（基础数学专业论文）关于tkk代数表示理论的研究.pdf

摘要 作为仿射k a c m o o d y 代数的自然推广，文 h - k t 引进了扩张仿射李代数 ( e a l a s ) 的概念随后，在文【b gk 】和 a a b g p 中，作者对扩张仿射李代数 进行了分类，发现它们不但涉及到多变量的罗朗多项式坐标代数，还涉及到特殊 的交错代数、j o r d a n 代数及量子环面代数 以多变量的罗朗多项式环为坐标代数的扩张仿射李代数，亦称为t o r o i d a l 李 代数，对于其表示的研究有许多成果，如 m a y ，【e m 】，【b i l 】，【b b 】等量 子环面上的扩张仿射李代数的表示的研究成果也有很多( 【b s 】，【g 3 ，4 ，5 】， b g t ， 【g z 】) 在【b g 司一文中，作者对量子环面上a 型扩张仿射李代数的顶点算子 的主表示和齐次表示给出了一种统一的b o s o n 场实现 文【a a b g p 在刻划扩张仿射李代数的扩张仿射根系时介绍了半格的概念， 并由半格出发构造了一类以j o r d a n 环面为坐标代数的a l 型扩张仿射李代数， 即t k k 代数设s 是p 维欧氏空间f p 1 ) 中的离散子集，若s 张成 r ”，且满足0 s ，一s = s 。s + 2 s s ( 或s + s s ) ，则称s 为 欧氏空间f r 中的一个半格( 或格) 设了= j ( s ) 是对应于半格s 冬i r ( 1 ， 1 ) 的j o r d a n 代数，利用t i t s - k a n t o r - k o e 出e r 构造法( 【j 】) ，由此j o r d a n 代数 j ( s ) 可构造出李代数9 ( j ( s ) ) ，即9 ( j ( s ) ) ：= ( s f 2 ( c ) o 了) oi n d e r ( j ) ，其中 l n d e r ( f f ) = l o ，l 爿，l j 为了的乘法算子的集合我们称g ( 歹( s ) ) 的泛中 心扩张夕( 7 ( s ) ) ：= ( s 1 2 ( c ) 圆j ) o 为t k k 代数，其中 ：= ( j o 了) ，_ ，= s p a n c a 圆b + b a ，a b oc + b c o d + ob ，v a ，b ，c 了 若p = 2 ，我们称由最小( 非格) 半格s f p 构造出的t k k 代数g ( 了( s ) ) 为 b a b y - t k k 代数 在文i t 2 中，作者通过构造含有b o s o n - f e r m i o n 场的顶点算子及相应的f o c k 空间给出了b a b y - t k k 代数的一类顶点表示我们知道二维欧氏空间r 2 中，在 同构意义下。只有一个格和一个非格半格。而格也是半格本文第一章首先研究 了r 2 中的格所确定的t k k 代数的结构，接着利用 b g t 中关于量子环面李 代数的顶点算子的构造方法，只需借助于群代数和对称代数即可给出这个t k k 代数的b o s o n 场实现进而，通过分解顶点算子并对1 3 中定义的f o c k 空间加 以限制，我们得到了b a b y - t k k 代数的两类b o s o n - f e r m i o n 场的表示，其中一种 覆盖了【t 2 】中的结果 自由场的构造方法首先是w a k i m o t o 在研究仿射k a c - m o o d y 代数s 1 2 的顶 i i i 点表示时给出的( w a 2 ) f e i g i n 和f r e n k e l 将这一方法进行推广，应用于仿射 李代数鼠的顶点表示( f f 】) 在 g z 】一文中，作者则利用自由场的思想，构 造了扩张仿射李代数9 1 2 ( c 。) 的一类高权表示本文第二章将利用w a k i m o t o 的 自由场方法，给出r 2 中的格所确定的t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数的一个顶点 表示 关键词。t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数、t k k 代数，j o r d a n 代数、顶点算子 表示，自由场 i v a b s t r a c t t h ee x t e n d e da f f i n el i ea l g e b r a s ( e a l a sf o rs h o r t lw e r ef i r s ti n t r o d u c e d i nt h ep a p e r 【h - k t 】a san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fa f f i n ek a c - m o o d ya l g e b r a s s u b s e q u e n t l y , i ni s g l qa n d a a b g p ，t h ea u t h o r sc l a s s i f i e df o re a l a sa n d f o u n dt h a te a l a sa l l o wn o to n l yt h em u l t i p l ev a r i a b l e sl a u r e n tp o l y n o m i a lr i n g s a f tt h e i rc o o r d i n a t ea l g e b r a sb u ta l s oc e r t a i na l t e r n a t i v ea n dj o r d a na l g e b r a sa n d t h eq u a n t u mt o m sa st h e i rc o o r d i n a t ea l g e b r a s t h er e p r e s e n t a t i o n sf o re a l a sc o o r d i n a t i z e db yt h em u l t i p l ev a r i a b l e sl a n - r e n tp o l y n o m i a lr i n g s ，i e t o r o i d a ll i ea l g e b r a s ，h a v eb e e nc o n s t r u c t e di n 【e 硐， 【m r y l ，【b i l ，【b b 】，e t c i n b s ，【g 3 ，4 ，5 】，【b g t a n d 【g z 】，t h ea u t h o r ss t u d i e d t h er e p r e s e n t a t i o n sf o re a l a so v e rq u a n t u mt o r i i ni s g ，1 1 ，ag e n e r a lv e r t e x o p e r a t o rc o n s t r u c t i o nb a s e do nt h ef b c ks p a c ef o ra l i l n el i ea l g e b r a so ft y p ea h a sb e e ng i v e n ，w h i c ha l l o w st h ea u t h o r st og i v eau n i f i e dt r e a t m e n tf o rb o t ht h e h o m o g e n e o u sa n dp r i n c i p l er e a l i z a t i o n so ft h ea f f i n el i ea l g e b r a sg i na sw e l l 鹅 f o rs o m ee a l a sc o o r d i n a t i z e db yc e r t a i nq u a n t u mt o r i i i l 从b g p ，t h ea u t h o r si n t r o d u c et h ec o n c e p to fs e m i l a t t i c et od e s c r i b e t h ee x t e n d e da f f i n er o o ts y s t e m so fe a l a s ，a n dd e f i n eaj o r d a na l g e b r af r o ma s e m i l a t t i c e ，t h e nc o n s t r u c ta ne a l a so ft y p ea 1w h i c hi sc o o r d i n a t i z e db yt h e j o r d a na l g e b r a , i e t k ka l g e b r a l e tsb eas e ti nav - - d i m e n s i o n a le u c l i d e a n s p a c er v ( v 1 ) ad i s c r e t es u b s e tso fl i sc a l l e das e m i l a t t i c e ( o rl a t t i c e ) i n i fss p a n s 肜，a n ds a t i s f i e st h ec o n d i t i o n s0 s ，一s = s ，s + 2 s s ( o r s + s s ) l e t 7 = y ( s ) b et h ej o r d a na l g e b r ac o n s t r u c t e df r o ma s e m i l a t t i c e so fr ”( p 1 ) al i ea l g e b r a9 ( 了( s ) ) c a nb eo b t a i n e df r o mt h ej o r d a n a l g e b r ab yt h et i t s - k a n t o r - k o e c h e rc o n s t u c t i o n ( ( j 】) ，i e 9 ( 歹( s ) ) ：= ( s z 2 ( c ) o 了) oi n d e r ( 了) ，w h e r ei n d e r ( 7 ) = f l j ，l y ，a n dl ji st h es e to fm u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r sf o r 歹7 i 黾et k ka l g e b r ag ( 歹( s ) ) i sd e f i n e dt ob et h eu n i v e r s a lc e n t r a l e x t e n s i o no ft h el i ea l g e b r a9 ( 7 ( s ) ) i f 正，= 2 ，w ec a l lt h i sa l g e b r a9 ( 了( s ) ) ， o b t a i n e df r o mt h es m a l l e s tn o n l a t t i c es e m i l a t t i c e ，t h eb a b y - t k ka l g e b r a i ni t 2 t h ea u t h o rg a v e8v e r t e xr e p r e s e n t a t i o no ft h eb a b y - t k ka l g e b r ai n t e r m so ft h eb o s e n i ca n df e r m i o n i cf i e l d s i ti sk n o w nt h a t ，u pt oi s o m o r p h i s m ， t h e r ea r eo n l yo n el a t t i c ea n do n en o n l a t t i c es m e i l a t t i c ei nr 2 al a t t i c ei sa v s e m i l a t t i c e i nc h a p t e rio ft h i st h e s i s w ef i r s ts t u d yt h es t r u c t u r eo ft h et k k a l g e b r ag ( 了( s ) ) w i t ht h el a t t i c es = z 2o fr 2 n e x t ，b yu s i n gr e s u l t sf r o m 【b g t 】，w ec o n s t r u c tar e p r e s e n t a t i o no ft h i st k ka l g e b r aw i t ho n l yb o s o n i c f i e l d s m o r e o v e r ，t h r o u g ht h ev e r t e xo p e r a t o r sd e c o m p o s i t o na n dr e s t r i c t i n gt h e f o c ks p a c eg i v e ni n 1 3 ，w eo b t a i nt w oc l a s s e so fr e p r e s e n t a t i o n so ft h eb a b y - t k k a l g e b r ab yb o s o n i ca n df e r m i o n i cf i e l d s o n eo ft h er e p r e s e n t a t i o n sr e c o v e r s t h ec o n s t r u c t i o ng i v e ni ni t 2 t h ef r e ef i e l d sc o n s t r u c t i o nw a sf i r s tg i v e nb yw a k i m o t o ( w a 2 ) f o rt h e a f f i n el i ea l g e b r as 1 2a n di na g r e a tg e n e r a l i t yb yf e i g i na n df r e n k e l ( 【f f 】) f o r t h ea f f i n el i ea l g e b r a ss l ”i n 【g z 】，t h ea u t h o r sg a v eac l a s so fh i g h e s tw e i g h t r e p r e s e n t a t i o n so ft h ee a l a s9 1 2 ( c 口) b yt h em e t h o do ft h ef r e ef i e l d s i nc h a p t e r i io ft h i sp a p e r ，b yu s i n gt h ef r e ef i e l d sc o n s t r u c t i o n ，w eo b t a i nav e r t e xr e p r e - s e n t a t i o nf o rt h et i t s - k a n t o r - k o e c h e rl i ea l g e b r ad e t e r m i n e db yt h el a t t i c eo f r 7 k e yw o r d s ：t i t s - k a n t o r - k o e c h e rl i ea l g e b r a ，t k ka l g e b r a ，j o r d a na l g e - b r a ，v e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n ，f r e ef i e l d v i 关于t k k 代数表示理论的研究 绪言 从古典数学到现代数学有两个重要的转折是牛顿、莱布尼兹创建微积分， 导致了微分n 舸，微分方程，积分方程理论的发展另个是g a l o i s 在解决高次方 程的根式解问题时，考虑了根的置换，导致了群论和g a l o i s 理论的建立，发展了抽 象代数理论 李群和李代数理论起始于1 9 世纪米李群概念是挪威数学家l i e 在研究微分 方程的对称性( 即在变换下的不变性) 的过程中提出的l i e 将微积分和群论结合起 来，长期从事连续变换群及其不变量的研觅是连续变换群理论的创始人这种理 论后来称为。李群理论”，李群正是在与微分方程用积分求解的可能性问题以及对连 续变换群的研究中发展起来的当时，受g a l o i s 理论的启发，数学家们试图对于微 分方程建立起与g a l o i s 理论类似的理论，他们将变换群的思想推广到几何与分析领 域，发现几何与分析领域的自同构变换群，其本身通常也会具有自然的几何或分析的 结构，李群正是这样一种结合体，它同时具有群和可微结构，而且群的运算对于其可 微结构来说是可微的 李群的研究最初都是从局部的观点来考虑，随着般拓扑学的发展，数学家们 开始从整体的观点上对李群的结构进行系统的研究，从而形成了近代李群理论，其 中的代表是c a r t a n 和w e y l 1 9 3 8 年，邦德列雅金给出了李群理论的第个近代 化的叙述从近代观点来看，李群是个具有抽象群、拓扑空间和流形三方面结构的 有机结合体李群所产生的影响还包括代数学、物理学，化学等多个方面，发展异常 迅速，从名称的变化就可知一二，2 0 世纪初称为。李群理论，中期称为崞群， 李代数理论”，后期称为。李理论。 李代数来源于李群，最初是作为研究李群的代数工具而引进的，李代数的经典 理论的重要性主要在于它对李群的应用李群就是可微分的群微分的基本想法就 是在无穷小的层面上的线性化，因此可以自然地想到李群的结构应该具有它的线性 化所得的种。无穷小群”的结构，这就是l i e 在可微分的群的结构理论上的重大 成就，他认识到关于可微群的大量信息已被包含在它的。群的无穷小变换。的代数 中，而目这种代数做为线性对象在许多方面都比可微群本身更容易研究当时人们 使用。群的无穷小变换”和。无穷小群”等术语来称呼这种数理模型 1 9 3 4 年， w e y l 正式引进“李代数”这术语，并指出李代数具有独立研讨的价值，随后的数 学的发展已经证实了他的远见李代数的研究是近代数学中个蓬勃发展的领域， 它已成为个独立的数学分支，而不再仅仅作为研究李群的代数工具二十世纪以 2 厦门大学理学博士学位论文 来，几乎所有的数学学科都和李群及李代数发生联系，李代数成为线性代数中许多 极好丽又困难的问题的来源 k i l l i n g 和c a f t a n 等对于有限维复单李代数的结构和表示的研究获得了丰富的 成果 k i l l i n g 第个给出有限维复单李代数的分类；c a f t a n 进步研究了复半 单李代数的结构，并对它们的有限维不可约表示进行了分类，证明了。有限维复半 单李代数的不可约表示是有限维的当且仅当它是以支配整权为其最高权的最高权表 示；w e y l 进步发展了k i u i n g - c a r t a n 理论，并得到复半单李代数的有限维不可 约表示的特征标公式及有限维表示的完全可约性定理；1 9 6 6 年，s e r r e 给出了有限 维复半单李代数的统一实现 在研究有限维李代数的同时，数学家们也开始了对无穷维李代数的研究，它们自 然地出现在c a f t a n 子1 9 0 9 年创立的本原伪变换群的分类中无穷维李代数的研究 揭示了李代数与其它很多数学分支的联系( c s l ) ，其例子最近出现在数学物理和形 式变分学的某些方程的理论中( 如k d v 方程) 1 9 6 8 年，k a c ( k 2 ) 和m o o d y ( 【m o 】) 在前人工作的基础上，各自独立地对有限维单李代数进行无穷维推广，引进了k a c - m o o d y 代数此后，李代数及其表示理论的研究进入到个新的阶段，研究结果也层 出不穷由于被发现在数论、组合以及数学物理领域有着广泛的应用，k a c - m o o d y 代数吸引着众多数学家和物理学家去关注和研究，目前主要集中于对仿射李代数、 量子仿射李代数、扩张仿射李代数、李超代数和它们的表示理论的研究及其在共形 场理论、可积系统和无序系统中的应用 由于李代数的表示理论在李代数的结构理论和物理学的许多应用中起着重要作 用，因此无穷维李代数和量子化包络代数的表示理论成为了个重要的研究领域 1 9 7 2 年，m a c d o n a l d 发现了与“仿射根系”的w e y l 等式相类似的些等式( m i ) ，这 些等式体现了单李代数的结构和模形式理论之间的显著关系1 9 7 4 年，k a c 把有限 维表示理论推广到k a c - m o o d y 代数，并且对它们的最高权可积模推导出了与w e y l 公式类似的特征标公式，这一结果澄清了m a c d o n a l d 等式的本质特征( 【k 3 1 ) 这 些公式应用到仿射k a c - m o o d y 代数 ( 其中g 为有限维单李代数) 及它们的扭代数 ( 即与m a c d o n a l d 的仿射根系相关的代数) 而得到的式子可以用模函数的术语加以 解释 在仿射李代数表示理论中，顶点算子表示的研究又占有特别重要的地位，其中一 个重要的研究方向是通过顶点算子表示给出基本表示的显示结构1 9 7 8 年，l e p - o w s k y 和w i l s o n 利用无穷多个变量的微分算子构造出了最简单的仿射李代数s z 2 的主表示( 【l 吲) ；1 9 8 1 年，他们又与k a c 及k a z h d a n 合作把匕述工作推广， 关于t k k 代数表示理论的研究 3 并得到所有a d e 型仿射李代数及它们通过d y n k i n 图所诱导出的扭代数的主表示 ( k k l w ) g a r l a n d 注意到了这种微分算子与物理学家在研究弦理论及共形场理 论时廖液用的顸点算子。之间的类似之处1 9 8 0 年。f r e n k e l 和k a c 合作构造 出s i m p l y - l a c e d 型仿射李代数的基本表示的齐次顶点算子实现( 【f k 】) 与此同时， s e g a l 也独立地给出了匕述齐次顶点算子表示( 【s 】) 这些结果说明。顶点算子”与 这些微分算子是完全致的，这进步沟通了李代数与物理学之间的联系事实上 ，8 k 的齐次顶点算子构造法正是物理学家所长期盼望和寻找的种模型之后不 久。人们就证明了忍的齐次顶点算子在弦理论的应用中是非常关键的受m c k a y 对单李代数e s 的研究结果的启发，l e p o w s k y ( i l l ) 和k a c ( k 5 1 ) 分别独立地发现 了马的基本表示与m o n s t e rg r o u p 的无限维表示之间的类似之处，而且这种类似 暗示着通过无限维李理论可以建立起李型有限群与s p o r a d i cg r o u p s 之间的联系， 这吸引许多人对顶点算子和m o n s t e rg r o u p 及m o o n s h i n em o d u l e s 之间的关系进 行了大量的研究工作对顶点算子表示构造的研究导致了新的代数结构的产生，如 顶点算子代数，t o r o i d a l 李代数等 在数学家引进k a c - m o o d y 代数的同日中物理学中也出现了d u a l r e s o n a n c e t h e o r y 和s t r i n gt h e o r y 模型，顶点算子被物理学家更早地匣用于对它们的研究 v e n e z i a n o 最初发现e u l e r 构造的p 函数满足基本粒子的四点散射振辐所要求的许 多性质( i v ) 接着，k o b a 和n i e l s e n 给出了种可以体现许多粒子的h o l o m o r - p h i c 结构的广义v e n e z i a n o 振辐( 【k n l ) 稍后，f u b i n i 和v e n e z i a n o 引进了 齐次顶点算子，并把它作为描述基本粒子在个顶点的散射振辐的个技术性手段 ( 【f 、1 ) 顶点算子作用在f o c l 【空间匕就成为用于描述d u a l r e f l o n a n c e t h e o r y 和s t r i n gm o d e l 的个非常有力的工具，而且如前所述，这些算子在仿射李代数表 示的构造中起着关键性作用n e v e u 和s c h e r k 用模函数解释了四粒子的单圈振辐 ( 【n s l ) ，从此模函数在s t r i n gt h e o r y 研究中扮演了重要角色1 9 7 1 年，b a r d a k c i 和n a l p e r n 提出s t r i n g 的流代数的内部对称性理论，他们独立于数学家再次发现了 仿射李代数，并且得到了种具体的表示- s 1 3 的f e r m i o n 实现( 【b h 】) ；稍后， 这种实现的不可约性被数学家所证明c o r r i g a n 和f a i r l i e 也先于数学家考虑了扭 顶点算子( f c f i ) ，引进了种混合扭和无扭顶点算子表示的新型的顶点算子 从上世纪八十年代开始，数学家们又把目光投向了仿射李代数各种般化的研 究，并在近些年加快了这方面的研究步伐1 9 8 5 年，受到量子场中的量子反射理论和 规范场的研究工作的影响，d r i n f e l d 和j i m b o 从李代数的泛包络代数出发，成功地 引进了q 量子化和量子群的概瓮量子群与h o p f 代数密切相关，它包含了半单李代 4 厦门大学理学博士学位论文 数的包络代数为其特例，这就使李理论有了更广阔的发展前景n e n k e l 和j i n g 等人 利用顶点算子韵方法构造并研究了量子仿射李代数的表示( i f j ，【j i 】， d l m 3 ， b g r l l ) 对量子群的研究还引发了n 何研究对象的量子化，出现了量子平面和量子环面等， 它们成为非交换几何的主要研究对象( 【c o 】，【m a 】) 1 9 9 4 年，k i r k m a n 等人研究 了2 秩量子环面的结构，并引进了2 秩环面的导子李代数的个子代数，称之为 v i r a s o r 小h l 【e 代数，同时还指出该代数与量子环面上内导子李代数之间的关系量 子环面包含了多变量的罗朗多项式环为其特例，而且量子环面的导子李代数还包含 了些特殊的j o r d a n 代数的导子李代数为其子代数( i t 2 ) 1 9 9 0 年，同样是受到量子规范场理论研究工作的启发，h o e g h k o r h n 和t o r - r e f l a n i 引进了扩张仿射李代数( e a l a s ) 的概念，该代数也被称为拟单李代数，他们 把仿射李代数的坐标代数换成多变量的环面，从而得到了许多e a l a 8 的例子( a - k t 】) e a l a s 吸引了许多学者对其进行研究，成为近年来李理论研究的焦点课题 之一，得到了丰富的成果b e r m a n ，郜云等人对e a l a 8 进行了分类并研究了它 们的结构( a a b g p ， s g k 】， b g k n ，【g 2 】，l a g 2 ， y 0 1 ， y 0 2 ) ，他们发现e a l a b 不但可以用多变量的罗朗多项式为其坐标代数，还可以用特殊的交错代数、j o r d a n 代数及量子环面为其坐标代数，它包含了所有有限维单李代数，全部非扭仿射k a c - m o o d y 代数，超环面与量子环面李代数，同时还包含类带j o r d a n 代数结构的t k k 代数 以多变量罗朗多项式环为坐标代数的e a l a 8 ，有时也被称为t o r o i d a l 李代 数，它与仿射李代数的最主要差别之在于它的泛中心扩张是无穷维的a d e 型 t o r o i d a l 李代数的顶点算子的齐次表示首先是由m o o d y ，r a o 和y o k o n u m a 在 1 9 9 0 年给出( m r y ) 1 9 9 4 年，r a o 和m o o d y 推广了s u g a w a r a 构造法，给出 了t o r o i d a l 李代数的大类顶点表示( 【e m 】) 1 9 9 8 年，b i l l i g 将 k k l w 关于仿 射情形的一阶结构推广，得到t o r o i d a l 李代数的类顶点算子的主表示( b i l i ) 1 9 9 9 年，b e r m a n 和b i l l i g 通过顶点代数给出了某些t o r o i d a l 李代数的类不可约 模的实现( 【b b 】) 同年，谭绍滨给出了a 1 型t o r o i d a l 李代数的顶点算子的主表示 ( 【t 1 】) 及鼠型t o r o i d a l 李代数的齐次顶点表示( 【t 3 】) 2 0 0 2 年，谭绍滨在研究广义 v i r a s o r o - t o r o i d a l 李代数的基础上，将仿射李代数二阶基本表示理论( 【w 】) 推广到 t o r o i d a l 李代数的情形，并给出了a l 型t o r o i d a l 李代数的类不可约表示( i t 4 ) 【c o x 给出了a 1 型t o r o i d a l 李代数的两种自由场实现，其中种实现般性地给出 了虚v e r m a 模( 【f 1 】) 的实现，另种则给出了w a k i m o t o 型模( 【w a 2 】) 的实现 姜翠波和盂道骥等人引入类新的顶点算子，研究了岛型与只型t o r o i d a l 李代数 关于t k k 代数表示理论的研究 5 的不可约表示理论，并解决了t o r o i d a l 李代数的可积表示的分类( j m l ，2 】，j 】) 2 0 0 4 年，刘东和胡乃红构造了类完全可约的g 2 型t o r o i d a l 李代数的齐次顶点表 示( 【l h l ) 此夕卜b i l l i g 等人还把t r o i d a l 李代数的顶点表示应用到可积系统的构 造等方面( b i 2 l ， b i 3 ， i k u ， i k u x ) 对于以量子晌面为坐标代数的e a l e s ，其表示理论也取得了许多成果1 9 9 8 年，g o l e n i s h c h e v a k u t u z o v a 和k a c 在研究r 一共形代数时，给出了量子环面上 a 型e a l a s 的顶点算子的主表示( g - k k ) 1 9 9 9 年，b e r m a n 和s z m i g i e l s l d 给出了两个变量的量子环面上的s f 2 型e a l a 8 的个不可约的顶点算子的主表示 ( 【b s 】) 2 0 0 0 年，郜云得到了以两个变量( 或三个变量) 的量子环面为坐标代数的 a l m 2 ) 型e a l a s 的顶点算子的齐次表示，并证明了这个表示是不可约的最 高权表示( g 3 1 ) 同年，郜云还给出以多变量的量子环面为坐标代数的a n 一1 ( - 2 ) 型e a l a s 的不可约的顶点算子的主表示( m 1 ) 2 0 0 2 年，郜云通过c l i f f o r d ( 或 w e y l ) 代数，利用f e r m i o n ( 或b 0 6 0 n ) 场的思想。给出了l e v e l 为( 1 ，o ) ( 或( - 1 ，o ) ) 的 扩张仿射李代数g l n ( c 。) 的两类不可约顶点表示( 【g 5 】) 2 0 0 3 年，b e r m a n ，部 云和谭绍滨合作，对量子环面上a 型e a l a 8 的顶点算子的攮示和齐次表示给 出一种统一的实现方式( b g t ) a 1 型扩张仿射李代数的分类依赖于j o r d a n 环面，可将j o r d a n 环面作为其坐 标代数( 【从b g p ， y o s l ， y 0 2 1 ) 【a a b g p l 中定义了半格的概念，由欧氏空间上 的半格可确定个j o r d a n 代数，进而以其为坐标代数，可构造出类a 1 型的扩张 仿射李代数，称之为t k k 代数1 9 9 9 年，谭绍滨研究了_ ：维欧氏空问上的非格半 格所确定的最小的t k k 代数( 即b a b y - t k k 代数) 的结构，并利用b 0 8 场 与f e r m i o n 场的思想给出了b a b y - t k k 代数的类顶点算子表示( w 2 1 ) 本文的思想主要来源于【a a b g p 】，【t 2 】，【b g t ， w a 2 1 我们知道，在同构 的意义下，二维欧氏空间r 2 中只有个格s 和个非格半格格也是半格，由 a a b g p l 知，任半格上可定义个j o r d a n 代数，而每个j o r d a n 代数都对应 了个t k k 代数( 或t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数) 记9 ( 歹( s ) ) ( 9 ( 了( s ) ) ) 是由 格s 所确定的t k k 代数( t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数) 本文首先将利用f b g q 中的顶点算子表示的构造方法，给出t k k 代数蛋( 了( s ) ) 的类顶点算子的b 场表示，并通过对顶点算子进行分解，得到b a b y o t k k 代数的两类b o s o n - f e r m i o n 表示，其中种正是i t 2 中所给的另外，本文还将利用w a k i m o t o 的自由场的思 想( w a 2 ) ，给出t i t s - k a n t o r - k o e e h e r 李代数夕( 了( s ) ) 的类顶点表示本文的 结构介绍如下 6厦门大学理学博士学位论文 在第章中，我们首先在引言中回顾【a a b g p l 中所给的t k k 代数的构造方 法第二节，我们研究了二维欧氏空间r 2 中的格s 所确定的t k k 代数9 ( 歹( s ) ) 的结构，确定其基元，并给出基元匕的生成关系，进而得到相应的幂级数等价形式 第三节中，我们利用 b g t 】中的顶点算子表示的构造方法定义f o c k 空间和顶点算 子第四节，我们首先描述了本文的第个主要结果( 定理4 1 ) ，接着对其进行汪 明第五节，我们应用定理4 1 ，通过对顶点算子的分解，得到b a b y - t k k 代数的 两类b o s o n - f e r m i o n 表示，其中种覆盖了w 2 中的结果 第二章中，我们首先简单回顾了自由场思想在顶点算子表示中的应用在第二 节中，我们对二维欧氏空间r 2 中的格s 所确定的t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数 g ( 了( s ) ) 的结构作了简要描述第三节中，我们利用w a k i m o t o 的自由场的思想定 义f o c k 空间和算子，给出了t i t s - k a n t o r k o e c h e r 李代数9 ( 了( s ) ) 的个表示 第一章t k k 代数的顶点算子表示 7 第章t k k 代数的顶点算子表示 1 1 引言 在【从b g p 】中，作者通过r v ( v 1 ) 的半格s 定义了个j o r d a n 代数 歹( s ) ，然后利用t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 构造法( 【j 】) ，由这个j o r d a n 代激了( s ) 构造出李代数g ( 了( s ) ) ，进而由李代数9 ( j ( s ) ) 得到个a 1 型的扩张仿射李代 数李代数g ( 7 ( s ) ) 亦称为t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数，它是中心平凡的p e r f e c t 李代数记9 ( 了( s ) ) 是李代数9 ( s ) ) 的泛中心扩张，称为t k k 代数在同构意 义下，r 2 中只有个格s 和个非格半格在【t 2 1 中，作者研究了b a b y - t k k 代数9 ( 7 ( ) ) 的顶点算子表示这章中，我们将研究l p 中的格s = z 2 所确 定的t k k 代数g ( 了( s ) ) 的顶点算子表示实际上，t k k 代数g ( 了( s ) ) 包含了 b a b y - t k k 代数g ( 7 ( s ，) ) 作为它的个子代数i t 2 1 中构造的顶点算子所作用的 f o c l 【空间同时具有b o s o n 场和f e r m i o n 场的结构，而本章定义的顶点算子所作用 的f o d 【空间只具有b o s o n 场缔融进而，在本章最后一节，我仍通过顶点算子给 出了b a b y - t k k 代数的两种实现，其中种事实上就是 t 2 1 中所给出的 回顾 a a b c p l ，我们知道，若s = 毋是b ，中的个离崩汗集，s 可张 成i 。且满足0 s - s = s 及s + s 冬s ( s + 2 s s ) ，则称s 是掣 的个格( 或半格) 设( s ) 是由i 的半格s 所生成的加法子蔼艮显然，s 是 ( s ) 中2 ( s ) 的陪集的并，2 s ) 是平凡陪集因此，我们可以设s 是z 。l p 中 2 刀的陪集的并，其中2 z ”是平凡陪集即s = us ，其中岛，s k 是口中 = 0 2 z ”的不同陪集且s o 一2 z ”对盯s 。设z 4 为个符号，定义个向量空间 歹= j ( s ) = oc a ，在其e 定义乘法如下l 矿z r ； 7 ，喜二r 岛u 最，0 m ， ( 1 1 1 ) l0 ， 其它。 、 则歹为个j o r d a n 代数( a a b g p ) ，其具有单位元x o = 1 设l j 是了的乘法算子的集合，i n d e r ( f f ) = 【l j ，l y 】设z + ，z 一和h 是单 李代数s 2 ( c ) 的标准c h e v a u e y 基元定义向量空间 9 ( 刀：= ( s f 2 ( c ) 固歹) oz n d e r ( # ) ，( 1 1 2 ) 8 厦门大学理学博士学位论文 其李乘定义如下 a 圆a ，b o6 1 = 【a ，b 】oa b + ( a ，b ) 【厶，l b 】 【d ，a o 口 = a d a ，( 1 1 3 ) d ，【厶，l b 】= 【l d 。，l b 】+ 厶，l d b 】 其中a ，b s 2 ( c ) ，8 ，b 了。d i n d e r ( j ) 。( a ，b ) = 2 t r ( a b ) ，则9 ( 了) 构成个李代数，通常称之为由j o r d a n 代数歹所确定的t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李 代巍 对任意的j o r d a n 代数歹，吼j ，容易验证如下等式成立t 【厶。，厶。】+ 【l 。，l a ，】= 0 ， 厶，。，厶。】+ 厶。，厶。】+ 【厶。厶一= 0 ( 1 1 4 ) 向量空间i n s t r l ( j ) = l joi n d e r ( j ) 依如下乘法构成个李代数； 【厶+ d ，厶+ 明= 【厶，l b 】+ l d b l 肋+ d ，明， 其中d ，e l y ，l j 】，口，b 了设了= 瓦1 8 了) 是y 的线性同构像，定义 i n s t r l ( f f ) 的自同构，满足瓦刀= 一厶+ d ，其中a 了，d 【l j ，l j 】 从而，我们可定义李代数绲( 了) ( 【j 】) ： 鲡( 歹) = 了o i n s t r l ( j ) o 了 其李乘定义如下f 【0 1 + 6 l + 历，n 2 + 6 2 + 易】 = 一易n 1 + 毋眈一e 2 b 1 + 己b 2 + a l x b 2 一a 2 z x b l “毋，别， 其中a s ，6 i j ，蜀i n s t r l ( j ) 。a a b = l 曲+ 【厶，纠 由【t 2 】可知t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 李代数g ( y