 神经元的基本结构图1 3 两神经元联结形成突触 在神经系统发育过程中，神经细胞发出轴突向其靶细胞生长延伸，轴突到达靶位后形成 突触。轴突上有生长延伸功能的部分称为生长锥( g r o w t hc o n e ) 。其中轴突怎样识别靶细胞确 定正确的路径是本文所关心的问题之一。 1 2 2 受体 受体( r e c e p t o r s ) 是指能与特定的生物活性物质可选择性结合的生物大分子，是镶嵌在膜 中或存在于胞浆、或存在于核内的蛋白质复合物。每一受体上都具有与配基选择性结合的特 异部位，这一结合部位称结合位点( b i n d i n gs i t e ) ( 细胞和分子神经生物学，高等教育出版 社) 。 在各种不同的细胞间存在不同类型的细胞连接，相邻细胞间能够进行细胞间通讯。细胞 间的通讯是通过信号分子和受体的结合来完成的。细胞对不同的信号分子产生不同的反应， 这些不同的反应有赖于受体的类型。 1 3 神经生长导向的研究 发育神经学的中心问题是成熟的神经系统具有的高度特异性联系模式是如何产生的， 包括神经元其本身是如何知道其自身在三维神经系统中的位置信息? 当轴突生长时这种位 置信息如何表达? 细胞又如何识别其靶细胞或终止区域? 其中部分机制可能有很强的基因 成分，而其他机制可能有很强的物理成分( h e n t s c h e l & v a i lo o y e n ，p r o crs o c l o n db2 6 6 ， 上海大学硕士学位论文 1 9 9 9 ：2 2 3 1 2 2 3 8 ) 。 生长锥的生长有较为精确的导向性，机体通过至少4 种：接触吸引、接触排斥、化学 吸引、化学排斥导向机制的相互作用，调节生长锥的靶向性生长：( t e s s i e r - l a v i g n e & g o o d m a n ， 1 9 9 6 ；k e y n e s c o o k ，1 9 9 5 ) 。 虽然轴突生长的实际情况非常复杂，目前的实验研究也远非达到能够使整个问题明朗 的程度，但大致可将影响轴突生长的信号分子分为三类( w e n s c h & s o m m e i j e r , 2 0 0 4 ；h e n t s c h e l & v a no o y e n ，1 9 9 9 ) ：1 ) 靶细胞分泌的化学吸引分子：2 ) 轴突分泌的化学吸引分子；3 ) 轴 突分泌的化学排斥分子。 轴突在生长过程中会形成束，一旦到达靶区后又会出现解束的过程。由轴突表面分泌 的c a m s 控制的接触吸引在成束过程中起作用。然而，接触吸引仅仅使得轴突保持在一起， 问题是它们一开始是如何聚集在一起的? 目前对这一问题有三种解释( h e n t s c h e l & v a n o o y e n ，1 9 9 9 ) ：( 1 ) 随机运动使得轴突在一起。一旦两个轴突之间的距离很近，两者生长锥的 丝状伪足就会产生接触交互作用，这种作用将轴突拉在一起：( 2 ) 轴突细胞的接触排斥信号 将轴突推到一起；( 3 ) 轴突自身分泌的扩散分子吸引轴突。这三种解释都有各自的合理性， 但我们认为任何机制都不可能是单一的，也可以认为轴突成束是这三种行为共同作用的结 果。 轴突的解束过程目前认为可以分为三个步骤，首先是接触吸引作用逐渐衰弱，之后接 触排斥作用开始，最后轴突自身分泌的扩散性化学排斥分子使得轴突最终分离，由此完成了 整个解束过程。 1 4 神经生长锥转向的实验研究 上个世纪末，现代神经科学的奠基人r a m o nyc a j a l 提出“从周围环境中获取信息，且 部分诱导因子诱导的神经元末梢生长锥决定了神经网络的形成走向”这一猜想后，利用配 体一受体的诱导作用，在鉴定生长锥诱导分子上取得了巨大进展。目前已经研究得较为成熟 的有环腺昔酸( c a m p ) 、脑源性神经营养因子( b d n f ) 、乙酰胆碱( a c h ) 、神经营养因子 一3 ( n t 3 ) 、引导素一1 ( n e t r i n 一1 ) 、髓鞘相关糖蛋白( m a g ) 、基质细胞衍生因子一1 ( s d f 一1 ) 、 b a c l o f e n 等。对于爪蟾脊椎神经元，b d n f 、n t - 3 和a c h 起吸引作用，m a g 和b a c l o f e n 起 排斥作用。n e t r i n 一1 可以起吸引作用也可以起排斥作用，取决于生长锥表达的受体的不同或 信号转导机制的不同。老鼠小脑突生长锥在培养基中背离s d f 1 的浓度梯度( s o n g ，m i n g & 上海大学硕士学位论文 p o o1 9 9 7 ；m i n g e t a l ，2 0 0 1 ；x i a n g y a n ge ta 1 ，2 0 0 2 ) 。 以上所述的导向作用并非是绝对的，当其他某些因子或外部刺激存在时，它们可能对轴 突生长锥起到相反的作用。s o n g 等人指出，神经元中环腺苷酸( c a m p ) 的不同，可能导致 生长锥对同一种导向因子朝向相反的方向偏转。y a n g x i a n g 等人认为，虽然b a c l o f e n 对爪蟾 脊椎神经元起排斥，但是这种反应可以通过g 一耦合蛋白受体来调节调节( x i a n gy a n ge t a l ，2 0 0 2 ) 。不仅这些分子可以使神经元轴突发生转向，电活动也可以调节生长锥对某些因子 的反应。m i n g 等人指出，爪蟾脊椎神经元细胞的行为在短暂的电刺激下会导致明显的变化， 其生长锥会在原先由于吸引因素或排斥因素所引导的路径上发生转向。 1 5 神经生长的数学模型 目前，轴突沿化学吸引性分子或化学排斥性分子浓度的梯度方向生长已经成为众多实验 得出的共同结论。梯度的建立可以通过两种途径( g o o d h i l l ，1 9 9 8 ) ：1 ) 细胞间质中的可扩散 分子；2 ) 基质中不同位置的引导分子数量的不同( 不可扩散分子) 。这两种途径均比较容易 理解。对于可扩散分子靶细胞分泌的分子，当它往外扩散时其周围的浓度高于远处，且离 靶细胞越近浓度越高，越远浓度越低。对于不可扩散分子( 受体分子) ，该分子的局部浓度 可以转换成基质中配体分子的局部浓度。无论是以上哪种情况，生长锥均能感知空间区域内 浓度的差异，并朝向浓度增加的方向生长( 若是排斥分子，则朝向浓度降低的方向生长) 。 虽然，直觉上比较容易理解上述过程，但对它作定量分析仍是非常重要的，使实验所观 测到的现象能够在计算机上重现，并且计算所得出的部分结果也可能对生物学家有所参考， 有所启发。 涉及轴突生长的模型目前主要有三种：1 ) 扩散方程加梯度方程( h e n t s c h e l & o o y e n ， 1 9 9 9 ) ；2 ) 统计动力学模型( g o o d h i l l ，m i n g & u r v a c h ，2 0 0 4 ) ；3 ) 扩散方程加统计动力学模型 ( s e g e v & b e n ，j a c o b ，1 9 9 8 ) 。第一种模型认为，靶源分泌的化学吸引分子、轴突自身分泌的化 学吸引分子和化学排斥分子都满足扩散方程，而轴突的位置由这些分子浓度的梯度决定。第 二种模型基本是随机的，因为产生新丝状伪足位置处的受体结合是随机的。 1 5 1 扩散方程加梯度方程 许多可能的机制可以成为轴突引导，成束和解束的基础。部分机制可能有很强的基因成 分，而其他机制可能有很强的物理成分。本模型考虑后种机制，且只考虑其扩散作用。 上海大学硕士学位论文 该模型不仅考虑了扩散分子控制轴突长向靶区的可能性，也考虑了扩散分子控制轴突成 束和解束的可能性，这些扩散分子即为长程作用信号。模型中考虑了三种类型扩散分子的作 用：1 ) 靶细胞以速率巧，。释放的化学吸引分子，扩散系数为d f 。空间分布的浓度为n 。，； 2 ) 轴突生长锥以速率盯。释放的化学吸引分子，扩散系数为4 。，空间分布的浓度为p ； 3 ) 轴突生长锥以速率叮，释放的化学排斥分子，扩散系数为d ，空间分布的浓度为p ，。 生物学上，靶细胞分泌的化学吸引分子已经得到很好的研究，但对于第二种和第三种分 子还没有直接的证据来说明它们。生长锥分泌许多化学分子，这些分子既可能是化学吸引分 子也可能是化学排斥分子，如神经递质( n e u r o t r a n s m i t t e r s ) 。如果只限制在扩散这种机制中， 模拟的结果表明第二类分子和第三类分子在轴突成束和解束的过程中是必要的。 靶源性化学吸引分子引导轴突生长，而轴突分泌的化学吸引分子和化学排斥分子分别控 制轴突的成束和解束。轴突分泌的化学排斥分子是必要的，这是由于靶源性化学吸引分子的 浓度梯度在使相对较小的轴突束分开时还不够大。、由于解束出现在靶细胞附近区域，因此轴 突分泌化学排斥分子的速率仃，。必须依赖于靶源性化学吸引分子的局部浓度届。， 如前所述，这三类分子在稳态情况下满足方程如下( h e n t s c h e l & o o y e n ，1 9 9 9 ) 【v 2 一k 2c o n 。】p 。= - 仃d 。】j ( x k ( o ) ( 1 1 ) 【v 2 一k 2 ta r g e t p ，。，= 一 盯。d ，。 5 ( x x 。) ( 12 ) 【v2 一2 】p 。：- 仃。( 肛。( k ( f ) ，t ) ) d ，】巧( x k ( f ) ) ( 1 3 ) 口 其中，x 是细胞外空间任意点的位置，x ，是第j 个靶细胞的位置，k ( r ) 是在f 时刻第甜个轴 突的位置，万为d i r a c 函数，即意味着将靶细胞和生长锥均视为点源。 由于轴突分泌化学排斥分子的速率o r e p 依赖于靶源性化学吸引分子的局部浓度只。 因此假设它们之间的关系符合m i c l m e l i s m e n t e n l 类型： 仃，( n 。g 。) = 盯_ ，。j 赡州 p ? + p 品g 。】 ( 1 - 4 ) 其中，o r e p , 一是盯，的最大值，p 。为当盯，( n 。) 是其最大值的一半时b 。的值：一般 情况下m 取值为2 ；式中，盯。和盯。均设为常数。 生长锥将朝着化学吸引分子浓度梯度高的方向以及化学排斥分子浓度梯度低的方向生 上海大学硕士学位论文 长。因此，生长锥的位置由化学浓度梯度决定的关系式如下 d 匕d t = t 删v p ( k ( r ) ，r ) + 盯g 。v p t 。ge t ( k ( f ) ，f ) 一月呻v p 即( k ( f ) ，r ) ( 1 5 ) 其中，v p 是浓度梯度，五为轴突向梯度生长的速率系数，设为常数。 1 5 2 统计动力学模型 该模型研究一个理想的生长锥，它包括一个二维半圆主体，从这个主体上延伸出若干一 维的丝状伪足( 如图1 4 ) 。受体随机分布在这个主体表面和丝状伪足上，且受体i 与配体结 合的概率定义为p ，= c 。( c ：+ k 。) ，其中k 。是受体一配体复合物的降解系数。各受体与配体 结合的概率在每一时间步都要更新。在局部区域内，受体结合的程度基本相同，因此将生长 锥表面划分为若干个区域，每个区域内已结合的受体与与原受体总数的比值定义为b ( o ) 。假 设受体结合产生的信号能够指导细胞内信号分子建立平缓的梯度，但是轴突在这一平缓梯度 中并不能产生转向反应，因此假设中间存在一个提高梯度的步骤，即将b ( o ) 用6 ”( 口) 来替代。 对于吸引作用，设p ( o ) o c b ”( 曰) 。对于排斥作用，假设了三种表达：p ( o ) o c ( 1 6 ( 口) ) ”， p ( o ) 。c 1 6 ”( 吕) ，幂口p ( o ) 。c b 一“( 口) 。 根据上述假设，考虑没有丝状伪足的生长锥如图1 5 所示，沿x 轴吸引轴突的分子的浓 度为c = c 。口“。则在生长锥各区域上，受体结合的比例为( g o o d h i l l ，m i n g & u r v a c h ，2 0 0 4 ) 即，= 者筹熹 s ， 其概率分布为 图1 4 图1 5 上海大学硕士学位论文 踟卜苗 *土【(1一i2fncapr。sin+1)7l，+旦群ceax1 】 l 、 厅f c p 弭+ 1 ) 7 + 1 假设口很小，n 口也很小，则0 的均值为 ( 耻巴脚脚z 蒜c o s 妒 我们认为0 的均值即为生长锥转角在每一时间步上的增量，即。c ( 目) ，则 ：，7 三笺c o s ，曼：e s i n o ， e c o s # y = o 。c o s # 妒2 玎：了e i 嘶。0 8 。2 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 其中，7 7 和s 均是小量，玎为微分方程的时间步长，占为x ，y 微分方程的时间步长。这些方 程求解析解比较难处理，但是若假设在轴突初始转向长度上浓度变化不明显，则假设初始转 向时认为e “l 。 1 5 3 扩散方程加统计动力学模型 假设存在两种化学向性因子，排斥性因子r 和吸引因子爿，还存在一种控制因子7 1 。这 三种因子均满足反应扩散方程，形式女1 t ( s e g e v & b e n j a c o b ，1 9 9 8 ) ； 警哦v 2 r 一如+ 几s o m a 万( r - r ，) ( 1 1 2 ) 0 优t = d a v 2 a - - 九+ l 互巧( r - r ，) ( 1 1 3 ) 等= 岛v 2 7 1 一乃+ b 万( r r ，) ( 1 1 4 ) u$og 其中，d 是扩散系数，丑是r 自然分解的速率，几、l 和分别是位于r 处的靶细胞分 泌r 、a 和丁的速率。 假设生长锥每一步的步长为d ，生长方向的角度为只。将2 r e 划分为1 2 等份，认为生长 锥向各个方向上生长都有可能，即m ”= ( n 一1 ) n 6 ，n = 1 , 2 ，1 2 。因此，生长锥在每一时间 上海大学硕士学位论文 步上生长的控制方程为 ， t = + d ( c o s b ，s i n e ) ( 1 1 5 ) 在任意方向上生长的概率为r ( h ) ，如图1 6 所示。由于化学向性物质的存在，对b ( ) 进行 幽1 6 修正，得到如下形式 p ( n ) = r ( n ) + g s ( a ) v 。a g r s ( r ) v 。r ( 1 1 6 ) 其中，彳、五分别为化学吸引分子和化学排斥分子的浓度，v 。为方向导数，s ( a ) 、s ( r ) 为 前因子，g 。和瓯控制轴突对化学吸引分子和化学排斥分子的反应程度。 假设神经细胞体为生长锥提供代谢过程所需要的能量，且假设神经突起所消耗的内能与 突起的长度成正比。因此给出内能随时间变化的方程： 鲁州咿q 啦+ k ( a ) 爿 ( 1 1 7 ) 其中，厂( ，) 是神经细胞体供给内能的速率，妇是生长锥消耗内能的速率，五是突起每单位 长消耗内能的速率，方程右边的最后一项表示的是生长锥接收的化学吸引分子。细胞体提供 能量的速率要高于消耗速率d ，因此初始阶段内能增加。当l 。 f 。，z 。；( 厂一口) 时，内能 开始降低。当d e d t 首次变为负值后，生长锥分泌出控制因子，在分泌控制因子之前会有一 个不稳定是时期f ，。在这一时期内，若生长锥能够感知足够高的吸引分子的浓度，则a e , d r 会再次变为正值。若比。出很长一段时间内都是负值，则e ，值降为零，突起和生长锥开始 退化。 上海大学硕士学位论文 1 6 本论文内容简介 本文主要从运动学角度，对轴突生长的运动方程、路径和转向等问题加以研究，根据神 经生物学原理并借鉴有关最新研究成果，建立了数学模型，运用解析法和数值法，在计算机 上模拟了轴突定向生长的过程、以及生长过程中出现的成束和解束现象。部分结果与实验进 行了比较，吻合程度较好。可见，本文模型在一定程度上能够较好地模拟神经生长。 1 6 1 论文工作概述 在第二章中，我们将h e n t s c h e l ( 1 9 9 9 ) 模型作了改进，将原来的定常问题按非定常的 带非线性点源的问题处理，并将仃。做了特殊处理。在h e n t s c h e l 模型中，认为仃。为常数，本 文用一个以q 为变量的函数来表示盯。( 盯。= 盯。e l q ) 。此外，仃，= 盯。p ( b + p ) 中的6 值 原为2 4 2 ，为了增加模拟过程的可调性，将2 4 2 用可调参数b 代替。对模型作改进后，分别 求模型中扩散方程在方域和圆域中的解析解。并且在第三章中，采用这两个解分析了靶源的 影响区域。 前两章中，我们采用扩散方程的解析解模拟相对比较简单情况下的神经生长过程，但是 神经系统大都比较复杂。因此在第四章中，我们用数值的方法进行处理，研究神经系统生长 过程中出现的成束和解束现象。本章计算了三种情况下的生长过程，部分计算的结果与采用 解析解所得结果比较吻合。 在第五章中，我们以发表在n a t u r e n e u r o s c i e n c e ，5 ( 9 ) ，2 0 0 2 的一篇关于神经轴突导向实验 的文章为模拟对象。将实验问题转化为模型后进行计算，并将计算结果与实验结果进行比较， 吻合程度较高。 1 6 2 论文的创新点及主要结果 第一、给出了带点源的刚性的扩散方程在方域和圆域中的解析解，尤其是圆域中的解析 解。目前所查阅到的文献均是讨论方域问题，但是真实的离体实验中所采用的是圆形器皿， 因此本文讨论了圆域问题。 第二、用解析解分析了靶源的影响区域。目前有一点可以确定的是，靶细胞在细胞外 空间分泌扩散性化学吸引分子，并形成长程的、平缓的梯度，轴突前端的生长锥能够感知梯 度的方向并跟着运动。由此引出一个问题，靶细胞分泌的吸引分子能够扩散到多远? 即在多 大的一个区域范围内，轴突就能够感知靶细胞分泌的吸引分子的梯度，而超过这个范围靶细 胞对轴突不起作用? 针对以上问题，本文分别了讨论方域和圆域中靶细胞分泌的化学吸引分 子的影响区域。无论是方域还是圆域，靶源的影响区域随扩散系数或源强的增大而扩大。 上海大学硕士学位论文 第三、采用a d i 差分格式和改进的欧拉法作数值分析，分别计算了三种情况下神经生 长过程：( 1 ) 在一个正方形平面区域内有1 0 个轴突以相等的间距围成圆形，中心有一个靶 细胞，轴突生长路径的数值模拟结果与采用解析解计算的结果基本一致；( 2 ) 轴突的初始位 置同( 1 ) ，中央有4 个两两上下并排分布的靶细胞；( 3 ) 在区域的近上、下边界分别有一串 靶细胞和一串轴突，数值模拟结果较好地反映了轴突结集生长时的成束和解束现象。 第四、模拟了实验研究中所观察到的神经转向现象。目前已知的导向分子的作用并非是 绝对的，当其他某些因子或外部刺激存在时，它们可能对轴突生长锥起到相反的作用。如， 神经元中环腺苷酸( c a m p ) 的不同，可能导致生长锥对同一种导向因子朝向相反的方向偏 转：一般来说，脑源性营养因子的梯度引起爪蟾脊椎神经元的生长锥的吸引转向反应，但是 当出现c a m p 或特殊抑制物蛋白酶a ，同样的梯度会引起排斥转向反应。 本文的工作较好地模拟了神经生长的过程以及生长过程中出现的成束和解束现象，且部 分计算结果与实验结果比较吻合。作为国内研究神经生长的初次尝试，我们的工作还是初步 的，有许多问题还有待于探索，在第六章中我们将作一些展望。 1 2 上海大学硕士学位论文 第二章数学模型及解析解 前一章中介绍了作者所关心的三类模型，第一类是扩散方程加梯度方程，第二类是概率 统计动力学模型，第三类是扩散方程加统计动力学模型，本文主要讨论第一类方程。如前所 述，第一类方程中的三个扩散方程是三类分子在稳态情况下满足的方程，而这一稳态需要分 子经过一段时间的扩散后才能形成，此外轴突的位置随时间是变化的，因此轴突对整个浓度 场是有影响的。基于以上两点原因，本文在h e n t s c h e l 模型的基础上，将原来的定常问题按 非定常的带非线性点源的问题处理，并在局部地方作了特殊处理。像其他扩散一样，细胞外 信号分子的扩散也满足物理学扩散定律，而梯度方程中轴突的生长速度与细胞外信号分子的 梯度成正比这一规律是根据细胞分子实验确定的，扩散系数的确定亦来自于实验。 2 1 改进后的数学模型 如前所述，影响轴突生长的化学分子可分为三类( w e n s c h & s o m m e i j e r ，2 0 0 4 ；h e n t s c h e l & v a i l o o y e n ，1 9 9 9 ) ：1 ) 靶细胞分泌的化学吸引分子；2 ) 轴突分泌的化学吸引分子；3 ) 轴突 分泌的化学排斥分子。这三类化学分子的扩散满足下列无量纲化的抛物型偏微分方程 ( w e n s c h & s o r n m e i j e r , 2 0 0 4 ) ： 坠0 t = 。，c t - - k t c ，+ s 。 拿：d 。a c 。一吒巴+ s 。 ( 2 2 ) o t 鲁诅c r 吨c ，鹕 ( 2 3 ) 其中，q 为靶细胞分泌的化学吸引分子的浓度，控制轴突运动；e 为轴突分泌的化学吸引 分子的浓度，控制轴突成束；c ，为轴突分泌的化学排斥分子的浓度，控制轴突解束和抑制 轴突生长，它们都是时间和空间位置的函数；d 、d 。和d ，为相应的扩散系数：k 。、k 。和k ， 为线性衰减系数；s ，、s 。和s ，为对应的分泌源，定义为： ( 2 4 ) r ( j盯 坼同 i i s 圭墨盔兰堡圭堂垡堡奎 s 。：n o 万( r 一亏) ，：g a m e - 嵋 j = l ( 2 5 ) 盯，= 口。p ( b + 曲，p = 1 一e 一6 ( 2 6 ) 这里，万为d i r a c 函数，即把分泌源视为点源：m 为靶细胞的数目，肌为轴突的数目，哆为 第j 个靶细胞的位置，r ? 为第j 个轴突的位置；仉为靶细胞分泌源的系数，原则上应与其他 分泌分子有关，但由于目前尚不清楚它们之间的依赖关系，暂设为常数：同理，在h e n t s c h e l 模型中，由于它们之间的关系不太清楚，因此认为d 。亦为常数。本文用一个以c 为变量的 函数来表示盯。轴突离靶细胞比较远时，c 。值较小，则仃。值较大，即轴突分泌的化学吸引 因子的速率较大，因此可以使得轴突在生长过程中更好的成束；轴突越靠近靶细胞，c ，值则 越大，那么盯。值就越小，即轴突分泌的化学吸引分子的速率变小，这样可以使得轴突更好 地完成解束的过程。此外，盯，= 盯。p ( b + p ) 中的6 值原为2 4 2 ，为了增加模拟过程的可 调性，我们将2 4 2 用可调参数b 代替。 y 假设方域内靶细胞分泌的化学吸引分子的扩散分布服从本章2 2 节的解析解( 2 3 2 ) 式 若时间r 趋向无穷，即去掉含棚l ，则得到稳态解 拱归薹静n 争丁n z y o 蓼1 s i n 丁m l r x8 彳n r r y 1 4 ) a ， r r ( 占盯 虬同 i i s 上海大学硕士学位论文 1 4 0 e - 0 4 1 2 0 e - 0 4 1 o o e 一0 4 蚓8 0 0 e 一0 5 辐6 o o e 一0 5 抵 4 o o e 一0 5 2 o o e 一0 5 0 o o e + 0 0 2 o o e 一0 5 y 方向坐标 。-。-sli。1。g。1。m。ar i ! ! ! 些! i 图2 2 盯。和盯，随y 坐标变化的趋势( a = 0 5 ，b = 2 9 2 ) 其中z ，= f ，= 1 ，= 0 5 ，y o = 0 8 ，c o = z r 1 2 5 ，口= o 5 ，b = 2 , 9 2 ，则吒和口，随y 坐标变化 的曲线如图2 2 所示。横坐标是y 方向坐标值，纵坐标是o a 或盯，的参数值。上边曲线对应 的是盯。值随y 坐标的变化情况，下边曲线对应的是q 值随y 坐标的变化情况。如图所示， 离靶细胞越近吒值越小，盯，值越大。在轴突生长的初始阶段，吒值相对较大，有利于轴突 聚集成束，而盯，值此时几乎为零。之后，随着轴突越来越靠近靶区，变小，盯，值变大， 即成束能力开始减弱，解束能力开始增强。因此，对和矿，的改进有利于轴突在生长过程 中更好地成柬和解束。若参数a 取值0 1 和o 8 ，则对应的曲线如图2 3 - 2 4 所示。 1 4 0 e 一0 4 1 2 0 e 一0 4 1o o e 一0 4 徊8o o e 一0 5 巅 媳6o o e 一0 5 4o o e 一0 5 2o o e 一0 5 0 o o e + 0 0 00 20 40 60 8i y 方向坐标 图2 3 盯。和盯，随y 坐标变化的趋势( a = o i ，b = 2 9 2 ) 上海大学硕士学位论文 1 4 0 e 一0 4 1 2 0 e 一0 4 1 。o o e 一0 4 j 粤8 o o e 一0 5 妊 啦6 ，o o e 一0 5 4o o e 一0 5 2o o e 一0 5 o o o 已+ o o 0 0 2 0 4 o 6 0 ，8 y 方向坐标 f i 词 + s i g m a a 图2 4 盯。和盯，随y 坐标变化的趋势( 4 = 0 8 ，b = 2 9 2 ) 表格2 1y 方向坐标随a 的变化 a 值 y 方向坐标 0 0 60 6 8 7 5 0 0 80 6 2 5 0l0 5 7 5 o 1 5o 4 7 5 0 2 0 4 o 2 5 0 3 5 0 3 0 3 1 2 5 0 ，3 5 o 2 7 5 0 4 o 2 5 o 4 50 2 2 5 0 50 2 1 2 5 o5 50 2 0 60 1 8 7 5 o 6 5 o 1 7 5 o 7 o 1 6 2 5 0 ，7 50 1 6 2 5 o8 o1 5 1 6 上海大学硕士学位论文 o8 o7 o 6 蜷0 ，5 藿叫 馁o3 02 0l 0 02040 608 a 值 图2 5 仃。和盯，平衡点的位置随a 的变化 如图2 2 2 4 所示，对应不同的口和6 ，0 r 曲线交点的位置( y 坐标) 不同。我们将吒和 口，曲线的交点称为o a 和盯，的平衡点，这一平衡点意味着轴突的成束能力和解束能力相当。 若在0 。1 的范围内变化d 的取值，则平衡点的位置如表格2 1 所示，对应的曲线如图2 5 所 示。当口的取值越大，平衡点处的y 坐标越小。 根据实验观察，轴突的生长速度与细胞外信号分子的梯度成正比。生长锥将朝着化学 吸引分子浓度梯度高的方向以及化学排斥分子浓度梯度低的方向生长。因此，生长锥的位置 由化学浓度梯度决定的关系式如下： d r - ( t ) ：a ，v g ( r ，0 ) ，f ) + 兄。v c 。( f o ) ，r ) 一五，v c ，( _ ( f ) ，f ) ，：1 ，。 ( 2 7 ) 上式是无量纲化的，a ，a 。，旯，为正常数。 三个扩散j 5 - 程( 2 1 ) 一( 2 3 ) 与一个梯度方程( 2 7