（基础数学专业论文）欧氏空间浸入超曲面的几个球性定理.pdf

摘要 本文主要研究在不考虑超曲面凸性的前提下，欧氏空间浸入超曲面 的唯一性问题。首先在研究了超曲面的g a u s s k r o n e c k e r 曲率和平行超 曲面的性质后，给出了关于欧氏空间中具有常g a u s s - k r o n e c k e r 曲率的 完备浸入超曲面的唯一性定理，证明了册“m 3 ) 中完备浸入的可定 向超曲面m ，若g a u s s k r o n e k e r 曲率为非零常数，且截曲率有界，则m 是 一个球面；在第二部分，研究了曲面的“平均曲率，利用对称函数的性 质和m i n k o w s k i 公式证明了m “( n 3 ) 中浸入的紧致超曲面m ，若研= n 1 珥一1 + 0 2 研一2 + + o 。珥一。，其中o l ，a 。为非负常数，则m 是一个球 面 1 v a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l yt os o l v et h eu n i q u ep r o b l e mo fi m m e r s e d h y p e r s u r f a 。c e si ne u c l i d e a ns p a c ew i t h o u tc o n s i d e r i n g t h ec o n v e x i t y o fh y p e r s u r f a c e s t h o u g hs t u d y i n gt h eg a u s s k r o n e c k e rc u r v a t u r e a n ds o m ec o n s e q u e n c e so fp a r a l l e lh y p e r s u r f a c e ，w eg i v es o m er e - s u l t so nt h ei m m e r s e dh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tg a u s s - k r o n e c k e r c u r v a t u r ei ne u c l i d e a ns p a c e w ec a np r o v e ：l e tm b ea ni m m e r s e d o r i e n t a b l ec o m p l e t eh y p e r s u r f a c ei nt h ee u c l i d e a ns p a c e 舻+ 1 ( n 3 ) ， w i t hn o n z e r oc o n s t a n tg a u s s k r o n e c k e rc u r v a t u r ea n df i n i t e s e c - t i o n a lc u r v a t u r e ，t h e nm i sah y p e r s p h e r e ；i nt h ep a r tt w o ，t h o u g h s t u d y i n gt h e - m e a nc u r v a t u r eo fh y p e r s u r f a c e ，t h a n k st os o m e c o n - s e q u e n c e so fs y m m e t r i c a lf u n c t i o n sa n d t h em i n k o w s k if o r m u l a ，w e c a np r o v e ：l e t 配b ea ni m m e r s e dc o m p a c th y p e r s u r f a c ei nt h ee u - c l i d e a ns p a c e 舻+ 1 3 ) a n ds a t i s f y 珥= a l 珥一1 + a 2 日一2 + + 珥 w h e r e a 1 ，a 8 a r en o n n e g a t i v e c o n s t a n t s ，t h e nm i sah y p e r s p h e r e v 致谢 十七岁到二十四岁，正是人生最青春的年华，我有幸在科大度过。更幸 运是遇到了很好的老师和同学，是他们让我感到了家庭般的温暖。科大自由 的学术氛围和老师们平易近人的作风，令我受益匪浅。在科大学习和生活的 一幕幕，将永远牢记在我的心中。 本论文是在我的授业恩师陈卿教授的悉心指导下完成的。在此，向尊敬 的陈卿教授表示最诚挚的谢意，感谢陈老师对我在学习和科研上含辛茹苦的 指导。要感谢彭家贵教授和陈祖墀教授在生活和求学之路上给我的鼓励，指 导和支持。更蛋感谢所有教过我的老师们，在传授我知识和治学之道的同 时，教给我做人的道理。那些点点滴滴，孜孜不倦的教诲，伴我走过本科四 年及研究生三年，而且将永久的影响我的人生道路。 我所在的课题组是一个团结和睦，科研气氛活跃的集体，能成为其中一 员是我的骄傲。在此，感谢师兄弟左达峰。吴英毅，何如勇。何晨旭在研究 生阶段的学习和研究课题上给我的关心和帮助；感谢评委们百忙之中抽出时 间审阅本论文。 在此我还要再次感谢许许多多教过我和关心我的老师，他们帮助我取得 学业上的进步，他们对我的关怀令我十分感动。 感谢我的父母和我的姐姐们，他们是我坚强的后盾。 感谢我的朋友们和亲人们，在学习和生活中给予我真诚的关心、鼓励与 支持。 感谢所有关心过我、鼓励过我和帮助过我的人。 1 1 第一章引言 随着对物质运动认识的不断深入，2 0 世纪人们开始了对高维空间的微分 几何的深入研究其中，对欧氏空间常曲率超曲面的研究一直是微分几何研 究的一个热点。 1 8 9 9 年，l i e b m a n n 1 】证明了欧氏空间r 3 中具有常g a u s s 曲率的紧致曲 面是球面1 9 5 0 年前后h o p f h 币明了欧氏空间兄3 中亏格为零的紧致常平均曲 率曲面一定是球面。a l e x a n d r o v ( 1 9 5 6 ) h ! 明了r 3 中具有常平均曲率的嵌入 ( 即没有自交点) 紧致曲面必为球面。对于高维欧氏空间r n + l ，超曲 面m 的这些曲率的自然推广是i 平均曲率娥，i = 1 ，2 ，n ，它是m 的主 曲率的第i 个初等对称函数，例如，风是m 的平均曲率，也是m 的纯量曲 率，日l 是m 的g a u s s - k r o n e c k e r 曲率。 对于高维空间的超曲面的情形，已有很多的研究。1 9 5 2 年，s i i s s 2 1 推广 了l i e b m a n n 的结果，证明了欧氏空间钟+ 1 中的紧致凸超曲面，若某个i 一平均 曲率既是常数，则它是一个球面。a l e x a n d r o v 【3 l 证明了欧氏空间舻+ 1 中紧致 嵌入常平均曲率超曲面一定是球面。r o s 4 1 最终证明了欧氏空间r n + l 中的紧 致嵌入超曲面，若某个平均曲率凰是常数，则它是一个球面。若仅仅是浸入 曲面，具有常平均曲率的曲面或超曲面不一定是球面，1 9 8 6 年，w e n t e s l $ i j 用可积偏微分方程的双周期解，构造了即中具有常平均曲率的环面。另一 方面，关于欧氏空间舻+ 1 的常纯量曲率的超曲面，也有很多研究，c h e n g - y a u 【6 l 在截曲率非负的前提下给出了分类： ( 1 ) 设m 是r r 汁1 ( 扎3 ) 中紧致浸入超曲面，m 的截曲率c 非负，纯量曲 率王如为常数，且凰兰c 则m 是一个球面； ( 2 ) 设m 是舻+ 1 m 3 ) 中非紧致浸入超曲面，m 的截曲率c 非负，纯量曲 率日2 为常数，则m = s p 尼。呻 h a r t m a n t i 推广了【6 】的结果，得到欧氏空间具有常i 平均曲率的完备凸超曲 面的一个分类，证明了在截曲率非负的条件下，欧氏空间舻“中的浸入超曲 面m ，若m 某个r 一平均曲率上r 1 ，2 ，n ) 为常数，则m = s p r n _ p ( r p 礼1 w i l t e r l l 目考虑了外围空间为一般空间形式时的相应问题，他的结果 也以超曲面的截曲率非负为前提 本文主要研究在给定条件下，欧氏空间浸入超曲面的唯一性问题。本文 的内容是这样安排的：在第二章我们首先介绍主曲率，g a u s s k r o n e c k e r 曲 率，截曲率的概念和平行超曲面的定义及性质，然后研究欧氏空间r n + l 中 具有常g a u s s k r o n e c k e r 曲率的完备浸入超曲面，给出两个球性定理并证明 之( 它们不依赖超曲面的凸性) ；在第二章中介绍对称函数和i 一平均曲 率凰，然后通过它们研究紧致浸入超曲面的性质，并利用m i n k o w s k i 公式 和对称函数的一些不等式证明：当欧氏空间舒+ 1 中完备浸入超曲面m ，满 足h r = a l 珥一1 + a 2 上一2 + + n 。珥。其中8 1 ，o 。为非负常数，则m 是一 个礼维球面 注意，本文中讨论的超曲面都是指连通的超曲面 2 第二章欧氏空间具有常g a u s s k r o n e c k e r 曲率的超曲面 设币：m r 3 是一个完备浸入曲面，经典的h i l b e r t 定理和l i e b m a n n 定理 推出：若m 的益率为非0 常数，则m 是一个球面对于高维欧氏空间r “+ 1 m 3 ) 的超曲面情形，g a u s s 率的自然推广是纯量曲率和g a u s s - k r o n e c k e r f 坩 率关于舒+ 1 中常纯量曲率的超曲面c h e n g - y a u 6 1 在截曲率非负的前提下 给出了分类 本章我们将研究高维欧氏空间册“m 3 ) 中具有常g a u s s - k r o n e c k e r 曲率 的浸入超曲面，在不考虑凸性的条件下，研究它的唯一性问题问题在第一 节和第二节中我们简要介绍正交活动标架，主曲率，g a u s s k r o n e c k e r 曲率 和截曲率的概念；第二节讲述平行超曲面的一些性质；在最后一节中我们将 证明：在截曲率有界的条件下，具有常g a u s s k r o n e c k e r 曲率的浸入超曲面 的主曲率不改变符号( 即主曲率全为正或全为负) 基于这个结论，我们可知 这个超曲面是凸闭超曲面，而且是嵌入的，从而它是一个超球面 2 1正交活动标架 欧氏空间舻+ 1 的一个正交标架是由一个点。舻+ 1 以及以点。为起点，两 两互相正交的n 个单位向量e 1 ，e 2 ，e n + l 构成，记为 当e 1 ，e 2 ，6 n 确定后，e n + 1 ( 在相差个正负号下) 唯确定。 为了导出正交标架的变化规律，考虑标架如；e l ，e 2 ，6 n + l 的微分，于是 有 n + 1 d x = e t( 1 ) 其中 u = ， 矗= 3 勺胡 州埘 = 如 它们都是一阶微分形式。对 = 叻求外微分，可得 u ? 十q = 0 对( 1 ) 求外微分，得到 所以 d ( d x ) = n + 1 ( d w 。e 一u d e ) ；l n + 1n + 1 ( 础e i 一 胡 扛1 j = 1 ( 5 ) 类似的，对( 3 ) 求外微分，得到 n + 1 d w = a u i ( 6 ) 知= 】 ( 1 ) ，( 2 ) 称为r n + l 正交标架的运动方程，( 5 ) ，( 6 ) 称为舻+ 1 正交 标架的结构方程。 当我们利用正交标架来研究欧氏空间r - + 1 的曲面m 时，没有必要沿 着m 取彤+ 1 的全体正交标架，而只需沿曲面m 取合适的部分标架。在m 上 的每一点z 首先取它的单位法向量作为e 。+ 1 ( e 。+ 1 有两种不同的选择，另一 选择为一6 n + 1 ) ，当6 n + 1 选定以后，我们在点x 的切平面上选取n 个互相垂 直的单位向量e l ，e 2 ，e 。( 使得e l e 2a ae 。与6 n + l 方向一致) ，称标架 族f 茁；e 1 ，e 2 ，e 。+ 1 ) 为曲面m 的正交标架。显然运动方程( 1 ) ， ( 2 ) 和 结构方程( 5 ) ，( 6 ) 限制在曲面m 上仍然成立。根据我们的取法，e 。+ 1 为 曲面的单位法向量，如是曲面的切向量，所以 且 扩+ 1 = = = 0 u = i = 1 ，2 ，一，礼( 8 ) 4 扣 嵋 州芦 一咖 州试 = ，讲 小问 | i 山 因而得到曲面标架的运动方程 d x = u 。e t d 白= “j 勺( u ? + u ；= 0 )( 1 0 ) 曲面的结构方程： d = u a ( 1 1 ) d w = a u i( 1 2 ) 其中( 1 1 ) 是曲面的第一结构方程， ( 1 2 ) 式是曲面的第二结构方程，也就 是曲面的g a u s s c o d a z z i 方程。 曲面的第一基本型 ，= = ( o j l ) 2 + ( u 2 ) 2 + - + ( u “) 2 衄面的第二基本型 ，= 一 = “，1 u + 1 + u 2 u 孑+ 1 + + u ”u 嚣+ 1 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 下面讨论第一基本性和第二基本型之间的关系。u 1 ，u 2 ，“，n 是线性无 关的，一阶微分形式“，r 1 ，u 扩1 ，嵋+ 1 可以表示成它们的线性组合。 设u ：+ 1 = 叩护，其中系数 叩( 1 茎o l ，p 几) 是曲面m 上的函数。则 ，j = ( u 1 ，u 2 ，u “) b ( u 1 ，“j 2 ，u ”) 7( 1 5 ) 其中b = ( 叩) 7 由( 7 ) ，( 1 1 ) 式我们知 a 嵋“= 0 t = l ( 1 6 ) 将u ：+ 1 = 3 ：1h a z w t 代入上式，得到 nn 0 = u 。a 。p 扩 o = 1口= 1 = ( 。p 一7 印。) u 。a u 4( 1 7 ) 5 所以 。口= 九口。，即b 是对称矩阵。 2 2 主曲率，g a u s s k r o n e c k e r 曲率和截盐率 我们记曲面m 的单位法向量e 蚪1 = ，因为v 是单位向量，所以 ： o ，d 是曲面m 的切向量。特别地，由( 1 ) ，( 2 ) 式知如= 搿e ，d 王，： 墨lo ) n + 1 岛对pem ，x 寸t * v x 耳m ，v x 正，el m ，其中v 是酽+ 1 中的外 微分算子，并且有 ，一 v 。p = = ? 竽e f 1 8 ) 因此我们可以定义一个切平面到切平面的线性变换 w ：b m 一耳m x ，w ( x ) = v x 称为曲面m 的w e i n g a r t e n 变换。 对于m 上的任意单位切向量x ，曲面m 沿x 方向的法曲率可以定义为 b ) = = 一 ( 1 9 ) 命题2 2 1 ：w j i n g a r t e n 变换是曲面切平面到自身的自共轭变换，即 v x ，y m ， = 证明：设x = x q ，y p 勺，我们知道 所以 = = 等如= 争啄 = = 一 w 7 ( x ) ，y ) = 6 = = x 4 y = x y = = = 一 由上述命题的结论和线性代数理论女h w e i n g a r t e n 变换的所有特征值是实 数。对p m ，设是w e i n g a r t e n 变换：耳m 一耳m 的一个特征值，u 是 相应的单位特征向量，由 = = 后 以及法曲率的定义，我们知道是曲面沿切方向u 的法曲率。我们把w e i n g a r t e n 变换在p 点的特征值称为曲面m 在p 点的主曲率。特征值对应的特征方向称为 曲面在p 点的主方向。 由前面的讨论，我们知道当取主方向作为曲面的正交标架时，第二基本 型的系数矩阵_ b 是对角阵。此时嵋+ 1 = k i w ，则有 毗也e 萨一 o ，v i ，坳m ，西也是一个 浸入； ( 2 ) ：若吼是浸入，则e l ，e n 也是吼的主方向，且相应的主曲率为弃彘，i = 1 - 一、礼 2 4具有常g a u s s k r o n e c k e r 曲率的超曲面 这一节我们利用前面讨论的知识，来研究具有常g a u s s - k r o n e c k e r 曲率的 超曲面一些性质 引理2 4 1 ：设西：m r n + 1 是完备浸入的可定向超曲面，圣“是由( 2 7 ) 式定义的平行超曲面，9 是欧氏度量，则妒g ，西乞g 分别是超曲面圣和圣t 。上的 黎曼度量，若满足 圣+ g ( x ，x ) 圣g ( x ，x ) v x x ( m ) 则由妒g 是完备的推出垂毛9 是完备的 证明：对于拟，y 耳m ( p m ) ，有 圣+ g ( x ，y ) = g ( 圣+ x ，圣+ y ) = g ( 西+ y 圣。y ) = 西+ 9 ( x ，y ) 又圣是浸入的，所以v x 耳m ( p m ) 西+ g ( x ，x ) = 9 ( 壬+ x ，圣+ x ) 0 1 2 当且仅当x ；0 时，蛾x = 0 。易证圣4 9 也是满足线性的。所以综合以 上，西+ g 是超曲面圣上的黎曼度量。 同理可证明西未g 超曲面西t 。上的黎曼度量。由题设条件知v x 是m 的切向 量有 垂+ k x ，x ) 圣玉9 ( x ，x ) 于是可知m 的任意曲线关于度量圣玉9 的长度大于或等于关于度量壬+ g 的长 度。设g 是m 关于度量西纛9 的一个有界闭集，则g 关于度量圣+ g 也是有界闭 集，度量中g 是完备的，因此g 是紧致集，所以度量西知也是完备的 引理2 4 2 ：设圣：m r “+ 1 是完备浸入的可定向超曲面，若 i n f _ 。i n m fm i n i a ( p ) i ：i = 1 川2 一，n ) 0 则m 是紧致的 证明：设垂如是由( 2 7 ) 式定义的平行超曲面，取如= 丽2 阿 当九 0 时， 1 + 娥= 1 + 碉2 a i 3 当九 0 。且对 上1 + t o a i 。扣击， 蒌弑 所以由g a u s 8 方程，( m ，圣t o g ) 的截曲率有正下界，再由m y e r 8 定理推出m 是 紧致的证毕 定理2 4 1 ：设中：m 一形+ 1 是一个完备浸入的可定向超曲面4 ) ， 若m 的g a u s s k r o n e c k e r 曲率为非零常数，且截曲率r 有界，即有两个正常 数a 6 ，使得 一a r ( e i ，e j ) b ，i ，j = 1 ，2 ，礼，i j 成立，其中e l ，是m 的任意局部规范标架场，则m 是一个行维球面 注：欧氏空间的g a u s s - k r o n e c k e r t 也率为0 的超曲面是很多的，比如，若m 是r + 1 的一个超曲面，则等距浸入m r ”一_ 形+ 1 是g a u s s - k r o n e c k e r i 拄1 率 为0 的超曲面 证明：首先证明在定理的假设条件下m 的主曲率f a l ，a 。卜一致有 界即存在常数c ，使得( p ) 1 c ( v i ，v p m ) 如果不然，就有点列p 。 m ( m = 1 ，2 ，) ，使得 矗臻。 t o 【p m ) 2 o 。 对某个固定的 o 成立。由定理条件及g a u 8 s 方程知k ( j i o ) 有界，因 此l i r n 。，。( ) = o ( j i o ) ，这推出m 的g a u s s - k r o n e c k e r i # t 率 撬拙( a ) m ) 2l 骧a ，h ) = 0 这与假设矛盾 由m 的主曲率的一致有界以及a l a 。= 常数0 ，推出 i n 帆| = p i n m fm i n 骶( p ) 卜江1 川2 一，n 0 ( 3 6 ) 由引理1 j i m 是紧致的因此m 的所有主曲率同号 不妨设m 的主曲率满足a 1 a 。由于m 是紧的，所以却o m ，使得 在舶点的截曲率为正。因此我们可以取肘的单位法向量，使得九( v o ) o ( v i ) ， 由 。的连续性，可知a 。 o 在m 上处处成立，否则与i n f 队l o 矛盾从而 推出m 的主曲率处处为正所以m 是卯+ 1 的一凸闭超曲面，且是嵌入的【1 1 】 1 4 由h a r t m a n 7 】或m o n t i e l 和r o s 9 1 的结果知定理成立证毕 定理2 4 2 ：设垂：m r 4 是一个完备浸入的可定向超曲面，若m 的g a u s s k r o n e c k e r 曲率为非零常数，且截曲率有下界，则m 是一个球面 证明：不妨设m 的g a u s s k r o n e c k e r l 曲率为正常数k ( 不然改变单位法向 量场的方向) n 1 i t t s m i n ：t ：曲率a l ，a 2 ，a 3 全部不为0 ，若全为正的，那么m 是 严格凸的，1 扫h a r t m a a 7 】的结论知定理2 4 2 成立不然的话，m 的主曲率有 一个是正的，其余两个是负的，以下证明这种情形推出矛盾 由主曲率的连续性，我们可设a 1 0 ，a 2 ，a 3 叩= ，忍。 ( 4 0 ) ( 4 1 ) 由命题2 ，3 1 以及引理2 4 ，1 证明中的有关论述，知圣幻( m ) 是一个完备浸入超 曲面，而且是严格凸的由伍鸿熙关于凸超曲面的结果1 1 3 1 知道，可以适当地 1 5 选取坐标系 z - ，茁。，。3 ，z 4 ，使得西t 。( m ) 与超曲面 茁a = o ) 相切于原点o ，而 且垂幻( m ) 是超曲面 黝= 0 ) 上一个光滑非负凸函数f 的图，因此圣幻( m ) 的单 位法向量形如( 因为中t 。( m ) 的主曲率为正) 万丽1 ( 一面o f ，一瓦o f ，一面o f ，1 ) 设p o m 是满足西t 。( p o ) = o 的点，贝e j v ( p o ) = ( 0 ，0 ，0 ，1 ) ：= v 0 ，而且 ( 西t 。p ) ，u o ) 0 ，( ) ，t o ) 0 ，坳m 考虑圣( m ) 上的i 撒f ( p ) = ( 圣( p ) ，) ，坳m ，由( 4 2 ) 式知 ( v ) = ( 西t 。0 ) + t o | ，) ，v o ) 0 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 因为m 的r i c c i 曲率有下界，对一，利用1 h u 的广义极大值原理【1 4 1 ，可知存 在m 上的一个点列 p 。，使得 0 魄f ( p m ) = i n f f ， t 1 骢i v ，) j = 0 ， r 3 骢i n f v i ( v j ) ( p r o ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 设e ，e 2 ，e 3 是空( ) 在的主方向，有 ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) v e 。，( ) = ( e ，v o ) ( p 。) 一0 ，忙1 ，2 ，3( 4 7 ) 土魄i n f v i ( v i f ) ( p m ) = 土魄i n f ( v e ，e ，峋) ( p m ) 2 i 粤3 。i n f 九( p m ) ( 1 ，( p m ) ，i ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 ，3( 4 8 ) 由( 4 2 ) 式和( 4 7 ) 式推出( p m ) 一( m 一) ，而( 4 8 ) 式推出i n f 九( 跏) 0 0 = 1 ，2 ，3 ) ，这与前提矛盾证毕 1 6 第三章利用i 一平均曲率讨论超曲面的性质 我们知道，在欧氏空间r 3 中，具有常平均曲率的曲面不一定是球面，有 很多反例，其中一个著名的反例是由w e n t e 1 q 构造的，他利用可积偏微分方 程的双周期解，构造了一个具有常平均曲率的环面引入i 一平均曲率鼠后， 人们不禁问道：具有某个常 一平均曲率的紧致嵌入( 浸入) 超曲面是球面 吗? y a u f l5 】在i = 2 时，给出了详细的讨论由本文前面一章的讨论，我们知 道i = 礼时，上面问题的答案是肯定的，即具有常g a u s s k r o n e c k e r 曲率的紧 致嵌入超曲面一定是球面实际上，对于某个皿= 常数的紧致嵌入超曲面， 它一定是球面吼 在本章中，我们通过对i 一平均曲率凰的讨论，研究在给定条件下，紧致 浸入超曲面的球性 3 1初等对称函数与i 一平均曲率 设圣：m 一彤十1 是浸入的紧致可定向超曲面， a 一，k ) 是m 的主曲 率，m 的扣平均曲率皿与下面的多项式定义一致， r ( t ) = ：1 ( 1 + t 九) = 1 + 四凰t + 碟飓t 2 + + 谨风矿( 4 9 ) 且可设甄= & ( 入1 ，) 、。) ，其中& ：舒一r 是关于变量z = z 1 ，z 。，的 第i 个初等对称函数为了叙述方便，不妨设凰= 1 定义g 是集合f z ： ( x l ，。) 冗”：& ( z ) o 包含( 1 ，1 ) 的连通分支，则关于& 的性质有 下面命题： 命题3 1 1 ( 1 ) ( g a r d i n g 不等式1 1 5 】) gcg 一1c c 口，且v x g s 彳1 ( 。) s 盎( 。) 研( 。)( 5 0 ) ( 2 ) ( n e w t o n ：不等式) 肆一1 ( 茁) s r + 1 s 2 ( z ) ，v 霉即，r 1 ，等号成立当且仅 当z 与向量( 1 ，1 ) 成比例 1 7 另外，由2 3 对平行超曲面的讨论，我们可以得到平行超曲面哦的平均曲 率日可定义为 日( t ) = 砉( a 1 + a 2 - 1 - + a n ) = 去c 去+ 熹+ 熹， = 去鱼怒胖 ( 5 1 ) n 兀翟l ( 1 + t 九) 一三盟 一n r ( ) 一盟星! ! 盟些! ：! 盟堡! ： 一 n p n ( t ) 3 2m i n k o w s k i 公式 设z ：m 一形+ 1 是浸入的紧致可定向超曲面，取主方向 e 0 为曲面m 的 局部正交标架，通过m 的欧氏度量，我们可以定义m 上的拉普拉斯算子， n x = e i ( e i ) i = 1 其中 e i ( x ) = e t ，龟( x ) = v 。x x 是m 上的任意向量。 引理3 2 1 ： 2 2 n ( 1 + h ) 其中日是m 的平均曲率，l ，为m 的单位法向量场， 证明：因为e 沩是m 的切向量，是m 的法向量，所以 = 0 ，所以 0 = e i = + = + 1 8 则有 = 一 = 凡( 5 2 ) 所以 e i ( e i ) = 2 e i = 2 ( + ) = 2 ( 1 + ) 再根据拉普拉斯算子的定义，我们得到 a l z l 2 = = 2 n ( 1 + 日 ) 上式在m 上积分，利用分部积分我们得到 厶( 1 + 日 ) d a = 0 ( 5 3 ) ( 5 4 ) 引理3 2 2 1 ( m i n k o w s k i 公式) 设雪：m 一钟+ 1 是浸入的紧致可定向超曲 面，则 厶( 日r 一1 + 研 ) d a = o r = l ，2 ，n ( 5 5 ) 证明：对于由( 2 7 ) 式定义的平行超曲面吼，由( 5 4 ) 式我们同样有 i m ( 1 + h ) d a t = o ( 5 6 ) 设d a 是m 的面积元，d a 是平行超曲面吼的面积元，则 d a t = ( 1 + t ) 、1 ) ( 1 + t k ) d a = r ( t ) d a 由( 5 1 ) ，( 5 7 ) 式以及吼的定义代入到( 5 6 ) 式，我们得到 厶( 扎r ( ) 一砭+ ) d a = 0 上式的左边是关于t 的多项式，比较系数，我们得到 厶( 珥一- + 珥 ) d a = 0 r = 1 1 2 一 】9 ( 5 7 ) ( 5 8 ) 3 3 关于紧致超曲面的一个球性定理 在本节中，我们利用m i n k o w s k i 公式以及对称多项式的相关不等式，来研 究紧致超曲面的一些性质 由3 1 叙述的不等式的性质以及m 的连通性，我们得到比【9 】的引理1 更一 般的结论： 引理3 3 1 ：西：m 一彤件1 是浸入的紧致连通超曲面，选择m 的单位法 向量场工，使m 的主曲率在一点p m 均为正若日r = a l 珥一1 + a 2 珥一2 + + a 。珥其中n 1 ，a s 为非负常数，则在整个m 上成立皿 0 ，及日了 甄= ( i = 1 ，2 ，r ) 证明：设m i = 口m ：( a 1 ( q ) ，a 。( 口) ) g ) ，显然尬是m 的非空开集 由引理条件甄( p ) 0 ( v i ) ，以及o ( j = 1 ，2 ，s ) ，知存在某个o t o ( 1 t s ) ，由命题3 2 1 的( 1 ) ，v q 尬 l 日墨( q ) 珥( g ) 8 t 珥一t ( 口) 即所一。( q ) a 芦 0 ，即珥( q ) a ( v q m 1 ) ，由日r 的连续性我们知 道晒又是m 的闭集，所以尬= m 再由命题3 2 1 的( 1 ) 知引理成立证毕 定理3 3 1 ：设圣：m 一舻+ 1 是浸入的紧致超曲面，可选择m 的单位法 向量场l ，使得m 的主曲率在一点p m 均为正，若日r = a l 珥一1 + a 2 研一2 + + n 。f 0 。其中o - ，口。为非负常数，则m 是一个n 维球面 证明：扫m i n k o v s k i 公式( 5 5 ) 厶( 凰一1 + 甄( 垂，p ) ) 以= o 江1 ，2 ，n 得到 厶( 珥一，+ 日r ( 西，l ，) ) d a = o ( 5 9 ) ( 6 0 ) 厶口。( 珥_ _ 1 + 日r t ( 击，) ) d a = o 忙1 ，2 ，s ( 6 1 ) 将珥= a l 珥一l + a 2 珥一2 + + n ，珥一。代入( 6 0 ) 式后，再依次减去( 6 1 ) 式中 表述的8 个式子，得到 厶( 珥一t 一。- 研一。一n ，研一) d a = 0 ( 6 2 ) 由引理3 3 1 ，风 o ( i = 1 ，2 ，r ) 以及命题3 2 1 的( 2 ) 推出 一 r - 1 堡兰 旦 h t 一2 一h t o = 。1 + 。2 瓦h r - 2 + + 口。瓦i - i f _ 8 ( 6 4 ) 。l 十a 2 百h = r _ 3 + + n 。 h 云r - 了s - 1 则 珥一1 a l 珥一2 + a 2 珥一3 + + 口3 珥- - 8 - - 1( 6 5 ) 结合( 6 2 ) 式，知道在整个mt ( 6 5 ) 式等号成立由命题3 2 1 的( 2 ) 知a l 一= a 。( 0 ) 即m 上的每一点都是脐点，从而证明m 是一个球面证毕 由定理3 3 1 ，很容易得到下面的推论： 推论3 3 1 ：设由：m r ”+ 1 是浸入的紧致超曲面，可选择m 的单位法向 量场王，使得m 的主曲率在一点p m 均为正，若存在某个r ，1 rsn ，满 足。珥+ 6 研一1 = 0 ，其中n 6 0 ，且n ，6 为常数。则m 是一个礼维球面 2 1 参考文献 f 1 h l i e b m a n ne i n en e u ee i g e n s c h a f td e rk u g e l ，n a c h r k 9 1 g e s w i s s g s t t i n g e n ，m a t h p h y sk l a s s e ，1 8 9 9 ，4 5 5 5 【2 】w s f i s s ，u b e rk e n n z e i c h n u n g e nd e rk u g e l nu n da f f i n e s p h 茜r e nd u r c h h e r r nk p g r o t e m e y e r ，a r c h m a t h ，1 9 5 2 ，3 ：3 1 1 3 1 3 【3 】a d a l e x a n d r o v ，u n i q u e n n e s st h e o r e m s f o rs u r f a c e si nt h e l a r g ei , v e s n i k l e n i n g r a du n i v ，1 9 5 6 ，1 1 ：5 1 7 【4 】a r o s ，c o m p a c th y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n th i g h e ro r d e rm e a nc u r v a t u r e s ，r e v i s t am a t e m a t i c ai b e r a m e r i c a n a ，1 9 8 7 ，3 ：4 4 7 - 4 5 3 【5 】h c w e n t e ，c o u n t e r e x a m p l et oac o n j e c u r eo fhh o l f ，p a c i f i cj m a t h 1 9 8 6 ，1 2 1 ：1 9 3 2 4 3 6 】s