（工程力学专业论文）相变传热问题的灵敏度分析与优化设计方法.pdf

塑壅堡望塑塑堕茎墼壅坌堑兰垡垡望盐! i 壹 摘要 在自然界和各种工业生产中，大量存在伴有相变过程的传热问题。随着现 代工业的发展，对相变传热问题的研究已经广泛应用于金属加工、焊接、环境 工程、太阳能、生物工程以及半导体等领域中。相变传热过程的精确分析是这 些领域中必须要首先解决的问题。随着现代计算机的发展以及各种数值方法的 研究进展，用数值方法对相变传热过程的精确分析技术已经比较成熟了，然而 在此基础上的温度场与结构优化设计方面还缺乏系统的研究。相变传热问题的 优化设计，具有重要的工程应用价值。 本文研究了相变传热问题的温度场灵敏度分析的理论和数值方注，以及在 此基础上的优化设计方法，并且在结构有限元分析与优化设计软件系统j i f e x 中成功实现了相关的计算功能。主要研究内容由两部分组成：l 、伴有相变过 程的传热问题的数值分析方法；2 相交传热问题的灵敏度分析和优化方法， 提出了相变传热问题的优化设计模型和求解方法。各章节的内容安排如下： 第一章首先简要介绍了相变传热问题的工程背景和意义，然后综述了相变 传热问题的研究进展，其中重点介绍了各种数值方法的研究进展。最后介绍了 本文研究工作的软件开发平台，以及本文的主要研究工作。 第二章介绍了相变传热问题的解析求解方法，包括相变传热问题的基本控 制方程，以及几种因素对控制方程的影响。然后以两个经典问题为例，阐述了 相变传热问题精确分析的方法与过程。 第三章研究了相变传热问题的数值求解方法。首先回顾了常用的数值分析 方法，接着重点介绍了固定网格技术中的几个数值模型，包括焓法模型、显热 容法模型、等效热容法模型和拟源项法模型。然后基于等效热容法推导了伴有 相变过程的传热控制方程的有限元列式，并且分别研究了用常规的时间差分法 和精细积分法求解上述有限元方程。数值算例表明，算法具有较高的精度。 第四章研究了相变传热灵敏度分析方法。推导了相变传热温度场灵敏度方 程及其直接法和伴随法两种列式。给出基于常规时间差分的求解算法，并讨论 灵敏度分析半解析方法。算例表明，本文的灵敏度分析算法具有较高的精度。 第五章研究了相变传热问题的优化设计方法。首先给出了优化设计模型和 求解算法，然后介绍了对序列近似规划算法的一些改进，最后通过数值算例表 明本文的优化设计模型和算法是有效的。 第六章总结全文，并展望了进一步的研究工作。 本文的研究工作得到国家重点基础研究发展规划项目“大规模科学计算研 究”课题“大规模计算工程软件系统的基础理论和实施”( 编号：g 1 9 9 9 0 3 2 8 0 5 1 资助和国家自然科学基金重点项目“耦合系统的多学科优化设计理论与数值方 法”( 编号：1 0 0 3 2 0 3 0 ) 资助。 关键词： 相变；传热：优化；灵敏度分析；等效热容法；精细积分法 有限元法 塑奎堡垫塑墼堕垦壑鏖坌堑量垡些望生互鎏 a b s t r a c t t h e r ea r em a n yh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m sw i t hp h a s ec h a n g e ( h c p p c ) i n n a t u r ea n di n d u s t r y t h i st h e s i ss t u d i e dt h et e m p e r a t u r es e n s i t i v i t ya n a l y s i sa n d d e s i g no p t i m i z a t i o nm e t h o do fh c p p c g e n e r a l s o f t w a r ef o rt h e a n a l y s i s a n d t h es t u d i e sa r ea c c o m p l i s h e di nj i f e x ， d e s i g no p t i m i z a t i o n o fs t r u c t u r e s t h e r e s e a r c hc o n s i s t so ft w om a i o rp a r t s t h e “r s tp a r ti st h en u m e r i c a im e t h o dt o s o l v eh c p p c t h es e c o n dr e s e a r c hi n c l u d e st h e s e n s i t i v i t ya n a l y s i so ft h e t e m p e r a t u r ef i e l do fh c p p ca n dt h eo p t i m i z a t i o no fh c p p c t h er e s e a r c hw o r k w i l jb ei n t r o d u c e dw i t ht h ef o t l o w i n gc h a p t e r s i n c h a p t e r 1 t h e b a c k g r o u n d a n dr e s e a r c h d e v e l o p m e n t so fh c p p ca r e s u r v e y e d t h e n ，t h ep l a t f o r m0 ft h i sw o r ki s i n t r o d u c e di nt h el a s ts e c t i o n ，t h e b r i e f d e s c r i p t i o no f t h er e s e a r c hi nt h i st h e s i si sp r e s e n t e d i n c h a p t e r 2 t h e a n a l y t i c a l m e t h o do fh c p p ci s s u r v e y e d t h e n t w o c l a s s i c a le x a m p t e sa r ei n t r o d u c e dt oe x p l a i nt h em e t h o d i nc h a p t e r3 t h en u m e r i c a lm e t h o d so fh c p p ca r ed i s c u s s e d f o u rm o d e l so f f i x e dg r i dt e c h n i q u ea r es u r v e y e d t h e ya r et o t a le n t h a l p ym e t h o d ，a p p a r e n th e a t c a p a c i t ym e t h o d ，e f f e c t i v e h e a t c a p a c i t y m e t h o da n dt h ef i c t i t i o u sh e a tf l o w m e t h o d 。t b e nt h ef i n i t ee l e m e n te q u a t i o n sa r ed e r i v e dw i t ht h ee f f e c t i v eh e a t c a p a c i t ym e t h o d c o m m o nt i m e s t e p p i n gm e t h o da n dp r e c i s et i m ei n t e g r a t i o n ( p t i ) m e t h o da r eu s e dt os o l v et h ee q u a t i o n t h er e s u l t so ft h ee x a m p i ei n d i c a t et h a tt h e a c c u r a c yo f t h i sa l g o r i t h mi sv e r yh i g h i nc h a p t e r4 ，s e n s i t i v i t ya n a l y s i so fh c p p ci s i n v e s t i g a t e d t h es e n s i t i v i t y e q u a t i o n sa r ed e d u c e db a s e do nt h ed i s c r e t em o d e lb yd i r e c tm e t h o da n da d j o i n t m e t h o d r e s p e c t i v e l y t h ec o n v e n t i o n a l t i m ed i f f e r e n g es o l u t i o n sm e t h o d sa r e g i v e n t h es e m i a n a l y t i c a lm e t h o df o rs e n s i t i v i t ya n a l y s i si sp r e s e n t e d i nc h a p t e r5 ，t h ed e s i g no p t i m i z a t i o nm e t h o do fh c p p c i si n v e s t i g a t e d t h e o p t i m i z a t i o n m o d e la n dt h es o l u t i o nm e t h o d sa r e p r e s e n t e d s o m ei m p r o v e d t e c h n i q u e sa r ea p p l i e dt oa p p r o x i m a t ep r o g r a m m i n gm e t h o d t h el a s ts e c t i o ng i v e s s o m en u m e r i c a le x a m p l e s t h er e s u l t si n d i c a t et h ev a l i d i t yo f t h e s em e t h o d s i nc h a p t e r6 ，m a i nc o n t r i b u t i o n so ft h et h e s i sa r es u m m a r i z e da n dt h ef u r t h e r w o r ki ss u g g e s t e d n a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a ( n o 10 0 3 2 0 3 0 ) a n dt h es p e c i a l f u n d so fn a t i o n a l k e yb a s i cr e s e a r c ho fc h i n a ( g 1 9 9 9 0 3 2 8 0 5 ) s u p p o r tt h i s t h e s j s k e yw o r d s ：p h a s ec h a n g e ，h e a tc o n d u c t i o n ，o p t i m i z a t i o n ，s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ， e f f e c t i v ec a p a c i t y m e t h o d ，p r e c i s et i m ei n t e g r a t i o n ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o d i i 塑壅堡垫塑垦塑垦壁鏖坌堑兰垡些堡生立鲨 l 绪论 1 1 相变传热问题的工程背景 在自然界和各种工业生产中，大量存在着伴有相变的传热问题。例如，地 球两极冰层的融化和凝固，铸造过程中金属铸件的凝固，注塑成型加工中高温 塑料熔体冷却固化成制件，焊接中焊条的熔化固结，建筑构件的凝固，食品的 冷冻，晶体的生长以及生物材料的储存等，这些都是这方便的典型例子。还有 锅炉、蒸发器、冷凝器、水冷核反应堆等设备中也都发生相变传热过程。 随着现代工业的发展，对相变传热问题的研究已经广泛应用于各个领域， 如金属加工、焊接、环境工程、太阳能、生物工程以及半导体工业等。钢铁加 工和铸造工业中，金属流体相变的控制对于提高铸件的质量、减少次品数量非 常重要。在能源利用方面，人们利用相变材料制成了相变储热器来储存太阳能 或其它热能。在生物工程方面，相变速率的控制对于生物组织的冷冻储藏等过 程非常重要。半导体工业中，晶体的生长也与相变参数的控制有关。 在上述这些领域中，不仅仅要研究伴有相变的导热问题，而且还要通过对 相变问题的研究，优化工艺过程、结构形状等，提高生产效率和产品质量。这 在模具加工、铸造、焊接、能源、生物工程，半导体等行业有着重要的工程意 义。优化问题的关键在于对物理现象及其过程的数值模拟以及灵敏度分析，因 此，伴有相变的热传导问题的数值模拟及其灵敏度分析方法具有重要的研究价 值。 目前，相变传热问题的数值模拟方面已经有很多成熟有效的方法，而在灵 敏度分析和优化设计方面的研究工作还不多。因此，本课题着重研究相变传热 问题的灵敏度分析与优化设计方法，以焊接或铸造等工艺过程作为工程背景探 讨应用的可能性。本课题只研究一种典型相变问题，即液体凝固或固体熔化过 程中的相变问题。 本课题研究得到国家重点基础研究发展规划项目“大规模科学计算研究” 课题“大规模计算工程软件系统的基础理论和实旖”( 编号：g 1 9 9 9 0 3 2 8 0 5 ) 资 助和国家自然科学基金重点项目“耦合系统的多学科优化设计理论与数值方 法”( 编号：1 0 0 3 2 0 3 0 ) 资助。 1 2 相变传热问题的研究进展 要彻底理解相变问题需要分析与之伴随的各种复杂过程，但从宏观角度 看，这些过程中最主要的是导热过程。 在像纯水或纯金属这样的纯物质的凝固过程( 或熔化过程) 中，相变现象发 生在某个单一的温度下，而且固相和液相被一个明确的分界面所分离。对另外 些情况，物质由两种元素所组成的情况下，如合金等物质的凝固( 或熔化) 过 程，相变现象发生在某一个温度范围内，此时，固相和液相被一个两相的移动 区域所分离，在纯固相和纯液相之间存在一个由液相和固相组成的两相区( 也 称模糊区) ，两相区的两边是两个等温界面，分析这类问题时，需要求固相区、 相变传熟问题的灵敏度分析与优化设计方法 两相区和液相区的温度分布，另外，两个界面的位置都是待定的，它们随时间 而变化。还有一类物质，如石蜡，玻璃，各种烃类、烷类以及由几种不同物质 混合物所组成的非纯物质情况下，从固态到液态( 或从液态到固态) 的相变是缓 慢发生的，它们的相变区域呈胶状，因此，没有个明确的分界面。 无论是上述哪一类物质的相变过程，求解这类问题都有它固有的困难，这 是因为区域内存在着随时间移动的两相界面，界面的位置预先是不知道的，它 是作为解的部分在求得解以后才能被得到，而且在该界面上放出或吸收潜 热，在数学上是一个强非线性的移动边界问题。因此，最初研究相变导热问题 都是以无限薄的相变界面把区域分成两部分：固相区域和液相区域。两部分有 各自的温度场和物性参数，分别满足非稳态导热方程及各自的边界和初始条件 ( 为了简单，在液相区略去自然对流或强制对流等的作用) 。利用分区计算两个 导热温度场的方法，可以巧妙地绕开相变界面这个具有爆发性吸收或释放能量 的障碍，成功地得到解析解。 有关求解相变问题的早期研究著作中有拉梅( l a m e ) 与克拉伯龙( c l a p e y r o n ) 于18 3 1 年及斯蒂芬于18 9 1 年针对冰的形成所进行的工作。更为一般的相变问 题的精确解是由f 诺伊曼于18 6 0 年在他的讲稿中论述的，而他的有关这些解 的讲稿直至1 9 1 2 年才发表。此后，有很多相变问题在文献中出现，但是精确求 解只限于一些半无限大或无限大区域，且具有简单边界条件与初始条件的一些 理想化情形。由于这类问题的非线性，不能应用迭加原理，每一种情形必须分 别予以处理。当精确解法不适用时，可用近似的、半分析的以及数值的方法来 求解各类相变问题。 下面先来简要叙述求解相变问题的几种精确分析方法和近似分析方法。 积分法，这个方法可追溯到卡门和波尔豪森，他们用积分法对边界层方程 作了近似分析。古德曼【2j 用积分法求解了一维瞬态熔化问题，此后相继有很多 研究者【3 。1 用它来解各类一维瞬态相变问题。积分法是一种近似求解一维瞬态 相变问题较为直接而简单的方法。最早由莱特富特( l i g h t f o o t ) 用来求解诺伊曼 问题的移动热源( 或积分方程) 法的基本之点是，用处于固液交界面上的移动平 面热源( 或汇) 来表示潜热的释放( 或吸收) 。用这种方法可使对相变问题的分析 转化为对固一液界面位置的积分方程的求解。有的研究者1 6 采用格林函数法， 其实质与移动热源法一样。也有研究者口j 用过摄动法，但当待求的解的阶数较 高时，则整个分析过程变得非常复杂。在求解边界条件诸参数随时间变化的热 传导问题时所建立起来的可变特征值法，已被用来求解一维瞬态相变问题 8 1 。 这一方法对于轴对称或球对称的瞬态相变问题也是适合的。c h o 和s u n d e r l a n d 得到了热物性参数线性变化的半无限区域相边区有明显分界面的一维相变问 题解析解 9 1 。c h a n e ta l 研究了考虑辐射传热相变温度不同情况下的近似解析解 【j o i 。从这些基本解析解推广到更复杂的边界条件( 如正弦分布的温度，热流或 者对流边界条件等) 和变潜热，l u n a r d i n i 详细讨论了一维、直角坐标和柱坐标 下的解析解法1 ”。 尽管解析解法可以得到精确的结果，但是由于实际相变导热问题的复杂 性，解析法受到很大限制，实际问题很少是一维的，边界条件通常非常复杂， 塑奎堡茎塑壁塑墨墼壅坌堑兰垡些望堕互笙一 热物性参数随相变过程和温度的变化而变化，多种传热机制( 如传导传热、对 流传热、辐射传热) 交替或同时发生，为了求解这些问题必须采用近似的数值 方法。 相变问题求解有许多种数值方法，根据对潜热处理方法不同，这些方法通 常可分为两大类，一类是“固定网格法”，另一类是“移动网格法”1 6 j 。“固定 网格法”是把相变问题表示为连续的隐式方程。“移动网格法”又称为“前沿 跟踪法”中，固相区域和液相区域分别处理，相变界面由移动边界显式表示。 c r a n k ( 1 9 8 4 ) 深入研究了一般的移动边界问题以及与移动边界相关的相变问 题【1 1 。s a i c u d e n 和a b d u l l a h ( 1 9 8 8 ) 列举了几种潜热的近似公式和相变问题的 一般的数值模型【1 ”。d a l h u i j s e n 和s e g a l ( 1 9 8 6 ) 比较了相变问题各种有限元法 的优劣f ”】。v o l l e re ta i ( 1 9 9 0 ) 对相变问题的固定网格技术迸行了综述，并比 较了几种主要的方法的数值特点4 1 。j u r i c 和t r y g g v a s o n 对相变问题的移动网格 技术进行了综述。o u y a n g 和t a m m a 研究了考虑相变温度为一区间的多个移动边 界问题的固定网格方法【l ”，g u p t a 研究了相变温度是一个温度区问的多维相变 问题的移动网格法f l “。关于移动边界问题的移动网格法方面的研究直到现在还 是研究的热点 1 7 - 1 9 1 。 早期的数值求解方法通常采用移动网格法，它遵循相变分区的特点，在区 域中划分了固定步长的网格节点，并用固定的时间步长计算各时刻的温度场。 由于相变界面是移动的，因此固定步长的缺点是对于每一个计算时刻，经常发 生相变界面不落在网格节点上，必须对界面附近的节点进行插值计算。它的改 进方法是使用固定的空间步长和可变的时间步长。使每经一个时间步长都能保 证两相界面正好移动一个固定空间不长的距离，这种时间步长都需要随时迭代 计算确定。这类方法又称为前沿跟踪法。 另一种改进方法是采用自变量变化，将移动边界问题转化为固定边界问题 来处理。这种方法又称为固定前沿法，本质上也属于移动网格法。 上述移动网格方法主要适用于一维问题的计算，即相变区没有厚度，只是 一个几何界面。为了更适用于多维问题的计算以及在整个区域( 固、液和两相 界面) 建立一个统一的能量方程而发展了“固定网格法”。其中有代表性的有 “焓法模型”( e n t h a l p ym e t h o d ) 1 2 、“显热容法模型”( a p p a r e n tc a p a c i t y m e t h o d ) 【2 1 】、“等效热容模型”( e f f e c t i v ec a p a c i t ym e t h o d ) 2 2 】以及“拟源项模 型”( f j c t i l i o u sh e a tf l o wm e t h o d ) 1 2 3 1 。 焓法模型采用焓( h = c t ) 和温度同时作为待求函数。由于相变界面上焓随 时间的变化曲线是连续的，从而可以统一处理液相区和固相区。焓场解出后， 温度场就可很容易地求得。 显热容法模型，将相变潜热看作是在足够厚度的相变区域内有一个很大的 显热容量。随着凝固( 或熔化) 过程的逐渐进行，相变潜热不断释放( 或吸收) ， 相变区内的物质温度也随时间缓慢下降( 或上升) 。等效热容法是显热容法的 改进，它将显热容在单元上积分，并按单元体积平均化，由此得到相变单元的 等效热容。拟源项法，是把相变潜热作为热源项处理。这几种模型由于整个区 域内温度场是时间的连续函数，因此与焓法模型一样，可以不需跟踪两相界面， 相变传热问题的灵敏度分析与优化设计方法 而在整体区域内求解统一的温度场。 焓法和等效热容法都是目前数值计算相变导热问题中较好的模型，适用于 多维问题的数值求解，等效热容法在一定程度上可以代替其他模型。本文采用 的就是等效热容法模型。 相变传热过程与工程优化技术结合，引起研究人员的注意，主要集中在模 具的辅助设计制造、铸造成型工艺控制等方面。d a n i e la t o r t o r e l l 等研究了非 线性瞬态问题的灵敏度分析方法 2 4 , 2 5 1 ，l e w i s 研究了模具加工中的形状优化问 题【2 们。国内关于相变温度场数值模拟与优化设计、瞬态导热以及灵敏度分析和 优化方面的研究工作见文献瞄”圳等。 1 3 软件开发平台j i f e x 简介 本文研究工作是在j i f e x 软件的基础上进行的，所研究的数值达到在j i f e x 软件系统中实现。j i f e x 是由大连理工大学工程力学系2 2 程力学研究所、工业 装备结构分析国家重点实验室研制开发的新一代有限元分析与结构优化设计 软件系统3 2 i 。它是在多层子结构有限元分析程序j i g f e x 【3 ”、微机有限元分析 软件d d j w 【3 4 l 、计算机辅助结构优化设计软件m c a d s 3 5 1 等软件的基础上发展 起来的具有新的前后处理界面的集成化软件系统。 j i f e x 系统的分析功能有：静力分析、自振分析、稳定性屈曲分析、时程 响应分析和热传导分析等。其具有特色的结构优化设计功能有：强度和刚度优 化、自振频率优化、动力响应优化、屈曲稳定性优化，咀及上述多个目标联合 起来的结构多目标优化。设计变量包括：1 ) 尺寸变量，如：杆单元的截面积， 膜、板、壳单元的厚度。2 ) 形状设计变量，如离散结构( 如桁架或框架的) 节点 坐标。对于由连续的曲线或曲面描写连续结构，形状设计变量是曲线或曲面的 插值参数和控制点位置。 该系统的灵敏度分析功能，采用的是半解析灵敏度分析方法，具有较高的 计算效率和通用性。j i f e x 优化方法是序列二次规划和序列线性规划，也是本 文工作采用的优化求解器，同时算法中采有了自适应运动极限控制、近似的一 维搜索、可行域调整、目标规划法处理多目标( 或超界约束惩罚) 、设计变量连 接等技术，保证了优化算法的稳定收敛。 1 4 本文工作 本文主要研究了相变传热问题中凝固过程的优化设计以及灵敏度分析的 理论和数值方法，并且在大型有限元和结构优化软件系统j i f e x 中实现相关的 计算功能。 j i f e x 软件系统已经具备了线性、非线性的瞬态温度场分析功能以及灵敏 度分析功能，在此基础上，本文把热传导分析及其灵敏度分析推广到伴随相变 过程的热传导分析与灵敏度分析，然后建立优化设计模型，最后完成相变传热 问题的优化设计。 论文的主要研究工作包括： ( 1 ) 采用等效热容法实现了平面相变传热问题的有限元求解。对原有程序 相交传热问题的灵敏度分析与优化设计方法 加以改进，适应了更一般的情况，即相变温度是一个温度范围存在模 糊区的多维问题。 ( 2 ) 初步研究了精细积分法在相变传热问题中的应用。 ( 3 ) 分别采用直接法和伴随法推导出相变传热问题的灵敏度分析计算公 式。在j i f e x 软件系统中实现了直接法求解相变传热问题的温度场灵敏 度。 ( 4 ) 在相变传热温度场灵敏度分析的基础上，实现了相变传热过程优化设 计的求解算法。 因为相对于精细积分法，时间差分法在程序实现上要简单的多，而且精度 也满足工程要求，因此，在相变传热的灵敏度分析与优化设计工作中的时程积 分方法采用时间差分法。 相变传热问题的灵敏度分析与优化设计方法 2 相变传热问题解析求解方法| 3 6 】 2 1 相变传热问题基本方程 伴随有相变的导热问题中，包括相变与导热两种物理过程，这使它比单纯 的导热问题复杂的多，为了推导相变传热问题的基本方程，我们首先考察一维 凝固问题的控制方程，然后很容易推广到熔化问题和三维问题。 2 1 1 移动界面的边界条件 这里我们介绍相变问题中固一液界面处的边界条件。先把注意力集中到凝 固( 熔化) 发生在某个单一凝固( 熔化) 温度的情形。在这种情况下，固一液两相被 一个明确的交界面所分离。在这一界面上所需满足的基本关系可表示为：( 1 ) 相邻两相的温度等于同一个相变温度t 。，它是给定不变的，通常为物质的凝固 ( 熔化) 温度：f 2 ) 界面上必须满足能量平衡。一般地说，固体的密度与液体的密 度不同，因此，在实际情况下由于密度的变化将引起液体的一定运动。通常相 变点上固体的密度比液体的密度大( 水、铋、锑例外) ，因此，在凝固过程中有 些液体将向界面运动。在下面的分析讨论中，我们假定两相的密度是相同的， 因此，由于容积的变化引起的对流速度可以忽略。先讨论半无限空间液体的凝 固问题的控制方程和移动界面边界条件，然后推广到半无限空间固体的熔化问 题。 凝固问题：如图2 1 a 所示，半无限空间液体，相变温度为t 。，初始温度t ， t i t 。，在t = 0 时刻，区域边界x = 0 处的温度突然降到t 。，t 。 t 。，并且维持不变。 于是凝固从边界x = 0 开始，固一液移动分界面位置x = s ( t ) 向x 正方向移动。在固相 区域和液相区域，各自的温度场和物性参数，如t 。，p 。，k 。，a ；和t i ，p1 ，k l ， a 等，分别满足瞬态导热方程及各自的边界和初始条件，此外，在固液两相的 移动界面处还必须满足温度连续条件和能量守恒条件。即，其控制方程为： 泛墨竖堕：三望! 兰：堕 固相： 0 x 2瓯 o t l x = o ，t = l 液相 a 2 正( x ，f ) 知2 t = 0 ，互= 霉 1 o t , ( x ，f ) o i ?a t f t a x ，f ) = 巧( x ，t ) = 乙 界面。 t t 孕o x 咄罢叫警o xn r 6 j o ) pl ， f 水、铋、锑例外) 。 为了说明液相与固相内密度不同对界面能量平衡方程的影响，请看图2 1 a 所示的凝固问题。假设p ； pl 用v 。表示界面向x 正方向运动的速度，用v l 表示由于容积变化而引起的液相 向x 正方向运动的速度。令h 。与h 1 分别为固相与液相的焓( 也即单位质量物质显 热容与潜热容的总和) ，则只要注意到界面的实际运动是向x 正方向，由于固相 密度大于液相密度，所以液相的流动方向是x 的负方向，则界面的能量平衡方 程( 2 4 c ) 可修正为 t 罢生一岛孕：( 一q b 皿) 吃一岛v ，x ：s ( f ) ( 2 5 ) 界面处的质量守恒方程为 ( 局一b ) 匕= p j v z( 2 - 6 a ) v f ：一旦丑u q 根据式( 2 6 b ) ，可从式( 2 5 ) 中消去”l ，得到 ，a f，a 正 k s 菘_ 。茜2 p , l v ， 因为 f 2 6 b ) r 2 - 7 a ) q 一只= 三= 潜热( 2 - 7 b ) 所以，式( 2 7 a ) 与式( 2 4 e ) 相同，只是用p 。代替了p 。 假如在分析中考虑液相与固相的密度差别考虑进去，则液相能量方程就应 包括对流项，这样，整个分析就复杂的多了。 2 1 3 对流的影响 考察图2 1 a 中的凝固问题，如果液相区的传热不是以热传导的方式，对流 不可忽略时，描写液相区的温度场方程应以对流换热微分方程代替，液相区界 面受对流方式所支配( 由对流换热系数h 表示) ，则式( 2 4 a ) 应作修正，在液相内 用对流流项代替热传导流项。界面能量方程取下面的形式： t 要一五( 疋一l ) ：肚掣，。：j(f)(2-8) 0 a t 塑壅堡垫塑望塑墨壑鏖坌堑兰垡些兰盐查堕一 式中，h 是液相一边的对流换热系数，t 。是液相的整体温度，t m 是界面上凝固 点的温度。 对于图2 - b 中的熔化问题，如果液相的传热是对流，只需把式( 2 8 ) 中h 前的 负号改成正号即可。 2 1 4 移动界面的非线性特征 公式( 2 4 a ) 和( 2 8 ) 中的界面边界条件是非线性的。为了说明这些方程的非 线性特征，需将d s ( t ) d t 与温度的导数联系起来。为此，对界面上的温度连续方 程式( 2 1 c ) 中的第一个式子取全导数： 等出+ 詈旃l r 罢斑+ 等破l 。= 。 c z 。a ， 或写成 一a t , 一d s ( t ) + 盟：望盟+ 盟d t ：0 ， x ：j ( f )( 2 9 b ) 敏d t8 t0 x d to t 上式整理后可写成 一d s ( t ) 旦王堕一d s ( t ) 堡旦 ( 2 9 c ) 疵 a t 融西a i o x 把上述结果代入( 2 4 a ) 可得 t - 玎l - 一瑶= - - p l 慕- - - p l 焉( f ) p 9 d ) 显然上式是非线性的。由于界面边界条件是非线性偏微分方程，所以求解更加 困难。 2 1 5 三维的情形 这里把相变问题控制方程( 2 1 a ) 、( 2 1 b ) 和( 2 - l c ) 推广到三维的情形。下面 以图2 所示三维区域的凝固过程为例推导三维相变问题的控制方程和界面条 件。在固相区域和液相区域，温度场分别满足瞬态导热方程及各自的边界和初 始条件。即，其控钼i 方程为 图2 - 2 - - - 维凝固过程 f i g 2 - 2s o l i d i f i c a t i o ni nt h r e ed i m e n s i o n s 9 相变传热问题的灵敏度分析与优化设计方法 矾v 胪，f ) = i 1 型产 液相：v 2 巧( y ，乙，) 土塑! 兰! 羔：! ! 尘 盘， a t 初始条件：正= z ， f = 0 固定边界条件 t = l a 7 1 局_ = q 。 d 玎 局_ o t ：矗( 0 7 1 ) o n r 2 1 0 a ) r 2 1 0 b ) r 2 1 0 c ) f 2 1 0 d ) f ( x ，y ，z ，t ) = 0 ，t 0 ( 2 - 1 0 e ) 其中，z ( x ，y , z ，t ) = 0 表示固相和液相的分界面，n 为为界面上任意点p 处垂直 于界面、朝向液相区的单位向量，8 1 a n 表示界面上沿法向向量1 3 的导数，v 。为p 点所在界面上的速度。界面能量平衡方程( 2 1 0 e ) 在形式上不适合于对相变问题 进行解析求解和数值求解。把它改写为 h 黔( 制陋一向哥啄d s ，酬w 力 陋 上式形式的能量平衡方程与一维情况下由式( 2 4 a ) 所示的形式相类似，因 此更适合于求解。下面我们讨论由式( 2 1 1 ) 所示结果中的某些特殊情况。 当变量为( x ，z ，t ) 的二维问题，若固液界面的位置用关系式 f ( x z ，t ) = z s ( x ，t ) = o 来描述，则( 2 - 1 1 ) 可简化为 驯卜罢一噜卜妄，r ，( 2 - 1 2 a ， 对于变量为( z , t ) 的一维问题，若固一液界面的位置由式f ( z ，t ) = z - s ( t ) = o 表示， 则式( 2 - 1 1 ) 可相应简化为 t 等一岛譬= 肛粤， ：= s ( 0( 2 1 2 b ) 若用x 代替z ，上式则与( 2 4 a ) 相同。 在变量为( r ，巾，t ) 的柱坐标系内，若固一液界面的位置由式f ( r ， 中，t ) = r - s ( 中，t ) = o 表示，则( 2 1 1 ) 相应的形式为 旧怫等一向斗3 rj 啄d s ，慨，) ( 2 _ ) 乙d儿 h k 尸 州 “ 里砌 c 缸 件条界边面界 塑茎堡垫塑整竺墨壑墅堑兰垡丝望兰互墨 在变量为( r ，z t ) 的柱坐标系内，若固一液界面的位置由式f ( f ，2 ，t ) 2 z 。s ( r ，t ) 。0 表示，m o ( 2 1 1 ) 相应的形式为 2 b 吾一墨讣蛎d s ，r ， ( 2 1 2 d ) 2 。1 6 楣变问题的无量纲变量 为了更好地认识相变问题中无量纲变量的作用，将界面能量平衡方程( 2 4 a ) 表示成如下的无量纲形式： 堡一互丝：上一d g ( r ) r 2 - 】3 。1 a 曩k 。6 q s t ea ： 式中各无量纲变量分别定义为 眠叩) ：雩2 錾，净威z ；刁：z b ； h 10 j ( r l ：盟：r ：箕；s t e ：叠幽( 2 13 b ) bbl 其中，b 是参考长度，l 是潜热，c 。是比热容，t 。是相变温度，t o 是参考 温度。s ( t ) 是固一液界面位置。s i e 是以斯蒂芬( s l e f a n ) 名字命名的斯蒂芬数。上 述这些无因次变量中，除了斯蒂芬数外，都与典型热传导问题孛索用的无因次 数相似，而斯蒂芬数只与相变过程相联系。 上述斯蒂芬数的含义为，它表示显热相对潜热的比重。如果s t e 数很小， 譬如说小于o ，j ，赠材料内部热量传播对物体显热量的变化对福交过程中界面 上热量的释放与吸收的影胸是很小的，对于渚如铝、铜、铁、铝、镍、锡等材 料，根据相变温度与室温之间的差值得到的斯蒂芬数可从1 变到3 。在熔化或舔 固过程中，由于该过程发生在很小的温差条件下，斯蒂芬数也就很小。例如， 在有关热能存贮斡相变河题申因为温差报，j 、，斯薷芬数通常小于o 1 。 2 2 稻变问题的精确解 根据上一节所阐述的理由，对相变问题进行精确求解只能限于少数理想化 的清形。通常是一维无限或半无限区域，像边界指定温度这样的简单边界条牛。 为了说明精确分析方法的主要内容，在这节里，藐们介绍一些精确解的例子， 2 。2 1 半空间内过冷液体的凝固过程( 单区域问题) 一种过玲液体具有均匀温度t ，它低于固相凝固( 或熔化) 温度t 。，该过冷 液体被限制在x 5 的半空间内。假定凝固过程在t = 0 时从表面x = q 开始，固一蔽 界面朝x 正方向移动。图2 3 表示固液界面的几何形状、坐标与温度剖面。液相 各处都为均匀温度t 。，其内部没有传热过程，凝固过程中所释放的热量传给过 冷液体。并使液体的温度升高。由于只有液相内的温度分布是未知的，因此该 问题是一个单区域问题。在以下分析中我们求液相内温度分布及固一液界面 的位置随时间的变化。 相变传热问题的灵敏度分析与优化设计方法 图2 3 半空间内过冷液体的凝固过程( 单区域问题) f i g 2 - 3s o l i d i f i c a t i o no fs u p e rc o o l e dl i q u i di nah a l f _ s p a c e ( o n e - p h a s ep r o b l e m ) 解：在介绍这个问题的分析求解之前，我们先阐述液体过冷的含义。如果 非常缓慢地冷却液体，则可把整体温度降低到凝固温度以下，这一状态下的液 体称为过冷液体。在过冷到某一临界温度以后，液体就开始凝固，凝固所释放 的热量会提高过冷液体的温度。有关过冷液体凝固过程中阉一液界面的实际情 况知道的很少。当过冷水凝固时，界面可能生长为树状面而不是一个移动着的 明确的平面。这个树状面由分散在水中的冰的结晶组成，而冰的结晶是薄的、 板状的。这样，在分析中要考虑到不规则表面条件的影响、这是一件很困难的 事情。为此在以下求解中讨论的只是一种理想化的情形，即假定固液界面 是一个明确的面，它的运动与理想的凝固过程相类似。 液相内的数学描述为 粤：土霉掣 0 f = 0 x 0 x = j ( f ) ，t 0 x = s ( f ) ，f 0 r 2 1 4 a ) f 2 1 4 b ) f 2 1 4 c ) r 2 15 a ) ( 2 15 b ) 界面方程( 2 - 1 5 ) 表明，在界面处由于凝固而释放的热量等于传导到过冷液 体内部的热量。固相内部由于温度为均匀的t 。，因此无需方程式。e r f c x 2 ( 。】 t ) 17 2 】是热传导方程( 2 1 4 a ) 的一个解。取t i ( x ，t ) 的解为如下形式： 巧( x ，f ) = 巧+ b e r f c x 2 池f ) “2 】( 2 - 1 6 ) 式中b 是任意函数。这个解满足微分方程( 2 1 4 a ) ，由于e r f c ( 。) = 0 ，使这个解 1 2 塑壅箜垫囹里盟墨墼壅坌堑兰垡些丝兰立鎏 满足边界条4 9 ( 2 1 4 b ) 及初始条件( 2 1 4 c ) 。如果要求这个解式( 2 16 ) 还应满足界 面条件( 2 15 a ) ，可得 乙= z + b e r f c ( a ) 式中肚赫 ( 2 1 7 a ) r 2 1 7 b ) 由于( 2 - 17 a ) 式