（工程热物理专业论文）幂律流体连续运动平板层流边界层问题的研究.pdf

北京科技大学硕士学位论文 摘要 连续运动平板边界层问题不仅是个基础性的科学问题，也广泛存在于生产与工程实 际中。随着幂律流体在新技术开发中的广泛应用，具有连续运动表面幂律流体的边界层 问题受到学者越来越多的重视。本文采用多学科交叉，综合数学、流体力学及传热学等 领域的研究进展及成果，结合理论分析、数值模拟、试验设计等方面对幂律流体中具有 延伸表面、连续移动条件下的边界层流动和传热问题进行了一系列深入地研究。 本文主要针对流体运动的特点以及流动的环境建立了能正确描述多参数影响下的边 界层复杂流动问题的微分方程数学模型，利用微分方程相似变换群理论，将幂律偏微分 方程( 组) 转化成常微分方程( 组) 非线性边界值问题，同时推导出无量纲剪切力的计 算公式，对边界层厚度和摩擦系数进行了估算。 在理论分析基础上，本文对具有不同幂律特征、壁面移动速度和温度特征情况下平 板的顺流和逆流运动进行了直接数值模拟。探讨了动量边界层和热边界层的分布结构和 传递特性以及剪切应力的分布，进一步分析了幂律指数月、运动参数f 、普朗特数厅 等多个参数对边界层速度和温度以及剪切力的影响。直接模拟所得到的边界层偏微分方 程组的数值解与经过相似变换求得的非线性常微分方程的数值解吻合得很好，说明本文 对幂律流体连续运动平板上的层流边界层问题的研究是有效且可靠的。 最后在理论分析和数值模拟的基础上设计试验方案并进行了可行性分析，为今后一 些理论已经预测出的新的流动及传热现象的研究打下了良好的基础。 本文所进行的理论分析和数值模拟研究，对具有连续移动、延伸表面的幂律流体边 晃层流动结构和热质传递机制的认识具有重要的指导意义，并且为深入地丌展基础研究 以探求流体的复杂流动规律和传热机理打下了基础。同时幂律偏微分方程组所描述的具 有移动表面的非牛顿流体流动与传热问题，具有极强的工程背景，因此本文的研究具有 很高的应用价值。 关键词：连续移动表面幂律流体边界层数值模拟 北京科技大学硕士学位论文 i n v e s t i g a t i o no ft h el a m i n a rb o u n d a r yl a y e r f l o wo na c o n t i n u o u sm o v i n gf l a ti np o w e r - l a wf l u i d t h el a m i n a rb o u n d a r yl a y e rf l o wo n ac o n t i n u o u sm o v i n gf l a ti sn o to n l yab a s i cs c i e n t i f i c p r o b l e m , b u ta l s o a n i m p o r t a n tt y p e 。o ff l o wo c c u r r i n gi n an u m b e ro fm a n u f a c t u r ea n d e n g i n e e r i n gp r o c e s s e s t h ea b o v ep r o b l e mi np o w e r - l a w f l u i di sm o r ea t t e n d e db ys c h o l a r sa s p o w e r - l a wf l u i di sw i d e l yu s e di nm a n yn e wt e c h n o l o g yd e v e l o p m e n tf i e l d s s o m er e s e a i c h p r o g r e s s e sa n da c h i e v e m e n t s o fm a t h e m a t i c s ，f l u i dd y n a m i c sa n dh e a tt r a n s f e ra r e s y n t h e t i c a l l yc o n s i d e r e d , a n dt h e nat h o r o u g hs t o d yi sc o n d u c t e dt h e o r e t i c a l l ya n ds i m u l a t i v e l y o i lh e a tt r a n s f e ra n dd i f f u s i o np r o b l e m si nt h eb o u n d a r yl a y e ro nac o n t i n u o u sm o v i n gf l a ti n p o w e r - l a wf l u i d b a s e do nt h ef l u i df l o wc h a r a c t e r i s t i ca n de n v i r o n m e n t , t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n m a t h e m a t i c a lm o d e li sc s t a b l i s h e ds oa st od e s c r i b et h ec o l e i p l i c a t e dl a m i n a rb o u n d a r yl a y e r f l o wp r o b l e me f f e c t e db ym a n yp a r a m e t e r s as i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o nm e t h o di si n t r o d u c e d , t h u st h ep o w e r - l a wp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ng r o u pi st r a n s f o r m e di n t oc o n s t a n td i f f e r e n t i a l e q u a t i o nn o n l i n e a rb o u n d a r yp r o b l e m a n df u r t h e r , t h ef o r m u l a f o rc a l c u l a t i n gd i m e n s i o n l e s s s h e a rs t r e s si so b t a i n e d , t h eb o u n d a r yl a y e rt l l i c k n e s sa n df r i c t i o nc o e f f i c i e n ta r ee s t i m a t e d o nt h es t u d yo ft h e o r y ，t h eb e h a v i o rt h a tf l a tm o v e si nt h es a m eo ro p p o s i t ed i r e c t i o nt ot h e c o m i n gf l o wi ss i m u l a t e dd i r e c t l yu n d e rd i f f e r e n tp o w e r - l a wc h a r a c t e r i s t i ca n ds u r f a c ev e l o c i t y a n dt e m p e r a t u r es t a t e m o m e n t u ma n dt h e r m a lb o u n d a r yl a y e rs t r u c t u r ea n ds h e a rs t r e s s d i s t r i b u t i o na r ed i s c u s s e d ，t h e nt h ei n f l u e n c e so f p o w e r - l a we x p o n e n t ，m o v e m e n tp a r a m e t e ra n d p r a n d t ln u m m ro nb o u n d a r yl a y e rv e l o c i t ya n dt e r n p e m t u r ed i s t r i b u t i o na n ds h e a rs t i e 嚣s i z ei s a n a l y z e d n en u m e r i c a ls o l u t i o nt ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h eb o u n d a r yl a y e ri s w e l lc o i n d d e n tw i t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o nt ot h en o n - l i n e a rc o n s t a n td i f f e r e n t i a le q u a t i o nb y m e a n so ft h es i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n ，w h i c hs h o w st h a tt h er e l i a b i l i t ya n dt h ee f f i c i e n c yo f s i m u l a t i o ns o l u t i o n sa g ev e r i f i e db yt h en u m e r i c a lr e s u l t si n t h i sp a p e r p r o c e e d e dw i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s e a r c ga l le x p e r i m e n ti s d e s i g n e dw i t hf e a s i b i l i t ya n a l y s i s ，w h i c hc a l lp r o v i d ef u r t h e rf o u n d a t i o nt or e s e a r c ho nn e w f l o w a n dh e a tt r a n s f e rp h e n o m e n af o r e c a s tb yt h e o r y n e p r o p o s e dt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni nt h ep a p e r i ss i g n i f i c a n tt o i n v e s t i g a t eb o u n d a r yl a y e rf l o ws t r u c t u r ea n dh e a tt r a n s f e rm e c h a n i s m a n df u r t h e rf o u n d a t i o ni s e s t a b l i s h e dt od e v e l o pb a s i cs t u d ya st os e a r c hc o m p l i c a t e df l o wd i s c i p l i n e b e s i d e st h a t , n o n - n e w t o n i a nf l u i df l o wa n dh e a tt r a n s f c ro nac o n t i n u o u sm o v i n gf l a td e s c r i b e db yp o w e r - l a w 2 北京科技大学硕士学位论文 p a 而a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ng r o u ph a ss t r o n ge n g i n e e r i n gb a c k g r o u n d , a n ds ot h ei n v e s t i g a t i o n i nt h e p a p e ri so f h i g hp r a c t i c a lv a l u e k e yw o r d s ：c o n t i n u o u sm o v i n gf i a tp o w e r - l a w 加址b o u n d a r yl a y e r n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 3 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 北京科技大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名：壶! i 圭蛰日期：坦2 ：! ：b 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 虢墨i 量型新躲庞, 毖期：幽墨：盐 北京科技大学硕士学位论文 主要符号说明 名称 热扩散率 抽吸，喷注参数 定压比热容 壁面摩擦力 平板的高度 稠度系数 平板的长度 幂律指数 雷诺数 努塞尔数 压力 普朗特数 热通量 时间 绝对温度 热边界层外缘温度 壁面温度 平行于) 【y ，z 轴的速度 平行于x ，y ，z 轴的速度 流体来流速度 壁面速度 喷注抽吸速度 动力粘度 能量耗散函数 密度 剪切应力 流函数 单位 m 2 s j ( k g n n m n s i m 2 m n w s k k k鹏鹏嗽鹏鹏 蜘n j 待。c o f日七l。k舭p h g ，r lv以m p f 妒 北京科技大学硕士学位论文 符号 亭 珂 d a 名称 平板运动参数 相似变量 边界层厚度 无量纲温度函数 壁面摩擦系数 2 单位 m 北京科技大学硕士学位论文 引言 1 9 0 4 年p r a n d t l 首先提出了边界层概念并建立了边界层理论。不久后，b l a s i u s 采用 相似解的方法，将偏微分的边界层方程组变换为常微分方程组，完成了平板边界层问题 的求解。边界层理论及相似解思想，在流体力学发展史上开展了新纪元，为粘性流体的 流动开辟了广阔的道路，并为解决实际流动问题提供了理论分析的基础，在当代流体力 学的几大问题如湍流、非牛顿流和分离流领域中也有着极为重要和广泛的应用【1 2 】，并且 在应用中不断地得到充实和提高。 边界层的流动、传热和扩散等现象普遍存在于自然界和生产实际中，如水利、航空 航天、航海、化学工业、冶金工业、材料工业、能源工程和生物工程等。幂律流体的广 泛应用使得偏微分方程组特别是具有幂律特征的偏微分方程组所描述的非经典边界条件 下的流动、传热问题越来越受到学者的关注。由于问题的超非线性及边界条件的非常规 性且影响参数的众多，问题异常复杂。相关学科的发展、实验技术的进步以及现代计算 机技术的飞速发展，为分析研究这类问题提供了有效的手段。 本文经过多学科交叉，综合数学、流体力学及传热学等领域于一体，从物理本质与 数学描述两方面深刻地认识相关基本现象，揭示内在舰律，对偏微分方程组所描述的幂 律流体连续运动平板层流边界层问题进行了直接数值模拟，分别对幂律流体顺流和逆流 运动平板边界层问题进行了深入地研究，分析了幂律指数n 、平板运动参数等对边界层 流场分布的影响，以及不同的普朗特数丹和运动参数雪对热边界层的影响。探讨了具 有无限延伸性连续移动表面的幂律流体边界层流动和传热问题的基本特性及规律。 3 北京科技大学硕士学位论文 1 文献综述 1 1 黏性流体力学相关知识 1 1 1 边界层概念( b o u n d a r yl a y e r ) 如图1 - 1 所示。雷诺数很大时，把贴近于平板边界存在较大切应力，粘性影响不 能忽略的薄层称为边界层。当温度为l 的流体以速度玩流入平板前缘时，边界层的厚 度d - - d r - - o ，沿着x 方向，随着x 的增加，由于壁面粘滞力影响逐渐向流体内部传递， 边界层厚度逐渐增加，在达到露距离( i i 缶界长度蜀由来确定) 之前，边界层中流 体的流动为层流，称为层流边界层。在层流边界层截面上的流速分布和温度分布近似一 条抛物线。在品之后，随着边晃层厚度d 的增加，边界层流动转为紊流称为紊流边界 层，即使在紊流边界层中，紧贴着壁面的薄层流体，由于粘滞力大，流动仍维持层流状 态，此极薄层为层流底层西，在紊流边界层截面上的速度分布和温度分布在层流底层部 分较陡斜，近于直线，而底层以外区域变化趋于平缓。 y 图1 - 1 平板边界层 1 1 2 不可压缩流体层流边界层 如图1 2 所示，流体以均匀的速度h 。掠过一平壁时，由于壁面的存在和流体粘性 的影响，在靠近壁面的边界层中形成很大的速度梯度，即壁面处流速为零，经过这一薄 层后流速就近似达到边界层外的主流速度口。 通常把从壁面到流速等于0 9 9 u 。处的法向距离称为边界层厚度( b o u n d a r yl a y e r t h i c k n e s s ) ，用符号6 表示。边界层的厚度顺流增大，即6 是工的函数。整个流场可划 4 北京科技大学硕士学位论文 分为两个区域：( 1 ) 边界层区，层内动量传递主要取决于分子动量传递。在边界层外 缘上可近似认为速度达到主流速度，速度梯度等于零。( 2 ) 层外势流区，可近似按无 粘性的势流理论计算。此时速度和压力之间的关系服从伯努利方程式。 类似地有热边界层的概念。当有均匀温度t 。的流体掠过一平壁时，若壁温t 。与它不 同，二者将发生对流换热。靠近壁面处有法向温度梯度很大的一薄层流体热边界层， 即壁面处的流体温度等于壁温，经过很薄的热边界层后流体温度就近似达到主流温度。 类似地，把流体温差( f 。- t 。) 等于o 9 9 ( t 。- 。) 处的法向距离成为热边界层厚度，用符号 表示。因此整个温度场可划分为：( 1 ) 热边界层区，层内分子导热起主要作用。在 热边界层外缘上可近似认为达到主流温度，速度梯度等于零；( 2 ) 层外的近似等温 区。参见图1 3 。 图1 - 2 速度边界层图1 - 3 热边界层 1 1 3 对流传热与传质的基本方程组 根据最基本的质量守恒、动量守恒和能量守恒定律，可以推导出流体力学的基本微 分方程组，即连续性方程、动量方程和能量方程。对于三维不可压缩流体，连续性方程 可写为1 3 l 丝+ 丝+ 塑0 缸 砂 以 动量方程，即n a v i e r - s t o k e s 方程为： 5 ( 1 - 1 ) 北京科技大学硕士学位论文 p 罢一罢+ p ( 害+ 争+ 軎) + x p 面一素 i 萨+ 矿+ 孑j “ p 老一号+ ( 窘+ 争+ 害) + y p 警- 一罢+ p ( 害+ 守+ 害) + z 能量方程式的焓表达式为： p 警4 鲁一( 誓+ 詈+ 誓) + 中 式中，m 称为能量耗散函数，由下列各项组成： ( 1 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 中。专胁才+ 惟) 2 + 爷) 2 + 街+ 侈 ) 2 + 隹+ 笥+ 匐2 】c ，石， 1 1 4 非牛顿流体( n o n n e w t o n i a nf l u i d ) 1 1 4 1 流体的分类 流体通常是指受任何微小剪切力作用都能连续变形的物质，大量的实验表明，对每 一种流体，f 与d u 咖都有其唯一确定的关系。在一般情况下，可将f 与d u ，砂的关系 式写为 f 。，f 生1 。i 咖j ( 1 - 7 ) 因此，可以根据切应力f 和y 方向速度梯度d ul d r 是否满足线性齐次关系将流体分 为两类( 参见图1 - 4 ) ：牛顿流体，也就是理想流体，所有的气体和大部分低分子量 ( 非聚合的) 液体或溶液均属于牛顿型流体。牛顿流体符合牛顿内摩擦定律即两相邻流 体层之间的切应力f 和y 方向速度梯度出，咖满足1 1 】： 6 北京科技大学硕士学位论文 d “ f - p 万 ( 1 8 ) 而f 和d u ，咖之间为非线性齐次关系的流体则称为非牛顿流体。非牛顿流体的物质 构成远比牛顿流体复杂。反映在粘性上，同一种非牛顿流体的粘性不仅与温度、压力等 环境条件有关，而且还与其流动状态有关。可采用以牛顿流体内摩擦定律为模式来定义 非牛顿流体的粘度，用心或玑表示，称为非牛顿流体的表观粘度。表观粘度随剪切力 增加而减小的流体称为假塑性( p s e u d o p l s t i c ) 流体，或称剪切变稀型( s h e a r - t h i n i n g ) 流 体，大多数非牛顿流体都有剪切变稀的特性。与假塑性流体相反，表观粘度随剪切力速 率增加而增大的流体称为涨塑性( d i l a t a n t ) 流体。这种涨塑性体现在分散体系中，如淀 粉液，海滩上的湿沙，絮凝化的油漆等。当剪切应力小于屈服应力时，流体不会流动， 只有当剪切应力超过屈服应力值时才开始像牛顿流体一样流动，这种流体称为宾汉 ( b i i i g i l 姗) 流体。触变性( t h i x o t r o p i c ) 流体的粘度不仅与剪切速率有关，而且与剪切速 率作用时间有关。在不变剪切速率作用下，随着作用时间的增加其粘度下降，并且当剪 切作用停止，流体处于静止状态之后其粘度又重新升高，但不一定按原来的样子恢复。 另外一类物质如流态石膏浆等在剪切作用下其粘度反而随剪切作用时日j 的增加而上升， 称为反触变性流体或震凝性流体。 图l _ 4 流体分类 7 北京科技大学硕士学位论文 1 1 4 2 非牛顿流体理论的发展 非牛顿流体在自然界和工程技术中是非常普遍的，典型的非牛顿流体是高分子熔体 和高分子熔液。在过去4 0 年中，高分子工业的迅速发展，引起了科学家们对研究高分 子材料的兴趣，并从数学和力学的角度研究了上述特殊流体的力学性能，推动了这门学 科的更快发展。在化学工业中的各类泥浆和悬浮液、油漆、涂料、颜料等，均属非牛顿 流体。在现代流体力学的新分支中，生物流体力学占有重要位置。生物流体，例如人体 内和各类动物体内的血液、关节腔内的滑液、淋巴液、细胞液、脑脊液、支气管内分泌 液等，都具有非牛顿流体的性质。科学家们认为，地球中心炽热的岩浆可以作为非牛 顿流体处理。实验证明，我国的高腊原油及黄河的高含沙水流也具有非牛顿流性质。 非牛顿流体具有一系列区别于牛顿流体的奇特物理现象。如韦森堡效应 ( w e i s s e n b e r ge f f e c t ) ，管流剪切变稀现象，挤出物胀大和弹性回复( b a r u se f f e c t ) ， 无管虹吸( f a n o ) ，湍流减阻( t o m s 效应) ，滑移现象1 1 j 。 1 1 4 3 边界层理论应用于幂律流体 在大量经验、实验和理论分析的基础上，学者们认为，对于大多数非牛顿流体，其 剪切应力与速度梯度之间的关系可以用一个所谓的“幂律”法则来描述，即幂律流体的 f 和d u i d y 的关系为： ，。七f 生丫 i 方j ( 1 - 9 ) 其中，k 和n 是流体的物性参数幂律指数n 一1 相应于牛顿流体，万，1 相应于 涨塑性流体，0tnc1 时，描述的是假塑性非牛顿流体。图1 5 所示的是牛顿流体和非 牛顿流体所服从的内摩擦定律。在标准初始边值条件下，一些先进的工作者推导了非牛 顿流体绕流一些特殊表面的二维和三维边界层方程。对- - 维流动的情况，他们证明：类 似于牛顿流体，边界层方程存在相似解。他们还研究了简单初始边值条件下的非牛顿流 体绕流半无限大静止平板时的边界层问题。证明了边界值问题正解的存在性、惟一性和 解析性。郑连存等人对非常规条件下的幂律流体边界层流动及传热问题进行了一系列的 研究。 8 北京科技大学硕士学位论文 图1 - 5 不同流体剪切应力和速度梯度的关系 ，牛顿流体，2 塑性流体，3 拟( 黔塑性流体，4 涨塑性流体 如何预测非牛顿流体在运动中的行为，是近几十年来科学家们一直非常热心关注的 问题。将牛顿流体理论中得到的一系列成果应用于非牛顿流体，也一直是科学家们苦心 探索的方向。 1 1 5 边界层方程的主要数值解法 近二十年来，随着计算机技术的发展，数值方法成为研究边界层问题的有力手段。 边界层方程的主要数值解法有：有限差分法、有限元法、有限容积法、有限分析法和边 界元法等。 有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍 被广泛运用该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。 有限差分法以t a y l o r 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差 商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。考虑时间因子的 影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式， 主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有 结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。有限差分法直 观，理论成熟，精度可选。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使f d m 应用 于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用f d m 的好处在于易于编程，易 于并行。 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思 想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内选择一些合适的节点作为求 解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插 9 北京科技大学硕士学位论文 值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。根据 所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法分为多种计算格式。从权函数的选择来 说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；从计算单元网格的形状来划分，有三 角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数 和高次插值函数等。有限元方法适合处理复杂区域，精度可选。缺憾在于内存和计算量 巨大，并行不如f d m 和f v m 直观。 有限容积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) 又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区 域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微 分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变 量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值 分段的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的予区域 法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。有限体积法 的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。有限容积法适于流体计算，可以应用 于不规则网格，适于并行。但是精度基本上只能是二阶了。f v m 的优势正逐渐显现出 来，应力应变，高频电磁场方面的特殊的优点也正在被人重视。 有限分析法是在有限元法基础上发展起来的一种数值方法。其基本思想是：将求解 区域划分成有限个规则的矩形单元；每个单元中的求解函数，通过微分方程在单元子区 域中的分析解来表达；为获得单元中的局部分析解，单元子区域的边界条件，将采用插 值函数逼近：如果方程非线性，则在单元中将非线性项局部线性化。这样，每个单元中 心结点的函数值和单元边界结点的函数值可通过单元分析解构成一个代数方程，称为单 元有限分析方程。将所有内点上的单元有限分析方程联立，就构成总体有限分析方程， 通过代数方程组数值求解，即可获得求解区域中全部离散点的函数值。有限分析法具有 自动迎风性质，能准确地模拟对流项。同时不存在数值扩散，计算稳定性好，收敛较 快。有限分析法可以克服在高r e 数下有限差分法的数值解容易发散或振荡的缺点，但 其计算工作量较大，耗费的机时较多，对计算区域几何形状的适应性也较差，有时求微 分方程的局部解析解也会遇到困难，目前应用还不是很普遍。 边界元法中应用格林函数公式，并通过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分 方程转化为其边界上的积分方程，它把求解区中的任一点的求解变量与边界条件联系起 来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程，解出边界上的未 知值就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数值。它的最大优点是降维， 只在求解区域的边界进行离散就能求得整个流场的解。三维问题降维为二维问题，二维 1 0 北京科技大学硕士学位论文 问题降维为一维问题。边界元法的思想是用边界积分方程将求解域的边界条件与域内任 意一点的待求变量值联系起来，然后求解边界积分方程。此方法的难点在于边界积分方 程的导出，可以采用加权余量法来做。 1 1 6 关于c f d ( c o m p u t a t i o n a lf 1 l l i dd y n a m i c s ) 商用a d 软件的发展 计算流体力学( c f d ) 是现代流体力学中一个重要的学科分支。随着高速计算机的 出现和数值计算方法的不断创新，计算流体力学己经发展成为- - f 单独学科。现在计算 流体力学已能够通过求解欧拉方程和n s 方程对复杂流动进行模拟，大大降低研究费 用，缩短研制周期。计算流体力学与理论分析和实验研究相互补充、相互促进、相互验 证，促进了流体力学研究的发展。 c f d 技术是通过将流体力学基本方程离散化，以流体有限元来仿真复杂的流场。然 而，限于计算条件和数值算法的发展，c f d 技术出现的5 0 多年时问内，由于仿真精 度，使得适用度有限，仅成为专家、教授们的工具。随着8 0 年代计算机技术、图形技 术和数值算法的发展，计算流体力学应用于工程实际的客观条件曰趋成熟，商品化c f d 软件相继出现，使得c f d 技术能成为满足工程实际应用的需要成为可能。 c f d 通用软件在国内的应用情况如下：由于受到各种条件、因素的限制与影响， c f d 通用软件在我国的引进推广比较晚，直到近几年才有较大起色。在很长一段时间 内，只有极少数研究单位和大型企业引进正规的c f d 软件，人们接触的多是 p h o e n i c s 的早期版本。直到1 9 9 5 年，著名的c f x 在我国设立代理，并成功的发展了 一批用户，是进入较早的一个c f d 通用软件：自1 9 9 7 年，p h o e n i c s 以其较低廉的价 格、较高的性价比以及代理商的成功促销发展了不少国内用户，p h o e n l c s 和c f x 使 很多人对c f d 通用软件包的特点与功能有了初步认识；1 9 9 8 年，全球占有率最高的 c f d 软件f 1j e 】盯在北京设立代理公司，j 下式进入中国市场，并迅速取得良好销售 业绩。s t a r - - c d 、n u m e c a ( f , m ) 等著名软件也先后在中国设立代理，发展用户，于 是国内已出现了凹d 软件群雄逐鹿的局面。 本课题所采用软件a c f x 是由英国a e a 公司开发，是一种实用流体工程分析工具，其优势在于处理流 动物理现象简单而几何形状复杂的稳态。这个软件的主要特点有： 采用有限容积法、拼片式块结构化网格，在非正交曲线坐标( 适体坐标) 系上进行 离散，变量的布置采用同位网格方式。 北京科技大学硕士学位论文 对流项的离散格式：包括一阶迎风、混合格式，q u i c k , c o n d i f , m u s c l 及高阶迎 风格式。 压力和速度的耦合关系：采用s 蹦p l e 系列算法( s l m p l e o 。 代数方程求解方法：包括线迭代、代数多重网格、i c c g , s t o n e 强隐方法及块隐式 ( b i m ) 方法等。 湍流模型：纳入了k e 模型、低r e y n o l d s k - e 模型，r n g ( 重整化群) k - 模型、 代数应力模型及微分r e y n o l d s 应力模型。 应用范围：包括不可压缩及可压缩流动、耦合传热问题、多项流、粒子输运过程、 化学反应、气体燃烧、热辐射等，同时还能处理滑移网格，可用来计算透平机械中叶片 间的流动，又很强的网格生成及后处理功能。 c f x 软件将质量守恒、动量守恒等控制方程统一为通用偏微分方程式，用此来描述 流体的流动、传质传热等物理现象。对于单相层流流动，通用表达式为1 4 - 6 1 掣+ 者t 枷一嗤m ( 1 - 1 0 ) 其中，c ，为单相的速度矢量；妒为单相的守恒特性项，可以代表速度、动量等； l 为妒的扩散系数；s 为矿的源项：t 表示时间。 由于本文流动是层流流动，因此计算模型采用层流模型。 1 2 运动平板边界层问题的相似解研究进展 1 2 1 物理背景及问题的起源 s a “a d s l 卅于上个世纪六十年代首先认识到具有移动表面的边界层这一类流动现象 及其复杂性，并研究了当平板以定常速度运动时牛顿流体二维层流和湍流边界层动量传 递问题，由积分的方法得到了问题的数值解和积分近似解。对于湍流则采用l ，7 次方定 律运算。1 9 6 7 年t s o ue t a l l 9 1 用实验证实了s a k i a d s 提出的问题和计算结果，并研究了具 有定常速度和定常温度平板边界层的能量传递问题。1 9 6 6 年e r c k s o n l l o l ，g r i f f i n 和 1 1 l 删l c l l l 】等人研究了壁面存在抽叻喷注的情况以恒速、恒温在流体中运动形成的层流边 界层上的热传递和质量传递。1 9 6 8 年，c a n e g 芦r i 和f r i e d m a n l l 2 j 利用相似变换和q 0 0 0 0 j 1 3 j 变量变换技巧，将经典的布拉修斯边界层方程转化成一个二阶常微分方程奇异非线性 两点边界值问题，并利用函数论技巧，确立了边界值问题正解的存在性、惟一性和解析 - 1 2 - 北京科技大学硕士学位论文 性。1 9 7 8 年c a l l c g a d 和n a c h m a n 研究了半无限大平板顺来流方向运动时的边界层情 况，对伴随弱扩展及激波的流动以及流体在运动的传送带上的流动所形成的边界层问 题，通过对边界条件标准化，得到了边值问题解的惟一性和解析性。a b d e l h a f e z1 1 4 1 利用 有限差分方法通过求解全n - s 方程，数值研究了平板顺来流方向以恒定的速度移动的 s a k i a d s 问题的壁摩擦和热量传递规律。1 9 9 3 年l i n 等人用k e l l e rb o x 方法解决了 a b d e l h a f e z 的问题，同时研究了平板逆流移动的问题。显然，这一复杂的边界层流动和 传热问题正在受到越来越多的重视。 1 2 2 平板顺来流边界层研究领域 对于牛顿流体顺来流方向运动平板边界层问题( 包括静止平板边界层问题，即经典 的布拉修斯问题1 已经有多人进行过研究，也已得到了一些比较成熟的结果。对于幂律 流体绕流问题，s c h o w a l t c r ( 9 6 0 ) l l l q 和a c r i v o s ( 1 9 6 0 ) 1 1 1 6 1 首先将边界层理论应用于幂律流 体。j o n e s 和a t k i n s o n ( 1 9 7 4 ) 1 1 7 1 ，n a c h m a n 和t a l i a f e r r o ( 1 9 7 9 ) b s l ， n a c h m a n 和 c a l l e g a r i ( 1 9 8 0 ) 1 1 9 1 等从理论上研究了无抽吸和喷注条件下，非牛顿流体绕流半无限大静 止平板时的边界层问题。利用相似变换和c r o c c o 变量变换技巧，将边界层方程转化成 一个常微分方程的奇异非线性边界值问题，并利用函数分析理论，证明了边界值问题正 解的存在性、惟一性和解析性。1 s u n gy e nn a 和a l f l l u rg h a n s e n ( 1 9 6 7 ) 【2 0 1 ，t h n o l 和 k a l t h i a ( 1 9 8 6 ) | i ”i 等还从理论上研究了常规条件下非牛顿流体三维边界层相似解的存在 性。t g h o w e l l ，d r j c n g 和l u d e w i t t ( 1 蛳【翻利用数值计算和近似方法研究了二维 运动平板边界层问题的近似解。 近年来，郑连存【盐2 5 l 等人从解析求解、数学论证和数值计算等多方面对幂律流体中 考虑有抽吸喷注条件影响的顺束流方向运动多孔平板边界层问题进行了深入、系统地研 究，分析和探讨边界层内流动结构，各参数( 速度比参数、抽吸喷注参数、幂律指数 等) 对于边界层内流动和传热的影响以及边界层内剪切应力分粕特性等。 1 2 3 边界层分离流研究领域 j b k l c m p 和a n d r c a sa c r i v o s l 2 6 1 于1 9 7 2 年首先研究了大雷诺数r e 下二维平板逆 来流方向运动时的边界层数值计算问题。他们得出平板附近逆流区域的边界层厚度为 l d ( r ：) 数量级，设平板的无量纲速度为a 。边界层相似性方程如下： 2 | 。 l 一0 1 3 ( 1 1 1 ) 北京科技大学硕士学位论文 边界条件为： 厂( o - o ，( 0 ) 一一亭，( m ) - 1 ( 1 - 1 2 ) 在亭s0 3 5 4 1 时，给出了上述方程的解。文中指出，由于即使很小的逆向压力梯度 的存在，在某一特定点t 处，主流方向的流体将从平板表面分离。作者还指出，相似性 方程的解并没有忽略下游对流体的影响。如果平板是半无限长的，解应该使用于整个x 轴，因此上游和下游的影响都应被考虑进去；如果平板是有限长的，那么解只对于分离 区的前半部分有效，而在平板的后边缘处由于汇聚点的存在影响了上游的解。 1 9 7 6 年j rk l e m p 和a l i d r c a sa c r i v o s i r n 贿- 限大平板当亭 0 3 5 4 1 时的情况进 行了讨论( 这种情况不能通过正常的边界层方法进行研究) ，得出，当亭) 0 3 5 4 1 时， 流体由三个互相重叠的部分组成：( a ) 外流区，也就是主流区；( b ) 在工。一( 工c 1 上的 有逆流的常规的边界层区域，其中z 。为妒一0 时流线的分离点，x = l 表示平板的后边 缘；( c ) 在工附近的无粘性碰撞区，在此区域内逆向流体与主流流体发生碰撞并转向 进而流向下游。作者又进一步得到如下结论：当0 s 芋1 时，工。0 ；当亭) 1 时， 工， 0 。 后来，h u s s a i n i i z g l 和l a k i n1 2 9 1 利用相似变换技巧，对逆流运动平板边界层问题进行 了研究。从理论分析等角度证明，证明了当且仅当速度比例参数亭不超过某一个确定的 临界值亭时，即0 ( 亭亭时，边界层问题i 有解，并且当0 c 亭t 亭时其解是不唯一 的。而当速度比例参数大于临界值亭时边界层问题无解。在满足0 t 宇( 亭的条件下， 给出了壁摩擦因数和速度比参数之间关系的数值结果，并进一步指出边界层问题存在分 歧解这特性与壁摩擦的多重值有关。对于这个临界值亭，他们还得到其估计值为 亭= 0 3 5 4 1 0 7 9 ( 1 - 1 3 ) k v a j r a v e l u 和r n m o h a p a t r a l m l - 于1 9 9 0 年研究了带有吸附喷注的逆流问题。得出 了如下结论：对于给定的吸附喷注参数c ，存在宇的一个正区域，在闭区间 0 ，1 + 胡上是 解析的。并给出了某些特定c 下亭的范围：当c - h ) 时o t 宇0 1 1 7 6 ；当c = o 1 时 0 亭s 0 1 6 6 3 ；当c - - - 0 2 时0 1 0 - 2 0 ，像点 1 7 北京科技大学硕士学位论文 直径大约在1 0 - 2 5 | im ，诊断点直径小于几毫米，粒子位移1 0 nm 到毫米量级。处理方 法为：( 1 ) 光学方法。( 2 ) 数字图像技术( 可用三种方法求出速度信息，即傅立叶变换，直 接空间相关法，粒子像间距概率统计法睁4 4 1 ) 。 1 3 6 粒子图像处理系统 粒子图像处理系统包含三部分：照相底片驱动及定位系统、光路系统、计算机图像处 理系统。 图像采集和处理系统：摄像机输出的视频信号进入图像采集卡，经锁像、采样( 采 样频率l o 此) 及a i d 转换，可将一幅画面实时数字化成5 1 2 x 5 2 1 s b i t 或2 5 6 2 5 6 8 b i t 的灰度图像。数据处理可采用阵列处理器( m e r c u r ym c 3 2 0 0 - n o ) 或采用i 8 6 0 加速 卡，运算两次f f r ，在两三秒内就可诊断一幅流场图像。 1 4 小结 幂律偏微分方程组所描述的具有连续移动、延伸表面的幂律流体流动与传热问题， 具有广泛的工程应用背景。实质上，我们前面所提到的冶金工业和塑料工