（基础数学专业论文）谱序列及其应用.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h u n 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 王塑 2 0 1 0 年0 5 月1 1 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目s p e c t r a ls e q u e n c e sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s 姓名王贺学号 2 1 2 0 0 7 0 0 1 5 答辩日期2 0 1 0 年5 月1 5 日 论文类别博士口学历硕船硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院豫惭数学科学学院专业基础数学 联系电话 1 3 8 2 0 6 6 2 9 7 6e m a i l t o p o l o g y m a i l n a n k a i e d u c a 通信地址( 邮编) ： 南开大学西区公寓3 - 3 4 0 8 备注：是否批准为非公开论文否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 j 。擎j 1 皂茸砚珥毒妊非毁审雨荜船毒￥士掣瑚鹭茸砚珥考妊非髻 锋固辫革詈专焉( 料掣擎- - ) 氢藓罢封甲。茸碘珥毒明千鞋、干斟晕埘明壬群辫錾茸娶锋砰辫卓：善 显 茸砚妊非华裂排显瞽 ：裂导 ( l 0 0 0 e ) 8 0 t , - ；- e 簟园望杀￥拦掣：( 孵g 甲) 弭研髫擎 t i 1 0 3 l ! 它u j 暑 is a q s u 2 i l b 珊a9 l 6 e 9 9 0 e sei 戥印澎轴 杀骠瓢霉而每劁秦索性杀骠螂婆别 口千渔华去岛叫口也6 辚辫掣 口珂丢环每千、衄乒【千避鳟秦 口千斟瞻椠莓蒜 ， 目s 1 日s 匆0 1 0 z 睁目挺暑 s i o o l 0 0 乙l 乙 鲁秦 磁王暑释 茸珂并理喳髫融 目耐革拱 日 皂9 冒哥罢勘茸孤珥毒鬲车投毒￥妊掣 匆o o 乙 i ：专焉y 砰群磊罢勘 。型曷勘肆国咄到雨落地甲船鲤摹一善弼斗碑群章。罩群骤丁牟蟊晕刨y 章 。够阜y 章甲酱掣脊业科聚创业闰蹲疆一站e f j 明茸说宰雪狮与醑士审茸砚珥杀朝莓鬻 ：挺嚣覃砚裂鞋翟冀曾勘明貊罩勘晦刨瞵窿赤杀￥妊单裂瞽茸砚码杀明y 章：韶凄y 章 。u n q x o p u 0 0 8 ：1 9 1 o 乙e i i 。乙o z ，：d 州：彝豳舰洚囤科委萆瞀狲壬砷茸砚 。茸砚妊影幽髟酣哇蓬群当毋搏暂酣艳警哇兹篱哲纠业掣谢群翠哿茸拱玛杀描移非 。唑斟明茸磁擎髯靴聱砚暂翠曷哿y 章轴刨。暂殂百署彭幂_ 每艋寝幽* 卧并裂觐 革群磉茸砚珥杀翠群y 劲转酬士印鹭暂茸砚爵秦朝图鞋犁群莓瞢干圭猕甲壬印( 罂椠) f i 圭鹾半 杀国串咄坷琶拉胃影辑性圄中掣辫杀砰群岩勤茸识珂杀( 哥) ：茸说珥杀明拦影莓暂珥贲g 群 堰星磋叫秦￥拦单举群￥孽蜾旦磷辫戳( ) ：够殂百黔罐丐岛辑i 繇孵茸弓莓砚谣相瓣 茸、拳现莓目茸观静聋丁幽国跫翠罄豳雨断早瓣静静蚶瞬岛鼬辞囤翌僻甄勘茸现爵杀明 妊妤徘相地蹲毒明目掘性哇毒磋牮( 弓) ：革辫骠茸弓茸砚珥杀千、照斟素￥妊堕y 蝣冀 茸砚珥毒雨延抱型哿萌士6 串暂耐酱疆由斯、由獾目卷相乜珥嘉( 列士印召章0 留i j 翦狮群 回) 茸砚珥嘉莓鬻犁群斟彭厕其彭雏母毒( i ) ：d 首斟目翦茸现珥嘉明e i d 国娶犁群稚砰勤鐾 翠晕哦杀￥妊掣。罩群酲暴明日唑哇骥劲茸砚珥希雨延船* 单素￥拦掣静上弓g y 章 。酬士申珂晔西卓酱掳茸刁冬爵杀鲷y 章蕞聋嘉￥拦阜叫鹜簖县勘 邂码奈千迎、千斟明辫硅承哗盈葛曰瞠瞠鞋劲茸嵌码嘉雨延拉士￥杀￥妊掣群诽 沐砰群茸珊茸砚码泰杀￥妊单 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 三贺2 0 1 0 年5 月1 1 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限2 0年月日至2 0年月日 审批表编号批准日期 2 0 年月日 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 摘要 m 是维数为礼的光滑紧闭流形，令( q ( m ) ，d ) 为m 的d er h a m 上链复 型。对于被一个固定的上闭链扭的d er h a m 上同调，存在q + ( m ) 的一个滤 子b ( q + ( m ) ) = o i 停( m ) ，从而导出谱序列 印，q ，d r ) - 。本文第二章给出 了这个谱序列微分的描述，这个描述是a t i y a h 和s e g a l 结论的一个推广。在 没有给霹，q 元素任何限制条件下，谱序列的微分既可以由c u p 积描述又可以 f l j m a s s e y 积描述。本文也给出了这个微分不确定性的一些结论。 令p 为奇素数a 为模p 的s t e e n r o d 代数。为了用经典的a d a m s 谱序列计算 球面稳定同伦群，我们必须计算a d a m s 谱序列的易项e 吼盖+ ( z p ，) 。本文 第三章中，我们证明了模p 的s t e e n r o d 代数a 的上同调中，乘积允1 h n 以+ 4 e 赋，6 t 【8 卅+ 3 ( z p ，z p ) 和k 瓦+ 4 e x t 支+ l 扎 哪如( z p ，z p ) 在当礼5 是非平凡 的元素，当n = 3 ，4 时是平凡元素。这里以+ 4 实际上是王向军和郑弃冰教授描 述的a 并4 ，其中p 1 1 ，0 8 口q ( m ) o fq + ( m ) ，a n dc o n v e r g i n g t ot h et w i s t e dd er h a m c o h o m o l o g ya b o v e w i t h o u ta n yh y p o t h e s i so nt h ee l e m e n t s i n 霹”，t h ed i f f e r e n t i a l si nt h i ss p e c t r a ls e q u e n c ea l eg i v e ni nt e r m so fc u pp r o d u c t s a n di nt e r m so fm a s s e yp r o d u c t sa sw e l l ，w h i c hg e n e r a l i z e sar e s u l to fa t i y a ha n d s e g a l s o m er e s u l t sa b o u tt h ei n d e t e r m i n a c yo fd i f f e r e n t i a l sa l ea l s og i v e ni nt h e s e c o n dc h a p t e ro ft h i sp a p e r l e tpb ea no d dp r i m ea n dat h em o dps t e e n r o da l g e b r a i no r d e rt o c o m p u t et h es t a b l eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e sw i t ht h ec l a s s i c a la d a m ss p e c - t r a ls e q u e n c e ，w em u s tc o m p u t et h e 易一t e r mo ft h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e ， e x t 4 ( z p ，z p ) i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep r o v et h a t i nt h ec o h o m o l o g yo fa t h e p r o d u c th l h 。嚣+ 4 e 赋穿6 ，。( 叩) 怕( z p ，硌) a n dk o h n 五+ 4 e x t 7 7 。( 即) + 8 ( z p ，z p ) a l en o n t r i v i a lf o r 佗5 ，a n dt r i v i a lf o rn = 3 ，4 ，w h e r e 以+ 4i sa c t u a l l yu t i 8 t 4 + ) 4 d e s c r i b e db yx w a n ga n dq z h e n g ，p 1 1 ，0 8 o ) ，9 t ( i o ) ，( i o ) ， b i ( i 0 ) ，a n dh i h j 0 i + 2 ，i 0 ) w h o s ei n t e r n a ld e g r e e sa r e2 q + 1 ，2 ，矿q + 1 ，p 件1 q + 2 p q 矽+ 1 q + p i q ，p i + 1 qa n d 矿口+ 矿qr e s p e c t i v e l y i n1 9 8 0 ，a i k a w a 【2 】d e t e r m i n e d e ) c t 叠+ ( ，z p ) b ya - a l g e b r a c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 4 i n1 9 9 8 ，x w a n ga n dq z h e n g 【a 0 ip r o v e dt h a tf o rp 1 1a n d0 8 p 一4 ，t h e r e e x i s t st h ef o u r t hg r e e kl e t t e rf a m i l ye l e m e n t 瓦+ 4 0 e x t 盖+ 4 , t l ( a ) f a ( z p ，z p ) ，w h e r e t x ( s ) = 2 ( v 一1 ) 【( s + 1 ) + ( s + 2 ) v + ( s 十3 ) 矿+ ( 8 + 4 ) p 3 】 n o t et h a t ，i nt h i sp a p e r ，w ew r i t e 以+ 4f o ra 裂4w h i c hi sd e s c r i b e di nf 3 0 i nt h i s n o t e o u ro t h e rm a i nr e s u l t sc a l lb es t a t e da sf o l l o w s t h e o r e m1 0 3 l e t p 1 1a n d0 s 0 t h e ndi sh o m o g e n o u sf o rt h i sn e w ( r o o d2 ) g r a d i n g ： q e ( m ) 与f f ( m ) 马q e ( m ) d e f i n et h et w i s t e dd er h a mc o h o m o l o g yg r o u p so fm ： ( 2 3 ) 日。( m 日) = 面k e r d 两：f 而t 。( m 巧) - 丽+ f i e ( m ) a n d ( 2 4 ) 日8 ( 尬”= 面k e r d 两：f i 而e ( m 矿) - 丽f t 。( m ) 5 c h a p t e k2 o nas p e c t r a ls e q u e n c ef o rt w i s t e dc o h o m o l o g y r e m a r k2 1 1 ( i ) t h et w i s t e dd er h a mc o h o m o l o g yg r o u p s 日( m ，h ，) ( 奉= 0 ，e ) d e p e n d o nt h ec l o s e df o r m 日a n dn o tj u s to ni t sc o h o m o l o g yc l a s s ha n dh 。a r ec o h o m o l o g o u s ， t h e n 日( 彳，日) 望日( m ，日) ( s e e 【3 ，6 】) ( i i ) t h et w i s t e dd er h a mc o h o m o l o g yi sa l s oa ni m p o r t a n th o m o t o p yi n v a r i a n t 【s e e 【1 6 ，1 4 】) l e teb eaf l a tv e c t o rb u n d l eo v e rma n d 僭( m ，e ) b et h es p a c eo fs m o o t hd i f f e r e n t i a l i - f o r m so nmw i t hv a l u e si ne af i a tc o n n e c t i o no i leg i v e sal i n e a rm a p v e ：1 2 ( m e ) - + q 件1 ( m ，e ) s u c ht h a t ，f o ra n ys m o o t hf u n c t i o n ，o i lma n da n yu q ( m ，e ) ， v e ( ，u ) = d faw + ，v e u ， v e 。v e = 0 s i m i l a r l y , d e f i n eq ( 尬e ) an e w ( r o o d2 ) g r a d i n g ( s e e 1 6 1 ) ( 2 5 )q + ( 尬e ) = q 。( m e ) oq 。( m ，e ) ， w h e r e ( 2 6 ) q 。( 瞄e ) 2 里 ( m ，e ) a n d 晔( 尬e ) 5 i 暑i ( m o d2 ) t h e nd e = v e + 日 i sh o m o g e n o u sf o rt h el l e w ( r o o d2 ) g r a d i n g ： n 岳n 口 q e ( 地e ) 兰钟( m ，e ) = 辛n e ( m ，e ) d e f i n et h et w i s t e dd er h a mc o h o m o l o g yg r o u p so fe ： ( 2 7 ) 日。e 日) = 面k e r 矿d s 丽：o 。面( m 酉, e ) 甭- - h 厕e ( m , e ) a n d 仁8 ， 州岫驴器黑器勰 r e s u l t sp r o v e di nt h i sp a p e ra r ea l s ot r u ef o rt h et w i s t e dd er t m mc o h o m o l o g yg r o u p s 日( me ，h ) ( 木= 0 ，e ) w i t ht w i s t e dc o e f f i c i e n t si ne w i t h o u ta n yc h a n g e 2 2as p e c t r a ls e q u e n c ef o rt w i s t e dd er h a mc o - h o m o l o g ya n di t sd i f f e r e n t i a l s 画( 1 i 3 ) ，d 2 k ( k 1 ) 鼬c a l lt d ：d + ha n d 日= f i 【= 孚l 】飓件l ，w h e r eh 2 件li sac l o s e d ( 2 i + 1 ) 一f o r m d e f i n et h eu s u a lf i l t r a t i o no nt h eg r a d e dv e c t o rs p a c e 科( 朋) t ob e 酢= 昂( q + ( m ) ) = 0 q ( m ) ， i p a n dk = t o = q ( m ) t h ef i l t r a t i o ni sb o u n d e da n dc o m p l e t e ， ( 2 9 )k 兰k 0 ) 甄d 肠 3 玩3 玩十1 = o l 研 膨僻 d 0 蔷卸 7 g pi sag r a d e dv e c t o rs p a c ew i t h 坼= ( 妫nq 。( m ) ) o ( nn 8 ) ) = 娣。霹， f o re a c h p ， w h 盱e 鲜= n f l o ( m ) a n d 群= n 僻( m ) t h e e o c h m nc o m p l e x ( 巧，d ) i si n d u c e d b yd ：q + ( m ) + q + ( m ) s i m i l a rt o ( 2 4 ) ，t h e r ea r et w ow e l l - d e f i n e dc o h o m o l o g yg r o u p s ( ) a n dh b ( g p ) n o t et h a tac o c h a i nc o m p l e xw i t hg r a d i n g 绵+ l = ( 郦k ；+ - ) o ( 鲜k ；+ - ) d e r i v e sc o h o m o l o g yg r o u p sh b ( k p 研1 ) a n d 日刍( 研1 ) s i n c ed ( ) c 琊+ l ， w eh a v ed = 0i nt h ec o c h a i nc o m p l e x ( 耳+ l ，d ) l e m m a2 2 1 f o r 饥ec o c h a i nc o m p l e x ( j 0 + 1 ，d ) ，坩eh a v e 码( 雠) 笺；塞烹 a n d ( 嘶) 望 孑1 ；竺凝 j 勺nq 。( m ) = k p + l n q 。( m ) a n d ( n 俨( m ) ) ( j 0 + lnq 8 ( m ) ) = 0 ( nq 。) ) ( + 1nq 。( m ) ) = 邱研1 垒q p ( m ) ， a n d h s ( 硌+ 1 ) 垒缈( m ) a n d 丑昌( 蜱+ 1 ) = 0 s i m i l a r l yf o re v e np ，w eh a v e ( + 1 ) 垒n p ( m ) a n d 玛( 研1 ) = 0 b yt h ef i l t r a t i o n ( 2 9 ) ，w eo b t a i nas h o r te x a c ts e q u e n c eo fc o c h a i nc o m p l e x e s ( 2 i o ) 0 一+ l 与翰研l _ 0 ， w h i c hg i v e sr i s et oal o n ge x a c ts e q u e n c eo fc o h o m o l o g yg r o u p s ( 2 1 1 ) _ 硪a ( 研。) 与礤a ( k p 二孵a ( 。) 与磅州( 。) 磅州( ) 二 n o t et h a ti nt h ee x a c ts e q u e n c ea b o v e ， 如( ) = 彤h s ( ( 绵k p ；：i i s se o d v e z n 口 ( 2 1 2 ) 研，a = 磅。( 酶+ - 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p e r i o d i co ni t h es p e c t r a ls e q u e n c e 霹“，露，i s2 - p e r i o d i co nq 2 t h e r ei sa l s oas p e c t r a ls e q u e n c ec o n v e r g i n gt ot h et w i s t e dc o h o m o l o g yh ( me ，日) f o ran a tv e c t o rb u n d l eeo v e rm p r o p o s i t i o n2 2 2 f o rt h es p e c t r a ls e q u e n c ei np r o p o s i t i o n2 2 1 ， ( i ) t h e 研 * - t e r mi sg i v e nb y 研以= 路9 ( + 1 ) 鲁 孑一帕qi s 。e v d d e n a n dd l x p = d x pf o ra n yx p 研” ( i i ) t h e 谚 * - t e r mi sg i v e nb y 霹潭= 日d 。( e p 丹) 兰 。h p g i s qi s 。e v d d e n ， a n dd 2 = 0 ( i i i ) 霹丹= 鹾丹a n dd 3 陋p 】= f 3 唧】f o rb 】3 霹” p r o o f ( i ) b yl e m m a2 2 1 ，w eh a v et h e 研一t e r ma sd e s i r e d ，a n db yd e f t n i t i o nw e o b t a i nd 1 = j 】k l ：e ，2je p 十1 一w eo n l yn e e dt oc o n s i d e rt h ee a s ew h e nqi se v e n ， o t h e r w i s ed l = 0 b y ( 2 1 0 ) f o ro d dp ( t h ec a s ew h e npi se v e n ，i ss i m i l a r ) ，w eh a v ea l a r g ec o m m u t a t i v ed i a g r a m ( 2 1 6 ) f 。f 。f 。 f 。f 。f d f 。f 。f 。 f 。f 。f 。 w h e r et h er o w sa r ee x a c ta n dt h ec o l u m n sa r ec o c h a i nc o m p l e x e s l e t 勖缈( m ) 笺礤9 ( 绵缉+ 1 ) 掣研9a n d ( 2 1 7 ) 【字】 z = 啊。t i = 0 b ea l l ( i n _ h o m o g e n e o u s ) f o r m ，w h e r ex p + 2 i sa ( p + 2 i ) 一f o r m ( 0 is 【警】) t h e n x 雒， j 泐= 即a n dd x ；a l s od x 石$ + 1 b yt h ed e f i n i t i o no ft h eh o m o m o r p h i s m 巧i n ( 2 n ) ，w eh a v e ( 2 1 8 ) k l x p = 【d x d ， w h e r e 【】di st h ec o h o m o l o g yc l a s si n 日岛( + 1 ) t h ec l a s sp z di sw e l ld e f i n e da n d i n d e p e n d e n to ft h ec h o i c e so fx p + 2 i ( 1 i 【孚】) ( s e ef 6 ，p 1 1 6 ) c h o o s e 研2 t _ 0 ( 1 i 【旦尹】) t h e nw eh a v e k l x p = f d x d = d x p + 日a 】d 【孚) t h u so n eo b t a i m 【如p + h 2 1 + la x p 】d 路9 + 1 ( + 1 ) i = i d l z p = ( j l k l ) x p = j l ( k l ( x n ) ) 【孚】 j l d x p + h 2 1 + la x p d 1 = 1 ( i i ) b yt h ed e f i n i t i o no ft h es p e c t r a ls e q u e n c ea n d ( i ) ，o n eo b t a i n st h a t 上考口笺h n ( m ) w h e nqi se v e n ，a n d 鹾丹= 0w h e ngi so d d n o t et h a td 2 ：砑，9 _ 曰+ 2 ，q i tf o l l o w s t h a td 2 = 0 b yd e g r e er e a s o n s ( i i i ) n o t et h a tk p 】3 w eg e t “i m p l i e sd z p = 0 c h o o s ez p + 2 i = 0f o r1 i 【警】，a n d h 2 t + 1ax p d 彤q + l ( 1 ) ， w h e r ezi sg i v e ni nt h ep r o o fo f ( i ) n o t et h a t ( 2 1 9 ) i tf o l l o w st h a t ( 2 2 0 ) 月矿+ 1 ( 研。) 0 2 l 月分a + - ( + 。) 童月鲈a + - ( + 。+ 4 ) 【d 叫。竺王l 【d z 】。三l 一目j 唧 d 3 x p 】3 = j z k 3x p 3 = j 3 ( k l ：g p ) = j 3 d x d = 瞄l ( a f l ) 2 【d 叫d ) j 3 = 【日3 a x p a ， 孚 j【 = d 甜 z日 【 = d 1j zd ，-【 c h a p t e r2 o nas p e c t r a ls e q u e n c ef o rt 、s t e dc o h o m o l o g y1 1 w h e r et h ef i r s t ，s e c o n da n df o u r t hi d e n t i t i e sf o l l o wf r o mt h ed e f i n i t i o n so fd 3 ，ba n dj 3 r e s p e c t i v e l y , a n dt h et h i r da n dt h el a s ti d e n t i t i e sf o l l o wf r o m ( 2 1 8 ) a n d ( 2 1 9 ) b y ( i i ) ， d 2 = 0 ，s o 霹垃= 砑”t h e n w eh a v e d 3 k 】_ 【h aa x p c o r o l l a r y2 2 1 d 2 k = 0f o rk 1 t h e r e f o r e ，f o rk 1 ， ( 2 2 1 )彩p , q + l = 磷 口 p r o f n o t et h a td 2 七：e 帮专硪2 七，2 + 1 - 强b yp r o p o s i t i o n2 2 2 ( i i ) ，i fqi so d d ， t h e n 鹾丹= 0w h i c hi m p l i e st h a t 磷= 0 b yd e g r e er e a s o n s ，w eh a v ed 2 k = 0a n d 避p 詹, q + l = 磁f o rk 1 口 t h ed i f f e r e n t i a ld 3f o rt h es p e c i a lc a s et h a t 日= h ai ss h o w ni n 【3 ，6 】，a n dt h e 霹 q - t e mi sa l s ok n o w n 2 3d i f f e r e n t i a l sd 2 t + 3 ( t 1 ) i nt e r m so fc u pp r o d u c t s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l ls h o wt h a tt h ed i f f e r e n t i a l sd 2 t + 3 ( t 1 ) c a nb eg i v e ni nt e r m s o fc u pp r o d u c t s w ef i r s tc o n s i d e rt h eg e n e r a lc 黜t h a th ：孚- - - - 11 日2 f o rk k 件3 磁罩3 ，w e l e tz = p j 【￥= 0 】z 升巧f p ( n + ( m ) ) t h e nw eh a v e ( 2 2 2 ) 【孚j【孚】 d x = ( d + 日j 件1 ) ( z 舛笱) t = 1 j = 0 【孚】- 1j + l = d 唧+( d 唧+ 巧+ 2 + 日r 2 件1ax v + 2 0 一t ) + 2 ) d e n o t ez ，= d x = p j 【孚= o 】聃巧+ 1 ，w h e r e ( 2 2 3 ) y p + l 。d x v ， j + 1 y p + 2 j + 3 = d - t p + 2 j + 2 + 凰t + 1ax p + 2 ( j 一0 + 2( 0 歹【堡产】一1 ) i = 1 t h e o r e m2 3 1 f o r x p 2 t + 3 号嗣p t , + q 30 1 ) ，t h e r ee x i s tt , p + 2 = z z _ ( p t + ) 2 t ( 1 t ) s u c ht h a t y p + 2 j + t = 0 ( 0 j t ) a n d t 如+ 3 t p 2 t + 3 = 【凰州 撄2 ( h ) + 2 + 2 t + 3a x p 2 t + 3 ， t = 1 w h e r et h e 白+ 2 i ) - f o r m 嘏2 id e p e n d so nt p r o o f t h et h e o r e mi ss h o w nb ym a t h e m a t i c a li n d u c t i o no nt w h e nt = 1 ，【z p 】2 t + 3 = z p 】5 k p 】5 e 芎qi m p l i e st h a t 如p = 0 a n dd 3 x p 】= 【1 1 3 a x p 】= 0b yp r o p o s i t i o n2 2 2 t h u st h e r ee x i s t sap + 2 ) 一f o r mv ls u c ht h a th 3 a x p = c ef o rt 、 ，i s t e dc o h o m o l o g y d ( 一t ，1 ) w ec a nc h o o s e 2 2 = t ，1t og e tg 3 = 比辟2 + 玩 唧= d r l + 日3 和= 0 f r o m ( 2 2 3 ) n o t et h a t ( 2 2 4 ) w eo b t a i n ( 2 2 5 ) 月分a + ( k 0 。) o l 月铲a + - ( + 5 ) 童丑分。+ 1 ( + 5 吩+ 6 ) 酬。笪竺一例。翌_ y p + 5 ， 如p p 】5 = j s k 5 x p 】5 = 西( k l x p ) = j 5 d x d = 眵l ( f 1 ) 4 【d 叫d 】5 = 【咖+ 5 】5 t h er e a s o n sf o rt h ei d e n t i t i e si n ( 2 2 5 ) a r es i m i l a rt ot h o s eo f ( 2 2 0 ) t h u sw eh a v e d 5 x p s = 【嘞+ 4 + 凰a z 并2 + 凰a x p s = f 1 1 3a $ 并2 + - 5a x p s ， w h e r et h ef i r s ti d e n t i t yf o l l o w sf r o m ( 2 2 5 ) a n dt h ed e f i n i t i o no fy p + 5i n ( 2 2 3 ) ，a n dt h e s e c o n do n ef o l l o w sf r o mt h a td x p + 4v a n i s h e si n 鹾”h e n c et h er e s u l th o l d sw h e nt = 1 s u p p o s et h er e s u l th o l d sw h e nt m 一1 n o ww e s h o wt h a tt h et h e o r e ma l s oh o l d s w h e nt = m f r o m 【x p 2 m +