（基础数学专业论文）几种分形的研究.pdf

曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“ ) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士口：几种分形的研 究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士口学 位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含 他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完 全由本人承担。 作者签名： 日期： 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“) 几种分形的研究系本人在曲阜师范大学攻读博士口硕士口学位 期间，在导师指导下完成的博士口硕士口学位论文。本论文的研究 成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义 发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文 被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手 段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名：颠参朴 导师签名： 日期：o 莎d f 。 日期： 曲阜师范大学硕上学位论文 摘要 本文分为三章前两章对k o c h 曲线作了一定的扩张，研究了它们的盒维数、h a u s d o r f f 测度：第三章研究了一类不同于经典迭代方式的分形插值问题 第一章构造了一个特殊的扩张k o c h 曲线3 ，计算了它的盒维和h a u s d o r f f 维，巧妙的 了构造了一个特殊的覆盖，很好的估计了它的h a u s d o r f f 测度上界 第二章由收敛实数列扛矗眠，引入了一类扩张k o c h 曲线e ( x ) ，给出了此类曲线的盒 维 第三章由一致收敛的函数列饥g ) ) 构造了一类特殊的分形一齿形分形，进而研究了分 段齿形插值，提出了不同于经典迭代分形插值的新方法 本文的主要结果： 定理1 扩张k o c h 曲线3 的盒维d i m 。3 = s ，其中s 是方程 2 ( ) 。+ 2 ( 警) 。= 1 的唯一解 定理2 对于扩张k o c h 曲线3 有d i i i l b3 = d i 弛s 定理3 扩张k o c h 曲线3 的h a u s d o r f f 测度 h s ( 3 ) 等 定理4 设口= ( ，口：，口。，) ，其中口。包含2 ”1 个基本矩形口。若u 是包含m ， 个口。，m 。个口2 ，i i l l l 个口。的可测集，m 。n 且m ；：卜1 ，则 。h 8 ( s ) - 上l 一 1 。酽”j ) b 2 ” 定理5 设扛矗。为单调递增的实数列且x = l 。+ i r a 。x ，则扩张k o c h 曲线e ( x ) 的盒维 d i m e e ( x ) 2 i 五j _ 二2 _ i l n 硐2 定理6 设齿形分形的函数表达为g ) ，x 一丢，三 任取x 1 ，x 2 一虿1 ，爿，存在常数 k ，使得i 厂g ，) 一fg ：) j kx i - x ：i 曲申师范人学硕十学位论文 定理7 设 ( z ，y ，) 尺2 ：f = 0 ，1 ， 是一个数据集，那么必然存在一个分 段齿形的连续函数g ：b 。，h 】一r ，使得g 是该数据集的分形插值函数且g 处处不可微 关键词h a u s d o r f f 维数，几乎处处覆盖，盒维，扩张k o c h 曲线，齿形分形 2 曲阜师范人学硕十学位论文 a b s tr a c t b o xd i m e n s i o ni sw i d e l yu s e di nr e a l i t i e sb e c a u s ei ti se a s yt oc a l c u l a t ea n dm e a s u r eb y e x p e r i m e n t s h a u s d o r f fm e a s u r ec a nq u a n t i t a t i v e l ym e a s u r et h ed i m e n s i o no ff r a c t a l s ，b u ti ti s v e r yd i f f i c u l tt oc a l c u l a t e f r a c t a li n t e r p o l a t i o ni sa l w a y sa ni n t e r e s t i n gp r o b l e m t h i sp a p e rw i l l r e s e a r c ht h o s ep r o b l e m s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，as p e c i a le x t e n d e dk o c h c u r v ei si n t r o d u c e d t h e nw ei n v e s t i g a t et h e p r o p e r t i e so fi t a nu p p e rb o u n d e do fi t sh a u s d o r f fm e a s u r ei sg i v e ni nt h el a s t i nc h a p t e rt w o ，ac l a s so f e x t e n d e dk o c h c u r v e sd e r i v e db yas e q u e n c e x i 眦i sg i v e n w eg i v eaf o r m u l ao ft h e i rb o xd i m e n s i o n i nc h a p t e rt h r e e ，as a w i n gf r a c t a li se s t a b l i s h e d t h ep r o p e r t i e sa n df o r m u l ao fi tw e r ew e l l r e s e a r c h e d t h e nw eg i v eaw a yo ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nw h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c i t e r a t e dm e t h o d m a i nr e s u l t s ： t h e o r e m lt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no ff r a c t a l3i ssw h i c hs a t i s f i e st h ee q u a t i o n ： 2 ( 舻研钆 t h e o r e m2t h e b o xd i m e n s i o no ff r a c t a l3s a t i s f i e st h ee q u a t i o n ： d i m bs = d i m h 3 t h e o r e m3i f3i st h ee x t e n d e dk o c h - c u r v e t h e n h 3 ( s ) 嚣 t h e o r e m4 s u p p o s e c t = ( 口l ，口2 ，a ”，) i saa l m o s te v e r y w h e r ec o v e ro fs ，w h e r e 口i ( i n ) i sb a s i cr e c t a n g l e ，口”c o n t a i n s2 ”b a s i cr e c t a n g l e 口n i fam e a s u r a b l e s e tuc o n c l u d e sm lb a s i cr e c t a n g l e 1 ，m 2b a s i cr e c t a n g l e s l - 1 2 ，b a s i cr e c t a n g l e 口n ，t h e n h 5 ( 3 ) - 监一 l 一( 2 ”1 嘶) is 2 ”。 t h e o r e m5 i f 扛f e ：+ i sa p r o g r e s s i v es e q u e n c ea n d x = 憋e ( x ) i st h ee x t e n d e d k o c h - c u r v ed e r iv e db y x j 札，t h e n d i m b e ( x ) 2 面面2 1 n 2 冈 t h e o r e m6 s u p p o s et h ef o n n u l a o ff r a c t a le i s f ( x ) ，艇 一j 1 ，爿t h e n 莉i t r a r y c h o i c e 3 曲阜师范人学硕 ：学位论文 耶b 1 ， , t h e r e e x i t sac o n s t a n tkw h i c hs a t i s f i e ss ( x 1 ) 厂阻h 甜 t h e o r e m7 i f 缸y ) r 2 ：f _ 0 , 1 ， i s ad a t as e to fp l a n e ，t h e nt h e r ei sa c o n t i n u o u ss a w i n gi n t e r p o l a t o r yf u n c t i o ng ：i x o ，x _ 】一ro nt h ed a t as e tw h i c hi sn o w h e r e d i f f e r e n t i a l k e y w o rdsh a u s d o r f fd i m e n s i o n ，a l m o s te v e r y w h e r ec o v e r ，b o xd i m e n s i o n ，s a w i n g f r a c t a l ，f r a c t a li n t e r p o l a t o r y 4 曲阜师范人学硕十学位论文 第一章一个扩张k o c h 曲线的性质 h a u s d o r f f 于1 9 1 9 年引入了h a u s d o r f f 测度，后来在刻画分形的相似性、复杂性时又 定义了h a u s d o r f f 维在计算分形的h a u s d o r f f 维时，必须估计分形的h a u s d o r f f 测度的上 下界众所周知，计算分形的h a u s d o r f f 测度相当困难，方法多样本章给出了一个扩张k o c h 曲线，通过一个覆盖技巧，巧妙的计算了它的h a u s d o r f f 测度的上界此覆盖技巧在一般意 义下为h a u s d o r f f 测度的计算提供了借鉴 第一节扩张k o c h 曲线3 的定义和维数 本节定义了一个扩张k o c h 曲线3 ，研究了它的性质，并计算了它的盒维和h a u s d o r f f 维 首先给出基本定义： 定义1 , 1 如果集合fc 甜，ku ，的最大直径为5 ，即o iz ，f o 定义 h s 9 ( f ) = i n f ( l 甜：“，是f 的一个5 一覆盖) 并且约定h s9 ( 矽) = o ，记 h ”( f ) = l i mf ：9 ( f ) ，称h 9 ( f ) 是集合f 的p 维h a u s d o r f f 测度 d o 定义1 1j 集合f 的h a u s d o r f f 维的定义如下 d i m i ，f = i n f ( p ：h p ( f ) = o ) = s u p ( p ：h p ( f ) = o o ) 定义扩张k o c h 曲线s 设e 。为单位直线 第一步，即n = l ，以e 0 的中间三分之一为等腰直角三角形的斜边向上做等腰直角三角形， 并去掉该三分之一，得到一条由四条线段组成的曲线，记为e 卜 第二步，即n = 2 ，对e 。的四条折线段重复第一步的做法，得到一条由1 6 条线段组成的曲 线，记为e ： 重复以上操作，可由e 。得到e 当n 一。o 时，便得到一条分形曲线，记为3 ，它比k o c h 曲纠1 】复杂但不是k o c h 曲线，称s 为扩张k o c h 曲线具体过程见图( 1 1 ) 6 曲宁师范火学硕士学位论文 e i 图( 1 1 ) 当n = l 是，有3 个点不可微；当n = 2 时有1 5 个点不可微；n = k 时有4 “一1 个点不可微； 当n 一是，便得到一条处处不可微的曲线，因此扩张k o c h 曲线3 是一条分形曲线显然扩 张k o c h 曲线s 是严格自相似的 下面给出扩张k o c h 曲线s 的性质和记号 ( 1 ) 扩张k o c h 曲线3 是路径连通的设a 、b 属于3 。记a b 为从a 到b 的连通部分或连 通弧 ( 2 ) sne 。是经典的c a n t o r 集并且sne 。是一个h 8 一零测度集已知c a n t o r 三分集的 h a u s d o r f f 维数为1 0 9 3 2 o ，则h s ( e ) = h 。5 ( e ) 证明设口= 甜j ：i 0 ) 是e 的一个6 一覆盖据定义， h 8 ( e ) y l “，1 智。 口的相似压缩【4 1 扛抄。是e 的一个坑覆盖，所以有 h 美伍) s c ，5 r “3 ( i i - i ) ，t1 = 0 = t 瑚i r e5 ) ( 羔i k c i ks h 5 s 2 i = 0 令k _ 0 0 ，则坑一0 根据定义有 h 8 ( e ) t = o 因此，h 5 ( e ) h 。8 ( e ) 而h 8 ( e ) h 。5 ( e ) 是显然的 引理6 设e 是一个分形h 5 ( e ) i “，其中 “，：，0 ) 是e 的一个6 一覆盖 p l 证明由引理5 ，命题显然成立 以下构造扩张k o c h 曲线s 的几乎处处覆盖 e 。中只有一个等腰直角三角形，以它的腰为一边向上做矩形，记为基本矩形口卜记屈= 口) ，其中口，包含2 0 个口。见图( 1 2 ) 9 曲阜师范人学硕十学位论文 图( 1 2 ) e 。中有两个等腰直角三角形不能被口。覆盖类似于e 。的处理，需要作两个全等的矩形， 每个均记为基本矩形口z 记尾= 口。，口2 ) ，其中口：包含2 1 个口：见图( 1 3 ) 陟n厂1陟n 图( 1 3 ) e 。中2 2 个等腰直角三角形不被反覆盖同上处理，需要作2 2 个全等的矩形，每个均记为 基本矩形口。记屈= ，口2 ，口3 ) 其中口3 包括2 2 个口。见图( 1 4 ) n 沙nn厂1 n 陟n 图( 1 4 ) 归纳得，尾= ( ，口：，口。) 令口= ( 口l ，口2 ，口。) 引理7 口= ( 口。，口：，口。) 是扩张k o c h 曲线s 的一个几乎处处覆盖 证明由相似性，只需证明口内的扩张k o c h 曲线s 的部分不会超过口，也就是矩形的 两边界即可由对称性，只需说明曲线a b 段不超出即可 先进行第一步操作，得折线a 。c b 。 再由对称性，只需研究得折线a c 。段，得折线a ：e 。b 。显然e 。前两步的最右侧且在矩形边 1 0 曲申币范人学硕上学位论文 的左侧 仍由对称性，只需研究e 。b ：即可注意到e 。b ：平行于a b ，因此第一步、第二步的操作具 有周期重复性继续一次周期操作，可以得到最右侧的点e ：，由图显然e ：在e 。的左侧同理 b 在e ：左侧，因此，当i 一时，e j 也在e 左侧，所以e 的由a b 段产生的分形部分不会超出 a c 边同理由对称性也不会超过a c 边，所以口是扩张k o c h 曲线s 的一个覆盖 显然，s 一3n e 。中的每一个元素必包含在口中的某一个矩形内，且sn e o = 3 一口是 c a n t o r 三分集，其侧度为零，所以口是扩张k o c h 曲线3 几乎处处覆盖 当n 0 0 时，在么c a b 和么c b a 处扩张k o c h 曲线3 与边a c 和b c 有无限接近的过程，因 此我们所得覆盖口是一个非常好的3 的几乎处处覆盖见图( 1 5 ) r a c 图( 1 5 ) 定理3 扩张k o c h 曲线3 的h a u s d o r f f 测度 h 8 ( s ) 嵩 证明显然s sn 口是c a n t o r 三分集c ，且口uc 显然是s 的一个万覆盖 由引理6 ， h 5 ( s ) h 8 ( auc ) 因为口和c a n t o r 三分集c 均为可数集 h 3 ( 口) + h 8 ( c ) 又h 8 ( c ) = 0 h 8 ( 口) = ( 誓) 5 + 2 ( 号誓) 8 + 2 2 ( 古譬) s + + 2 川( 士誓) 5 + = ( 誓) 5 【1 + 2 ( 孝) 8 + + 2 ( 士) 8 + 】 曲申师范人学硕十学位论文 又o 2 ( ) y i 2 ( 誓) 5 南 ：立 l 一2 ( ；) 5 定理4 设口= ( 口l ，口2 ，口。，) ，其中口t ( i n ) 是基本矩形，口。包含2 川个基 本矩形口。若u 是包含m 个口，m 2 个口。，i i l f l 个口。的可测集，m ；n 且m ；。h ，则 h 8 ( 3 ) - 上l 一 1 一( 2 一1 一n ，) s 2 ”一 i ；1 证明设= 函，：i o , i 是3 的一个覆盖，误差为s 。 由引理4 h 8 ( e ) 2 5 十占。 i = 1 ll 又22 2 ”构成22 2 ”s 的一个覆盖， 1i1 令口l = ( u ，( 2 0 _ 1 i l 。) 2 万，( 2 1 皿2 ) 2 万，( 2 h m n )一2 n ) ，其中m i 2 i - 1 显然口，也是3 的一个几乎处处覆盖 同定理3 处理， h 8 ( 3 ) 9 i u i8 + ( 2 - ) ( 专iu ，i ) 8 + ( 2 1 - m 。) ( 击iu ，1 ) 8 + + ( 2 ”1 一i i l r i ) i = 0i = 0 ( 古iu 川8 = i u i8 + 秘5 + 赫坤+ 等5 t = 0i = 0i = 0 = i u i8 + 窆勰窆 1 = 1i = o = 1u 卜厶窆2 ：h - 卅m ，- 一( h 8 ( s ) - - 8 a ) ，- i 适当的选取，使s 。充分的小，则 1 2 曲申师范人学硕上学位论文 整理可得 h 3 ( s ) iu 卜窆每h 5 ( 3 ) 推论1h 8 ( s ) ( 孚) 5 证明令n = l ，见图( 1 6 ) h 5 ( 3 ) - 生 1 一( 2 t - l - m 。) i s 2 ” j = l 取u = 口一号，则+ 厶2 ：i - z _ 叫m ，一p o t - f - l 所以h 5 ( s ) iu8 = ( 孚) 3 图( 1 6 ) 推论2 h 8 ( s ) 鲁( 1 一专) 证明上界的较精确估计，取n = 3 ，见图( 1 7 ) d e nc 毹尸、陟勺n ab 图( 1 7 ) 取u 为六边形a c d e f b ，那么未被u 包括的基本矩形只有两个口。显然u 是可测集，且有 i u i = i a f i = ( f a b2 + 陋12 ) = 【( 吾) 2 + ( 古) 2 】； ：巫豆 1 8 所以h 8 ( s ) 警( 1 m 专) 曲申师范人学硕上学位论文 第二章一类由收敛实数列生成的扩张k o o h 曲线 在1 9 0 4 年，v o nk o c h 为了模拟自然界的海岸线定义了k o c h 曲线k o c h 曲线虽然有许 多弯曲，但它是对称的、相对规则的而自然界中还有许多非对称的更为复杂的情形需要研 究，为此我们通过一组收敛序列扩张了k o c h 曲线，引入了扩张k o c h 曲线e ( 万) 第一节扩张k o o h 曲线e ( 万) 的定义 本节首先介绍了盒维的定义及其等价定义，然后结合收敛实数序列和k o c h 曲线定义了 一类更为复杂的序列扩张k o c h 曲线 1 盒维的定义及其等价定义l l j 设f 是1 1 。中任意非空有界子集，记n ( r ，万) 表示最大直径为万且能覆盖f 的集合的最小 数，则f 的上、下盒维定义为 d i m b f _ - l i r a6 一。业警：攀 d i mb f = l i r a6 o l n n 育( f , a ) 如果上、下盒维相等，则f 的盒维的定义为 d i n 1 b f = l i r a 业警攀 j 0 一“o ” 盒维的等价定义实质是对( f ，万) 的取法不同，具体如下： ( 1 ) 覆盖f 的半径为万的最小闭球数 ( 2 ) 覆盖f 的边长为万的最小立方块数 ( 3 ) 覆盖f 的万一网格数 ( 4 ) 覆盖f 的直径最多为万的最小集合数 ( 5 ) 球心在f 中且半径为万的互不相交球的最大数 2 扩张k o c h 曲线的e ( x ) 定义 记e 。= 【0 ，1 】 第一步去掉e 。中间比例为x 的部分，以去掉部分为腰往上等腰三角形且腰长为毕， 其中0 x ，那么得到一条四段等长的曲线，记所得的曲线为e 。 第二步对e 。中的四条线段，分别去掉中间一段比例x ，的部分，以去掉的每部分为底 边向上作底角为乡的等腰三角形，边长为毕毕，得到一十六段的折线，记所得的曲 1 4 曲阜师范大学顾七学位论文 线为e 2 如此继续下去，记最终得到的分形曲线为e ( x ) ，称e ( x ) 为由k ) 。诱导的序列扩张 k o c h 曲线 定义若序列扛 为递增序列且x = l 。i m 。x j ，则称e ( x ) 为递增的序列扩张k o c h 曲线 特别地，若扛， 地为常数列，则分形曲线e ( z ) 为k o c h 曲线 曲阜师范人学硕士学位论文 第二节扩张k o c h 曲线e ( x ) 的盒维 本节计算了扩张k o c h 曲线e ( x ) 的盒维 定理5 设b ， 心+ 为单调递增的实数列且x = ! 蛩x 。，则扩张k o c h 曲线e ( x ) 的盒维 d i r n be ( x ) = 2 l n 2 1 1 1 2 一i n ( 1 一x ) 证明由e ( x ) 的构造，e 。的基本区间长度为鱼二_ 尘乏掣且有 4 条线段组 成，自然，4 t 条长度为鱼二虫坠笔害二鱼型尘的线段构成e ( x ) 的覆盖 选取覆盖直径万满足 止丛生出生型万坚丛生出蚓， 丘 膏一i 贝0n ( e ( x ) ，万) 4 足 则由上盒维的定义， d i m b e ( x ) = l i r a 。型萼譬旦 一埘o = l i r a 丝堡盟! 变! 舰i 堕匹l n 4 霉x 亚卫 2 溉而kn 五2 面l n ( 1 = x 顶i xf 正习 k - m l一 一，x 1 一，) ( 1 一x ，l 1 6 g ； g ； n 小 n 肛 v | 一 曲申师范人学硕士学位论文 选取万满足 l n 2 一i n ( 1 一x ) 鱼二兰! 渔二坐：鱼二垫! 万鱼二兰! 塑二尘：g 二型 一 k + l 一。一 k e 。中有4 k 条长度为鱼2 出l 掣的线段，则至少需要4 肛1 个长度为万的线段 来覆盖 由下盒维的定义，且扛。) 是单调上升的实数列，x = l 。i m 。x ， 一d i me e ( x ) _ 一l i m 型学 l i r a 丽辫 ： 兰! 呈三 l n 2 一i n ( 1 一x ) 显然有d i m 。e ( x ) = d i m 。e ( x ) 由定义， d i m b e ( x ) 2 丽面2 1 n 2 同 推论1 若l i mx ，= 0 ，则d i m s e ( x ) = 2 推论2 若将定理中的吒替换为佤j tk l i m 柯2 x ，则上述结论不变 推论3 若分形为k o c h 曲线，则该曲线的盒维公式为 d i m 。e ( x ) = 2 l n2 l n 2 一i n ( 1 一x ) 1 7 一砖寸| 啡 墅卜面 吨 而 m 曲阜师范人学硕上学位论文 第三章齿形分形及其齿形插值 本章由一致收敛的函数列抚g ) ，构造了一类分形一齿形分形，研究了它的性质，然后 讨论了分段齿形分形插值，绕丌了现行的迭代方式，为插值问题提出了一种新的方法 第一节齿形分形的构造、表达式和性质 本节构造了齿形分形，研究了它的表达式和性质 1 齿形分形的构造 设e 0 为单位长度的线段，记为a b 第一步以a b 为底边，以秒为底角向上做等腰三角形，得到一条曲线a c b ，记为e 。 第二步取a b 中点设为a 。，取a c 中点设为c 。，取b c 中点设为c 。，这样我们得到一条曲 线ac 。a 。c ：b ，记为e 。 重复以上过程，可得到e 。，易知e 。中有2 ”条线段且均为等腰三角形的腰具体过程见图 ( 3 1 ) e l 1 8 曲阜师范人学硕上学位论文 图( 3 1 ) 令n jo 。，记所得的曲线为e ，则e 为一分形曲线 2 分形曲线的e 性质 ( 1 ) 分形曲线e 是处处连通的 ( 2 ) h d ( e ) 1 3 分形曲线e 的函数表达式 首先，以a b 所在的直线为x 轴，以a b 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系且记 k = t a n 0 考察e 。，如图( 3 2 ) jl 。 r 0 r 图( 3 2 ) 易知a c ，b c 段的表达式分别为 a - ，g ) = 尼( x + 圭) ，x 一圭，。) a - z g ) ：后( x 一丢 ，x 。，丢 为使函数均定义在 一互1 ，期，记 a - b ) 1 9 一门刈 一 一 一1 2 x 厂i l l x 、一2， 0 a 。g ) 曲争师范人学硕士学位论文 记i g ) ：z t - g ) + z t z g ) ，ce ； i 1 ，三 考察e ：，如图( 3 4 ) 同e ，容易得到 a f i a 。g ) = 1 0 ，x 【 f a 。g ) ： 【0 ， a a g ) ： h 1 ) 州呸1 1 o u 卜 l 4 肛书 1厂 【0 脏l 一 记正g ) ：a t g ) + a z g ) + a 。g ) + a b ) ，x 一丢，圭 2 0 x 一2 r 小 l 一2 x 一 、k，r1 、一2， 一 x 0 ，l、 七 ，j、l jl 7 r a o b 锄 一4 一 口o ，1j ( 12一2图卜l矿 一 x 广l l l 、l 一2 o x ，l l 几 x l 一2 h 一 一 一 1_1 1 2 ， ， 默 一2 h 七 x l l l l _ 1 2 ，、 1 4 1 4 i_l ， 1 2 进一步考察e 。，如图( 3 5 ) 同e ：，可以得到 a - g ) ： a z b ) ： a s g ) ： 曲阜师范人学硕，卜学位论文 f 一七( z + 丢) ，x 一昙，一百1 ) io ，x 萑其它 j 尼( x + 丢) ，x 1 i ，一虿1 ) io ，x 诺其它 k x ，x 0 ，x 茌 ：卜戮斟 岫小x ：皴p 嘶小x ：鎏肛 2 1 x jl 了 o 7 酏牲舵 x 诺、 、一、 0 一8 芑卜其 诺 x x h o ，j、 乱 钆 、， ，一飞它卜其 曲阜师范大学硕1 ：学位论文 同理记以b ) ：喜a tx ) , xe 一j 1 ，丢 同理记以b ) = a ti 一了，吉i 一般的，归纳可得以g ) ：喜a ；g ) ，x 一圭，爿 专厂g ) = ! 鳃无g ) ，x 一丢，爿，则厂g ) 是齿形分形的函数表达式 4 齿形函数g ) 或 g ) 的性质 性质1 厂g ) 是一个周期函数但没有最小j 下周期 证日月删肛个周期函数且争是它的周期 毗卜方卜啪然成立 令聆j ，则厂( x + 击) = g ) 成立，即古是它的周期 又当门j 时，古一。成立，命题成立 定理6 设齿形分形的函数表达为厂g ) ，x 一互1 ，爿任取x 1 ，, x 2e 一圭，爿，存在常数 k ，使得ifg ，) 一fx ：) i kx 1 - x ：i 证明考察厂。g ) ， i 若x 。x 在同一个周期内如图( 3 6 ) 曲宁卅币范人学硕上学位论文 x 2 图( 3 6 ) 显然有if 。g 。) 一f 。g ：) l = kx i - x ：i i i 若x 。，x ：不在一个周期内，且lx l - x ：i 大于一个周期，则可适当选取y ，使得x ，y 在 一个周期内且有 l 六g 。) 一六g ：) l = i 六g 。) 一f o ( y ) l = 七ix 。一y1 七fx l - x ：i i i i 若x 。，x ：不在同一个周期内且x 1 - x ：| 小于一个周期，如图( 3 7 ) l工2 图( 3 7 ) 则显然有o 口9 詈，故必有 t a n t a n 0 = k 因此 | f 。g 。) 一f 。g ：) i = t a n ax 1 一x ：i _ t a n o 五一x ：j = 七i _ 一x ：i 由i ，i i ，i 可以得到 f 。“) 一f 。g ：) l k lx i - 工：i 令n 哼o o ，则有 fg 。) 一fg ：) | kx l - x ：i 曲阜师范大学硕l ：学位论文 第二节分段齿形分形插值 本节讨论了一个数据集的分段齿形分形插值，给出了不同于传统迭代方式的新方法 定义一个数据集是形如融，y ，) r2 ：净o ，l ， 的点集，其中 x l h 定义对应于这个数据集的插值函数是一个连续函数f ： i x 。，x l 专r 使得 f g ，) = y 。，江o ，l ， 其中( x ，y ，) 称为插值点，函数f 内插该数据且f 的图形穿过各插值点 关于一个数据集的分形插值我们有如下结果： 定理7 设 ( x ，y ，) r 2 ：f - o ，1 ， 是一个数据集，那么必然存在一个分段齿形的连续 函数g ：k ，x l 寸r ，使得g 是该数据集的插值函数且g 处处不可微 证明不失一般性，设0 x 。 x 1 ，e = l o ，1 i 以下仅研究e 上的分段齿形插值 1 任意给定一个e 上的函数f 考虑其差商，任取x e ，0 t ，讨论表达式 i s ( x + t ) - s o ) i 和l 缝二! ! 二缝h tt 由于0 胛，t 8 ，r 丢 图( 3 8 ) 曲争师范人学硕上学位论文 即g 甜8 固定疗构造中齿形函数：| 来插值数据集合，选择分割k ，x 。】，k 。，x ：】，x n - x 】 作分段齿形函数以，使得齿形函数的每一个边的斜率的绝对值和j , f a ，具体做法如 图( 3 9 ) 图( 3 9 ) 由第一节，不难写出 的表达式，在此不再赘述 任取g nu 。，则g 为所求的分段齿形函数 n = l g 的连续性是显然的，仅需证明g 处处不可微 以下证明任取x i x 。，h 】，则l i m a f ( x ，) 不存在 因为任意固定以，f 甜。，则可以找到一个数，。io ，。 聆，此时序 列乙_ 0 ，但是序列矽( x ，t 。) 不收敛 所以厂在x 点处不可微 2 5 曲阜师范大学硕十学位论文 参考文献 1 】李水根分形l m i 北京：高等教育出版社，2 0 0 4 2 】法尔科内分形几何基础及其应用i m | 曾丈曲等译沈阳：东北大学出版社，1 9 9 1 【3 】周作领一个s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度】中国科学a 缉，1 9 9 92 9 ( 2 ) ： 1 3 9 1 4 5 4 】周作领，吴敏，赵燕芬一类扩张s i e r p i n s k i 海绵的h a u s d o r f f 测度】数学年 刊，2 0 01 ，2 2 a ：5 7 6 4 5 】刘一呜，周家云，解际太数学分析m 】山东：山东大学出版社，1 9 9 3 6 】李水根，吴纪桃分形与小波l m i 北京：科学出版社，2 0 0 2 7 】全以丈，鲁世达分形几何原理及其应用i m l 杭州i ：浙江大学出版社，1 9 9 8 【8 】文志英分形几何的数学基础i m l 上海：上海科技教育出版社，2 0 0 0 【9 】李浩，陈尔明一个特殊相似分形集的h a u s d o r f f 测度的上界估计l ，i 华侨大学学报 ( 自然科学版) ，2 0 0 5 ，2 6 ( 1 ) ：1 6 18 1 0 】龙晶凡分形插值的条件m 北京师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 1 ，3 7 ( 3 ) ：2 8 9 2 9 1 【1 1 】李红达，叶正麟，彭国华一种分形插值函数的若干性质i ，1 西北工业大学( 自然科 学版) ，2 0 0 1 ，3 1 ( 3 ) ：2 0 8 2 1 1 【1 2 】乔正明，冯志刚一类s i e r p i n s k i 地毯平移交集的计盒维数l ，1 湖北广播电视大学学 报，2 0 0 7 ，2 7 ( 3 ) ：1 4 3 1 4 4 【1 3 】丰德军，文志英，吴军计盒维数的若干注记1 自然科学进展，9 ( 3 ) ，2 1 6 2 2 1 【1 4 】许绍元s 集的h s 几乎处处覆盖与h a u s d o r f f 测度1 中山大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 5 ，4 4 ( 1 ) ：1 2 1 1 2 3 【1 5 】曾文曲等译分形几何中的技巧f m l 沈阳：东北大学出版社，1 9 9 9 1 6 】冯志刚，余跃关于矩形网格上分形插值曲面若干结果i j io 江苏大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 4 ( 4 ) 1 7 】m u n k e r sjr 拓扑学基本教程f m l 北京：科学出版社，1 9 8 7 18 】f e n gz h i g a n g ，c h e ng a n g o nt h em i n k o w s k id i m e n s i o no fd i g r a p h j f r a c t a l ，2 0 0 3 ，l ： 8 7 9 2 【19 】c h e n g a n g t h e s m o o t h n e s sa n dd i m e n s i o no f f r a c t a l i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s j a p p l m a t h j c u ，1 9 9 6 ，li b ：4 0 8 4 1 8 2 0 】p e t e rm a s s o p u s tr f r a c t a lf u n c t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s j c h a o s s o l i t o n s f r a c t a l s ，1 9 9 7 ，8 ( 2 ) ：1 7 1 - 1 9 0 【2 1 】b a m s l e ym f f r a c t a lf u n c t i o na n di n t e r p o l a t i o n j c o n s t r a p p r o x ，1 9 8 6 ，2 ：3 0 3 - 3 0 9 【2 2 】b a m s l e y mf h r r i n g t o n t h e c a l c u l a so ff f a c t a l i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s j f r a c t a l ，2 0 0 2 ，l o ( 1 ) ：5 3 5 8 2 3 】h u c h i n s o nje f r a c t a la n ds e l f - s i m i l a r i t y i n d i a n au n i vm