（基础数学专业论文）解析数论中的特征和估计.pdf

ad i s s e r i a t i o ns u b m i n e dt o t b n g j - u n i v e 隋n y i nc o n f o r m i t yw n ht h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo fd o c t o ro fp h o s o p h y e s t i m a t e so fc h a r a c t e rs u m si na n a i y t i c n u m b e r t h e o r y ( s u p p 删【e db yt l l en a t i 锄a ln a t i l 豫ls c i e 眦ef o u n d a t i 0 f ( = l l i n a ， g | 姗tn o 1 0 6 7 1 0 5 6 ，1 0 8 0 1 1 0 5 ) s c h o o ) 印a m n e n t ： d i s c i p l i n e ： m a j o r ： c a n d i d a t e ： 一 3 u p e r v l s o r ： d e p a r t i i i e n to fm a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c s f h n d 锄e n t a lm a m e m a t i c s k eg o n g p r o f t i a n z ew a n g d e c e mb e r ，2 0 0 9 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国 家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以盈利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 一l 动。 学位论文作者签名： 勘jo 年l 之 月乡；日 ， 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 学雠文作者虢蚤丸 勘抽年j 旯哆b 摘要 摘要 我们给出解析数论中特征和估计的三个新结果，即：平移素数序列上的特征 和，光滑数序列上的特征和，有限域上的部分高斯和本文分为四章，第一章为引 言，其余三章分别论述上述三个结果 在引言部分，我们首先回顾d i r i c h l e t 特征的定义及其性质，p 6 l y a _ n o 掣a d o v 与b u r g e s s 的经典特征和估计其次，我们分别就本文的三个结果阐述它们的历 史背景与最新进展最后我们叙述了本文的主要定理 第2 章我们研究平移素数序列上的特征和，即和式 z q + 口) ， ( 1 ) 衙 其中z 为模正整数g 的非主特征，口为整数且与鼋互素当特征z 的模g 为素数 时，i m n o 萨a d o v 与a a k a m t s u b a 得到了比直接使用广义耻渊猜想更 为深刻的结果1 9 7 0 年k 删s u b a 最终在9 1 2 竹时给出了( 1 ) 式的非平凡估 计，g 0 为任一正常数这一结果被认为达到了现有方法的极限然而，对于正整 数模的d i r i c l l l e t 特征，目前只有r a k h n 帕n o v 的结果该结果最先发表于1 9 8 6 年 后在1 9 9 5 年有微小的改进本质上r a k h m o n o v 是在鼋l + s 时给出了( 1 ) 式的 非平凡估计，所用方法为p 6 l y a - n o 铲a d o v 的上界估计结合v a u g h 趾恒等式本 章是作者与j b f n e d l 锄d e r 和i e s h p a r h n s h 合作的结果我们引入b u r g e s s 的 方法，改进了r a l 【l l m o n o v 上述的结果具体说来，我们在矿，9 竹时给出了( 1 ) 式的非平凡估计 第3 章我们研究光滑数序列上一类较广泛的特征和，即 ：z ( 尺l ( n ) ) 白盹何) ) ， ( 2 ) n 蔽力 其中彤为模素数9 的非主乘法特征，尺l 恐为模g 的有理函数，双x ，力为区 间【l ，明中全体y 光滑数的集合一个正整数咒称为弘光滑的如果刀的最大素因 子p ( ，1 ) 不超过) ，基于p e r c l i n u t i e r 关于素数序列上一般特征和的结果，我们在条 件 1 若恐= 口x + 6 ，则尺l 不能等于工，二，也不能为一常数 摘要 下给出不同的范围内( 2 ) 式的非平凡估计最后我们列举了若干在较大范围内有 非平凡上界的特殊情形本章的结果在算法数论中有其潜在的应用价值 第4 章我们研究有限域上的部分高斯和令z 为勋上的非平凡乘法特征， l l 为在昂上的一个基令口为如下定义的盒子 曰= 喜即嘶m 删n z ，吲n ) 其中m ，马为满足条件o 嘶 孑4 使得若b 由( 3 ) 式定义且满足条件 兀毋 p ；伽， 则当p p ( 功时有 睦从州瞰训i 附r ，1 艴曰i 除去以下的例外情形：当n 为偶数且形l ，2 为主特征时有 b 曲印似，i 甲帅弘i + 以阮 其中几是f 矿的矿7 2 元子域 2 ) 给定o 0i s 彻a r b i t 删了c o n s 胁t h i sr e s u l t sh a v eb e e nm o u g l l t0 f 删i l i n gt 1 1 e1 i l l 1 i 协 t i o no ft h ep r e s e n tm e t h o d s h o w e v e r f 0 rm ec a s eo fd m c l l l e tc h a r a c t e r sm o d u l 0a p o s i t i v ei n t e g e r 吐l e 砌yl ( 1 1 0 w nr e s u l t sb e l o n gt or a l 【h n l 0 1 1 0 v w h o s er e s u nw a sp u b - l i s h e df i r s ti i ll9 8 6m 胁w a si m l ) r 0 i v e ds l i g l l n yi nl9 9 5 u s i n gm ep 6 l y a 一n o 伊a d o v s b o u n da i l dv a u g h 觚i d e n t i 吼r d i ( 1 l n l o n o ve s s e n d a l l yg a v en o n 缸i v i a le s t i r m t e s0 f ( 1 ) f o r g 哆h lo l l r 僦e n n yj o i n tw o r k ( w i mj b 蹦e d l a i l d e r 觚di e s h p 砌n 凼) ， w ei n 仃c h d u c eb u r g e s s b o u n dt 0m a k e 孤i m p r o 、，e m e n t0 nr 呔h m o n o v 锄d0 b t a i n e da n o n t r i v i a le s t i m a t eo f ( 1 ) f 0 rt l l er a i l g e 9 8 9 帽 i i l l e l i r dc h 印t w es t l l d ym o r eg e n e r a lc h 撇c t c i s u i 璐0 v e rs m o o t l l 肌n t b e 璐 l x 口+ p彤 例 a b s 的c t n 柚1 e l y z 俾白淝( 疗) ) ， n 双j 。力 ( 2 ) w h e r e 彤i s a i i o n p r i n c i p a lm u l t i p l i c a 由e c h a r a c t c rm o d u l oa p r i m e 留，r l 飓a r e 瑚畸o n a l f u n c 廿o n sm o d u l o 口，觚ds ( x ，y ) i st h es e t0 f y s m 0 0 t h 删m b e r si n 【1 ，明r e c a ut h a ta p o s i t i v ei n t i e g e rn i sc a l l e dt 0b ey s m o o mi f 肋) ) ，w h e r e 尸研) i st l l el a 硌e s tp f i i m d i v i s o ro fn b 觞e d0 np e r e l m u t e r sr e s u l t so fc h a r a c t e rs u i 璐o v e rp d m e s ，w eg i v e n 臼曲i a lb o u n d si nv a r i o u sr a n g e sf b rm e 眦n 塔( 2 ) u n d e rt l l ef 0 u o w i n gc o n d i d o n 矿恐：口石+ 易，咖8 n 尺l 石，! ，。r 口c 渊幻疗f s o m es p e c i a lc a s e sw i t hs h 砒p e rb o u n d sa r ca l s og i v e n t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e rm y h a v es o m ep o t e n d a la p p l i c a t i o n si na l g o r i t l l i i l i cn u m b e rt l l e o r y w 色s t u d yp 枷a lg 卸s s i 锄s 岫si na f b i t r a 巧丘i l i t ei i e l d si l lc l l a p 衙4 l e t zb e an o n t r i v i a lm u l t i p l i c a t i v ec h a r a c t e r0 f ， 山l ，) b e 柚a r b i 锄巧b 勰i sf o rb o v e r 易l e tb b eab o xd e f i n e db y b = 喜即嘶m 删n z ，n ) w h e r em ，吗a r e i n t e g e l l ss 撕s 匆i n go 坼 孑4s u c hm a ti fbi sd e 丘n e di i l ( 3 ) 卸d s a t i s 母i n g 兀吗 p ；一， m e nf 0 rp p ( d ， b 曲勺似删l 附r ，i 艇口i u n l e s s 万i se v e na n dzi ni sp d n c i p a l ，w h e r e ，蔓i st l l es u b l i e l do fs i z c 矿，2 ，i nw h i c h a b s 的c t b 捣似，i 甲帅托旷陬 i i ) l 成o l ，贝i j 有名( n ) ：0 事实- j 己，令疗= 刀l 反目= 口l d 由 于l 留l 1 ， 则称之为模g 的主特征，记作朋显然z ( 咒) 州= 朋( 咒) ，且恰好存在妒( g ) 个模g 的 特征 特征具有正交性即 志z 磊。叫：= = ： 和 赤扣= 篆： 除了特征z 的模毋还有被称为导子( c o n d u c t o f ) 的正整数矿与每个z 相关 联特征彳的导子指的是满足条件 疋= 朐矿，其中朋为模口的主特征，r 是模矿的特征 的目的最小因子矿导子与模相等的特征称为原特征，否则称为非原特征上述 分解中石是由疋唯一确定的原特征，我们称疋为r 导出的特征，或称r 导出特 征z 最后，模留的原特征的个数为 口毋( ，一；) 疑( 一昙) 2 1 2 经典特征和估计 我们先回顾q 为素数，z ( m 1 0 dq ) 非主时，d i r i c h l e t 特征和估计的经典结果 2 第l 章引言 1 9 1 8 年p 6 坶a 【7 2 】和n o g 枷【8 3 】独立地给出了特征和估计 li l 从曲i 垢l 。舛 ( 1 1 ) l 工s l 这一结果直到1 9 6 0 年前后才由b u r g e s s 【1 4 - 1 7 】和王元【9 1 】在短区间上给 出改进模g 为素数时b u 玛e s s 特征和估计的最终形式为：对任意的非主特征z ( i n o dd 和任意的正整数r 有 li l 疋i 1 - ；留爱( 1 0 9 们； ( 1 2 ) l 肘 o ，口= 口( d 0 有限域上的和积现象具有重要的理论意义和应用价值，它在算术问题上的应 用可见【2 ，3 ，6 ，7 ，1 0 ，4 0 】，在密码学中的应用可见【4 ，5 】 将算术组合方法，尤其是有限域上的和积定理，引入指数和、特征和的估计 是目前国际上研究极为活跃的一个方向 利用有限域上的和积现象，b o u r g ；洳一g l i b i c h u k - k 0 n y a 酉n 【1 0 】应用调和分析 工具以及b a l o g g o w e r s s z e m e 删定理给出了f p 中“非常小”的乘法子群上指 数和的非平凡估计，超越了以往用解析数论和算术几何方法得到的结果( 参 见h e a m b r o 、n 和k 0 n y a g i i l 【4 7 】，k o n y a g i n 【6 l 】) 在此基础上，b o u 玛a i n 【7 】在若 干接近最优的条件下给出了有限素域的任意子集上多重线性指数和的非平凡估 计b o 嵫a i l l 和g 砌l e v 【9 】利用昂上和积估计的变体，给出了【1 0 】中指数和估计 的显式结果 5 第l 章引言 另一方面，张美珠( m e i - c h uc h a n g ) 【2 4 - 2 6 】，勋n y a g i i l 【6 2 】将算术组合方法 引入有限域上乘法特征和的估计，改进了一系列经典结果，这包括： a ) 利用g 醐獭，【3 9 】，k a t z s h e n 【5 9 ，6 0 】，h a n 等人【4 6 】的和积定理给出积性能 量( m u l 卸l i c a t i v ee n e r j 搿) 的估计，结合特征和估计的卸叩l i f i c 撕伽方法，极大地改 进了d a v e 印o r t 和k w i s 【3 0 】于1 9 6 3 年得到的任意有限域上不完整特征和的结 果，达到了b u r g e s s 【1 8 】和k 撇t s u b a 【4 9 】的强度； b ) 改进了k 撒t s u b a 【5 5 】的结果，在p a k i y ( 脚hc o 坷e c t i 玎e 方面得到较好的 结果： c ) k o n y a g i n 【6 2 】通过引入数的几何方法改进了张美珠【2 4 】中积性能量的估 计，从而将张美珠不完整特征和的估计改进到b u r g e s s 的强度 2 0 1 0 年1 月b 伽r g a i n - c h a i l g 【8 】利用k ( m y a g i i l 引入的数的几何方法极大地 改进了b u 瑁e s s 【1 9 】于1 9 6 8 年建立的多重线性特征和的估计 由上观之，算术组合方法已在指数和、特征和估计中带来巨大的进展，这必 定是一个值得深入探索的领域本文第3 章即延续了张美珠和k o n a y a g i n 上述的 研究工作 1 5 主要结果 1 5 1平移素数序列上的特征和 当d i r i c h l c t 特征的模g 为任意正整数时，平移素数序列上特征和估计的难 度大大增加目前仅有的结果是r a k i u n o n o v 【7 3 ，7 4 】得到的，该结果最先发表 于1 9 8 6 年，后在1 9 9 5 年有微小改进具体地，令g 为正整数，z 为模9 的非主特 征，腧( m o d 矿) 为与z 对应的原特征“万) 代表咒的因子个数口记 鸟l = 兀p ，以矿 r a l ( h m o n o v 利用p 6 l y a 一n o g r a d o v 估计证明了 i 荟肛口，卜。g 嗍咖( + - k 】 显然，上述结果在9 1 竹时给出特征和的非平凡估计 本文第2 章中，作者与j b 蹦e d l 锄d e r 和i e s h p a r h n s 虹合作将r a l ( 1 1 l o n o v 的结果改进为g ；括注意，此处的8 9 与k a m t s u b a 在素数模时得到的最好结 6 第l 章引言 果l 2 存在一定的差距造成这一差异的根本原因在于b 哗e s s 的方法并非对于 任意正整数模都成立 具体说来，我们证明了：当9 1 6 ，9 时，对模g 的原特征彤，有 ii l 人( n 玩研+ 口) l ( 7 届口1 侈+ 3 3 届2 9 - 1 8 ) q 口( n l 一! ：vl 从而推得：对任意的 o ，存在6 0 使得当9 8 ，9 + s 时，对模口的原特 征z ，有 人( ，l 沈( 以+ 口) g ， 以s 此处常数依赖于& 1 5 2 光滑数序列上的特征和 2 0 0 7 年，s h p a f n n s h 【7 6 】在不同范围内给出了平移光滑整数序列上线性特征 和 从n + 口) ， ( 1 1 4 ) 一双工，力 的非平凡估计，其中s ( x ，y ) 为区间【1 ，明中全体y 光滑数的集合一个正整数n 称为y - 光滑的如果n 的最大素因子p ( n ) 不超过y 基于p e r e l ，咖煅【6 8 】关于素数序列上特征和的结果，本文第3 章我们在不 同的范围内给出了光滑数序列上一类较为广泛的特征和 胛l ) ) 勺盹( n ) ) 。 n 戗力 的非平凡估计，其中z 为素数模g 的非主d i r i c l l l e t 特征，尺l 恐为模g 的有理函 数且满足非退化条件 若恐= 口x + 易，则r l 不能等于五 ，也不能为一常数 ( 1 1 5 ) 具体的，我们得到 i ) 对任意的e 0 ，当工) ，9 1 + s 时总有 s 柳可l o g 五 7 第1 章引言 其中6 = 6 ( 曲 o i i ) s 0 秒1 2 9 一1 ，4 + 矿，2 ) 一n 另外，我们还在若干特殊情形下给出了较大范围内成立的特征和的非平凡估 计 注意到近年来光滑数在算法数论中的重要地位( 参见b u h l e r 和s 跳n h a g e n 【1 3 】) ，本章的结果有其潜在的应用价值 1 5 3 有限域上的部分高斯和 最后一章我们研究有限域上的部分高斯和，这是对b l l r g e s s 【2 1 】的结果在一 般有限域上的非平凡推广 当口事o ( m o dp ) 且日 p 时我们称和式 n + h 从功印( 口力 x = n 为部分高斯和 昂上的部分高斯和最早由n 0 萨a d o v 【8 2 】与b u r g e s s 【2 1 】进行研究并得到 了深刻的结果我们的目的在于将b u r g e s s 【2 1 】的结果推广到任意有限域上 首先，由p 6 l y a - n o 伊a d o v 不等式的一个著名推广知 n + h 觚的p p g 崛l 。泓 x = n 1 9 8 8 年，通过对其证明( 1 2 ) 方法的修改，b u 玛e s s 【2 1 】得到 n + h z ( 力p p 曲日1 1 7 r p l 州卜1 1 2 9 2 p x = n 注意到，平行于素域b 上b u 玛e s s 所得纯特征和的结果( 1 2 ) ，对一般有 限域纯特征和的研究也有不少结果，见d a v e n p o n 和k w i s 【3 0 】，c h 觚g 【2 4 】 及k o n y a g i l l 【6 2 】所谓一般有限域，指的是域日，g = 矿，疗1 于是我们自然 要考虑如何将b u 唱e s s 【2 l 】在素域上得到的结果推广到一般有限域上这不是 一个显然的问题，原因在于混合和中出现的加法特征p p ( ) 引起了特殊的困难 b u 堵e s s 在其文章中评论说“得到( 1 3 ) 的证明过程依赖于被加项是积性的”( 参 见b l l r g e s s 【2 1 】) 因此b u 略e s s 的方法无法自然地推广到任意有限域上甚至在我 8 第1 章引言 们本文的结果中，虽然我们得到了与b u r g e s s 【2 l 】结果相一致的具有非平凡估计 的范围，但却没有b u r g e s s 那样的显式结果 本文的最后一章我们将b u 玛e s s 的部分高斯和估计推广到任意有限域上，其 中要用到两个关于有限域子集的积性能量的深刻结果，这两个结果分别由和积估 计和数的几何方法得到同时我们还要利用c h 觚l i z 0 【2 3 】的技巧来处理混合和 中加法特征所引起的特殊困难 令p 为奇素数，口= 矿b 表素域，表g 元有限域记眦) 为z 哆在易 上的迹印( z ) = 唧( 2 庇仞) z 表上的一非平凡乘法特征 令 山l ，l 为f 矿在f p 上的任意一个基，b 为如下定义的盒子： m 即m + 马， l j fsn ， ( 1 1 6 ) 其中m ，马为整数且满足以下条件 0 0 o 令p p l ( d ，则 l 荟删l o 2 0 0 7 年以来，张美珠在其关于特征和的一系列论文【2 4 - 2 6 】中引入了算术组 合的工具，主要是有限域上和积估计的方法，从而得到了诸多优于以往的结果其 中最为著名的就是对d a v e n p o n 和l f 聊i s 【3 0 】特征和的改进张美珠的方法融合 了经典的绷p l i f i c 撕叩方法与有限域助子集的积性能量估计具体地，她得到： 9 第l 章引言 令z 为有限域f 的一个菲平凡乘法特征给足s o ，存在r 一4 便得 口= 喜而嘶m 删恻娜0 满足条件 兀 ；一， 则当p p ( d 时有 l 墨删i 咿 成立，除去以下的例外情形：当n 为偶数且zi n 为主特征时有 l 丢删i 警舯弘c 帅飞 其中r 是的p ，l ，2 元子域 张美珠【2 4 】的主要工具是如下关于积性能量的估计：令l ，l 为b 在易上的一个基，召c 助满足 曰= 喜即眦扎m 圳小k 0 其中1 m 坼+ 马 p ，1sj f n 假定马还满足 甲毋 三( 诟一1 ) 则存在绝对常数c 2 9 ，4 ，使得 e ( b b ) c 厅( 1 0 9p ) i b l l l ，4 2 0 0 9 年k o n y 姆n 【6 2 】在日l = = 的假定下大大改进了张美珠关于积 性能量的估计：若日l = = 风sp 1 ，2 ，则 e ( 动i b l 2 l o g p 从而k o n y a 垂n 【6 2 】证得：令z 为有限域勋的一个非平凡乘法特征给 l o 第1 章引言 足o 8 l 4 看一2 ，bc 勋祸足 b = 喜而眦乩嘶删小k 0 其中1 坼 孑4 使得 由( 1 1 6 ) 所定义的b 满足条件 兀毋p ( ；一， 贝i j 当p p ( 曲时有 b 曲印似删l 咿，i 难bi 除去以下的例外情形：当n 为偶数且疋i 而为主特征时有 b 曲印似删l g l + g 这一范围成立这一结果要比素数模的结果差很多本章将改 进r a l d b m o n o v 的结果，扩大具有非平凡估计的范围 特别地，尽管本章的结果对比较大的都成立，但为了简单起见，我们假 定9 1 6 ，9 这是因为当 留1 6 ，9 时，r a k l l i i l o n o v 【7 4 】已经给出了更强的估计 另外，依然为简单起见，我们只处理名为原特征的情形对于非原特征可以按 照r a i d l m o n o v 【7 4 】的方法，并使用我们本章给出的诸引理得出相应的结果 定理2 1 ： 当9 1 6 9 时，有 窿撕舳i 刑吁邶一 推论2 1 ：对任意的s o ，存在6 o 使得当矿9 把时，有 人伽现( n + 口) ，乞人伽 研+ 口) 9 却， 此处常数依赖于& 1 2 第2 章平移素数序列上的特征和 2 2 预备 2 2 1 若干估计与评注 对于整数玎2 ，丁m ) 表n 的正整因子的个数，妒( n ) 表e u l e r 函数，c l j ) 表n 的 互异素因子的个数 我们有以下经典结果： 删一，咖) 南，删器( 2 2 ) 另外，我们要用到e r a t o s m e n e s 筛法的如下推论 引理2 1 ： 对任意整数g 及u 1 ，有 证明利用m 曲i u s 函数的性质来表示条件g c d ( 甜，d = l ，交换求和顺序后 得l 昭e n d r e 公式 蕾= p 队u 荟竽+ 。睁田i ， g c d ( 职g ) = l ”。 由此即推出欲证的结论 引理2 2 ：对任意整数l l o 及u l ，有 薹譬竽崦u - j h 脚= l 证明由 即得证 1 3 口 口 1 一y 洲砒 = l 才 刚 d 砒 l 一比 脚u 岔鲫 d 讹 | l 以一 坠“ d 一 塑 u 州 第2 章平移素数序列上的特征和 我们使用如下形式的v a u g l l a i l 恒等式【7 9 ，8 0 】( 见d a v c n p o n 【2 9 】第2 4 章) 将 关于素变数和式的估计转化成对若干二重和的估计 引理2 3 ：对任意的复值函数八以) 及任意的实数以y l ，u y 有 y 人研) ，伽) l + 砀+ 砀+ l 4 l ， - j 其中 t = i 荟嘶叫，i n 5 ul 砀刈o s 互陵删| 1 ，【，y i 聒加i 砀刈；臀1 w 互，v 八州| v s y 1 w s s s ，i 耻点b m 卜 。 七f j l d 恤，d s yl 七 e f u 本章我们将引理2 3 中的函数，取为 舶) = p 切) ，若g 甜帆加1 ： ( 2 3 ) 【o ， 否贝! j 2 2 3 p 6 l y a v n o g r a d 0 v 型上界 我们在原特征情形下给出著名的p 6 1 y a _ n o g r a d o v 估计的一个推广证明 方法是经典的，可参见1 w a i l i e c 和k ( ) w a l s l 【i 【4 8 】的定理1 2 5 引理2 4 ：对任意整数d l ，肘和l ，及任意模g 的原特征z ，有 。i 肘曼从如删卜s c a c 蝴叫2 胪州n 证明首先，利用加法特征的正交性得 肭刊= 删吉砌( 石一如叫肋， 肘钥m + j = l j i ， 疗s 肘+ 1 _ = l 1 4 第2 章平移素数序列上的特征和 其中e ( 酌= 髓p ( 2 7 r 湖 由高斯和的上界( 参见1 w a i l i e c 和k c l w a l s k i 【4 8 】，( 1 2 4 8 ) 式) 知 i z 鼽肋l 纠胆 记d = 而g c d 似，g ) ，鼋= 卯g c d ( d ，9 ) ，则g c d ( 而，卯) = 1 故有 i 肭棚) | 一磊2l 互c 以肋峪c 堋叫弘l 口2i f n f + ii j f = li g c d ( 圳留。1 胆i p ( 枷l 删砌一2 ( + 。s 丕尼秘m ，卯) ) 、 l s 似i 辄，2 ”1 7 再由引理2 2 即得证口 由引理2 4 可得 引理2 5 ：对任慈整数肘，r 有 ii l 加棚) l 蜊届p 刚) + 盯1 胆删 i 肘 r 肘+ 异l i 倒( r 粤) = l l 证明显然，当足留上式右边的第一项较大，因此我们只需在尺g 的情形下证 明上式成立当足较大时，可将上述和式分成若干长度为g 的和式，这样至多会 剩下一个较小区间上的和式利用引理2 1 中的e r a 幻s m e n e s 筛法得 z ( r + 口) = p ( 田 z ( 咖+ m ( r s m + 8 m qm | d n 馥m + l b | d 鲥( r 咖= l 若存在有d 满足 d 购一1 ，3 则对上式中的内层和使用引理2 4 ；对较大的d ，则使用平凡的上界肘1 + 1 再 由( 2 2 ) 即得证 口 1 5 第2 章平移素数序列上的特征和 2 - 2 4 b u r g e s s 型上界 对于短特征和的估计我们使用b u r g e s s 【1 6 ，1 7 ，2 0 】的想法与结果特别地，我 们需要如下结果( 见b u r g e s s 【2 0 】，定理b ) 引理2 6 ：对任意模g 的原特征名及任意整数y o 使得 l 从如+ n ) l 矿怕2 届留1 胁6 对任意的留 卯成立与1 w a i l i e c 和勋w a l s k 【4 8 】定理1 2 6 的证明一样，我们 对使用归纳法来证明上述结论 首先注意到，当口l ，3 时结论是平凡的，这是我们使用归纳法的基础另 外，由于我们要求刎9 7 ，1 2 ，因此当d 口1 ，1 4 时结论也是平凡的综上，我们在 证明过程中总假定 9 1 ，3 及 d 9 1 ，1 4 ( 2 4 ) 令 u = 【o 5 由- 1 腼j ，y = l o 5 扩1 留1 怕j 用似，甲分别代表以下两个整数集： 。甜= 1 跖su ：g c d ( “，d g ) = l l ， v = l 1 ，y ：g c d ( 1 ，g ) = 1 ) 由归纳假设知，对满足 日 的任意整数日，有 l 互彬研+ 助+ 口，i l 三+ 疋沏+ 订，卜搿，6 俨届g 慨 1 6 其中 于是 l 脚枷) 棚) l j i ， 一s 肘+ w = i w l 卜2 矿，6 ( u 功2 ，3 9 1 ，9 + g ， ( 2 5 ) z ( 鼬+ 从“) 从( h 。甜倒 万 f + v 吖 口l m 氓力l 础 “d + 口) 咖+ n ) “一1 + 咖) + 其中州为同余式z 三沏+ 口) “一1 ( m o d 留) 满足条件m 力m + ，“w 的 解o ，“) 的个数 由h 6 l d e r 不等式得 显然 其中z 为同余式 满足条件 m 耋叫耋) 4 耋躬i胆l，胆l 口 “力= 删， # l 1 6 疋o + 咖) 1 1 ( 咖l + 口) 1 1 2 三( 西1 2 + 以) “l( m o dd 肘 疗l ，眈肘+ “l ，“2 w 的解的个数由于y 矿1 9 1 ，6 ，应用引理2 6 得 耋跏+ 们1 6 i z o + 们i 肛li v 7 矿i - l ，v 6 2 l g 胆l ，3 名【珥。+ q f 彤l # l、l 1 7 3 兀( h j = l 睁圳 睁圳 州 r = p石 吠 g 脚 、i_l_-、lill， 一z 一彤 、l_i_-、-i_i_-、 、，、， 眈 w 西 彦 矿 芦 第2 章平移素数序列上的特征和 故 下面估计r 令 七为整数，则有 护伊9 1 州n ( 2 6 ) ( d ，l l + 口) “2 一( d 境+ 口) “l = 忌口，( 2 7 ) 卜掣l - d i ，l i 屹一地比l l ，刎u 一、一 留g 这说明当给定“i ，“2 时，忌至多有d ( 刎u g + 1 ) 个可能的取值当h l h 2 与七都给 定时，由方程( 2 7 ) 知砌必定属于模 “2“2 一= 一 g c d ( d “l ，“2 )g c d ( “l ，“2 ) 的某个固定的剩余类因此晚至多取 型墨! 璺坐! ：丝2 + 1 笪墨! 璺坐! ：丝2 一十l 一 多个值此时，刀i 的值由方程( 2 7 ) 唯一确定因此由引理2 2 及( 2 2 ) 推出 丁( 半+ t ) 鲫邑甓掣= ( 半+ ) 咿) 将r 的上界代入( 2 6 ) 得 1 w 1 6 s ( 竽+ ，) u 4 护咐川 ( 半“) ( 删5 删矿刚) 由u ，y 的取法，引理2 1 以及( 2 2 ) ，( 2 4 ) 式知静饼= u n ，静v = ，n 将上述 各项的估计代入( 2 5 ) 式，得 l 从叭口) i 纠胆( 韶+ 蒜) 一+ ( 删3 1 8 第2 章平移素数序列上的特征和 c u 功2 届( 三) 2 归；2 届 因此 l m 三c 如删l 扩( 筘2 ，3 9 ) 一+ ；矿咿3 显见，当刎矿1 2 时有 雾到届删侈 于是，对充分大的留有 i 肘 三泐刊l 毋| 噫稃怕t 阻姗七争| 6 稃帕圣瞰8s 毋1 6 稃轴苛阻8 口的选取仅依籁于目在归纳过程中可取的一样因此定坪得证口 由引理2 7 可对较小的尺给出引理2 5 的改进 引理2 8 ： 若尬尺为任意整数且尺矿，1 2 ，则 l 晶肿扣一n 证明与引理2 5 中证明一样，我们仍使用跏t o s t l l e n e s 的筛法先将和式写为 加+ 力= j l l z ( 咖+ 口) 肘r m + 尽 棚口州d o 使得 i 肘互c 咖删卜4 帕3 1 6 帽 t i 肘 卯( s ) 成立对使用归纳法，矿8 是我们归纳的基础假定 留3 ，8 及 d 9 1 1 0 ( 2 8 ) 定义 u = 【三由。1 一j ，y = p j ， 对这一对新的u 和y ，令整数集w ，v 仍如引理2 7 中所取由归纳假设得 i 肘三+ 脚删删l 南m + 翻2 锄 再用h 烈d e r 不等式得 州扣2 瞎) 2 妾防叫2 州y ( 神2l l i 疋o + 咖) i 胆l胆l，芦li ，vi 由引理2 9 得 l w 7 1 4 r ( 并们2 沪俨9 1 + 口( n 故 胛( 半+ 1 ) 3 护吲州n 第2 章平移素数序列上的特征和 由( 2 8 ) ，引理2 1 及uy 的选取知删= u n ，群v = 叫n 综上，得 l 三+ 肋删l 鲋胆( 铬+ 糕) 剃4 c 彬尹 由以y 的选取知 从而 c u 功1 胆( 吾) v 2 三l 胆 l 互州肋删i 纠胆( 秽材咿州n ；舢啦锄 当刎s 矿，8 时有 于是，对充分大的口有 证毕 i m 三+ 从如删i 等鲋缈一 护，4 l 2 目3 ，l 州1 ) + ；扩似l 2 矿l